NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cơ sở lí luận
2.1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số a Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y = f x ( ) xác định trên K Ta nói
+ Hàm số y = f x ( ) đồng biến trên K nếu với mọi cặp x x 1 , 2 thuộc K mà
+ Hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x x 1 , 2 thuộc K mà
Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên K
+ Nếu f x '( ) 0 ≥ với mọi x thuộc K thì hàm số f x ( ) đồng biến trên K
+ Nếu f x '( ) 0 ≤ với mọi x thuộc K thì hàm số f x ( ) nghịch biến trên K
( f x '( ) 0 = chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K ). c Đồ thị hàm số đơn điệu
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái qua phải.
2.1.2 Cực trị của hàm số a Định nghĩa
Hàm số y = f(x) được xác định và liên tục trên khoảng (a, b), với x₀ ∈ (a, b) Nếu tồn tại một số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ - h, x₀ + h) và x ≠ x₀, thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₀.
+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f x ( ) > f x ( ) 0 với mọi x ∈ ( x 0 − h x ; 0 + h ) và x x ≠ 0 thì ta nói hàm số y = f x ( ) đạt cực tiểu tại x 0. b Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý:
Giả sử hàm số y = f x ( ) liên tục trên khoảng K = ( x 0 − h x ; 0 + h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { } x 0 , với h > 0
+ Nếu f x '( ) 0 > trên khoảng ( x 0 − h x ; 0 ) và f x '( ) 0 < trên khoảng ( x x 0 ; 0 + h ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số y = f x ( )
+ Nếu f x '( ) 0 < trên khoảng ( x 0 − h x ; 0 ) và f x '( ) 0 > trên khoảng ( x x 0 ; 0 + h ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f x ( )
2.1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a Định nghĩa
Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên tập D
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f x ( ) trên tập D nếu f x ( ) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 ∈ D sao cho f x ( ) 0 = M
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f x ( ) trên tập D nếu f x ( ) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 ∈ D sao cho f x ( ) 0 = m
Kí hiệu m = min ( ) D f x b Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Do đó đồ thị hàm số y = f x ( ) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f x ( ) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f x ( ) nằm trên trục hoành
+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y = f x ( ) nằm dưới trục hoành.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT Tân
Kỳ 3: Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy và học các bài toán vận dụng cao trong chương hàm số dẫn đến kết quả thấp.
Tại trường THPT Tân Kỳ 3, giáo viên thường ít giảng dạy các bài toán ở mức vận dụng và vận dụng cao, chủ yếu do năng lực học sinh thấp và khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu giảng dạy Tình trạng này dẫn đến tâm lý e ngại khi đối mặt với các bài toán khó, gây khó khăn trong việc chuẩn bị cho học sinh ôn thi đại học.
Học sinh hiện nay gặp khó khăn trong việc tiếp cận các dạng toán vận dụng và vận dụng cao, do thiếu tài liệu hướng dẫn, dẫn đến kết quả học tập và thi chưa cao Cụ thể, trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019, điểm trung bình môn toán của lớp 12A1 cho thấy sự hạn chế này.
TN THPT QG năm 2018 - 2019 là 6.5 điểm ( thống kê điểm toán TN THPT 2018 -
Và nhiều năm trước đó điểm thi THPT QG của các lớp 12A1 trường THPT Tân Kỳ
Các giải pháp thực hiện
2.3.1 Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số y = f x m ( ; ) đơn điệu trên một khoảng cho trước.
2.3.1a Hàm số y = f x m ( ; ) đồng biến trên khoảng ( ) a b ;
Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
Chúng ta đã nắm vững phương pháp giải các bài toán liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f(x) Bên cạnh đó, việc tìm điều kiện của tham số m để hàm số hoạt động đúng cũng là một phần quan trọng trong quá trình phân tích hàm.
( ; ) y = f x m đồng biến trên khoảng ( ) a b ; Bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f x m ( ; ) đồng biến trên ( ) a b ; có giải được như thế không?
Khi học sinh tiếp cận một câu hỏi, họ sẽ phát sinh nhiều suy nghĩ và định hướng khác nhau Tuy nhiên, một vấn đề quan trọng cần xem xét là liệu phương pháp giải bài toán này có tương tự như các dạng bài đã gặp trước đó hay không, và liệu có những cách giải quyết nào khác cho bài toán này.
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán.
Sau khi đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương của bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f x m ( ; ) đồng biến trên khoảng ( ) a b ; ?
+ Ở bước này học sinh sẽ trình bày được điều kiện tương đương là
+ Đến đây giáo viên tiếp tục phân tích, nếu tìm được đạo hàm của hàm số
( ; ) y = f x m thì chúng ta sẽ sử dụng điều kiện tương tự Và đặt câu hỏi 3.
Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy được đạo hàm của hàm số
+ Ở bước này học sinh sẽ có 2 định hướng:
Trong bước này, giáo viên cần phân tích cho học sinh hiểu cách sử dụng công thức y = f(x; m) = [f(x; m)]² để tính đạo hàm Khi xác định được đạo hàm, chúng ta đã chuyển về bài toán quen thuộc y' ≥ 0; ∀ x ∈ [a, b].
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
( ; ) f x m f x m f x m Để hàm số y = f x m ( ; ) đồng biến trên khoảng ( ) a b ; ⇔ ≥ ∀ ∈ y ' 0, x ( ; ) a b
Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán
Bằng cách biến đổi y = f x m ( ; ) = [ f x m ( ; ) ] 2 chúng ta đã quy bài toán về bài toán quen ⇔ ≥ ∀ ∈ y ' 0, x ( ; ) a b
Bài toán còn có các cách giải khác:
Cách 2: Sử dụng đồ thị
← - Phân tích: Nếu đồ hàm số y = f x m ( ; ) thị cắt trục Ox
Ta suy ra đồ thị hàm số y = f x m ( ; ) như sau
Vì vậy hàm số y = f x m ( ; ) không đơn điệu trên khoảng ( ) a b ; được.
(Nên đồ thị hàm số không thể cắt trục Ox được, ta chỉ có hai trường hợp sau đây)
Trường hợp 1: Điều kiện bài toán trong trường hợp này là f x m f x m ( ; ) 0 '( ; ) 0 ≥ ≥ ∀ ∈ x ( ; ) a b
Trường hợp 2: Điều kiện của bài toán trong trường hợp này là '( ; ) 0 , ( ; )
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Khi y' = 0 và có thể xác định các nghiệm, chúng ta có thể lập bảng biến thiên Sau đó, dựa vào bảng này, ta sẽ tìm ra các điều kiện cần thiết cho bài toán.
2.3.1b Hàm số y = f x m ( ; ) nghịch biến trên khoảng ( ) a b ;
Phân tích tương tự bài toán đồng biến ta có:
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
( ; ) f x m f x m f x m Để hàm số y = f x m ( ; ) nghịch biến trên khoảng ( ) a b ; ⇔ ≤ ∀ ∈ y ' 0, x ( ; ) a b
Cách 2: Sử dụng đồ thị
Trường hợp 1: Điều kiện bài toán trong trường hợp này là f x m f x m ( ; ) 0 '( ; ) 0 ≥ ≤ , ∀ ∈ x ( ; ) a b
Trường hợp 2: Điều kiện bài toán trong trường hợp này là f x m f x m ( ; ) 0 '( ; ) 0 ≤ ≥ , ∀ ∈ x ( ; ) a b
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Trong trường hợp y' = 0, nếu tìm được các nghiệm, chúng ta có thể lập bảng biến thiên Sau đó, dựa vào bảng biến thiên này, ta sẽ xác định các điều kiện cần thiết cho bài toán.
Các trường hợp đơn điệu trên [ ] a b ; , ( −∞ ; b ] , [ a ; +∞ ) , ( a ; +∞ ) , ( −∞ ;b ) Ta phân tích tương tự.
Ví dụ 1: Tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc [ − 5;5 ] của tham số m để hàm số 1 3 ( 1) 2 (2 3) 2
3 3 y = x + m − x + m − x − đồng biến trên khoảng ( ) 1;5 là
Cách 1: Sử dụng đồ thị
Nếu đồ thị hàm số y = f x ( ) cắt trục hoành và có đổi dấu trong khoảng ( ) 1;5 thì đồ thị hàm số y = f x ( ) không đơn điệu trên ( ) 1;5
Nên y = f x ( ) không đổi dấu trên khoảng ( ) 1;5
⇒ hàm số y = f x ( ) đồng biến trên ( ) 1;5 xảy ra hai trường hợp
Hàm số y = f x ( ) đồng biến và đồ thị nằm phía trên trục hoành trên khoảng ( ) 1;5
Hàm số y = f x ( ) nghịch biến và đồ thị nằm phía dưới trục hoành trên khoảng ( ) 1;5
Cả hai Trường hợp ta được
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng − 1
Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
= f x = f x f x '( ) ( ) f x ( ) Để hàm số y = f x ( ) đồng biến trên khoảng ( ) 1;5 ⇔ ≥ ∀ ∈ y ' 0, x (1;5)
Cả hai trường hợp ta được
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng − 1
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Ta có bảng biến thiên x −∞ 3 2m − − 1 +∞
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = f x ( ) đồng biến trên khoảng ( ) 1;5 ⇔ f (1) 0 ≥
3 0 m − 3 ≥ ⇔ 13 m ≥ 9 kết hợp (*) ta được m ≥ 2 Trường hợp 2: 3 2 − m > − 1 ⇔ m < 2 (**)
Ta có bảng biến thiên x −∞ − 1 3 2m − +∞
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = f x ( ) đồng biến trên khoảng ( ) 1;5 ⇔ có hai khả năng như sau
⇔ m ≤ − 1 kết hợp với (**) ta được m ≤ − 1
Cả hai trường hợp ta được
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng − 1
Mỗi phương pháp giải đều có những ưu điểm riêng, vì vậy các em cần nhận diện các dấu hiệu của hàm số phù hợp để có thể lựa chọn cách giải nhanh chóng và hiệu quả.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
2 3 1 y = x − mx + đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
Nhận thấy f x '( ) 0 = nhẩm được nghiệm nên chúng ta sử dụng cách bảng biến thiên
Trường hợp 1: Nếu m ≤ 0 thì hàm số đồng biến trên ¡
Trường hợp 2: Nếu m > 0 thì f x '( ) 0 = ⇔
Ta có bảng biến thiên x −∞ 6
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = 2 x 3 − mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
Từ hai trường hợp ta được m ≤ 6
Nhận xét: Nếu f x '( ) 0 = nhẩm được nghiệm các em nên chọn cách lập bảng biến thiên, đây là cách phân tích dễ hiểu nhất.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
Nhận thấy f x '( ) 0 = không nhẩm được nghiệm nên ta không dùng cách 3 để giải bài toán này, mà dung cách 1
Ta có x lim ( ) →−∞ f x = −∞ nên hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;1 ) ⇔
Khi giải bài toán theo hai cách khác nhau, học sinh cần chú ý rằng đồ thị f(x) nằm dưới trục hoành ở nhánh −∞ Điều này giúp tránh việc phải xem xét hai trường hợp khác nhau.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số
Cách 1: Sử dụng đồ thị
Nên hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên khoảng ( −∞ − ; 1 )
Vì m nguyên và nhỏ hơn 10 nên m ∈ { 5;6;7;8;9 }
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
Ta có bảng biến thiên x −∞ − 1 0 2 +∞
Từ bảng biên thiên suy ra Để hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên khoảng ( −∞ − ; 1 ) ⇔ m − ≥ 5 0 ⇔ m ≥ 5
Vì m nguyên và nhỏ hơn 10 nên m ∈ { 5;6;7;8;9 }
Bài toán này có thể giải quyết bằng ba phương pháp khác nhau, tuy nhiên, các em cần chú ý đến các dấu hiệu để loại bỏ những lập luận không cần thiết.
Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
3( 1) 3 ( 2) y = x − m + x + m m + x đồng biến trên khoảng (0; +∞ ) , biết rằng
Lời giải: Đặt f x ( ) = − x 3 3( m + 1) x 2 + 3 ( m m + 2) x xác định trên ¡
Ta có bảng biến thiên x −∞ m m + 2 +∞
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = f x ( ) đồng biến trên khoảng (0; +∞ ⇔ ) 2 0
Nhận xét: Bài này các em nhận thấy f x '( ) 0 = nhẩm được nghiệm nên ta chọn cách
Ví dụ 6: Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn
Hàm số y = f x ( ) đồng biến trên ( 1; +∞ ) khi xảy ra hai trường hợp sau
Vậy m ∈ +∞ (1; ) , vì m nguyên và thuộc đoạn [ − 10;10 ]
Nhận xét: Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì đạo hàm luôn khác không và chú ý tập xác định phải chứa khoảng ( ; ) a b
Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
Ta nhận thấy x lim ( ) →+∞ f x = +∞ Để hàm số y = f x ( ) đồng biến trên [ 5; +∞ )khi và chỉ khi f x f x ( ) 0 '( ) 0 ≥ ≥ , ∀ ∈ +∞ x [ 5; ) ⇔ [ )
Do m nguyên âm ta có m ∈ − − − − − − − −{ 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 }
Khi phân tích bài toán, việc nắm vững phương pháp tổng quát là rất quan trọng Để hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng [5; +∞), có hai trường hợp cần xem xét Trường hợp 1 là khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc [5; +∞) Trường hợp 2 là khi f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc [5; +∞).
Tuy nhiên chúng ta phát hiện được rằng x lim ( ) →+∞ f x = +∞ nên yêu cầu bài toán chỉ xảy ra trường hợp 1.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x 2 − − 3 2 x − 3 m , Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( − 5;5 ) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) 2;3 ?
Xét hàm số f x ( ) = x 2 − − 3 2 x − 3 m trên ( ) 2;3 có
Ta thấy f x '( ) 0, < ∀ ∈ x ( ) 2;3 nên hàm số f x ( ) nghịch biến trên ( ) 2;3
Suy ra yêu cầu của bài toán ⇔ f x ( ) 0, x ≥ ∀ ∈ ( ) 2;3 ⇔ f (3) 0 ≥
Do m nguyên và thuộc khoảng ( − 5;5 ) ⇒ m ∈ { 2; 3; 4 }
Nhận xét: Để hàm số y = f x ( ) đồng biến trên ( ) 2;3 khi xảy ra hai trường hợp là
Trường hợp 1: f x f x ( ) 0 '( ) 0 ≥ ≥ , ∀ ∈ x ( ) 2;3 và trường hợp 2: f x f x ( ) 0 '( ) 0 ≤ ≤ , ∀ ∈ x ( ) 2;3
Tuy nhiên ta phát hiện thấy f x '( ) 0, < ∀ ∈ x ( ) 2;3 nên chỉ xảy ra trường hợp 1
Khi giải một bài toán, việc nắm vững phương pháp là quan trọng, nhưng cũng cần phân tích để nhận diện các điều kiện giúp bài toán trở nên ngắn gọn và hiệu quả hơn.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = sin 3 x m − sin x + 1 , gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;
Tính số phần tử của S
hàm số y = sin x đồng biến.
Khi đó hàm số y = sin 3 x m − sin x + 1 đồng biến trên khoảng 0;
khi và chỉ khi hàm số y = − t 3 mt + 1 đồng biến trên ( ) 0;1
Xét hàm số f t ( ) = − t 3 mt + 1 trên khoảng ( ) 0;1 có f t '( ) 3 = t 2 − m
Trường hợp 1: Nếu m ≤ 0 thì f t '( ) 0 ≥ ⇒ hàm số y = f t ( ) đồng biến Để hàm số y = f t ( ) đồng biến trên ( ) 0;1 ⇔ f (0) 0 ≥ ⇔ 1 0 ≥ luôn đúng
Trường hợp 2: Nếu m > 0 thì f t '( ) 0 = ⇔
Ta có bảng biến thiên x −∞
− < < Để hàm số y = f t ( ) đồng biến trên ( ) 0;1 ⇔ 1 3
Từ hai trường hợp trên ta có m ≤ 0
Do m là số tự nhiên ⇒ m = 0.
Bài toán này yêu cầu tìm nghiệm thông qua đạo hàm, do đó chúng ta sử dụng bảng biến thiên để phân tích và xác định các điều kiện tương đương Cần lưu ý rằng điều kiện m > 0 là rất quan trọng trong quá trình này.
− < < để không phải xét nhiều trường hợp khoảng ( ) 0;1 nằm trong hay nằm ngoài khoảng ;
Ví dụ 10: Cho hàm số y = ln( mx ) − + x 2 , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 4) ? Biết rằng m < 2020
Xét hàm số f x ( ) ln( = mx ) − + x 2 trên (1; 4)
= − < x ∀ ∈ x ( ) 1; 4 hàm số f x ( ) nghịch biến trên (1; 4) Để hàm số y = f x ( ) nghịch biến trên (1; 4) khi và chỉ khi f (4) 0 ≥
Nhận xét về hàm số lôgarít, điều quan trọng là phải chú ý đến điều kiện xác định Trong bài toán này, chúng ta thấy rằng f'(x) < 0, do đó chỉ tồn tại một trường hợp xảy ra.
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
3 2 y = x + x + + x m đồng biến trên khoảng (0; +∞ ) ? biết rằng m < 5
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( 10;10) − để hàm số y = 2 x 3 − 2 mx + 3 đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) ?
Bài 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 + − m 4 đồng biến trên khoảng (3; +∞ ) là
Bài 4: Gọi S = [ a ; +∞ ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
3 3 2 1 y = x − x + mx m + + đồng biến trên khoảng (2; +∞ ) Khi đó a bằng
Bài 5: Cho hàm số y = x 3 − mx + 1 Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên [ 1; +∞ ) Tính tổng tất cả các phần tử của S
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
Bài 7: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x m 1 x m
Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 2 1
Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x m 2
Bài 11: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
+ đồng biến trên ( 2; + ∞ ) là [ ] a b ; Tính a b +
Bài 12: Có bao nhiêu số nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 0;10 ] để hàm số
Bài 13: Cho hàm số y = x 2 + 2 x + − + 2 x m , trong đó m là tham số thực Gọi
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m trên đoạn [ − 2020;2020 ] để hàm số đồng biến trên khoảng ( − + ∞ 1; ) Số phần tử của tập S là
Bài 14: Cho hàm số y = x 2 + + 3 2 x m + 2 − 5 m , tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 1; + ∞ )
Bài 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ − 5;5 ] để hàm số y = cos 3 x − 3 m 2 cos x nghịc biến trên 0; π 2 ÷ ?
Bài 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
Bài 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m và nhỏ hơn 2020 để hàm số y = 4 x − m 2 x + 1 + + m 2 đồng biến trên khoảng ( ) 0;1 ?
Bài 18: Cho hàm số y = e x + e 2 x − m , giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên ( ) 1; 2 là
Bài 19: Cho hàm số y = ln(3 ) 4 x − x 2 + m , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( − 100;100 ) để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 1; e 2 ?
Bài 20: Cho hàm số y = ln( x 3 + mx + 2) , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ − 3;3 ] để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng [ 1;3 ? )
2.3.2 Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f x m ( ; ) có n điểm cực trị
2.3.2a Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
Để tìm điều kiện của tham số m cho hàm số y = f(x; m) có n điểm cực trị, trước tiên, các em cần xác định các điểm cực trị của hàm số y = f(x) bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 Sau đó, sử dụng các điều kiện cần thiết để xác định giá trị của m sao cho hàm số có n điểm cực trị Việc này yêu cầu phân tích sự phụ thuộc của đạo hàm bậc nhất vào tham số m và tìm các giá trị cụ thể của m thỏa mãn điều kiện đã đề ra.
Khi tiếp nhận câu hỏi, học sinh sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết Điều này kích thích tư duy của học sinh, đặt ra những câu hỏi như: Họ đã gặp dạng toán này chưa? Phương pháp giải hiện tại có hiệu quả không? Nếu không, liệu có phương án giải quyết nào khác?
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán
Khi học sinh đang phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Em hãy nhắc lại điều kiện để hàm số f x ( ; m) có n điểm cực trị?
+ Ở bước này học sinh sẽ nhớ lại được điều kiện tương đương của bài toán hàm số f x ( ; m) có n điểm cực trị ⇔ phương trình f x '( ; m) 0 = có n nghiệm làm
+ Đối với học sinh yếu hơn thì giáo viên có thể gợi mở: Nhắc lại điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
