Môđun noether và sự phân tích nguyên sơ

Định nghĩa và các tính chất cơ bản

1.1.1 Định nghĩa (i) Cho R là một vành và M là một R-môđun M đƣợc gọi là một R-môđun Noether nếu mọi dãy tăng các R-môđun con của M:

0 = M 0  M 1  M 2  đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho M n = M k , n  k

(ii) Cho R là một vành, R đƣợc gọi là một vành Noether nếu R là một R- môđun Noether

1.1.2 Định lý Cho R là một vành và M là một R-môđun Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(ii) Mọi tập khác rỗng các R-môđun con của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm;

(iii) Mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh;

(iv) Với mỗi họ các môđun con {M i } iI của M luôn tìm được tập con hữu hạn J của I sao cho i j i I i J

Để chứng minh rằng tồn tại một phần tử cực đại trong tập hợp các môđun con của M, chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại, có một tập hợp  ≠  gồm các môđun con của M mà không có phần tử cực đại Chọn một phần tử M1 tùy ý trong , do không có phần tử cực đại, ta có thể tìm thấy một môđun con M2 cũng thuộc  sao cho M1 là phần tử con của M2 Tiếp tục quá trình này, ta nhận thấy rằng trong  không có phần tử cực đại, dẫn đến việc hình thành một dãy tăng không dừng các môđun con của M.

M 1  M 2  M n  … Điều này trái với giả thiết M là R-môđun Noether Vậy ta có (ii)

Chúng ta cần chỉ ra rằng mỗi R-môđun con N của M là hữu hạn sinh Để chứng minh điều này, chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại một môđun con N của M là vô hạn sinh Xét tập hợp  gồm tất cả các R-môđun con hữu hạn sinh của N; vì 0 thuộc  nên  không rỗng Theo giả thiết, tồn tại một phần tử cực đại N’ trong  Do N’ hữu hạn sinh, nên tồn tại x thuộc N nhưng không thuộc N’ Từ đây, ta suy ra rằng R-môđun con hữu hạn sinh N’ + xR cũng thuộc , điều này mâu thuẫn với tính cực đại của N’ trong .

N’ N’ + xR Vậy N là hữu hạn sinh Vậy ta có (iii)

(iii)  (iv) Đặt N  i I  M i Rõ ràng N là một R-môđun con của M

Theo giả thiết, N là hữu hạn sinh, chẳng hạn N = x 1 R +…+ x n R, x i N, i Khi đó tồn tại các phần tử i 1, …, i n trong I sao cho x j  M i j , j Từ đây suy ra

(iv)  (i) Xét R-môđun con N = n   1 M n theo giả thiết tồn tại một số tự nhiên k sao cho N = k n 1 M n tức M n = M k , n  k.Vậy M là R-môđun Noether Vậy ta có (i) 

1.1.3 Hệ quả Cho R là một vành Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) Vành R là một vành Noether;

(ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R:

-7- a 1  a2  …  a n  … đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho a n = a k , n  k;

(iii) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm;

(iv) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh

Chứng minh Vì mỗi tập con khác rỗng của vành R là một R-môđun con của

R-môđun R khi và chỉ khi nó là một iđêan của R Do đó từ Định lý 1.1.2, Hệ quả đƣợc chứng minh 

1.1.4 Ví dụ (i) Cho K là một trường và V là một không gian véctơ trên K

Khi đó V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K khi và chỉ khi V là một K-môđun Noether

Chứng minh () Cho V là không gian vectơ n chiều trên trường K Khi đó V là một K-môđun Lấy

L 0  L 1  L 2  …(1) là một dãy tăng bất kỳ các K-môđun con của V Suy ra L i là các không gian con của V, vdim L i  n với i = 1, 2,…và vdimL 0 < vdimL 1 < vdimL 2 (2)

Khi đó, dãy (2) phải dừng vì n hữu hạn Do đó dãy (1) dừng suy ra V là một

Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng rằng không gian vectơ V vô hạn chiều không phải là K-môđun Noether Cụ thể, luôn tồn tại một dãy vô hạn các phần tử \( w_i \) thuộc V, trong đó với mọi số tự nhiên n, các phần tử \( w_i \) (với \( i = 1, 2, \ldots, n \)) là độc lập tuyến tính.

 suy ra L n là hữu hạn chiều và vdimL n = n Từ đó ta có dãy

-8- không dừng, suy ra V không là K-môđun Noether điều này trái giả thiết Vậy

V là một không gian vectơ hữu hạn chiều  (ii) Mỗi vành chính đều là một vành Noether

(iii) Vành số nguyên là vành Noether vì mọi iđêan của đều có dạng m = là iđêan sinh bởi m

(iv) Cho K là trường Khi đó K là vành Noether vì K chỉ có 2 iđêan là 0 và K = đều hữu hạn sinh

(v) Cho K là trường, vành đa thức vô hạn biến R = K[x 1, x 2,…, x n , ] không phải là vành Noether, vì tồn tại một dãy tăng các iđêan sau đây trong R

1.1.5 Nhận xét Vành con của vành Noether có thể không phải vành Noether

K là trường, do đó R = K[x₁, x₂, …, xₙ, …] là miền nguyên R có trường các thương F và được xem là vành con của F Mặc dù F là vành Noether, nhưng vành con R không phải là vành Noether.

1.1.6 Hệ quả Cho R là một vành và một dãy khớp ngắn các R-môđun

Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi M’ và M’’ là R-môđun Noether

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng M’ là môđun concủa M và M” = M / M’.

Giả sử M là một R-môđun Noether Khi M' là môđun con của M, mọi môđun con của M' cũng sẽ là môđun con của M Từ định nghĩa này, ta có thể kết luận rằng M' cũng là một R-môđun Noether.

Mỗi môđun con của M” = M / M’ có dạng K / M’ với K là môđun con của

Q 0  Q 1  Q 2  … (1) là một dãy tăng tùy ý các môđun con của M” Với mỗi i, tồn tại môđun con K i của M, K i  M’ sao cho Q i = K i / M’

Ta thu đƣợc dãy tăng các môđun con của M

Vì M là R-môđun Noether nên dãy (2) dừng, tức tồn tại số tự nhiên n sao cho

K t = K n với mọi t ≥ n, do đó K t / M’ = K n / M’ cho mọi t ≥ n, dẫn đến Q t = Q n cho mọi t ≥ n, suy ra (1) dừng lại Điều này cho thấy rằng M” là một R-môđun Noether Giả sử M’ và M” đều là các R-môđun Noether Xét dãy tùy ý các môđun con của M: M 0 ⊆ M 1 ⊆ M 2 ⊆ … Chúng ta có thể xây dựng dãy tăng các môđun con của M’: M 0 M’ ⊆ M 1 M’ ⊆ M 2 M’ … và dãy tăng các môđun con của M”: M’(0) ⊆ M’(1) ⊆ M’(2) …

Theo định lý đồng cấu thì dãy (5) đƣợc viết lại 0  0  1  1  2  2  ' ' '

Vì M’ là R-môđun Noether nên dãy (4) dừng, tức tồn tại số tự nhiên n, sao cho

Vì M” là R-môđun Noether nên dãy (5) dừng Do đó dãy (6) dừng nên dãy

(3) dừng Vậy M là R-môđun Noether 

1.1.7 Hệ quả Cho R là một vành, M =

  là tổng trực tiếp của một họ hữu hạn R-môđun Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi M 1 , M 2 , …, M n là R-môđun Noether

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta chỉ cần chứng minh hệ quả trên với n = 2 tức là chứng minh M 1 và M 2 là R-môđun Noether khi và chỉ khi

M 1  M 2 là R-môđun Noether Thật vậy, ta có dãy khớp ngắn

Do đó theo Hệ quả 1.1.6 suy ra điều cần chứng minh 

1.1.8 Hệ quả Cho R là một vành Khi đó:

(i) Môđun con và môđun thương của R-môđun Noether M cũng là một R- môđun Noether

(ii) Ảnh đồng cấu của R-môđun Noether là R-môđun Noether

Chứng minh (i) Cho M là R-môđun Noether, M’ là R-môđun con của M Khi đó dãy

0  M’  M  M / M’  0 là dãy khớp ngắn Theo Hệ quả 1.1.6 chúng ta có M’ và M / M’ là các R- môđun Noether

(ii) Giả sử f : M  N là một đồng cấu R-môđun Ảnh đồng cấu của f là

Imf = f(M)  M / Kerf Do đó theo (i) vì M là R-môđun Noether nên M / Kerf là R-môđun Noether Vậy Imf là R-môđun Noether 

Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau

1.1.9 Hệ quả Cho R là vành Noether, S là một vành và f : R  S là một toàn cấu vành Khi đó S cũng là vành Noether

1.1.10 Mệnh đề Giả sử  là một tự đồng cấu của vành R Khi đó:

(i) Nếu R là vành Noether thì tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho n  n 0,

(ii) Nếu R là vành Noether và  là toàn cấu thì  là đẳng cấu

Chứng minh (i) Ta có dãy tăng các iđêan của R

Do R là vành Noether nên tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho n  n 0

Ker  n Ker  n Vậy n  n 0, ta có Ker    2 n  Ker    n Lấy x 

Im  n Ker  n , khi đó ta có y  M với x =  n (y) và  2n (y) =  n (x) = 0

Do đó y  Ker    2 n  Ker    n Suy ra x =  n (y) = 0 Vậy

(ii) Nếu  là một toàn cấu thì  n cũng là toàn cấu n * , tức là

Im  n M Do R là vành Noether nên từ (i) ta có tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho n  n 0, Ker    n  0, mà Ker     Ker    n 0 chúng ta có Ker    =

0 Do đó  là một đơn cấu Mặt khác theo giả thiết  là toàn cấu Do đó  là đẳng cấu 

1.1.11 Hệ quả Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun Khi đó M là R- môđun Noether khi và chỉ khi M là R-môđun hữu hạn sinh

Chứng minh () Cho M là R-môđun Noether Theo Định lý 1.1.2, M là R- môđun hữu hạn sinh

Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, tồn tại một số tự nhiên n sao cho M là ảnh đồng cấu của R-môđun tự do R^n Theo Hệ quả 1.1.7, R^n là R-môđun Noether, từ đó suy ra M cũng là R-môđun Noether nhờ Hệ quả 1.1.8.

1.1.12 Hệ quả Cho A là một vành con của vành R Nếu A là vành Noether và

R là A-môđun hữu hạn sinh thì R là vành Noether

Chứng minh Vì R là A-môđun hữu hạn sinh và A là vành Noether nên theo

Hệ quả 1.1.11 R là A-môđun Noether Do đó theo Hệ quả 1.1.3 mọi iđêan của

R là A-môđun hữu hạn sinh, nhƣng vì A  R, nên cũng là R-hữu hạn sinh Vậy

R là R-môđun Noether hay R là vành Noether Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính chất mở rộng phổ dụng, tức là với các R-đồng cấu f : N  M và g : N  E, trong đó f là đơn ánh, luôn tồn tại ít nhất một R-đồng cấu h : M  E sao cho g = h o f.

Khi h được xem là một mở rộng của g, định lý sau đây trở thành một đặc trưng quan trọng cho vành Noether thông qua môđun nội xạ Đặc trưng này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nghiên cứu môđun trên vành Noether.

1.1.14 Định lý Cho R là một vành Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(ii) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun nội xạ là nội xạ;

(iii) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun đơn là nội xạ

E là một R-môđun nội xạ nếu thỏa mãn tiêu chuẩn Baer Để chứng minh điều này, cho một iđêan a của R, với phép nhúng chính tắc j: a → R và R-đồng cấu f: a → E, chúng ta cần chỉ ra sự tồn tại của một R-đồng cấu g: R → E sao cho f = g o j Vì R là vành Noether, iđêan a là hữu hạn sinh, giả sử a = (a₁, a₂, …, aₙ) Tồn tại một tập hữu hạn J ⊆ Λ sao cho với mọi k = 1, …, n, thành phần f(aₖ) trong Eₗ khác không chỉ khi j ∈ J, từ đó suy ra f(a) ⊆ j.

  là hạn chế của f trong ảnh f(a) và j‘ : j j J

-13- là phép nhúng chính tắc thì f = j’ o f’ Vì tập chỉ số J là hữu hạn nên j j J

  là nội xạ Ta có biểu đồ sau giao hoán

Trong đó g’ là R-đồng cấu g’ : R  j j J

  là mở rộng của f’, tức f’ = g’ o j

Bây giờ đặt g = j’ o g’, ta suy ra g o j = j’ o g’ o j = j’ o f’ = f Điều này chứng tỏ g là một mở rộng của f

(iii)  (i) Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử R không là vành Noether, suy ra tồn tại dãy tăng không dừng các iđêan a1  a2  … a n  …

 i i a a cũng là một iđêan của R và với mỗi a  a đều tồn tại số tự nhiên n a , sao cho a a i với i  n a Với i = 1, 2,… lấy c i  a, c i  a i Trong môđun xyclic (c i R + a i ) / a i có môđun cực đại N i / a i nên

-14- là một R-môđun đơn Đặt v i : ((c i R + a i )) / a i  E i là toàn cấu tự nhiên Gọi

I(E i ) là bao nội xạ của E i (E i  I(E i )) Đặt t i : E i  I(E i ) và t i ’ : (c i R + a i ) / a i  a / a i là các phép nhúng chính tắc Khi đó do I(E i ) là nội xạ ta có biểu đồ sau giao hoán

Trong đó  i là R-đồng cấu  i : a / a i  I(E i ) là mở rộng của t i o v i , tức t i o v i =  i o t‘ i với i = 1, 2, Chúng ta định nghĩa

 a a Ở đây thành phần thứ i của (a) là phần tử  i (a + a i ) Vì a  a i với i  n a ,

(a) nằm trong tổng trực tiếp (Nếu xem  

  nhƣ một tổng trực tiếp ngoài, chúng ta sẽ đặt (a) = ( i (a + a i )) Theo giả thiết  

  là nội xạ, ta có biểu đồ sau giao hoán t i ’ v i t i

Đặt b i là thành phần thứ i của (1) trong  I E   i, tồn tại số tự nhiên n sao cho b i = 0 với i ≥ n Vì (a) = (a) = (1)a với mọi a ∈ a, nên có  i (a + a i ) = b i a Do đó,  i (a + a i ) = 0 với i ≥ n và mọi a ∈ a Tuy nhiên,  n (c n + a n ) ≠ 0 theo định nghĩa của  i, dẫn đến mâu thuẫn Vậy điều (i) được chứng minh.

Địa phương hóa của môđun Noether

Địa phương hóa là một khái niệm trong lý thuyết môđun, với M là một R-môđun và S là một tập đóng nhân của R Trong tập tích Descartes M  S, ta xác định quan hệ P giữa các phần tử (x, a) và (y, b) nếu tồn tại s thuộc S sao cho s(bx - ay) = 0 Quan hệ P được kiểm tra là một quan hệ tương đương trong M  S, và tập các lớp tương đương được ký hiệu là S⁻¹M, trong đó mỗi lớp tương đương có đại diện (x, a) được ký hiệu là x a Đặc biệt, khi M = R, ta có tập S⁻¹R Phép toán cộng trong S⁻¹M được xác định bởi x a + y b = bx + ay ab với mọi x a, y b.

 S 1 M Ta có S 1 R là một vành Thật vậy, với phép cộng nhƣ trên thì S 1 R là một nhóm Abel Còn phép nhân trên S 1 R là x a y b = xy ab với mọi x a , y b 

Môđun S 1 M được hình thành từ S 1 R, với phép nhân ngoài được định nghĩa là a b x c = ax bc cho mọi a b thuộc S 1 R và mọi x c thuộc S 1 M, được gọi là môđun địa phương hóa của môđun M bởi S Đồng thời, S 1 M cũng có thể được xem như một R-môđun, với phép nhân ngoài là a x b = ax b cho mọi a thuộc R và mọi x b thuộc S 1 M.

Cho một R-đồng cấu h : M  S 1 cho bởi x h(x) = x

1 đƣợc gọi là đồng cấu tự nhiên Nếu M không có ƣớc của 0 thì h là một đơn cấu Trong trường hợp này người ta đồng nhất x  x

1, và có thể coi M nhƣ là một R-

-16- môđun con của R-môđun S 1 M (M  S 1 M) Nhớ lại rằng nếu N 1 là một môđun con của S 1 R-môđun S 1 M, thì h −1 (N 1) = N là một R-môđun con của

R-môđun M và N 1 = S 1 N Bây giờ nếu u : M  N là một đồng cấu R- môđun, thì quy tắc S 1 u : S 1 M  S 1 N xác định bởi m s u(m) s sẽ là một đồng cấu S 1 R-môđun

Nếu p là một iđêan nguyên tố của R thì S = R \ p là vị nhóm con nhân của

R Kí hiệu M p : = S 1 M và gọi là địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố p

Mệnh đề sau nói lên tính Noether của một môđun đƣợc bảo toàn qua địa phương hóa

1.2.2 Mệnh đề Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R thì S 1 M là một S 1 R-môđun Noether

Giả sử N₁ là một môđun con của S⁻¹M, tồn tại môđun con N của M sao cho N₁ = S⁻¹N Vì M là môđun Noether, N hữu hạn sinh theo Định lý 1.1.2 Giả sử x₁, x₂,…, xₘ là một hệ sinh của N, ta có thể thấy x₁.

1 là một hệ sinh của S 1 N Nhƣ vậy N 1 = S 1 N là một môđun hữu hạn sinh trên S 1 R Vậy S 1 M là một S 1 R-môđun Noether 

Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau

1.2.3 Hệ quả Nếu R là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của R thì S 1 R là cũng là một vành Noether

Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau

1.2.4 Hệ quả Nếu R là một vành Noether và p là một iđêan nguyên tố thì

R p cũng là một vành Noether.

Một số tính chất của iđêan trong vành Noether

Theo Hệ quả 1.1.3, vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh Định lý sau đây là một tiêu chuẩn mạnh hơn

1.3.1 Định lý (Định lý I S Cohen) Vành R là một vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên tố của R là hữu hạn sinh.

Chứng minh () Hiển nhiên do Hệ quả 1.1.3

() Bằng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại, R không là vành

Noether Gọi  là tập tất cả các iđêan không hữu hạn sinh của R Khi đó  

 và mỗi dây chuyền iđêan {a i } iI của  đều bị chặn trên bởi i

Theo Bổ đề Zorn, tồn tại phần tử cực đại p trong tập hợp , và chúng ta sẽ chứng minh rằng p là iđêan nguyên tố Nếu p không phải là nguyên tố, sẽ có các phần tử x không thuộc p và y không thuộc p nhưng tích xy lại thuộc p Điều này dẫn đến việc iđêan p + Rx chứa p, do đó không thuộc , và do vậy là hữu hạn sinh Chúng ta có thể biểu diễn p + Rx dưới dạng (a₁ + t₁x, a₂ + t₂x, …, aₙ + tₙx), với aᵢ thuộc p và tᵢ thuộc R.

= (p : Rx), ta có a  p + Ry  p nên a không thuộc , do đó a là hữu hạn sinh, đặt a = (b 1 , b 2, , b m ), (b j  a) Khi đó, p = (a 1, a 2, , a n , b 1 x, b 2 x, , b m x)

Thật vậy, nếu u  p thì u  p + Rx Nên

Suy ra p là hữu hạn sinh, trái giả thiết vì p   Vậy p là iđêan nguyên tố

Vì tồn tại p là ý tưởng nguyên tố không hữu hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Do đó, giả thiết này là sai, dẫn đến kết luận rằng R là vành Noether.

1.3.2 Định lý Cho a là một iđêan của vành Noether R và đặt b =

Nếu a là một phần tử trong R, thì định lý này hiển nhiên đúng Giả sử a là một lý thuyết thực sự của R Từ việc ab nằm trong b và b nằm trong a, ta có thể dễ dàng thấy rằng ab cũng là một lý thuyết thực sự.

R Do đó ab có sự phân tích nguyên sơ (theo Hệ quả 2.1.22) Đặt ab = q1 … q n là một phân tích nguyên sơ tối tiểu của ab, trong đó q i = p i với i = 1,…, n

Khi b là tập con của ab và b là tập con của q_i với mọi i từ 1 đến n, giả sử tồn tại một số tự nhiên i trong khoảng từ 1 đến n sao cho b không thuộc q_i, thì sẽ tồn tại a thuộc b mà không thuộc q_i Do a là phần tử của ab và q_i là p_i-nguyên sơ, nên a không thuộc q_i nhưng lại là phần tử của p_i Tuy nhiên, vì p_i bằng q_i, nên có một số tự nhiên t sao cho p_t_i là tập con của q_i, theo Mệnh đề 2.1.9.

    b a n a t n p t i q i dẫn đến mâu thuẫn Do đó b  q i với mọi i = 1,…, n, và suy ra b  ab 

Ký hiệu J(R) là căn Jacobson của vành R, tức là, J(R) là giao của tất cả các iđêan cực đại của vành R Từ định lý trên ta có hệ quả sau

1.3.3 Hệ quả (Định lý giao Krull) Cho a là iđêan của vành Noether R sao cho a  J(R) Khi đó

Theo Định lý 1.3.2, ta có b = ab Vì R là vành Noether và b là iđêan hữu hạn sinh của R, nên a là hữu hạn sinh R-môđun Do đó, theo Bổ đề Nakayama, b = 0.

Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau

1.3.4 Hệ quả Giả sử R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất m Khi đó

Tính Noether của vành đa thức

Định lý này chứng minh rằng lớp vành Noether bao hàm tất cả các lớp vành quen thuộc trong hình học, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nghiên cứu cấu trúc của vành và môđun Noether.

1.4.1 Định lý (Định lý cơ sở Hilbert) Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[x] cũng là vành Noether

Chứng minh Để chứng minh R[x] là vành Noether ta sẽ chứng minh rằng mọi iđêan của R[x] là hữu hạn sinh Thật vậy, cho a là một iđêan khác 0 tùy ý của

R[x] Xét tập hợp con của R a 0 = {a R |  f  a : f = ax m + a 1 x m1 + …+a m }

Tập hợp a0 là tập hợp các hệ số cao nhất của các đa thức thuộc a, và a0 là một iđêan của R Vì R là vành Noether, a0 là hữu hạn sinh Giả sử a0 = (a1, …, an) với ai ∈ R, tồn tại các đa thức fi(x) ∈ a có hệ số cao nhất là ai Đặt deg(fi(x)) = ri và r = max{r1,…, rn} Bằng cách nhân thêm x^(r-ri) vào fi(x), ta có thể giả thiết rằng r = r1 = … = rn mà không làm mất tính tổng quát Cuối cùng, đặt b = (f1(x),…, fn(x))R[x] là iđêan chứa trong.

M = R + xR + … + x^rR được xem như một R-môđun, trong đó M chứa tất cả các đa thức f(x) thuộc R[x] với bậc deg f(x) ≤ r Hệ sinh hữu hạn của M trên R là {1, x, …, x^r}.

Noether, nên theo Hệ quả 1.1.3, M là R-môđun Noether Suy ra R-môđun con

N của M là hữu hạn sinh Bây giờ, nếu ta chỉ ra đƣợc a = b + N thì rõ ràng a là hữu hạn sinh và Định lý đƣợc chứng minh Thật vậy, cho g(x)

 a, degg(x) = m là một đa thức tùy ý với khai triển g(x) = ax m + b 1 x m-1 + + b m , 0 ≠ a  a

Nếu m  r thì f(x)  N Trái lại, giả sử m > r Vì a  a 0 , nên tồn tại những phần tử u i  R, i = 1, …, n sao cho ta có khai triển a = i n  1 u a i i

G 1(x) = g(x) − sẽ có degG 1(x)  m  1 hoặc G 1(x) = 0 Để ý rằng cùng với P 1(x) =

 n i  f x u x i i m r  b thì G 1 (x)  a Vậy ta có g(x) = P 1(x) + G 1(x), P 1(x)  b, degG 1(x)  m  1

Nếu vẫn còn degG 1(x) > r, thì bằng phương pháp như vừa thực hiện (thay vì g(x) ta xét G 1(x)) ta sẽ tìm đƣợc các đa thức G 2(x)  a với degG 2(x)  m  2 và P 2 (x)  b sao cho

Nếu degG 2(x)  r thì quá trình trên đƣợc dừng lại, bằng không nhiều nhất là sau m  r bước ta sẽ tìm được các đa thức G(x) a có degG(x)  r và P(x)  b sao cho g(x) = P(x) + G(x)  b + N

Từ đây suy ra a  b + N Bao hàm thức ngƣợc lại là hiển nhiên và Định lý đƣợc chứng minh 

Từ định lý trên ta có ngay các hệ quả sau

1.4.2 Hệ quả Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức n biến R[x 1 , x 2 ,…, x n ] cũng là vành Noether

1.4.3 Hệ quả Nếu K là trường thì vành đa thức n biến K[x 1 , x 2, …, x n ] là một vành Noether

1.4.4 Hệ quả Nếu R là một vành Noether thì mọi iđêan của vành đa thức n biến R[x 1, x 2,…, x n ] đều hữu hạn sinh

Trong trường K, vành đa thức K[x1, x2,…, xn] là một vành Noether, và mỗi đa tạp đại số afin trong K^n tương ứng với tập các không điểm của một iđêan a trong K[x1, x2,…, xn] Theo Hệ quả 1.4.4, iđêan a là hữu hạn sinh, giả sử a = (f1, f2, …, ft), thì đa tạp đại số  được xác định là giao của các siêu mặt f1 = 0, f2 = 0, …, ft = 0.

Mỗi đa tạp đại số afin có thể được xem như là giao của một số hữu hạn siêu mặt, điều này thể hiện ý nghĩa hình học của Định lý cơ sở Hilbert.

1.4.6 Định lý Nếu R là một vành Noether thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức R[[x]] cũng là vành Noether

Để chứng minh rằng R[[x]] là vành Noether, chúng ta cần chỉ ra rằng mọi iđêan nguyên tố trong R[[x]] đều là hữu hạn sinh Giả sử p là một iđêan nguyên tố của R[[x]].

  r 0 là một toàn cấu vành, do đó h(p) là một iđêan của R Vì R là vành Noether nên h(p) là hữu hạn sinh, sinh bởi a 0 (1) , , a 0

(t) Với mỗi i = 1, , t, đều tồn tại f (i) = a 0

(i) x +… a n (i) x n + … p có hệ số thứ 0 là a 0

(i) Chúng ta chia 2 trường hợp là x  p hoặc x  p Giả sử x  p Khi đó, với mỗi i = 1, , t,

  Do đó p là iđêan hữu hạn sinh

Giả sử x  p Khi đó ta có p = ( )

 có hệ số thứ 0 của nó bằng 0 và có 0 ( ) ( )

Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp qui nạp mệnh đề sau: Với mọi v  luôn tồn tại b 0 (1) , b 0 ( ) t ,b 1 (1) , b 1 ( ) t , ,b v (1)  1 , ,b v ( ) t  1 R Sao cho

Để chứng minh mệnh đề cho mọi số nguyên không âm v, chúng ta bắt đầu với trường hợp v = 1, điều này hiển nhiên đúng Giả sử mệnh đề đúng với v, chúng ta sẽ chứng minh cho v + 1 Xét p là một iđêan nguyên tố, do vế trái của phương trình thuộc p, nên x^v g_v thuộc p và x không thuộc p, dẫn đến g_v thuộc p Như vậy, theo chứng minh trước đó, tồn tại g_v thỏa mãn điều kiện.

, , t v v b b R sao cho g v  t i  1 b f v ( ) i ( ) i = xg v+1 với g v+1  R[[x]] nào đó

   = x v+1 g v+1 Vậy mệnh đề đúng với v + 1 Điều này hoàn thành chứng minh qui nạp Đối với mỗi i = 1, , t, đặt e (i) = 0 ( ) j i j [[ ]]. j b x R x

1 t i i f  i  e f vì với mỗi v  , chúng ta có f  ( ) ( )

   x v R[[x]] và dễ dàng thấy rằng v [[ ]] 0. v x R x

 Do đó trong trường hợp này p ( )

  là iđêan hữu hạn sinh

Vậy trong mọi trường hợp mỗi iđêan nguyên tố của R[[x]] đều là một iđêan hữu hạn sinh Do đó (theo Định lý 1.3.1) R[[x]] là vành Noether 

Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau g v

1.4.7 Hệ quả Nếu R là một vành Noether thì vành các chuỗi lũy thừa hình thức n biến R[[x 1 , x 2,…, x n ]] cũng là vành Noether.

Mối liên hệ giữa tính Noether, Artin của vành và môđun

Vành Artin là lớp vành đối ngẫu với lớp vành Noether, và trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa cùng một số tính chất cơ bản của môđun và vành Artin Chúng tôi cũng sẽ thảo luận về độ dài hữu hạn của môđun, từ đó làm nổi bật mối liên hệ giữa tính chất Noether và Artin của vành và môđun.

1.5.1 Độ dài của môđun Cho M là R-môđun và một dãy các môđun con của

(i) n đƣợc gọi là độ dài của dãy (*)

(ii) Dãy (*) đƣợc gọi là dãy hợp thành nếu M i1  M i , (1  i  n) và

M i1 / M i là môđun đơn (nghĩa là M i là môđun con cực đại của M i1 hay khụng tồn tại mụđun con K sao cho M i ỉ K ỉ M i1 )

Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành dài n, thì mọi dãy hợp thành của M cũng sẽ có độ dài n Hơn nữa, các dãy tăng hoặc giảm thực sự của các môđun con trong M không vượt quá độ dài n của các dãy hợp thành và có thể được mở rộng thành dãy hợp thành.

M được xem là có độ dài hữu hạn khi M tồn tại một dãy hợp thành Độ dài của bất kỳ dãy hợp thành nào của M được gọi là độ dài của M, ký hiệu là l_R(M) (hoặc l(M) nếu vành R đã được xác định).

(v) Nếu M không có dãy hợp thành thì ký hiệu l R (M) = 

1.5.2 Định nghĩa (i) Cho R là một vành và M là một R-môđun M đƣợc gọi là một R-môđun Artin nếu mọi dãy giảm các R-môđun con của M :

-25- đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho M n = M k , n  k

(ii) Vành R đƣợc gọi là một vành Artin nếu R là một R-môđun Artin

1.5.3 Định lý Cho R là một vành và M là một R-môđun Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(ii) Mọi tập khác rỗng các R-môđun con của M đều có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm;

(iii) Với mỗi họ các môđun con {M i } i  I của M luôn tìm được tập con hữu hạn J của I sao cho i j i I j J

1.5.4 Ví dụ (i) Mỗi trường K là một vành Artin

(ii) Cho p là số nguyên tố Với m, n  * , n > m ta xem nhóm xyclic p m nhƣ là nhóm con của nhóm xyclic p n Đặt (p  ) 1 i

Trong bài viết này, chúng ta xem xét nhóm Abel (p ∞) được tạo ra từ phép cộng cảm sinh trong p n Với A là một nhóm con cấp vô hạn của (p ∞), ta nhận thấy rằng với mỗi số tự nhiên n, A \ p n không trống Điều này dẫn đến kết luận rằng p n thuộc A, tức là A = (p ∞) Do đó, mọi nhóm con của (p ∞) đều là nhóm hữu hạn, từ đó suy ra rằng (p ∞) là một -môđun Artin.

(iii) Vành số nguyên không phải là vành Artin vì tồn tại dãy giảm các iđêan sau không dừng

1.5.5 Mệnh đề Cho K là một trường và V là một không gian véctơ trên K

Khi đó các điều kiện sau tương đương:

(i) V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên K;

(ii) V là một K-môđun Noether;

(iii) V là một K-môđun Artin

Mệnh đề 1.5.6 nêu rằng, cho M là R-môđun trên vành R, nếu M bị triệt tiêu bởi tích của hữu hạn các iđêan cực đại của R, thì tồn tại các iđêan cực đại m1, m2, , mn của R sao cho tích m1 m2 mn M = 0.

Khi đó M là R-môđun Noether khi và chỉ khi M là R-môđun Artin

Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n

Khi n = 1, ta có m1M = 0, suy ra m1 thuộc Ann(M), cho thấy M là một R/m1-môđun Đồng thời, vì m1 là một iđêan cực đại, R/m1 trở thành một trường Do đó, M được xác định là một không gian vectơ trên trường R/m1.

 M là một R / m1-môđun Artin (theo Mệnh đề 1.5.5)

Khi n  1 Chúng ta giả sử Mệnh đề đúng với số nguyên n và chứng minh Mệnh đề đúng với số nguyên n +1 Thật vậy, xét dãy khớp ngắn

Ta có m n+1 (M / m n+1 M) = 0 Khi đó, theo chứng minh trên

M / m n+1 M là R-môđun Noether  M / m n+1 M là R-môđun Artin

Ta cũng có m 1 m 2 m n (m n+1 M) = 0 Khi đó, theo giả thiết quy nạp m n+1 M là R-môđun Noether  m n+1 M là R-môđun Artin

Do (*) là dãy khớp ngắn Khi đó:

 m n+1 M và M / m n+1 M là R-môđun Noether (theo Hệ quả 1.1.8)

Các bước của chứng minh quy nạp hoàn tất Ta có M là R-môđun Noether khi và chỉ khi M là R-môđun Artin 

1.5.7 Định lý Cho M là một R-môđun Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là R-môđun Noether vừa là R-môđun Artin

M có độ dài hữu hạn, do đó mọi dãy tăng hoặc giảm thực sự trong M đều có độ dài hữu hạn Điều này dẫn đến việc mọi dãy vô hạn tăng hoặc giảm đều phải dừng lại Từ đó, có thể kết luận rằng M vừa là R-môđun Noether vừa là R-môđun Artin.

Giả sử M là R-môđun Noether và R-môđun Artin Nếu M là môđun không, độ dài của M sẽ bằng 0 Ngược lại, nếu M khác môđun không, do tính chất Noether của M, sẽ tồn tại một môđun con cực đại M1 của M, và tiếp theo, sẽ có một môđun con cực đại M2 của M1 Kết quả là ta có một dãy thực sự giảm các môđun con của M.

Nhƣng do M là Artin nên dãy không thể vô hạn Kết quả thu đƣợc một dãy có độ dài hữu hạn các môđun con của M

M = M₀ ⊇ M₁ ⊇ ⊇ Mₙ = 0, trong đó Mᵢ là một môđun con cực đại của Mᵢ₋₁ với 1 ≤ i ≤ n Cần lưu ý rằng Mᵢ là môđun con cực đại của Mᵢ₋₁ khi và chỉ khi Mᵢ₋₁ / Mᵢ là một môđun đơn Do đó, dãy (*) là một dãy hợp thành, cho thấy M có độ dài hữu hạn.

1.5.8 Định lý R là vành Artin khi và chỉ khi R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan cực đại

Chứng minh () Cho R là vành Artin nên R là R-môđun có độ dài hữu hạn

Theo Mệnh đề 2.12 và Mệnh đề 1.6 trong tài liệu [3], mọi iđêan nguyên tố của vành R đều là iđêan cực đại Do đó, R được xác định là vành Noether theo Định lý 1.5.7.

Cho R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan cực đại Để chứng minh R là R-môđun có độ dài hữu hạn, ta xây dựng dãy các môđun con của R, bắt đầu với M0 = 0, với điều kiện R ≠ 0.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự tồn tại của lý thuyết nguyên tố p1 = Ann(x1) với x1 ∈ R, và đặt M1 = Rx1 Ta có toàn cấu h1: R → M1 với Ker(h1) = p1 Theo định lý đồng cấu môđun, h1 tạo ra một R-đẳng cấu từ R/p1 vào M1, dẫn đến M1 ≈ R/p1 Nếu M1 khác R, chúng ta có thể tìm p2 = Ann(x2) với x2 = x2 + M1 ∈ R/M1, và xác định M2 = M1 + Rx2.

M 2 / M 1 = Rx 2  R / p2 Do R là vành Noether nên quá trình trên sẽ dừng, và do đó ta xây dựng đƣợc dãy tăng hữu hạn các môđun con của R

Trong bài viết này, chúng ta xem xét một dãy hợp thành M 0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ … ⊆ M n−1 ⊆ M n = R, với điều kiện M i / M i−1 ≅ R / p i, trong đó p i là các iđêan nguyên tố với i = 1,…, n Nếu p i là các iđêan cực đại, thì R / p i trở thành các trường, dẫn đến M i / M i−1 là các môđun đơn Do đó, R là một R-môđun có độ dài hữu hạn, từ đó suy ra R là vành Artin.

Từ định lý trên, ta có thể kết luận rằng mọi vành Artin đều thuộc lớp vành Noether, cho thấy mối quan hệ bao hàm giữa hai lớp này là chặt chẽ Điều này được minh chứng bởi sự tồn tại của vành số nguyên, là một ví dụ điển hình của vành Noether nhưng không phải là vành Artin.

Lớp môđun Artin và lớp môđun Noether không có quan hệ bao hàm Có những môđun là Noether nhưng không phải là Artin Một ví dụ điển hình cho thấy có môđun là Artin nhưng lại không thuộc lớp Noether.

Cho p là số nguyên tố Với m, n  * , n > m ta xem nhóm xyclic p m nhƣ là nhóm con của nhóm xyclic p n Đặt (p  ) 1 i

Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 29

Iđêan nguyên tố liên kết

Để hiểu rõ các yếu tố bất biến trong phân tích nguyên sơ, cần nắm vững một lớp iđêan nguyên tố quan trọng được định nghĩa cụ thể.

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R đƣợc gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M, nếu tồn tại một phần tử x  M để p = 0 : R x = Ann R (x)

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M ký hiệu là Ass R (M), hoặc

Ass(M) nếu nhƣ không cần thiết nhắc đến R Nhƣ vậy

2.2.2 Nhận xét Phần tử x  M sao cho (0 : x) là một iđêan nguyên tố, thì x  0

2.2.3 Mệnh đề Iđêan nguyên tố p là một iđêan nguyên tố liên kết của một R- môđun M khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấu R-môđun từ R / p tới M

Chứng minh () Giả sử p = Ann(x) với x  M, khi đó đồng cấu h : R  M a ax có Ker h = p Vì vậy theo định lý đồng cấu môđun, h cảm sinh ra một R-đơn cấu từ R / p vào M

() Giả sử h : R / p  M là một đơn cấu Đặt x = h(1 + p)  M, khi đó p  Ann(x) Ngƣợc lại, với a Ann(x), thì ax = 0, do đó h(a + p) = 0 = h(p)

Bởi h là một đơn cấu nên a p, hay p  Ann(x) Vậy p = Ann(x)  Ass(M).

2.2.4 Nhận xét (i) Khi p = Ann(x) là một iđêan nguyên tố liên kết của M, thì

-40- với ký hiệu nhƣ trong chứng minh Mệnh đề 2.2.3, ta có Im h = Rx, do đó R / p

(ii) Iđêan nguyên tố p là một iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại một N là môđun con của M sao cho N  R / p

2.2.5 Hệ quả Nếu N là một môđun con của R-môđun M thì

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.2.1 

2.2.6 Mệnh đề Cho M là một R-môđun Khi đó:

(ii) Nếu M ≠ 0 và R là vành Noether thì Ass(M) ≠ 

(iii) Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành R thì Ass(R / p) = {p}

Do R là một vành Noether và  không rỗng, tồn tại một phần tử cực đại p trong Ann(x₀) thuộc , với p khác R Giả sử ab thuộc p nhưng a không thuộc p, ta có ax₀ khác 0 và b(ax₀) = abx₀ = 0 Điều này dẫn đến Ann(ax₀) thuộc  và b thuộc Ann(ax₀).

Ann(x 0) Do tính cực đại của p trong , ta đƣợc p = Ann(x 0 ) = Ann(ax 0 )  b

Vậy p là một iđêan nguyên tố liên kết Do đó p Ass(M)

(iii) Ánh xạ đồng nhất trên R / p là một đơn cấu nên p Ass(R / p), bởi

Giả sử q thuộc Ass R (R / p), thì q bằng Ann(a + p) với a thuộc R nhưng không thuộc p Rõ ràng rằng q chứa p, từ đó suy ra rằng s thuộc q và a không thuộc p khi và chỉ khi as thuộc p Vì p là nguyên tố nên s thuộc p, do đó kết luận rằng q bằng p.

2.2.7 Mệnh đề Cho M là một R-môđun Đặt

Z(M) = {a R \ x  M, x ≠ 0, ax = 0} là tập tất cả những ước của 0 trong M Khi đó

Hơn nữa, nếu R là một vành Noether thì bao hàm thức này trở thành đẳng thức

Chứng minh Rõ ràng là Z(M)  p Ta chỉ ra nếu R là vành Noether thì xảy ra bao hàm thức ngƣợc lại Thật vậy, nếu a  Z(M) thì tồn tại x  M, x ≠

0, để ax = 0 Bởi Rx ≠ 0 là một môđun trên vành Noether R nên theo Mệnh đề 2.2.6, tồn tại iđêan nguyên tố liên kết p = Ann(bx)  Ass(Rx)  Ass(M)

Khi abx = 0, điều này dẫn đến việc a thuộc về p, từ đó suy ra rằng a cũng thuộc về p Do đó, ta có Z(M) = p Định lý sau đây có thể được xem như một kết quả liên quan đến sự phân giải các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether.

2.2.8 Định lý Cho M là một môđun khác 0, hữu hạn sinh trên một vành

Noether R khi đó tồn tại một dãy các môđun con

0 = M 0  M 1  …  M n−1  M n = M và một họ các iđêan nguyên tố p 1 ,…, p n của R sao cho

Chứng minh Ta xây dựng dãy các môđun con của M như sau: trước hết lấy

M 0 = 0 và M ≠ 0 dẫn đến sự tồn tại của phần tử p 1 thuộc Ass(M) theo Mệnh đề 2.2.6 Chọn x 1 thuộc M với p 1 = Ann(x 1), ta định nghĩa M 1 = Rx 1 tương đương R / p 1 Nếu M 1 không bằng M, ta tiếp tục tìm x 2 = x 2 + M 1 thuộc M / M 1 sao cho Ann(x) = p 2 thuộc Ass(M / M 1).

-42- đó lấy M 2 = M 1 + Rx 2 , ta có M 2 / M 1 = Rx 2  R / p2 Quá trình trên sẽ dừng, do M là môđun Noether, và do đó ta xây dựng đƣợc dãy các môđun con của

0 = M 0  M 1  …  M n−1  M n = M thỏa mãn M i / M i−1  R / p i với p i  SpecR, i = 1,…, n Nhớ lại rằng với mỗi j =1, …, n, ta có

Ass(M j )  Ass(M j−1 ) Ass(M j / M j−1 ) = Ass(M j−1 ) Ass(R / p j )

Từ đó suy ra Ass(M)  {p1, …, p n }

Kết quả dưới đây cho thấy mối liên hệ giữa các ý tưởng nguyên tố liên kết và các ý tưởng nguyên tố xuất hiện trong phân tích nguyên sơ của mô-đun con không.

2.2.9 Định lý Cho M là một R-môđun khác 0, hữu hạn sinh trên vành

Noether R Khi đó nếu 0 1 r i Q i là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0, với Q i là một môđun con p i -nguyên sơ (1  i  r) thì

Giả sử p là một iđêan nguyên tố liên kết bất kỳ của M Tồn tại phần tử khác không x không thuộc M sao cho p = Ann(x) Vì x khác 0, ta có thể đánh số lại nếu cần thiết để tìm được 1 ≤ j ≤ r sao cho x không thuộc tập hợp i từ 1 đến j của Q i và x thuộc

1 r i j   Q i Do R là vành Noether, từ p i = r M (Q i ) ta suy ra tồn tại n i  1 để p n i i M

1 j i p n i i  p Điều này dẫn đến tồn tại p i  p với một 1  i  j nào đó Bây giờ nếu p ≠ p i , thì tồn tại a  p \ p i Khi đó đồng cấu nhân bởi phần tử a cho M / Q i

 a : M / Q i  M / Q i không là đơn cấu, bởi ax = 0 mà x  Q i Nhƣng  a cũng không lũy linh, bởi a

 p i , mâu thuẫn Vậy p = p i  {p1, …, p r } và do đó

Tiếp tục ta cần chứng minh {p1, …, p r }  Ass(M) Chẳng hạn, ta sẽ chỉ ra p1

1 r i Q i là một phân tích thu gọn nên tồn tại x   r i  2 Q i  \

Q 1 Lại do Q 1 là môđun con p 1 -nguyên sơ, nên tồn tại số tự nhiên n để p 1 n x 

Q 1 và p n1 1 x  Q 1 Lấy y  p n1 1 x \ Q 1, ta sẽ chứng minh p 1 = Ann(y) Rõ ràng là p 1  Ann(y) Ngƣợc lại, với mỗi a  Ann(y) thì ay = 0  Q 1 Do y  Q 1 nên a r M (Q 1) = p1 Vậy Ann(y)  p1, và do đó p1 = Ann(y)  Ass(M)

Các iđêan nguyên tố tương ứng với phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M không phụ thuộc vào phân tích đó Để có những bất biến tương tự cho môđun con N bất kỳ của M, chỉ cần thay M bằng môđun thương M / N, như được trình bày trong định lý dưới đây.

2.2.10 Định lý - Định nghĩa (Định lý về tính duy nhất) Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R Giả sử môđun con N của M có phân tích nguyên sơ thu gọn N =

Q i , trong đó Q i là một môđun con p i -nguyên sơ với i = 1,…, r Khi đó:

(i) Tập hợp {p1, p2,…, p r } chỉ phụ thuộc vào N mà không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ thu gọn của N Hơn nữa,

Ass(M / N) = {p1, p2,…, p r } và được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên kết với N

(ii) Trong sự phân tích nguyên sơ thu gọn trên, nếu iđêan nguyên tố p i là cực tiểu theo quan hệ bao hàm trong Ass(M / N) thì p i được gọi là iđêan

Nguyên tố cô lập của N, ký hiệu là p i, được xác định duy nhất bởi N và có mặt trong mọi phân tích nguyên sơ của N Thành phần cô lập tương ứng với p i được gọi là Q i Ngược lại, nếu iđêan nguyên tố p i không cực tiểu trong Ass(M / N), thì nó được xem là iđêan nguyên tố nhúng của N, với thành phần nhúng tương ứng là Q i.

Chứng minh rằng từ N có phân tích nguyên sơ thu gọn N = ∑ (Q_i), suy ra trong R-môđun M/N, môđun con 0 có phân tích nguyên sơ thu gọn là ∑ (Q_i/N) với Q_i/N là p_i-nguyên sơ Theo Định lý 2.2.9, điều này được khẳng định.

Ass(M / N) = {p1, p2,…, p r } và nhận đƣợc chứng minh

Giả sử p1 là cực tiểu, với mỗi j từ 2 đến r, tồn tại a j thuộc p j nhưng không thuộc p1 Gọi a = a 2 …a r là tích của các phần tử đó, ta có a không thuộc p1, nhưng với mỗi j từ 2 đến r, a lại thuộc p j Do đó, tồn tại số nguyên dương n j sao cho a n j.

M  Q j Do n = max{n 2, n 3,…,n r } suy ra a n M  Q j với mọi j = 2, …, r Đặt

Chúng ta sẽ chứng minh Q 1 = N 1 nên Q 1 xác định duy nhất bởi N Giả sử x 

Q 1 Khi đó a n x  Q 1 Q r = N, do đó x  N 1 Vậy Q 1  N 1 Đảo lại, giả sử x  N 1 Khi đó a n x  N và hiển nhiên a n x  Q 1 Vì a  p1 nên

 a : M / Q 1  M / Q 1 là một đơn cấu do đó  a n cũng là một đơn cấu Suy ra x  Q 1 Vậy N 1  Q 1

Do đó Q 1 = N 1 Định lý đƣợc chứng minh 

2.2.11 Ví dụ (i) Xét vành số nguyên Cho iđêan a = 588 Ta có a = 588

= 2 2 7 2 3 Đặt q1 = 2 2 , q2 = 7 2 , q3 = 3 Chúng ta có q 1 = 2 = p1; q 2 = 7 p 2 ; q 3 = 3 = p 3 nên q i là iđêan p i -nguyên sơ với i =1, 2, 3 Khi đó a = q 1 q 2 q 3 (1) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của a và hơn nữa

Do p 1 , p 2 , p 3 là các iđêan nguyên tố cô lập trong AssR ( / a) nên q 1 , q 2 , q 3 là các thành phần cô lập của a Do đó sự phân tích (1) là duy nhất

(ii) Xét vành đa thức 3 biến trên trường K là R = K[x 1 , x 2 , x 3 ] Cho iđêan a = (x 1 2 , x 2

= (x 1, x 2, x 3) = p2 nên q i là iđêan p i -nguyên sơ với i = 1, 2 Khi đó a = q 1 q 2 là một phân tích nguyên sơ thu gọn của a và hơn nữa

Do p1 là iđêan nguyên tố cô lập trong Ass(R / a) và q1 là thành phần cô lập của a, nên q1 có mặt trong tất cả các sự phân tích nguyên sơ thu gọn của a Khi xem xét một phân tích nguyên sơ thu gọn khác của a, ta có a = (x1^2).

2, x 1 x 2 x 3) Khi đó, q 2 ' = (x 1, x 2, x 3) = p 2 nên q 2 ’cũng là một iđêan p 2- nguyên sơ Vậy

-46- a = q 1 q 2 ’ là một phân tích nguyên sơ thu gọn của a mà q2  q2’

2.2.12 Hệ quả Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và Q là một R-môđun con của M Khi đó Q là một môđun con p-nguyên sơ khi và chỉ khi Ass(M / Q) = {p}

Chứng minh () Nếu Q là một môđun con p-nguyên sơ của M thì bản thân

Q chính là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của nó, do đó theo Định lý

Nếu Ass(M / Q) = {p}, theo Định lý 2.2.10, Q có phân tích nguyên sơ thu gọn chỉ với một thành phần, và thành phần này là p-nguyên sơ Do đó, Q được xác định là một môđun con p-nguyên sơ.

2.2.13 Mệnh đề Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R Khi đó p = Ann(M).

Chứng minh Ta xét trường hợp M ≠ 0 Khi đó môđun con 0 của M có một phân tích nguyên sơ thu gọn 0 =

Q i , với Q i là các môđun con p i - nguyên sơ, và Ass(M) = {p 1 , p 2 , , p r } Nếu a  AnnM thì tồn tại n để a n M = 0  Q i với mọi i = 1, 2, …, r Từ đó suy ra a  r M (Q i ) với mọi i = 1, 2, …, r, hay a 

Khi đó với mỗi i tồn tại số nguyên dương n i để a M n i  Q i Chọn n = max{n 1 , n 2, …, n r }, suy ra a n M 

Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau pAss(M)

2.2.14 Hệ quả Nếu R là một vành Noether thì

Trong vành R, cho M là một R-môđun, tập hợp Ass(M) liên hệ gần gũi với các tập hợp Supp(M) và V(AnnM) đƣợc định nghĩa nhƣ sau

2.2.15 Định nghĩa (i) Cho M là một R-môđun, thì tập hợp

{p Spec R | M p ≠ 0} đƣợc gọi là giá của môđun M, và ký hiệu là Supp R M, hoặc SuppM nếu không nhất thiết nhấn mạnh vào R

(ii) Cho a là một iđêan của vành R, thì tập

{p  Spec R | p  a} là tập các iđêan nguyên tố chứa a và ký hiệu làV(a)

Các mệnh đề và định lý sau đây nhằm mô tả mối quan hệ của các tập hợp Ass(M), Supp(M) và V(AnnM)

2.2.16 Mệnh đề Cho M là một R-môđun Khi đó

Chứng minh Lấy p bất kỳ thuộc Ass(M), khi đó tồn tại x  M để p =

Ann(x) Bây giờ nếu M p = 0 thì x