Bài toán về cực trị tọa độ không gian và cách giải I LÝ THUYẾT Với bài toán cực trị trong không gian Oxyz chúng ta thường xử lí theo một trong hai hướng sau Hướng 1 Đại số Chuyển đại lượng cần tìm min[.]
Bài tốn cực trị tọa độ khơng gian cách giải I LÝ THUYẾT Với toán cực trị khơng gian Oxyz thường xử lí theo hai hướng sau: Hướng 1: Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max biểu thức đại số dùng bất đẳng thức khảo sát hàm số để tìm min, max Hướng 2: Hình học: Với hướng ta sử dụng bất đẳng thức để đánh giá II PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( x A ; y A ;z A ) ,B ( x B ; y B ;z B ) mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = Tìm điểm M (P) cho MA + MB nhỏ |MA – MB| lớn với d ( A, ( P ) ) d ( B, ( P ) ) Phương pháp: +) Xét vị trí tương đối điểm A, B so với mặt phẳng (P) +) Nếu ( ax A + by A + cz A + d )( ax B + by B + cz B + d ) hai điểm A, B phía với mặt phẳng (P) +) Nếu ( ax A + by A + cz A + d )( ax B + by B + cz B + d ) hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P) MA + MB nhỏ +) Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía so với mặt phẳng (P) Vì A, B khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ AB M = ( P ) AB +) Trường hợp 2: Hai điểm A, B phía so với mặt phẳng (P) Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) A’ B khác phía (P) MA MA’ nên MA + MB = MA'+ MB A'B Vậy MA + MB nhỏ A’B M = A 'B ( P ) |MA – MB| lớn +) Trường hợp 1: Hai điểm A, B phía so với mặt phẳng (P) Vì A, B phía so với mặt phẳng (P) nên |MA – MB| lớn AB M = ( P ) AB +) Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), A’ B phía (P) MA = MA’ nên | MA − MB |=| MA'− MB | A'B Vậy |MA – MB| lớn A’B M = A'B (P) Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua đường thẳng khoảng cách từ A đến (P) lớn (P) qua tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ (P) qua tạo với đường thẳng d góc lớn Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số Giả sử đường thẳng : x − x1 y − y1 z − z1 = = A ( x ; y ;z ) a b c Khi phương trình (P) có dạng: A ( x − x1 ) + B ( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = Trong Aa + Bb + Cc = A = − Khi d ( A, ( P ) ) = bB + cC , a0 a (1) | A ( x − x1 ) + B ( y0 − y1 ) + C ( z − z1 ) | Thay (1) vào (2) đặt t = A + B2 + C (2) B , ta đươc d ( A, ( P ) ) = f ( t ) C mt + nt + p Trong f ( t ) = , khảo sát hàm f ( t ) ta tìm max f(t) Từ m't + n 't + p' suy biểu diễn A, B qua C cho C giá trị ta tìm A, B 2 làm tương tự Cách 2: Dùng hình học Gọi K, H hình chiếu A lên (P), ta có: d ( A, ( P ) ) = AH AK , mà AK không đổi Do d (A, (P)) lớn H K Hay (P) mặt phẳng qua K, nhận AK làm vectơ pháp tuyến ( ) Nếu ⊥ ( Q ) ( P ) , ( Q ) = 900 nên ta xét (Q) khơng vng góc với +) Gọi (B) điểm thuộc , dựng đường thẳng qua B vng góc với (Q) Lấy điểm C cố định đường thẳng Hạ CH ⊥ ( P ) ,CK ⊥ d Góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) BCH Ta có sin BCH = Mà BH BK BC BC BK không đổi, nên BCH nhỏ H K BC +) Mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng (BCK) Suy n ( P ) = u , u ,n ( Q ) VTPT (P) Gọi M điểm thuộc , dựng đường thẳng d’ qua M song song với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH ⊥ ( P ) , AK ⊥ d Góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ AMH Ta có cos AMH = Mà HM KM AM AM KM không đổi, nên AMH lớn H K AM +) Mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng ( d ', ) Suy n ( P ) = u , u , u d ' VTPT (P) III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 12 = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ nhất? A M (2; 2; 9) −6 18 25 B M ; − ; 11 11 11 7 31 C M ; ; 6 11 18 D M − ; − ; 5 5 Hướng dẫn giải Thay tọa độ A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P), ta P(A).P(B) > hai điểm A, B phía với mặt phẳng (P) Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P) Ta có MA + MB = MA'+ MB A'B Nên min(MA + MB) = A’B M giao điểm A’B với (P) x = + t Phương trình AA ' : y = 2t (AA’ qua A (1; 0; 2) có véctơ phương z = − 2t n ( P ) = (1;2; −1) ) Gọi H giao điểm AA’ trêN (P), suy tọa độ H H (0; -2; 4), suy A’ x = t (-1; -4; 6), nên phương trình AB : y = −1 + 3t z = − 4t 11 18 Vì M giao điểm A’B với (P) nên ta tính tọa độ M − ; − ; 5 5 Chọn D Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E (8; 1; 1).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz A, B, C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC A x + y + 2z – 11 = B 8x + y + z – 66 = C 2x + y + z – 18 = D x + 2y + 2z – 12 = Hướng dẫn giải Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 1 Theo đề ta có: + + = Cần tìm giá trị nhỏ a + b2 + c2 a b c Ta có ( a + b + c ) ( + + 1) ( a.2 + b.1 + c.1) 6.( a + b + c ) ( 2a + b + c ) 2 Mặt khác (a + b + c ) ( + + 1) ( a.2 + b.1 + c.1) 8 1 ( 2a + b + c ) + + a b c ( + + 1) = 36 Suy a + b2 + c2 63 Dấu '' = '' xảy a2 = b2 = c2 a = 2b = 2c Vậy a + b2 + c2 đạt giá trị nhỏ 216 a = 12, b = c = Vậy phương trình mặt phẳng : x y z + + = hay x + 2y + 2z – 12 = 12 6 Chọn D Ví dụ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Hướng dẫn giải Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) : Vì: M ( P ) x y z + + =1 a b c + + =1 a b c Thể tích khối tứ diện OABC là: VOABC = abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Hay 3 54 1 abc abc Suy ra: abc 54 abc 12 + + 33 a b c ab c Vậy: VOABC Chọn C III BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M ; ;0 mặt cầu 2 (S) : x + y2 + z2 = Đường thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB A S = B S = C S = D S = 2 Câu 2: Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M (1; 2; 3) cắt ba tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất? A 6x + 3y + 2z + 18 = B 6x + 3y + 3z – 21 = C 6x + 3y + 3z + 21 = D 6x + 3y + 2z – 18 = Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x + y – z + = hai điểm A (1; 0; 2), B (2; -1; 4) Tìm tập hợp điểm M (x; y; z) nằm mặt phẳng (P) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x − 7y − 4z + = A 3x − y + z − = x − 7y − 4z + 14 = B 3x + y − z + = x − 7y − 4z + = C 3x + y − z + = 3x − 7y − 4z + = D 3x + y − z + = Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-2; -2; 1), A (1; 2; x +1 y − z 3) đường thẳng d : = = Tìm vectơ phương u đường thẳng 2 −1 qua M, vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé A u = ( 2;1;6 ) B u = (1;0;2 ) C u = ( 3;4; −4 ) D u = ( 2;2; −1) Câu : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A (2; ; -1), B (1; 4; 1), C (2; 4; 3), D (2; 2; -1) Biết M (x; y; z), để MA + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ x + y + z A B C D Câu : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A (1 ; ; 1), B (2 ; ; 2), C (-1 ; -1 ; 0), D (0 ; ; 4) Trên cạnh AB, AC, AD lần AB AC AD + + = Viết phương trình lượt lấy điểm B’, C’, D’ thỏa mãn : AB' AC' AD' mặt phẳng (B’C’D’) biết tứ diện AB’C’D’ tích nhỏ ? A 16x + 40y – 44z + 39 = B 16x + 40y + 44z – 39 = C 16x – 40y – 44z + 39 = D 16x – 40y – 44z – 39 = Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d qua điểm A (1; -1; 2), song x +1 y −1 z song với (P): 2x – y – z + = 0, đồng thời tạo với đường thẳng : = = −2 góc lớn Phương trình đường thẳng d A x −1 y +1 z − = = −5 B x −1 y +1 z + = = −5 C x −1 y +1 z − = = D x −1 y +1 z − = = −5 −7 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d qua A (-1; 0; -1), cắt x −1 y − z + x −3 y−2 z+3 , cho góc d : nhỏ 1 : = = = = −1 2 −1 Phương trình đường thẳng d A x +1 y z +1 = = 2 −1 B x +1 y z +1 = = −2 C x +1 y z +1 = = −5 −2 D x +1 y z +1 = = 2 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; -2; -1), B (-2; -4; 3), C (1; 3; -1) mặt phẳng (P): x + y – 2z – = Biết điểm M ( a ;b;c ) ( P ) thỏa mãn T = MA + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ Tính S = a + b + c A S = -2 B S = C S = 1 D S = − Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; -2), B (-1; 0; 3), (P) mặt phẳng qua A cho khoảng cách từ B đến (P) lớn Khi khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P) A 17 35 B C D 35 ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp A D C B A A A A B A án ... diện AB’C’D’ tích nhỏ ? A 16x + 40y – 44z + 39 = B 16x + 40y + 44z – 39 = C 16x – 40y – 44z + 39 = D 16x – 40y – 44z – 39 = Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d qua điểm A (1; -1; 2),... 2c Vậy a + b2 + c2 đạt giá trị nhỏ 216 a = 12, b = c = Vậy phương trình mặt phẳng : x y z + + = hay x + 2y + 2z – 12 = 12 6 Chọn D Ví dụ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2;... VTPT (P) III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 12 = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ nhất?