NỘI DUNG
Cơ sở lý luận
Tư duy (TD) là một hiện tượng tâm lý và là hoạt động nhận thức bậc cao của con người, được điều khiển bởi hoạt động của vỏ đại não Hoạt động tư duy đồng nghĩa với trí tuệ, với mục tiêu tìm ra triết lý, lý luận, phương pháp luận, phương pháp và giải pháp cho các tình huống trong hoạt động của con người.
1.1.1 Đặc điểm của tư duy
TD chỉ xuất hiện khi con người đối mặt với tình huống "có vấn đề", mà vấn đề này cần được cá nhân nhận thức rõ ràng và chuyển thành nhiệm vụ cá nhân Điều này bao gồm việc xác định những gì đã biết và những gì còn cần tìm hiểu, trong khi vẫn nằm trong giới hạn hiểu biết và nhu cầu tìm kiếm của cá nhân Hơn nữa, TD phản ánh những bản chất chung của nhiều sự vật, giúp phân loại chúng thành nhóm, loại hay phạm trù, đồng thời loại bỏ những yếu tố cụ thể, cá biệt Cuối cùng, TD cũng phản ánh hiện thực một cách gián tiếp, đồng thời vượt qua những kinh nghiệm cảm tính.
1.1.2 Các giai đoạn tư duy
Mỗi hành động tư duy (TD) là một quá trình giải quyết nhiệm vụ phát sinh từ nhận thức hoặc hoạt động thực tiễn Quá trình TD trải qua nhiều giai đoạn, bắt đầu từ việc nhận diện vấn đề cho đến khi giải quyết nó, tạo ra cơ hội cho một hành động TD mới Xác định vấn đề là bước đầu tiên và quan trọng nhất trong quá trình này Sau đó, cần huy động kiến thức, kinh nghiệm và những liên tưởng cá nhân liên quan đến vấn đề đã xác định Cuối cùng, khi giả thuyết được khẳng định và chính xác hóa, nó sẽ được hiện thực hóa qua câu trả lời cho vấn đề đã đặt ra, qua đó giải quyết vấn đề cũng đồng thời mở ra cơ hội cho một hoạt động TD mới.
1.1.3 Các thao tác tư duy
TD diễn ra thông qua các thao tác
Phân tích là quá trình sử dụng trí óc để chia nhỏ đối tượng nhận thức thành các bộ phận và thành phần khác nhau Qua đó, người phân tích có thể xác định những thuộc tính và đặc điểm của đối tượng, cũng như làm rõ các bộ phận của một tổng thể thông qua so sánh, phân loại và đối chiếu, giúp làm nổi bật tổng thể đó.
Tổng hợp là quá trình sử dụng trí óc để kết hợp và sắp xếp các bộ phận, thành phần và thuộc tính của đối tượng đã được phân tích, nhằm tạo ra một chỉnh thể giúp nhận thức một cách toàn diện hơn Trong tư duy, tổng hợp không chỉ đơn thuần là hành động, mà còn thể hiện sự sáng tạo Khi nói về người có "đầu óc sáng tổng hợp", điều này tương tự như miêu tả người đó có "đầu óc sáng tạo".
- So sánh – tương tự: là thao tác tư duy nhằm “xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật hiện thực”
1.2 Khái niệm và đặc trưng về tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo (TDST) là một thuộc tính và phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người, được hiểu từ nhiều góc độ khác nhau Hoạt động sáng tạo diễn ra liên tục trong mọi lĩnh vực và hoàn cảnh, với bản chất là con người khám phá ra những điều mới mẻ, độc đáo và có giá trị xã hội.
- Đặc trưng của tư duy sáng tạo
TDST được đặc trưng bởi các yếu tố chính như tính mềm dẻo, tính thuần thục, tính độc đáo, tính chi tiết và tính nhạy cảm
Tính mềm dẻo trong trí tuệ là khả năng linh hoạt chuyển đổi giữa các hoạt động trí tuệ khác nhau, cho phép con người nhanh chóng thay đổi trật tự của hệ thống tri thức Điều này không chỉ giúp xây dựng phương pháp tư duy mới mà còn tạo ra những sản phẩm sáng tạo trong mối liên hệ mới, đồng thời dễ dàng điều chỉnh các thái độ cố hữu trong hoạt động trí tuệ.
Tính thuần thục phản ánh khả năng tư duy và làm chủ kiến thức, kỹ năng, đồng thời thể hiện sự đa dạng trong cách xử lý vấn đề Đây là năng lực nhanh chóng kết hợp các yếu tố riêng lẻ trong tình huống, hoàn cảnh, và đưa ra giả thuyết cùng ý tưởng mới.
- Tính độc đáo là khả năng tìm tìm kiếm và quyết định phương thức lạ và duy nhất
- Tính chi tiết: là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng
Tính nhạy cảm là khả năng nhận diện nhanh chóng các vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm và bất hợp lý Nó thể hiện sự tinh tế của các giác quan, khả năng trực giác và sự phong phú trong cảm xúc Người có tính nhạy cảm thường thích ứng nhanh và linh hoạt với các tình huống khác nhau.
1.3 Dạy học phát triển tư duy sáng tạo
Dạy học phát triển tư duy sáng tạo (TDST) là phương pháp nhằm kích thích khả năng sáng tạo và tư duy của cá nhân hoặc tập thể trong việc giải quyết các vấn đề Phương pháp này giúp tìm ra các giải pháp phù hợp cho những thách thức, từ đó nâng cao khả năng tư duy sâu rộng và hiệu quả trong công việc chung về một chủ đề hoặc lĩnh vực cụ thể.
1.4 Một số cách phát triển tư duy thông qua hoạt động dạy học
- Tạo lập không khí trong lớp học
- Định hướng động cơ học tập đúng đắn cho HS
- Tạo ra sự thử thách vì sự thủ thách sẽ làm nảy sinh sự sáng tạo
- Tạo cơ hội cho HS hình thành thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau
- Khuyến khích học sinh giải quyết vấn đề bằng nhiều cách, biết hệ thống hóa và vận dụng kiến thức vào thực tiễn
- Rèn thói quen tìm tòi cách giải hay, mới cho bài toán, vấn đề học tập
- Sử dụng các câu hỏi kích thích nhu cầu nhận thức, khám phá của học sinh
- Rèn thói quen nhanh chóng phát hiện sai lầm , thiếu lôgic trong bài giải hoặc trong quá trình giải quyết vấn đề
- Tạo lập thói quen mò mẫm – phát hiện vấn đề trong quá trình học tập
- Rèn luyện việc vận dụng linh hoạt các thao tác TD trong quá trình học tập của HS
- Rèn luyện kĩ năng suy luận lôgic trong học tập
- Kích thích trí tưởng tượng sáng tạo của HS.
Thực trạng vấn đề phát triển TDST cho HS
Sau nhiều năm giảng dạy và khảo sát ý kiến từ học sinh và giáo viên ở nhiều môi trường khác nhau, tôi nhận thấy rằng khả năng phát triển tư duy sáng tạo (TDST) của học sinh tại các trường THPT hiện nay vẫn còn hạn chế, chủ yếu rơi vào tư duy lối mòn và có sức "ì" lớn Biểu hiện của tình trạng này cho thấy sự cần thiết phải cải thiện phương pháp giáo dục để khuyến khích sự sáng tạo và tư duy độc lập ở học sinh.
- Trong một tiết học gần như HS hoàn toàn phụ thuộc vào SGK, thụ động tiếp nhận kiến thức mà không phát hiện ra được những vấn đề mới
- Phần lớn HS rất lúng túng khi GV đặt câu hỏi "vì sao?", "tại sao lại như thế này mà không phải như thế kia?", "nếu như", "giả sử"
- HS chưa biết vận dụng kiến thức được học vào xử lý linh hoạt, sáng tạo các tình huống thực tiễn
- HS áp dụng máy móc kiến thức kĩ năng, cách giải
- HS chưa biết và chưa có thói quen tìm ra nhiều cách giải quyết cho một vấn đề
Chưa có cái nhìn tổng thể và toàn diện về các vấn đề, nhiều người vẫn chưa nhận thức rằng mọi sự vật đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Để giải quyết hiệu quả, cần áp dụng phương pháp tiếp cận đồng bộ, linh hoạt và mềm dẻo.
Thực trạng dạy học hiện nay chủ yếu do ảnh hưởng của lối dạy truyền thống, tập trung vào việc truyền thụ tri thức mà không khuyến khích tính tích cực học tập và tiềm năng tư duy sáng tạo (TDST) của học sinh (HS) Giáo viên (GV) thường chỉ giảng dạy theo nội dung sách giáo khoa mà ít đưa ra câu hỏi hay bài tập mở rộng, dẫn đến việc HS không được phát triển khả năng tư duy Nhiều GV không dành đủ thời gian cho HS suy nghĩ và tranh luận, lo ngại việc này sẽ làm mất thời gian và không hoàn thành bài dạy Hệ quả là HS cảm thấy thiếu tự tin và không thoải mái khi phát biểu ý kiến, trong khi các hoạt động thảo luận diễn ra nhanh chóng, không khuyến khích HS tìm kiếm giải pháp sáng tạo cho vấn đề Điều này dẫn đến việc không phát huy được các yếu tố TDST ở HS.
TDST trong môn Toán học của học sinh THPT phản ánh thực trạng chung, khi học sinh thường chỉ tuân theo trình tự các bước tính toán mà thiếu sự sáng tạo Họ cặm cụi thực hiện từng bước một cách tỉ mỉ nhưng lại không biết gộp hay rút gọn các bước tính Việc kết hợp giữa kỹ năng tính toán và suy luận vấn đề chưa được thực hiện hiệu quả Học sinh cũng chưa biết vận dụng các tính chất của phép tính và phương pháp giải điển hình để giải quyết bài toán một cách sáng tạo, cũng như chưa áp dụng các cách giải của một loại bài toán vào các loại bài toán khác.
2.1 Thực trạng năng lực học, giải toán cực trị của hàm số
2.1.1 Thực trạng Đánh giá việc tiếp thu và làm bài và làm bài ở các mức độ: Đối với mức độ nhận biết, thông hiểu các em làm khá tốt Tuy nhiên ở mức độ vận dụng, vận dụng cao có rất ít các em có thể giải được các bài toán HS gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán vận dụng, vận dụng cao
* Qua khảo sát HS 2 trường THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm:
Em nhận thấy các bài cực trị của hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT khó ở mức độ nào?
+ Mức độ vận dụng: A Rất khó B Khó C Bình thường D Dễ Kết quả:
Rất khó Khó Bình thường Dễ K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,2 % 30,4% 4,1% 0 %
+ Mức độ vận dụng cao: A Rất khó B Khó C Bình thường D Dễ Kết quả:
Rất khó Khó Bình thường Dễ K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,5 % 34,5% 0% 0%
* Qua bài kiểm tra khảo sát thường xuyên ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học 2021 - 2022 (Đề được ra ở 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao)
Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu
12A3 0% 23,5% 71% 5,5% Đánh giá kết quả làm bài của HS:
- Mức độ nhận biết, thông hiểu: Đa số các em HS làm tốt mức độ này
- Mức độ vận dụng: Chỉ có một số em vận dụng tốt phương pháp và làm bài tốt
- Mức độ vận dụng cao: Hầu hết các em không nắm được phương pháp giải.
Cơ sở khoa học
Hàm số y = f(x) được xác định và liên tục trên khoảng (a, b) với điểm x₀ thuộc (a, b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x thuộc (x₀ - h, x₀ + h) và x khác x₀, thì hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀ Ngược lại, nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x thuộc (x₀ - h, x₀ + h) và x khác x₀, thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.
3.2 Các dấu hiệu cực trị
Giả sử hàm số y f x ( ) liên tục trên khoảng K x 0 h x ; 0 h và có đạo hàm trên
K hoặc trên , với h0 a Nếu f x '( ) 0 0 trên x 0 h x ; 0 và f x '( ) 0 0 trên x x 0 ; 0 h thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f x ( ) b Nếu f x '( ) 0 0 trên x 0 h x ; 0và f x '( ) 0 0 trên x x 0 ; 0 hthì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x ( )
Giả sử hàm số y f x ( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x 0 h x ; 0 h , với h0 Khi đó: a Nếu f x '( ) 0, 0 f x ''( ) 0 0 thì x 0 là một điểm cực tiểu b Nếu f x '( ) 0, 0 f x ''( ) 0 0 thì x 0 là một điểm cực đại
3.2.3 Các quy tắc tìm cực trị
* Quy tắc 1 (Áp dụng dịnh lí 3.2.1)
B2 Tính f x '( ) Tìm các điểm tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định B3 Lập bảng biến thiên
B4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
* Quy tắc 2 (Áp dụng định lí 3.2.2)
B2 Tính f x '( ) Giải phương trình f x '( ) 0 và kí hiệu x i , ( i 1, 2, , ) n là các nghiệm của nó
B4 Dựa và dấu f x ''( ) i suy ra tính chất cực trị của điểm x i
Lưu ý: Khi áp dụng Quy tắc 2, nếu xảy ra trưởng hợp f x ''( ) 0 i thì ta không kết luận được tính chất cực trị của điểm x i , nên phải áp dụng Quy tắc 1
3.3 Phương pháp giải bài toán tương giao
Giả sử hàm số y f x ( ) có đồ thị ( ) C 1 và hàm số y g x ( ) có đồ thị ( ) C 2
Khi đó, hành độ giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và ( ) C 2 là nghiệm của phương trình sau: f x ( ) g x ( ) (1)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị ( ) C 1 và
Phát triển tư duy qua khai thác bài toán
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số bài toán cực trị cơ bản, từ đó hướng dẫn học sinh phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững quy trình và phương pháp giải bài toán cực trị, đồng thời tìm ra cách tiếp cận hiệu quả cho các bài toán trong cấu trúc đề thi TNTHPT Qua việc phân tích và khai thác, học sinh sẽ hình thành thói quen nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó phát triển tư duy sáng tạo và kỹ năng giải toán cho các bài toán đa dạng.
4.1 Phát triển tư duy qua việc khai thác bài toán gốc đơn giản
4.1.1 Phát triển đối với hàm bậc 3 f x ( ) ax 3 bx 2 cx d
Bài toán 1(bài toán gốc) Tìm điểm điểm cực đại cực tiểu của hàm số
3 2 y f x x x x Đây là bài toán đơn giản có thể giải theo 2 phương pháp (Quy tắc 1 và Quy tắc 2) Hướng dẫn (Áp dụng Quy tắc 1)
Hàm số đạt CĐ tại x 2; 7
CÐ 3 y ; hàm số đạt CT tại 1; 13
Để tránh việc bài toán trở nên "chết", chúng ta cần tạo ra tình huống mới cho học sinh bằng cách thay đổi một số dữ kiện, giúp phát triển từ mức độ hiểu biết cơ bản đến vận dụng và vận dụng cao Điều này không chỉ hình thành lớp bài toán liên kết về Cực trị mà còn phát triển tư duy sáng tạo và tư duy giải toán cho học sinh Qua đó, học sinh sẽ có cái nhìn tổng thể và nắm vững phương pháp giải bài toán Cực trị của hàm số.
Cụ thể, ta sẽ định hướng học sinh mở rộng bài toán theo trình tự các hướng sau:
Hướng 1 (Chuyển về dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối)
Bài toán 1.1 Tìm số điểm cực trị của hàm số a 1 3 1 2 2 1
Câu 1.1.a Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y f x ( )
Nhận xét Đối với dạng bài toán này học nhiều học sinh sẽ rơi vào 2 tình huống
- Tình huống 1: “Áp dụng Quy tắc 1, 2 một cách máy móc”, để nguyên giá trị tuyết đối tính đạo hàm
- Tình huống 2 Tìm cách mở dấu giá trị tuyệt đối của hàm số (đối với hàm số này không làm được)
Do đó, ta cần lưu ý và dẫn dắt định hướng HS tìm ra phương pháp khác Đó là từ bảng biến thiên của hàm số 1 3 1 2 2 1
3 2 y f x x x x suy ra bảng biến thiên của hàm số 1 3 1 2 2 1
Dựa vào BBT hàm số có 5 cực trị
Qua bài toán chúng ta cho HS rút ra phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số
B1 Lập bảng biến thiên của hàm số y f x ( )
B2 Suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x ( )
B3 Từ bảng biến thiên suy ra điểm cực trị
(Trong cách này chúng ta hướng dẫn thêm HS giải theo phương pháp vẽ đồ thị) B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
Để xây dựng đồ thị hàm số y = f(x), ta giữ nguyên phần trên trục hoành của hàm số này và thực hiện đối xứng qua trục hoành đối với phần bên dưới trục hoành.
B3 Từ đồ thị kết luận cực trị
Cách 2 Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm chứa giá trị tuyệt đối
Số nghiệm của phương trình y' = 0 (1) tương đương với số nghiệm của phương trình f'(x) = 0 (2) Vì vậy, số điểm cực trị của hàm số sẽ bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình (2), do hàm số luôn đổi dấu qua các nghiệm bội lẻ.
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình
3 2 x x x x Dễ dàng chứng minh phương trình này có 5 nghiệm phân biệt, do đó hàm số có 5 điểm cực trị
Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm CĐ, CT thì ta tìm nghiệm cụ thể và xét dấu y '
Chúng ta có thể đưa ra các ví dụ giải theo cách thứ 3 như sau:
B1 Mở dấu giá trị tuyệt đối của hàm số: ( ) ( ), ( ) 0
B2 Ta áp dụng phương pháp xét hàm số y f x ( ) theo các trường hợp
Câu 1.1.b Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y f x ( ) Đối với dạng toán này chúng ta hướng dẫn HS làm theo 2 cách
- Vẽ đồ thị hàm số y f x ( )
Để vẽ đồ thị hàm số y = f(x), bạn cần giữ nguyên phần bên phải của trục tung và loại bỏ phần bên trái Sau đó, thực hiện phép đối xứng qua trục tung đối với phần bên phải của hàm số y = f(x).
Từ đồ thị suy ra hàm số có 3 điểm cực trị
Qua bài toán chúng ta cho HS rút ra phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số
B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
B2 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x ( )
B3 Từ đồ thị kết luận cực trị
Ngoài cách giải trên, ta có thể hướng dẫn HS giải theo cách sau:
B1 Mở dấu giá trị tuyệt đối
B2 Ta xét hàm số theo 2 trường hợp
Câu 1.1.c Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y f x
Phương pháp giải câu c là tổng hợp của phương pháp giải Câu 1.1.a và 1.1.b
- Vẻ đồ thị hàm số y f x
- Vẻ đồ thị hàm số y f x theo quy tắc Câu 1.1.a
- Xem y h x f x là một hàm mới, vẻ đồ thị hàm y h x ( ) f x theo quy tắc Câu 1.1.b
Ta được kết quả như sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tất cả 5 điểm cực trị
Qua bài toán chúng ta cho HS rút ra phương pháp tìm điểm cực trị của hàm số
B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
B2 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x
B3 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x
B4 Từ đồ thị suy ra cực trị của hàm số
Chúng ta có thể thay đổi các bước vẻ đồ thị hàm số như sau:
B1 Vẽ đồ thị hàm số y f x
B2 Từ đồ thị hàm số y f x , suy ra đồ thị hàm số y f x ( ) (Câu1.1.b)
B3 Từ đồ thị hàm số y h x ( ) f x ( ), suy ra đồ thị hàm số y h x ( ) f x
B4 Từ đồ thị suy ra cực trị của hàm số
Hướng 2 (Chuyển bài toán về dạng chứa tham số)
Bài toán 1.2: Cho hàm số: 1 3 1 2 (2 3) 1
3 2 y f x x x m x a Tìm m để hàm số có cực trị b Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 1 , x 2 sao cho
Hàm số có 2 cực trị khi phương trình y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt
Lưu ý: Chúng ta có thể thay đổi yêu cầu bài toán: Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại một điểm nào đó
Câu 1.2.b Ta có điều kiện để hàm số có 2 cực trị tại x 1 , x 2 là 11 m 8 Với x 1 , x 2 là
Kết hợp điều kiện ta có
Chúng ta có thể điều chỉnh điều kiện của điểm cực trị để tạo ra một bài toán mới Câu 1.2.c liên quan đến việc xác định giá trị m sao cho hàm số y = f(x, m) có điểm cực trị.
Để giúp học sinh giải quyết dạng toán liên quan đến mối liên hệ số điểm cực trị của hai hàm số y = f(x) và y = f(x), giáo viên yêu cầu học sinh tìm điều kiện cực trị của hàm y = f(x) để hàm y = f(x) có 5 cực trị Từ đó, học sinh sẽ xác định được điều kiện để hàm y = f(x) có 2 điểm cực trị dương và từ đó giải quyết bài toán.
3 2 y x x m x có 5 cực trị thì hàm số
3 2 y f x x x m x có 2 điểm cực trị dương phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
hệ BPT vô nghiệm Vậy không tồn m thỏa mãn bài toán
Lưu ý rằng trong dạng toán này, chúng ta cần hướng dẫn học sinh khai thác tất cả các tình huống liên quan đến mối liên hệ giữa các điểm cực trị của hàm số y = f(x) và hàm số y = f'(x).
- TH1 Hàm số y f x không có cực trị thì hàm số y f x ( ) có 1 cực trị Cụ thể:
+ Nếu hàm số y f x luôn luôn ĐB thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm cực trị là điểm CT
+ Nếu hàm số y f x luôn luôn NB thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm cực trị là điểm CĐ
- TH2 Hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương, thì hàm số y f x ( ) có 5 điểm cực trị Cụ thể:
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương và hệ số a dương thì hàm số
( ) y f x có 2 điểm CĐ, 3 điểm CT
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị dương và hệ số a âm thì hàm số
( ) y f x có 3 điểm CĐ, 2 điểm CT
- TH3 Hàm số y f x có 2 điểm cực trị trái dấu, thì hàm số y f x ( ) có 3 điểm cực trị Cụ thể:
- TH4 Hàm số y f x có 2 điểm cực trị âm, thì hàm số y f x ( ) có 1 điểm cực trị Cụ thể:
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị âm và hệ số a dương thì hàm số
+ Nếu hàm số y f x có 2 điểm cực trị âm và hệ số a âm thì hàm số y f x ( ) có 2 điểm CĐ
Trong khuôn khổ đề tài này, tác giả chỉ trình bày một bài toán minh họa Giáo viên có thể sử dụng các bài toán tương tự để giảng dạy, đồng thời tùy thuộc vào hàm số, có thể đặt ra các điều kiện ràng buộc cho các điểm cực trị.
Giáo viên có thể khai thác bài toán cực trị của các hàm số dạng y = f(x, m) tương tự như bài toán điểm cực trị của hàm số y = f(x) Để giải quyết bài toán này, cần tìm mối liên hệ giữa cực trị của hàm số y = f(x) và các hàm số y = f(x, m) Hướng dẫn học sinh xác định mối liên hệ cực trị theo quy luật sẽ giúp việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn.
Để tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \), ta có thể suy ra rằng \( y = f(x) \) có số điểm cực trị bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) và số giao điểm của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) với trục hoành, tức là số nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) (các nghiệm không trùng với điểm cực trị của hàm số).
+ Số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y f x ( ) cộng thêm 1
+ Số điểm cực trị của hàm số y f x ( ) bằng số điểm cực trị của hàm số
Số điểm cực trị của hàm số y = f(x + a) bằng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) Tương tự, số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + b cũng bằng số điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Quy luật trên đúng cho mọi hàm số
Hướng 3 (Mở rộng đối với các dạng hàm hợp)
Bài toán 1.3: Cho hàm số: 1 3 1 2 2 1
3 2 y f x x x x a Tìm số cực trị của hàm số y g x ( ) f x (3 9) b Tìm số cực trị của hàm số y g x ( ) f x ( 2 3 ) x c Tìm cực trị của hàm số y g x ( ) f (2x 1) 8x+3 d Tìm m để hàm số y g x ( ) f x ( 2 3 x 2 ) m có 5 cực trị
Câu 1.3.a Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( ))
Vậy g x '( ) 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số g x ( ) f x (3 9) có 2 cực trị Lưu ý:
- Để xác định rỏ tính chất của điểm cực trị ta dựa vào dấu của f x '( ) lập bảng biến thiên của hàm số g x '( ) 3 '(3 f x 9)
- Bài toán có thể giải theo cách khai triển hàm hợp sau đó áp dụng quy tắc tìm cực trị ( ( ) (3 9) 1 (3x 9) 3 1 (3x 9) 2 2(3x 9) 1
Câu 1.3.b Phương pháp tương tự bài toán 1.3.a
Vậy g x '( ) 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số
Từ 2 bài toán 1.3.a và 1.3.b hướng dẫn HS rút ra phương pháp giải bài toán: Tìm cực trị của hàm số dạng y g x ( ) f u x ( ( ))
B1 Lập bảng xét dấu đạo hàm f x '( )
B2 Tính đạo hàm hàm hợp g x '( ) ( ( ( )))' f u x u x f u x '( ) '( ( )) và tìm nghiệm
B3 Dựa vào dấu f x '( ) lập bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) f u x ( ( ))
B4 Từ bảng biến thiên kết luận
Trong khuôn khổ đề tài này, tác giả chỉ có thể trình bày một bài toán minh họa Bên cạnh dạng đã nêu, chúng ta cũng có thể xem xét một bài toán khác có cấu trúc tương tự.
- Tìm cực trị của hàm số y f u x ( ( ))
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) suy ra cực trị hàm số
- Tìm điểm cực trị của hàm số y f u x ( ( ) )
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) suy ra cực trị hàm số
( ( ) ) y f u x (phương pháp giải theo câu 1.1.b)
- Tìm điểm cực trị của hàm số y f u x ( ( ) )
Phương pháp: Từ cực trị của hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) suy ra cực trị hàm số
( ( ) ) y f u x (phương pháp giải theo câu 1.1.c)
Câu 1.3.c Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm hợp dạng y g x ( ) f u x ( ( )) v x ( )
Phương pháp giải tương tự câu 1.3.a và 1.3.b
Dựa vào dấu f x '( ) ta lập bảng xét dấu g x '( )
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g x ( ) có 2 điểm cực trị (đạt CĐ tại x 1, CT tại x 3
Hàm số y g x ( ) f u x ( ( )) v x ( ) được giải quyết tương tự như phương pháp ở câu 1.3.a và 1.3.b Ngoài ra, có thể hướng dẫn học sinh khai thác các dạng khác như y g x ( ) v x f u x ( ( )); y g x ( ) v x f u x ( ( ) w( ) x Khi xây dựng bài toán với các dạng hàm số này, cần chú ý chọn ( ), ( ), w( ) u x v x x phù hợp để xác định nghiệm của phương trình g x '( ) 0 , số lượng nghiệm sẽ phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể.
- Chúng ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối như bài 1.1 vào các hàm hợp trên Câu 1.3.d
Dễ thấy các nghiệm của phương trình (2), (3) luôn khác nhau Do đó, để hàm số
( ) ( 2 3 2 ) g x f x x m có 5 cực trị thì phương trình g x '( ) 0 có 5 nghiệm đơn phân x 1 3
'( ) g x 0 0 biệt Khi đó phương trình (2), (3) đồng thời phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 3
2 nên ta có điều kiện là:
Chúng ta hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài toán tìm tham số m để hàm số y = g(x, m) = f(u(x, m)) có cực trị thỏa mãn các điều kiện đã cho.
B1 Lập bảng xét dấu đạo hàm f x '( )
B2 Tính đạo hàm hàm hợp g x m '( , ) ( ( ( , )))' f u x m u x m f u x m '( , ) '( ( , )) và tìm nghiệm phương trình g x m '( , ) 0 (1)
B3 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có số nghiệm đơn hoặc bội lẻ bằng số cực trị của hàm số g x m ( , )
Kết quả đạt được
Chúng tôi đã thực hiện sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán cực trị trong đề thi TN THPT” bằng cách nghiên cứu cơ sở lý luận và thực trạng chất lượng đầu vào môn Toán của học sinh Qua khảo sát việc tiếp thu lý thuyết và áp dụng vào bài tập về bài toán cực trị của hàm số trong cấu trúc đề thi TNTHPT, chúng tôi phân tích ở 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao Từ đó, chúng tôi đề xuất giải pháp giúp học sinh nắm vững cơ sở khoa học và phương pháp giải các dạng toán cực trị, nhằm nâng cao kết quả thi TN THPT môn Toán.
Qua nghiên cứu lý luận và thực trạng tại hai trường THPT, cùng với việc áp dụng giải pháp ôn thi TNTHPT cho bài toán cực trị của hàm số, chúng tôi đã đạt được những kết quả khả quan trong cấu trúc đề thi TNTHPT ở cấp THPT.
Học sinh đã nắm vững lý thuyết và phương pháp giải toán cực trị của hàm số, giúp các em tự tin hơn khi tiếp cận các bài toán này Hầu hết các em không còn cảm thấy lo sợ với các dạng toán về cực trị ở các mức độ nhận biết, thông hiểu, và vận dụng, và nhiều em đã có khả năng giải quyết các bài toán ở mức vận dụng cao.
Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trong ôn thi TN THPT đã giúp học sinh cảm thấy thoải mái hơn khi học toán, từ đó kích thích hứng thú và niềm đam mê học tập của các em Hơn nữa, phương pháp này đã được áp dụng hiệu quả cho tất cả các đối tượng học sinh, tạo động lực cho đồng nghiệp cùng tham gia, đồng thời thúc đẩy hoạt động chuyên môn và nghiên cứu các giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Trong những năm qua, thông qua sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi đã áp dụng hiệu quả phương pháp giảng dạy vào môn học mà mình phụ trách, và đã đạt được những kết quả cụ thể đáng ghi nhận.
Qua việc luyện đề thi TNTHPT, học sinh có khả năng làm bài toán về cực trị ở mức độ nhận biết và thông hiểu Hầu hết các em đều có thể giải quyết bài toán ở mức độ vận dụng, trong khi khoảng 10% học sinh có thể đạt được mức độ vận dụng cao.
- Về kết quả thi THPTQG: trong năm học 2020-2021, trường THPT DTNT Tỉnh có tỷ lệ đậu tốt nghiệp 100 % trong đó môn Toán có nhiều em đạt điểm khá giỏi
Mặc dù kết quả chưa đạt mức cao như một số trường khác trong thành phố, nhưng so với đầu vào, đây là một thành tích đáng khích lệ.
- Kết quả khảo sát làm bài kiểm tra sau khi áp dụng đề tài
- Kết quả thi TN THPT trường THPT DTNT tỉnh năm 2020-2021 Điểm Từ 9-10 Từ 8-
