Phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học chủ Đề hàm số mũ và logarit lớp 11 thpt

Điều này thể hiện qua việc học sinh có khả năng hiểu và áp dụng các khái niệm liên quan đến hàm số mũ và logarit trong các tình huống thực tế, phân tích và giải quyết các bài toán thực t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit lớp 11 THPT” là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của tôi Những số liệu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, có nguồn gốc rõ ràng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Các kết quả nghiên cứu do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của giảng viên

hướng dẫn PGS.TS VŨ TRỌNG LƯỠNG

i

LỜI CẢM ƠN

Sau quá trình nỗ lực học tập và nghiên cứu nghiêm túc, em đã hoàn thành luận văn này Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô tại khoa Sư phạm, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trang bị cho

em không chỉ kiến thức chuyên môn mà còn cả sự động viên và những bài học quý giá suốt thời gian học tập tại trường

Đặc biệt, em muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Thầy đã tận tình hướng dẫn và dành nhiều thời gian quý báu để giúp đỡ em

trong từng giai đoạn của luận văn này Sự tận tâm và chỉ dẫn quý báu của thầy đã giúp em hoàn thiện luận văn với tất cả khả năng và sự nỗ lực của bản thân

Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các thầy cô giáo trong tổ Toán – Tin và toàn thể các em học sinh Trường Trung học phổ thông Đường An đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong quá trình thực nghiệm sư phạm tại trường

Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè, những người đã luôn là nguồn động viên lớn lao về cả tinh thần lẫn vật chất, giúp em vượt qua những khó khăn và hoàn thành tốt luận văn này Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết

ơn tới chồng, người đã luôn sát cánh, chia sẻ và khích lệ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Mặc dù đã nỗ lực hết sức, nhưng chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót và hạn chế Em rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy cô và các bạn

để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Cuối cùng, em xin kính chúc các thầy cô, gia đình và bạn bè luôn dồi dào sức khỏe, hạnh phúc và thành công!

Hà Nội, ngày 21 tháng 9 năm 2024

Tác giả

Vũ Thị Hồng Nhung

ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

iii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG vi

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng, khách thể 2

5 Câu hỏi nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Phạm vi nghiên cứu 4

9 Đóng góp mới của đề tài 4

10 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 6

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 6

1.1 Cơ sở lý luận của đề tài 6

1.1.1.Năng lực và, năng lực toán học, cấu trúc của năng lực toán học 6

1.1.2 Năng lực mô hình hoá toán học và cấp độ mô hình hoá toán học 14

1.1.3 Dạy học phát triển mô hình hóa toán học, mối quan hệ giữa dạy học mô hình hóa toán học đến phát triển năng lực mô hình toán học của HS 25

1.1.4 Phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hoá toán học 28

1.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài 30

1.2.1 Phân tích chủ đề hàm số mũ và logarit lớp 11 vị trí và vai trò trong chương trình giáo dục phổ thông 2006 30

1.2.2 Khảo sát thực trạng việc dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit ở lớp 11 34

CHƯƠNG 2 47

iv

CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ

ĐỀ HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT 47

2.1 Một số định hướng của biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit 47

2.1.1 Định hướng 1: Đảm bảo phù hợp với nhu cầu của HS và tạo cơ hội để HS tự thực hiện 47

2.1.2 Định hướng 2: Các biện pháp phải có tính khả thi, có tính thiết thực, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi HS THPT 47

2.1.3 Định hướng 3: Trên cơ sở tôn trọng mục tiêu, kiến thức, kĩ năng của nội dung chuyên đề Chủ đề hàm số mũ và logarit trong chương trình môn Toán lớp 11 48

2.1.4 Đảm bảo tác động vào các yếu tố đặc trưng của năng lực mô hình hóa toán học 48

2.2 Một số biện pháp nhằm phát nhằm phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit 49

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh thiết lập được các mô hình toán học từ các bài toán thực tiễn liên quan đến việc sử dụng các kiến thức chủ đề hàm số mũ và logarit 49

2.2.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh vận dụng linh hoạt được những vấn đề toán học từ mô hình được thiết lập thông quan hệ thống câu hỏi, bài tập 55

2.3.3 Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh thực hiện theo các bước của hoạt động mô hình hóa toán học để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong Chủ đề hàm số mũ và logarit 61

TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 71

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 72

3.1 Mục đích thực nghiệm 72

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 72

3.3 Nội dung thực nghiệm 73

v

3.4 Cách tiến hành thực nghiệm 74

3.5 Phân tích và đánh giá kết quả thực nghiệm 80

3.5.1 Đánh giá định tính 80

3.5.2 Đánh giá định lượng 81

3.6 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 85

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 87

1 KẾT LUẬN 87

2 KIẾN NGHỊ 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

PHỤ LỤC 1

vi

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Cấu trúc của năng lực toán học 12

Bảng 1.2 Đánh giá của giáo viên về ý nghĩa của việc dạy học mô hình hóa chủ đề, hàm số mũ, hàm số logarit gắn với thực tiễn cuộc sống ở trường THPT 35

Bảng 1.3 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả việc dạy học mô hình hóa chủ đề, hàm số mũ, hàm số logarit gắn với thực tiễn ở trường THPT 36

Bảng 1.4 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc thực hiện phương pháp dạy học mô hình hóa trong môn Toán 37

Bảng 1.5 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc kiểm tra, đánh giá trong dạy học mô hình hóa ở môn Toán 39

Bảng 1.6 Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc hướng dẫn học sinh tự học trong dạy học mô hình hóa ở môn Toán 40

Bảng 1.7 Bảng thống kê điều tra học sinh 41

Bảng 3.1 Đặc điểm học sinh lớp đối chứng và lớp thực nghiệm 73

Bảng 3.2 Tiến trình thực nghiệm sư phạm 73

Bảng 3.3 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng 81

vii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Các thành tố của năng lực toán học theo Niss (2001) 15

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak 17

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991 19

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007 21

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán 22

11, giai đoạn quan trọng trong việc định hướng nghề nghiệp và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia, năng lực này càng trở nên cần thiết Chủ đề hàm số mũ và logarit cung cấp cho học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng quan trọng để phát triển năng lực

mô hình hóa toán học Điều này bao gồm các khái niệm về số mũ và logarit, các tính chất cơ bản và mối quan hệ giữa chúng, cũng như các ứng dụng của hàm số mũ

và logarit trong các lĩnh vực như kinh tế, sinh học, hóa học và vật lý Hàm số mũ và logarit có nhiều liên hệ thực tiễn, giúp học sinh dễ dàng hình thành các mô hình toán học để giải quyết các vấn đề thực tế Việc dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit thông qua phát triển năng lực mô hình hóa toán học giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách sâu sắc và hứng thú hơn Nó nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, phát triển tư duy sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và các kỹ năng cần thiết khác cho học sinh Với sự quan tâm của ngành giáo dục, sự hỗ trợ của nhà trường và sự tích cực của học sinh, việc thực hiện

đề tài này hoàn toàn khả thi Với những lý do trên, đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ

và logarit” có ý nghĩa giáo dục quan trọng, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

và phát triển toàn diện cho học sinh Mô hình hoá toán học là một trong những năng lực then chốt giúp học sinh hiểu và áp dụng toán học vào thực tiễn, từ đó phát triển

tư duy logic, sáng tạo và khả năng suy luận Học sinh lớp 11 đã có nền tảng kiến thức toán học cơ bản và bắt đầu tiếp cận với các kiến thức phức tạp hơn, là giai đoạn quan trọng để phát triển các năng lực cao cấp, trong đó có năng lực mô hình hoá toán học

Hàm số mũ và logarit là hai chủ đề có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực

2

như khoa học, kinh tế, kỹ thuật và công nghệ Các bài toán liên quan đến hàm số mũ

và logarit thường yêu cầu học sinh phải suy nghĩ sáng tạo và sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết, từ đó phát triển tư duy đa chiều và khả năng giải quyết vấn đề hiệu quả

Đề tài này cũng phù hợp với xu hướng đổi mới giáo dục hiện nay, đặc biệt là việc chú trọng phát triển năng lực toàn diện cho học sinh thay vì chỉ tập trung vào kiến thức lý thuyết, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở bậc THPT

Từ những lý do nêu ở trên, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận, thực tiễn và đề xuất biện pháp về phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học theo chủ đề hàm số mũ và logarit, góp phần nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu và hệ thống hóa các kiến thức về cơ sở lý luận của đề tài, bao gồm

cơ sở lý thuyết về dạy học phát triển năng lực cho học sinh

- Nghiên cứu chương trình Toán lớp 11, tập trung vào chủ đề Hàm số mũ và logarit

- Tìm hiểu thực trạng giảng dạy chủ đề hàm số lớp 11 theo hướng gắn kết với thực tiễn

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực học tập cho học sinh thông qua việc giảng dạy chủ đề hàm số mũ và logarit

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất trong thực tiễn giảng dạy

4 Đối tượng, khách thể

4.1 Đối tượng nghiên cứu

- Năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy

học chủ đề hàm số mũ và logarit

3

4.2 Khách thể nghiên cứu

- Chương trình sách giáo khoa môn toán lớp 11 và học sinh

5 Câu hỏi nghiên cứu

- Làm thế nào để giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua chủ đề Hàm số mũ và logarit

6 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh lớp 11 THPT được hướng dẫn dạy học theo chủ đề hàm số mũ

và logarit thông qua các hoạt động mô hình hoá toán học thì năng lực mô hình hoá toán học của họ sẽ được cải thiện rõ rệt Điều này thể hiện qua việc học sinh có khả năng hiểu và áp dụng các khái niệm liên quan đến hàm số mũ và logarit trong các tình huống thực tế, phân tích và giải quyết các bài toán thực tế bằng cách sử dụng các phương pháp mô hình hoá toán học, cũng như phát triển kỹ năng tư duy logic, sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề thông qua việc xây dựng và phân tích các

mô hình toán học liên quan đến hàm số mũ và logarit

Để kiểm chứng giả thuyết này, cần thiết kế chương trình học và nội dung bài giảng tập trung vào hàm số mũ và logarit, có tích hợp các bài tập và dự án mô hình hoá toán học Việc đánh giá và đo lường năng lực mô hình hoá toán học của học sinh sẽ được thực hiện thông qua các bài kiểm tra và bài tập trước và sau khi áp dụng phương pháp giảng dạy mới, sử dụng các tiêu chí đánh giá rõ ràng và minh bạch để đo lường sự tiến bộ của học sinh

Việc phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học cơ bản mà còn phát triển các kỹ năng tư duy logic, giải quyết vấn

đề và ứng dụng toán học trong cuộc sống thực tế Nếu giả thuyết này được kiểm chứng thành công, nó sẽ góp phần cải thiện chất lượng giáo dục toán học và chuẩn

bị tốt hơn cho học sinh trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật và toán học

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Các phương pháp nghiên cứu lý luận

- Đọc và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài

- Sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ

4

thống, khái quát hóa

7.2 Các phương pháp điều tra, nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra bằng bảng hỏi

- Phỏng vấn một số giáo viên

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính hiệu quả, tính khả thi của các biện pháp đề xuất

7.4 Phương pháp thống kê toán học

- Phương pháp phân tích số liệu

- Phương pháp thống kê suy luận

8 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về các bài toán chủ đề “hàm số mũ và logarit” (thuộc chương

trình Đại số 11)

- Các khảo sát làm với đối tượng học sinh lớp 11D trường THPT Đường

An, Bình Giang, Hải Dương

9 Đóng góp mới của đề tài

- Thực trạng dạy học phát triển năng lực mô hình hoá toán học chủ đề hàm

10 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần như sau:

Phần mở đầu: Trình bày các vấn đề: Lí do chọn đề tài, lịch sử nghiên cứu

vấn đề, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, câu hỏi nghiên cứu, giả thuyết khoa học, các phương pháp nghiên cứu

Phần nội dung: Gồm ba chương

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài

5

Chương 2: Các biện pháp dạy học phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 11 THPT thông qua dạy học chủ đề hàm số mũ và logarit

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Phần kết luận và kiến nghị: Trình bày những kết luận rút ra trong quá trình

nghiên cứu cũng như thực nghiệm và nêu một số ý kiến đề xuất

6

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Cơ sở lý luận của đề tài

1.1.1 Năng lực, cấu trúc năng lực, cấu trúc của năng lực toán học

1.1.1.1 Năng lực

"Từ "năng lực", xuất phát từ tiếng Latin "competentia" có nghĩa là "gặp gỡ", đồng nghĩa với việc đối mặt và đáp ứng được các thách thức, tình huống khác nhau Trong tiếng Anh, khái niệm "năng lực" được biểu hiện qua nhiều thuật ngữ như capability, ability, competency, capacity

Theo từ điển tiếng Việt, năng lực được định nghĩa là khả năng hoặc điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên để thực hiện một hoạt động cụ thể Nó có thể là phẩm chất tâm lý, sinh lý, tạo điều kiện cho con người hoàn thành một loại hoạt động với chất lượng cao [10, tr.54]

Có nhiều định nghĩa về năng lực Theo Chouhan & Srivastava (2014) cho

rằng: “Năng lực bao gồm tập hợp các yếu tố thành công cần thiết để đạt được kết quả quan trọng trong một công việc cụ thể hoặc của một vai trò công việc trong một

tổ chức cụ thể” [17, tr.59]

Theo Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn (1998) cho rằng: “Năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy” [14, tr.66]

Theo chương trình GDPT tổng thể năm (2018) : “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quả trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.[1]

Trong luận văn này chúng tôi đồng quan điểm về năng lực với chương trình GDPT tổng thể năm 2018

1.1.1.2 Cấu trúc năng lực

7

Mặc dù cách trình bày về khái niệm NL có khác nhau nhưng phần lớn các tài liệu trong nước và nước ngoài đều hiểu NL là sự tích hợp của nhiều thành tố như tri thức, kĩ năng, niềm tin, sự sẵn sàng hoạt động

Có thể hiểu đó là hướng tiếp cận cấu trúc của NL theo nguồn lực hợp thành F E Weinert cho rằng NL gồm ba yếu tố cấu thành là khả năng, kĩ năng và thái độ sẵn sàng tham gia hoạt động của cá nhân Có thể thấy mô hình cấu trúc của F E Weinert thiếu thành tố “tri thức”; và xem “khả năng” như một thành tố của NL bên cạnh “kĩ năng” là không thuyết phục [24, tr.87]

Chương trình GDTH của bang Québec tuy không khẳng định kiến thức, kĩ năng, thái độ là những yếu tố trực tiếp cấu thành NL, nhưng xem đó là những thành tố của nguồn lực được sử dụng để tạo ra NL: “NL có thể định nghĩa là một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực Những nguồn lực này được sử dụng một cách phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm của HS; những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú; ngoài

ra còn có những nguồn lực bên ngoài, chẳng hạn như bạn cùng lớp, thầy giáo, cô giáo, các chuyên gia hoặc các nguồn thông tin khác” [Dẫn theo 12, tr.92] thành Thực ra, việc huy động những nguồn lực bên ngoài (bạn cùng lớp, thầy giáo, cô giáo, các chuyên gia hoặc các nguồn thông tin khác) không thể xem là một thành tố của NL Đúng hơn, nên coi đó là sự thể hiện của NL hợp tác, NL huy động những nguồn thông tin mới để giải quyết những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của HS Cả hai quan điểm trên đều được thể hiện trong các tài liệu ở Việt Nam, với những sự điều chỉnh nhất định

Gần với ý kiến của F E Weinert, Đặng Thành Hưng cho rằng NL gồm ba thành

tố cơ bản là tri thức, kĩ năng và hành vi biểu cảm (thái độ), trong đó “yếu tố cốt lõi trong bất cứ NL cụ thể nào đều là kĩ năng (hoặc những kĩ năng) Những thứ khác trong NL như tri thức, thái độ, tình cảm, tâm vận động, sức khỏe cũng rất quan trọng, song thiếu kĩ năng thì chúng trở nên kém giá trị mặc dù không phải hoàn toàn

vô dụng” [3, tr.88]

Đề tài nghiên cứu cấp Bộ, năm 2011 của Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam (KHGDVN) do Lương Việt Thái làm chủ nhiệm cũng khẳng định: “NL được cấu

8

thành từ những bộ phận cơ bản: 1) Tri thức về lĩnh vực hoạt động hay quan hệ nào đó; 2) Kĩ năng tiến hành hoạt động hay xúc tiến, ứng xử với (trong) quan hệ nào đó; 3) Những điều kiện tâm lí để tổ chức và thực hiện tri thức, kĩ năng đó trong một cơ cấu thống nhất và theo một định hướng rõ ràng, chẳng hạn ý chí - động cơ, tình cảm

- thái độ đối với nhiệm vụ, hoặc nói chung là tính tích cực trí tuệ, tính tích cực giao tiếp, tính tích cực học tập…” [11, tr.20-21]

Từ phân tích trên trong phạm vi đề tài cho rằng các yếu tố cấu thành năng lực bao gồm:

Kiến thức: Kiến thức là yếu tố nền tảng của năng lực Kiến thức giúp cá nhân hiểu được bản chất của vấn đề, từ đó có thể đưa ra các giải pháp phù hợp Kiến thức có thể được tiếp thu qua các hình thức khác nhau như học tập trên lớp, tự học, học hỏi từ kinh nghiệm của người khác

Kỹ năng

Kỹ năng là khả năng thực hiện một hành động hoặc thao tác một cách thành thạo Kỹ năng bao gồm kỹ năng cứng (hard skills) và kỹ năng mềm (soft skills) Kỹ năng cứng là những kỹ năng có thể đo lường và đánh giá được, ví dụ như kỹ năng

sử dụng máy tính, kỹ năng lái xe, Kỹ năng mềm là những kỹ năng liên quan đến cách ứng xử, giao tiếp và làm việc với người khác, ví dụ như kỹ năng giao tiếp, kỹ năng làm việc nhóm, kỹ năng lãnh đạo,

Thái độ: Thái độ là cách nhìn nhận, đánh giá và hành động của một người đối với một sự vật, hiện tượng nào đó Thái độ tích cực sẽ giúp cá nhân có động lực, quyết tâm và nỗ lực để hoàn thành công việc Thái độ có thể được rèn luyện thông qua giáo dục, mài dũa bản thân và sự trải nghiệm

Khả năng: Khả năng có thể được định nghĩa là tiềm năng, năng lực, hay khả năng thực hiện một hành động hoặc nhiệm vụ nào đó Khả năng có thể là bẩm sinh hoặc được phát triển thông qua học tập và rèn luyện

Các yếu tố này có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Kiến thức và kỹ năng là nền tảng để hình thành năng lực Thái độ tích cực sẽ giúp một người phát huy tối đa năng lực của mình Khả năng là yếu tố tiềm ẩn, có thể được phát triển thông qua quá trình học tập, rèn luyện và trải nghiệm

9

1.1.1.3 Cấu trúc của năng lực toán học

Tác giả Trần Luận (2011) cho rằng: Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán trong cuộc sống, khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết thực tiễn, khả năng phân tích, suy luận…[6]

Xu thế chung mà các nền giáo dục toán tiên tiến trên thế giới không chỉ đánh giá về kiến thức mà còn xem xét khả năng của học sinh trong việc áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào giải quyết những vấn đề thực tiễn và có thể làm được những gì trên cơ sở những kiến thức đã học được Cụ thể, chú trọng khả năng

sử dụng các kiến thức đã học vào thực tế và năng lực xử lý các tình huống học sinh

sẽ gặp trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống thực tiễn, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là, xây dựng một mô hình hóa toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời Chính vì vậy, ngay từ giai đoạn học sinh phổ thông, giáo viên cần hình thành cho học sinh kĩ năng mô hình hóa thông qua dạy học Toán

Theo tác giả Blum và Jensen (2007) xác định năng lực như sự sẵn sàng sâu sắc tới hành động để đáp ứng với những thách thức của một tình huống nhất định, một khía cạnh quan trọng, đó là phát triển năng lực là một quá trình liên tục Trong cuộc thảo luận, họ dứt khoát xây dựng và minh họa một tập hợp các năng lực toán học có thể được xem là kích thước độc lập kéo dài và mở rộng định nghĩa về năng lực toán học Các năng lực toán học đặt ra là: năng lực tư duy toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực đại diện, năng lực hình thức biểu tượng, năng lực giao tiếp, hỗ trợ, năng lực lý luận và năng lực mô hình hóa [16, tr.45-56]

Năng lực toán học là khả năng (capacity) cá nhân để hình thành (formulate), vận dụng (employ) và diễn giải (interpret) toán học trong những ngữ cảnh khác nhau Các khả năng này bao gồm lập luận một cách toán học và vận dụng các khái niệm, thủ tục, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Các khả năng này hỗ trợ cá nhân trong việc nhận diện vai trò của toán học trong cuộc sống và trong việc đưa ra các đánh giá có cơ sở, các quyết định cần thiết cho một công dân với các đặc tính xây dựng, dấn thân và suy nghĩ phê phán Theo tác giả V.A.Kruchetxki (1973), cấu trúc của năng lực toán học bao gồm:

10

- Thu nhận thông tin: Tri giác hóa tài liệu toán; nắm bắt cấu trúc của bài toán

- Chế biến thông tin: Năng lực tư duy logic trong phạm vi quan hệ số lượng, quan hệ không gian, tư duy với các kí hiệu toán học Năng lực khái quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các cấu trúc; năng lực rút ngắn quá trình suy luận và tính toán Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động Toán

Khuynh hướng rõ ràng, giản đơn, tiết kiệm và hợp lí lời giải [5, tr.65]

Theo tác giả Chu Cẩm Thơ (2014) cho rằng các thành phần của năng lực Toán học bao gồm:

- Năng lực biến đổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm được các con đường giải các bài toán, nhất là các bài toán không có quy tắc chuẩn; năng lực tính toán.[13, tr.54]

Lưu trữ thông tin: Ghi nhớ các khái quát; các chứng minh; các nguyên tắc giải: Năng lực toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của học sinh, qua đó giúp học sinh

có thể nắm vững và vận dụng tốt những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong học tập môn toán ở trường phổ thông Ngoài ra, năng lực toán học còn được thể hiện và phát triển thông qua các hoạt động của học sinh khi giải quyết những nhiệm vụ nhận thức do giáo viên đề ra Vì thế trong giờ học toán, học sinh phải được bày tỏ những suy nghĩ, ý tưởng toán học của mình, biết sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt ý tưởng chính xác và được thảo luận, trao đổi ý kiến với giáo viên và các học sinh khác

Cho đến nay, quan niệm năng lực toán học đã có những thay đổi, phát triển đáng kể Một trong những nguyên nhân quan trọng cho sự thay đổi đó là do quan niệm về mục tiêu giáo dục toán học đã có sự điều chỉnh để phù hợp hơn với yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội

11

Chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam (2018) nhấn mạnh năng lực toán học không chỉ là giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là ứng dụng kiến thức toán vào các tình huống thực tế, qua đó phát triển tư duy lập luận, mô hình hóa, giao tiếp và sử dụng công cụ toán học [1]

Năng lực toán học, tổng quát lại là khả năng của một cá nhân trong việc nhận diện, hiểu biết, và ứng dụng các khái niệm, quy tắc, phương pháp, và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề và ảnh hưởng đối với nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống Tính quan trọng của Năng lực toán học trong giáo dục ngày nay không thể phủ nhận Năng lực toán học không chỉ giúp học sinh giải quyết các vấn đề thực

tế một cách hiệu quả mà còn thúc đẩy sự phát triển của tư duy logic, sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, và khả năng thích ứng với những thay đổi của cuộc sống

mà còn được xem là một trong những năng lực quan trọng mà học sinh cần phải phát triển để thành công trong thời đại đầy thách thức và biến động

Có nhiều cách để phân loại năng lực, bao gồm: năng lực chung như năng lực xuyên suốt chương trình, năng lực chính, năng lực cơ bản, và năng lực trọng yếu; ngoài ra còn có năng lực đặc thù như năng lực cụ thể, năng lực môn học, năng lực chuyên ngành, và năng lực riêng biệt Trong môi trường giáo dục, mối quan hệ giữa các môn học thường được xem xét để phân loại năng lực Theo luận văn, năng lực

có thể được chia thành hai loại chính: năng lực chung và năng lực đặc thù Năng lực chung bao gồm những khả năng cần thiết mà tất cả các môn học và các hoạt động giáo dục đều đóng góp vào, như năng lực tự học và tự quản, năng lực giao tiếp và làm việc nhóm, cũng như năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo

Theo Niss (1999) xác định tám năng lực toán học đặc trưng là:

Năng lực tư duy và suy luận toán học là năng lực được hình thành khi chúng

ta đặt các câu hỏi đặc trưng như “có hay không ?, nếu như vậy, có bao nhiêu? và biết loại câu trả lời để có thể giải đáp được những câu hỏi như vậy

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề yêu cầu học sinh cần xác định được

vấn đề và giải quyết nhiều dạng bài toán theo nhiều cách khác nhau Qua đó, học sinh hình thành kỹ năng phân tích được tình huống, phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề [21, tr.67]

12

Năng lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liền với cấu trúc mô hình

hóa, tức là chuyển đổi tình huống “thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mô hình toán học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học.; giải thích các

mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”

Năng lực lập luận toán học, học sinh cần biết cách chứng minh toán học,

trình bày các lập luận toán học Phân biệt chúng khác với các loại suy luận như thế nào, theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau Từ đó, học sinh hình thành các kỹ năng lập luận toán học của mình

Năng lực giao tiếp toán học là sự bộc lộ mình về những vấn đề của toán học,

hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy

Năng lực trình bày toán học chính là khả năng mã hóa, chuyển đổi, giải thích

và phân biệt các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học

Năng lực sử dụng các công cụ, kí hiệu, các yếu tố kỹ thuật là sử dụng các

hình thức và ký hiệu, chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ công thức và

ký hiệu

Năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học là khả năng sử dụng

nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau, có thể giúp cho hoạt động toán diễn ra tốt nhất

Trong luận văn này, trên cơ sở nghiên cứu về các thành phần của năng lực toán học trong chương trình GDPT 2018, đó là các năng lực sau: Năng lực tư duy

và lập luận toán học; Năng lực giao tiếp toán học; Năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán Mỗi một thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện

cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo Điều này có độ phức tạp cao và được minh hoạ trong bảng dưới đây

Bảng 1.1: Cấu trúc của năng lực toán học

STT Các thành tố của

năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo

-Thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề

-Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp

-Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

-Thể hiện được lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

3 Năng lực tư duy và

lập luận toán học

toán học

-Phát hiện được vấn đề cần giải quyết

-Xác định được cách thức, giải pháp giải quyết vấn

đề

-Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề

-Giải thích được giải pháp đã thực hiện

4 Năng lực giao tiếp

toán học

-Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm trong văn bản (ở dạng văn bản nói hoặc viết)

-Phân tích, lựa chọn, trích xuất được các thông tin

đo góc, thước cuộn, tranh ảnh, biểu đồ, )

-Trình bày được cách sử dụng công cụ, phương tiện học toán để thực hiện nhiệm vụ học tập hoặc để diễn tả những lập luận, chứng minh toán học

-Sử dụng được máy tính cầm tay, một số phần mềm tin học và phương tiện công nghệ hỗ trợ học tập -Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công

cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí

Nguồn: Bộ GD&ĐT, 2018 [1]

1.1.2 Năng lực mô hình hoá toán học và cấp độ mô hình hoá toán học

1.1.1.1 Khái niệm mô hình, mô hình hóa, năng lực mô hình hoá toán học

a Khái niệm mô hình và mô hình hoá

Mô hình có thể được hiểu là một phiên bản đại diện của đối tượng thực tế, mang những đặc điểm cốt lõi của đối tượng đó và được sử dụng thay thế để nghiên cứu Thông qua mô hình, ta có thể tìm hiểu về đối tượng mà không cần phải trực tiếp tương tác với đối tượng thật Mô hình là một dạng hình mẫu giúp minh họa, diễn giải cấu trúc, hình dạng, và cách hoạt động của một sự vật, hiện tượng hoặc một khái niệm

Mô hình hóa là một phương pháp giảng dạy nhằm giúp học sinh nắm bắt được khái niệm của vấn đề, hỗ trợ họ trong việc đọc hiểu, thiết lập và giải quyết các vấn đề thực tế Đồng thời, mô hình hóa cũng đóng vai trò như một phương pháp nghiên

15

cứu khoa học, khuyến khích học sinh tìm hiểu và áp dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác nhau Đây là môi trường giúp học sinh khám phá và hiểu sâu hơn

về các kiến thức toán học

b Khái niệm năng lực mô hình hoá toán học

Theo Nguyễn Thị Tân An (2012), Năng lực mô hình hoá là khả năng sử dụng

các phương pháp, công cụ và kiến thức toán học để xây dựng, phân tích và giải quyết các mô hình toán học phản ánh các tình huống thực tế hoặc trừu tượng Nó bao gồm một chuỗi các kỹ năng và quá trình từ việc nhận diện và hiểu rõ vấn đề, chuyển đổi vấn đề thực tế thành mô hình toán học, đến việc phân tích, giải quyết và diễn giải kết quả mô hình đó trong bối cảnh ban đầu

Theo Niss (2001), có tám thành tố của năng lực toán học và chia làm hai cụm Cụm thứ nhất gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học Tám năng lực này tập trung vào những gì cần thiết để các nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau [21, tr.58]

Sơ đồ 1.1 Các thành tố của năng lực toán học theo Niss (2001)

16

Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa, năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước theo Blum và Jensen [16, tr.25] Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết các vấn đề Toán học được đặt ra Các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học:

(1) Đơn giản giả thuyết;

(7) Biểu diễn mô hình thích hợp;

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Bên cạnh đó, năng lực mô hình hoá toán học là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học

c Năng lực mô hình hoá toán học áp dụng trong hàm số mũ và hàm số logarit

Năng lực mô hình hoá toán học áp dụng trong hàm số mũ và hàm số logarit

là khả năng sử dụng các phương pháp và công cụ toán học để xây dựng, phân tích

và giải quyết các mô hình liên quan đến các hàm số này trong các tình huống thực tế

và trừu tượng Quá trình này bao gồm việc nhận diện và hiểu rõ các vấn đề thực tế

có thể được mô tả bằng các hàm số mũ và logarit, sau đó chuyển đổi chúng thành các mô hình toán học thông qua việc xác định các biến số, mối quan hệ giữa chúng

và thiết lập các phương trình hoặc biểu thức toán học tương ứng

Trong bối cảnh hàm số mũ và logarit, năng lực này đòi hỏi học sinh có khả năng tư duy logic và phân tích để hiểu rõ cách thức các biến đổi tăng trưởng và suy giảm được mô tả bằng các hàm số mũ và logarit Học sinh cần sử dụng các kiến thức về tính chất, đồ thị và ứng dụng của các hàm số này để xây dựng mô hình, giải

17

quyết các phương trình và hệ phương trình liên quan, và phân tích kết quả trong bối cảnh của các vấn đề thực tế ban đầu Ví dụ, họ có thể mô hình hoá sự tăng trưởng dân số, sự phân rã phóng xạ, hay các quá trình lãi kép bằng các hàm số mũ, hoặc mô hình hoá độ pH của dung dịch, cường độ âm thanh, hay thang đo Richter bằng các hàm số logarit

Năng lực mô hình hoá toán học trong hàm số mũ và hàm số logarit giúp học sinh phát triển các kỹ năng giải quyết vấn đề, tư duy phản biện và sáng tạo Nó cũng giúp họ nhận thức rõ ràng hơn về sự liên quan và ứng dụng thực tế của toán học, từ

đó tăng cường động lực học tập và khả năng ứng dụng kiến thức vào các lĩnh vực khác nhau như khoa học, kinh tế và kỹ thuật

1.1.1.2 Quy trình mô hình hoá toán học

a Quy trình mô hình hoá

Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (2018), một trong những năng lực quan trọng cần phát triển trong dạy học Toán là năng lực mô hình hóa Mô hình của một tình huống thực tế là kết quả của quá trình đơn giản hóa và cụ thể hóa tình huống đó, được xây dựng lại theo mục tiêu và mối quan tâm của người giải quyết vấn đề Mặc dù đã qua quá trình tinh giản, mô hình vẫn phản ánh một phần bản chất của tình huống thực tế ban đầu

Năm 1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa [18, tr.29]

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak

Theo Swetz và Hartzler (1991), mô hình là một mẫu, đại diện, minh họa, được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, hệ thống hay một khái niệm và quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [23]

18

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các

yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ

toán học Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với

tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và rút ra kết

luận

Ví dụ 1.1: Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có

kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% / năm Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay

đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm Để biết sau y (năm) thì tổng số

tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử dụng công thức log1,06

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các

yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

- Trọng tâm của bài toán: Số tiền gửi vào cố định có kì hạn và lãi suất không thay đổi theo năm

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ

toán học Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

- Bài toán quy về việc tính số năm ít nhất để có thể rút ra được số tiền 15 triệu từ tài khoản tiết kiệm

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với

tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng sau ít nhất số năm là:

19

- Từ kết quả bài toán, học sinh hiểu được cách sử dụng hàm số logarit để tính được số năm ít nhất để rút ra được 15 triệu

Swetz và Hartzler minh họa quy trình trên theo sơ đồ sau[23, tr.31]:

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991

Chúng ta có thể mô tả mô quá trình mô hình hóa một tình huống nào đó xảy

ra với ba giai đoạn: giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn nghiên cứu trên mô hình

và giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình

Giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn cần đến trí tưởng tưởng, trực giác của học sinh Nhờ trí tưởng và trực giác học sinh xây dựng mô hình dựa trên các đặc điểm đặc trưng của đối tượng Mô hình này có thể là mô hình vật chất hoặc liên tưởng tới những mô hình đã có sẵn Hay nói cách khác, giai đoạn xây dựng mô hình

là giai đoạn đi tìm hình mẫu đại diện cho đối tượng

- Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình, giai đoạn này mô hình phát hiện

được ở giai đoạn trước trở thành đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau Đó là quá trình nghiên cứu mô hình có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và đến giai đoạn tiếp theo

- Giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình, giai đoạn này kết quả thu

được dựa trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu ban đầu để đối chiếu,

20

dựa vào đó để điều chỉnh mô hình phù hợp với đối tượng

Hầu hết các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Leib (2006) bao gồm 7 bước mô tả quá trình giải quyết nhiệm vụ mô hình hóa Đặc điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa [16, tr.24]

Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa theo Blum năm 2006

Các giai đoạn được thể hiện theo sơ đồ trên như sau:

Giai đoạn 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình

huống, khám phá và thiết lập mục tiêu giải quyết cho tình huống

Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được

mô hình thực của tình huống, lựa chọn các biến quan trọng để mô tả tình huống

Giai đoạn 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán, hay thiết lập mô

hình bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, mô tả mối quan hệ giữa các biến số

Giai đoạn 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán,

phân tích các mối quan hệ giữa các biến để rút ra kết luận

Giai đoạn 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

21

Giai đoạn 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình

lần 2;

Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết

Năm 2007, Stillman, Galbraith, Brown đưa ra sơ đồ mô hình hóa mở rộng với sự cải tiến chi tiết của sơ đồ Bên cạnh việc mô tả quá trình mô hình hóa, Stillman và các cộng sự nhấn mạnh tính chất phản ánh quá trình thông qua mũi tên hai chiều, đồng thời chú ý đến các hoạt động nhận thức của học sinh xảy ra trong suốt quá trình [22, tr.30]

Sơ đồ 1.5 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007

Trong đó: Các mục từ A đến G là các bước của quá trình mô hình hóa, các mũi tên thể hiện sự chuyển đổi giữa các bước (1) Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống (2) Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán (3) Giải toán (4) Giải thích kết quả toán (5) So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí (6) Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận) (7) Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận)

Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học đều gồm 4 yếu tố chính là: toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh Các yếu tố này mô tả các hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình mô hình hóa

22

b Quy trình mô hình hoá toán học

Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn

Sơ đồ 1.6 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán

Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây:

- Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực

tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải

quyết bài toán đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình

huống thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn

23

- Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa

ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quả thu được

Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp

Ví dụ 1.2: Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của 14

6 C là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử 14

6 C giảm đi một nửa Một cây còn sống

có lượng 14

6C trong cây được duy trì không đổi Nhưng nếu cây chết thì lượng 14

6C

trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu

gỗ cổ được xác định chết cách đây 2000 năm Tính tỉ lệ phần trăm lượng 14

6 C còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Lời giải

Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn):

Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của 14

6 C là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử 14

6 C giảm đi một nửa Một cây còn sống có lượng 14

6C trong cây được duy trì không đổi Nhưng nếu cây chết thì lượng 14

6 C trong cây

phân rã theo chu kì bán rã của nó

Bước 2 (Giải bài toán):

Tỉ lệ phần trăm lượng 14

6C còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng là:

24

0

2000(2000) 100% 1 5730 100% 78,5%

2

m m

số 1

2

 

 

  và số mũ là phân số tỉ lệ của số năm

Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả):

Trong thực tế hình dạng miếng bìa sử dụng cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật sẽ gặp khó khăn hơn

Vậy mô hình hoá toán học có thể hiểu là khả năng sử dụng toán học để mô

tả, giải thích, và dự đoán các tình huống thực tế thông qua việc thiết lập mô hình toán học Mô hình hoá không chỉ là việc tạo ra các mô hình mà còn là hiểu và giải quyết các vấn đề trong một loạt ngữ cảnh thực tế; yêu cầu người học phải có kiến thức toán học, thông tin thực tế, và kỹ năng áp dụng các công cụ toán học để giải quyết vấn đề

1.1.1.3 Cấp độ mô hình hóa

Để giúp học sinh tiếp thu kiến thức hiệu quả, các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được tổ chức theo thứ tự từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Việc học sinh có thể tự mình giải quyết được bài toán sẽ mang lại lợi ích lớn về mặt tâm

lý, giúp tăng cường sự tự tin và động lực học tập Ngược lại, nếu học sinh thất bại ngay từ những bài toán đầu tiên, điều này có thể dẫn đến cảm giác nản chí, suy giảm động lực và tạo ra trạng thái tâm lý tiêu cực trong quá trình học Do đó, khi thiết kế các hoạt động và bài tập mô hình hóa, giáo viên cần chú ý xây dựng theo các cấp độ khó khác nhau để hỗ trợ tốt hơn cho học sinh Theo Ludwig và Xu (2010) về các đánh giá cấp độ mô hình hóa [20, tr.76]:

Các cấp độ mô hình hóa trong quá trình học tập toán học có thể được chia thành những bước phát triển năng lực cụ thể như sau:

• Cấp độ 0: Học sinh hoàn toàn không hiểu được tình huống và không thể vẽ

phác thảo hay viết ra bất kỳ điều gì liên quan đến vấn đề

25

• Cấp độ 1: Học sinh có thể hiểu tình huống thực tế nhưng không thể đơn giản

hóa hay liên kết nó với bất kỳ khái niệm toán học nào

• Cấp độ 2: Học sinh bắt đầu nhận diện được vấn đề thực tế và tìm kiếm mô

hình thật qua việc đơn giản hóa tình huống Tuy nhiên, học sinh vẫn chưa biết cách chuyển đổi tình huống đó thành một bài toán hoặc vấn đề toán học

cụ thể

• Cấp độ 3: Học sinh có thể tìm cách xây dựng mô hình và chuyển từ mô hình

thực tế sang ngôn ngữ toán học Tại cấp độ này, học sinh cần nắm vững các

kỹ năng mô hình hóa cơ bản từ cấp độ 1 đến 4

• Cấp độ 4: Học sinh có khả năng xây dựng mô hình từ tình huống thực tế và

sử dụng kiến thức toán học để giải bài toán, từ đó đưa ra kết quả rõ ràng và

cụ thể

• Cấp độ 5: Học sinh có thể thực hiện toàn bộ quá trình mô hình hóa toán học,

từ việc kiểm nghiệm lời giải cho đến việc xem xét sự liên quan giữa kết quả

và tình huống thực tế ban đầu Ở cấp độ này, học sinh đạt được đầy đủ 8 kỹ năng mô hình hóa

Quá trình này phản ánh sự phát triển từ việc chỉ hiểu bối cảnh tình huống thực tế cho đến việc thành thạo các kỹ năng chuyển đổi, áp dụng và kiểm nghiệm mô hình hóa trong toán học

1.1.3 Dạy học phát triển mô hình hóa toán học, mối quan hệ giữa dạy học mô hình hóa toán học đến phát triển năng lực mô hình toán học của HS

Từ phân tích khái niệm năng lực, năng lực toán học, năng lực mô hình hóa toán học điều này cho thấy việc dạy học phát triển mô hình hóa toán học có vai trò

vô cùng quan trọng Việc dạy học trong nhà trường không chỉ dừng ở nhiệm vụ trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng thái độ sống đúng đắn mà còn phải làm cho những kiến thức sách vở trở thành hiểu biết thực sự của mỗi HS; làm cho những kĩ năng được rèn luyện trên lớp được thực hành, ứng dụng trong đời sống ngay trên ghế nhà trường; làm cho thái độ sống được giáo dục qua mỗi bài học có điều kiện, môi trường để bộc lộ, hình thành, phát triển qua các hành vi ứng xử, trở thành phẩm chất bền vững của mỗi HS Việc đánh giá, vì vậy, sẽ phải chuyển từ

26

kiểm tra kiến thức, thao tác kĩ thuật và nhận thức tư tưởng đơn thuần sang đánh giá

sự hiểu biết, khả năng thực hành - ứng dụng và hành vi ứng xử của của HS trong

cuộc sống

Vấn đề đặt ra của giáo dục ngày nay là phải bồi dưỡng cho HS năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn bằng những kiến thức toán mà họ học được Việc gắn dạy học Toán với giải quyết các vấn đề của thực tiễn giúp HS hiểu ý nghĩa của tri thức mình học được, lí do tồn tại và lợi ích của nó cho thực tiễn cuộc sống cá nhân cũng như

xã hội Quan điểm dạy học gắn với mô hình sẽ tạo động lực học tập, tăng hứng thú, rèn luyện năng lực tư duy cho HS

Theo tác giả Lê Văn Tiến (2005) phân biệt hai khái niệm dạy học MHH và dạy học bằng MHH Dạy học MHH là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tế [15, tr.66]

Từ đó việc trả lời cho bài toán toán học sẽ dẫn đến trả lời cho các tình huống nảy sinh từ thực tiễn Quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức toán học lí thuyết → Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và việc xây dựng mô hình của thực tiễn Quy trình này có ưu điểm là tiết kiệm được thời gian nhưng lại có nhược điểm là làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó người học không thấy được nghĩa của tri thức

Dạy học bằng MHH có bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH

sẽ khắc phục được nhược điểm này Vậy từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn các tri thức cần dạy sẽ được nảy sinh với tư cách là phương tiện giải quyết vấn đề hay là kết quả Quy trình dạy học tương ứng có thể là: Tình huống thực tiễn (bài toán ban đầu) → Xây dựng mô hình toán học → Tìm câu trả lời cho bài toán toán học cũng là câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần tìm hiểu → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn khác

Vì vậy dạy học bằng MHH và dạy học MHH đều là những con đường dạy học để nâng cao hiểu biết toán cho HS, là một trong những phương pháp dạy học tích cực Do đó cần phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học để đạt được mục đích dạy học toán

27

Theo quan điểm của triết học, “Phát triển là phạm trù triết học chỉ ra tính chất của những biến đổi đang diễn ra trong thế giới Phát triển là một thuộc tính của vật chất Mọi sự vật và hiện tượng của hiện thực không tồn tại trong trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong, …nguồn gốc của sự phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập”

Trong dạy học, “phát triển” là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập

Định hướng đổi mới trong dạy học hiện nay tập trung vào việc phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất của người học thay vì chỉ tập trung vào việc trang

bị kiến thức Từ quan điểm này, tác giả Lê Văn Hồng và cộng sự đã nhấn mạnh rằng năng lực chỉ có thể hình thành và phát triển thông qua hoạt động của người học Để thực hiện điều này, cần tạo ra cho học sinh những tình huống học tập mà họ cần phải thể hiện mức độ thành thạo của các kỹ năng trong quá trình thực hiện các hoạt động đặc thù của năng lực đó Điều này nhấn mạnh vai trò của việc tạo ra môi trường học tập thú vị, tích cực và thúc đẩy học sinh trở nên chủ động trong quá trình học tập và phát triển năng lực [2, tr.55]

Ở cấp THCS, theo Nguyễn Bá Kim và Bùi Huy Ngọc: “Việc dạy học Toán gắn với thực tiễn thể hiện thông qua chương trình sách giáo còn chưa nhiều và đặc biệt chưa liên tục, không đều GV cần thống kê chủ đề, số lượng bài tập đưa ra,…

dự kiến lựa chọn, bổ sung bài tập (nếu cần), tạo và tận dụng cơ hội (có thể được) để lồng nội dung này vào bài học sao cho có hiệu quả cao nhất, kích thích HS học tập tốt nhất” [4, tr.11] Hơn nữa, theo Nguyễn Danh Nam: năng lực mô hình hóa toán học của HS còn nhiều hạn chế Dạy học nhằm phát triển năng lực MHHTH là quá trình GV tổ chức các hoạt động giúp HS xây dựng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn hay từ một mô hình có sẵn, HS đã biết để hình thành kiến thức mới Do vậy, trong dạy học, GV cần tăng cường các bài tập mô hình hóa, đặc biệt là các bài toán liên hệ với thực tiễn ở dạng “mở” nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS [7] Vì vậy, khi dạy học theo hướng phát triển năng lực MHHTH giáo viên cần chú ý thiết kế được các hoạt động MHHTH và tổ chức cho

mô hình Trong quá trình dạy và học, các hoạt động chính bao gồm: khởi động, hình thành kiến thức, luyện tập, vận dụng và tìm hiểu mở rộng kiến thức

Mô hình học hướng tới học hỏi hiện đại (Mô hình hoá) mô tả một phương pháp giảng dạy và học tập mà trung tâm chính là học sinh Mô hình này đặt ra mục tiêu tăng cường sự tò mò, khám phá và sáng tạo của học sinh thông qua việc cung cấp không gian cho họ để tự do suy nghĩ và thực hiện các hoạt động học tập đa dạng

Để triển khai mô hình hoá trong giảng dạy toán học, như trong ví dụ về hàm

số mũ và phương trình mũ, giáo viên cần áp dụng các phương pháp giảng dạy khuyến khích học sinh tham gia tích cực vào quá trình học tập Điều này bao gồm việc:

- Khởi động: Giới thiệu bài toán "lãi kép" như một vấn đề thực tế liên quan

đến hàm số mũ và , khơi dậy sự tò mò và quan tâm của học sinh

- Hình thành kiến thức: Hướng dẫn học sinh hiểu về khái niệm của phương

trình mũ, giả thuyết trong bài toán và cách sử dụng mô hình hàm số mũ để giải quyết vấn đề

- Luyện tập: Cho học sinh thực hiện các bài tập tương tự để củng cố và luyện

29

tập kỹ năng giải phương trình mũ, cũng như phân tích và xác định các giả thuyết trong các bài toán thực tế

- Vận dụng: Khuyến khích học sinh áp dụng kiến thức đã học vào các tình

huống và bài toán khác, từ đó phát triển khả năng tư duy toán học và giải quyết vấn

đề

- Tìm hiểu mở rộng kiến thức: Khích lệ học sinh tìm hiểu thêm về các ứng

dụng khác của hàm số mũ trong thực tế và những phương pháp giải quyết bài toán liên quan

Bằng cách áp dụng mô hình hoá trong giảng dạy toán học, giáo viên không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển các kỹ năng quan trọng như

tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề Đồng thời, mô hình hoá cũng khuyến khích sự hợp tác, thảo luận và chia sẻ ý kiến giữa các học sinh, giúp họ học hỏi và phát triển từ nhau

Hoạt động mô hình hoá không có một quy trình giải quyết cụ thể sẵn có, vì mỗi nhiệm vụ yêu cầu học sinh (học sinh) phải hiểu và áp dụng toán học trong bối cảnh thực tế và sử dụng kiến thức và phương pháp toán học để tìm ra giải pháp Những hoạt động này thường đi theo một số đặc điểm như: xây dựng mô hình mô tả tình huống thực tiễn; khích lệ học sinh phát triển, chỉnh sửa và cải tiến ý tưởng và phương pháp tiếp cận; và khuyến khích sử dụng nhiều hình thức biểu diễn khác nhau

Các đặc điểm cụ thể của hoạt động mô hình hoá bao gồm: xuất phát từ các tình huống thực tiễn (có thể là toán ứng dụng hoặc từ lĩnh vực công nghiệp); đơn giản hóa vấn đề; không có một lời giải chính xác đúng đắn; tập trung vào các tình huống có vấn đề, yêu cầu học sinh xây dựng và phát triển câu hỏi để tìm lời giải; khám phá và hiểu vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau; học sinh tự tìm hiểu và khám phá vấn đề; và không cần thiết phải can thiệp ngay lập tức của giáo viên nếu học sinh chưa tìm ra lời giải

Dưới đây là các nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hoá dựa trên Lesh & Doerr (2003) [19, tr.24]:

(1) Nguyên tắc Mô hình hóa: Đảm bảo rằng giải pháp được trình bày một

30

cách rõ ràng, giúp học sinh (học sinh) hiểu rõ tình huống và nhận biết các mối liên

hệ định lượng, các phép tính và các mẫu toán học

(2) Nguyên tắc Liên kết Thực tế: Hoạt động cần có ý nghĩa với học sinh ở mọi trình độ và nối tiếp với kiến thức cơ bản và đã biết trước đó của họ

(3) Nguyên tắc Tự Đánh Giá: Hoạt động mô hình hoá cần cung cấp tiêu chuẩn cho học sinh để họ có thể tự đánh giá, kiểm tra và điều chỉnh cách suy nghĩ của mình, bao gồm cả thông tin để đánh giá giá trị của các giải pháp thay thế

(4) Nguyên tắc Ghi Chép và Mô Tả: học sinh cần phải ghi chép suy nghĩ và cách tiếp cận của mình đối với vấn đề Điều này giúp giáo viên (Giáo viên) hiểu rõ hơn về quan điểm của học sinh và cũng giúp học sinh diễn đạt và trình bày suy nghĩ của mình Hoạt động này có thể được thực hiện theo cách học sinh làm việc nhóm, thảo luận để tìm lời giải, lập kế hoạch, thực hiện và đánh giá, hoặc thông qua việc diễn đạt, giải thích và mô tả vấn đề

(5) Nguyên tắc Chia Sẻ và Tổng Quát: Đảm bảo rằng học sinh có thể chia sẻ

và áp dụng lời giải của mình

(6) Nguyên tắc Hiệu Quả và Đơn Giản: Tạo ra các tình huống đơn giản và gần gũi với thực tế cuộc sống của học sinh, nhằm nâng cao hiệu quả và thành công trong việc thực hiện hoạt động mô hình hoá trong lớp học

1.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài

1.2.1 Phân tích chủ đề hàm số mũ và logarit lớp 11 vị trí và vai trò trong chương trình giáo dục phổ thông 2006

1.2.1.1 Phân tích chủ đề hàm số mũ

Chương trình Giáo dục Phổ Thông 2006 đã đề cập đến các khái niệm và tính chất của luỹ thừa, logarit, hàm số mũ, và cách giải các phương trình và bất phương trình liên quan

Về phép tính luỹ thừa, học sinh được giới thiệu với khái niệm luỹ thừa với số

mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, và số mũ thực Họ cần hiểu rõ các tính chất liên quan, như tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên đối với số thực dương

Trong phần logarit, học sinh được hướng dẫn về khái niệm logarit và các tính