Phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông chuyên thông qua dạy học hàm số surge và hàm số logistic

trường Chuyên Năng lực này được thể hiện qua việc xác định được mô hình hóa toán học cho từng tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn, giải quyết được những vấn đề toán học trong m

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ CHÂU ANH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN THÔNG QUA DẠY HỌC HÀM SỐ SURGE VÀ HÀM SỐ LOGISTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ CHÂU ANH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN THÔNG QUA DẠY HỌC HÀM SỐ SURGE VÀ HÀM SỐ LOGISTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Phan

HÀ NỘI – 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận án “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học của

học sinh Trung học phổ thông Chuyên thông qua dạy học hàm số Surge và hàm số Logistic ” là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của tôi Những số liệu trong

luận văn là hoàn toàn trung thực, có nguồn gốc rõ ràng và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác Các kết quả nghiên cứu do chính tôi thực hiện

dưới sự hướng dẫn chu đáo của giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN NGỌC PHAN

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc, em

đã hoàn thành luận văn này Trong quá trình học tập và trưởng thành tại trường Đại học Giáo Dục, em đã nhận được sự chỉ bảo và giúp đỡ rất tận tình của các thầy cô giáo Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô trong khoa Sư phạm trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ em có cơ hội tiếp cận với nhiều kiến thức bổ ích và thú vị trong suốt quá trình học tập tại Trường

Đặc biệt, luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp và chỉ bảo tận tình của thầy TS Nguyễn Ngọc Phan Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy - người đã dành nhiều thời gian giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để với khả năng của mình em có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu cùng các thầy cô giáo trong tổ Toán – Tin và các con học sinh trường Trung học phổ thông Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình em thực nghiệm sư phạm tại Trường

Em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè luôn là nguồn cổ vũ lớn lao về mặt tinh thần và vật chất trong suốt thời gian qua để em có thể học tập và hoàn thành tốt luận văn này Em xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới mẹ em, người luôn bên cạnh động viên và chia sẻ những khó khăn trong suốt quãng thời gian em học tập và làm luận văn

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót

và những hạn chế, em rất mong được các thầy cô và các bạn chỉ bảo và bổ sung cho bản luận văn được hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất tới thầy cô, gia đình và các bạn!

Hà Nội, ngày 28 tháng 7 năm 2024

Tác giả

Lê Thị Châu Anh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 4

3 Mục đích nghiên cứu 5

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 6

6 Mẫu khảo sát 6

7 Vấn đề nghiên cứu 6

8 Giả thuyết khoa học 6

9 Phương pháp nghiên cứu 6

10 Cấu trúc của luận văn 7

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 8

1.1.Tổng quan lịch sử về vấn đề nghiên cứu 8

1.1.1 Tổng quan quá trình mô hình hóa toán học một số quốc gia trên thế giới 8

1.1.2 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dung mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở Việt Nam 8

1.2 Năng lực mô hình hóa Toán học 10

1.2.1 Năng lực 10

1.2.2 Năng lực toán học 10

1.2.3 Mô hình 14

1.2.4 Mô hình toán học 14

1.2.5 Mô hình hóa toán học 15

1.2.6 Năng lực mô hình hóa 15

1.2.7 Quy trình mô hình hóa toán học 20

1.3 Thực trạng dạy học mô hình hóa ở trường Trung học phổ thông 39

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT CHUYÊN THÔNG QUA DẠY HỌC

HÀM SỐ SURGE VÀ HÀM SỐ LOGISTIC 52

2.1 Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học hàm số Surge và hàm số Logistic 52

2.1.1 Giới thiệu chung 52

2.1.2 Hoạt động 1: Hàm số Surge 52

2.1.3 Hoạt động 2: Hàm số Logistic 65

2.1.4 Mô hình hóa toán học khi sử dụng hàm số Surge 77

2.1.5 Mô hình hóa toán học khi sử dụng hàm số Logistic 83

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT Chuyên thông qua dạy học hàm số Surge và hàm số Logistic 89

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích để xác định các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số 89

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang ngôn ngữ toán học 93

2.2.3 Biện pháp 3: Tạo tình huống yêu cầu phân tích mô hình dựa trên biểu đồ, đồ thị với số liệu thực tế 96

Kết luận chương 2 99

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 100

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 100

3.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 100

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 100

3.3.1 Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm 100

3.2.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 101

3.2.3 Nội dung kiểm tra đánh giá 102

3.2.4 Tổ chức thực nghiệm 102

3.3 Đánh giá về kết quả thực nghiệm 102

3.3.1 Một số nhận xét chung 102

3.3.2 Phân tích định tính 102

3.3.3 Phân tích định lượng 105

3.3.4 Nhận xét chung 108

Kết luận chương 3 110

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Bảng thống kê về các mức độ sử dụng mô hình hoá của giáo

viên trong dạy học Toán 45

Bảng 1.2: Bảng thống kê về ý kiến của giáo viên trong dạy học Toán 47

Bảng 1.3 Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa của giáo viên 48

Bảng 2.1: Bảng tọa độ SP, IP qua từng giá trị thay đổi hằng số A 53

Bảng 2.2: Tọa độ SP, IP qua từng giá trị của hằng số b 55

Bảng 2.3: Bảng biến thiên minh họa cho bài tập 2.1 63

Bảng 2.4: Bảng giá trị tọa độ IP và đường tiệm cận qua từng giá trị của L 67

Bảng 2.5: Bảng giá trị tọa độ IP và các đường tiệm cận qua từng giá trị thay đổi của A 68

Bảng 2.6: Bảng thể hiện sự thay đổi qua từng giá trị của b 69

Bảng 2.7: Bảng minh họa bài tập 2.2 75

Bảng 2.8: Bảng dữ liệu mô tả mối quan hệ giữa Nồng độ Aspirin trong máu theo thời gian 77

Bảng 2.9: Mô hình hóa dữ liệu số lượng cá hồi 83

Bảng 3.1 Một số thông tin về học sinh lớp đối chứng – lớp thực nghiệm 101

Bảng 3.2: Bảng thống kê ý kiến của học sinh trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành 104

Bảng 3.3 Phân bố tần số, tần suất điểm bài kiểm tra 105

Bảng 3.4 Các tham số đặc trưng bài kiểm tra 106

Bảng 3.5: Phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 106

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Biểu đồ thống kê về mong muốn của học sinh được biết

thêm những ứng dụng thực tế của những kiến thức Toán học 40 Biểu đồ 1.2 Biểu đồ thống kê của học sinh về mức độ thường xuyên tự

tìm hiểu những mô hình có kiến thức toán học trong thực tiễn 40 Biểu đồ 1.3 Biểu đồ thống kê đánh giá của học sinh về mức độ thường

xuyên đưa các bài toán mô hình hoá, có yếu tố toán học trong thực tiễn của giáo viên 41 Biểu đồ 1.4 Biểu đồ thống kê ý kiến của học sinh về mối liên hệ giữa

toán học và các môn học khác 42 Biểu đồ 1.5 Biểu đồ thống kê ý kiến của học sinh về tầm quan trọng

của Toán học 42 Biểu đồ 1.6 Biểu đồ thống kê ý kiến của học sinh về mức độ khô khan

của Toán 43 Biểu đồ 1.7: Biểu đồ các chủ đề toán học nào dưới đây có thể sử dụng

phương pháp mô hình hóa trong thiết kế các hoạt động dạy học 47 Biểu đồ 2.1: Đồ thị hàm số của hàm số y f x= ( ), y f x= '( ), y f x= "( ) 53 Biểu đồ 2.2: Đồ thị hàm số y f x= ( ) với từng giá trị của A 54 Biểu đồ 2.3: Đồ thị hàm số y= 5xe−bx qua từng giá trị của b 55 Biểu đồ 2.4: Đồ thị minh họa nồng độ của Levosulpiride trong máu theo

thời gian sau khi uống thuốc với liều lượng khác nhau 58 Biểu đồ 2.5: Biểu đồ thể hiện thức ăn ảnh hưởng đến nồng độ thuốc 60 Biểu đồ 2.6: Mô tả nồng độ thuốc Gentamicin trong huyết tương theo

thời gian và không theo hình dạng của hàm số Surge 61 Biểu đồ 2.7: Đồ thị hàm số bài tập 2.1 63 Biểu đồ 2.8: Đồ thị hàm số P t( ) L qua từng giá trị thay đổi L 67

Biểu đồ 2.9: Đồ thị hàm số ( ) 1

P t

Ae−

=

+ qua từng giá trị của A 68

Biểu đồ 2.10: Đồ thị hàm số ( ) 1 1 bt P t e− = + qua từng giá trị của b 70

Biểu đồ 2.11: Đồ thị hàm số 1 ' 1 bt y e−   =  + qua từng giá trị của b 71

Biểu đồ 2.12: Biểu đồ mô tả mô hình tăng trưởng minh họa bài tập 2.2 75

Biểu đồ 2.12: Đồ thị hàm số: y= 22,8336 x e−x 78

Biểu đồ 2.13: Đồ thị hàm số: y= 22,8336xe− 1,75x 79

Biểu đồ 2.14 Đồ thị hàm số: y= 17,225xe− 1,5x 79

Biểu đồ 2.15: Biểu đồ phân tán dữ liệu cho mô hình Logistic 84

Biểu đồ 2.16: Đồ thị hàm số logistic ( ) 10500,0965 1 4,25 t N t e− = + 87

Biểu đồ 3.1 Phân bố tần số điểm kiểm tra 107

Biểu đồ 3.2: Phân bố tần số điểm của bài kiểm tra lớp thực nghiệm 108

Biểu đổ 3.3: Phân bố tần xuất điểm kiểm tra của hai lớp thực nghiệm và đối chứng 108

DANH MỤC CÁC HÌNH, SƠ ĐỒ

Hình 1.1 Hình mô phỏng trong ví dụ 1.1 24

Hình 1.2 Hình ảnh mô phỏng trong ví dụ 1.2 31

Hình 1.3 Hình ảnh mô phỏng ví dụ 1.3 37

Hình 1.4: Hình ảnh mô phỏng ví dụ 1.3 37

Hình 1.5: Hình ảnh mô phỏng cái phễu 38

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak 22

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991 26

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006 27

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007 28

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hoá trong dạy học môn Toán 29

Sơ đồ 1.6 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa 33

Sơ đồ 1.7 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa 35

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh cuộc cách mạng 4 0 cùng với sự biến đổi mạnh mẽ trong sự phát triển kinh tế - xã hội theo xu hướng toàn cầu hóa, giáo dục cũng cần có sự chuyển biến để phù hợp với thời đại mới Điều này đặc biệt thể hiện qua sự thay đổi quan trọng trong vai trò của người học và người dạy, việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục

Trong mô hình giáo dục truyền thống, giáo viên chủ yếu truyền đạt kiến thức cho học sinh thông qua các phương pháp như thuyết trình, đọc và diễn giảng một chiều Ngược lại, hiện nay giáo viên đã chuyển sang vai trò là người hướng dẫn, giúp học sinh tự tìm tòi, khám phá kiến thức mới Sự thay đổi này đã khuyến khích người học chủ động trong việc tiếp nhận và lĩnh hội tri thức, tham gia tích cực vào quá trình khám phá và rèn luyện bản thân Kết quả là học sinh có khả năng nghiên cứu, tìm ra và giải quyết vấn đề, từ đó vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Bên cạnh sự chuyển đổi trong vai trò của người học và người dạy, việc đổi mới phương pháp giảng dạy cũng trở nên cấp thiết Trong Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013, Ban Chấp hành Trung ương Khóa

XI đã nhấn mạnh rằng phát triển giáo dục và đào tạo không chỉ nhằm nâng cao dân trí, mà còn bao gồm việc đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài Nghị quyết kêu gọi chuyển mạnh mẽ từ việc chỉ trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực của người học, với sự kết hợp giữa học

và hành, lý luận gắn với thực tiễn, cũng như sự phối hợp giữa giáo dục nhà trường, gia đình và xã hội

Trong chương trình môn Toán 2018 đã đặc biệt chú trọng tính ứng dụng của Toán học vào thực tiễn, gắn với xu thế phát triển kinh tế - xã hội

Do vậy, việc phát triển năng lực mô hình hóa là cần thiết đối với học sinh hiện nay, đặc biệt là phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong môi trường

trường Chuyên Năng lực này được thể hiện qua việc xác định được mô hình hóa toán học cho từng tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn, giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập Khi đó học sinh được đặt vào các tình huống có các vấn đề thực tiễn phong phú của một bài toán hay một mô hình hóa toán học thích hợp, từ đó vận dụng kỹ năng, tư duy và kiến thức toán để giải quyết vấn đề trong tình huống

Phương pháp dạy học đổi mới, dạy học thông qua các hoạt động trải nghiệm, những hoạt động mà ở đó học sinh vận dụng kỹ năng và kiến thức để giải quyết các vấn đề, tạo động lực cho người học tìm tòi, khám phá, từ đó phát triển năng lực của học sinh Một trong những năng lực mà được nhiều quốc gia trên thế giới cũng như Việt Nam đang được chú trọng trong chương trình môn Toán phổ thông là năng lực mô hình hóa và tư duy phản biện Những năng lực này được hình thành thông qua quá trình học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống có tính thực tiễn được xây dựng trên các công cụ và ngôn ngữ toán học Mô hình hóa giúp học sinh nhận biết và hiểu được ý nghĩa, vai trò của toán học đối với đời sống thực tế, tư duy phản biện giúp học sinh phát triển khả năng phân tích suy luận và giải quyết các vấn đề toán học, phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ các kiến thức toán với các môn học khác Mô hình hóa trong dạy học Toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin Quá trình này đòi hỏi học sinh cần có các kĩ năng và thao tác tư duy Toán học như phản biện, phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa

Sự cần thiết để thúc đẩy mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục hướng thực tế được TS Nguyễn Thị Tân An đề cập trong nghiên cứu của mình

Nội dung chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit của môn

lượng kiến thức lớn trong các đề thi đại học Đây cũng là một chủ đề khó, nhiều vấn đề liên quan, chưa gây được nhiều hứng thú với học sinh Bên cạnh đó, nội dung hàm số mũ có nhiều ứng dụng vào thực tiễn mà học sinh chưa khám phá được Nó có đặc tính biểu thị quan hệ biến thiên phụ thuộc giữa các đại lượng – đây cũng là quan hệ phổ biến phản ánh bản chất của hầu hết các hiện tượng khoa học cũng như trong tự nhiên xã hội Trong thực tế, nhiều hiện tượng tự nhiên, xã hội có tính tăng trưởng (hay suy giảm) chẳng hạn: Vấn đề tăng trưởng dân số, vấn đề sinh sôi của vi trùng, vấn đề phân hủy các chất phóng xạ,… Các vấn đề trên được gọi là vấn đề tăng trưởng (hay suy giảm) mũ hay còn gọi chung là hàm Surge và hàm Logistic Mô hình tăng trưởng Logistic được đề xuất bởi Verhulst vào năm 1838 và được lặp lại bởi Pearl và Reed vào năm 1920 Khi ấy nó được xem là một “ luật” của sự tăng trưởng dân số thực tế Nó được sử dụng thay thế mô hình tăng trưởng mũ trong việc dự báo dân số Hàm số Surge thường được sử dụng trong dược động học để mô tả sự tăng trưởng nhanh chóng theo cấp số nhân, phản ánh sự tập trung của thuốc trong máu người Hai mô hình toán học này được ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, địa lý, hóa học… Vì lý do

đó mà dạy học hàm số Logistic và hàm số Surge ngày càng được xuất hiện nhiều trong chương trình dạy học của nhiều nước trên thế giới

Tuy nhiên, ở Việt Nam, hàm số Logistic tuy thực sư tồn tại trong việc dạy học Sinh học, nhưng hoàn toàn không được đề cập trong dạy học Toán

Để nâng cao chất lượng của học sinh, cũng như tạo động lực và hứng thú cho học sinh, giáo viên cần có các biện pháp phát triển năng lực người học Trong

đó, việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học và tư duy phản biện cho học sinh nói chung, và học sinh trường Chuyên – nguồn tiếp cận phù hợp với kiến thức mới nhằm vận dụng các kiến thức hàm số Surge và hàm số Logistic nhằm mục đích: Gắn Toán học với thực tiễn (hóa học, sinh học, vật lý, địa lý…), khắc phục và phát huy các ưu nhược điểm trong mô hình tăng trưởng

và rèn luyện phương pháp mô hình hóa Toán học cho học sinh

Từ những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh THPT Chuyên thông qua dạy học hàm số Surge và hàm số Logistic” cho luận văn của mình

2 Lịch sử nghiên cứu

Mô hình hóa toán học từ lâu đã được xem như một cầu nối giữa việc học toán của học sinh và thế giới thực Vấn đề này đã được nghiên cứu phổ biến trên toàn cầu, đặc biệt là ở các quốc gia có nền giáo dục phát triển Khái niệm mô hình hóa trong giáo dục toán xuất hiện lần đầu tại Hội nghị của Freudenthal vào năm 1968, nơi các nhà giáo dục đã đề cập đến nhiều khía cạnh liên quan đến mô hình hóa Một câu hỏi lớn đặt ra là tại sao việc dạy toán cần thiết để phục vụ cho cuộc sống thực tiễn? Tại sao nhiều học sinh mặc

dù thành tích học tập xuất sắc trong môn toán nhưng lại gặp khó khăn trong việc áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tế? Do đó, việc dạy toán cần được thiết kế sao cho học sinh có thể áp dụng kiến thức toán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống hàng ngày

Theo nghiên cứu của tác giả Nguyễn Danh Nam [12] (2016), nhiều khía cạnh của mô hình và mô hình hóa toán học đã được khám phá, bao gồm phương pháp, quy trình, năng lực mô hình hóa, cũng như thiết kế các hoạt động mô hình hóa cho học sinh Nghiên cứu chỉ ra rằng mô hình hóa trong giảng dạy toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu và khám phá các tình huống phát sinh từ thực tiễn thông qua việc sử dụng công cụ và ngôn ngữ toán học, chẳng hạn như hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, ký hiệu, sơ

đồ và công thức Tác giả đã trình bày nhiều bài tập và ví dụ ở các mức độ khác nhau, chúng được lồng ghép vào thực tiễn để học sinh có thể vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học nhằm mô tả các tình huống thực tế Từ đó, nhiều bài toán về hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số mũ, và xác suất

Mô hình hóa cũng đã được đưa vào giảng dạy môn toán ở bậc tiểu học Nghiên cứu này chỉ ra rằng các hoạt động mô hình hóa toán học sẽ giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề Hai tác giả cũng đã đưa ra nhiều ví dụ về việc giảng dạy mô hình hóa, chẳng hạn như bài toán tính diện tích tam giác hay diện tích hình thang

Như vậy, mô hình hóa và mô hình hóa toán học đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu phổ biến không chỉ ở nước ngoài mà còn ở Việt Nam Đảng

và Nhà nước đã triển khai rộng rãi mô hình hóa toán học trên toàn quốc thông qua việc ban hành Thông tư 32 Việc áp dụng mô hình hóa toán học đang ngày càng được chú trọng, không chỉ giáo viên tích cực đưa mô hình hóa vào bài giảng mà học sinh cũng đang tìm kiếm và khám phá các bài toán thông qua thực tiễn

Ở các nước phát triển, hàm số Surge và hàm Logistic được đưa vào chương trình Toán học bậc trung học phổ thông, sau khi học sinh học xong các khái niệm cơ bản của giải tích Nên việc áp dụng các phương pháp mô hình hóa Toán học và Tư duy phản biện thông qua việc dạy học Hàm số Surge và hàm số Logistic là hoàn toàn hiệu quả cho học sinh THPT Chuyên gắn kết với thực tiễn, là bước đi đầu tiên tiếp cận đến môi trường Đại học trong nước và ngoài nước Bên cạnh đó, việc áp dụng này giúp học sinh tạo

sự liên kết với các môn học, bước đầu sánh vai, hội nhập với nền giáo dục của các nước phát triển trên thế giới

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh thông qua dạy học hàm số Surge và hàm số Logistic tại trường THPT Chuyên

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống lý thuyết về mô hình hóa và mô hình hóa Toán học

- Nghiên cứu năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua dạy học về khái niệm và ứng dụng các hàm số Surge và hàm Logistic

- Đề xuất một số biện pháp phát triển mô hình hóa Toán học của học sinh trung học phổ thông qua dạy chủ đề hàm số nâng cao: hàm số Surge và hàm số Logistic tại trường THPT Chuyên

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu: Nội dung hàm số lớp 12, hàm số Surge, hàm

số Logistic và ứng dụng

b Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học chương hàm số, hàm số

Surge và hàm số Logistic ở trường trung học phổ thông Chuyên

c Phạm vi nghiên cứu: Chương trình môn Toán ở trường THPT và

- Nghiên cứu lý thuyết mô hình hóa Toán học tại trường trung học phổ thông

- Tìm hiểu rõ các khái niệm về hàm số Surge và hàm số Logistic và ứng dụng

- Thiết kế các phương pháp tiếp cận hàm số Surge và hàm số Logistic theo phát triển năng lực mô hình hóa Toán học và tư duy phản biện

8 Giả thuyết khoa học

Nêu đề xuất và vận dụng được các biện pháp sư phạm theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình môn Toán lớp 12 nói chung và hàm số Surge, hàm số Logistic góp phần nâng cao ứng dụng chất lượng môn Toán gắn liền với thực tiễn

9 Phương pháp nghiên cứu

liên quan đến phương pháp dạy học; các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát những biểu hiện

của học sinh (về nhận thức, thái độ, hành vi) trong hoạt động học, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước về phương pháp dạy học tích hợp Lập các phiếu điều tra và tiến hành điều tra về tình hình dạy - học của giáo viên, học sinh về dạy học phát triển

mô hình hóa toán học với sinh học trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường trung

học phổ thông Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài

- Phương pháp thống kê toán học: Phân tích và xử lý các số liệu sau

khi điều tra

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Chương 2: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT Chuyên thông qua dạy học hàm số Surge và hàm số Logistic

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1.Tổng quan lịch sử về vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Tổng quan quá trình mô hình hóa toán học một số quốc gia trên thế giới

Từ những năm đầu thập niên 1990, Singapore đã chú trọng vào việc giải quyết vấn đề trong chương trình giảng dạy môn Toán Bộ Giáo dục Singapore đã khuyến nghị rằng việc dạy và học môn Toán cần tập trung vào lập luận và giao tiếp toán học, liên kết các ý tưởng toán học, cũng như xây dựng mô hình hóa và ứng dụng Trong đó, chủ đề mô hình hóa và ứng dụng cần được tích hợp vào tất cả các cấp học Chương trình môn Toán hiện tại của Singapore đã giảm 30% khối lượng so với chương trình cũ, tập trung vào việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh Mô hình hóa được định nghĩa là quá trình thiết lập và cải tiến các mô hình toán học nhằm biểu diễn các vấn đề thực tiễn thông qua các công cụ toán học phù hợp với bối cảnh cụ thể [13]

Tại Thụy Điển, chương trình môn Toán đã bắt đầu được đổi mới từ năm 1965, và mô hình hóa đã dần được tích hợp vào chương trình một cách ngày càng rõ nét, đặc biệt kể từ năm 1994 Mô hình toán học trở thành khái niệm chủ chốt trong các sách giáo khoa môn Toán ở mọi cấp học Bloom (2007) đã chỉ ra sự khác biệt giữa hai khái niệm mô hình hóa toán học và ứng dụng toán học Quá trình mô hình hóa tập trung vào việc chuyển đổi từ thế giới bên ngoài Toán học sang thế giới Toán học, trong khi ứng dụng toán học lại tập trung vào chiều ngược lại [17]

Ở Hà Lan, khoảng 30 năm trước, Viện Freudenthal đã phát triển một chương trình môn Toán theo hướng gắn liền với thực tiễn Chương trình này được xây dựng trên quan niệm rằng toán học là một hoạt động, và học sinh

nói cách khác, đó là quá trình "toán học hóa" Chương trình nhằm mục tiêu hỗ trợ việc phát triển và thực hiện một chương trình tập trung vào việc giải quyết vấn đề, đặc biệt là những vấn đề mở mà xuất phát từ ngữ cảnh thực tiễn Tương tự, chương trình sách giáo khoa ở Australia và Anh cũng nhấn mạnh việc phát triển năng lực và hướng dẫn học sinh áp dụng kiến thức, kỹ năng và kinh nghiệm của họ để giải quyết những vấn đề từ thực tiễn Chương trình sách giáo khoa của Pháp định hướng cho học sinh thực hành phương pháp tiếp cận khoa học, trong đó học sinh cần biết: (i) quan sát, đặt câu hỏi, trình bày giả thuyết và hợp lý hóa nó, tranh luận và mô hình hóa theo cách cơ bản; (ii) hiểu mối quan hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được

áp dụng để mô tả những hiện tượng đó [15]

Tóm lại, mô hình hóa và việc gắn toán học với thực tiễn là những vấn đề được coi trọng trong chương trình sách giáo khoa của nhiều quốc gia trên thế giới, cũng như trong các chương trình đánh giá học sinh quốc tế

1 1 2 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dung mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở Việt Nam

Kһái niệm mô һìnһ һóa toán һọc và vấn đề vận dụng mô һìnһ һóa trong dạy һọc Toán һọc bậc trung һọc pһổ tһông ở Việt Nam đã được tác giả Lê Tһị Hoài Cһâu đưa ra năm 2015 Һai pһương diện được tһực һiện: (i) Pһân tícһ sự lựa cһọn của cһương trìnһ và sácһ giáo kһoa môn Toán trung һọc pһổ tһông đối với việc tínһ đến vấn đề mô һìnһ һóa trong dạy һọc һàm số, pһương trìnһ, bất pһương trìnһ (ii) Ngһiên cứu tһực trạng, đánһ giá năng lực của һọc sinһ pһổ tһông trong việc sử dụng các kiến tһức toán đã һọc vào giải quyết các vấn

đề của tһực tiễn Từ đó, tác giả đã tһiết kế được các tìnһ һuống dạy һọc bằng

mô һìnһ һóa và dạy һọc mô һìnһ һóa trong dạy һọc các nội dung һệ bất pһương trìnһ һai ẩn, kһái niệm đạo һàm và kһái niệm tícһ pһân [7]

Nһư vậy, mô һìnһ һóa và mô һìnһ һóa toán һọc đã được ngһiên cứu pһổ biến trên cả tһế giới và trong nước Mô һìnһ һóa toán һọc đang ngày càng

được cһú trọng, kһông cһỉ giáo viên áp dụng mô һìnһ һóa toán һọc vào bài giảng của mìnһ mà һọc sinһ cũng đang tìm tòi, kһám pһá các bài toán tһông qua tһực tiễn

1.2 Năng lực mô hình hóa Toán học

1.2.1 Năng lực

Năng lực là một kһái niệm tһuộc pһạm trù tâm lí һọc Hiện nay, quan niệm về năng lực trên tһế giới và Việt Nam cũng có nһiều cácһ һiểu kһác nһau Sau đây là một số cácһ quan niệm về năng lực được nһiều người vận dụng:

Tác giả Nguyễn Văn Cường [6] cһo rằng: “Năng lực là kһả năng tһực һiện có һiệu quả và trácһ nһiệm các һànһ động, giải quyết các vấn đề, nһiệm

vụ trong nһững tìnһ һuống kһác nһau tһuộc các lĩnһ vực ngһề ngһiệp, xã һội һay cá nһân trên cơ sở һiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinһ ngһiệm” Tһeo quan niệm này, ta tһấy rằng, “năng lực là kһả năng kết һợp của các yếu tố tri tһức,

kĩ năng, kĩ xảo, kinһ ngһiệm, tinһ tһần trácһ nһiệm để tһực һiện һoàn tһànһ các nһiệm vụ, vấn đề trong các lĩnһ vực ngһề ngһiệp, xã һội và cá nһân”

Tһeo OECD (2002), “năng lực là kһả năng cá nһân đáp ứng yêu cầu pһức һợp và tһực һiện tһànһ công nһiệm vụ trong bối cảnһ cụ tһể” Kһái niệm này һiện nay được sử dụng cһo đánһ giá năng lực һọc sinһ của nһiều quốc gia (kһoảng 70 quốc gia), trong đó có Việt Nam

Năng lực được địnһ ngһĩa trong cһương trìnһ giáo dục pһổ tһông tổng tһể năm

2018 là "tһuộc tínһ cá nһân được һìnһ tһànһ và pһát triển nһờ vào tố cһất bẩm sinһ cùng quá trìnһ һọc tập, rèn luyện Năng lực cһo pһép con người һuy động một tập һợp các kiến tһức, kỹ năng, và nһững tһuộc tínһ cá nһân kһác nһư һứng tһú, niềm tin, và ý cһí, nһằm tһực һiện tһànһ công một һoạt động nһất địnһ, đạt được kết quả mong muốn trong nһững điều kiện cụ tһể” [3]

Từ đó, có thể thấy rằng năng lực có những đặc điểm chủ yếu sau đây:

- Năng lực là khả năng cá nhân: Mỗi học sinh có năng lực riêng biệt, và những yếu

tố tâm lý, sinh lý, bẩm sinh cũng như các yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến năng lực

của họ Mặc dù năng lực của mỗi học sinh được hình thành và phát triển, nhưng chúng sẽ có sự khác nhau và phụ thuộc vào chương trình, phương pháp và hình thức dạy học mà học sinh trải qua

- Năng lực gắn liền với hoạt động cụ thể: Trong lĩnh vực học tập, năng lực của học sinh được biểu hiện thông qua cách họ áp dụng kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm, và thái độ để giải quyết các nhiệm vụ được giao Điều này cho thấy năng lực không chỉ nằm trong lý thuyết mà còn được bộc lộ qua hành động Để đánh giá năng lực của một học sinh trong một lĩnh vực nào đó, cần phải xem xét các hoạt động mà học sinh thực hiện trong lĩnh vực ấy

1.2.2 Năng lực toán học

Có nhiều cách tiếp cận khác nhau về "năng lực toán học" đã được các nhà giáo dục cả quốc tế lẫn trong nước vận dụng, nhưng chưa có một định nghĩa chung thống nhất

Theo Niss (2004) [17], "năng lực toán học là khả năng hiểu, phán đoán, thực hiện và ứng dụng toán học trong nhiều bối cảnh khác nhau, bao gồm cả trong và ngoài môn Toán, trong đó kiến thức toán học giữ vai trò quan trọng" Nghiên cứu của Tanner và Jones (1995) cũng nhấn mạnh rằng, "không phải lúc nào kiến thức hiện có của học sinh cũng cho phép các em tiến hành hoạt động mô hình hóa toán học thành công Khi đó, học sinh cần phải lựa chọn kiến thức cần thiết và theo dõi quá trình mô hình hóa mà các em đang thực hiện" Từ những nghiên cứu này, ta có thể nhận thấy rằng "năng lực toán học

là những đặc điểm tâm lý liên quan đến hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp các em nắm vững và áp dụng một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc những kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo trong môn Toán Năng lực toán học được hình thành và phát triển thông qua các hoạt động giải quyết các nhiệm vụ học tập trong môn Toán như xây dựng và áp dụng khái niệm, chứng minh và áp dụng định lý, giải bài toán "

Chương trình PISA năm 2015 định nghĩa "năng lực toán học là khả năng cá nhân trong việc lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau Năng lực này bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận thức được vai trò của toán học trong thế giới và đưa ra những phán đoán, quyết định, góp ý, cùng tham gia

và suy ngẫm" Thêm vào đó, năng lực môn Toán còn được thể hiện qua việc

sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ cùng phương tiện học toán, đặc biệt là các công nghệ khoa học để khám phá và giải quyết vấn đề toán học

Theo chương trình PISA, năng lực toán học của học sinh được đánh giá dựa trên 8 tiêu chí đặc trưng, bao gồm: tư duy và lập luận; suy luận và chứng minh toán học; giao tiếp toán học; mô hình hóa; nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn, sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ toán học; và sử dụng công cụ tính toán

Năng lực tư duy và suy luận toán học là năng lực được hình thành khi

chúng ta đặt các câu hỏi đặc trưng như “có hay không ?, nếu như vậy, có bao nhiêu? và biết loại câu trả lời để có thể giải đáp được những câu hỏi như vậy Ngoài ra, chúng ta cần hiểu và xác định được phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán như định nghĩa mệnh đề, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ,

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề yêu cầu học sinh cần xác định

được vấn đề và giải quyết nhiều dạng bài toán theo nhiều cách khác nhau

Qua đó, học sinh hình thành kỹ năng phân tích được tình huống, phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề Dựa trên các thông tin thu thập được, học sinh phải lựa chọn phương pháp, đề xuất giải pháp phù hợp với tình huống, vấn đề cần giải quyết Để làm được điều đó một cách tốt nhất, trước tiên học sinh cần lập kế hoạch để giải quyết vấn đề, thực hiện kế hoạch độc lập, sáng tạo, hợp tác dựa trên các giả thuyết đã đề ra

Năng lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liền với cấu trúc mô

hình hóa, tức là chuyển đổi tình huống “thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mô hình toán học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học ; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”

Năng lực lập luận toán học, học sinh cần biết cách chứng minh toán học,

trình bày các lập luận toán học Phân biệt chúng khác với các loại suy luận như thế nào, theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau

Từ đó, học sinh hình thành các kỹ năng lập luận toán học của mình

Năng lực giao tiếp toán học là sự bộc lộ về những vấn đề của toán học,

hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy

Năng lực trình bày toán học chính là khả năng mã hóa, chuyển đổi, giải

thích và phân biệt các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng

và bối cảnh toán học

Năng lực sử dụng các công cụ, kí hiệu, các yếu tố kỹ thuật là sử dụng

các ký hiệu và hình thức, chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu và công thức

Năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học là khả năng sử

dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau, có thể giúp cho hoạt động toán diễn ra tốt nhất

Theo Niss (2001), có tám thành tố có năng lực toán học và chia làm hai cụm Cụm thứ nhất gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực suy luận toán học Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học Tám năng lực này tập trung vào những gì cần thiết để các nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chạt chẽ có phần giao thoa với nhau [18]

Theo quan điểm của Swetz và Hartzler, mô hình là một mẫu hay đại diện, được thiết kế nhằm mô tả cấu trúc và cách thức hoạt động của một sự vật, hiện tượng, hệ thống hoặc khái niệm Thông thường, mô hình được suy nghĩ theo nghĩa vật lý một cách trực quan [21]

Trong quá trình xây dựng mô hình, mọi thứ bắt đầu từ một đối tượng trong thế giới thực mà chúng ta đang nghiên cứu Trong một mô hình, các đối tượng trong thế giới thực được thay thế bởi các đối tượng khác, thường đơn giản hơn và thường mang cùng tên Kiến thức mà chúng ta có về thế giới thực được tổ chức thông qua

mô hình, với mọi thứ được giản lược thành những hiện tượng và khía cạnh được coi

là quan trọng Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một mô hình chỉ có thể mô tả một phần nhất định của hiện tượng trong thế giới thực, và do đó, tính hữu dụng của nó sẽ bị giới hạn trong phạm vi mà nó có thể áp dụng

1.2.4 Mô hình toán học

Dựa theo Maria L Hernández, Rachel Levy, Mathew D Koestler, and Rose Mary Zbiek (2016) cho rằng, “mô hình toán học có sử dụng phương pháp toán học để chuyển đổi và đưa ra quyết định” Như vậy,

Felton-“mô hình toán học có thể được sử dụng để thúc đẩy nhu cầu ngoại khóa và có thể làm nổi bật tầm quan trọng và tính phù hợp của toán học trong việc trả lời những câu hỏi quan trọng Nó cũng có thể giúp học sinh đạt được các kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ” Mặc dù giáo viên nhận ra giá trị của việc học sinh của mình tham gia trong mô hình toán học, rất ít người có cơ hội để trải nghiệm

mô hình, và nhiều giáo viên cảm thấy không chắc chắn về cách dạy nó

Trong nghiên cứu của Niss, M & Hojgaard Jensen, (2007) nói rằng,

“mô hình toán học là một hoạt động liên ngành phức tạp, được kết nối với việc học tập toán học”; Ang Keng Cheng (2001) đưa ra quan điểm gắn kết mô hình toán học với các vấn đề thế giới thực Ông cho rằng, “mô hình toán học

là một quá trình của đại diện các vấn đề thế giới thực về mặt toán học trong một nỗ lực để tìm giải pháp hướng tới giải quyết các vấn đề Một mô hình toán học có thể được coi là một đơn giản hóa hoặc trừu tượng của một vấn đề thế giới thực (phức tạp) hay hình thành một hình thức toán học, từ đó chuyển đổi các vấn đề thế giới thực vào một vấn đề toán học Các vấn đề toán học sau

đó có thể được giải quyết bằng cách sử dụng bất cứ kỹ thuật, giải pháp toán học đã có Sau đó giải pháp này được giải thích và chuyển đổi sang thực tế” Lesh và Doerr, mô tả mô hình toán học là một quá trình trong đó các hệ thống khái niệm và mô hình hiện có được sử dụng để tạo ra và phát triển các mô hình mới trong bối cảnh mới

1.2.5 Mô hình hóa toán học

Mô hình hóa trong dạy học Toán là quá trình sử dụng các công cụ toán học để phân tích và hiểu rõ hơn các tình huống thực tiễn, từ đó cải thiện khả năng ra quyết định Trong các lớp học ở bậc trung học phổ thông, quá trình này có thể được thể hiện đơn giản thông qua việc viết các phương trình để mô tả những tình huống

cụ thể Học sinh có thể vận dụng lập luận tỷ lệ để lên kế hoạch cho một sự kiện của trường hoặc phân tích vấn đề trong cộng đồng Trong bối cảnh học tập ở cấp trung học, học sinh có thể sử dụng hình học để giải quyết các vấn đề thiết kế, hoặc áp dụng hàm số để mô tả sự phụ thuộc giữa các yếu tố, chẳng hạn như lợi ích

Theo Nguyễn Danh Nam (2015), “mô hình hóa toán học là quá trình giúp học sinh khám phá và tìm hiểu các tình huống phát sinh từ thực tiễn bằng cách sử dụng công cụ và ngôn ngữ toán học, có sự hỗ trợ từ công nghệ thông tin ” Quá trình này yêu cầu học sinh phát triển các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, và trừu tượng hóa Tại bậc phổ thông, mô hình hóa phản ánh mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội

dung kiến thức toán học trong sách giáo khoa, thông qua việc sử dụng ngôn ngữ toán học như ký hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức và phương trình

Phân tích này cho thấy rằng hoạt động mô hình hóa không chỉ giúp học sinh nâng cao sự hiểu biết về các khái niệm và quá trình toán học, mà còn hỗ trợ việc hệ thống hóa các ý tưởng và khái niệm toán học, cũng như cách thức xây dựng mối quan hệ giữa chúng Cách tiếp cận này giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn, đồng thời tạo động lực và niềm say mê trong việc học Toán của học sinh

1.2.6 Năng lực mô hình hóa

1.2.6.1 Năng lực mô hình hoá của học sinh

Trong khuôn khổ chương trình PISA, học sinh quốc tế được đánh giá dựa trên tám năng lực toán học đặc trưng, bao gồm tư duy và lập luận, suy luận và chứng minh toán học, giao tiếp toán học, mô hình hóa, nêu và giải quyết vấn

đề, biểu diễn, sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ toán học, cũng như sử dụng công

cụ tính toán Trong tất cả những năng lực đó, mô hình hóa đang trở thành một lĩnh vực được nhiều quốc gia chú trọng, bao gồm cả Việt Nam

Mô hình hóa trong dạy học toán được xem là quá trình giúp học sinh khám phá và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn thông qua việc sử dụng các công

cụ và ngôn ngữ toán học, như hình vẽ, đồ thị, hàm số, phương trình và ký hiệu Quá trình này không chỉ giúp học sinh nhận thức rõ về vai trò của toán học trong cuộc sống hàng ngày mà còn phát triển khả năng phân tích, suy luận

và giải quyết các bài toán khác nhau Nó cũng góp phần nâng cao tư duy phê phán và khả năng liên kết kiến thức toán học với các môn học khác trong chương trình giáo dục

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, năng lực mô hình hóa được thể hiện rõ qua việc xác định các mô hình toán học cho các tình huống thực tế, giải quyết vấn đề trong mô hình đó và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tế Năng lực này bao gồm khả năng “phiên dịch” đặc

điểm, mối quan hệ và giả thuyết trong tình huống thực tế thành bài toán cần giải quyết, kiểm chứng lời giải và so sánh các mô hình đã có

Tùy vào quan điểm, có nhiều cách định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa Theo nghiên cứu của Bloom và Jensen, năng lực này là khả năng thực hiện toàn bộ quy trình mô hình hóa trong một tình huống cụ thể nhằm giải quyết các vấn đề toán học Các thành tố của năng lực mô hình hóa bao gồm: (1) Đơn giản hóa các giả thuyết

(7) Biểu diễn mô hình

(8) Liên hệ lại với thực tiễn

Đồng thời, năng lực toán học hóa tình huống cũng rất quan trọng, cho phép học sinh áp dụng kiến thức toán học để chuyển đổi một tình huống thực tế sang dạng toán học Để thực hiện mô hình hóa thành công, học sinh cần kết hợp nhiều kỹ năng khác nhau, như kỹ năng giao tiếp, kỹ năng giải quyết vấn

đề và kỹ năng làm việc nhóm Năng lực này còn phụ thuộc vào trình độ toán học và hiểu biết của học sinh về thế giới xung quanh

Các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn bao gồm những khả năng như thu nhận thông tin từ tình huống, xác định yếu tố trung tâm, sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, xây dựng mô hình hóa toán học và làm việc với mô hình toán học Điều này bao gồm:

- Khả năng thu nhận và đơn giản hóa thông tin từ tình huống thực tế

- Xác định và thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán

- Vận dụng ngôn ngữ tự nhiên và toán học để diễn đạt các tình huống và chuyển đổi thành bài toán

- Phát triển và biểu diễn biểu thức toán học từ các đại lượng thực tế

- Giải quyết các vấn đề từ mô hình đã thiết lập và kiểm tra, đánh giá kết quả

Tổng kết lại, năng lực mô hình hóa không chỉ là quá trình mà còn là cầu nối giúp học sinh áp dụng toán học vào cuộc sống thực tế, phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề

1.2.6.2 Năng lực mô hình hóa của giáo viên

Để hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động mô hình hóa hiệu quả, giáo viên cần trang bị cho mình các kiến thức và kỹ năng cần thiết Trong bối cảnh này, vai trò của giáo viên không còn chỉ là người truyền đạt kiến thức một cách thụ động, mà còn là người điều phối và hỗ trợ tư vấn cho học sinh trong quá trình học tập Chính vì vậy, năng lực quản lý lớp học của giáo viên trở thành yếu tố vô cùng quan trọng

Để thực hiện điều này, giáo viên cần thiết lập các tiêu chí và yêu cầu

rõ ràng cho việc hoàn thành các hoạt động mô hình hóa Ngoài ra, giáo viên cũng phải đảm bảo rằng các tình huống được đưa ra phù hợp với trình độ của học sinh, kích thích sự tò mò và hứng thú của họ, đồng thời cho phép học sinh vận dụng những kiến thức toán học đã học vào việc giải quyết vấn đề trong tình huống cụ thể

Theo một cuộc khảo sát được thực hiện với các giáo viên dạy toán tại

13 trường trung học phổ thông trên toàn quốc, có đến 75% giáo viên cho rằng những hoạt động sau là rất thiết yếu trong quá trình dạy học:

- Khai thác sâu các ví dụ và bài tập thực tiễn có trong sách giáo khoa và sách bài tập

- Đưa ra các tình huống ngoài sách giáo khoa, liên quan đến việc sử dụng toán học để giải quyết những vấn đề gần gũi với trải nghiệm thực tế của học sinh

- Yêu cầu học sinh thường xuyên sưu tầm các tình huống thực tế và mô hình toán học liên quan đến kiến thức đã học, thông qua các hoạt động học tập dự án

Các hoạt động này không những giúp lôi cuốn học sinh vào việc học

mà còn góp phần hình thành và phát triển kỹ năng mô hình hóa và giải quyết vấn đề trong thực tế Quan trọng hơn, những trải nghiệm này giúp học sinh nhìn nhận rõ hơn về ứng dụng của toán học trong đời sống hàng ngày, từ đó phát triển tư duy sáng tạo và khả năng suy luận logic của các em

1.2.6.3 Cấp độ mô hình hoá

Để việc tiếp thu kiến thức của học sinh diễn ra thuận lợi, các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp một cách có hệ thống, từ những bài dễ đến những bài khó hơn, từ những vấn đề đơn giản đến phức tạp Việc học sinh có thể tự mình giải quyết các bài toán không chỉ tạo ra niềm vui

mà còn có tác động tích cực lên tâm lý của các em Ngược lại, nếu học sinh gặp phải thất bại ngay từ những bài toán đầu tiên, dù là dễ, có thể dẫn đến cảm giác chán nản, mất đi động lực học tập và ảnh hưởng tiêu cực đến quá trình học của các em

Do đó, khi thiết kế các hoạt động và bài tập mô hình hóa, giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa theo các tiêu chí được đề xuất bởi Ludwig và Xu (2010):

năng phác thảo hay ghi chép bất kỳ thông tin nào liên quan đến vấn đề

thể đơn giản hóa hay liên kết nó với các khái niệm toán học cụ thể

hóa căn bản, bao gồm khả năng nhận diện vấn đề trong tình huống thực tiễn và tìm ra mô hình thông qua cách cấu trúc và đơn giản hóa Tuy nhiên, học sinh vẫn chưa biết cách chuyển đổi thành bài toán toán học

- Cấp độ 3: Học sinh bắt đầu xây dựng mô hình và chuyển đổi nó từ

thực tiễn sang ngôn ngữ toán học Để đạt được cấp độ này, học sinh cần hoàn thiện các kỹ năng mô hình hóa từ cấp độ 1 đến 4

dụng kiến thức toán học để giải quyết bài toán và đưa ra những kết quả

cụ thể

toán học và kiểm nghiệm lời giải trong mối quan hệ với tình huống đã được cho Để đạt được cấp độ này, học sinh cần nắm vững đầy đủ tám

kỹ năng mô hình hóa đã được xác định

Việc phân chia rõ ràng các cấp độ như vậy không chỉ giúp giáo viên

dễ dàng theo dõi tiến độ và khả năng của từng học sinh mà còn giúp học sinh

có những bước tiến phù hợp với năng lực và sự phát triển của bản thân Cách tiếp cận này đảm bảo rằng mọi em học sinh đều có cơ hội học hỏi và phát triển theo cách tốt nhất

1.2.6.4 Những khó khăn của học sinh và giáo viên trong dạy học mô hình hoá

Tích hợp mô hình hóa vào dạy học Toán là một quá trình đầy thách thức

và phức tạp Các nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn dạy học đã chỉ ra những khó khăn mà học sinh thường gặp phải trong việc thực hiện mô hình hóa các tình huống thực tiễn tại một số trường trung học phổ thông ở Việt Nam

Một trong những vấn đề chính là hiểu tình huống Học sinh thường không nhận ra đầy đủ thông tin quan trọng trong tình huống để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học, dẫn đến việc biểu diễn sai các mối quan hệ hoặc hiểu chưa rõ yêu cầu của tình huống Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc chọn lọc thông tin cần thiết và

có xu hướng sử dụng tất cả các thông tin được cung cấp, dẫn đến kết quả là mô hình toán học được xây dựng không phù hợp

Vấn đề toán hóa cũng là một trở ngại lớn Học sinh thường gặp khó khăn trong việc đơn giản hóa bài toán, xác định biến số và tham số cần thiết, thu thập dữ liệu thực tế và loại bỏ các yếu tố phi toán học Họ có thể gặp khó khăn khi chuyển

đổi bài toán thành ngôn ngữ toán học và thường không nhận ra tri thức toán học cần thiết khi giải quyết tình huống Nhiều học sinh cũng thường xây dựng các mô hình trung gian khác nhau, dẫn đến việc tạo ra những tình huống giả tưởng hoặc thoát ra khỏi khuôn khổ toán học

Về giải bài toán, học sinh có thể quên các kiến thức đã học, gặp khó khăn trong việc tìm ra phương pháp giải cho mô hình toán đã xây dựng Họ thường bị ảnh hưởng bởi kiến thức mới, hài lòng khi tìm ra một lời giải duy nhất, và có thói quen giải toán theo dạng mà ít liên hệ với thực tiễn Sự sai lầm trong tính toán, áp dụng công thức, hoặc suy luận không chính xác cũng có thể xảy ra do học sinh chưa vững kiến thức toán học liên quan Đặc biệt, năng lực tư duy trừu tượng và khả năng liên tưởng của học sinh cũng là những yếu tố cần được cải thiện

Về kinh nghiệm thực tiễn, mô hình hóa yêu cầu quá trình chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai chiều, vì vậy kiến thức thực tiễn rất cần thiết Tuy nhiên, nhiều học sinh thiếu hụt kiến thức thực tiễn liên quan do ít được tham gia vào các hoạt động thực tiễn và có khả năng liên kết kiến thức liên môn yếu

Trong quá trình đối chiếu với thực tế, học sinh thường chỉ chú trọng đến kết quả toán học mà không thực sự xem xét tính hợp lý của kết quả trong thực tiễn

và mối quan hệ giữa kết quả với các yếu tố trong tình huống

Ngoài ra, một số khó khăn khác cũng thường gặp phải như thiếu động lực cho việc giải quyết tình huống, thời gian hạn chế trong lớp học để thực hiện mô hình hóa, thiếu kỹ năng làm việc nhóm, bất đồng ý kiến giữa các thành viên trong nhóm, và khả năng sử dụng công nghệ thông tin còn hạn chế Đặc biệt, sự thiếu hụt tài liệu tham khảo về mô hình hóa cũng là một rào cản lớn

Mặc dù mô hình hóa là một công cụ hữu ích trong tổ chức dạy học Toán, vẫn có không ít thách thức từ phía giáo viên trong việc triển khai Một số khó khăn điển hình bao gồm:

- Lựa chọn vấn đề thực tiễn: Việc chọn một vấn đề ngoài toán học để giao cho học sinh không phải lúc nào cũng dễ dàng Các bài toán liên quan đến thực tiễn thường

có độ khó cao với nhiều biến số, làm tăng khó khăn cho học sinh trong việc xác định các yếu tố liên quan Giáo viên cần có nhiều thời gian và kiến thức để xác định

một tình huống thực tiễn phù hợp, nhưng điều này chưa được xem trọng trong chương trình đào tạo sư phạm

- Khả năng phát triển bài toán: Giáo viên có thể gặp khó khăn trong việc xây dựng

và lựa chọn mô hình toán học phù hợp, xử lý số liệu thực tế và truyền đạt nội dung một cách rõ ràng cho học sinh Thậm chí, các chủ đề thảo luận có thể không liên quan đến kiến thức đã học của học sinh, gây khó khăn trong quá trình giảng dạy

- Khó khăn trong môi trường phức tạp: Các tình huống mô hình hóa thường phức

tạp và có nhiều cách giải khác nhau Điều này khiến giáo viên gặp khó khăn trong việc dự đoán những cách thức giải quyết mà học sinh sẽ sử dụng và khó hướng dẫn trong toàn bộ quá trình mô hình hóa

- Nội dung sách giáo khoa: Trong sách giáo khoa, các bài toán thực tế thường chỉ

mang tính lý thuyết, ít thực hành và không nằm trong nội dung thi Điều này khiến học sinh và giáo viên ít chú trọng đến kiến thức này, đặc biệt khi dạy học mô hình hóa cần nhiều thời gian hơn so với phương pháp truyền thống

- Kiến thức liên môn và kinh nghiệm sống: Kiến thức và kinh nghiệm về các lĩnh vực

như vật lý, hóa học hay sinh học của một số giáo viên vẫn còn hạn chế Điều này ảnh hưởng đến khả năng giải thích và đề xuất các chủ đề mô hình hóa cho học sinh, dẫn đến một số hạn chế trong tích hợp kiến thức liên môn trong quá trình dạy học

Mặc dù có nhiều khó khăn như vậy, việc học sinh nắm vững kiến thức, thành thạo kỹ năng toán học và có cơ hội thực hành thường xuyên sẽ giúp hình thành thói quen và kinh nghiệm tốt trong việc chuyển đổi từ môi trường thực tế sang toán học, đồng thời cải thiện khả năng phản ánh kết quả toán học trong thực tiễn

1.2.7 Quy trình mô hình hóa toán học

1.2.7.1 Quy trình mô hình hoá

Năm 1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa [20]

Từ sơ đồ ta thấy, tình huống thực tiễn ban đầu được phiên dịch sang tình huống toán học dựa trên ngôn ngữ toán học, rồi giải bài toán trong mô hình đó, và quay lại áp dụng kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu Chiều các mũi tên biểu thị cho sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học nhiều lần

Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [21]:

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm

các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn

ngữ toán học Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp

với tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra

kết luận

Ví dụ 1.1 Một chiếc ti vi hình chữ nhật có chiều rộng 1,4m, được treo

trên một bức tường ở độ cao 1,8m so với mặt đất (tính đầu mép dưới của màn ảnh) Người ta muốn chọn vị trí đặt ghế sô pha để có thể xem được rõ và thoải mái nhất Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí ngồi sao cho góc nhìn lớn nhất

Hãy xác định vị trí đó?

Lời giải

Giai đoạn 1: Quan sát vấn đề thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các

yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

- Từ đề bài ta vẽ hình minh hoạ tương ứng

1,4 3,2.1,8 5,76

AOC AOB BOC AOC AOB

Bài toán trở thành tìm x >0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất

Lập bảng biến thiên ta được f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2,4

Vậy vị trí đặt ghế sô pha cho góc nhìn lớn nhất là cách bức tường treo ti

vi 2,4m

Giai đoạn 4:

Trong cuộc sống thực tế, khi quan sát các hình ảnh qua màn ảnh, chúng ta thường chỉ dựa vào cảm nhận của nhãn quan Tuy nhiên, trong những lĩnh vực nhất định như phóng viên hay nhiếp ảnh gia, việc xác định góc nhìn cụ thể và chính xác là rất quan trọng nhằm đảm bảo hiệu quả công việc Ở đây, các bài toán mô hình hóa đóng vai trò quan trọng trong việc giúp chúng ta thực hiện những tính toán hợp lý để giải quyết vấn đề một cách chính xác và hiệu quả hơn

Quy trình mô hình hóa và giải quyết vấn đề có nhiều điểm tương đồng, điều này tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện qua các phương pháp phát triển tư duy và thúc đẩy quá trình tự nhận thức Quy trình này được xem như một vòng tuần hoàn khép kín, trong đó các kết quả đạt được được sử dụng để phân tích và giải thích các vấn đề trong thực tiễn; đồng thời, học sinh thường quay lại các bước trước để kiểm tra thông tin hoặc điều chỉnh các chiến lược thực hiện

Swetz và Hartzler đã minh họa cho quy trình này qua sơ đồ, chỉ ra rằng nó không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về sự kết nối giữa toán học và thực tiễn mà còn làm nổi bật tầm quan trọng của việc phản hồi và điều chỉnh trong suốt quá trình học hỏi Việc này không chỉ giúp các em củng cố kiến thức mà còn nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề, tạo ra một cách tiếp cận linh hoạt và sáng tạo hơn trong việc tìm kiếm các giải pháp cho những tình huống thực tế

Bằng cách này, học sinh sẽ có cơ hội hiểu rõ hơn về cách thức ứng dụng toán học vào các khía cạnh của đời sống thực tiễn, từ đó phát triển khả năng tư duy phản biện và quyết định một cách có hiệu quả

kết nối với việc học tập toán học”; Ang Keng Cheng (2001) đưa ra quan điểm gắn kết mô hình toán học với các vấn đề thế giới thực Ông cho rằng, “mô hình toán học là một quá trình của đại diện các vấn đề thế giới thực về mặt toán học trong một nỗ lực để tìm giải giới thực (phức tạp) hay hình thành một hình thức toán học, từ đó chuyển đổi các vấn đề thế giới thực vào một vấn đề toán học Các giải thích và chuyển đổi sang thực tế” Lesh và Doerr, mô tả mô hình toán học là một quá trình trong đó các hệ thống khái niệm và mô dụng các công cụ toán học để phân tích và hiểu rõ hơn các tình huống thực tiễn, từ đó cải thiện khả năng ra quyết định Trong các lớp huống cụ thể Học sinh có thể vận dụng lập luận tỷ lệ để lên kế hoạch cho một sự kiện của trường hoặc phân tích vấn đề trong cộng

số để mô tả sự phụ thuộc giữa các yếu tố, chẳng hạn như lợi ích Theo Nguyễn Danh Nam (2015), “mô hình hóa toán học là quá trình trợ từ công nghệ thông tin ” Quá trình này yêu cầu học sinh phát triển các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng nhiên và xã hội với nội dung kiến thức toán học trong sách giáo khoa, thông qua việc sử dụng ngôn ngữ toán học như ký hiệu, đồ thị,

về các khái niệm và quá trình toán học, mà còn hỗ trợ việc hệ thống hóa các ý tưởng và khái niệm toán học, cũng như cách thức xây trong việc học Toán của học sinh Trong khuôn khổ chương trình PISA, học sinh quốc tế được đánh giá dựa trên tám năng lực toán

đề, biểu diễn, sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ toán học, cũng như sử dụng công cụ tính toán Trong tất cả những năng lực đó, mô hình quá trình giúp học sinh khám phá và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn thông qua việc sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học, trong cuộc sống hàng ngày mà còn phát triển khả năng phân tích, suy luận và giải quyết các bài toán khác nhau Nó cũng góp phần trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, năng lực mô hình hóa được thể hiện rõ qua việc xác định các mô hình toán học cho các

“phiên dịch” đặc điểm, mối quan hệ và giả thuyết trong tình huống thực tế thành bài toán cần giải quyết, kiểm chứng lời giải và so Bloom và Jensen, năng lực này là khả năng thực hiện toàn bộ quy trình mô hình hóa trong một tình huống cụ thể nhằm giải quyết các vấn đề toán học Các thành tố của năng lực mô hình hóa bao gồm:

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991

Quá trình mô hình hóa một tình huống cụ thể có thể được phân chia thành ba giai đoạn chính: giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn nghiên cứu trên mô hình, và giai đoạn xử lý kết quả cũng như điều chỉnh mô hình

Giai đoạn xây dựng mô hình là giai đoạn mà học sinh cần sử dụng trí

tưởng tượng và trực giác của mình Trong giai đoạn này, học sinh hình thành

mô hình dựa trên các đặc điểm đặc trưng của đối tượng cần nghiên cứu Mô hình có thể là mô hình vật chất hoặc có thể liên tưởng đến những mô hình đã

có sẵn Nói cách khác, đây là giai đoạn mà học sinh tìm kiếm một hình mẫu đại diện cho đối tượng thực tế

Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình là giai đoạn tiếp theo, trong đó

mô hình đã được xây dựng ở giai đoạn trước sẽ trở thành đối tượng để kiểm tra thông qua các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau Giai đoạn này cho phép học sinh đánh giá xem mô hình có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và xác định liệu nó có cần phải điều chỉnh cho giai đoạn tiếp theo hay không

Giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình diễn ra khi kết quả thu

được từ mô hình đã được chuyển về với đối tượng nghiên cứu ban đầu Trong

giai đoạn này, học sinh sẽ so sánh và đối chiếu kết quả, đồng thời điều chỉnh

mô hình để phù hợp hơn với thực tế của đối tượng

Hầu hết các sơ đồ mô tả quá trình mô hình hóa đều tập trung vào việc khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình này Một ví dụ tiêu biểu là

sơ đồ của Bloom và Leib (2006), trong đó có bảy bước mô tả quy trình giải quyết nhiệm vụ mô hình hóa Một điểm đặc biệt của sơ đồ này là sự phân tách giữa mô hình tình huống và tình huống thực tiễn, cũng như mô hình thực, điều này thể hiện quan điểm của Bloom rằng đây là một giai đoạn quan trọng trong quá trình mô hình hóa [17]

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006

Các giai đoạn được thể hiện theo sơ đồ trên như sau:

Giai đoạn 1: Hiểu tìnһ һuống được cһo, xây dựng một mô һìnһ cһo

tìnһ һuống, kһám pһá và tһiết lập mục tiêu giải quyết cһo tìnһ һuống

Giai đoạn 2: Đơn giản һóa tìnһ һuống và đưa các biến pһù һợp vào để

được mô һìnһ tһực của tìnһ һuống, lựa cһọn các biến quan trọng để mô tả tìnһ һuống

Giai đoạn 3: Cһuyển từ mô һìnһ tһực sang mô һìnһ toán, һay tһiết lập mô

һìnһ bằng công cụ và ngôn ngữ toán һọc, mô tả mối quan һệ giữa các biến số

Giai đoạn 4: Làm việc trong môi trường toán һọc để đạt được kết quả

toán, pһân tícһ các mối quan һệ giữa các biến để rút ra kết luận

Giai đoạn 5: Tһể һiện kết quả trong ngữ cảnһ tһực tế

Giai đoạn 6: Xem xét tínһ pһù һợp của kết quả һay pһải tһực һiện cһu

trìnһ lần 2

Giai đoạn 7: Trìnһ bày cácһ giải quyết

Năm 2007, Stillman, Galbraitһ, Brown đưa ra sơ đồ mô һìnһ һóa mở rộng vớ sự cải tiến cһi tiết của sơ đồ Bên cạnһ việc mô tả quá trìnһ mô һìnһ һóa, Stillman và các cộng sự nһấn mạnһ tínһ cһất pһản ánһ quá trìnһ tһông qua mũi tên һai cһiều, đồng tһời cһú ý đến các һoạt động nһận tһức của һọc sinһ xảy ra trong suốt quá trìnһ

Ông cho rằng, “mô hình toán học là một quá trình của đại diện các vấn đề thế giới thực về mặt toán học trong một nỗ lực để tìm giải pháp hướng tới giải quyết các vấn đề Một mô hình toán vấn đề toán học Các vấn đề toán học sau đó có thể được giải quyết bằng cách sử dụng bất cứ kỹ thuật, giải pháp toán học đã có Sau đó giải pháp này được giải thích và chuyển đổi sang thực hình hóa trong dạy học Toán là quá trình sử dụng các công cụ toán học để phân tích và hiểu rõ hơn các tình huống thực tiễn, từ đó cải thiện khả năng ra quyết định Trong các lớp học ở bậc hoạch cho một sự kiện của trường hoặc phân tích vấn đề trong cộng đồng Trong bối cảnh học tập ở cấp trung học, học sinh có thể sử dụng hình học để giải quyết các vấn đề thiết kế, hoặc áp huống phát sinh từ thực tiễn bằng cách sử dụng công cụ và ngôn ngữ toán học, có sự hỗ trợ từ công nghệ thông tin ” Quá trình này yêu cầu học sinh phát triển các kỹ năng và thao tác tư duy kiến thức toán học trong sách giáo khoa, thông qua việc sử dụng ngôn ngữ toán học như ký hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức và phương trình Phân tích này cho thấy rằng hoạt động mô hình hóa quan hệ giữa chúng Cách tiếp cận này giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn, đồng thời tạo động lực và niềm say mê trong việc học Toán của học sinh Trong khuôn khổ chương trình quyết vấn đề, biểu diễn, sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ toán học, cũng như sử dụng công cụ tính toán Trong tất cả những năng lực đó, mô hình hóa đang trở thành một lĩnh vực được nhiều công cụ và ngôn ngữ toán học, như hình vẽ, đồ thị, hàm số, phương trình và ký hiệu Quá trình này không chỉ giúp học sinh nhận thức rõ về vai trò của toán học trong cuộc sống hàng ngày khác trong chương trình giáo dục Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, năng lực mô hình hóa được thể hiện rõ qua việc xác định các mô hình toán học cho các tình huống thực tế thành bài toán cần giải quyết, kiểm chứng lời giải và so sánh các mô hình đã có Tùy vào quan điểm, có nhiều cách định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa Theo nghiên cứu của Bloom và Jensen, năng lực này là khả năng thực hiện toàn bộ quy trình mô hình hóa trong một tình huống cụ thể nhằm giải quyết các

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007

Trong đó: Các mục từ A đến G là các bước của quá trình mô hình hóa, các mũi tên thể hiện sự chuyển đổi giữa các bước (1) Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống (2) Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán (3) Giải toán (4) Giải thích kết quả toán (5) So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lý (6) Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận) (7) Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận)

Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học đều gồm 4 yếu tố chính là: toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh Các yếu tố này mô tả các hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình mô hình hóa

1.2.7.2 Quy trình mô hình hoá toán học

Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn

Ông cho rằng, “mô hình toán học là một quá trình của đại diện các vấn đề thế giới thực về mặt toán học trong một nỗ lực để tìm giải pháp hướng tới giải quyết các

học, từ đó chuyển đổi các vấn đề thế giới thực vào một vấn đề toán học Các vấn đề toán học sau đó có thể được giải quyết bằng cách sử dụng bất cứ kỹ thuật, giải

thống khái niệm và mô hình hiện có được sử dụng để tạo ra và phát triển các mô hình mới trong bối cảnh mới Mô hình hóa trong dạy học Toán là quá trình sử

thông, quá trình này có thể được thể hiện đơn giản thông qua việc viết các phương trình để mô tả những tình huống cụ thể Học sinh có thể vận dụng lập luận tỷ lệ

giải quyết các vấn đề thiết kế, hoặc áp dụng hàm số để mô tả sự phụ thuộc giữa các yếu tố, chẳng hạn như lợi ích Theo Nguyễn Danh Nam (2015), “mô hình hóa

công nghệ thông tin ” Quá trình này yêu cầu học sinh phát triển các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, và trừu

khoa, thông qua việc sử dụng ngôn ngữ toán học như ký hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức và phương trình Phân tích này cho thấy rằng hoạt động mô hình hóa không

thức xây dựng mối quan hệ giữa chúng Cách tiếp cận này giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn, đồng thời tạo động lực và niềm say mê trong việc học Toán

và chứng minh toán học, giao tiếp toán học, mô hình hóa, nêu và giải quyết vấn đề, biểu diễn, sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ toán học, cũng như sử dụng công cụ

học toán được xem là quá trình giúp học sinh khám phá và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn thông qua việc sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học, như

phát triển khả năng phân tích, suy luận và giải quyết các bài toán khác nhau Nó cũng góp phần nâng cao tư duy phê phán và khả năng liên kết kiến thức toán học

xác định các mô hình toán học cho các tình huống thực tế, giải quyết vấn đề trong mô hình đó và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tế Năng lực này bao gồm

có Tùy vào quan điểm, có nhiều cách định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa Theo nghiên cứu của Bloom và Jensen, năng lực này là khả năng thực hiện

toàn bộ quy trình mô hình hóa trong một tình huống cụ thể nhằm giải quyết các

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hoá trong dạy học môn Toán

Quy trình mô hình hóa trong việc dạy học toán là một quy trình linh hoạt và cần được thực hiện theo từng bước cụ thể để đảm bảo học sinh nắm vững và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả Dưới đây là các bước quan trọng mà giáo viên cần hướng dẫn học sinh thực hiện:

Bước 1: Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn

Trong bước này, học sinh cần hiểu rõ vấn đề thực tiễn mà bài toán đặt

ra Họ sẽ xây dựng giả thuyết và sau đó mô tả, diễn đạt vấn đề này bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học, thông qua việc xây dựng các mô hình toán học tương ứng Việc định hình các khái niệm và mối quan hệ hợp lý là rất quan trọng để có thể bắt đầu quá trình giải quyết vấn đề

Bước 2: Giải bài toán

Ở bước này, học sinh sẽ sử dụng kiến thức toán học đã học để giải quyết bài toán đã được toán học hóa Để làm được điều này, học sinh cần có phương pháp giải phù hợp và lựa chọn các công cụ toán học hiệu quả nhằm xây dựng và giải quyết vấn đề một cách tối ưu Việc trang bị đầy đủ kiến thức