PHỊNG GD&ĐT TP BẮC GIANG TRƯỜNG THCS LÊ Q ĐƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN KHẢO SÁT: TỐN Ngày khảo sát: 11/02/2023 Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề có: 01 trang) Câu 1: (5,0 điểm) a 1 2a 4a a 4a M : a a 4a a a 1) Cho biểu thức , với a 0; a 1 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn 2 2) Cho số thực a, b thỏa mãn: a b ab a b 0 Tính giá trị biểu thức M 3a 2b 2022 Câu 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 3x x x x x 0 f x f x x 3 dư 2; f x chia cho x dư 2) Tìm đa thức biết chia cho x x 12 x 3 f x chia cho thương dư Câu 3: (4,0 điểm) x, y thỏa mãn : x y 3026 1) Tìm cặp số tự nhiên 2 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn a a 3b b Chứng minh rằng: a b 2a 2b số phương Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh: 1) ABC đồng dạng với AEF HD HE HF 1 2) AD BE CF AB BC CA 2 2 3) AD BE CF 4 Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện nhỏ biểu thức Q x y z y yz z 1011 3x 2 Tìm giá trị lớn .HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Hướng dẫn giải dẫn g dẫn giảiiải Câu Điểm Câu 5.00 a 1 2a 4a 4a M a a a 1 a a 1 a a a a 1 M 1.01a (2,0 điểm)) M a 4a a a a 1 a a 1 4a a 4 0.05 0.05 a 3a 3a 2a 4a a a 4a a 4 a 1 a a 1 a 4a 4a M a a 4 a 4 0.05 0.05 KL a a 4a a 2 4a M 1 a 4 a2 a 4 Ta có 1.01b a 2 2 Vì a 0 với a nên 1 a 2 1 a2 với a 0.05 (1.05 điểm)) a 2 2 Dấu " " xảy ra a 0 a 2 (tm) 0.05 Vậy g dẫn giảiiá trị lớn M trị lớn M lớn M khi a 2 1.02 (1.05 điểm)) 0.05 2 Ta có a b ab a b 1 0 0.05 2a 2b 2ab 2a 2b 0 2 2 (a 2ab b ) (a 2a 1) (b 2b 1) 0 (a b) 0 (a 1) 0 (b 1) 0 (a b) (a 1) (b 1) 0 a b a 1 a 1 b b a 1 4 Thay b o M 3a 2b ta M 3.1 2( 1) 2022 2023 0.05 0.05 Vậy g dẫn giảiiá trị lớn M trị lớn M b iểu thức M 2023 4.00 Câu +) x = không dẫn giải ng dẫn giảihiệm phương dẫn giải trì nh +) Chia hai vế cuả phương trình cho x cu ả phương dẫn giải trì nh cho x3 ta được: 1 1 x x x 0 ( x3 ) 3( x ) 6( x ) 0 x x x x x x t x 2.01 (2.00 điểm)) 0.05 Đặt 1 1 1 1 x t 2; x x 3x x t 3t x x x x x x 0.05 Thay vào phương trình ta được: vào phương trình ta được: phương trình ta được: trình ta được: rình trình ta được: a được: t 3t t 6t 0 t 1 1 t 1 1 x x 0 x x 1 x x 0 x vô ng dẫn giảihiệm 0.05 x 0.05 KL Do f(x) chia cho (x) chia cho x x 12 x 3 x trình ta được: hương trình ta được: x cịn dư nên trình ta được: a có : 0.05 f x x x 3 x 3 a.x b 2.02 (2.00 điểm)) Cho phương trình ta được: x f x 4a b 9 0.05 Cho x 3 f x 3a b 2 4a b 9 a b 5 Khi tacó hệ: 3a b 2 Đa thức cần tì m: Câu f x x x 3 x 3 x 0.05 0.05 4.00 3.01 (2 điểm) điểm)) Xét y 0 x 3026 3025 x 55 0.05 y Xét y 3 x : dư ho ặc 0.05 x y : dư ho ặc dư 1,0 Mà 3026 chia dư , vô lý chia dư ,0 vô lý 0.05 KL: Vậy x; y 55;0 0.05 2a a 3b2 b 2a 2b a b b a b 2a 2b 1 b (1) 0.05 Gọi a b; 2a 2b 1 d Khi : 3.02 (2 điểm) điểm)) Mà .0 b a b 2a 2b 1 d b d 0.05 a b d a d 2a 2b d 2a 2b 1 2a 2b d 1d d 1 0.05 Như : (a b; 2a 2b 1) 1 Từ đó, theo (1) suy ra: ,0 theo (1) su y ra: a b 2a 2b cá trị lớn M c số phương phương dẫn giải.0 0.05 A Câu F B E K H D C Chứng minh đúng: AEB ∽ AFC 4.01 AE AF AB AC Su y r a: (2 điểm) điểm)) 4.02 (2.00 điểm)) 0.05 0.05 Chứng minh đúng: ABC ∽ AEF 1.00 HD S BHC AD S ABC Chỉ được: đ ược: 0.05 HE S AHC HF S AHB ; BE S CF S ABC ABC Tương trình ta được: trình ta được: ự: 0.05 HD HE HF S BHC S AHC S AHB AD BE CF S ABC Su y ra: 0.05 HD HE HF 1 AD BE CF 0.05 Dựng trình ta được: đường trình ta được: trình ta được: h ẳng trình ta được: d qua C so ng dẫn giải so ng dẫn giải với AB.0 Gọi K điểm) đối xứng trình ta được: với A qu a d.0 0.05 Chứng trình ta được: m)inh g trình ta được: óc BAK vng trình ta được: , CK=AC,0 AK = 2CF.0 Xétrình ta được: ba điểm) B,0 C,0 K trình ta được: a có BK £ BC + CK Tam g dẫn giảiiá trị lớn M c BAK vuông trình ta được: trình ta được: i A nên: 4.03 (1.00 điểm)) AB + AK = BK Þ AB + AK £ ( BC +CK ) 2 0.05 Þ AB + 4CF £ ( BC + CK ) Þ 4CF £ ( BC +CA ) - AB Ho n to n tương dẫn giải tự ta có ta có 4AD £ ( AB + AC ) - BC 2, 0.05 4BE £ ( AB + BC ) - AC Cộng trình ta được: vế với vế ba bất đẳng thức ta có với vế với vế ba bất đẳng thức ta có ba bấtrình ta được: đẳng trình ta được: trình ta được: hức trình ta được: rên trình ta được: a có ( 2 AD + BE + CF ) £ ( AB + AC + BC ) ( AB + AC + BC ) Û AD + BE + CF 0.05 ³ Câu Ta có y yz z 1011 3x 2 y yz z 2022 3x x y z xy yz xz 2022 x xy y z xz x (1 điểm) điểm)) 0.05 ( x y z ) 2022 ( x y ) ( x z ) 2022 2022 x y z 2022 x y z nhỏ nhất b ằng dẫn giải 2022 x y z lớn b ằng dẫn giải 2022 x y z x y z 2022 2022 0.05 Lưu ý chấm b i: Trên vào phương trình ta được: được: sơ lược bước g trình ta được: iải, lời g trình ta được: iải học sinh cần lập luận chặtrình ta được: chẽ, hợp lo phương trình ta được: g trình ta được: ic Nế với vế ba bất đẳng thức ta cóu học sinh trình ta được: rình bày vào phương trình ta được: cách làm) khác m)à trình ta được: trình ta được: hì điểm) trình ta được: heo phương trình ta được: trình ta được: hang trình ta được: điểm) trình ta được: ương trình ta được: ứng trình ta được: Với trình ta được: o phương trình ta được: án hình học nế với vế ba bất đẳng thức ta cóu học sinh vẽ hình sai ho phương trình ta được: ặc khơng trình ta được: vẽ hình trình ta được: hì khơng trình ta được: cho phương trình ta được: điểm) phần tương dẫn giải ứng dẫn giải.0