NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Cơ sở lí luận
2.1.1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số a Định nghĩa
Kí hiệu là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số xác định trên Ta nói
+ Hàm số đồng biến trên nếu với mọi cặp thuộc mà + Hàm số nghịch biến trên nếu với mọi cặp thuộc mà b Định lý
Cho hàm số có đạo hàm trên
+ Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên
+ Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên
( chỉ tại một số hữu hạn điểm trên ). c Đồ thị hàm số đơn điệu
+ Nếu hàm số đồng biến trên thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
+ Nếu hàm số nghịch biến trên thì đồ thị đi xuống từ trái qua phải.
2.1.2 Cực trị của hàm số a Định nghĩa
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm
+ Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại
+ Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại b Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý:
Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên hoặc trên , với
+ Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số
+ Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số
2.1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên tập
+ Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho
+ Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Do đó đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số nằm trên trục hoành
+ Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành. Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT
Tân Kỳ 3: Giáo viên và học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc dạy và học các bài toán vận dụng cao trong chương hàm số, dẫn đến kết quả học tập không đạt yêu cầu Những thách thức này ảnh hưởng đến khả năng tiếp thu kiến thức và áp dụng lý thuyết vào thực tiễn của học sinh.
Tại trường THPT Tân Kỳ 3, hầu hết giáo viên ít khi giảng dạy các bài toán ở mức vận dụng và vận dụng cao, chủ yếu do năng lực học sinh còn hạn chế và khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu giảng dạy Tình trạng này tạo ra tâm lý e ngại khi đối mặt với các bài toán khó, dẫn đến việc giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học gặp nhiều trở ngại.
Học sinh hiện nay gặp khó khăn trong việc tiếp cận các dạng toán vận dụng và vận dụng cao, do thiếu tài liệu hướng dẫn, dẫn đến kết quả học tập và thi chưa đạt yêu cầu Cụ thể, trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019, điểm trung bình môn Toán của lớp 12A1 cho thấy sự hạn chế này.
TN THPT QG năm 2018 - 2019 là 6.5 điểm ( thống kê điểm toán TN THPT 2018
Và nhiều năm trước đó điểm thi THPT QG của các lớp 12A1 trường THPT Tân
Các giải pháp thực hiện
2.3.1 Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
2.3.1a Hàm số đồng biến trên khoảng
Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
Chúng ta đã nắm vững phương pháp giải các bài toán liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số, cũng như cách xác định điều kiện tham số để hàm số đồng biến trong một khoảng nhất định Vậy, liệu có thể tìm ra điều kiện tham số để hàm số đồng biến trong trường hợp này hay không?
Khi tiếp cận câu hỏi, học sinh sẽ nảy sinh nhiều suy nghĩ và định hướng khác nhau Tuy nhiên, một vấn đề quan trọng cần xem xét là liệu phương pháp giải quyết bài toán này có tương tự như những dạng bài đã gặp trước đó hay không, hoặc liệu có những cách tiếp cận khác để giải quyết vấn đề này không?
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán.
Sau khi đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương của bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?
+ Ở bước này học sinh sẽ trình bày được điều kiện tương đương là
Giáo viên sẽ tiếp tục phân tích và nếu có thể tìm được đạo hàm của hàm số, chúng ta sẽ áp dụng các điều kiện tương tự Đồng thời, giáo viên cũng sẽ đặt câu hỏi thứ ba.
Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy được đạo hàm của hàm số
+ Ở bước này học sinh sẽ có 2 định hướng:
Ở bước phân tích, giáo viên cần giúp học sinh nhận thức rõ về vai trò của việc tính đạo hàm Khi xác định được đạo hàm, chúng ta đã chuyển đổi vấn đề sang một dạng quen thuộc hơn.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
= Để hàm số đồng biến trên khoảng
Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán
Bằng cách biến đổi chúng ta đã quy bài toán về bài toán quen
Bài toán còn có các cách giải khác:
Cách 2: Sử dụng đồ thị
← - Phân tích: Nếu đồ hàm số thị cắt trục
Ta suy ra đồ thị hàm số như sau
Vì vậy hàm số không đơn điệu trên khoảng được.
(Nên đồ thị hàm số không thể cắt trục được, ta chỉ có hai trường hợp sau đây)
Trường hợp 1: Điều kiện bài toán trong trường hợp này là
Trường hợp 2: Điều kiện của bài toán trong trường hợp này là
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Khi tìm được các nghiệm, chúng ta có thể lập bảng biến thiên để xác định các điều kiện cần thiết cho bài toán.
2.3.1b Hàm số nghịch biến trên khoảng
Phân tích tương tự bài toán đồng biến ta có:
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
= Để hàm số nghịch biến trên khoảng
Cách 2: Sử dụng đồ thị
Trường hợp 1: Điều kiện bài toán trong trường hợp này là
Trường hợp 2: Điều kiện bài toán trong trường hợp này là
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Trong trường hợp tìm được các nghiệm, chúng ta có thể lập bảng biến thiên Sau đó, dựa vào bảng biến thiên này, ta sẽ xác định các điều kiện cần thiết cho bài toán.
Các trường hợp đơn điệu trên , , , , Ta phân tích tương tự.
Ví dụ 1: Tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là
Cách 1: Sử dụng đồ thị
Nếu đồ thị hàm số cắt trục hoành và có đổi dấu trong khoảng thì đồ thị hàm số không đơn điệu trên
Nên không đổi dấu trên khoảng hàm số đồng biến trên xảy ra hai trường hợp
Hàm số đồng biến và đồ thị nằm phía trên trục hoành trên khoảng
Hàm số nghịch biến và đồ thị nằm phía dưới trục hoành trên khoảng
Cả hai Trường hợp ta được
Vậy tổng các giá trị của thỏa mãn bài toán bằng
Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
= Để hàm số đồng biến trên khoảng
Cả hai trường hợp ta được
Vậy tổng các giá trị của thỏa mãn bài toán bằng
Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số đồng biến trên khoảng kết hợp (*) ta được
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số đồng biến trên khoảng có hai khả năng như sau
Khả năng 1: kết hợp với (**) ta được
Khả năng 2: kết hợp (**) ta được
Cả hai trường hợp ta được
Vậy tổng các giá trị của thỏa mãn bài toán bằng
Mỗi phương pháp giải đều có những ưu điểm riêng, vì vậy các em cần nhận diện các dấu hiệu của hàm số phù hợp để có thể lựa chọn cách giải nhanh chóng và hiệu quả.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng
Nhận thấy nhẩm được nghiệm nên chúng ta sử dụng cách bảng biến thiên
Trường hợp 1: Nếu thì hàm số đồng biến trên
Trường hợp 2: Nếu thì
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số đồng biến trên khoảng
Từ hai trường hợp ta được
Nhận xét: Nếu nhẩm được nghiệm các em nên chọn cách lập bảng biến thiên, đây là cách phân tích dễ hiểu nhất.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
Nhận thấy không nhẩm được nghiệm nên ta không dùng cách 3 để giải bài toán này, mà dung cách 1
Ta có nên hàm số nghịch biến trên khoảng
Khi giải bài toán theo cách 1 hoặc 2, học sinh cần chú ý đến nhánh đồ thị nằm dưới trục hoành để tránh phải xem xét hai trường hợp khác nhau.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số nhỏ hơn để hàm số nghịch biến trên khoảng
Cách 1: Sử dụng đồ thị
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng
Vì nguyên và nhỏ hơn nên
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biên thiên suy ra Để hàm số nghịch biến trên khoảng
Vì nguyên và nhỏ hơn nên
Bài toán này có thể giải quyết bằng ba phương pháp khác nhau Tuy nhiên, các em cần chú ý đến các dấu hiệu để giảm thiểu những lập luận không cần thiết.
Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng , biết rằng ?
Lời giải: Đặt xác định trên
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số đồng biến trên khoảng
Nhận xét: Bài này các em nhận thấy nhẩm được nghiệm nên ta chọn cách
Ví dụ 6: Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số trong đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng
Hàm số đồng biến trên khi xảy ra hai trường hợp sau
Vậy , vì nguyên và thuộc đoạn
Nhận xét: Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thì đạo hàm luôn khác không và chú ý tập xác định phải chứa khoảng
Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số đồng biến trên
Ta nhận thấy Để hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Do nguyên âm ta có
Khi phân tích bài toán, việc nắm vững phương pháp tổng quát là rất quan trọng Để xác định hàm số đồng biến, chúng ta cần xem xét hai trường hợp cụ thể: trường hợp 1 và trường hợp 2.
Tuy nhiên chúng ta phát hiện được rằng nên yêu cầu bài toán chỉ xảy ra trường hợp 1.
Ví dụ 8: Cho hàm số , Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Xét hàm số trên có
Ta thấy nên hàm số nghịch biến trên
Suy ra yêu cầu của bài toán
Do nguyên và thuộc khoảng
Nhận xét: Để hàm số đồng biến trên khi xảy ra hai trường hợp là
Trường hợp 1: và trường hợp 2:
Tuy nhiên ta phát hiện thấy nên chỉ xảy ra trường hợp 1
Để giải quyết một bài toán hiệu quả, ngoài việc nắm vững phương pháp, chúng ta cần phân tích kỹ lưỡng để nhận diện các điều kiện giúp rút gọn bài toán.
Cho hàm số đã cho, hãy xác định tập hợp tất cả các số tự nhiên mà hàm số này đồng biến trên khoảng cụ thể Từ đó, tính số phần tử trong tập hợp này.
Trên khoảng hàm số đồng biến.
Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi hàm số đồng biến trên
Xét hàm số trên khoảng có
Trường hợp 1: Nếu thì hàm số đồng biến Để hàm số đồng biến trên luôn đúng
Trường hợp 2: Nếu thì
Ta có bảng biến thiên
Ta nhận thấy Để hàm số đồng biến trên
Từ hai trường hợp trên ta có
Do là số tự nhiên
Bài toán này sử dụng đạo hàm để tìm nghiệm, vì vậy cần áp dụng bảng biến thiên nhằm phân tích và đưa ra các điều kiện tương đương Quan trọng là chú ý đến các điều kiện để giảm thiểu việc xét nhiều trường hợp liên quan đến khoảng nằm trong hoặc nằm ngoài.
Ví dụ 10: Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ? Biết rằng
Ta có hàm số nghịch biến trên Để hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Đối với hàm số lôgarít, điều kiện xác định là yếu tố quan trọng cần chú ý Trong bài toán này, chúng ta nhận thấy rằng chỉ có một trường hợp xảy ra.
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ? biết rằng
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để hàm số đồng biến trên khoảng ?
Bài 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là
Bài 4: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng Khi đó bằng
Bài 5: Cho hàm số Gọi là tập tất cả các số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên Tính tổng tất cả các phần tử của
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 7: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên
Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên
Bài 11: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số sao cho hàm số đồng biến trên là Tính
Bài 12: Có bao nhiêu số nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 13: Cho hàm số , trong đó là tham số thực Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của trên đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng Số phần tử của tập là
Bài 14: Cho hàm số , tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Bài 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số nghịc biến trên
Bài 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên đoạn
Bài 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số và nhỏ hơn để hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 18: Cho hàm số , giá trị lớn nhất của tham số để hàm số đã cho đồng biến trên là
Bài 19: Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn
Bài 20: Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng
2.3.2 Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị
2.3.2a Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
