NỘI DUNG
CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN
Kể từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan cho môn Toán trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia Hình thức thi này không chỉ là thách thức cho giáo viên và học sinh mà còn tạo cơ hội cho học sinh trung học phổ thông thể hiện khả năng sáng tạo và thông minh của mình.
Kỳ thi trắc nghiệm môn Toán kéo dài 90 phút với 50 câu hỏi thường khiến học sinh cảm thấy áp lực do số lượng câu hỏi lớn Tuy nhiên, hình thức thi trắc nghiệm mang lại nhiều lợi ích, bao gồm sự phù hợp với xu thế hội nhập quốc tế, khuyến khích tính sáng tạo và năng động của học sinh, cũng như kiểm tra kiến thức một cách toàn diện, giúp tránh việc học lệch hay học tủ Đặc biệt, với việc chỉ cần chọn một đáp án đúng trong bốn lựa chọn, học sinh có thể phát triển nhiều phương pháp và kỹ thuật giải nhanh độc đáo cho riêng mình.
Môn Toán không chỉ giúp người học phát triển khả năng sáng tạo, mà còn rèn luyện sự nhanh nhẹn, quyết đoán và chính xác trong việc giải quyết các bài toán cũng như trong các tình huống thực tiễn hàng ngày.
Đổi mới trong kỳ thi tốt nghiệp THPT mang đến thách thức cho cả giáo viên và học sinh, đồng thời tạo cơ hội để họ tiếp cận nội dung sách giáo khoa một cách tương tác và chuyên sâu hơn.
BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong bối cảnh thi cử hiện nay, nhiều học sinh tìm kiếm các dạng toán và bài tập từ nguồn khác ngoài sách giáo khoa, do sách giáo khoa được biên soạn theo hình thức thi cũ Tuy nhiên, sách giáo khoa vẫn là tài liệu quan trọng, cung cấp kiến thức nền tảng, hệ thống và toàn diện, giúp hướng dẫn hoạt động học và dạy Do đó, giáo viên cần định hướng và hướng dẫn học sinh khai thác các dạng toán qua bài tập, ví dụ và hoạt động từ sách giáo khoa Điều này không chỉ khuyến khích học sinh khá giỏi phát triển khả năng tự học mà còn tạo hứng thú cho các em trong việc khám phá và tìm hiểu nội dung học tập.
III GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ MỘT HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Mở đầu: Hoạt động dẫn tới bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chứng minh hàm số y = | | x không có đạo hàm tại x = 0 Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không? ( Hoạt động 4 trang 16 SGK Giải Tích 12 )
Suy ra hàm y = | | x không có đạo hàm tại x = 0
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Vậy: hàm y = | | x không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại x = 0
→ = → = − Suy ra hàm y = | | x không có đạo hàm tại x = 0
Sử dụng đồ thị hàm số
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Khi giải bài toán tìm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể áp dụng công thức đạo hàm Việc này giúp xác định các điểm cực trị một cách chính xác Hãy xem xét các bước giải cụ thể để hiểu rõ hơn về quy trình này.
Cách giải 3: ( Sử dụng quy tắc 1)
= = = = suy ra y = | | x đạo hàm không xác định tại x = 0
Ta có bảng biến thiên: x y
Các quy tắc giải bài toán tìm cực trị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng được áp dụng tương tự Để giải quyết, cần sử dụng công thức đạo hàm của hàm số trị tuyệt đối.
1 Bài toán tìm cực trị hàm số y = f x ( )
1.1 Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua bài toán cụ thể
Bài 1.1.1 Cho hàm số y = | x 2 − 4 x + 3 |, hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = | x 2 − 4 x + 3 | có 3 điểm cực trị
Xét hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ta có đồ thị hàm số là:
Do đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 cắt trục ox tại hai điểm phân biệt nên ta có đồ thị của hàm y = | x 2 − 4 x + 3 | là : x
Dựa vào đồ thị ta có hàm số y = | x 2 − 4 x + 3 | có 3 điểm cực trị
1 Số cực trị của hàm số y = | x 2 − 4 x + 3 | chính bằng số ngiệm của y ' = 0và y ' không xác định mà tại các điểm đó y ' đổi dấu
2 Số cực trị của hàm số y = | x 2 − 4 x + 3 | bằng tổng số cực trị của hàm số
2 4 3 y = x − x + và số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 với trục hoành
3 Số cực trị của hàm số y = | x 2 − 4 x + 3 | bằng tổng số nghiệm của y ' = 0 và số nghiệm của phương trình y = 0)
Tổng quát: Đồ thị hàm số y = f x ( ) có bao nhiêu điểm cực trị
0 '( ) 0 1 y = f x = , y ' không xác định tại điểm f x ( ) = 0 2 ( )
Còn số nghiệm của ( ) 1 là số cực trị của hàm số y = f x ( ), Số nghiệm của ( ) 2 chính là số giao điểm của đồ thị y = f x ( ) và trục hoành y = 0
Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của ( ) 1 và ( ) 2 chính là số cực trị cần tìm
Bài 1.1.2 Cho hàm số y = f x ( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: Đồ thị của hàm số y = f x ( ) có bao nhiêu điểm cực trị?
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có dạng sau
Đồ thị của hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm trên trục Ox và cắt trục Ox tại một điểm duy nhất Do đó, có tổng cộng ba điểm cực trị trên đồ thị này (tham khảo hình vẽ).
Nhận xét: Ta có thể nhận xét trực tiếp các điểm cực trị hàm số và giao điểm trục hoành qua bảng biến thiên mà không qua đồ thị
Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị và cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất, do đó, hàm số này có tổng cộng 3 điểm cực trị.
Bài 1.1.3 Cho hàm số y = f x ( ) với bảng biến thiên dưới đây
Hỏi hàm số y = f x ( ) có bao nhiêu điểm cực trị?
Giải: Dựa vào nhận xét : hàm số f x ( ) có ba điểm cực trị và đồ thị cắt ox tại 4 điểm phân biệt nên hàm số y = f x ( ) có 7 điểm cực trị
Bài 1.1.4 Cho hàm số y f x xác định trên và có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x x
Hàm số f(x) có hai điểm cực trị và đồ thị cắt trục hoành tại một điểm có nghiệm bội lẻ, do đó hàm số y = f(x) sẽ có tổng cộng ba điểm cực trị.
Nhận xét về cách giải tổng quát bài toán đồ thị hàm số y = f(x), chúng ta có thể phát triển một phương pháp mới để xác định số lượng điểm cực trị của hàm số này.
Để xác định số điểm cực trị của hàm số h(x) = [f(x)]^n với n là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, ta cần xem xét hàm số y = f(x) đã cho, có thể dưới dạng hàm số, đồ thị, bảng biến thiên hoặc đạo hàm Việc phân tích này giúp xác định các điểm cực trị của hàm h(x).
Với n chẵn thì n − 1 lẻ ta có tổng số nghiệm bội lẻ của ( ) 1 và ( ) 2 chính là số cực trị cần tìm
Với n lẻ thì n − 1 chẵn nên nghiệm của (2) luôn là nghiệm bội chẵn suy ra số nghiệm bội lẻ của ( ) 1 chính là số cực trị cần tìm
Vậy: n chẵn cho ta đưa bài toán về số điểm cực trị hàm y = f x ( ) còn n lẻ cho ta bài toán về số cực trị hàm y = f x ( )
Bài 1.1.5 Cho hàm số y f x xác định trên và có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f x ( ) 2
Từ đồ thị ta suy ra f x ( ) = 0 có 1 nghiệm bội lẻ, f x ( ) = 0 có 2 nghiệm bội lẻ
Do đó, hàm số y = f x ( ) 2 có 3 điểm cực trị
Bài 1.1.6 Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có đạo hàm trên 0;6 Đồ thị của hàm số y = f ( ) x trên đoạn 0;6 được cho bởi hình bên dưới Hỏi hàm số y = f x ( ) 2022 có tối đa bao nhiêu cực trị trên đoạn 0;6
Từ đồ thị ta suy ra f x ( ) = 0 có tối đa 4 nghiệm, f x ( ) = 0 có 3 nghiệm
Do đó, hàm số y = f x ( ) 2022 có tối đa 7 điểm cực trị
Bài 1.1.7 Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + 8 − x )
Từ đồ thị ta có f x ( ) = = 0 x a x , = 2 2, x = 4 và hàm số y = f x ( )có hai điểm cực trị
- Phương trình x + 8 − = x 4có nghiệm kép x = 4
Từ đó ta suy ra phương trình g x ( ) = 0 có ba nghiệm, f ( x + 8 − x ) = 0 không có nghiệm đơn thỏa mãn Vậy đồ thị hàm số y = f ( x + 8 − x ) có tất cả 3 điểm cực trị
Bài 1.1.8 Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số g x ( ) = f ( x + 8 − x ) 2
( Câu 2a đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán cấp tỉnh Nghệ An năm học 2021 – 2022)
Hàm số y = f(x)² có số cực trị tương đương với hàm số y = |f(x)|, theo bài 1.1.8 Do đó, hàm số y = f(x)² có tổng cộng 3 điểm cực trị.
Bài 1.1.9 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số y = f x ( ) là đường cong ở hình vẽ Hỏi hàm số h x ( ) = f x ( ) 2 − 4 f x ( ) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
(HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT Sở GDĐT Quảng Nam năm 2019)
Do đó, ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số y = g(x) có ba điểm cực trị không nằm trên trục hoành và bốn giao điểm với trục hoành (Ox) Do đó, đồ thị hàm số y = h(x) = g(x) sẽ có tổng số cực trị là 7, bao gồm 3 điểm cực trị của g(x) và 4 điểm giao với trục hoành.
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = h f x ( ) ( với g x ( ) = h f x ( ) ) bằng tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình g' ( ) x = 0 và phương trình h f x ( ) = 0
Bài 1.1.10 Cho hàm số bậc bốn y = f x ( ) có đồ thị như hình bên Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f x ( 3 + 3 x 2 ) ?
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y = f x ( ) như sau x − a b c +
Ta có đồ thị của hàm h x ( ) = + x 3 3 x 2 như sau
Đồ thị hàm số y = h(x) cho thấy rằng đường thẳng y = a cắt đồ thị tại một điểm, trong khi đường thẳng y = b cắt đồ thị tại ba điểm, và đường thẳng y = c cắt đồ thị tại một điểm.
Như vậy phương trình g x ( ) = 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt
Tương tự dựa vào đồ thị và các đường thẳng trên ta có phương trình f x ( 3 + 3 ) 0 x 2 = có 4 nghiệm đơn Vậy hàm số y = f x ( 3 + 3 x 2 ) có 11 điểm cực trị
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = f u x ( ( ) ) ( với g x ( )= f u x ( ( ) ) ) bằng tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình g' ( ) x = 0 và phương trình f u x ( ( )) 0 =
Bài 1.1.11 Cho hàm số f x ( ) có f ( ) 0 = 0 Biết y = f ( ) x là hàm số bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số g x ( ) = f x ( ) 4 − x 2 là
(Câu 45 Mã 103 đề thi TN THPT năm 2020 Lần 2)
Theo nhận xét trên ta đi tìm số nghiệm h x ( ) = 0 và số nghiệm h x ( ) = 0
Dạng bài này ta thường giải tìm số nghiệm h x ( ) = 0 qua đồ thị sau đó lập bảng biến thiên hàm số h x ( ) và tìm số nghiệm qua bảng biến thiên
Xét phương trình ( ) * : Đặt t = x 4 thì ( ) * thành ( ) 1
Dựa vào đồ thị, phương trình ( ) * có duy nhất một nghiệm a 0
Suy ra h x ( ) = 0 có ba nghiệm x = 4 a x , = 0
Bảng biến thiên của hàm số y = h x ( ) = f x ( ) 4 − x 2
Từ bảng biến thiên h x ( ) = 0 có hai nghiệm bội lẻ nên số cực trị của g x ( ) là 5 Chọn đáp án D
Để giải bài toán hàm ẩn g x ( ) = f u x ( ( ) ) + v x ( ), cần xác định số cực trị của hàm số h x ( ) = f u x ( ( ) ) + v x ( ) và số nghiệm bội lẻ của phương trình h x ( ) = 0 Qua đó, ta có thể tìm h x ' ( ) = 0 và lập bảng biến thiên của hàm số h x ( ) để xác định số nghiệm.
Khó khăn trong bài toán xuất phát từ việc tìm nghiệm của phương trình h x ' ( ) = 0 Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể áp dụng phương pháp hàm số, xem xét các tính chất của hàm số, hoặc sử dụng đồ thị của hàm số để phân tích.
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, tôi lựa chọn phần dạy và dạng bài tập phù hợp với từng lớp học và đối tượng học sinh.
Đối với học sinh trung bình, tôi lựa chọn dạy từ sách giáo khoa để giải quyết bài toán tìm số cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, tập trung vào các mục 1.1; 2.1; 3.1 thông qua các bài tập cụ thể Tôi sử dụng đồ thị và vẽ trực tiếp trên GeoGebra để giải thích các vấn đề, giúp học sinh nhận xét về dạng đồ thị hàm trị tuyệt đối cũng như các biến thể y = f(x) + m và y = f(x + m) khi đã biết đồ thị y = f(x).
Đối với học sinh khá, tôi lựa chọn dạy các mục 1.2, 2.2, 3.2 từ các bài tập cụ thể, giúp học sinh nhận biết và giải thích vấn đề thông qua đồ thị Đồng thời, tôi hướng dẫn học sinh sử dụng bảng biến thiên để giải bài tập hiệu quả hơn.
Đối với học sinh giỏi, tôi tập trung vào việc giảng dạy tất cả các mục và khuyến khích học sinh phát triển các dạng bài toán tương tự Học sinh cần phải linh hoạt trong việc giải quyết bài toán dựa trên đồ thị và bảng biến thiên Đề tài này đã được áp dụng trong năm học 2021-2022 tại một số lớp 12 của trường và được đánh giá là mang lại hiệu quả cao.
Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi nhận thấy rằng học sinh có sự hứng thú và quan tâm nhiều hơn đến nội dung sách giáo khoa Họ đã chủ động tìm hiểu và khám phá các vấn đề từ sách giáo khoa, từ đó phát triển thành những dạng bài toán đa dạng.
Trong năm học 2021 – 2022, tôi đã tiến hành áp dụng đề tài nghiên cứu đối với học sinh tại trường, cụ thể là thực nghiệm trên hai lớp 12A1 và 12A10 (trong đó 12A1 có học lực tốt) và hai lớp đối chứng 12A5 và 12A12 (với 12A5 cũng có học lực tốt) Các lớp này có số lượng học sinh và chất lượng tương đương nhau Kết quả thu được từ hai bài kiểm tra 15 phút theo hình thức trắc nghiệm và hai bài kiểm tra 45 phút kết hợp trắc nghiệm với tự luận cho thấy
Lớp thực nghiệm ( Tổng số học sinh: 85 em )
Lớp đối chứng ( Tổng số học sinh: 86 em ) Điểm < 3 0,5% 3,5% Điểm từ 3 đến < 5 3,7% 6,8% Điểm từ 5 đến < 8 46,9% 57,6% Điểm từ 8 đến 10 48,9% 32,1%
Qua bảng kết quả thực nghiệm cho thấy việc áp dụng đã đem lại kết quả cao, nhất là đối với học sinh có học lực khá giỏi
PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Với kết quả thu được bước đầu cho phép tôi kết luận rằng:
Việc giảng dạy môn toán cần bám sát nội dung sách giáo khoa, đồng thời giáo viên phải định hướng cho học sinh hiểu và phát triển kiến thức qua các dạng bài toán cần thiết Điều này giúp học sinh học tập chủ động hơn, khám phá sách giáo khoa một cách sâu sắc và nhận diện được các dạng bài tập liên quan Khi học sinh quan tâm tìm hiểu nhiều hơn, sự hứng thú trong việc nghiên cứu các nguồn tài liệu khác cũng sẽ gia tăng, từ đó phát triển khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.
Để dạy học sinh một dạng toán mới, cần bắt đầu từ những bài toán cụ thể Điều này giúp học sinh không chỉ hiểu rõ hơn về kiến thức mà còn phát triển khả năng giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Kết quả thực nghiệm cho thấy việc áp dụng đề tài vào dạy học mang lại hiệu quả cao, mở ra khả năng áp dụng rộng rãi tại các trường THPT Đề tài được xây dựng dựa trên kinh nghiệm giảng dạy thực tế và mong muốn khuyến khích học sinh chủ động tìm hiểu sách giáo khoa Với sự hỗ trợ từ giáo viên, học sinh có thể hiểu và phát triển các dạng bài toán mới từ những vấn đề đã được đề cập trong sách.
Mặc dù đã nỗ lực không ngừng, đề tài vẫn còn một số hạn chế cần khắc phục Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến và phê bình từ các đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài, nhằm nâng cao hiệu quả dạy học và mang lại lợi ích thiết thực hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Diễn Châu ngày 22 tháng 4 năm 2022
1 Sách giáo khoa giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam
2 Sách bài tập giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam
3 http://www.baigiang.violet.vn
5 Một số tài liệu của đồng nghiệp và tìm hiểu từ các nguồn trên mạng internet
6 Đề thi THPT Quốc gia và đề thi TN THPT năm từ năm 2017 đến năm 2021
7 Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
