(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị
Một số khái niệm và kết quả trong không gian xác suất
Không gian xác suất
Định nghĩa 1.1.1 Cho Ωlà tập khác rỗng Một σ−đại số F trên Ω là họ các tập hợp con củaΩthỏa mãn
(ii) Nếu A ∈ F thì phần bù A ∈ F;
(iii) Nếu A 1 ,A 2 , là dãy đếm được các tập hợp trong F thì hợp của chúng
R được định nghĩa là tập hợp các số thực, trong khi họ các tập Borel F B(R) là σ-đại số trên R Tập B(R) bao gồm tất cả các đoạn trên tập hợp số thực này.
R. Định nghĩa 1.1.3 ChoF là mộtσ−đại số trên Ω Độ đo xác suấtPlà ánh xạ
(ii) NếuA 1 ,A 2 , là tập rời nhau từng đôi một (nghĩa làA i ∩A j = ∅vớii , j)
(Ω,F,P) được gọi là không gian xác suất Tập hợp thuộc F được gọi là biến cố Biến cốA xảy ra hầu chắc chắn khi P(A) =1.
Trong ví dụ 1.1.4, chúng ta xem xét khoảng cách có độ dài bằng một đơn vị Ω = [0,1] với σ− đại số F = B([0,1]), là tập hợp các tập Borel B ⊂ [0,1] Độ đo Lebesgue P = Leb được áp dụng trên khoảng [0,1], tạo thành không gian xác suất (Ω,F,P) Cần lưu ý rằng Leb là độ đo duy nhất được định nghĩa trên tập Borel, đảm bảo tính chính xác cho mọi khoảng [a,b].
Leb[a,b] =b−a. Định lý 1.1.5 Nếu A 1 ,A 2 , là dóy tăng cỏc biến cố, nghĩa là A 1 ⊂ A 2 ⊂ ã ã ã, thì
Tương tự, nếuA 1 ,A 2 , là dóy giảm cỏc biến cố, nghĩa là A 1 ⊃ A 2 ⊃ ã ã ã, thỡ
Trong đó, các tập A 1 ,A 2 \ A 1 ,A 3 \ A 2 , rời nhau từng đôi một Do đó, theo định nghĩa của độ đo xác suất
P(A1 ∩A2 ∩ ã ã ã) = lim n→∞P(An). Áp dụng luật De Morgan ta có
Bổ đề 1.1.6 (Borel- Cantelli) Cho A 1 ,A 2 , là dãy các biến cố sao cho
P(A 1 )+P(A 2 )+ã ã ã x 2 > và đặt n→∞lim x n = x.
Khi đó, ta có dãy biến cố
Từ Định lý 1.1.5 ta suy ra rằng
F ξ (x) = P{ω ∈Ω : ξ(ω) 6 x} = lim n→∞P{ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 x n } = lim n→∞F ξ (x n ). Điều đó chứng tỏ rằng F ξ là liên tục giảm Do các biến cố
{ω ∈Ω : ξ(ω) 6 −1} ⊃ {ω ∈ Ω : ξ(ω) 6−2} ⊃ ã ã ã là dãy giảm với giao bằng ∅và
{ω ∈Ω : ξ(ω) 6 1} ⊂ {ω ∈ Ω : ξ(ω) 62} ⊂ ã ã ã là dãy tăng với hợp bằngΩ Theo Định lý 1.1.5 ta có x→∞lim F ξ (x) = lim n→∞F ξ (−n) = lim n→∞P{ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 −n} = P(∅) = 0, x→∞lim Fξ(x) = lim n→∞Fξ(n) = lim n→∞P{ω ∈Ω : ξ(ω) 6 n} = P(Ω) = 1.
Vì Fξ là hàm không giảm. Định nghĩa 1.1.15 Nếu hàm Borel f ξ : R −→ R sao cho với bất kỳ tập Borel
Biến ngẫu nhiên ξ được xác định bởi hàm phân phối liên tục tuyệt đối fξ(x)dx, trong đó fξ được gọi là hàm mật độ của ξ Nếu tồn tại một dãy các số thực phân biệt x1, x2, , cho bất kỳ tập Borel B ⊂ R, thì điều này có ý nghĩa quan trọng trong xác suất và thống kê.
P{ω ∈ Ω: ξ(ω) = x i } thìξ được gọi là có phân phối rời rạc với giá trị x1,x2, vàP{ω ∈ Ω : ξ(ω) x i } được gọi là hàm “khối lượng” xác suất củaξ tại x i
Nhận xét 1.1.16 (i) Giả sử rằng ξ là có phân phối liên tục với mật độ fξ. Nếu fξ liên tục tại xthì d dxF ξ (x) = f ξ (x).
(ii) Giả sử rằng nếu f có phân phối rời rạc với giá trị x 1 ,x 2 , thì Fξ là hằng số với mỗi khoảng cách(s,t] không chứa bất kỳ x i và có bước nhảy
P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi} tại mỗi xi. Định nghĩa 1.1.17 Hàm phân phối đồng thời của biến ngẫu nhiênξ 1 , , ξ n là độ đo xác suất Pξ 1 , ,ξ n ∈R n sao cho
P ξ 1 , ,ξ n (B) = P{ω ∈ Ω : (ξ 1 (ω), , ξ n (ω)) ∈ B} với mọi tập Borel B ∈ R n Nếu đó là hàm Borel fξ 1 , ,ξ n : R n −→ R sao cho
B fξ 1 , ,ξ n (x1, ,x n )dx1 .dx n với bất kỳ tập Borel B ∈ R n , khi đó fξ 1 , ,ξ n được gọi là hàm mật độ đồng thời của ξ 1 , , ξ n Định nghĩa 1.1.18 Biến ngẫu nhiênξ : Ω −→ Rđược gọi là khả tích nếu
Ω ξdP tồn tại và gọi là kỳ vọng toán (giá trị trung bình) của ξ Họ các biến ngẫu nhiên khả tíchξ : Ω −→ R được ký hiệu L 1 hoặc L 1 (Ω,F,P).
Ví dụ 1.1.19 Hàm chỉ tiêu 1 A của tập A có giá trị bằng 1 trên A và có giá trị bằng0trên phần bùΩ\ Acủa A Với bất kỳ biến cố Ata có
Ta nói rằngη: Ω −→ Rlà hàm bậc thang nếu η n
Trong đó η1, , η n là các số thực và A1, ,A n là các biến cố rời nhau từng đôi một Khi đó
Nhận xét 1.1.20 Với bất kỳ hàm Borelh : R −→ Rsao cho h(ξ)khả tích thì
Thật vậy, nếu h là hàm bậc thang h = P n i = 1 h i 1 A i trong đó h 1 , ,h n là các số thực vàA1,A2, ,An là các tập Borel rời nhau từng đôi một phủR thì
Mọi hàm Borel không âm có thể được xấp xỉ bởi dãy các hàm bậc thang không giảm, dẫn đến đẳng thức trên đúng với mọi hàm Borel Hàm có thể được chia thành hai phần dương và âm, h = h⁺ - h⁻, trong đó h⁺, h⁻ > 0 Đặc biệt, nếu ξ có phân phối liên tục tuyệt đối với mật độ fₓ, điều này được suy ra từ Nhận xét 1.1.20.
Nếuξ có phân phối rời rạc với (hữu hạn hoặc vô hạn) các giá trị phân biệt từng đôi một x 1 ,x 2 , thì
E(h(ξ)) =X i h(x i )P{ω ∈Ω : ξ(ω) = x i }. Định nghĩa 1.1.21 Biến ngẫu nhiênξ : Ω −→ Rđược gọi là bình phương khả tích nếu
|ξ| 2 dP < ∞, khi đó phương sai củaξ được định nghĩa bởi
Họ các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích ξ : Ω −→ R được ký hiệu là
Các nhận xét dưới đây như là các khẳng định và nó có ứng dụng cho việc chứng minh các định lý trong phần sau của luận văn.
Nhận xét 1.1.22 Nếuξ là biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, thìξ khả tích.
Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Schwarz [E(ξη)] 2 6 E(ξ 2 )E(η 2 ) vớiη = 1. Nếu ξ là bình phương khả tích thì
Một số dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
Dãy biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn phụ thuộc vào chỉ số n được nghiên cứu để xác định tính chất đặc biệt của Xn khi n lớn Để hiểu rõ hơn, cần định nghĩa sự hội tụ của Xn về một biến ngẫu nhiên khác Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày ba kiểu hội tụ cơ bản Định nghĩa 1.1.23 (Hội tụ theo xác suất) cho biết rằng dãy X1, X2, hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên Z khi n tiến tới vô cùng.
Khẳng định rằng dãy biến ngẫu nhiên X_n hội tụ tới Z theo xác suất có nghĩa là: với bất kỳ ε, δ nhỏ tùy ý, xác suất ít nhất là 1−δ sẽ đảm bảo rằng |X_n − Z| ≤ ε khi n đủ lớn Theo định nghĩa 1.1.24 về hội tụ hầu chắc chắn, dãy X_1, X_2, hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Z khi n tiến tới vô cùng.
P(ω: limX n (ω) =Z(ω)) = 1. Định nghĩa 1.1.25 (Hội tụ trung bình cấp p) Dãy X 1 , X 2 , , các biến ngẫu nhiên hội tụ theo trung bình cấp ptới biến ngẫu nhiên Z nếu
Như vậy khi X n hội tụ tới Z theo nghĩa bình phương trung bình thì bình phương khoảng cách giữa Xn vàZ lấy "trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khinkhá lớn.
Ví dụ 1.1.26 Giả sử X n là biến ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:
P{X n = 1} = 1 n, P{X n = 2} =1− 1 n. Chứng minh rằngXn hội tụ tới hằng số2theo nghĩa bình phương trung bình.
Ví dụ 1.1.27 Giả sử X n là biến ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:
P{Xn = 0} =1− 1 n, P{Xn = n} = 1 n. Chứng minh rằng X n hội tụ tới 0 theo xác suất, nhưng không hội tụ tới 0 theo nghĩa bình phương trung bình.
LỜI GIẢI Ta có P{|X n | > ε} = P{X n =n} = 1 n → 0khin → ∞, do đó X n hội tụ tới0theo xác suất Mặt khác
+n 2 1 n = n→ ∞ khin → ∞,do đóX n không hội tụ tới0theo nghĩa bình phương trung bình.
Một số kết quả về ánh xạ đa trị và toán tử ngẫu nhiên
ChoX là không gian metric, với σ-đại số Borel B(X) là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X Trong bài viết này, σ-đại số các tập con của không gian metric được hiểu là σ-đại số Borel Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không gian Polish Đối với các không gian đo được (X,A) và (Y,B), σ-đại số trên X × Y ký hiệu A ⊗ B, là σ-đại số nhỏ nhất chứa các tập A × B, với A ∈ A và B ∈ B Đối với hai không gian tôpô X và Y, B(X × Y) chứa B(X) ⊗ B(Y) Đặc biệt, nếu X và Y là các không gian Polish thì B(X × Y) = B(X) ⊗ B(Y) Khoảng cách giữa hai tập con khác rỗng A và B của không gian metric (X,d) được xác định bởi d(A,B) = inf{d(a,b)|a ∈ A, b ∈ B}.
Khoảng cách từ điểm a ∈ X đến tập B ⊂ X được xác định bởi d(a,B) inf{d(a,b)|b ∈ B} Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A,B ∈ C(X) được xác định bởi
Cho (Ω,A) là không gian đo được và X là không gian metric Ánh xạ ξ :
Trong lý thuyết xác suất, một ánh xạ ξ từ không gian mẫu Ω đến tập X được gọi là A-đo được nếu tập ξ −1 (B) thuộc A cho mọi tập B trong B(X) Nếu (Ω,A,P) là không gian xác suất, thì ξ được xem là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong X, hay còn gọi là biến ngẫu nhiên X-giá trị Tập hợp tất cả các biến ngẫu nhiên X-giá trị được ký hiệu là L 0 X (Ω).
Một trong những công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên hoặc điểm bất động của toán tử này là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được cho ánh xạ đa trị Trong phần này, chúng tôi sẽ trích dẫn những kết quả mà chúng tôi sẽ áp dụng trong các phần tiếp theo của luận văn.
Cho(Ω,A)là không gian đo được và X là không gian metric Ánh xạ đa trị
F : Ω →2 X gọi là A-đo được nếu
F^{-1}(B) = \{ω ∈ Ω | F(ω) ∩ B ≠ ∅\} ∈ A đối với mọi B là tập con mở của X Tính đo được của F thường được gọi là đo được yếu trong một số tài liệu Đồ thị của ánh xạ F là một tập con của Ω × X được xác định bởi.
Gr(F) ={(ω,x)|ω ∈ Ω,x∈ F(ω)}. Ánh xạ u : Ω → X gọi là một hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2 X nếu u(ω) ∈ F(ω) với mọiω ∈Ω.
Các định lý dưới đây sẽ được áp dụng để chứng minh các kết quả trong các chương tiếp theo của luận văn Định lý 1.2.1 khẳng định rằng cho không gian đo được (Ω,A) và không gian metric khả ly (X,d), thì ánh xạ đa trị F : Ω → C(X) sẽ được xem xét theo các khẳng định đã nêu.
(2) Với mỗi x ∈ X, ánh xạω 7→ d(x,F(ω)) làA-đo được;
(3) Gr(F) là tậpA ⊗ B(X)-đo được.
Trong không gian xác suất (Ω,A,P), với X là không gian Polish và F : Ω → 2^X là ánh xạ đa trị, nếu Gr(F) là tập A ⊗ B(X)-đo được, thì tồn tại một biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ : Ω → X sao cho ξ(ω) thuộc F(ω) h.c.c.
Bổ đề 1.2.3 Cho (X,d) là không gian metric khả ly, ξ : Ω → X và F : Ω →
C(X) là các ánh xạ đo được Khi đó,ω 7→ d(ξ(ω),F(ω))là ánh xạ đo được.
Trong không gian xác suất Cho(Ω,A,P), với X và Y là các không gian metric, ánh xạ f : Ω×X → Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X, ánh xạ ω 7→ f(ω,x) là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong Y Nếu toán tử ngẫu nhiên này từ X vào chính X, nó được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X Ngoài ra, nếu toán tử ngẫu nhiên từ X vào R, nó được gọi là hàm ngẫu nhiên.
Với mỗi cố định, f(ω,x) là một biến ngẫu nhiên trong Y, cho phép chúng ta xem toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y như một quy tắc ánh xạ mỗi phần tử x ∈ X thành một biến ngẫu nhiên trong Y Nói cách khác, toán tử ngẫu nhiên này chính là ánh xạ từ X vào không gian L Y 0 (Ω).
Ví dụ 1.2.5 Cho Xt(ω), t ∈ R + là một quá trình ngẫu nhiên Khi đó, (ω,t) 7→
X t (ω)là một toán tử ngẫu nhiên từR + vàoR Do đó, toán tử ngẫu nhiên là một khái niệm mở rộng của quá trình ngẫu nhiên.
Cho không gian metric X và dãy ánh xạ xác định (f_n) từ X vào R, cùng với dãy biến ngẫu nhiên (α_n) nhận giá trị thực Giả sử với mỗi x ∈ X, chuỗi này được xác định.
P n = 1 α n (ω)f n (x) hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên f x (ω). Khi đó, phép tương ứng
Toán tử ngẫu nhiên X n=1 αn(ω)fn(x) xác định một mối quan hệ từ X vào R Định nghĩa 1.2.7 nêu rõ rằng, cho hai toán tử ngẫu nhiên f và g: Ω × X → Y, toán tử f được gọi là bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu với mọi x ∈ X, điều kiện f(ω,x) = g(ω,x) h.c.c được thỏa mãn, trong đó tập hợp các ω mà f(ω,x) và g(ω,x) phụ thuộc vào x.
Theo quan điểm xác suất, hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c có thể coi là trùng nhau, vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao của nó xác định cùng một ánh xạ từ X vào L Y 0 (Ω) Định nghĩa toán tử ngẫu nhiên đa trị từ X vào Y được đưa ra qua ánh xạ T : Ω×X → 2 Y, trong đó với mỗi phần tử x ∈ X, ánh xạ đa trị ω 7→ T(ω,x) là A-đo được Khi f : Ω×X → Y là toán tử ngẫu nhiên và T : Ω×X → 2 Y là toán tử ngẫu nhiên đa trị, thì các ánh xạ x 7→ f(ω,x) và x 7→ T(ω,x) lần lượt được gọi là quỹ đạo của f và T tại ω Cuối cùng, toán tử ngẫu nhiên f được gọi là đo được nếu ánh xạ f : Ω×X → Y là A ⊗ B(X)-đo được.
(b) Toán tử ngẫu nhiên đa trịT : Ω×X → 2 Y được gọi làđo đượcnếu ánh xạ đa trịT : Ω×X →2 Y làA ⊗ B(X)-đo được.
(c) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω×X →Y được gọi làliên tụcnếu với mỗiωquỹ đạo f(ω, )của f là toán tử liên tục từ X vàoY.
(d) Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω×X → C(Y) được gọi là liên tục nếu với mỗiωquỹ đạoT(ω, )củaT là toán tử liên tục từX vàoC(Y) (với khoảng cách Hausdorff trênC(Y)).
(e) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω× X → Y được gọi là Lipschitz nếu với mỗi ω quỹ đạo f(ω, )là toán tử Lipschitz; nghĩa là, tồn tại số thực L(ω)sao cho với mọi x,y ∈ X ta có d(f(ω,x), f(ω,y)) 6 L(ω)d(x,y).
(f) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán tử Lipschitz vớiL(ω) ∈[0; 1) với mọiω.
Nhận xét 1.2.11 Với toán tử ngẫu nhiên, tính Lipschitz kéo theo tính liên tục, tính liên tục kéo theo tính đo được (Định lý 1.2.13).
Vớ dụ 1.2.12 Cho (Ω,A,P) = ([0; 1],B, à), trong đú B là σ-đại số Borel, à là độ đo Lebesgue trờn [0; 1] và X = Y = [0; 1] Hai toỏn tử ngẫu nhiờn f,g : Ω×X →Y được xác định bởi f(ω,x)
Khi f là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên liên tục, và g là toán tử ngẫu nhiên đo được và Lipschitz với L(ω) = ω, thì theo Định lý 1.2.13, nếu X, Y là các không gian Polish và f: Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục, thì f cũng là toán tử ngẫu nhiên đo được Hơn nữa, nếu ξ: Ω → X là biến ngẫu nhiên, thì ánh xạ ω 7→ f(ω, ξ(ω)) sẽ trở thành một biến ngẫu nhiên Y-giá trị.
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị 21
Phương trình toán tử ngẫu nhiên
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm và kết quả liên quan đến toán tử ngẫu nhiên, bao gồm cả toán tử ngẫu nhiên đơn trị và đa trị Để bắt đầu, chúng tôi xem xét không gian xác suất (Ω,A,P) và các đặc điểm của nó.
1 Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D thesis, National College of
Business Administration and Economics, Parkistan.
Trong bài viết của Itoh S (1978), "Nonlinear random equations with monotone operators in Banach spaces", được công bố trên Math Ann 236, trang 133–146, tác giả đã nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị Định nghĩa 2.1.1 chỉ ra rằng phương trình này có dạng f(ω,x) = g(ω,x), trong đó f và g là các toán tử ngẫu nhiên từ không gian X vào không gian Y, với Ω là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric Để đơn giản, phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị thường được gọi là phương trình ngẫu nhiên.
Ngoài phương trình ngẫu nhiên tổng quát (2.1), chúng ta cũng xem xét một số phương trình ngẫu nhiên đặc biệt Cụ thể, khi vế phải của phương trình (2.1) là biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong tập hợp Y, ta có phương trình f(ω,x) = η(ω) (2.2).
Khi X là không gian Banach khả ly, ta có thể xét phương trình ngẫu nhiên có nhiễudạng f(ω,x)+k(ω)x = η(ω) (2.3) trong đó f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên trên X, η là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X và klà biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Định nghĩa 2.1.2 (a) Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm tất định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ Dtồn tại phần tửu(ω) ∈ X sao cho f(ω,u(ω)) = g(ω,u(ω)).
Khi đó, ta gọiu(ω) lànghiệm tất địnhcủa phương trình (2.1).
(b) Ta nói rằng phương trình (2.1)có nghiệm ngẫu nhiênnếu tồn tại biến ngẫu nhiênξ : Ω → X sao cho f(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Khi đó, ta gọiξ lànghiệm ngẫu nhiêncủa phương trình (2.1).
Nếu biến ngẫu nhiên ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.1), thì ξ(ω) cũng là nghiệm xác định của (2.1) với hầu hết các ω Điều này cho thấy rằng một phương trình ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên thì cũng có nghiệm xác định với hầu hết ω Tuy nhiên, một ví dụ sau đây chứng minh rằng điều ngược lại không nhất thiết đúng.
Ví dụ 2.1.3 xem xét không gian mẫu Ω = [0; 1] và σ-đại số A trên Ω bao gồm tất cả các tập con A ⊂ Ω thỏa mãn điều kiện A là đếm được hoặc Ω \ A là đếm được Độ đo xác suất P trên A được xác định theo cách này.
Dễ dàng kiểm tra được(Ω,A,P) là một không gian xác suất đầy đủ Xét X [0; 1] Ta xác định hai ánh xạ f,g :Ω×X → X như sau: f(ω,x)
Với mỗi x cố định, ánh xạ ω 7→ f(ω,x) và ω 7→ g(ω,x) nhận tối đa hai giá trị, và nghịch ảnh của mỗi tập Borel B ⊂ X qua các ánh xạ này thuộc vào σ-đại số A Do đó, f và g là các toán tử ngẫu nhiên đo được Với mỗi ω ∈ Ω, u(ω) = ω là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) Giả sử ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình này, thì ξ(ω) = ω Tuy nhiên, khi xét B = [0; 1/2) ∈ B(X), ta có u −1(B) = B, dẫn đến mâu thuẫn với tính đo được của u, vì cả B và Ω \ B đều không đếm được Từ đó, suy ra phương trình (2.1) không có nghiệm ngẫu nhiên.
Một câu hỏi quan trọng trong lý thuyết phương trình ngẫu nhiên là khi nào một phương trình có nghiệm tất định với hầu hết các ω thì cũng có nghiệm ngẫu nhiên Mặc dù chưa có câu trả lời hoàn chỉnh cho vấn đề này, Định lý 2.1.4 cung cấp một điều kiện đủ để đảm bảo rằng sự tồn tại của nghiệm tất định với hầu hết ω tương đương với sự tồn tại của nghiệm ngẫu nhiên Cụ thể, nếu X và Y là các không gian Polish, và f, g: Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên đo được, thì phương trình ngẫu nhiên f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu nó có nghiệm tất định với hầu hết ω.
Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm duy nhất thì phương trình f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất.
Nếu biến ngẫu nhiên ξ : Ω→ X là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.1), thì tồn tại một tập D với xác suất 1 sao cho f(ω, ξ(ω)) g(ω, ξ(ω)) với mọi ω thuộc D Điều này có nghĩa là ξ(ω) là nghiệm xác định của phương trình (2.1) với hầu hết các ω.
Ngược lại, nếu phương trình (2.1) có nghiệm xác định cho hầu hết các ω, ta có thể giả định rằng phương trình f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm u(ω) với mọi ω thuộc Ω Chúng ta định nghĩa ánh xạ F: Ω → 2 X × Y theo cách sau.
Dou(ω)là nghiệm của phương trình tất định f(ω,x) =g(ω,x)nên(u(ω),v(ω)) ∈
F(ω) là một ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, trong đó v(ω) = f(ω,u(ω)) Chúng ta sẽ chứng minh rằng F có đồ thị đo được Xét f và g như các toán tử ngẫu nhiên đa trị, do chúng đo được nên theo Định lý 1.2.1, cả f và g đều có đồ thị đo được Điều này có nghĩa là Gr(f) và Gr(g) thuộc (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y).
Theo Định lý 1.2.2, tồn tại ánh xạ đo được ξ : Ω → X ×Y sao cho ξ(ω) ∈
Vì ξ đo được nên ξ1 : Ω → X cũng đo được Vì vậy, ξ1 chính là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình f(ω,x) = g(ω,x).
Cuối cùng, giả sử rằng hầu hết các phương trình f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm duy nhất xác định, và ξ, η là hai nghiệm ngẫu nhiên Từ đó, ta suy ra rằng ξ(ω) và η(ω) có mối quan hệ tương hỗ Do đó, phương trình (2.1) sẽ có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất.
Trong không gian Polish X và Y, nếu f, g là hai toán tử ngẫu nhiên liên tục từ Ω × X đến Y, thì phương trình f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu nó có nghiệm tất định với hầu hết các giá trị ω.
Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm duy nhất thì phương trình f(ω,x) = g(ω,x) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất.
Chứng minh Theo Định lý 1.2.13, f và g là các toán tử ngẫu nhiên đo được.
Do đó, kết luận được suy ra từ Định lý 2.1.4
Theo Định lý 2.1.4, nếu toán tử ngẫu nhiên đo được, thì mỗi định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử xác định sẽ dẫn đến một định lý tương ứng về sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên Cụ thể, Định lý 2.1.6 chỉ ra rằng, với không gian Hilbert khả ly X và toán tử ngẫu nhiên liên tục f : Ω × X → X, tồn tại một biến ngẫu nhiên m(ω) dương sao cho với mọi x1, x2 ∈ X, ta có f(ω,x1)− f(ω,x2) ≤ m(ω) ||x1 − x2||.
Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X, phương trình ngẫu nhiên f(ω,x) = η(ω)có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất.
Nếu tồn tại ánh xạ L : Ω → (0;∞) với điều kiện kf(ω,x1)− f(ω,x2)k ≤ L(ω)kx1−x2k h.c.c cho mọi x1, x2 ∈ X, thì dãy biến ngẫu nhiên (xn) được xác định bởi x n + 1 (ω) = x n (ω)−α(ω)[f(ω,x n (ω))−η(ω)] sẽ hội tụ h.c.c về nghiệm của phương trình f(ω,x) = η(ω) với mọi xấp xỉ ban đầu là biến ngẫu nhiên x0 trong X, và α là biến ngẫu nhiên thực thỏa mãn điều kiện 0 < α < 2m/L^2 h.c.c.
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị
Điểm bất động ngẫu nhiên là sự mở rộng của khái niệm điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên, và trong những năm gần đây, vấn đề này đã thu hút sự chú ý của nhiều tác giả Nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng đã được chứng minh dưới phiên bản ngẫu nhiên, với các nghiên cứu của H K Xu, K K Tan, X Z Yuan và N Shahzad, khẳng định rằng nếu hầu hết các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định, thì sẽ tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên Mặc dù có thể ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho ánh xạ tất định, nhưng các điều kiện cần thiết thường khá phức tạp và khó tìm ví dụ cho các toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đến bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên, bao gồm các trường hợp đặc biệt của phương trình toán tử ngẫu nhiên đã được đề cập trước đó Đối với toán tử ngẫu nhiên được xác định trên không gian Polish, nếu các quỹ đạo của nó có điểm bất động, thì toán tử ngẫu nhiên cũng sẽ có điểm bất động Từ đó, chúng tôi rút ra các kết quả của các tác giả trước như những trường hợp đặc biệt Hơn nữa, khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên cũng được giới thiệu, cho phép chúng tôi trình bày toán tử ngẫu nhiên một cách toàn cục, không chỉ theo từng quỹ đạo.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ trình bày phiên bản ngẫu nhiên của một số định lý điểm bất động dành cho toán tử tất định như những minh họa cho định lý đã nêu.
Trong những năm gần đây, nghiên cứu về điểm xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ tất định đã thu hút sự quan tâm mạnh mẽ từ nhiều tác giả, với nhiều kết quả về sự tồn tại và thuật toán tìm kiếm điểm xấp xỉ tốt nhất Chúng tôi giới thiệu khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, một phiên bản ngẫu nhiên của điểm xấp xỉ tốt nhất Dựa trên các kết quả liên quan đến phương trình toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ để xác định rằng một toán tử ngẫu nhiên có thể đạt được điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất Định nghĩa 2.2.1 nêu rõ rằng cho không gian metric X, C là tập con đóng của X và f : Ω×C → X là toán tử ngẫu nhiên.
(a) Ta nói với hầu hết ω, f(ω, ) có điểm bất động nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f(ω,x) có điểm bất động.
(b) Biến ngẫu nhiên ξ : Ω →C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của f nếu f(ω, ξ(ω)) = ξ(ω)h.c.c.
Nếu toán tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên ξ, thì với hầu hết ω, ξ(ω) là điểm bất động của toán tử xác định x 7→ f(ω,x) Điều này có nghĩa là nếu toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên, thì với hầu hết ω, các quỹ đạo x 7→ f(ω,x) của nó sẽ có điểm bất động xác định Tuy nhiên, điều ngược lại không nhất thiết đúng Ví dụ, với f được định nghĩa như trong Ví dụ 2.1.3, mỗi ω đều có u(ω) = ω là điểm bất động xác định duy nhất của quỹ đạo x 7→ f(ω,x), nhưng toán tử ngẫu nhiên f lại không có điểm bất động ngẫu nhiên, vì u(ω) = ω không phải là ánh xạ đo được với σ-đại số trong ví dụ đó Định nghĩa 2.2.2 cho biết rằng cho không gian metric X, C là tập con đóng của X và f,h : Ω×C → X là các toán tử ngẫu nhiên.
Ta nói rằng hầu hết các ánh xạ f(ω, ) và h(ω, ) có điểm bất động chung nếu tồn tại một tập D có xác suất 1, sao cho với mỗi ω thuộc D, các ánh xạ x 7→ f(ω,x) và x 7→ h(ω,x) đều có điểm bất động chung.
Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được xác định là điểm bất động ngẫu nhiên chung của f và h nếu thỏa mãn điều kiện f(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) = h(ω, ξ(ω)) Định lý 2.2.3 cung cấp một điều kiện đủ để khẳng định rằng nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động, thì toán tử đó cũng sẽ có điểm bất động ngẫu nhiên Trong đó, X được xem là không gian Polish và C là tập con đóng của X.
Ω×C → X là các toán tử ngẫu nhiên đo được Khi đó:
(1) Toán tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi với hầu hếtω, toán tử tất định f(ω, ) có điểm bất động.
Hai toán tử ngẫu nhiên f và h có điểm bất động ngẫu nhiên chung nếu và chỉ nếu đối với hầu hết ω, các toán tử xác định f(ω, ) và h(ω, ) có điểm bất động chung.
Chứng minh (1) Áp dụng Định lý 2.1.4 cho phương trình ngẫu nhiên f(ω,x) g(ω,x), với g : Ω×C → X là toán tử ngẫu nhiên xác định bởig(ω,x) = x với mọiω∈ Ω,x ∈C.
(2) Áp dụng Định lý 2.1.14 cho phương trình ngẫu nhiên
R(ω,x)∩S(ω,x)∩T(ω,x) ,∅, với R,S,T : Ω ×C → C(X) là các toán tử ngẫu nhiên đa trị xác định bởi R(ω,x) = {f(ω,x)}, S(ω,x) = {x} và T(ω,x) = {h(ω,x)} với mọi ω ∈Ω,x ∈C. Đặc biệt, với các toán tử ngẫu nhiên liên tục ta có:
Hệ quả 2.2.4 Cho X là không gian Polish, C là tập con đóng của X và f,h :
Ω×C → X là các toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó:
(1) Toán tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi với hầu hếtω, toán tử tất định f(ω, ) có điểm bất động.
Hai toán tử ngẫu nhiên f và h có điểm bất động ngẫu nhiên chung nếu và chỉ nếu với hầu hết các ω, các toán tử xác định f(ω, ) và h(ω, ) có điểm bất động chung.
Vì f và h là các toán tử ngẫu nhiên liên tục, nên theo Định lý 1.2.13, f và h được xác định là các toán tử ngẫu nhiên đo được Dựa trên Định lý 2.2.3, điều này dẫn đến kết quả mà chúng ta cần chứng minh.
Nhận xét 2.2.5 Khẳng định 1 của Định lý 2.2.3 mở rộng [13, Định lý 1], theo hướng loại bỏ bớt các điều kiện về không gian và toán tử ngẫu nhiên f.
Theo Định lý 2.2.3, mỗi định lý điểm bất động cho toán tử tất định đơn trị sẽ tạo ra một định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị Các định lý điểm bất động ngẫu nhiên được trình bày dưới đây là các minh họa cho Định lý 2.2.3, đồng thời là phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định tương ứng Định lý 2.2.6 nêu rõ rằng, cho không gian Polish X và toán tử ngẫu nhiên đo được f : Ω×X → X, thỏa mãn điều kiện co, với mỗi ω ∈ Ω, có d(f(ω,x), f(ω,y)) ≤ α(ω) max{d(x, f(ω,x)), d(y, f(ω,y))}.
2[d(x, f(ω,y))+d(y, f(ω,x))] +γ(ω)[d(x, f(ω,y))+d(y, f(ω,x)] với mọi x,y∈ X vàα, β, γ : Ω → (0; 1) là các ánh xạ thỏa mãnα(ω)+β(ω)+ 2γ(ω) = 1với mọi ω ∈Ω Khi đó f có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất.
Theo Định lý 1.3.2, với mỗi ω, hàm f(ω, ) có điểm bất động duy nhất Định lý 2.2.3 khẳng định rằng f có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất Định lý 2.2.7 chỉ ra rằng nếu K là tập con khác rỗng, compact và lồi của không gian Banach khả ly X, và f, g: Ω× K → K là các toán tử ngẫu nhiên với f là toán tử liên tục và g là toán tử không giãn, thì nếu các ánh xạ f(ω, ) và g(ω, ) giao hoán với nhau cho mỗi ω, thì các toán tử ngẫu nhiên f và g sẽ có điểm bất động ngẫu nhiên chung.
Chứng minh Với mỗiω, theo Định lý 1.3.4, f(ω, )vàg(ω, )có điểm bất động chungz(ω) ∈ K Theo Định lý 2.2.3, các toán tử ngẫu nhiên f vàgcó điểm bất động ngẫu nhiên chungξ = ξ(ω)
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, một sự mở rộng của điểm bất động ngẫu nhiên và là phiên bản ngẫu nhiên của điểm xấp xỉ tốt nhất trong giải tích tất định Các kết quả liên quan đến điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất đã được tác giả công bố trong bài báo [4].
Cho A,B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian metric (X,d) Với ánh xạ f : A → Bnhìn chung ta có infx∈Ad(x, f(x)) ≥d(A,B).
Giả sử tồn tại x₀ ∈ A sao cho d(x₀, f(x₀)) = d(A, B), thì x₀ được coi là điểm xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ f Nếu A và B có giao nhau, tức là A ∩ B ≠ ∅, thì d(A, B) = 0, lúc này điểm xấp xỉ tốt nhất x₀ trở thành điểm bất động của f Do đó, khái niệm điểm xấp xỉ tốt nhất có thể được xem như một sự mở rộng của khái niệm điểm bất động.
Điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất cho toán tử ngẫu nhiên được định nghĩa như sau: cho hai tập con đóng khác rỗng A và B trong không gian metric (X,d), với f : Ω × A → B là toán tử ngẫu nhiên từ A vào B Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → A được xem là điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của toán tử f nếu khoảng cách d(ξ(ω), f(ω, ξ(ω))) đạt giá trị tối đa d(A,B).