Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHĨ Hồ CHÍ MINH DƯƠNG HỒNG HẠNH VẤN ĐỀ CỦA FUCHS CHO NHĨM ABEL KHƠNG PHÂN TÍCH Được Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC PGS.TS MỴ VINH QUANG TP HỒ Chí Minh - 2022 Mục lục ♦• LLỜi cam doanl ILỜi càm ỡĩĩl 11 Các kión thức cộ bán vộ nhóm vành 1.1 Các kiến thức bân số học| 1-1-1 Lý thu vét (lồng (lư 1.1.2 SỐ nguyên to 11.2 Các kiền thức nhóml 11 1-2-1 Nhóm abcl xoắn-Nhóni abcl khơng xoắn-Nhóm abel hỗn Ịl.3.2 Định lý Trưng Hoa vé dưj 17 Ịl.3.3 Vành Z,; hàm Eniẽr 17 Ị1.4 Trương hữu hạn| 20 1.4 Các kiến thức bán trường hừu han 20 [L£2 Các đinh lý bân vê trường hữu han| 22 Các vấn đê cùa Fuchs cho I111Ĩ11Ì abel khơng phân tích 24 2.1 ĐINH LÝ CO BẢN 25 2.3 KẾT LUẬN 44 |Tài liệu tham kháo 45 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết luận: ’Vấn đề cùa Fuchs cho nhóm abel khơng phân tích được* thành quă nghiên cứu cá nhân hướng dẩn PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung cùa luận vấn có tham kháo số kết từ nguồn sách báo tạp chí dược liệt kê mục tài liệu tham khào Tòi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với luận ván cùa bàn thân Dương Hồng Hạnh Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành càm ơn PGS.TS My Vinh Quang, người thầy vô tận tâm nhiệt tình việc giáng dạy, hướng dẫn giúp kiến thức phương pháp dể tơi hồn thành luận ván 'Van dề cùa Fuchs cho nhóm abel khơng phân tích dược’ Bên cạnh tơi xin bày tị lịng biết ơn đến q thầy có khoa Toán - Tin trường Dại học Sư Phạm Thành phó llồ Chí Minh, dã trực tiếp giúp giảng dạy tòi nhiều trinh học tập Cao học thực hiệu luận van Tiếp đến, xin cãm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu q thầy phịng Sau dại học trưịng Dại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo diều kiện thuận lợi trình học Cao học trường Tơi xin chân thành cam ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đà cổ vũ động viên suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều lực suốt trình thực luận vấn, khơng tránh khói thiếu sót Tỏi mong nhận ý kiến dóng góp chi dần quý thầy cỏ bạn học viên Dương Hồng Hạnh Lời mở đầu Gần 60 năm trước Filths đặt câu hói: “Nhóm abel xem nhóm phần tử khả nghịch vành giao hốn có đơn vị?” Có lất nhiều nhà tốn học (là nghiên cửu vấn (lồ (là thu (lược nhiều kết q thú vị Tuy nhiên, câu hịi trơn cịn vần đề mơ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Chính chúng tơi chọn (lề tài "Vấn đề cùa Fuchs cho nhóm abel khơng phân t ích được'' với mong muốn tìm hiểu sâu kết quà nghiên cứu gần (lây liên (plan đến ván (lề Fuchs (lã dặt Nội (lung luận vốn gồm có chương Chương 1: Kiến thức bân nhóin vành Chương 2: vấn đề Fuchs cho Iihóm abel khơng phân tích Chương Các kiến thức nhóm vành 1.1 Các kiến thức số học 1.1.1 Lý thuyết đồng dư Phép chia hết phép cilia có dư Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên m n(u > 0) số m gọi chia hết cho n tồn sỗ nguyên q cho m = Khi ta nói tu bội cùa n hay n ước cùa m Ký hiệu rn':n n I m Định lý 1.1.2 Dịuh lý thuật toán chia Cho hai sỗ nguyên m t'À n(n > 0) Khi dó, tồn nhát số nguyên ợ r cho m = nq + r với Q < r < n ước chung lớn bội chung nhỏ Định nghĩa 1.1.3 Cho hãi số nguyên HẠ n số nguyên k gọi ước chung m n Ả vừa ước cùa m vừa ước cùa « Định nghĩa 1.1.4 Ước chung lớn Cho hái số nguyên m n, số nguyên dương (ỉ gọi ước chung lớn cùa số nguyên rn.tỉ (l ước chung cùa m n dồng thời ước chung khác m n ưốc cùa í/ Ký hiệu: d = UCLN(»n,n) hay d = (m,n) Định nghĩa 1.1.5 Cho hai số nguyên m M, số nguyên h gọi bội chung m n h vừa bội cùa m, vừa bội cùa n Định nghĩa 1.1.6 Bội chung nhó Cho hai số nguyên rn vằ n, số nguyên dương b gọi bội chung nhó số nguyên III, n b bội chung III vằ n dồng thời bội chung khác rn n dều bội cùa b Ký hiệu: b - BCNNfm.n] hay b = (m,n) Định nghĩa 1.1.7 Hai số nguyên m It dược gọi nguyên tố (m,n) = Bổ đề 1.1.8 Nếu m = nq + r thi (m,n) - (n.r) Bổ đề 1.1.9 Cho m,n số nguyên d ước chưng lớn nhắt cùa m n Khi (ló tồn sẻ nguyên m',n' cho d = m.m' + n.n' Hộ quã 1.1.10 in I'd n hai số nguyên tố t'd chi tồn hai số nguyên u,v cho in.u + n.v = Đồng dư Định nghĩa 1.1.11 Cho số nguyên a > Nếu hai số nguyên m n cho số dư chia cho 23, dó t > 4, suy 2t - > 2í - > t Khi dó: (1 + x