TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI I – Kiến thức cần nhớ Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có dạng ( Với là hệ số góc tiếp tuyến ) Điều kiện cần và đủ để hai đường và tiếp xúc nhau hệ có nghiệm (nhớ hàm hàm, đạo đạo) II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp Viết PTTT của biết có hệ số góc k cho trước Gọi là tiếp điểm Tính Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k Giải tìm được Lưu ý hệ số góc củ.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 40 TIẾP TUYẾN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI I – Kiến thức cần nhớ C : y = f ( x) M x ;y Phương trình tiếp tuyến ( ) điểm ( o o ) có dạng: ∆ : y = k ( x − xo ) + yo Với k = y ' ( xo ) hệ số góc tiếp tuyến C : y = f ( x) C : y = g ( x) Điều kiện cần đủ để hai đường ( ) ( ) tiếp xúc ⇔ hệ f ( x ) = g ( x ) f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm (nhớ: "hàm = hàm, đạo = đạo") II – Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến thường gặp C : y = f ( x) , Viết PTTT ∆ ( ) biết ∆ có hệ số góc k cho trước M x ;y y ' ⇒ y ' ( xo ) Gọi ( o o ) tiếp điểm Tính ⇒ y ' ( xo ) = k ( i) Do phương trình tiếp tuyến ∆ có hệ số góc k i x → yo = f ( xo ) → ∆ : y = k ( x − xo ) + yo Giải ( ) tìm o Lưu ý Hệ số góc k = y '( xo ) tiếp tuyến ∆ thường cho gián tiếp sau: Phương trình tiếp tuyến ∆ // d : y = ax + b ⇒ k = a ∆ ⊥ d : y = ax + b ⇒ k = − a Phương trình tiếp tuyến α ⇒ k = tan α Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hồnh góc k −a α⇒ = tan α + k a Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với d : y = ax + b góc C : y = f ( x) , A x ;y Viết PTTT ∆ ( ) biết ∆ qua (kẻ từ) điểm ( A A ) M x ;y y = f ( xo ) k = y ' ( xo ) Gọi ( o o ) tiếp điểm Tính o theo xo M x ;y ∆ : y = k ( x − xo ) + yo Phương trình tiếp tuyến ∆ ( o o ) A x ; y ∈ ∆ ⇒ y A = k ( x A − xo ) + yo ( i) Do ( A A ) i → xo → yo → phương trình ∆ Giải phương trình ( ) k C : y = f ( x) , Viết PTTT ∆ ( ) biết ∆ cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước Gọi M ( xo ; yo ) tiếp điểm tính hệ số góc k = y '( xo ) theo xo o ∆OAB vuông cân ⇔ ∆ tạo với Ox góc 45 O ∉ ∆ S = S ⇔ OA.OB = S Đề cho ∆OAB ( i) ( i) ( ii ) → xo → yo ; k → ( ii ) phương trình tiếp tuyến ∆ Tìm điểm đường thẳng d : ax + by + c = mà từ vẽ 1, 2,3, , n tiếp tuyến với đồ C : y = f ( x) thị hàm số ( ) M x ; y ∈ d : ax + by + c = Gọi ( M M ) (sao cho có biến xM M) Giải Trang ∆ : y = k ( x − xM ) + y M PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng f ( x ) = k ( x − xM ) + y M ( i) f '( x) = k ( ii ) Áp dụng điều kiện tiếp xúc: ii i , f x = f ' ( x ) ( x − xM ) + yM ( iii ) Thế k từ ( ) vào ( ) được: ( ) C iii Số tiếp tuyến ( ) vẽ từ M = số nghiệm x ( ) M ( xM ; y M ) C : y = f ( x) Tìm điểm mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) hai tiếp tuyến vng góc ∆ : y = k ( x − xM ) + y M PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng f ( x ) = k ( x − xM ) + y M ( i) f '( x) = k ( ii ) Áp dụng điều kiện tiếp xúc: Thế k từ ( ii ) vào ( i ) , được: f ( x ) = f ' ( x ) ( x − xM ) + yM ( iii ) ( C ) ⇔ ( iii ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ y ' ( x1 ) y ' ( x2 ) = −1 Hai tiếp tuyến vng góc Lưu ý Qua M vẽ hai tiếp tuyến với ( C) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh ( iii ) : có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 f ( x1 ) f ( x2 ) < M ∈( C ) : y = f ( x) Đối với tốn tìm điểm cho tiếp tuyến song song vng góc với M ( xo ; yo ) k = f ' ( xo ) đường thẳng d cho trước, ta cần gọi ∆ tiếp tuyến với Rồi áp dụng k = f ' ( xo ) = k d f ' x k = −1 ⇒ xo ⇒ yo ⇒ M ( xo ; yo ) cho song song ( o ) d cho vng góc Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 + x − điểm có hoành độ x0 = A y = x + Câu Câu B y = −9 x − Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A y = −2 x + B y = −2 x − −x + x − điểm có hoành độ x = C y = x − D y = x + ( C ) điểm có tung độ B k = −2 là: C k = (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số hàm số điểm y = x− 2 A Trang y= D y = x − C (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = x + 3x có đồ thị ( ) Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị A k = Câu C y = −9 x + M ( 1;0 ) y= D k = x −1 x + Phương trình tiếp tuyến đồ thị B y= 1 x− 2 C y= 1 x+ 2 D y= 1 x− TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chun Lê Thánh Tơng -2019) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − mx + ( 2m − 3) x − A m ≠ Câu ( d ) : y = 2x −1 B ( d ) : y = −x +1 C ( d ) : y = x −1 ( C) : y = D 1− x x + điểm có ( d ) : y = −2 x + ( C) (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số y = x + cos x có đồ thị Hoành độ điểm hoành A Câu D m ∈ ∅ (THCS - THPT Nguyễn Khuyến Năm 2019) Tiếp tuyến đồ thị tung độ song song với đường thẳng A Câu có hệ số góc dương B m > C m ≠ x= ( C) mà tiếp tuyến ( C) song song trùng với trục π π + kπ ( k ∈ ¢ ) x = + kπ ( k ∈ ¢ ) x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) x = k 2π ( k ∈ ¢ ) B C D y = x − x + 3x − (Chuyên Hưng Yên 2019) Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số A Có hệ số góc −1 B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Song song với đường thẳng x = Câu y = − x4 + x2 + (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm cực tiểu đồ thị cắt đồ thị A, B khác tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng AB A C 2 B D Câu 10 Tìm tất giá trị tham số m cho tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= mx − x − m + tiếp xúc với parabol y = x + A m = B m = C m = D m ∈ ¡ −x + x − có đồ thị (C) điểm A(a;1) Gọi S tập Câu 11 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số hợp tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến (C) qua A Tổng tất giá trị phần tử S y= A Câu 12 B (Mã 102 2018) Cho hàm số ( C) cho tiếp tuyến C y= ( C) D x − x ( C ) Có điểm A thuộc đồ thị có đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ( M , A cắt N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) A B C D Trang Câu 13 (Mã 101 2018) Cho hàm số y= x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y ) ; N ( x2 ; y2 ) khác A thỏa cho tiếp tuyến mãn y1 − y2 = 6( x1 − x2 ) A Câu 14 B (Mã 103 -2018) Cho hàm số cho tiếp tuyến ( C) C y= 14 x − x ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) 3 có đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N A cắt y − y = ( x1 − x2 ) khác A ) thỏa mãn ? A B Câu 15 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số C y= mãn tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Khi giá trị a − 3b A −2 Câu 16 D D x+b ax − , ( ab ≠ −2 ) Biết a , b giá trị thỏa A ( 1; −2 ) song song với đường thẳng d : 3x + y − = D C −1 B y= x −1 x + , gọi d tiếp tuyến đồ thị (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hàm số hàm số điểm có hồnh độ m − Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số B ( x2 ; y2 ) cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm Gọi S tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần tử S A 10 B C D điểm Câu 17 A ( x1 ; y1 ) (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y= x+2 ( 1) 2x + Đường thẳng d : y = ax + b ( 1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B tiếp tuyến đồ thị hàm số cho ∆OAB cân O Khi a + b A −1 Câu 18 (Cụm y = f ( x) = B Liên Trường D −3 C Hải Phòng 2019) hàm số ax + b , ( a, b, c, d Ỵ ¡ ; c ¹ 0, d ¹ 0) ( C ) Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) cx + d có đồ thị ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ ( C ) giao điểm ( C ) với trục hồnh tuyến hình vẽ Biết Trang Cho - Viết phương trình tiếp TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x - y + = Câu 19 B x + y - = C x + y + = D x - y - = ( C ) hàm số (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi M , N hai điểm di động đồ thị y =- x + x - x + cho tiếp tuyến ( C ) M N song song với Hỏi M , N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm điểm đây? A Điểm N ( - 1; - 5) Câu 20 Cho hàm số ( C) y= M ( 1; - 5) C Điểm Q ( 1;5) D Điểm P ( - 1;5) x+2 x + đồ thị ( C ) Gọi d khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị đến tiếp tuyến A 3 Câu 21 B Điểm B ( C ) Giá trị lớn C d đạt D 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số x − 2mx + m x+m cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp tuyến đồ thị hai điểm vng góc với A B C D y= x − 3x Câu 22 Cho hàm số có đồ thị (C ) Có điểm A thuộc (C ) cho tiếp tyến (C ) A cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = 5( x1 − x2 ) y= A B C D 2x − x + qua giao điểm hai đường tiệm cận? Câu 23 Có tiếp tuyến đồ thị A B Khơng có C Vơ số D y= Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y= x+2 ( 1) 2x + Đường thẳng d : y = ax + b ( 1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B tiếp tuyến đồ thị hàm số cho ∆OAB cân O Khi a + b A −1 B C D −3 Trang Câu 25 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số A ( a; y A ) B ( b; yB ) phân biệt đồ thị ( C) y= 3 x − x + ( C) 2 Xét hai điểm mà tiếp tuyến A B song song Biết D 5;3 ) đường thẳng AB qua ( Phương trình AB A x − y − = B x + y − = C x − y + = Câu 26 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phịng 2019) Cho hàm số y= D x − y + = x+3 x − có đồ thị ( C ) , điểm M C thay đổi thuộc đường thẳng d : y = − x cho qua M có hai tiếp tuyến ( ) với hai tiếp điểm tương ứng A, B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Tính độ dài đường thẳng OH A Câu 27 34 10 B (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số C 29 58 D f ( x ) = x3 + x + mx + Gọi S tổng tất giá trị y = f ( x) A ( 0;1) tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) B , C vng góc với Giá trị S 9 11 A B C D Câu 28 ( ) ( ) (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số y = f x , y = g x , y= f ( x) + g ( x ) + Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x = khác Khẳng định đúng? ( 1) ≤ − 11 ( 1) ≥ − 11 f f ( ) ( ) 4 A f > −3 B f < −3 C D Câu 29 Trang y = f ( x) y = f ( x) (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số , biết điểm A, B, C đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A f ′ ( xC ) < f ′ ( x A ) < f ′ ( xB ) B f ′ ( xA ) < f ′ ( xB ) < f ′ ( xC ) C f ′ ( xA ) < f ′ ( xC ) < f ′ ( xB ) D f ′ ( xB ) < f ′ ( xA ) < f ′ ( xC ) Câu 30 Cho hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y = x − ( m + 3) x + 3 kẻ hai tiếp tuyến đến ( C) ( C ) Tìm tất giá trị m thỏa mãn qua A ( −1; −1) C C ∆1 : y = −1 ∆ tiếp xúc với ( ) N cắt ( ) điểm P ( P ≠ N ) có hồnh độ x = A Khơng tồn m B m = C m = ; m = −2 D m = −2 ( C ) điểm A ( 1; m ) Gọi S tập hợp tất giá trị Câu 31 Cho hàm số y = x + 3x + có đồ thị ( C ) Số phần tử nguyên tham số m để qua A kể ba tiếp tuyến tới đồ thị S A Chuyên đề 40 B C D TIẾP TUYẾN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI I – Kiến thức cần nhớ ( C ) : y = f ( x ) điểm M ( xo ; yo ) có dạng: Phương trình tiếp tuyến ∆ : y = k ( x − xo ) + yo Với k = y ' ( xo ) Điều kiện cần đủ để hai đường hệ số góc tiếp tuyến ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) f ( x ) = g ( x ) f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm (nhớ: "hàm = hàm, đạo = đạo") II – Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến thường gặp C : y = f ( x) , Viết PTTT ∆ ( ) biết ∆ có hệ số góc k cho trước M ( xo ; yo ) y ' ⇒ y ' ( xo ) Gọi tiếp điểm Tính ⇒ y ' ( xo ) = k ( i) Do phương trình tiếp tuyến ∆ có hệ số góc k → yo = f ( xo ) → ∆ : y = k ( x − xo ) + yo ( i ) tìm xo Giải Lưu ý Hệ số góc k = y '( xo ) tiếp tuyến ∆ thường cho gián tiếp sau: tiếp xúc ⇔ hệ Phương trình tiếp tuyến ∆ // d : y = ax + b ⇒ k = a Phương trình tiếp tuyến ∆ ⊥ d : y = ax + b ⇒ k = − a α ⇒ k = tan α Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hồnh góc Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với d : y = ax + b góc α⇒ k −a = tan α + k a C : y = f ( x) , A x ;y Viết PTTT ∆ ( ) biết ∆ qua (kẻ từ) điểm ( A A ) M ( xo ; yo ) y = f ( xo ) k = y ' ( xo ) Gọi tiếp điểm Tính o theo xo Trang M ( xo ; yo ) ∆ : y = k ( x − xo ) + yo Phương trình tiếp tuyến ∆ Do A ( xA ; y A ) ∈ ∆ ⇒ y A = k ( x A − xo ) + yo ( i) → xo → yo ( i ) → phương trình ∆ k C : y = f ( x) , Viết PTTT ∆ ( ) biết ∆ cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB Giải phương trình vng cân có diện tích S cho trước M ( xo ; yo ) tiếp điểm tính hệ số góc k = y '( xo ) theo xo Gọi ( i) ( ii ) o ∆OAB vuông cân ⇔ ∆ tạo với Ox góc 45 O ∉ ∆ S = S ⇔ OA.OB = S Đề cho ∆OAB ( i) → xo → yo ; k → ( ii ) phương trình tiếp tuyến ∆ Tìm điểm đường thẳng d : ax + by + c = mà từ vẽ 1, 2,3, , n tiếp tuyến với đồ C : y = f ( x) thị hàm số ( ) M ( xM ; yM ) ∈ d : ax + by + c = Gọi (sao cho có biến xM M) Giải ∆ : y = k ( x − xM ) + y M PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng f ( x ) = k ( x − xM ) + y M ( i) ( ii ) f '( x) = k Áp dụng điều kiện tiếp xúc: ( ii ) vào ( i ) , được: f ( x ) = f ' ( x ) ( x − xM ) + yM ( iii ) Thế k từ ( C ) vẽ từ M = số nghiệm x ( iii ) Số tiếp tuyến M ( xM ; y M ) C : y = f ( x) Tìm điểm mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) hai tiếp tuyến vng góc ∆ : y = k ( x − xM ) + y M PTTT ∆ qua M có hệ số góc k có dạng f ( x ) = k ( x − xM ) + y M ( i) ( ii ) f '( x) = k Áp dụng điều kiện tiếp xúc: ( ii ) vào ( i ) , được: f ( x ) = f ' ( x ) ( x − xM ) + yM ( iii ) Thế k từ ( C ) ⇔ ( iii ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Qua M vẽ hai tiếp tuyến với Hai tiếp tuyến vng góc ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ y ' ( x1 ) y ' ( x2 ) = −1 Lưu ý Qua M vẽ hai tiếp tuyến với ( C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh ( iii ) : có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 f ( x1 ) f ( x2 ) < Đối với tốn tìm điểm M ∈( C ) : y = f ( x) cho tiếp tuyến song song vng góc với M ( xo ; yo ) k = f ' ( xo ) đường thẳng d cho trước, ta cần gọi ∆ tiếp tuyến với Rồi áp dụng k = f ' ( xo ) = k d f ' x k = −1 ⇒ xo ⇒ yo ⇒ M ( xo ; yo ) cho song song ( o ) d cho vng góc Câu Trang (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 + x − điểm có hoành độ x0 = A y = x + B y = −9 x − C y = −9 x + Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D y = x − 2 Xét hàm y = f ( x) = x + x − ⇒ f '( x) = x + x ⇒ f '(1) = Ta có x0 = ⇒ y0 = ⇒ M ( 1; ) Phương trình tiếp tuyến điểm M ( 1; ) có dạng: y − y0 = f '( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − = ( x − 1) ⇔ y = x − Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A y = −2 x + B y = −2 x − y= −x + x − điểm có hồnh độ x = C y = x − D y = x + Lời giải −2 ( x − 1) Tập xác định Ta có −x + y= M ( x0 ; y0 ) x −1 Gọi thuộc đồ thị hàm số M ( 0; − 3) x =0 y = −3 Ta có nên y′ = −2 Mà ( ) M ( 0; − 3) Vậy phương trình tiếp tuyến điểm y = −2 x − y′ = D = ¡ \ { 1} Câu 3 C (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = x + 3x có đồ thị ( ) Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị A k = ( C ) điểm có tung độ B k = −2 là: C k = Lời giải D k = Chọn C Ta có hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình x3 + x = ⇔ x = Ta có y ' = 3x + Hệ số góc tiếp tuyến Câu k = y ' ( 1) = (GKI THPT Việt Đức Hà Nội -2019) Cho hàm số hàm số điểm y = x− 2 A M ( 1;0 ) y= x −1 x + Phương trình tiếp tuyến đồ thị B y= 1 x− 2 C y= 1 x+ 2 D y= 1 x− Lời giải Chọn B y′ = Ta có ( x + 1) ⇒ y′ ( 1) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( 1;0 ) Trang y= Câu 1 ( x − 1) + ⇔ y = x − 2 (Chun Lê Thánh Tơng -2019) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − mx + ( 2m − 3) x − có hệ số góc dương m B > C m ≠ Lời giải A m ≠ D m ∈ ∅ y = x − mx + ( 2m − 3) x − Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y ′ = 3x − 2mx + 2m − Vì hệ số góc dương với x nên ta có a = > y ′ = 3x − 2mx + 2m − > ⇔ ⇔ m − 6m + < ⇔ ( m − 3) < ⇒ m ∈ ∅ ∆′ < Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến Năm 2019) Tiếp tuyến đồ thị tung độ song song với đường thẳng A ( d ) : y = 2x −1 y′ = B ( d ) : y = −x +1 ( d ) : y = x −1 C Lời giải ( C) : y = D 1− x x + điểm có ( d ) : y = −2 x + −2 ( x + 1) − x0 = ⇔ x0 = A ( x0 ;1) ∈ ( C ) Gọi x0 + y = y′ ( ) ( x − ) + y ( ) = −2 x + điểm A có phương trình: d : y = −2 x + Suy tiếp tuyến song song với ( ) Tiếp tuyến Câu ( C) ( C) (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số y = x + cos x có đồ thị Hồnh độ điểm hoành A x= ( C) mà tiếp tuyến ( C) song song trùng với trục π π + kπ ( k ∈ ¢ ) x = + kπ ( k ∈ ¢ ) x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) x = k 2π ( k ∈ ¢ ) B C D Lời giải Ta có y′ = − 4sin x ( C ) mà tiếp tuyến ( C ) song song trùng với Khi đó, hồnh độ điểm trục hồnh nghiệm phương trình: y′ = ⇔ − 4sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = Câu π π + k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) y = x − x + 3x − (Chuyên Hưng Yên 2019) Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số A Có hệ số góc −1 B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Song song với đường thẳng x = Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 y = x4 − x2 ( C ) Có điểm A thuộc đồ thị (Mã 102 2018) Cho hàm số có đồ thị ( C) cho tiếp tuyến ( C) ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ( M , A cắt N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) A B C Lời giải D Chọn D x − x2 y − y2 = Phương trình đường thẳng MN có dạng x1 − x2 y1 − y2 ⇒ hệ số góc đường thẳng MN k= y1 − y2 =3 x1 − x2 1 A x0 ; x04 − x02 ÷ ⇔ x03 − x0 = ′ ⇔ f x = ( ) có hệ số góc k = 2 Vậy tiếp tuyến x0 = −1 ⇔ x0 = 3 ⇔ x0 − x0 − = x0 = −2 2 13 11 ⇒ A −1; − ÷ y = 3x + ⇒ Phương trình tiếp tuyến +) Với x0 = −1 11 11 x − x = 3x + ⇔ x − x − 3x − = 8 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = −1 ⇔ x = 1+ 13 A −1; − ÷ x = 1− thỏa mãn đề ⇒ 171 195 ⇒ A 3; − y = 3x − ÷ x = ⇒ Phương trình tiếp tuyến +) Với 195 195 ⇔ x − x2 − 3x + =0 x − x = 3x − 8 Xét phương trình hồnh độ giao điểm 171 A 3; − ÷ + x + 13) = ⇔ x = ⇒ Tiếp tuyến cắt đồ thị điểm ⇒ Không thỏa mãn ⇒ A ( −2; −5 ) ⇒ +) Với x0 = −2 Phương trình tiếp tuyến: y = x + 7 x − x = x + ⇔ x − x − 3x − = Xét phương trình hồnh độ giao điểm ⇔ ( x − 3) (x x = −2 ⇔ x = + x = − ⇔ ( x + 2) x2 − x − = ⇒ A ( −2; −5 ) Thỏa mãn đề Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán ( ) Trang 13 Câu 13 (Mã 101 2018) Cho hàm số y= x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y ) ; N ( x2 ; y2 ) khác A thỏa cho tiếp tuyến mãn y1 − y2 = 6( x1 − x2 ) A B C Lời giải D Chọn D A ∈ ( C ) ⇒ A t; t − t ÷ Ta có y ′ = x3 − x ⇒ y ′ ( t ) = t − 7t ( C ) A Phương trình tiếp tuyến 7 y = ( t − 7t ) ( x − t ) + t − t ⇔ y = ( t − 7t ) x − t + t 4 Phương trình hồnh độ giao điểm: 7 x − x = ( t − 7t ) x − t + t 4 4 ⇔ x − 14 x − ( t − 7t ) x + 3t − 14t = ⇔ ( x − t) (x + 2tx + 3t − 14 ) = x = t ⇔ 2 x + 2tx + 3t − 14 = ( 1) ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y ) ; N ( x2 ; y2 ) khác A phương trình Tiếp tuyến cắt đồ thị ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác t − < t < t − ( 3t − 14 ) > ⇔ ⇔ 21 2 t ≠ ± t + 2t + 3t − 14 ≠ ( 2) Khi dó y = t − t x − t + t ( ) 1 x1 + x2 = −2t y = ( t − 7t ) x − t + t 2 ⇒ y1 − y2 = ( t − 7t ) ( x1 − x2 ) x1 x2 = 3t − 14 ⇔ ( t − 7t ) ( x1 − x2 ) = ( x1 − x2 ) y − y = 6( x − x ) 2 Ta có ⇔ t − 7t − = ⇔ ( t + 1) ( t − t − ) = 13 A −1; − ÷ 4 Với t = −1 ta có A ( −2; −10 ) Với t = −2 ta có ⇒ có hai điểm thỏa u cầu tốn Trang 14 t + = ⇔2 ⇔ t − t − = t = −1 ( n ) t = −2 ( n ) t = l ( ) (do ( 2) ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 14 y = x4 − x2 ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) 3 (Mã 103 -2018) Cho hàm số có đồ thị cho tiếp tuyến ( C) ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N A cắt y − y = ( x1 − x2 ) khác A ) thỏa mãn ? A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: ( C ) A Gọi d tiếp tuyến x = − ⇔ x = 28 x = y′ = x − x ⇒ y ′ = 3 ( ) ( C ) M , N ⇒ xA ∈ − 7; Do tiếp tuyến A cắt xA = 28 x A − x A = ⇔ x A = −1 y1 − y2 3 y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ⇒ = ⇒ k d = x A = −2 x − x Ta có: Suy x A = −1 x = −2 Đối chiếu điều kiện: A Vậy có điểm A thỏa ycbt Cách 2: 14 A a; a − a ÷ tọa độ tiếp điểm Gọi 28 14 4 d : y = a − a ÷( x − a ) + a − a 3 3 Phương trình tiếp tuyến A ( C ) d là: Phương trình hoành độ giao điểm 28 28 14 x − x = a − a ÷( x − a ) + a − a 3 3 3 ⇔ ( x − a) (x x = a + 2ax + 3a − 14 ) = ⇔ 2 x + 2ax + 3a − 14 = ( 1) ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác a cắt d điểm phân biệt ⇔ Phương trình ∆ > ⇔ ⇔ a ∈ − 7; \ ± 6a − 14 ≠ 28 4 y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ⇔ a3 − a ÷( x1 − x2 ) = ( x1 − x2 ) 3 Theo đề bài: Để ( C) ( ) a = 28 ⇔ a − a = ⇔ a = −1 3 a = −2 Trang 15 a = −1 Đối chiếu điều kiện: a = −2 Vậy có điểm A thỏa đề Câu 15 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y= mãn tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Khi giá trị a − 3b A −2 B y′ = Có Do x+b ax − , ( ab ≠ −2 ) Biết a , b giá trị thỏa A ( 1; −2 ) song song với đường thẳng d : 3x + y − = D C −1 Lời giải − ab − ( ax − ) A ( 1; −2 ) 1+ b = −2 ⇔ b = − 2a thuộc đồ thị hàm số nên a − Do tiếp tuyến A ( 1; −2 ) y′ ( 1) = −3 song song với d : 3x + y − = nên Thay b = − 2a ta phương trình Với a = ⇒ b = −1 (loại, ab ≠ −2 ) − a ( − a ) − = −3 ( a − ) ⇔ −ab − ( a − 2) = −3 a = ⇔ ⇔ 5a − 15a + 10 = a = A ( −1; ) y = −3 ( x + 1) + Với a = ⇒ b = Phương trình tiếp tuyến song song với d Vậy a = , b = , suy a − 3b = −2 Câu 16 y= x −1 x + , gọi d tiếp tuyến đồ thị (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hàm số hàm số điểm có hồnh độ m − Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số B ( x2 ; y2 ) cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm Gọi S tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần tử S A 10 B C D Lời giải điểm A ( x1 ; y1 ) Điều kiện m ≠ x + = Phương trình tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số là: y − = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m − là: (d ) : y= x m − 6m + + m2 m2 Đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm m−6 A −2; ÷ m cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B ( 2m − 2;1) theo giả thiết ta có Trang 16 2m − + m−6 = −5 ⇒ m = 1; m = −3 m TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy tổng bình phương phần tử Câu 17 S 10 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y= x+2 ( 1) 2x + Đường thẳng d : y = ax + b ( 1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B tiếp tuyến đồ thị hàm số cho ∆OAB cân O Khi a + b A −1 D −3 B C Lời giải 3 x+2 D = ¡ \ − y= 2 x + Tập xác định hàm số y′ = Ta có: −1 ( x + 3) < 0, ∀x ∈ D Mặt khác, ∆OAB cân O ⇒ hệ số góc tiếp tuyến −1 (x ;y ) Gọi tọa độ tiếp điểm 0 , với y′ = Ta có: −1 ( x0 + 3) x0 ≠ − = −1 ⇔ x0 = −2 ∨ x0 = −1 Với x0 = −1 ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = − x loại A ≡ B ≡ O Với x0 = −2 ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = − x − thỏa mãn Vậy d : y = ax + b hay d : y = − x − ⇒ a = −1; b = −2 ⇒ a + b = −3 Câu 18 (Cụm y = f ( x) = Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số ax + b , ( a, b, c, d ẻ Ă ; c 0, d ¹ 0) ( C ) Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) cx + d có đồ thị ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ ( C ) giao điểm ( C ) với trục hồnh tuyến hình vẽ Biết A x - y + = B x + y - = C x + y + = Lời giải - Viết phương trình tiếp D x - y - = Trang 17 ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ - nên với x = có f ( 0) =- b =- Þ b =- 2d d (1) ad - bc d y = f ¢( x) = x =cx + d ) ( c Từ đồ thị hàm số Có khơng xác nh ti im nht ị y = f Â( x ) ta thấy hàm số y = f ¢( x ) khơng xác định điểm x =- Vậy d =- Þ c = d c (2) - ac + 2c a + 2c ïìï c = d ax - 2c ¢ f ( x) = = Þ f ( x) = 2 í ï c ( x +1) ( cx + c ) cx + c Từ (1) (2) suy ïỵ b =- 2d =- 2c y = f ¢( x ) x = Þ f ¢( 0) = Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung điểm y = nên Þ a + 2c = Þ a = c ị f Â( x ) = c ( x +1) f ( x) = x- x +1 x- y = f ( x) = C) ( x +1 với trục hoành ứng với y = Þ x = Giao điểm đồ thị hàm số f ¢( 2) = Câu 19 1 y = ( x - 2) + Û x - y - = nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( C ) hàm số (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi M , N hai điểm di động đồ thị y =- x + x - x + cho tiếp tuyến ( C ) M N song song với Hỏi M , N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm điểm đây? Q ( 1;5) P ( - 1;5) C Điểm D Điểm Lời giải ỉ 1ư 11 ¢+ x + y =ỗ x- ữ y ữ ỗ ỗ Â ố3 ứ 3ữ 3 Suy phương trình đường thẳng qua Ta có y =- x + x - ; A Điểm N ( - 1; - 5) B Điểm M ( 1; - 5) 11 D: y = x+ 3 hai điểm cực đại cực tiểu ( C ) hàm số y =- x3 + x - x + cho tiếp Do M , N hai điểm di động đồ thị ( C ) M N song song với nhau, nên ta xét trường hợp M , N hai điểm cực trị đồ thị, phương trình MN phương trình đường thẳng D tuyến Thử trực tiếp ta điểm Câu 20 Cho hàm số ( C) Chọn C , điểm cịn lại khơng thuộc D x+2 x + đồ thị ( C ) Gọi d khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị đến tiếp tuyến A 3 Trang 18 y= Q ( 1;5) Ỵ D B ( C ) Giá trị lớn d đạt C Lời giải D 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 I −1;1) Tiệm cận đứng d1 : x + = , tiệm cận ngang d : y − = ⇒ tâm đối xứng ( −1 a+2 a+2 y= x − a) + ( M a; ∈ C ( ) ÷ a +1 ( a + 1) a +1 Phương trình tiếp tuyến điểm là: −1 d ( I,d ) = ( a + 1) ( −1 − a ) + ( a + 1) Khi Câu 21 +1 a+2 a +1 = a +1 ( a + 1) = +1 ( a + 1) + ≤ ( a + 1) (d) = 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số x − 2mx + m x+m cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp tuyến đồ thị hai điểm vng góc với A B C D Lời giải y= x − 2mx + m 3m + m ⇒ y′ = − 3m + m2 y= = x − 3m + ( x + m) x+m x+m Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục Ox x − 2mx + m = ⇔ f ( x ) = x − 2mx + m = ( *) x+m ( x ≠ −m ) Để đồ thị hàm số cho cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp tuyến hai điểm vng góc với phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác − m y ′ ( x1 ) y ′ ( x2 ) = −1 m > m < m ≠ ∆′ = m − m > ⇔ ⇔ f ( − m ) = 3m + m ≠ m ≠ − 3m + m 3m + m m = ÷1 − ÷ = −1 2 y ′ ( x1 ) y′ ( x2 ) = − ÷ ÷ m = ( x1 + m ) ( x2 + m ) ⇔m=5 Câu 22 Cho hàm số y= x − 3x có đồ thị (C ) Có điểm A thuộc (C ) cho tiếp tyến (C ) A cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = 5( x1 − x2 ) A B C Lờigiải D Chọn B y ' = x3 − x Trang 19 A( x0 ; x04 − x02 ) Gọi tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến A Phương tuyến A đường thẳng (d) có phương trình: y = ( x03 − x0 )( x − x0 ) + x04 − x02 Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) là: 1 ( x03 − x0 )( x − x0 ) + x04 − x02 = x − x ⇔ ( x − x ) ( x + x x + x − 12) = 0 0 4 trình tiếp x − x0 = ⇔ x + x0 x + 3x0 − 12 = (2) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt khác A chi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 x0 ≠ ± ⇔ − < x0 < (3) Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (d) cắt (C) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) đó: x0 − 3x02 y2 = ( x03 − x0 )( x2 − x0 ) + x04 − x02 4 ⇒ y1 − y2 = ( x0 − x0 )( x1 − x2 ) y1 = ( x03 − x0 )( x1 − x0 ) + Từ giả thiết ta suy ra: ( x03 − x0 )( x1 − x2 ) = 5( x1 − x2 ) ⇔ x03 − x0 = (Vì x1 ≠ x2 ) x0 = −1 −1 − 21 ⇔ x0 = x = −1 + 21 x0 = −1 x = −1 + 21 x Kết hợp với điều kiện (3) có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Câu 23 2x − x + qua giao điểm hai đường tiệm cận? Có tiếp tuyến đồ thị A B Khơng có C Vô số D Lời giải Chọn B d x = − = −2 c Đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng y= y= a =2 c làm tiệm cận ngang Đồ thị hàm số nhận đường thẳng I ( −2; ) Vậy giao điểm hai đường tiệm cận TXĐ: D = ! Trang 20 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y' = ( x + 2) 2x − x + có dạng: Gọi tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x − ∆: y = ( x − x0 ) + ∆ : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( x0 + 2) x0 + hay y= M ( x0 ; y0 ) I ( −2; ) ⇒ = 2x − (−2 − x0 ) + ( x0 + 2) x0 + Vì ∆ qua 2x − 2x − −7 −7 ⇔2= ( x0 + 2) + ⇔2= + ( x0 + 2) x0 + ( x0 + 2) x0 + ⇔2= x0 − 10 ⇔ = −10 x0 + , phương trình vơ nghiệm Vậy không tồn tiếp tuyến đồ thị hàm số cận Câu 24 y= (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số 2x − x + mà qua giao điểm hai tiệm y= x+2 ( 1) 2x + Đường thẳng d : y = ax + b ( 1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B tiếp tuyến đồ thị hàm số cho ∆OAB cân O Khi a + b A −1 B C Lời giải D −3 Chọn D Tập xác định hàm số y′ = Ta có: −1 ( x + 3) y= 3 x+2 D = ¡ \ − 2 x + < 0, ∀x ∈ D Mặt khác, ∆OAB cân O ⇒ hệ số góc tiếp tuyến −1 ( x0 ; y0 ) Gọi tọa độ tiếp điểm y′ = Ta có: −1 ( x0 + 3) , với x0 ≠ − = −1 ⇔ x0 = −2 ∨ x0 = −1 Với x0 = −1 ⇒ y0 = Với x0 = −2 ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến là: y = − x loại A ≡ B ≡ O Phương trình tiếp tuyến là: y = − x − thỏa mãn Vậy d : y = ax + b hay d : y = − x − ⇒ a = −1; b = −2 ⇒ a + b = −3 Trang 21 Câu 25 y= (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số A ( a; y A ) B ( b; yB ) phân biệt đồ thị ( C) 3 x − x + ( C) 2 Xét hai điểm mà tiếp tuyến A B song song Biết D 5;3 ) đường thẳng AB qua ( Phương trình AB A x − y − = B x + y − = C x − y + = Lời giải Chọn D 3 y = f ( x ) = x3 − x + ⇒ f ' ( x ) = x − x 2 + Hệ số góc tiếp tuyến a − 3a A ( a; y A ) ( C) đồ thị B ( b; yB ) ( C) đồ thị f ' ( b ) = b − 3b Hệ số góc tiếp tuyến ( a ≠ b A B phân biệt) Mà tiếp tuyến A B song song nên ⇔ f '( a) = f '( a) = f '( b) ⇔ D x − y + = 3 a − 3a = b2 − 3b 2 a = b ( l ) 2 1 a − b ) − ( a − b ) = ⇔ ( a − b ) a + b − 1÷ = ⇔ ⇔ b = 2− a ( 2 2 a + b = 3 A a; a − a + ÷; B b; b − b + ÷ 2 + uuu r 1 3 ⇒ BA a − b; a − b − a + b ÷ = ( a − b ) ( 2; a + ab + b − 3a − 3b ) 2 2 r 2 n ⇒ véc tơ pháp tuyến đường thẳng AB ( a + ab + b − 3a − 3b; −2 ) = ( a − 2a − 2; −2 ) r A a; a − a + ÷ 2 n AB Phương trình đường thẳng qua có véc tơ pháp tuyến (a 1 − 2a − ) ( x − a ) − y − a − a + ÷ = 2 1 ⇒ ( a − 2a − ) ( − a ) − 3 − a3 − a + ÷ = D 5;3 ) 2 Mà đường thẳng AB qua ( a = −1 ⇔ a − 2a − = ⇔ a = Với a = −1 , phương trình đường thẳng AB x + − y = ⇔ x − y + = x − − ( y − ) = ⇔ x − y + = Với a = , phương trình đường thẳng AB Cách trắc nghiệm I 1;1 ⇒ Dễ thấy AB qua điểm uốn ( ) đường thẳng AB trùng với đường thẳng ID uur r r ⇒ ID ( 4; ) = ( 2;1) ⇒ ( 1; −2 ) n n véc tơ pháp tuyến đường thẳng AB Trang 22 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 26 (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hàm số y= x+3 x − có đồ thị ( C ) , điểm M C thay đổi thuộc đường thẳng d : y = − x cho qua M có hai tiếp tuyến ( ) với hai tiếp điểm tương ứng A, B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Tính độ dài đường thẳng OH A 34 B 10 C 29 D 58 Lời giải Chọn D • M ∈ d : y = − x ⇒ M ( m;1 − 2m ) • Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y = kx + − 2m − km • Điều kiện để qua M có hai tiếp tuyến với ( C) là: x+3 x − = kx + − m − km k = − ( x − 1) có nghiệm phân biệt x+3 4x 4m ⇔ =− + − 2m + 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1) có nghiệm phân biệt ⇔ mx + ( − m ) x − m − = (*) có nghiệm phân biệt khác m ≠ ⇔ m ≠ −1 • Khi đó, nghiệm phương trình (*) hồnh độ hai điểm A, ( B ) ( x − = ⇔ x = ± ⇒ A 2;5 + , B − 2;5 − +) Cho m = : ⇒ Phương trình đường thẳng AB: y = x + ) x = −1 5 3x − x − = ⇔ ⇒ A ' ( −1; − 1) , B ' ;7 ÷ x = 3 m = : +) Cho ⇒ Phương trình đường thẳng A’B’: y = x + • H điểm cố định nên H giao điểm hai đường thẳng AB A’B’: x H − y H = −5 xH = ⇔ ⇒ H ( 3;7 ) 3xH − yH = −2 yH = ⇒ OH = 58 Câu 27 (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x3 + x + mx + Gọi S tổng tất giá trị y = f ( x) A ( 0;1) tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) B , C vng góc với Giá trị S Trang 23 A B C Lời giải 11 D Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = là: x = ⇔ x + 3x + m = x + x + mx + = ⇔ x + x + mx = Để hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt phương trình x + x + m = phải có hai nghiệm m< 3 − 4.1.m > −4 m > − ⇔ ⇔ ⇔ 0 + 3.0 + m ≠ m ≠ m ≠ phân biệt khác Với điều kiện trên, hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt xB , xC nghiệm phương trình x + x + m = Ta có: f ′ ( x ) = 3x + x + m A ( 0;1) B ( xB ; yB ) C ( xC ; yC ) , , , Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x) B , C k B = f ′ ( xB ) = 3xB2 + xB + m kC = f ′ ( xC ) = xC2 + xC + m ; Để hai tiếp tuyến vng góc k B kC = −1 ( 3x Suy ra: B + xB + m ) ( xC2 + xC + m ) = −1 ⇔ ( xB xC ) + 18 xB2 xC + 3mxB2 + 18 xB xC2 + 36 xB xC + 6mxB + 3mxC2 + 6mxC + m = −1 ⇔ ( xB xC ) + 18 xB xC ( xB + xC ) + 3m ( xB2 + xC2 ) + 36 xB xC + 6m ( xB + xC ) + m + = xB + xC = −3 xB2 + xC2 = ( xB + xC ) − xB xC = − 2m xB xC = m Ta lại có theo Vi-et: Từ 9m + 18m ( −3) + 3m ( − 2m ) + 36m + 6m ( −3 ) + m + = ⇔ 4m − 9m + = Suy ra: + 65 m = ⇔ − 65 m = (thỏa mãn) Vậy Trang 24 S= + 65 − 65 + = 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 28 ( ) ( ) (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số y = f x , y = g x , y= f ( x) + g ( x ) + Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x = khác Khẳng định đúng? ( 1) ≤ − 11 ( 1) ≥ − 11 f f ( ) ( ) 4 A f > −3 B f < −3 C D Lời giải Chọn C f ′ ( x ) [ g ( x ) + 1] − g ′ ( x ) [ f ( x ) + 3] f ′ ( 1) [ g ( 1) + 1] − g ′ ( 1) [ f ( 1) + 3] ( ) ′ y′ = ⇒ y = 2 g ( x ) + 1] g ( 1) + 1] [ [ Ta có: ( ) ( ) ( ) Vì y′ = f ′ = g ′ ≠ nên ta có f ′ ( 1) [ g ( 1) + 1] − g ′ ( 1) [ f ( 1) + 3] [ g ( 1) + 1] = f ′ ( 1) ⇔ g ( 1) + − [ f ( 1) + 3] [ g ( 1) + 1] =1 11 1 ⇒ f ( 1) = − [ g ( 1) ] − g ( 1) − = − − g ( 1) + ⇒ g ( 1) + − [ f ( 1) + 3] = [ g ( 1) + 1] 2 11 ⇒ f ( 1) ≤ − 2 Câu 29 y = f ( x) y = f ( x) (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số , biết điểm A, B, C đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A f ′ ( xC ) < f ′ ( xA ) < f ′ ( xB ) C f ′ ( xA ) < f ′ ( xC ) < f ′ ( xB ) B f ′ ( x A ) < f ′ ( xB ) < f ′ ( xC ) f ′ x < f ′ ( x A ) < f ′ ( xC ) D ( B ) Lời giải Chọn D Ý nghĩa hình học, đạo hàm cấp hàm số y = f ( x) x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị x ; f ( x0 ) ) y = f ( x) hàm số điểm ( Quan sát hình vẽ ta thấy hệ số góc tiếp tuyến A Hệ số góc tiếp tuyến B dương (tiếp tuyến lên từ trái qua phải); Hệ số góc tiếp tuyến C âm (tiếp tuyến xuống từ trái qua phải) Câu 30 Cho hàm số y = x − ( m + 3) x + kẻ hai tiếp tuyến đến ( C) P ( P ≠ N ) có hồnh độ x = A Khơng tồn m B m = ( C ) Tìm tất giá trị m thỏa mãn qua A ( −1; −1) ∆1 : y = −1 ∆ tiếp xúc với ( C ) N cắt ( C ) điểm C m = ; m = −2 D m = −2 Trang 25 Lời giải Chọn A Nhận xét: Đồ thị hàm số khơng thể có tiếp tuyến đường thẳng song song với trục tung Gọi k hệ số góc đường thẳng ∆ qua A y = k ( x + 1) − Phương trình đường thẳng ∆ : C Để ∆ tiếp xúc với ( ) hệ sau phải có nghiệm: x − ( m + 3) x + = k ( x + 1) − ( 1) ( I) : ( 2) 3 x − ( m + 3) x = k ⇒ x − ( m + 3) x + = x ( x + 1) − ( m + 3) x ( x + 1) ⇔ x − ( 3m + ) x − ( m + 3) x − = ( *) Một tiếp tuyến ∆1 : y = −1 , suy ra: k = x = ⇒ x − ( m + 3) x = ⇔ x = ( m + 3) Với x = , k = thay vào (1), không thỏa mãn Với x = ( m + 3) , k = thay vào (1) ta được: ( m + 3) − 12 ( m + ) + = ⇔ ( m + ) = ⇔ m = −2 3 Thử lại, với m = −2 thay vào hệ (I), ta được: x − x + = k ( x + 1) − 3 x − x = k x = ⇒ x − x + = ( x − x ) ( x + 1) − ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 Với x = ⇒ k = , tiếp tuyến: y = −1 y = ( x + 1) − = x + Với x = −1 ⇒ k = , tiếp tuyến: Với m = −2 xét tương giao đồ thị hàm số với đường thẳng ∆ : y = x + Xét phương trình: x = −1 x − x + = x + ⇔ x3 − x − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − ) = ⇔ x = Tọa độ giao điểm cịn lại có hồnh độ Không thỏa mãn đề Câu 31 ( C ) điểm A ( 1; m ) Gọi S tập hợp tất giá trị Cho hàm số y = x + 3x + có đồ thị ( C ) Số phần tử nguyên tham số m để qua A kể ba tiếp tuyến tới đồ thị S A B C Lời giải Chọn B Gọi k hệ số góc đường thẳng d qua A Ta có phương trình d có dạng: y = kx + m − k Trang 26 D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 kx + m − k = x + x + m = −2 x3 + x + ( *) ⇔ 2 k = x + x d tiếp xúc ( C ) ⇔ hệ sau có nghiệm: k = x + x ( C ) phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt Để qua A tiếp tuyến tới 3 ⇔ yCT < m < yCĐ với f ( x ) = −2 x + x + f ′ ( x ) = −6 x + 6; f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 Ta có f ( 1) = = f CĐ ; f ( −1) = −3 = f CT Suy −3 < m < Vậy số phần tử S Trang 27 ... tiếp tuyến ∆ thường cho gián tiếp sau: tiếp xúc ⇔ hệ Phương trình tiếp tuyến ∆ // d : y = ax + b ⇒ k = a Phương trình tiếp tuyến ∆ ⊥ d : y = ax + b ⇒ k = − a α ⇒ k = tan α Phương trình tiếp. .. hình học, đạo hàm cấp hàm số y = f ( x) x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị x ; f ( x0 ) ) y = f ( x) hàm số điểm ( Quan sát hình vẽ ta thấy hệ số góc tiếp tuyến A Hệ số góc tiếp tuyến B dương (tiếp. .. k1.k2 = −1 ⇔ y ' ( x1 ) y ' ( x2 ) = −1 Hai tiếp tuyến vng góc Lưu ý Qua M vẽ hai tiếp tuyến với ( C) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với cho hai tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh ( iiitiếp tuyến ôn thi đại học
27
1
0
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
| Định dạng | |
|---|---|
| Số trang | 27 |
| Dung lượng | 1,67 MB |
Nội dung
Ngày đăng: 01/07/2022, 15:38
HÌNH ẢNH LIÊN QUAN
TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG
-
12 2 0
-
38 2 0
-
60 114 0
-
88 211 0
-
83 60 0
-
79 3 0
TÀI LIỆU LIÊN QUAN
-
27 1 0
-
9 1 0
-
18 243 0
-
32 192 0
-
3 183 0
-
13 1,4K 0
-
9 213 2
-
16 285 0