NỘI DUNG
Cơ sở lý luận
Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh các thuộc tính bản chất và mối liên hệ quy luật giữa sự vật và hiện tượng trong thực tế khách quan, mà trước đây chủ thể chưa nhận thức được.
Tư duy sáng tạo là loại tư duy linh hoạt, độc lập và phê phán, nổi bật với khả năng tạo ra những ý tưởng độc đáo và hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề Nó bao gồm việc phát hiện vấn đề mới, tìm kiếm hướng đi và giải pháp mới, cũng như tạo ra những kết quả mới mẻ.
2.1.3 Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo
Tính mềm dẻo trong tư duy giúp cá nhân chuyển hướng linh hoạt khi đối mặt với khó khăn, đồng thời biết cách áp dụng những điều quen thuộc vào tình huống mới Việc vận dụng các thao tác tư duy cơ bản cùng với kinh nghiệm và kỹ năng đã tích lũy là yếu tố quan trọng trong quá trình giải toán hiệu quả.
Tính nhuần nhuyễn trong giải quyết bài toán thể hiện khả năng nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau Điều này giúp người giải đề xuất nhiều phương pháp giải khác nhau và lựa chọn ra những cách giải tối ưu nhất cho từng tình huống.
- Tính độc đáo: Biết tìm ra những phương thức giải quyết lạ, độc đáo để cải tiến những cách giải đã có để trở nên tối ưu hơn.
Cơ sở thực tiễn
2.2.1 Thực trạng phát triển tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông
Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán và giao lưu với các trường, tôi nhận thấy rằng việc phát triển tư duy toán học cho học sinh còn gặp nhiều khó khăn Vấn đề này không chỉ nằm ở phương pháp giảng dạy của giáo viên mà còn ở cách học tập của học sinh.
Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông, nhiều giáo viên vẫn chỉ tập trung vào việc chữa bài tập đơn lẻ và đưa ra các bài tập áp dụng rập khuôn, thiếu sự sáng tạo Điều này không chỉ hạn chế khả năng phát triển tư duy sáng tạo của học sinh mà còn không khuyến khích tính tích cực, chủ động trong việc học Việc khai thác và phát triển các bài toán mới là cần thiết để nâng cao năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
Học sinh THPT thường ngại học Toán và yếu kém trong môn này chủ yếu do kiến thức nền tảng từ các cấp học trước bị thiếu hụt Bên cạnh đó, việc thiếu sự chăm chỉ và tư duy trong quá trình học tập cũng góp phần làm cho các em gặp khó khăn trong việc tiếp thu và vận dụng kiến thức Toán học.
Học sinh vẫn còn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng tạo của bản thân;
Nhiều học sinh chăm chỉ học tập nhưng chưa áp dụng phương pháp học phù hợp, dẫn đến kết quả học tập chưa cao Khi giải bài tập Toán, họ thường chỉ chú trọng vào kết quả đúng hay sai, và ít khi tìm kiếm các lời giải khác hoặc phát triển bài toán, điều này hạn chế khả năng tư duy độc lập và sáng tạo của các em.
2.2.2 Năng lực học, giải toán tính các loại góc trong trong hình học không gian ở trường trung học phổ thông hiện nay
Qua bài kiểm tra 15 phút ở ba lớp - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên năm học 2020 - 2021
Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu
Cơ sở lí thuyết về góc trong hình học không gian
2.3.1 Tích vô hướng của hai vectơ
Cho a và b là hai vectơ trong không gian
2.3.2 Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Cách 1 Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O bất kì, sau đó dựng hai đường thẳng a và b cùng đi qua O đồng thời a a// ,b b//
Tìm hai vectơ chỉ phương u u 1 , 2 lần lượt của hai đường thẳng a b, Khi đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi 1 2
2.3.3 Góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng
Khi xét mối quan hệ giữa đường thẳng d và mặt phẳng α, nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng α, thì góc giữa chúng là 90 độ Ngược lại, nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng α, góc giữa chúng sẽ được xác định bằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng α.
Với d,( ) A là điểm tuỳ ý trên đường thẳng d, H là hình chiếu của A trên
2.3.4 Góc giữa hai mặt phẳng a Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0 b Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng α với diện tích S, và đa giác H' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng β Diện tích S' của H' được tính theo công thức: S' = S * cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai mặt phẳng α và β.
S S Với là góc giữa và
Nhận xét: Khi đó cos S
Giải pháp thực hiện
Để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên cần định hướng cho học sinh rèn luyện các thao tác tư duy Học sinh được khuyến khích tìm kiếm nhiều cách giải cho mỗi bài toán, từ đó khai thác và phát triển ý tưởng để sáng tạo ra các bài toán mới Quan trọng là học sinh phải biết chọn phương pháp giải tối ưu và độc đáo từ bài toán đã cho.
Trong phạm vi đề tài, tôi lựa chọn một số biện pháp sau đây thông qua khai thác các bài toán về góc trong hình học không gian
2.4.1 Rèn luyện và phát triển tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo thông qua khai thác bài toán về góc trong hình học không gian
Từ cơ sở lí luận, theo tôi, giáo viên (GV) có thể rèn tính mềm dẻo của TDST cho HS theo quy trình giải toán gồm 3 bước sau:
- Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài toán (xét xem bài toán thuộc dạng nào? Chọn lựa, huy động kiến thức thích hợp để tìm lời giải)
- Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài toán
- Bước 3: Khai thác bài toán dựa trên:
+ Sự linh hoạt khi chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác;
+ Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng sau:
Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự;
Hướng 2: Khái quát hóa bài toán;
Hướng 3: Thay đổi giả thiết để có bài toán mới và nghiên cứu các ứng dụng của bài toán
Trong bài viết này, tôi giới thiệu ba kiểu bài toán liên quan đến các loại góc trong không gian, cụ thể là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cùng với góc giữa hai mặt phẳng Các bài toán này được thiết kế để giúp học sinh khai thác và hiểu rõ hơn về các khái niệm hình học trong SGK Hình học lớp 11 hiện hành.
Bài toán 1 yêu cầu giải quyết hình thoi ABCD với góc BAD bằng 60 độ và cạnh AB dài 2 Gọi H là trung điểm của AB Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H, chọn điểm S khác H với độ dài xSH (x > 0) Gọi φ là góc giữa SC và đường thẳng d.
- Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài toán Đây là bài toán thuộc dạng tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng cách sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, dựa trên những kiến thức đã học.
Góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
I là giao điểm của d với mặt phẳng (P)
M là điểm trên đường thẳng d khác I
* Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)
- Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài toán
* Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)
Ta có d H SAD , HN Mà
BC AD Đặt x SH x ( 0) Tam giác SHM vuông tại H và HN là đường cao nên
- Bước 3: Khai thác bài toán
Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng sau:
Hướng 1: Đặc biệt hoá bài toán
Có nhiều hướng khai thác cho hình chóp có đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật Chúng ta có thể xác định độ dài cạnh x của hình chóp (SH x, với x > 0) như một giá trị cụ thể Ngoài ra, có thể yêu cầu tính toán khoảng cách, diện tích, thể tích, hoặc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khác.
Chúng ta đã xây dựng một bộ sưu tập bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bao gồm các mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng Các bài toán này có cách giải tương tự, dựa vào khoảng cách hoặc có thể xác định dễ dàng góc của chúng.
Cho hình thoi ABCD với góc BAD bằng 60 độ và độ dài AB là 2 Gọi H là trung điểm của AB Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H, lấy điểm S sao cho SH bằng a Gọi φ là góc giữa SC và mặt phẳng (SAD) Tính giá trị tan φ.
Hướng 2: Khai thác kết quả của bài toán:
Căn cứ vào kết quả của bài toán ta dễ dàng đánh giá được
Dấu đẳng thức xảy ra khi x 4 21.4 a
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi SH 4 21 .4 a
Do đó ta có thể tạo ra bài toán mới như sau:
Cho hình thoi ABCD với góc BAD = 60 độ và AB = 2a Gọi H là trung điểm của AB Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H, chọn điểm S thay đổi khác H Cần tính độ dài SH để góc giữa SC và mặt phẳng (SAD) đạt giá trị lớn nhất.
(Đây chính là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nghệ An năm học 2015 -2016)
Lời giải vắn tắt Đặt x SH x ( 0) Theo Ví dụ 1 ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi x 4 21.4 a
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi SH 4 21 .4 a
Cho hình thoi ABCD với góc BAD bằng 60 độ và độ dài cạnh AB là 2 Gọi H là trung điểm của AB Tại H, trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD), chọn điểm S khác H Tính thể tích khối chóp S ABCD khi góc giữa SC và mặt phẳng (SAD) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải vắn tắt Theo Ví dụ 2 Ta có lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi
Bài toán 2 Cho hình chóp tam giác S ABC Có SA a BC b , Gọi ,
V d lần lượt là thể tích của khối chóp S ABC và khoảng cách giữa SA và BC Gọi là góc giữa SA và BC Tính sin theo V a b, , và d
- Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài toán Đây là bài toán thuộc dạng tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
GV có thể hướng dẫn HS cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian thông qua định nghĩa cụ thể Khi đã xác định được góc, việc tính toán trở nên đơn giản và dễ dàng hơn.
Dựng hình bình hành SABD Khi đó góc giữa SA và BC bằng hoặc bù với góc DBC
Vì SD AB/ / do đó V S ABC V D ABC V E BCD
- Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài toán
Dựng hình bình hành SABD Khi đó góc giữa SA và BC bằng hoặc bù với góc DBC
Vì SD AB/ / nên V S ABC V D ABC , SA BD V/ / A BCD V E BCD
Do đó ta có V V E BCD Mà d SA BC , d E BCD , d
S BCD BD BC SABC ab
Suy ra V V E CD B 3 1 d E B , CD S B C D 1 6 a bd s n i
- Bước 3: Khai thác bài toán
Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng sau:
Nhận xét Từ kết quả của bài toán ta thấy có một hệ thức liên hệ giữa các đại lượng rất đẹp là sin 6 .V
abd hay V 1 sin6abd Do đó chúng ta có thể khai thác bài toán theo các hướng sau:
Hướng 1 Đặc biệt hoá bài toán
Khi tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và có độ dài a, ta sẽ thu được kết quả cho một tứ diện đều với cạnh a.
* Ta dễ dàng tính được 2 a2 d a a 2 2
* Góc giữa SA và BC bằng 90
Kết quả 1 Thể tích cho tứ diện đều cạnh a là: V a 3 12 2
GV có thể gợi ý HS đề xuất các bài toán mới theo các ý tưởng sau:
1) Một tứ diện đều nếu biết độ dài cạnh thì ta sẽ tính ngay được thể tích của nó nhờ Kết quả 1
2) Một tứ diện đều nếu biết độ dài cạnh thì ta sẽ tính được khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy của nó thông qua thể tích nhờ Kết quả 1
3) Một số hình đa diện ta có thể phân chia được thành các hình chóp trong đó có thể tạo được hình tứ diện đều sau đó áp dụng Kết quả 1
Và còn nhiều bài toán khác liên quan đến hình tứ diện đều đều khi biết một số dữ kiện
Ví dụ 4 Cho khối tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a 2 Thể tích khối tứ diện bằng
3 a D 3 a3 Lời giải Áp dụng Kết quả 1 ta có thể tích khối tứ diện là V 12 2 2 a 3 a 3 3
Ví dụ 5 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm BC Thể tích V của khối chóp M ABC bằng bao nhiêu?
Trong bài toán này, chúng ta xem xét tứ diện đều ABCD có cạnh dài 3 Điểm M và N được xác định là trung điểm của các cạnh AD và BD Một điểm P được chọn trên cạnh AB, không trùng với các đỉnh A và B Từ đó, chúng ta có thể tính thể tích của khối chóp PMNC.
Ví dụ 7 Cho tứ diện S ABC có SA1, SB 2, SC 3 và
ASB BSC CSA Tính thể tích khối tứ diện S ABC
Một cách tương tự ta có ví dụ sau
Ví dụ 8 Cho khối chóp S ABC có ASB BSC CSA 60 0 ,
SA a SB a SC a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a
Ví dụ 9 Cho khối tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a 2 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD là
3 a Lời giải Áp dụng Kết quả 1 ta có thể tích khối tứ diện là V 12 2 2 a 3 a 3 3
Diện tích của tam giác BCD là 2 3
S Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD là:
Kết quả 1 đã chứng minh tính hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tứ diện đều, điều này rất phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm của kỳ thi THPT Quốc gia hiện nay.