TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489 Bài tốn 50 Cực trị HHKG • Phần B Điền khuyết • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu (Đề minh hoạ) Người ta cần chế tạo quà lưu niệm đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, mạ vàng bốn mặt bên tích 16cm Diện tích mạ vàng nhỏ khối chóp cm (kết làm tròn đến hàng đơn vị) Đáp án: ………… Phát triểu câu tương tự Câu Cho hình chóp S ABCD Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt cạnh SA; SB; SC ; SD SM M , N , P , Q Gọi M , N , P, Q  hình chiếu M , N , P , Q lên mặt đáy Tìm tỉ số SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M N P Q lớn Đáp án: ………… Câu Cho hình chóp hình tứ giác SABCD cạnh bên SA  600 (mét),  ASB  15O Chọn cạnh bên SA, SB , SC , SD điểm Q , M , N , P cho độ dài đường gấp khúc AMNPQ ngắn AM  MN Tính tỉ số k  NP  PQ Đáp án: ………… Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Gọi V thể tích khối chóp S ABCD , giá trị lớn V Đáp án: ………… Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O ,các cạnh bên cạnh đáy hinh chóp a , E trung điểm SB Lấy I đoạn OD với DI  x Gọi   mặt phẳng qua I song song mp  EAC  Giá trị x cho thiết diện hình chóp mặt phẳng   có diện tích lớn m a với m, n  * ;  m, n   Khi m  n n Đáp án: ………… Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC , BD cho mặt phẳng ( AMN ) ln vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Gọi V1 ,V2 giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ABMN Tính V1  V2 Đáp án: ………… Lời giải tham khảo Câu (Đề minh hoạ) Người ta cần chế tạo quà lưu niệm đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, mạ vàng bốn mặt bên tích 16cm Diện tích mạ vàng nhỏ khối chóp cm (kết làm tròn đến hàng đơn vị) Đáp án: ………… Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Gọi O , N trung điểm AC , BC Gọi a , b  a  0, b  0, 4b  a   độ dài cạnh hinh vng cạnh bên hình chóp tứ giác Theo 4b  2a 962 V  a2  16  a 4b  2a  96  a  4b  2a   962  4b   2a a Hình chóp tứ giác có tất mặt bên nên diện tích mặt S  S SBC  BC SM  2a SO  OM  a 4b  a  962  962  S  a  4b  a   a   a    a  a  a 4608 4608 4608 4608   a  3 a  3 46082  S  3 46082  29cm 2 a a a a Câu Cho hình chóp S ABCD Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt cạnh SA; SB; SC ; SD SM M , N , P , Q Gọi M , N , P , Q  hình chiếu M , N , P , Q lên mặt đáy Tìm tỉ số SA để thể tích khối đa diện MNPQ.M N P Q lớn  Đáp án: ………… Lời giải SM SN SP SQ  x Suy    x SA SB SC SD Gọi h, h chiều cao hình chóp chiều cao khối đa diện MNPQ.M N P Q Đặt SM MN MN  x  MN  x AB SA AB AB Tương tự ta có BC  x.NP Do MN //AB nên ta có Ta có: SΔMNP  x SΔABC  S MNPQ  x S ABCD (Vì tam giác MNP đồng dạng tam giác ABC ) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 AM h SA  SM h Mặt khác ta có:    AS h SA h h  x   h  1  x  h h Ta có: VMNPQ.M ' N ' P 'Q '  h.S MNPQ  1  x  h.x S ABCD  1  x  x h.S ABCD Do h, S ABCD không thay đổi nên VMNPQ M N PQ đạt giá trị lớn 1  x  x2 đạt giá trị lớn x x  1  x    x x 2  Ta có: 1  x  x  1  x    2 27 27 x Dấu “ = ” xảy  x   x  Câu Cho hình chóp hình tứ giác SABCD cạnh bên SA  600 (mét),  ASB  15O Chọn cạnh bên SA, SB , SC , SD điểm Q , M , N , P cho độ dài đường gấp khúc AMNPQ ngắn AM  MN Tính tỉ số k  NP  PQ Đáp án: ………… Lời giải S Q S P Q A N M D M A C B B N P A' C D Giả sử trải mặt hình chóp đường trịn tâm S bán kính R  SA Ta có SAA có  ASA  15o.4  60o  SAA Mà đoạn AQ ngắn AQ  SA A , M , N , P , Q thẳng hàng Khi N trọng tâm AM  MN AN  2 SAA Suy k  NP  PQ NQ Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Gọi V thể tích khối chóp S ABCD , giá trị lớn V Đáp án: ………… Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Ta vẽ hình vẽ E trung điểm CD , OH  SE Dề dàng cm OH  d  O;  SCD    d  A;  SCD    2    (0    90 ) Gọi SEO OH  OE   sin  sin  OH  Cạnh hình vuông ABCD là: SO   cos  cos  sin  32 Từ VS ABCD  SO.S ABCD  3 sin  cos  Đặt cos   t  t   0;1  sin  cos   t 1  t   t   Xét hàm f  t   t  t ; f   t    3t ; f   t      t  Ta có bảng biến thiên: t 3 f(t) 0 Giá trị nhỏ V đạt f  t  lớn tức V  16  Min f  t    0;1 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O ,các cạnh bên cạnh đáy hinh chóp a , E trung điểm SB Lấy I đoạn OD với DI  x Gọi   mặt phẳng qua I song song mp  EAC  Giá trị x cho thiết diện hình chóp mặt phẳng   có diện tích lớn m a với m, n  * ;  m, n   Khi m  n n Đáp án: ………… Lời giải a) Ta có: mp   // mp  ACE  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 + mp  ABCD  cắt mặt phẳng   S I    ; I   ABCD   I      ABCD    //  EAC   ABCD    EAC   AC Q Suy   ABCD  Ix , Ix // AC , Ix  AD  M , Ix  DC  N     + mp  SBD  cắt mặt phẳng   D R I    ; I   SBD   I      SBD    //  EAC   SBD    EAC   EO Suy     SBD   Iy, Iy // EO, Iy  SB  Q P E C N I M O A B Dễ dàng có IQ // SD + mp  SAD  cắt mặt phẳng   M    ; M   SAD   M      SAD     IQ  SAD   SD, IQ // SD Suy     SAD   Mz, Mz // SD, Mz  SA  R + Tương tự mp  SDC  cắt mặt phẳng    SDC      Nt , Nt // SD, Nt  SC + mp  ABCD  cắt mặt phẳng   theo giao tuyến MN // AC   + mp  SAD  cắt mặt phẳng   theo giao tuyến MR // SD   + mp  SAB  cắt hai mặt phẳng   theo hai giao tuyến RQ   + mp  SBC  cắt mặt phẳng   theo hai giao tuyến QP   + mp  SCD  cắt hai mặt phẳng   theo hai giao tuyến PN // SD  2 Thiết diện hình chóp mặt phẳng   ngũ giác MNPQR Ta có MR // IQ // NP Hay tứ giác RMNP hình bình hành Mà EAC cân EA  EC ( hai trung tuyến tam giác đề cạnh a )  OE  AC Do MR  MN , IQ  MN nên RMIQ, QINP hai hình thang vng Do MN // AC  MN DI AC   MN  DI  x  MI  x AC DO OD AEC cân cạnh AC  a , OE  Do MI // AO  AM OI  AD OD Do MR // SD  AM MR  AD SD SD a  2 S Q P E R M D N I C O Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang A B Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ OI MR OI Vậy   MR  SD  OD SD OD Do QI // SD  a x a  2x a   a  2x a 2 IB QI IB.SD a  x a 2x   QI   a  DB SD DB a 2 a  2x  a  Do S RQPNM  S MRQI   2 x x  2ax  x 2 2   2   2 2  x  a   a    a   a  a  x   3   2     2 a a x  m  1, n   m  n  3 Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc Do max S RQPMN  cạnh BC , BD cho mặt phẳng ( AMN ) ln vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Gọi V1 ,V2 giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ABMN Tính V1  V2 Đáp án: ………… Lời giải Gọi I , J , K trung điểm đoạn thẳng BC , BD, CD G trọng tâm ABC Tứ diện ABCD đều, G tâm tam giác BCD  AG  ( BCD ) Ta có ( AMN )  ( BCD )  ( AMN )  AG  G  MN Đặt BM  x , BN  y (  x , y  1) 2 Ta có AG   3 AB  BG        2 1 S BMN  S BGM  S BGN  BM BN sin B  BM GI  BMN GJ 2 1 3 x  x y.sin 600  x  y y 2 2 3x  1 x2 x2 Thể tích tứ diện ABMN là: VABMN  S ABM AG   3 3x  12 x  Xét hàm số f ( x )  1  x2 x   ;1   12 x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489  x  (L) 3x2  2x  f ( x)  0 (3 x  1)  x  (N )  V1  max f(x) = f(1) =   x ;1 2    Vậy V1  V2  TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 2 , V2  f(x)= f( ) = 1  24 27 x ;1   2  17 216 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang ... ABCD  1  x  x h.S ABCD Do h, S ABCD không thay đổi nên VMNPQ M N PQ đạt giá trị lớn 1  x  x2 đạt giá trị lớn x x  1  x    x x 2  Ta có: 1  x  x  1  x    2 27 27 x... RQPMN  cạnh BC , BD cho mặt phẳng ( AMN ) ln vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Gọi V1 ,V2 giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện ABMN Tính V1  V2 Đáp án: ………… Lời giải Gọi I , J , K trung... chóp tứ giác S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD Gọi V thể tích khối chóp S ABCD , giá trị lớn V Đáp án: ………… Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang