Sự phân tích nguyên tố của môđun con căn và chiều đều của môđun

Kiến thức chuẩn bị 5

Tổng trực tiếp 5

Định nghĩa 1.1.1 Cho Rmôđun M và họ các môđun con   A i i I  của M

   F là tập con hữu hạn của I, a i A i , i F}.

  là R môđun con của M và được gọi là tổng của các môđun con i

A Định nghĩa 1.1.2 Cho Rmôđun M và họ các môđun con   A i i I  của M

  được gọi là tổng trực tiếp trong của các môđun con A i Kí hiệu i i I A

Mệnh đề 1.1.3 Cho Rmôđun M và họ các môđun con   A i i I  của M Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(ii) Giả sử x là phần tử bất kỳ của i i I

  Khi đó x có sự biểu diễn duy nhất i , i F x a

 trong đó F là tập con hữu hạn của I , a i A i , i F;

 có sự biểu diễn duy nhất 0 = 0 + 0 + … + 0

(không có phần tử nào khác 0)

Chứng minh (i)(ii): Gọi x là phần tử bất kỳ thuộc i i I

  Giả sử có hai sự biểu diễn i i F x a

 trong đó F K, là các tập con hữu hạn của ;I a i A b i , j A j , i F j, K. Bằng cách bổ sung phần tử 0, ta có hai biểu diễn

Giả sử tồn tại phần tử k   1, , n  sao cho a k b k Khi đó

0a k  b k a b   a k  b k   a k  b k    a n b n đẳng thức trên mâu thuẫn với (i) Vậy a k b k ; k 1,2, , n

(iii)(i): Giả sử tồn tại kI mà

   Khi đó tồn tại phần tử khác không a k A k và

1 1 1 k k k n a   a a  a   a (n¥  ). từ đẳng thức trên, ta có

1 k 1 k k 1 n 0, a  a   a a   a  trong đó a k 0 điều này mâu thuẫn với (iii) W Định nghĩa 1.1.4 Cho họ bất kì các Rmôđun   M i i I  Kí hiệu:

 trang bị hai phép toán:

 là một Rmôđun và được gọi là tổng trực tiếp (ngoài) của các môđun M i i , I.

Mệnh đề 1.1.5 Cho họ bất kì các R-môđun   M i i I  Đặt i i I

  và với mỗi i I , ta kí hiệu A i  0, , , ,0 |a i  a i M i  Khi đó:

(i) A i là mô đun con của M và A i M i , i I;

(ii) Tồn tại tổng trực tiếp trong i i I A

Môđun con cốt yếu và môđun đều 8

Định nghĩa 1.2.1 Cho Rmôđun M và A là môđun con của M Khi đó

Môđun A được xem là môđun con cốt yếu (essential submodule) của M nếu mọi môđun con khác không phải là X của M đều có giao với M khác không, tức là X ∩ M ≠ 0 Ký hiệu A ⊆* M Định nghĩa 1.2.2: Đối với R-môđun U, U được gọi là môđun đều.

(uniform module) nếu với mọi môđun con khác không A và B của U ta có

(i) Giả sử A là môđun con của M Khi đó A   M khi và chỉ khi với mọi phần tử khác không x của M ta có , ARx0.

A  B C M Khi đó A  C khi và chỉ khi A  B và

(iv) Giả sử f M: N là đồng cấu R-môđun và B  N Khi đó ta có

(vii) Giả sử A m M Khi đó tồn tại A m M sao cho tồn tại AB và

Chứng minh Chúng tôi sẽ chứng minh một số khẳng định trong Mệnh đề

Giả sử X là môđun con khác 0 của M Khi đó, tồn tại phần tử x không thuộc X, dẫn đến A∩Rx khác 0 và Rx thuộc X, do đó A∩X khác 0 Để chứng minh điều này, ta sử dụng phương pháp quy nạp, chỉ cần xem xét trường hợp n=2 Giả sử A1 thuộc A* B1 và A2 thuộc A* B2, ta cần chứng minh điều này.

Giả sử X là môđun con khác 0 của B 1 B 2 Khi đó 0 1 m

  mà A 1   B 1 , nên ta có 0 X A 1 ặt Y  X A 1 , ta có 0 2 m

Do A 2 và B 2 không giao nhau, ta có 0 Y A 2 Từ đó, khi X giao với (A 1 giao A 2) không rỗng, suy ra A 1 giao A 2 là tập con của B 1 giao B 2 Để chứng minh trường hợp I là tập hữu hạn, giả sử I có n phần tử, ta áp dụng phương pháp quy nạp và chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2 Giả sử A 1 là tập con của M 1, A 2 là tập con của M 2 và tồn tại A 1 hợp A 2.

Theo (iii), ta có A 1 A 2   M 1 M 2 Do A 1 A 2 0, nên ta có

0  M M , ta suy ra M 1 M 2 0 Từ đây ta suy ra tồn tại M 1 M 2 Xét các đồng cấu chiếu

Khi đó do A 1   M 1 nên sử dụng (iv), ta có f 1  1   A 1   M 1M 2, ta suy ra

A M   M M Tương tự ta có M 1 A 2   M 1 M 2 Từ đây kết hợp với (iii), ta được

Bây giờ ta giả sử I là tập vô hạn bất kỳ Lấy phần tử tùy ý i i I x M

1 2 , i i i k xx x  x trong đó , 1, , ; j j i i x M  j k k¥  ta suy ra

1 i i k xM  M dẫn tới sự biểu diễn của x là duy nhất từ đó tồn tại i i I M

 Tiếp theo ta giả sử X là môđun con khác 0 của i i I M

 Khi đó tồn tại phần tử khác không xX và x có sự biểu diễn duy nhất

1 2 , t t t m xx x  x trong đó , 1, , ; j j t t x M  j m m¥  ta suy ra

Khi S không rỗng và chứa 0, ta xét quan hệ thứ tự “” trên S Dễ dàng kiểm tra rằng S thỏa mãn điều kiện của Bổ đề Zorn, do đó S có phần tử tối đại B thuộc S với B giao A bằng tập rỗng Từ đó, tồn tại A hợp B.

AB không phải là môđun con cốt yếu trong M Khi đó tồn tại môđun con

D khác 0 của M sao cho D   A  B   0 điều này dẫn tới tồn tại BD

(vì B D 0) và A   B  D   0, ta suy ra B B D B,  B D và

A BD  điều này mâu thuẫn với tính tối đại của B trong S Vậy

Môđun con nguyên tố và môđun con căn 11

Định nghĩa 1.3.1 Một môđun con K của Rmôđun M được gọi là nguyên tố (prime) nếu K M và với bất kì phần tử rR, với mọi môđun con L của

M sao cho rLK thì rM K hoặc LK.

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử K là môđun con nguyên tố của Rmôđun M Đặt:

Khi đó P là iđêan nguyên tố của vành R, ta gọi K là môđun con Pnguyên tố của M

Chứng minh Do 0P nên ta có P  Giả sử a, b là các phần tử bất kỳ của

P và r là phần tử tùy ý của R Khi đó aM K và bM K, ta suy ra

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện cần thiết để P trở thành một lý thuyết về vành R Đầu tiên, ta có (a b M ) K và (ra M) r aM( )rK K, từ đó suy ra a b P và raP Hơn nữa, với (ar)M a rM( )aM K, ta cũng có arP Cuối cùng, do K là môđun con nguyên tố của Rmôđun M, chúng ta kết luận rằng P là lý thuyết iđêan của vành R.

Giả sử K  M ta suy ra 1P hay P  R Xét a và b là các phần tử của R với abP, ta có (abM) = (a bM) ⊆ K Nếu b ∉ P, thì bM ⊆ /K vì K là môđun con nguyên tố của R-môđun M, dẫn đến aM ⊆ K và a ∈ P Do đó, P là iđêan nguyên tố của vành R Định nghĩa 1.3.3: Một môđun con N của R-môđun M được gọi là môđun con căn (radical submodule) nếu N là giao của các môđun con nguyên tố.

Sự phân tích nguyên tố của môđun 11

Định nghĩa 1.4.1 Cho N là môđun con của Rmôđun M Khi đó một sự phân tích:

N K K  K trong đó K i là các môđun con của Rmôđun M,  i 1,2, , ,n với n là một số nguyên dương, được gọi là không rút gọn được (irredundant) nếu

Môđun con N của R-môđun M được gọi là có sự phân tích nguyên tố nếu N là giao của một tập hợp hữu hạn các môđun con nguyên tố của M Nếu N có sự phân tích nguyên tố và tồn tại một số nguyên dương n cùng với các iđêan nguyên tố phân biệt P_i (1 ≤ i ≤ n) của R, thì N được gọi là có sự phân tích nguyên tố chuẩn tắc.

P i nguyên tố K i ,1 i n của M sao cho

N K K  K là một sự phân tích không rút gọn được

Giả sử R là một vành và N là một môđun con của R-môđun M với sự phân tích nguyên tố Khi đó, N có một sự phân tích nguyên tố chuẩn tắc Hơn nữa, nếu

N được xác định qua sự giao nhau của các môđun con P i với các iđêan nguyên tố P i, ký hiệu là N = K ∩ K ∩ ∩ K, và cũng được biểu diễn qua sự giao nhau của các môđun con Q j với các iđêan nguyên tố Q j, ký hiệu là N = L1 ∩ L2 ∩ ∩ Lm Trong đó, n và m là số lượng các môđun con tương ứng, với n = m.

 P i |1 i n  Q j |1 j m  Định nghĩa 1.4.5 Trong Mệnh đề 1.4.4, các iđêan nguyên tố P i , 1 i n được gọi là các iđêan nguyên tố liên kết (associated prime ideals) của N.

Mệnh đề 1.4.6 Giả sử G H là các môđun con của , Rmôđun M Đặt:

Khi đó  G H :  là một iđêan của R Hơn nữa  G H :    R H  G

Chứng minh Do 0   G H :  nên ta có  G H :    Giả sử a , b là các phần tử bất kỳ của ( : )G H và r là phần tử tùy ý của R Khi đó aH G và

, bH G ta suy ra (a b H ) G và (ra H) r aH( )rGG dẫn tới

( : ) a b  G H và ra( :G H) Mặt khác (ar H) a rH( )aH G, ta suy ra

( : ). ar G H Từ đó ( :G H) là iđêan của vành R Hiển nhiên

Giả sử R là một vành và N là một môđun con của R-môđun M với sự phân tích nguyên tố Khi đó, một iđêan nguyên tố P của R sẽ là một iđêan nguyên tố liên kết của N nếu và chỉ nếu điều kiện nhất định được thỏa mãn.

P N L với môđun con L nào đó của M

Môđun có chiều đều hữu hạn 13

Định nghĩa 1.5.1 Một Rmôđun M được gọi là có chiều đều hữu hạn

(finite uniform dimension) nếu M không chứa bất kỳ một tổng trực tiếp nào của một số vô hạn các môđun con khác không của M

Mệnh đề 1.5.2 chỉ ra rằng một Rmôđun M không có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên dương n và các môđun con độc lập U₁, U₂, , Uₙ của M, sao cho tổng hợp U₁ ⊕ U₂ ⊕ ⊕ Uₙ là một môđun con cốt yếu của M Hơn nữa, nếu có các môđun con độc lập V₁, V₂, , Vₘ của M với tổng hợp V₁ ⊕ V₂ ⊕ ⊕ Vₘ là cốt yếu trong M, thì n = m Định nghĩa 1.5.3 xác định số nguyên dương n là số chiều đều của môđun M, được ký hiệu là u(M).

Mệnh đề 1.5.4 Giả sử N là môđun con của Rmôđun M Xét tập:

Khi đó trong S sẽ có một phần tử cực đại, phần tử cực đại này được gọi là phần bù giao (complement) của N trong M

Một môđun con K của R-môđun M được xem là phần bù giao trong M nếu tồn tại một môđun con N của M, sao cho K là phần bù giao của N trong M.

Mệnh đề 1.5.6 [3, 1.10 and 5.10] Giả sử L và N là các môđun con của R môđun M với L N 0 Khi đó tồn tại một phần bù giao K của N sao cho

LK Hơn nữa, nếu M có chiều đều hữu hạn thì

Sự phân tích nguyên tố của môđun con căn và chiều đều của môđun 15

Iđêan liên kết của môđun đều 15

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử R là một vành và U là Rmôđun đều Đặt:

P r R rV  với môđun con khác không V của U }

Khi đó P là một iđêan của R

Chứng minh Vì 0P nên P  Với mọi ,a bP, với mọi rR ta có

Trong bài viết này, chúng ta xem xét định nghĩa về iđêan trong không gian vector Cụ thể, với các yếu tố aV và bV, từ điều kiện (a - b)V = 0 và (raV) = raV = 0, chúng ta suy ra rằng a - b thuộc P và ra thuộc P Hơn nữa, từ (arV) = a(rV) ⊆ aV = 0, ta có ar thuộc P Do đó, P được xác định là iđêan trong R Theo định nghĩa 2.1.2, iđêan P trong Mệnh đề 2.1.1 được gọi là iđêan liên kết.

(assassinator ideal) của môđun đều U

Mệnh đề 2.1.3 chỉ ra rằng, nếu P là iđêan liên kết của R-môđun đều U và PW = 0 với môđun con W khác không của U, thì P được coi là iđêan nguyên tố của R Theo định nghĩa 2.1.4, trong R-môđun M, môđun con N của M được gọi là không rút gọn được hay tố giản (irreducible) nếu môđun thương M.

Mệnh đề 2.1.5 Cho U là một môđun con đều của Rmôđun M và P là iđêan liên kết của U Giả sử PM  U 0 Khi đó tồn tại một môđun con

Pnguyên tố không rút gọn được K của M sao cho K U 0.

Chứng minh Từ giả thiết của mệnh đề ta có PU 0, vì thế theo Mệnh đề

Trong vành R, P được xác định là iđêan nguyên tố Gọi K là phần bù giao của U trong M với điều kiện PM ⊆ K Giả sử r thuộc R và L là môđun con của M chứa K sao cho rL ⊆ K Khi đó, ta có rL ∩ U ⊆ K ∩ U0.

L U (trong trường hợp LK) hoặc L U 0 (trong trường hợp rP) vì P là iđêan liên kết của U Do đó K là môđun con Pnguyên tố của M Theo Mệnh đề 1.5.6, ta có M

K là môđun con đều và từ đó K là môđun con Pnguyên tố không rút gọn được của M W

Mệnh đề 2.1.6 Giả sử Rmôđun M thỏa mãn môđun con 0 của M là một môđun con căn và U là một môđun con đều của M với iđêan liên kết P Khi đó PM  U 0.

Chứng minh Gọi A là iđêan trái sinh ra từ một tập hữu hạn của R sao cho

AP Khi đó tồn tại một môđun con V khác 0 của U sao cho AV 0 Do môđun con 0 của M là môđun con căn, nên tồn tại các môđun con nguyên tố

AV  K  dẫn tới AM K  Từ đó AM  V K  , vì thế ta có

    Tiếp theo ta có  AM  U    V AM   V 0, do đó

AM  U vì U là môđun đều Từ đây ta có PM  U 0 W

Sự phân tích nguyên tố của môđun con căn 17

Trước khi trình bày tính chất, nếu môđun con căn N của môđun M thỏa mãn môđun thương M

Nếu N có chiều đều hữu hạn, thì N sẽ có một phân tích nguyên tố Chúng tôi sẽ trình bày đặc trưng của môđun với số chiều đều hữu hạn (Mệnh đề 2.2.1) cùng với các tính chất của nó (Bổ đề 2.2.4).

Mệnh đề 2.2.1 Cho một số nguyên dương n Khi đó một môđun M có số chiều đều là n nếu và chỉ nếu tồn tại các môđun con L i (1 i n) của M sao cho:

M L là môđun đều với mọi i1,2, , ;n

Giả sử M có số chiều n, theo Mệnh đề 1.5.2, tồn tại các môđun con độc lập U_i (1 ≤ i ≤ n) của M, sao cho tổng trực tiếp U_1 ⊕ U_2 ⊕ ⊕ U_n là môđun con cốt yếu của M Đối với mỗi i = 1, 2, , n, định nghĩa K_i là phần bù giao của U_i trong M, với điều kiện U_1 ⊕ ⊕ U_{i-1} ⊕ U_{i+1} ⊕ ⊕ U_n ⊆ K_i.

1.5.6) Theo Mệnh đề 1.5.6, ta có i

M K là môđun con đều của M với mọi 1,2, , i n Giả sử K 1 K 2   K n 0 Khi đó do U 1 U 2   U n cốt yếu trong M, nên ta có

(K   K n )(U   U n )0 ta suy ra tồn tại một phần tử khác không

Do x U 1   U n , suy ra x u 1 u 2   u n với u i U i i , 1,2, , n Từ đó

1 ( 2 n ), 1, 2 n 2 n 1 u  x u  u xK u   u U  U K vì vậy ta có u 1 K 1 điều này kéo theo u 1 K 1 U 1 0, ta suy ra u 1 0 Lập luận tương tự ta có u i 0 (2 i n), ta suy ra x0, mâu thuẫn iều này chứng tỏ

K K  K  Mặt khác với mỗi i1,2, ,n ta có U i U 2 U 3   U i   U n K 1 , ta suy ra U i K 1 , tương tự ta có U i K j , j2, ,i1,i1, , n Vì vậy ta có

Ngược lại giả sử M chứa các môđun con L i (1 i n) thỏa mãn (i), (ii) và (iii) Xác định ánh xạ

Từ (ii), ta có  là một đơn cấu Với mỗi i1,2, ,n theo (iii), tồn tại phần tử khác không

1 1 1 i i i n m   L L  L   L kết hợp với (ii), ta có m i L i iều này dẫn tới

Từ đó    M là môđun con cốt yếu của

L   L kết hợp với Mệnh đề 1.5.2 và (i), ta có u M     u    M   n W

Từ Mệnh đề 2.2.1, ta có các hệ quả sau:

Môđun khác không M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu môđun con 0 của M là giao của một tập hợp hữu hạn các môđun con không rút gọn được của M.

Chứng minh Hệ quả 2.2.2 được trực tiếp suy ra từ Mệnh đề 2.2.1 và ịnh nghĩa 2.1.4 W

Hệ quả 2.2.3 Cho một số nguyên dương n và Rmôđun M Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương

(i) Tồn tại các môđun con đều độc lập U i (1 i n) của M sao cho

U U  U là môđun con cốt yếu trong M

(ii) Tồn tại các môđun con L j (1 j n) của M sao cho j

M L là môđun đều với mọi j1,2, ,n và

0 L L   L n là một sự phân tích không rút gọn được

(iii) Môđun M có số chiều đều là n

Chứng minh Hệ quả 2.2.3 được trực tiếp suy ra từ Mệnh đề 2.2.1 và Mệnh đề

Bổ đề 2.2.4 Giả sử Rmôđun khác không M có chiều đều hữu hạn Khi đó

M luôn chứa ít nhất một môđun con đều

Chứng minh Giả sử ngược lại, M không chứa một môđun con đều nào Khi đó M không phải là môđun đều Do đó tồn tại các môđun khác không K 1 và

L 1 của M sao cho K 1 ∩ L 1 = 0 K 1 không phải là môđun đều, do đó tồn tại các môđun khác K 2 và L 2 của K 1 sao cho K 2 ∩ L 2 = 0 K 2 cũng không phải là môđun đều, dẫn đến việc M chứa một tổng trực tiếp vô hạn L 1 ⊕ L 2 ⊕ của các môđun con khác không, điều này mâu thuẫn với môđun M có chiều đều hữu hạn Do đó, M luôn chứa ít nhất một môđun con đều Định lý 2.2.5: Giả sử R là một vành bất kỳ và M là R-môđun khác 0 với môđun con 0 của M là môđun con căn, thì các phát biểu sau là tương đương.

(i) Môđun con 0 của M là giao của một tập gồm hữu hạn các môđun con nguyên tố không rút gọn được của M

(ii) Môđun M có chiều đều hữu hạn

Hơn nữa, trong trường hợp 0K 1 K 2   K n là một sự phân tích không rút gọn được, trong đó K là môđun con nguyên tố không rút gọn được của i

Chứng minh (i)  (ii) và phần cuối của định lý được suy ra từ Mệnh đề

(ii)  (i): Giả sử M có chiều đều hữu hạn Gọi U 1 là môđun con đều bất kỳ của M (Bổ đề 2.2.4) và P 1 là iđêan liên kết của U 1 Sử dụng Mệnh đề

2.1.6, ta có PM 1 U 1 0 và từ Mệnh đề 2.1.5, ta có tồn tại môđun con

P 1nguyên tố không rút gọn được K 1 của M sao cho K 1 U 1 0 Nếu

  1 u M  thì K 1 0 và ta có điều phải chứng minh

Giả sử u M    2 Gọi U 2 là môđun con đều của M sao cho

U U  Nếu K 1 U 1U 2 0 thì ta đặt K 2 M Giả sử

K  U U  Khi đó do K 1 U 1U 2  chứa trong U 2 (vì

Kết hợp K và U, ta suy ra rằng K 1 ∩ (U 1 ⊕ U 2) là môđun con đều của M Đặt P 2 là iđêan liên kết của K 1 ∩ (U 1 ⊕ U 2) Theo lập luận tương tự và sử dụng Mệnh đề 2.1.6 cùng Mệnh đề 2.1.5, tồn tại môđun con P 2 - nguyên tố không rút gọn được K 2 của M sao cho K 2 ∩ [K 1 ∩ (U 1 ⊕ U 2)] = 0.

 K 1K 2   U 1U 2 0 Nếu u M    2 thì U 1U 2 là cốt yếu trong M và từ đó K 1 K 2 0 vì thế ta có điều phải chứng minh (vì K 2 M hoặc K 2 là môđun con nguyên tố không rút gọn được)

Giả sử u M    3 Gọi U 2 là môđun con đều của M sao cho

 U 1U 2 U 3 0 Lập luận tương tự như trên, ta có tồn tại môđun con K 3 của M sao cho  K 1K 2 K 3   U 1U 2U 3 0, trong đó K 3 M hoặc

Môđun K3 là môđun con nguyên tố không rút gọn của M Qua quá trình lặp lại, ta thu được các môđun con độc lập U_i (i ≥ 1) và các môđun con K_i (i ≥ 1), trong đó K1 là môđun con nguyên tố không rút gọn Đối với mỗi chỉ số i = 2, 3, , K_i có thể là môđun con nguyên tố không rút gọn thỏa mãn K_i = M hoặc K_i là môđun con nguyên tố không rút gọn.

 K 1  K n   U 1  U n 0 với số nguyên dương n Giả sử n  u M    1 Khi đó U 1  U n là môđun con cốt yếu của M và từ đó K 1   K n 0 W

Giả sử N là một môđun con căn của R-môđun M, thì N sẽ là giao của một tập hợp hữu hạn các môđun con nguyên tố không rút gọn của M nếu và chỉ nếu môđun thương M.

N có chiều đều hữu hạn Như vậy, nếu môđun con căn N của môđun M thỏa mãn môđun thương M

N có chiều đều hữu hạn thì N sẽ có một sự phân tích nguyên tố

Chứng minh Hệ quả 2.2.6 được trực tiếp suy ra từ ịnh lý 2.2.5 W

Nhận t 2.2.7 Nếu môđun con căn N của Rmôđun M có sự phân tích nguyên tố thì ta chưa kết luận được môđun thương M

N có chiều đều hữu hạn, ví dụ, xét F là một trường và V là không gian vectơ vô hạn chiều trên F Khi đó, ta có mô-đun F trên không gian vectơ V Xét mô-đun con 0, tức không gian con 0 của V.

V) của F môđun V Khi đó dễ thấy 0 là môđun con nguyên tố của

F môđun ,V ta suy ra 0 là môđun con căn có sự phân tích nguyên tố Tuy nhiên môđun V không có chiều đều hữu hạn vì V chứa một tổng trực tiếp

Fe Fe  Fe  gồm một số vô hạn các môđun con khác không

Fe i i  n của F môđun V (trong đó  e e 1, , , , 2 e n  là một cơ sở nào đó của không gian vectơ V ).

Môđun con căn và iđêan nguyên tố liên kết của môđun 22

Trong phần này, chúng tôi sẽ khám phá các trường hợp mà mọi môđun con căn của môđun M là giao của các môđun con nguyên tố không rút gọn được của M Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ tìm hiểu về iđêan nguyên tố liên kết của môđun.

Giả sử N là một môđun con P-nguyên tố của R-môđun M, với P là iđêan nguyên tố của vành R Đồng thời, K là môđun con của M chứa N, sao cho K.

N là một phần bù giao trong M

N Khi đó K là môđun con Pnguyên tố của M

Mệnh đề 2.3.2 Giả sử N là môđun con Pnguyên tố của Rmôđun M , với P là iđêan nguyên tố của vành R và giả sử L là môđun con khác 0 của

M sao cho N L 0 Gọi K là phần bù giao của L trong M sao cho

NK Khi đó K là môđun con Pnguyên tố của M Hơn nữa, nếu L là môđun con đều của M thì K là môđun con Pnguyên tố không rút gọn được của M

Chứng minh Do K là phần bù giao của L trong M và L0 nên ta có

N là phần bù giao của  L N 

Theo Mệnh đề 2.3.1, K là môđun con P-nguyên tố của M Giả sử L là môđun con đều của M Áp dụng Mệnh đề 1.5.6, ta có u(M/K) = u(L) = 1, điều này chứng tỏ rằng K là môđun con P-nguyên tố không rút gọn được của M.

Mệnh đề 2.3.3 Giả sử P là một iđêan nguyên tố của vành R và M là một

Rmôđun sao cho môđun con 0 của M là một môđun con Pnguyên tố của

M và mọi môđun con khác không của M đều chứa một môđun con đều của

M Khi đó môđun con 0 là giao của các môđun con Pnguyên tố không rút gọn được của M

Chứng minh Sử dụng Bổ đề Zorn, ta có M chứa một tập hợp cực đại

U   gồm các môđun con đều độc lập của M và từ giả thiết, ta suy ra

 là một môđun con cốt yếu của M Giả sử , ta đặt L  U 

Khi đó L  là một môđun con của M thỏa mãn L  U  0 Sử dụng Mệnh đề 1.5.6 , ta có tồn tại một phần bù giao K  của U  trong M sao cho

L   K  Từ Mệnh đề 2.3.1, ta suy ra K  là môđun con Pnguyên tố của

Trong bài viết này, chúng ta xem xét môđun R và các môđun con nguyên tố K của nó Theo định lý 2.3.4, nếu M là một R-môđun thỏa mãn điều kiện nhất định đối với mọi môđun con nguyên tố K của M, thì với mỗi phần tử m thuộc M, môđun con (Rm K) cũng được xác định.

Môđun con đều chứa một môđun con nguyên tố P của vành R, trong đó mọi môđun con P-nguyên tố của M là giao của các môđun con P-nguyên tố không rút gọn được của M Hơn nữa, mọi môđun con căn của M cũng là giao của các môđun con nguyên tố không rút gọn được của M.

Chứng minh Giả sử P là iđêan nguyên tố của vành R và K là môđun con

Pnguyên tố của M Sử dụng Mệnh đề 2.3.3 cho môđun thương M ,

  trong đó K  là môđun con chứa K sao cho K

 K là môđun con Pnguyên tố không rút gọn được của M

K với mỗi  Dễ dàng nhận thấy K K  ,

Trong bài viết này, chúng ta xem xét môđun con P-nguyên tố không rút gọn K trong M với μ thuộc Λ Kết hợp với định nghĩa về môđun con căn, ta có thể khẳng định rằng mọi môđun con căn của M đều là giao của các môđun con nguyên tố không rút gọn của M Theo định lý 2.3.5, nếu N là môđun con căn của R-môđun M, thì môđun thương M sẽ có những tính chất đặc biệt liên quan đến N.

N có chiều đều hữu hạn Khi đó P là iđêan nguyên tố liên kết của

N nếu và chỉ nếu P là iđêan liên kết của một môđun con đều nào đó của môđun thương M

Chứng minh Do môđun thương M

N có chiều đều hữu hạn nên tồn tại môđun con L của M chứa N sao cho L

N là môđun con đều (theo Bổ đề

2.2.4) Giả sử P là là iđêan liên kết của L

N Sử dụng Mệnh đề 2.1.6, ta có

P N L và từ Mệnh đề 1.4.7, ta có P là iđêan nguyên tố liên kết của N

Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố liên kết của N ặt

N K K  K là một sự phân tích nguyên tố chuẩn tắc của ,N trong đó K i là môđun con

P i nguyên tố của M với các iđêan nguyên tố P i i , 1,2, ,n (n là một số nguyên dương) Không mất tính tổng quát, ta giả sử PP 1 (Mệnh đề 1.4.4)

Nếu n1 thì N K 1 và vì thế N là môđun con Pnguyên tố của M Gọi

H là môđun con của M chứa N sao cho H N và H

Khi đó dễ dàng kiểm tra được P là iđêan liên kết của H

Bây giờ ta giả sử n2 Khi đó do

K K  K N nên tồn tại môđun con G của K 2 K 3   K n chứa N, G N sao cho

GN là môđun con đều Ta có PGK 1 K 2   K n  N Mặt khác, giả sử rR và J là môđun con của G sao cho rJ N Khi đó

1 2 n , rJ K K  K ta suy ra rJ K 1 Từ đây ta có J  K 1 (trong trường hợp J K 1 K 2   K n N) hoặc rP Từ đó P là iđêan liên kết của môđun con đều G

Hệ quả 2.3.6 Giả sử N là môđun con căn của Rmôđun M sao cho M

N có chiều đều hữu hạn Khi đó iđêan nguyên tố P của vành R là iđêan liên kết của một môđun con đều nào đó của môđun thương M

P N L trong đó L là môđun con của M

Chứng minh Hệ quả 2.3.6 được trực tiếp suy ra từ Mệnh đề 1.4.7 và ịnh lý

Luận văn đã tìm hiểu và hệ thống hóa được các kết quả sau

1 Trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến luận văn: tổng trực tiếp của các môđun, môđun con cốt yếu và môđun đều, môđun con nguyên tố và môđun con căn, sự phân tích nguyên tố của môđun, iđêan nguyên tố liên kết của môđun, phần bù giao của môđun và môđun có chiều đều hữu hạn

2 Trình bày một số tính chất về iđêan liên kết của môđun đều, đặc trưng của môđun với số chiều đều hữu hạn, trình bày tính chất về mối quan hệ giữa môđun con căn có sự phân tích nguyên tố và chiều đều của môđun và trình bày một số tính chất về môđun con căn và iđêan nguyên tố liên kết của môđun Các kết quả chính là: Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.2.1,

Hệ quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, ịnh lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6, ịnh lý 2.3.4, ịnh lý

Hướng phát triển của luận văn có thể tập trung vào việc nghiên cứu các điều kiện cần thiết để môđun con căn N của môđun M có sự phân tích nguyên tố, từ đó xác định các đặc điểm của môđun thương M.

N có chiều đều hữu hạn.