UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 22/2/2023 I PHẦN CHUNG Câu 1(3,5 điểm) 3x x 3x 1 x 1 A x 1; x : x x x x , với 1) Rút gọn biểu thức 2) Tìm tất giá trị x thỏa mãn Câu 2(3,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x x ; x y 2z 2) Câu 3(3,0 điểm) 2 x3 x 1 3x 1 x y z 9z 1) Xác định số thực a, b để đa thức P x x ax b chia hết cho đa thức x 2 2 2) Cho a, b, c ba số khác Chứng minh a b c a b c a2 b2 c2 1 a 2bc b 2ac c 2ab Câu 4(6,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), cạnh AB lấy điểm M cho BC = AM, tia CB lấy điểm N cho CN = BM, CM cắt AN P, cạnh CD lấy điểm E cho CE = CB 1) Chứng minh tứ giác AMCE hình bình hành 2) Chứng minh tam giác ADE ECN 3) Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vng góc với NE điểm F Chứng minh tứ giác AENF hình vng 4) Gọi K giao điểm EN với PC, L giao điểm EF với AN Tính tỉ số diện tích hai tam giác NKL NEP II PHẦN RIÊNG Thí sinh lựa chọn làm (chỉ một) câu hai câu sau: Câu 5a (4,0 điểm) * 1) Chứng minh 2n (với n N ) tổng hai số phương n tổng hai số phương A 6x 3x 2) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 5b (4,0 điểm) 3 3 1) Cho biểu thức A 1 2022 2023 Tìm số dư chia số A cho 2) Chox, y hai số dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A x3 y5 x5 y HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh UBND HUYỆN TIÊN DU PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn: Tốn - Lớp Câu Đáp án 1.1 (2,0 điểm) Điểm 3x x 3x 1 x 1 A x 1; x : x x x x , với Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A 3x x 3x 1 x A : x x x 1 4x 1 3x 1 2x x x 1 x x x x x x x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x x x x x 1 x x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 0,25 0,25 0,25 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 A x 1 Vậy 1.2 (1,5 điểm) x3 x 1 x3 1 x x 3x 3x 1 3x 1 x x 3x 3x x3 1 x 3x 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 1 0 0,25 x 0 x 0 x 0 x 0,25 Vậy x = x = -1 thỏa mãn 2.1 (1,5 điểm) 0,25 0,25 x4 5x2 x x x 0.5 x x x 0.25 0,25 x x2 x 4 x x 1 0,25 0,25 x x x 1 x 1 2.2 (1,5 điểm) 2 x y z x y z 9z 2 x y z z x y z 0,25 x y z z x y z 3z x y z x y z x y z x y z 0,25 0,25 x y z x y z x y z x y z x y z 0,25 0,25 0,25 2 x y z x y z 3.1 (1,5 điểm) 3) Xác định số thực a, b để đa thức P x x ax b chia hết cho đa thức x Vì P x x3 ax b Suy chia hết cho đa thức x P x x 1 Q x Thay x = vào (1) ta có 0,5 (1) P 1 0 a b 0 a b (*) Thay x = -1 vào (1) ta có P 1 0 a b 0 b a 1 (**) Từ (*) (**) ta có: a b b a 2b 0 b 0 a Vậy a = -1; b = 0,25 0,25 0,25 0,25 3.2 (1,5 điểm) 2 2 Cho a, b, c ba số khác Chứng minh a b c a b c a2 b2 c2 1 a 2bc b 2ac c 2ab Ta có a b c a b c ab bc ca 0 Khi đó: a 2bc a 2bc ab bc ca a bc ab ac a ab ac bc a a b c a b a b a c 0,25 0,25 Tương tự: b 2ac b a b c 0,25 c 2ab c a c b Do đó: a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab a2 b2 c2 a b a c b c b a c a c b 0,25 a2 b c b2 a c c2 a b a b b c a c a b c ab b 2c ac bc a b b c a c a b c a b c bc b c a b b c a c b c a ab ac bc a b b c a c b c a b a c a b b c a c 0,25 1 0,25 Vậy đẳng thức chứng minh 4.1 (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), cạnh AB lấy điểm M cho BC = AM, tia CB lấy điểm N cho CN = BM, CM cắt AN P, cạnh CD lấy điểm E cho CE = CB 5) Chứng minh tứ giác AMCE hình bình hành 6) Chứng minh tam giác ADE ECN 7) Đường thẳng qua A vng góc với AE cắt đường thẳng qua N vng góc với NE điểm F Chứng minh tứ giác AENF hình vng 8) Gọi K giao điểm EN với PC, L giao điểm EF với AN Tính tỉ số diện tích hai tam giác NKL NEP F N L P A G M B K D E C Vẽ hình đúng, ghi GT – KL đầy đủ 0,5 Chứng minh tứ giác AMCE hình bình hành + Ta có ABCD hình chữ nhật (1) nên AB // CD Mà M AB; E CD AM / / CE + Lại có: AM = BC; CE = BC AM CE Xét tứ giác AMCE có: AM // CE; AM = CE Do tứ giác AMCE hình bình hành 4.2 (1,5 điểm) Chứng minh tam giác ADE ECN + Từ (1) AB CD ; Mà AB = AM + BM; CD = CE + DE; AM = CE (cmt) BM DE Mặt khác CN = BM (gt) DE = CN (= BM) + Từ (1) AD BC , mà CE = BC AD = CE (= BC) + Xét ADE ECN có: 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 AD CE cmt ADE ECN 900 DE CN cmt 0,5 ADE ECN c.g c 4.3 (1,5 điểm) Chứng minh tứ giác AENF hình vng AE NE ADE ECN cmt AED CNE + Có 0 Mà CNE vuông C ENC NEC 90 AED NEC 90 AEN 90 + Xét tứ giác AENF có: AEN 900 cmt 0,25 0,25 FAE 900 AF AE FNE 900 FN NE Suy AENF hình chữ nhật Lại có AE = NE (cmt) Nên AENF hình vng 4.4 (1,5 điểm) 0,5 0,25 0,25 Tính tỉ số diện tích hai tam giác NKL NEP + Có AENF hình vng AN cắt EF L NLE vuông cân L LG NE LG NE G NE G Hạ trung điểm NE (*) AE / / CM AE EN CM EN + AMCE hình bình hành (cmt) , mà hay PK KN PKN vuông cân K (do PNE 45 ) PK NK (**) LG NK S NKL LG.NK + NKL có PK NE S NPE PK NE NPE có S 1 S NKL S NPE NKL S NPE Do kết hợp với (*) (**) 0,5 0,5 0,25 0,25 5.1 bảng A (2,0 điểm) 2 Theo : 2n a b với a, b N Từ suy a, b tính chẵn lẻ Do a b a b số chẵn a b 2m Đặt a b 2k m, k Z 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy ra: a m k , b m k 0,5 2n m k m k n m k Khi Vậy có đpcm 5.2 bảng A (2,0 điểm) 0,5 3) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A 6x 3x 1 6x 3x 1 6x 1 3x 1 x 3x 1 3x *) A 0,25 x 1 1 3x A 1 với x 0,25 Dấu “=” xảy x = Vậy giá trị lớn A x = 0,25 0,25 6x 3x 1 6x 3 3x 1 6x 9x2 3 3x2 1 *) A 3x 1 0,25 3 3x 1 A với x 0,25 x Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ A -3 0,25 x 0,25 5.1 bảng B (2,0 điểm) A 13 23 33 20223 20233 Tổng A có 2023 số hạng Ta chia thành 2023 : = 674 (nhóm), dư số sau: A 13 23 33 43 53 63 20203 20213 20223 20233 + Chứng minh đẳng thức (1) a b3 c 3abc a b c a b c ab bc ca + Nếu a, b, c số tự nhiên liên tiếp Giả sử a =n; b = n+1, c = n+2 n N 0,25 0,5 ta có a b c n n 1 n 3n chia hết cho Mà 3abc 3 chia hết từ (1) a b c 3 +Áp dụng kết ta có: 0,5 13 23 33 3 43 53 63 3 20203 20213 20223 3 2023 chia cho dư nên 2023 chia cho dư Do A chia cho dư 0,5 0,25 5.2 bảng B (2,0 điểm) Cho x, y hai số dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A x3 y x5 y a b + Trước hết ta CM BĐT: +Áp dụng BĐT ta có: 4ab Dấu “=” xảy a = b 0,5 A x3 y x5 y x3 y x y xy xy x y 2 2 x y xy x y 4 14 x y 16 128 Dấu “=” xảy x = y = 1 Vậy giá trị lớn A 128 x = y = 1,0 0,25 0,25 Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối cịn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi khơng làm trịn -Hết -