Ph¥n ho¤ch ìn và
Cho Ω là một tập hợp trong R^n Một họ { (Ω_j, ϕ_j) }_{j=1}^{∞} được xác định, trong đó Ω_j là tập con trong R^n và ϕ_j là hàm số liên tục, được gọi là một phân hoạch của Ω Phân hoạch này thỏa mãn điều kiện: {Ω_j}_{j=1}^{∞} là một phủ của Ω, tức là Ω ⊂ ∪_{j=1}^{∞} Ω_j.
Ta cỏn gồi {ϕ j } ∞ j=1 l phƠn hoÔch ỡn và ựng vợi phừ mð {Ω j } ∞ j=1 cừa têp Ω
Ta có ánh lý sau về phân hoạch ẩn và Ánh lý 1.1 Cho K là một tập compact trong R^n, hội hữu hôn {U_j} (j=1 đến N) là một phân hoạch cừa K Khi đó, tồn tại một hội hữu hôn của hàm khả vi vớ hôn {ϕ_j} (j=1 đến N) xác định một phân hoạch ẩn và ứng với phân hoạch {U_j} (j=1 đến N) của tập K.
Trữợc khi chựng minh ành lỵ ta x²t h m ρ : R n → R l h m ữủc xĂc ành nhữ sau: ρ(x) :=
0, náu kxk ≥ 1 trong õ, C l hơng số sao cho
H m ρ cõ cĂc tẵnh chĐt : ρ ∈ C 0 ∞ (R n ), supp ρ = B[0, 1] = x ∈R n kxk ≤ 1 , ρ(x) ≥ 0,
R n ρ(x)dx = 1, v ρ l h m ch¿ phử thuởc v o kxk Vợi mội > 0 , ta x²t h m ρ nhữ sau ρ (x) = −n ρ x
H m ρ cụng cõ cĂc tẵnh chĐt cừa h m ρ, cử thº l ρ ∈ C 0 ∞ (R n ), supp ρ = B[0, ] = x ∈R n kxk ≤ , ρ (x) ≥ 0,
R n ρ (x)dx = 1, v ρ l h m ch¿ phử thuởc v o kxk Vợi mội h m f ∈ L 1 loc ( R n ) , °t f (x) = (f ∗ ρ ) (x) =
Mằnh ã 1.1 Cho f ∈ L 1 loc ( R n ) Khi õ, ta cõ cĂc kát luên sau.
(ii) Náu supp f = K ⊂ R n thẳ f ∈ C 0 ∞ (R n ) , supp f ⊂ K trong õ
|f (x) − f(x)| = 0, K ⊂R n Chựng minh (i) Dạ d ng chựng minh tứ ¯ng thực sau
Vợi mội x / ∈ K cõ kx − yk > , ∀y ∈ K M supp ρ = B[0, 1] nản ρ (x − y) = 0, ∀y ∈ K.
M f ∈ C( R n ) nản f liản tửc ãu trản tứng têp compact K ⊂ R n Do õ
Chựng minh ữủc ho n th nh
Mằnh ã 1.2 Cho têp K ⊂ R n Khi õ, vợi mội > 0 cõ h m ϕ ∈ C 0 ∞ ( R n ) thọa mÂn
Chựng minh X²t χ(x) l h m °c trững cừa têp K 3/4, tực l χ(x) :=
Cõ χ ∈ L 1 ( R n ) ⊂ L 1 loc (R n ), supp χ = K 3/4, nản theo Mằnh ã 1.1 cõ χ ∗ ρ /4 ∈ C 0 ∞ (R n ), supp(λ ∗ ρ /4 ) ⊂ K , 0 ≤ (χ ∗ ρ /4 )(x) ∀x ∈R n
. Chựng minh ữủc ho n th nh
Chựng minh ành lỵ 1.1 Tứ giÊ thiát K l têp compact, {U j } N j=1 l mởt phừ mð cừa
⊂ U 1 nản tỗn tÔi 1 > 0 sao cho
W 1 ⊂ W 1 + B (0, 1 ) ⊂ U 1 Theo mằnh ã 1.2, cõ h m ψ 1 ∈ C 0 ∞ (R n ; [0; 1]) sao cho
Do õ, tỗn tÔi 2 > 0 sao cho W 2 ⊂ W 2 + B(0, 2 ) ⊂ U 2 Theo mằnh ã 1.2, cõ mởt h m ψ 2 ∈ C 0 ∞ (R n ; [0; 1]) sao cho
Cự nhữ thá ta xƠy dỹng ữủc dÂy cĂc h m {ψj} N j=1 v cĂc têp {V j , W j } N j=1 thọa mÂn ψ j ∈ C 0 ∞ (R n ; [0; 1]) , V j := W j + B (0, j
Cõ K ⊂ ∪ N j=1 V j nản tỗn tÔi số > 0 sao cho
K ⊂ K + B(0, ) ⊂ ∪ N j=1 V j Theo mằnh ã 1.2 cõ h m khổng Ơm φ thọa mÂn φ ∈ C 0 ∞ (R n ), K ⊂ K + B(0, /2) ⊂ supp φ ⊂ K + B(0, ) ⊂ ∪ N j=1 V j , v
Chựng minh ữủc ho n th nh
Tẵch chêp
Trong không gian R^n, tích chập của hai hàm f và g được định nghĩa qua công thức R^n f(y)g(x − y)dy, với x thuộc R^n Tích chập của hàm f theo hàm g được ký hiệu là f * g Đáng chú ý, trong trường hợp này, tích chập của hàm f theo hàm g và tích chập của hàm g theo hàm f là tương đương nhau Điều này dẫn đến định lý Fubini.
|f (x − y)| dx dy ≤ kf k L 1 ( R n ) kgk L 1 ( R n ) nản f ∗ g ∈ L 1 ( R n ) v kf ∗ gk L 1 ( R n ) ≤ kfk L 1 ( R n ) kgk L 1 ( R n )
Tờng quĂt, vợi f ∈ L 1 ( R n ), g ∈ L p ( R n )(1 ≤ p ≤ ∞) ta cõ bĐt ¯ng thực Young nhữ sau kf ∗ gk p ≤ kf k p kgk 1
Khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n )
ành nghắa 1.2 Khổng gian S ( R n ) l têp hủp
Vẵ dử 1.1 Khổng gian C 0 ∞ (R n ) l khổng gian con cừa khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n )
Vẵ dử 1.2 Cho h m số ϕ (x) = e −kxk 2 , x ∈ R n Khi õ ϕ l h m số thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n )
Ph²p bián ời Fourier
Ph²p bián ời Fourier trong khổng gian cĂc h m giÊm
S(R n ) ành nghắa 1.3 Cho h m f ∈ S ( R n ) Bián ời Fourier cừa h m f kỵ hiằu l fb(ξ) hay F (f ) (ξ) , l h m ữủc xĂc ành bði
R n e −ihx,ξi f (x) dx trong â x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈R n , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈ R n ành nghắa 1.4 Bián ời Fourier ngữủc cừa h m f ∈ S ( R n ) l h m ữủc xĂc ành bði
Tứ ành nghắa trản ta dạ d ng suy ra: Bián ời Fourier (v ngữủc cừa nõ) l tuyán tẵnh, nghắa l :
F −1 [λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ] = λ 1 F −1 [f 1 ] + λ 2 F −1 [f 2 ]BƠy giớ ta x²t cĂc tẵnh chĐt cừa bián ời Fourier, bián ời Fourier ngữủc cừa h m thuởc khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) ành lþ 1.2 Cho h m ϕ ∈ S ( R n ) Khi â F ϕ, F −1 ϕ ∈ S ( R n ) v
Chựng minh Theo ành nghắa ph²p bián ời Fourier cừa h m ϕ thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ) câ
R n e −ihx,ξi ϕ (x) dx (1.1) p dửng ành lỵ vã tẵnh khÊ vi cĂc tẵch phƠn phử thuởc tham số, ta cõ Ôo h m
R n e −ihx,ξi x α ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R n ) hởi tử tuyằt ối v ãu theo ξ trong R n v mồi α ∈ Z n + Vẳ e
|x| α |ϕ (x)| dx ∀α ∈Z n + hởi tử tuyằt ối v ãu theo ξ trong R n
Do õ, tỗn tÔi Ôo h m D ξ α (F ϕ) (ξ) , dăn án F ϕ ∈ C ∞ ( R n )
Vẳ thá mội ξ ∈ R n , β, γ ∈ Z n +, cõ kxk→∞ lim ξ β D γ x e −ihx,ξi ϕ (x)
Sỷ dửng ph²p tẵnh tẵch phƠn tứng phƯn |β| lƯn cho (1.2), ta ữủc
Nhữ vêy, vợi mội α, β ∈ Z n +, cõ ξ β D ξ α (F ϕ) (ξ) = (2π) −n/2
R n e −ihx,ξi (−iD x ) β (−ix) α ϕ (x) dx, (1.3) nhên thĐy rơng
(1 + kxk) n+1 (1.4) Kát hủp (1.3) v (1.4), ta nhên ữủc sup ξ∈ R n ξ β D α ξ F ϕ (ξ)
Tứ cổng thực (1.3), cho α = 0, β ∈ Z n + ta nhên ữủc ξ β F ϕ (ξ) = (2π) −n/2
Vêy ph²p bián ời Fourier l Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc trản khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) ối vợi ph²p bián ời Fourier ngữủc F −1 ta chựng minh tữỡng tü.
Chựng minh ữủc ho n th nh ành lþ 1.3 Cho h m ϕ ∈ S ( R n ) Khi â
Tứ õ suy ra ph²p bián ời Fourier (cụng nhữ ngữủc cừa nõ) l ph²p ựng 1-1.
Chựng minh Sỷ dửng ành nghắa bián ời Fourier cho h m ψ (x) trong khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ) , câ
R n ϕ (x) F ψ (x) dx (1.5) Tữỡng tỹ, ta nhên ữủc
M°t khĂc, vợi cĂc h m ϕ, ψ ∈ S ( R n ) theo ành lỵ Fubini, cõ
Kát hủp (1.5), (1.6) v (1.7), ta Ôt ữủc
Bơng cĂch cho h m ψ = F −1 ϕ ta thĐy rơng
F −1 ϕ = Fϕ, ϕ = F ψ v sỷ dửng (1.8), ta nhên ữủc
Phép biến đổi Fourier F là một công cụ quan trọng trong phân tích tín hiệu, cho phép chuyển đổi các hàm số thành các tần số thành phần của chúng Nó hoạt động trên không gian hàm số S(R^n) và liên kết với không gian metric L^2(R^n), giúp tối ưu hóa việc xử lý và phân tích dữ liệu Chứng minh về tính chất của phép biến đổi này có thể mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn trong khoa học và kỹ thuật.
Dữợi Ơy ta s³ trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt cừa ph²p bián ời Fourier vã tẵch chêp trong khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n )
Bián ời Fourier trong khổng gian L 1 ( R n )
ành nghắa 1.5 Cho h m f ∈ L 1 ( R n ) nh Fourier cừa h m f kỵ hiằu l fb(ξ) hay
Mằnh ã 1.5 Bián ời Fourier cừa mởt h m khÊ tẵch tuyằt ối trản R n l mởt h m bà ch°n trản R n Hỡn nỳa fb(y)
|f(x)| dx ∀y ∈R n Chựng minh Tứ ành nghắa ta suy ra
Kát hủp iãu n y vợi e −ixy = 1, suy ra fb(y)
|f(x)| dx ∀y ∈R n Chựng minh ữủc ho n th nh
Ch÷ìng 2 Ănh giĂ tẵch phƠn dao ởng
Cho P d l têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số thỹc cõ bêc khổng vữủt quĂ d Cho
P ∈ P d ta x²t giĂ trà chẵnh cừa tẵch phƠn sau
Mửc ẵch cừa chữỡng n y l Ănh giĂ cên trản v cên dữợi cừa I (P ) bơng cĂc hơng số ch¿ phử thuởc v o bêc d cừa a thực P (x) Nởi dung chữỡng 2 n y dỹa trản t i liằu số [4].
Ănh giĂ cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ởng
ành lỵ 2.1 Cho d ∈ N Khi õ, tỗn tÔi hơng số dữỡng c 1 khổng phử thuởc v o d sao cho c 1 log d ≤ sup
Trữợc khi ữa ra chựng minh ành lỵ trản, ta nhưc lÔi bờ º Vander Corput.
Mằnh ã 2.1 Cho φ : [a, b] → R l h m số khÊ vi liản tửc cĐp k thọa mÂn φ (k) (t)
≥ 1 vợi mồi t ∈ [a, b] (náu k = 1 ta giÊ sỷ thảm φ 0 l h m ỡn iằu) v cho ψ l h m khÊ vi cĐp 1 trản [a, b] Khi õ vợi mồi λ ∈ R , ta luổn cõ
, trong õ hơng số C k khổng phử thuởc v o a, b v φ, ψ
Tiáp theo, ta chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 2.1 Cho n ≥ 3 , f l h m số liản tửc trảnRthọa mÂn f(t) = 1 náu n 1 ≤ t ≤ 1− n 1 , f (t) = −1 náu −1 + n 1 ≤ t ≤ − n 1 , f (t) = 0 náu |t| ≥ 1 v tuyán tẵnh trong mội khoÊng −1, −1 + n 1
Khi õ tỗn tÔi hơng số c khổng phử thuởc v o n sao cho
Chựng minh Tứ giÊ thiát, ta suy ra f l h m l´ v f(t) = 0 ∀ |t| ≥ 1 , do õ
Ta thĐy, vợi 1 n ≤ t ≤ 1 − 1 n thẳ f(t) = 1 , suy ra
1 n sin 1 t dt = sin 1 log(n − 1), (2.3) vợi 0 ≤ t ≤ 1 n thẳ f(t) = nt , suy ra
0 ndt = 1, (2.4) vợi 1 − n 1 ≤ t ≤ 1 thẳ f (t) = n(1 − t) , suy ra
Z 1 1− n 1 n(1 − t) t dt = n log n n − 1 − 1 (2.5) Kát hủp (2.2), (2.3), (2.4) v (2.5), ta thu ữủc
= 2 sin 1 log (n − 1) − 2 − 2n log n n − 1 + 2. iãu n y cho ta
Chựng minh ữủc ho n th nh
Vợi mội k ∈ N, ta xĂc ành h m φ k :R → R nhữ sau: φ k (x) = C k
, (2.6) trong õ hơng số C k ữủc chồn thọa mÂn ¯ng thực
2 , k 2 + 1), ð Ơy B(., ) l h m beta Sỷ dửng cĂc tẵnh cỡ bÊn cừa h m beta, ta suy ra C k ∼ k. Vợi h m f xĂc ành nhữ trong Bờ ã 2.1, ta xƠy dỹng h m P k xĂc ành trản R nhữ sau
Ró r ng h m P k l a thực bêc khổng vữủt quĂ 2k 2 Ta cõ bờ ã sau vã cĂc tẵnh chĐt cõa c¡c a thùc P k.
Bờ ã 2.2 Cho P k l h m số ữủc ành nghắa nhữ trong cổng thực (2.8) ð trản Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau
(i) P k l mởt a thực l´ bêc 2k 2 − 1 vợi hằ số Ưu tiản ữủc tẵnh theo cổng thực a k = (−1) k 2 +1 2C k k 2
P k (t) = a k t 2k 2 −1 + Nõi riảng, ∀t ∈ R ta luổn cõ
Chựng minh (i) Sỷ dửng (2.8) ta cõ
−1 f (x)dx = 0, kát hủp iãu n y vợi (2.9), ta nhên ữủc ¯ng thùc sau
X²t số hÔng gưn vợi bêc cao nhĐt trong cổng thực trản ta cõ a k = = (−1) k 2 +1 2C k k 2
Hìn núa, do P k (2k 2 −1) (t) = (2k 2 − 1)!a k v a k ∼ k, ta suy ra
Kát hủp vợi φ k l h m chđn, ta nhên ữủc
Chựng minh ữủc ho n th nh
Bờ ã 2.3 Cho h m f xĂc ành nhữ trong Bờ ã 2.1 Ta xĂc ành
Chựng minh Tứ giÊ thiát ta suy ra
Hỡn nỳa, do |f| bà ch°n bði 1 , nản
Kát hủp iãu n y vợi (2.10), (2.11), ta suy ra
A (x, t) ≤ 4 min (nx, nt, 1) (2.12) Hỡn nỳa, tứ giÊ thiát ta suy ra
A(x,t) t φ n (x) dtdx th nh bÊy tẵch phƠn sau
Ta Ănh giĂ riảng tứng tẵch phƠn nhữ sau
4nxlog (1 + 1 nx )φ n (x) dx ≤ 2. º Ănh giĂ tẵch phƠn
A(x, t) t dtφ n (x) dx ta nhên thĐy vợi x ∈ [0, 1 2 − n 1 ], t ∈ [x + n 1 , 1 2 ] thẳ 1 n ≤ t − x ≤ t + x ≤ 1 − n 1 v Ăp dửng cổng thực (2.13), ta ữủc A(x, t) = 0 Do õ
Ta công câ ¡nh gi¡ sau
2 + C n log (n + 1) e − 1 4 n 2(1−α) iãu n y dăn án lim sup n→∞ log(nx + 1) φ n (x) dx logn ≤ 1 − α
Chựng minh ữủc ho n th nh
B¥y gií ta chùng minh ành lþ 2.1.
Chựng minh ành lỵ 2.1 X²t P n l a thực ữủc ành nghắa trong (2.8), n ≥ 3 Khi õ P n l mởt a thực bêc d = 2n 2 − 1 v sup
X²t R ≥ 1 Sỷ dửng phƯn (i) cừa bờ ã 2.2 v Ăp dửng Mằnh ã 2.1 ta thu ữủc
p dửng Bờ ã 2.1 thẳ tỗn tÔi hơng số c 2 sao cho I(f) ≥ c 2 log n Do õ
Sỷ dửng phƯn (ii) cừa Bờ ã 2.2 v bĐt ¯ng thực (2.2), ta cõ
Kát hủp iãu n y vợi Bờ ã 2.3, ta suy ra
|I 1 (P n ) (t) − f(t)| = o(logn) (2.17)Chựng minh ữủc ho n th nh bơng cĂch Ăp dửng (2.14), (2.15) (2.16) , v (2.17).
Ănh giĂ cên trản cừa tẵch phƠn dao ởng
ành lỵ 2.2 Cho d ∈ N Khi õ, tỗn tÔi hơng số dữỡng c 2 khổng phử thuởc v o d sao cho sup
Trữợc khi chựng minh kát quÊ trản, ta cƯn kát quÊ vã têp mực dữợi cừa mởt a thực trong bờ ã sau ữủc chựng minh bði Vinogradov [5]
Bờ ã 2.4 Cho h(t) = b 0 + b 1 t + + b 1 t n l a thực bêc n Khi õ
Chứng minh rằng tập hợp E α = {t ∈ [1, 2] : |h(t)| ≤ α} là hợp của các khoảng rời nhau Ta thực hiện việc tách các khoảng này để tạo thành một không gian I chiều dọc |E α| và chia các khoảng I bằng n + 1 điểm chốt Tiếp theo, ta tách các khoảng mới ra và xác định các điểm ưu của chúng, dẫn đến việc có n + 1 điểm x0, x1, x2, , xn thuộc E α.
|x j − x k | ≥ |E α | |j − k| n (2.18) a thực Lagrange vợi cĂc giĂ trà nởi suy h (x 0 ) , h (x 1 ) , , h(x n ) chẵnh l a thực h(x) : h (x) = n
Vẳ vêy, ta cõ cổng thực tẵnh cĂc hằ số cừa a thực h(x) nhữ sau: b k = n
Trong cổng thực trản, σ n−k (x 0 , , x ˆ j , , x n )l h m số ối xựng cỡ bÊn thự (n − k) cừa x 0 , , x ˆ j , , x n ð Ơy x j bà lữủc bọ Kát hủp (2.18) v σ n−k (x 0 , , x ˆ j , , x n ) ≤ n n − k
√ n , ta cõ bĐt ¯ng thực sau cho mồi k = 0, 1, , n,
Chựng minh ữủc ho n th nh
Chùng minh ành lþ 2.2 Ta °t
Ta lĐy a thực bĐt ký P bêc khổng vữủt quĂ d , giÊ ành rơng bĐt ¯ng thực n y khổng cõ hằ số tỹ do, tực l P (0) = 0 Ta °t k = d
= Q (t) + R (t) ð ¥y Q (t) = a 1 t + a 2 t 2 + + a k t k v R (t) = a k+1 t k+1 + + a 2d t d °t |a l | = max k+1≤j≤d |a j | vợi k + 1 ≤ l ≤ d Ta cõ thº giÊ sỷ |a l | = 1 v vẳ vêy |a j | ≤ 1 vợi ∀k + 1 ≤ j ≤ d BƠy giớ tĂch tẵch phƠn ð (2.19) th nh hai th nh phƯn nhữ sau:
Vợi tẵch phƠn thự hai ð (2.20) ta cõ
Vợi α > 0 ữủc xĂc ành sau, ta tĂch I 2 + th nh hai th nh phƯn nhữ sau
P 0 (t) > α l hủp cừa cĂc khoÊng O(d) ð õ P 0 khổng ời dĐu, sỷ dửng Mằnh ã 2.1 ta cõ Ănh giĂ sau
Vẳ vêy ta  chựng tọ rơng
X²t a thực P 0 (2 m t) vợi cĂc hằ số ja j 2 m(j−1) , 1 ≤ j ≤ d
Sỷ dửng Bờ ã 2.4 v (2.21) ta cõ
Hiºn nhiản, tẵnh toĂn tữỡng tỹ văn úng vợi I 2 − Kát hủp cĂc Ănh giĂ ð trản, ta cõ
Tối ữu hõa theo bián α , ta cõ
Sỷ dửng ph²p quy nÔp trản n ta cõ K 2 n ≤ cn BƠy giớ, viằc chựng tọ bĐt ¯ng thực vợi d bĐt kẳ l hiºn nhiản, vẳ vợi 2 n−1 < 2 n , thẳ
Chựng minh ữủc ho n th nh
Ch÷ìng 3 ìợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng
Trong chữỡng n y, chúng ta s³ Ănh giĂ chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng Fourier
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm R e iλS(x,y) ψ(x,y)φ(y)dy, trong đó S(x,y) là một hàm phân nhánh tự nhiên, ψ(x,y) là hàm khuếch tán có giá trị compact và λ là một tham số lớn Chúng ta sẽ tập trung vào việc phân tích sự hội tụ của chuẩn toán tỷ lệ Tλ k L p → L 2 khi λ tiến tới vô cực với hàm phân nhánh S(x,y) có dải đồng.
S(x, y) = ax j 1 y k 1 + bx j 2 y k 2 + H(x, y), (3.2) trong õ k 1 , j 1 , k 2 , j 2 ∈N, a, b ∈ R Nởi dung chữỡng 3 n y dỹa trản t i liằu số [3].
Bờ ã
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện của tham số p trong khoảng 1 ≤ p ≤ 2 và mối quan hệ giữa các biến r, q và p Đặc biệt, chúng ta chứng minh rằng v viát k Tλ k L p →L 2 = O λ γ với một hằng số C > 0 Điều này cho thấy rằng k Tλ k L p →L 2 ≤ C|λ| γ Tiếp theo, chúng ta cần xác định λ > 0, vì trường hợp λ < 0 đã được chứng minh trước đó Cuối cùng, chúng ta sẽ xác định toán tỷ Tλ và các tính chất liên quan trong (3.1).
R e −iλS(y,z) ψ(y, z)φ(y)dy v hÔt nhƠn K (x, y) cừa TλT ∗ λ ữủc ữa ra bði
Trong cĂc Ănh giĂ sau, mởt hơng số chung C s³ ữủc sỷ dửng trong tĐt cÊ cĂc ữợc tẵnh cừa K (x, y)
Bờ ã 3.1 Cho x, y ∈ R l cĂc số thỹc, v cho j ∈ N Khi õ ta cõ cĂc kh¯ng ành sau
Chựng minh Ưu tiản, ta cõ :
• Chựng minh (3.5) vợi j := 2m + 1 Sỷ dửng (3.8), ta cõ
• Chựng minh (3.6) vợi j := 2m + 2 Sỷ dửng (3.8), ta thĐy
Chựng minh ữủc ho n th nh
B§t ¯ng thùc (3.5) ho°c (3.6) trð th nh ¯ng thùc khi v ch¿ khi x = y , ho°c x = −y,
Hằ quÊ 3.1 GiÊ sỷ x, y ð xa gốc toÔ ở tỗn tÔi mởt hơng số C sao cho
Chựng minh GiÊ sỷ cõ mởt số dữỡng δ sao cho |x| ≥ δ v |y| ≥ δ p dửng bĐt ¯ng thùc (3.9), (3.10) ta câ:
2 ≥ δ 2m |x 2 − y 2 | nản ta chựng minh ữủc ữợc tẵnh C = δ −2m
Chựng minh ữủc ho n th nh
Bờ ã tiáp theo s³ chựng minh cho kát quÊ chẵnh ð b i viát n y.
Náu φ ∈ L p ( R ) , thẳ kT λ φk 2 2 ≤ kT λ ∗ T λ φk r kφk p ≤ C K,q kφk 2 p (3.11) Nõi riảng
1 T λ ∗ T λ xĂc ành mởt toĂn tỷ rơng buởc tứ L p ( R ) án L r ( R ) vợi mởt giợi hÔn trản cõa chu©n l C K,q.
2 T λ xĂc ành mởt toĂn tỷ rơng buởc tứ L p ( R ) tợi L 2 ( R ) vợi mởt giợi hÔn trản cừa chu©n l (C K,q ) 1/2
Chựng minh Tứ giÊ thiát, ta suy ra rơng 1 ≤ q, r ≤ ∞, (1/r) + (1/p) = 1, v
1 r = 1 p + 1 q − 1 X²t φ ∈ L p ( R ) Bơng cĂch ời bián số trong tẵch phƠn v Ăp dửng bĐt ¯ng thùc Holder cho (1/r) + (1/p) = 1, ta câ
Tứ ành nghắa cừa toĂn tỷ T λ v T λ ∗ ta thĐy
Tứ õ, toĂn tỷ T λ ∗ T λ l mởt toĂn tỷ tẵch phƠn vợi K(x, y) ữủc xĂc ành nhữ sau
Kát hủp (3.3), bĐt ¯ng thực dÔng Young trong chữỡng 1 v 1 r = 1 p + 1 q − 1 ta ữủc kT λ ∗ T λ φk r ≤ C K,q kφk p (3.14)
Kát hủp (3.12) v (3.14) ữủc thoÊ mÂn (3.11).
Chựng minh ữủc ho n th nh
Tẵch phƠn dao ởng vợi h m pha lai a thực
Ta °t Q (x,y) (z) := S(x, z) − S(y, z), ữủc xem nhữ mởt h m cừa bián z ∈ M vợi cĂc tham sè x, y ∈ M.
Ta quan tƠm án cĂc iãu kiằn sau trong h m số Q (x,y) (z). d k 1 dz k 1 Q (x,y) (z)
≥ C 1 |x j 1 − y j 1 | vợi hơng số C 1 > 0, (3.15) v thảm v o õ Q 0 (x,y) (z) l h m ỡn iằu khi k 1 = 1 d k 2 dz k 2 Q (x,y) (z)
≥ C 2 |x j 2 − y j 2 | vợi hơng số C 2 > 0, (3.16) v thảm v o õ Q 0 (x,y) (z) l h m ỡn iằu khi k 2 = 1.
Ta xĂc ành β thổng qua cĂc số k 1 , j 1 , k 2 , j 2 nhữ sau β := ( k q 2 − j 2 ) − ( k q 1 − j 1 )
(3.18) ành lþ 3.1 Cho 1 ≤ p ≤ 2, v r = 2q = p−1 p Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau
(1) Náu ẵt nhĐt mởt trong 2 iãu kiằn (3.15) vợi j 1 < k q 1 , v (3.16) vợi j 2 < k q 2 ữủc thoÊ mÂn, thẳ kTλ k L p →L 2 = O λ −β
, tÔi õ β ữủc ữa ra bði cổng thực (3.18).
(2) Náu ẵt nhĐt mởt trong 2 iãu kiằn (3.15) vợi j 1 = k q 1 , v (3.16) vợi j 2 = k q 2 ữủc thoÊ mÂn, thẳ kTλ k L p →L 2 = O λ −β log 1 2 λ
, tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.18).
(3) Náu cÊ (3.15)-(3.16) ãu úng vợi ( k q 1 − j 1 )( k q 2 − j 2 ) < 0 , thẳ kTλ k L p →L 2 = O λ −β
, tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.17).
(4) Náu cÊ (3.15)-(3.16) ãu úng vợi ( k q 1 − j 1 )( k q 2 − j 2 ) = 0, thẳ kTλ k L p →L 2 = O λ −β log 1 2 λ
, tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.18).
Chựng minh °t γ 1 = k q 1 , γ 2 = k q 2 Ta biát rơng, hÔt nhƠn K (x, y) cừa toĂn tỷ TλT ∗ λ ÷a ra bði (3.3) nh÷ sau
Chựng minh cho (1) Ta ch¿ cƯn chựng minh cho trữớng hủp (3.15) ữủc thoÊ mÂn vợi j 1 < γ 1 p dửng (3.15) v bờ ã Vander Corput, ta cõ
• Trữớng hủp 1 j 1 l số l´ Sỷ dửng bờ ã 3.1 ta cõ
Kát hủp iãu n y vợi (3.20), ta nhên ữủc
• Trữớng hủp 2 j 1 l số chđn p dửng (3.19) v bờ ã 3.1, ta cõ
Kát hủp iãu n y vợi (3.22), ta nhên ữủc
Tõm lÔi, vợi mồi j ∈ N, ta luổn cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay R
M |K(x, y)| q dx, v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra kTλ k L p →L 2 ≤ C λ
Chựng minh (2) Dạ d ng thĐy rơng sup
Kát hủp vợi (3.19), ta ữủc
• Trữớng hủp 1 γ 1 l số l´ p dửng (3.24), ta cõ
Sỷ dửng Bờ ã 3.1 ta ữủc
• Trữớng hủp 2 γ 1 l số chđn p dửng (3.24), ta thu ữủc
Tõm lÔi, vợi mồi j ∈ N, ta luổn cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay R
M |K(x, y)| q dx, v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra kTλ k L p →L 2 ≤ C log 1 2 (λ)
Chựng minh (3) Cõ hai khÊ nông j 1 < γ 1 v j 2 > γ 2 , ho°c j 1 > γ 1 v j 2 < γ 2 Ta s³ chựng minh cho trữớng hủp khi j 1 < γ 1 v j 2 > γ 2 , trữớng hủp cỏn lÔi cõ thº coi l t÷ìng tü Theo gi£ ành (3.15)-(3.16):
|Q (γ 1 ) (z)| ≥ C 1 |x j 1 − y j 1 |; |Q (γ 2 ) (z)| ≥ C 2 |x j 2 − y j 2 |, nản Ăp dửng Bờ ã Vander Corput, ta nhên ữủc
|K(x, y)| q dy ≤ Cλ −2β (3.26) bơng cĂch chia l m 4 trữớng hủp º chựng minh iãu n y, ta sỷ dửng Bờ ã 3.1 º câ b§t ¯ng thùc d¤ng sau
, (3.27) vợi mồi x ∈ M, v vợi mồi y trong D1 v D2 , dỹa trản tẵnh chđn ho°c l´ cừa j 1 , j 2 Cử thº nh÷ sau.
• Trữớng hủp 1 j 1 , j 2 l số l´ Kát hủp (3.25) v Bờ ã 3.1 ta cõ
Ta Ănh giĂ trong (3.29) bơng cĂch chồn α thọa mÂn λ − α+γ 1 −j 1 α.γ 1 = λ − α+γ 2 −j 2 α.γ 2
• Trữớng hủp 2 j 1 , j 2 l số chđn Sỷ dửng Bờ ã Vander Corput v Bờ ã 3.1 ta cõ
, (3.30) vợi mồi x, y ∈ M Vợi y ∈ D 1 ta cõ Ănh giĂ
Tối ữu hõa Ănh giĂ trản, ta ữủc
Tối ữu hõa Ănh giĂ trản ta ữủc
• Trữớng hủp 3 j 1 l số l´, j 2 l số chđn Tứ Bờ ã 3.1 ta cõ x j 2 − y j 2
≥ C|x − y| j 2 2 |x + y| j 2 2 , vợi mồi x, y ∈ N, vợi y ∈ D 1 ta cõ
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 2, ta cõ thº chựng minh rơng
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 2 ta cõ
• Trữớng hủp 4 j 1 l số chđn, v j 2 l số l´ Bơng viằc hoĂn ời vai trỏ cừa j 1 v j 2 ta cõ thº tranh cự cho trữớng hủp n y tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 3.
Tõm lÔi, vợi tĐt cÊ cĂc trữớng hủp cừa j 1 , j 2 ta cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay R
M |K(x, y)| q dx, v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra kTλ k L p →L 2 ≤ C λ
Chựng minh (4) Chúng ta ch¿ chựng minh trữớng hủp j 1 < γ 1 v j 2 = γ 2 v cĂc trữớng hủp cỏn lÔi cõ thº ữủc chựng minh tữỡng tỹ.
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay R
M |K(x, y)| q dx, v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra kTλ k L p →L 2 ≤ C λ
1 2γ 1 log 1 2 λ. kát hủp vợi Bờ ã 3.2 ta chựng minh ữủc trữớng hủp n y.
Trường hợp hủp của j1 và j2 được xác định qua các trường hợp cụ thể, trong đó các yếu tố logarit đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và chứng minh Các yếu tố này sẽ được thảo luận chi tiết trong phần 3.1, nhằm làm rõ các ảnh hưởng và mối liên hệ giữa chúng.
Chựng minh ữủc ho n th nh
Chú ỵ 3.1 Trồng tƠm cừa ành lỵ nơm ð (3) v (4) Theo õ, vợi giÊ thiát (3.15)- (3.16) thọa mÂn vợi ( k q 1 − j 1 )( k q 2 − j 2 ) ≤ 0 Bơng ph²p tẵnh ỡn giÊn ta cõ β − 1 2k 1 β − 1
Theo các nghiên cứu (3.15)-(3.16), tốc độ hủy tử của chuẩn toán tỷ lệ 0 có ảnh hưởng lớn đến việc đánh giá chính xác hơn Kết quả cho thấy rằng việc áp dụng các phương pháp thực nghiệm có thể cải thiện độ chính xác trong nghiên cứu này.
Ta x²t cĂc h m pha a thực ỗng nhĐt dữợi Ơy
X j=j 0 a 2j x 2n−2j+1 y 2j Để đảm bảo điều kiện, a 2j 0 a 2k 0 phải khác 0 và a 2j 0 +1 a 2k 0 +1 cũng phải khác 0 Giải số mồi trong S(x, y) cũng cần phải thỏa mãn, cụ thể là a ` a `+2 ≥ 0 với tĐt cÊ ` = j 0, Chúng ta có thể kiểm tra rỗng từng a thực S 1(x, y), S 2(x, y), và S 3(x, y) để đáp ứng hai điều kiện (3.15) và (3.16).
Cử thº, S 1 (x, y), S 2 (x, y),v S 3 (x, y) cũng nhau thọa mÂn(3.15)-(3.16) theo cĂc c°p ổi
Bài viết này trình bày các biểu thức toán học liên quan đến các cặp số (2j₀, 2n - 2j₀) và (2k₀, 2n - 2k₀), cùng với các biến thể của chúng Cụ thể, các biểu thức (2j₀ + 1, 2n - 2j₀ + 1) và (2k₀ + 1, 2n - 2k₀ + 1) cũng được đề cập Ngoài ra, sự khác biệt giữa v(2j₀, 2n - 2j₀ + 1) và (2k₀, 2n - 2k₀ + 1) cũng được thảo luận Các biểu thức này thể hiện mối quan hệ giữa các số thực và các hằng số trong các công thức (3.34)-(3.36), trong đó δ được xác định với các giá trị cụ thể như δ = 2n cho (3.34)-(3.35) hoặc δ = 2n + 1 cho (3.36).
Hằ quÊ 3.2 ToĂn tỷ Tλ vợi h m pha S(x, y) ∈ S l L 2 bà giợi hÔn vợi ành mực quy ành nh÷ sau:
(1) H m pha (3.34) vợi 0 ≤ j 0 < n/2 < k 0 ≤ n, h m pha (3.35) vợi 0 ≤ j 0