PHỊNG GD&ĐT TP BẮC GIANG TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN KHẢO SÁT: TỐN Ngày khảo sát: 11/02/2023 Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề có: 01 trang) Câu 1: (5,0 điểm) a 1 2a 4a a 4a M : a a 4a a a 1) Cho biểu thức , với a 0; a 1 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn 2 2) Cho số thực a, b thỏa mãn: a b ab a b 0 Tính giá trị biểu thức M 3a 2b 2022 Câu 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 3x x x x x 0 f x f x x 3 dư 2; f x chia cho x dư 2) Tìm đa thức biết chia cho x x 12 x 3 f x chia cho thương dư Câu 3: (4,0 điểm) x, y thỏa mãn : x y 3026 1) Tìm cặp số tự nhiên 2 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn a a 3b b Chứng minh rằng: a b 2a 2b số phương Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh: 1) ABC đồng dạng với AEF HD HE HF 1 2) AD BE CF AB BC CA 2 2 3) AD BE CF 4 Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện nhỏ biểu thức Q x y z y yz z 1011 3x 2 Tìm giá trị lớn .HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Hướng dẫn giải Câu Điểm Câu 5.0 a 1 2a 4a 4a M 2 a a a 1 a a 1 a a a a 1 M 1.1a (2,0 điểm)iểm) a 4a a a a 1 a a 1 4a a 4 0.5 0.5 M a 3a 3a 2a 4a a a 4a a 4 a 1 a a 1 M a 4a 4a a a 4 a 4 0.5 0.5 KL a a 4a a 2 4a M 1 a 4 a2 a 4 Ta có 1.1b a 2 2 Vì a 0 với a nên 1 a 2 a2 1 với a 0.5 (1.5 điểm)iểm) a 2 2 Dấu " " xảy a 0 a 2 (tm) 0.5 Vậy giá trị lớn M a 2 1.2 (1.5 điểm)iểm) 0.5 2 Ta có a b ab a b 1 0 0.5 2a 2b 2ab 2a 2b 0 2 2 (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0 (a b) 0 (a 1) 0 (b 1) 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 a b a 1 a 1 b b a 1 4 Thay b vào M 3a 2b ta điểm)ược M 3.1 2( 1) 2022 2023 0.5 0.5 Vậy giá trị biểu thức M 2023 4.0 Câu +) x = khơng nghiệm phương trình +) Chia hai vế cuả phương trình cho x3 ta điểm)ược: 1 1 x3 x x 0 ( x3 ) 3( x ) 6( x ) 0 x x x x x x t x 2.1 (2.0 điểm)iểm) Đặt 1 1 1 1 x t 2; x x 3x x t 3t x x x x x x 0.5 0.5 Thay vào phương trình ta điểm)ược: t 3t t 6t 0 t 1 1 t 1 1 x x 0 x x 1 x x 0 x vô nghiệm 0.5 x 0.5 KL Do f(x) chia cho x x 12 x 3 x điểm)ược thương x dư nên ta có : 0.5 f x x x 3 x 3 a.x b 2.2 (2.0 điểm)iểm) Cho x f x 4a b 9 0.5 Cho x 3 f x 3a b 2 4a b 9 Khi điểm)ó ta có hệ: 3a b 2 Đa thức cần tìm: Câu a b 5 0.5 f x x x 3 x 3 x 0.5 4.0 3.1 (2 điểm)iểm) Xét y 0 x 3026 3025 x 55 0.5 y Xét y 3 x : dư 0.5 x y : dư dư 1, Mà 3026 chia dư , vô lý 0.5 KL: Vậy x; y 55;0 0.5 2a a 3b2 b 2a 2b a b b a b 2a 2b 1 b (1) 0.5 a b; 2a 2b 1 d Gọi 3.2 (2 điểm)iểm) Khi điểm)ó : Mà b a b 2a 2b 1 d b d 0.5 a b d a d 2a 2bd 2a 2b 1 2a 2b d 1d d 1 0.5 Như vậy: (a b; 2a 2b 1) 1 Từ điểm)ó, theo (1) suy ra: a b 2a 2b số phương 0.5 A Câu F B 4.1 (2 điểm)iểm) 4.2 (2.0 điểm)iểm) E K H D C Chứng minh đúng: AEB ∽ AFC 0.5 AE AF Suy ra: AB AC 0.5 Chứng minh đúng: ABC ∽ AEF 1.0 HD S BHC AD S ABC Chỉ điểm)ược: 0.5 HE S AHC HF S AHB ; Tương tự: BE S ABC CF S ABC HD HE HF S BHC S AHC S AHB AD BE CF S ABC Suy ra: 0.5 0.5 HD HE HF 1 AD BE CF 0.5 Dựng điểm)ường thẳng d điểm)i qua C song song với AB Gọi K điểm)iểm điểm)ối xứng với A qua d 0.5 Chứng minh điểm)ược góc BAK vng, CK=AC, AK = 2CF Xét ba điểm)iểm B, C, K ta có BK £ BC + CK Tam giác BAK vuông A nên: 4.3 (1.0 điểm)iểm) AB + AK = BK Þ AB + AK £ ( BC +CK ) 0.5 2 Þ AB + 4CF £ ( BC + CK ) Þ 4CF £ ( BC +CA ) - AB Hồn tồn tương tự ta có 4AD £ ( AB + AC ) - BC 2, 0.5 4BE £ ( AB + BC ) - AC Cộng vế với vế ba bất điểm)ẳng thức ta có ( 2 AD + BE + CF ) £ ( AB + AC + BC ) Û ( AB + AC + BC ) AD + BE + CF 0.5 ³ Câu Ta có y yz z 1011 3x 2 y yz z 2022 3x x y z xy yz xz 2022 x xy y z xz x (1 điểm)iểm) 0.5 ( x y z ) 2022 ( x y ) ( x z ) 2022 2022 x y z 2022 x y z nhỏ 2022 x y z lớn 2022 x y z x y z 2022 2022 0.5 Lưu ý chấm bài: - Trên điểm)ây sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm)úng điểm)ược điểm)iểm theo thang điểm)iểm tương ứng - Với tốn hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm)iểm phần tương ứng