Xây dựng phần mềm hỗ trợ học phương pháp tính

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Cơ sở lý luận

1.1.1 Một số khái niệm khoa học a, Phương trình

Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng: f( x 1 , x 2 , ) = g( x, x, ) h( x 1 , x 2 , ) ≡ f( x 1 , x 2 , ) – g( x 1 , x 2 , ) h( x 1 , x 2 , ) = 0

Trong đó x 1 , x 2 , được gọi là các biến số của phương trình

Có nhiều phương pháp để phân loại phương trình, trong đó có thể phân loại theo số lượng ẩn, bao gồm phương trình một ẩn và phương trình hai ẩn Ngoài ra, phương trình cũng có thể được phân loại dựa trên các phép toán, như phương trình vô tỷ, phương trình mũ và phương trình lôgarit.

Nghiệm của phương trình là bộ x 1 , x 2 , tương ứng sao khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó b, Hệ phương trình

Cho hệ phương trình tuyến tính: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n +1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a 2n +1 (1.1)

Hệ phương trình trên có thể được cho bởi ma trận: a 11 a 12 a 1n a 1n +1

Việc tìm nghiệm của hệ (1.1) tương đương tìm vectơ nghiệm x = ( x 1 , , x n )

Trong đại số tuyến tính, hệ phương trình đại số tuyến tính là tập hợp các phương trình tuyến tính có chung biến số Ví dụ, một hệ phương trình tuyến tính có thể bao gồm nhiều phương trình khác nhau nhưng đều sử dụng các biến số giống nhau.

Hệ phương trình 2y - z = 0 bao gồm ba phương trình với ba biến số x, y, z Một nghiệm của hệ này là một bộ ba giá trị x, y, z thỏa mãn tất cả các phương trình Ví dụ, nghiệm x = 1, y = -2, z = -2 sẽ làm cho cả ba phương trình đều được thỏa mãn Nghiệm thực của phương trình một ẩn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết hệ phương trình này.

Cho phương trình f(x) = 0 tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình

Hàm f(x) là một hàm đại số hoặc siêu việt thường gặp trong kỹ thuật Phương trình đại số bậc n được biểu diễn dưới dạng f(x) = 0, với a0 x^n + a1 x^(n-1) + + an-1 x + a0 = 0 (với a ≠ 0) Nghiệm thực của phương trình này là một số thực α thỏa mãn điều kiện f(α) = 0 Ý nghĩa hình học của nghiệm này thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị của hàm số và trục hoành trong hệ tọa độ.

Xét các đồ thị của các hàm số y 1 = f(x), y 2 = 0

Hình 1.1 Đồ thị hàm số y = f(x)

6 ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG Đồ thị của hàm số y 1 = f(x) cắt trục hoành M (, 0) => x =  là một nghiệm của phương trình f(x) = 0

Hình 1.2 Đồ thị hàm số y 1 = f(x), y 2 = g(x)

Để tìm nghiệm của phương trình f(x) = g(x), chúng ta sử dụng phương pháp đồ thị bằng cách khảo sát đồ thị của hai hàm số y1 = f(x) và y2 = g(x) như trong hình (1.2) Điểm giao nhau của hai đồ thị tại M cho thấy x = α, từ đó suy ra f(α) = g(α).

=>  là nghiệm của phương trình

Khi tìm nghiệm gần đúng cho một phương trình, trước tiên cần xác định xem phương trình đó có nghiệm hay không Để làm điều này, có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc áp dụng định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và có f(a).f(b) 0 với mọi x  (1 / 3 , + )

=> (1, 2) là khoảng phân li nghiệm của phương trình x 3 – x – 1 = 0, nó chứa một và chỉ một nghiệm duy nhất

1.1.2 Nội dung vấn đề nghiên cứu

 Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn

 Nghiên cứu nội dung học phần Phương pháp tính

 Tìm hiểu về ngôn ngữ C# và công cụ lập trình

 Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình và hệ phương trình đại số tuyến tính

 Xây dựng và cài đặt phần mềm

1.1.3 Đặc điểm của vấn đề nghiên cứu

Học phần Phương pháp tính tại trường Đại học Hùng Vương có khối lượng kiến thức lớn và các công thức tìm nghiệm phức tạp, gây khó khăn cho sinh viên trong việc tính toán và trình bày bài giải Sinh viên thường gặp phải vấn đề về việc tính toán nhiều lần để đạt được sai số yêu cầu, dẫn đến tốn thời gian Để giảm bớt khối lượng tính toán và tối ưu hóa quá trình học, việc áp dụng các thuật toán và lập trình để phát triển phần mềm tìm nghiệm gần đúng cho phương trình và hệ phương trình tuyến tính là rất cần thiết Phần mềm này, kết hợp với các bài toán cụ thể, sẽ giúp sinh viên hiểu rõ hơn và học tập hiệu quả hơn trong môn học này.

1.1.4.Vai trò và ý nghĩa của vấn đề nghiên cứu

Phần mềm hỗ trợ học phương pháp tính được thiết kế để giúp sinh viên và những người yêu thích môn học này rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán thông thường Phần mềm bao gồm hai phần chính: lý thuyết và bài tập ôn tập, cùng với chương trình tìm nghiệm gần đúng Người học có thể dễ dàng tìm nghiệm, kiểm tra kết quả nhanh chóng và chính xác, đồng thời xác định cách tìm nghiệm logic qua các bài tập minh họa Nhờ đó, việc học phương pháp tính trở nên dễ dàng hơn và tạo hứng thú cho người học.

Cơ sở thực tiễn

Hiện nay, công nghệ thông tin đang phát triển mạnh mẽ và có ứng dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực, mang lại nhiều lợi ích thiết thực cho cuộc sống con người Nhờ vào công nghệ thông tin, con người có thể thực hiện công việc một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả, đồng thời giảm bớt sức lao động cần thiết.

Đại học Hùng Vương chú trọng đến việc tiết kiệm thời gian và chi phí trong giáo dục, đặc biệt trong dạy và học Các phương tiện kỹ thuật hỗ trợ như phần mềm học tiếng Anh, giao tiếp, chuyển ngữ và tính toán ngày càng trở nên cần thiết Trong lĩnh vực toán học, nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán đã ra đời, giúp người dùng học toán hiệu quả hơn Một số phần mềm phổ biến bao gồm Matlab, iCalcy, SpeedCrunch, Math Studio, Handicap Manager for Excel và Algebra calculator Những công cụ này không chỉ giúp tính toán nhanh và chính xác mà còn hỗ trợ cả giáo viên và học sinh trong việc nâng cao kỹ năng toán học với cơ sở dữ liệu phong phú.

Việt Nam đang trên đà phát triển và hội nhập, hướng tới việc sánh ngang với các cường quốc thế giới Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa, giáo dục và công nghệ được chính phủ ưu tiên hàng đầu Sự kết hợp giữa giáo dục và công nghệ thông tin sẽ tạo ra những ứng dụng thiết thực cho nhu cầu dạy và học Một số phần mềm nổi bật của Việt Nam như iMath và phần mềm interactive Math hỗ trợ giáo viên và học sinh tiểu học trong môn Toán, hay phần mềm iQB Lion 8.0 dành cho ngân hàng đề thông minh ở bậc đại học và cao đẳng, cùng với Geo Math Lesson 1.5 phục vụ thiết kế bài học.

Tại Trường Đại học Hùng Vương, chúng tôi nhận thấy nhu cầu về các phần mềm hỗ trợ học tập cho môn Toán cấp THCS và THPT đang ngày càng tăng cao Mặc dù có nhiều phần mềm hữu ích cho cả giáo viên và học sinh, nhưng phần lớn chúng yêu cầu kết nối Internet hoặc có tính chất bản quyền, khiến người dùng phải trả phí hoặc chỉ có thể sử dụng trong thời gian giới hạn Đặc biệt, trong số nhiều phần mềm hiện có, số lượng phần mềm hỗ trợ cho từng học phần riêng biệt rất hạn chế Là sinh viên, chúng tôi mong muốn có nhiều phần mềm chuyên dụng giúp nắm vững kiến thức môn học Nhận thấy học phần Phương pháp tính có khối lượng kiến thức lớn, chúng tôi quyết định phát triển một phần mềm hỗ trợ học tập cho môn này, nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho người dùng.

Tổng quan về học phần phương pháp tính

1.3.1 Sai số a, Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Sai số tuyệt đối [4] : Hiệu Δa = A – a (hoặc Δa = a- A) gọi là sai số của số xấp xỉ a

Giá trị ước lượng Δa sao cho: | a-A| ≤ Δa được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

Sai số tuyệt đối nhỏ nhất được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a Việc ước lượng sai số này thường khó khăn và không phải lúc nào cũng cần thiết, vì vậy người ta chỉ cần ước lượng sai số đủ nhỏ và sử dụng từ 1 đến 3 chữ số có nghĩa để biểu diễn sai số tuyệt đối của số gần đúng.

Thay cho biểu thức | a-A| ≤ Δa người ta còn dùng biểu diễn sau để chỉ sai số tuyệt đối: a = A ± Δa (1.3)

Và công thức | a-A| ≤ Δa có thể tương đương a - a ≤ A ≤ a + a

Sai số tương đối cho thấy rằng hai số gần đúng có sai số tuyệt đối giống nhau nhưng mức độ chính xác lại khác nhau nếu độ lớn của chúng không giống nhau Số nhỏ hơn sẽ có ảnh hưởng lớn hơn đến sai số tương đối, dẫn đến độ chính xác thấp hơn.

Sai số tương đối của một số gần đúng a, ký hiệu là δa, được định nghĩa là tỷ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của a, được tính theo công thức: δa = Δa / |a| Điều này cho thấy rằng độ chính xác của số gần đúng a sẽ kém hơn khi sai số tăng lên.

Gọi là sai số tương đối giới hạn của a ( còn gọi là sai số tương đối)

Công thức (1.4) tương đương với a = aa (1.5) Nên chỉ cần biết một trong hai loại sai số là tính đợc loại kia

Từ (1.3) và (1.5) ta có: A = a(1 ± a) (1.6) Thường sai số tương đối được biễu diễn dưới dạng phần trăm với 2 hoặc 3 chữ số

Ví dụ: Nếu a = 57 và Δa = 0,5 thì δa= 0,0087719 hoặc 0,88% b, Cách viết số xấp xỉ

Chữ số có nghĩa [4] : Trong một số thập phân, chữ số có nghĩa là chữ số kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải

Ví dụ: 2,75 có 3 chữ số có nghĩa

0,07048 có 4 chữ số có nghĩa

Chữ số đáng tin [4] : Mọi số thập phân có dạng a = ±  s.10 s

s là các chữ số từ 0…9

Nếu s là chữ số đáng tin thì những chữ số có nghĩa bên trái s cũng là chữ số đáng tin

Nếu s là chữ số không đáng tin thì những chữ số có nghĩa bên phải s cũng là chữ số không đáng tin

Cách viết số xấp xỉ [4] : A có giá trị gần đúng a, sai số tuyệt đối a có 2 cách viết số xấp xỉ: A = a ± a , A = a(1 ± a)

Hoặc viết theo quy ước: Mọi chữ số có nghĩa đều là chữ số đáng tin s c, Sai số quy tròn

Cho a, A , a Gọi a ’ là số quy tròn của a Sai số quy tròn tuyệt đối là a’

a’ > a như vậy việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối quy tròn d, Các quy tắc tính sai số

Xét hàm số u = f(x,y) Biết sai số của x và y tính sai số của u y x 

 , các số gia, dx,dy,du là vi phân của x, y, u

x, y, u là các sai số tuyệt đối của x, y, u Xác định u và sai số tương đối giới hạn u của hàm số u

Gọi U là giá trị đúng của số xấp xỉ u, X, Y là giá trị đúng của số xấp xỉ x, y

(1.7) Vậy có thể lấy : y x y x u dy du dx du dy df dx df       

Chia hai vế của (1.7) cho u thì ta có : y x y x u f x y dy y d x dx f d u dy df u dx df u u        

Ví dụ: Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu

, d là các đối số của V, áp dụng tính sai số của một tích ta có:

V = 26,5  1,1 cm 3 e, Sai số tính toán và sai số của từng phương pháp

Khi giải quyết một bài toán phức tạp, chúng ta cần biến nó thành một bài toán đơn giản hơn Phương pháp này được gọi là phương pháp gần đúng, và sai số phát sinh từ phương pháp gần đúng được gọi là sai số phương pháp.

Khi giải quyết một bài toán đơn giản, việc quy tròn các kết quả trung gian là cần thiết Tất cả sai số phát sinh từ các lần quy tròn này được gọi là sai số tính toán.

1.3.2 Tính gần đúng nghiệm thực của một phương trình a, Tìm nghiệm gần đúng Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 chúng ta tiến hành qua 2 bước:

Để tìm nghiệm của phương trình, cần xem xét tính chất nghiệm như có hay không, số lượng nghiệm và các khoảng chứa nghiệm nếu có Phương pháp đồ thị có thể được áp dụng, kết hợp với các định lý toán học hỗ trợ để xác định rõ hơn về nghiệm của phương trình.

- Chính xác hoá nghiệm: Thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép [4]

Phương pháp đồ thị là một cách hiệu quả để tìm các khoảng cách li nghiệm của phương trình f(x) = 0 Khi đồ thị của hàm số y = f(x) dễ vẽ, ta có thể phác thảo nó trên giấy kẻ ô vuông Các giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox sẽ cho ra các giá trị thô của nghiệm thực Từ những giao điểm này, ta có thể xác định một cách dễ dàng các khoảng cách li nghiệm của phương trình.

Nếu đồ thị của hàm số y = f(x) khó vẽ, ta đưa phương trình f(x) = 0 về

Để giải phương trình tương đương g(x) = h(x), chúng ta cần vẽ đồ thị của hai hàm số y = g(x) và y = h(x) trên cùng một hệ trục tọa độ Việc xác định hoành độ các giao điểm của hai đồ thị giúp chúng ta tìm ra các giá trị thô của nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 Bên cạnh đó, từ đồ thị, chúng ta cũng có thể dễ dàng xác định các khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0, hỗ trợ cho việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình.

Từ phương trình đã cho, xác định khoảng phân li nghiệm và thiết lập sai số hoặc số lần lặp tùy thuộc vào từng phương pháp tính để tìm nghiệm gần đúng Chi tiết sẽ được trình bày trong chương 2.

1.3.3 Phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình

Các phương pháp đúng như Krame, Gauss và khai căn có đặc điểm chung là sau một số bước tính hữu hạn, chúng ta sẽ đạt được nghiệm chính xác, miễn là trong quá trình tính toán không xảy ra việc làm tròn số.

Phương pháp gần đúng (lặp đơn) bắt đầu bằng việc gán cho ẩn số một giá trị khởi đầu Từ giá trị này, ta áp dụng một quy tắc nhất định để tính toán giá trị nghiệm gần đúng hơn Quá trình này được lặp lại nhiều lần, và với một số điều kiện nhất định, ta có thể thu được nghiệm gần đúng.

1.3.4 Nội suy và phương pháp bình phương bé nhất a, Vấn đề nội suy và sự tồn tại nghiệm Định lí [4] : Đa thức nội suy p n (x) của hàm f(x) xác định ở trên nếu tồn tại thì chỉ có một mà thôi

Chứng minh: Giả sử có hai đa thức nội suy của hàm f(x) là p n (x) và q n (x), p n (x) và q n (x) là các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n

Khi đó: p n (x i ) = y i và q n (x i ) = y i , với mọi i = 0, 1, , n p n (x i ) – q n (x i ) = y i – y i = 0 với mọi i = 0, 1, , n

Sai số nội suy và vấn đề chọn nút nội suy là một khía cạnh quan trọng trong toán học Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm liên tục đến bậc n + 1 trong khoảng này, thì sai số nội suy được xác định bằng công thức r n (x) = f(x) – p n (x), với r n (x) = f n+1 (c) Điều này cho thấy sự liên hệ giữa độ chính xác của nội suy và tính liên tục của hàm số trong khoảng đã cho.

Đại học Hùng Vương đã chứng minh rằng khi thay thế f(x) bằng p n (x) tại các nút đã cho, chúng ta có thể tính được một sai số theo công thức đã đề cập Điều này cho thấy rằng r n (x) phụ thuộc vào các yếu tố cụ thể trong quá trình tính toán.

(x) tức là phụ thuộc vào sự phân bố các nút x i trên đoạn [x 0 , x n ] b, Đa thức nội suy Lagrange

Giả sử hàm số f(x) có giá trị y i tại các điểm x i với i = 0, 1, , n Để xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho f(x), ta sử dụng công thức xác định đa thức bậc n.

Là đa thức bậc n và p n (x j ) = y j

Khi đó p n (x) gọi là đa thức nội suy Lagrange của y = f(x) c, Đa thức NewTon Đa thức nội suy NewTon với các nút cách đều

Các nút cách đều x i = x 0 + ih, i = 0, n , h là bước nội suy

Sai phân tiến cấp 1 tại i: y i = y i+1 – y i

Sai phân tiến cấp 2 tại i:  2 y i = (y i )= y i+2 – 2y i+1 + y i

Sai phân tiến cấp n tại i:  n y i = ( n -1 y i )

y [x 0, ,x 1, ,x n ] =  n y 0 / n!h n Đa thức nội suy NewTon tiến xuất phát từ x 0

Thay x = x 0 + ht vào công thức trên ta có: p n (x) = y 0 + ty 0 + ( 1)

16 ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG với n = 1 ta có: P 1 (x) = y 0 + ty 0 , x = x 0 + ht với n = 2 ta có: P 2 (x) = y 0 + ty 0 + ( 1)

2! t t   2 y 0 , x = x 0 + ht Đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x n

Tương tự ta có sai phân lùi tại i

Sai phân lùi cấp 1 tại i: y i = y i – y i -1

Sai phân lùi cấp 2 tại i:  2 y i = (y i )= y i – 2y i -1 + y i - 2

Sai phân lùi cấp n tại i:  n y i = ( n -1 y i ) p n (x) = y n + ty n + ( 1)

 n y n d, Phương pháp bình phương bé nhất

Giả sử có 2 đại lượng (vật lý, hoá học, …) x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một trong các dạng đã biết sau:

Tổng quan về ngôn ngữ lập trình C# và công cụ lập trình

1.4.1 Giới thiệu về ngông ngữ lập trình C#

C# là ngôn ngữ đơn giản

- C# loại bỏ được một vài sự phức tạp và rối rắm của các ngôn ngữ C++ và Java

- C# khá giống C/C++ về diện mạo, cú pháp, biểu thức, toán tử

- Các chức năng của C# được lấy trực tiếp từ ngôn ngữ C/C# nhưng được cải tiến để làm cho ngôn ngữ đơn giản hơn [3]

C# là ngôn ngữ hiện đại: C# có được những đặc tính của ngôn ngữ hiện đại

- Thu gom bộ nhớ tự động

- Có những kiểu dữ liệu mở rộng

C# là ngôn ngữ hướng đối tượng: hỗ trợ tất cả những đặc tính của ngôn ngữ hướng đối tượng là:

C# là một ngôn ngữ lập trình mạnh mẽ và linh hoạt, cho phép người dùng khai thác tối đa khả năng sáng tạo của mình mà không bị giới hạn Ngôn ngữ này không áp đặt ràng buộc nào lên các dự án, từ việc phát triển ứng dụng xử lý văn bản, ứng dụng đồ họa, đến xử lý bảng tính và tạo ra các trình biên dịch cho các ngôn ngữ khác.

C# là một ngôn ngữ lập trình với số lượng từ khóa hạn chế, chủ yếu dùng để mô tả thông tin Tuy nhiên, điều này không làm giảm sức mạnh của C# Ngôn ngữ này có thể được áp dụng cho nhiều loại nhiệm vụ khác nhau.

C# là ngôn ngữ hướng đối tượng: Mã nguồn của C# được viết trong Class

Các lớp trong lập trình chứa các phương thức, cho phép tái sử dụng cả lớp và các phương thức thành viên trong các ứng dụng hoặc chương trình khác.

C# đã và đang trở nên phổ biến: C# mang đến sức mạnh của C++ cùng với sự dễ dàng của Visual Basic [3]

C# là ngôn ngữ lập trình hướng đối tượng, cho phép viết mã nguồn trong các lớp Các lớp này chứa các phương thức thành viên, có thể được sử dụng lại trong các ứng dụng và chương trình khác.

Công nghệ Windows Form là phương pháp cơ bản để tạo ra các thành phần giao diện người dùng (GUI components) trong môi trường NET Framework, được phát triển dựa trên thư viện Windows API.

- Một Form là khung dùng để hiện thị thông tin đến người dùng

- Các Control được đặt trong form và được lập trình để đáp ứng sự kiện

1.4.2 Giới thiệu về công cụ lập trình Visual Studio

Microsoft Visual Studio is an integrated development environment (IDE) from Microsoft, designed for creating computer programs for Microsoft Windows, as well as websites, web applications, and web services It leverages Microsoft's software development platforms, including Windows API, Windows Forms, Windows Presentation Foundation, Windows Store, and Microsoft Silverlight Visual Studio is capable of generating both machine code and managed code.

Visual Studio là một công cụ phát triển mạnh mẽ, bao gồm trình soạn thảo mã với tính năng IntelliSense và cải tiến mã nguồn Nó có trình gỡ lỗi tích hợp, hỗ trợ cả gỡ lỗi mã nguồn và gỡ lỗi mức độ máy Ngoài ra, Visual Studio còn cung cấp nhiều công cụ tích hợp khác, giúp nâng cao hiệu suất lập trình.

Đại học Hùng Vương cung cấp các chương trình đào tạo về thiết kế giao diện ứng dụng, thiết kế web, thiết kế lớp học và thiết kế sơ đồ cơ sở dữ liệu Trường cũng hỗ trợ tích hợp các plug-in nâng cao, cho phép mở rộng chức năng ở nhiều cấp độ, bao gồm cả hỗ trợ cho hệ thống quản lý phiên bản như Subversion và bổ sung các công cụ mới cho việc biên tập và thiết kế trực quan trong các lĩnh vực ngôn ngữ cụ thể cũng như các khía cạnh khác của quy trình phát triển phần mềm.

Visual Studio hỗ trợ nhiều ngôn ngữ lập trình khác nhau, bao gồm C, C++, C++/CLI, VB.NET, C#, và F# từ phiên bản 2010 Ngoài ra, nó còn cho phép tích hợp các ngôn ngữ khác như J++/J#, Python và Ruby thông qua dịch vụ cài đặt riêng Visual Studio cũng hỗ trợ các công nghệ web như XML/XSLT, HTML/XHTML, JavaScript và CSS, mang lại khả năng biên tập mã và gỡ lỗi hiệu quả cho lập trình viên.

1.4.3 Giới thiệu về công cụ hỗ trợ lập trình DevExpress

DevExpress là bộ control mạnh mẽ hỗ trợ thiết kế và phát triển phần mềm, website, đặc biệt cho NET, thay thế hầu hết các control của Visual Studio Công cụ này không chỉ giúp tạo ra giao diện đẹp mắt mà còn làm cho quá trình lập trình trở nên dễ dàng hơn, đặc biệt trong việc tương tác dữ liệu DevExpress khắc phục những hạn chế của toolbox trên Visual Studio, cho phép lập trình viên thực hiện nhiều tác vụ phức tạp một cách đơn giản và hiệu quả.

 Tạo ứng dụng báo cáo

 Tạo Group Narbar Control đẹp mắt

DevExpress được phát triển bởi Developer Express Inc (DevExpress), một công ty phát triển phần mềm được thành lập năm 1998, có

22 ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG trụ sở tại Glendale, California Thời gian đầu, DevExpress phát triển UI

DevExpress offers controls for Borland Delphi/C++ Builder and ActiveX controls for Microsoft Visual Studio, catering specifically to developers using these platforms, as well as those working with HTML5 and JavaScript.

DevExpress là 1 hệ thống thư viện lập trình cực hữu ích cho việc thiết kế, lập trình form 1 cách đơn giản, chuyên nghiệp

DevExpress cung cấp một loạt các Control phong phú, gần như có thể thay thế hoàn toàn các Control của NET, bao gồm cả các điều khiển cơ bản như TextEdit, Button, MessageBox, PictureBox, GridView, và các điều khiển nâng cao như SearchLookupEdit, RibbonBar, và SpreadSheet Control Các điều khiển này tích hợp nhiều chức năng và tùy chỉnh, giúp lập trình viên giảm thiểu khối lượng code cần viết Đặc biệt, DevExpress hỗ trợ nhiều Skin khác nhau, cho phép người dùng chọn Skin ngay trong quá trình chạy chương trình.

Vì nhiều tính năng như vậy nên bộ thư viện cũng khá là nặng và tốn thời gian khi chạy chương trình trong lần đầu load form

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Để tìm nghiệm gần đúng cho phương trình f(x) = 0 trong khoảng [a, b], ta có thể áp dụng một trong các phương pháp tính toán sau Việc xác định khoảng phân li nghiệm là bước quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

Ta đã có [a,b] là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f ( x )  0 Khi đó, ta sử dụng phương pháp chia đôi như sau: Chia đôi khoảng [a,b] Nếu

 là nghiệm đúng của phương trình f(x) = 0 Ngược lại, nếu ) 0

( a 2  b  f , ta chọn một trong hai khoảng )

Khoảng (a, b) chứa hai mút mà hàm số f(x) có dấu khác nhau, tạo ra khoảng cách giữa các nghiệm mới Khoảng này được ký hiệu là (a1, b1) và có độ dài bằng nửa khoảng ban đầu.

Ta lại chia đôi khoảng (a 1 ,b 1 ): b 2 – a 2 = 1

2 (a 1 – b 1 ) và tiếp tục làm như trên ta được: ( )

{a n }: là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên

{b n }: là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới

Từ đó với n đủ lớn có thể chọn a n  c với sai số là: n n n n a a b b a c 2

Khi n  thì a n  và b n  ta nó phương pháp chia đôi hội tụ

Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình: 2 x + x - 4 = 0 bằng pháp chia đôi

Từ phương trình 2 x + x - 4 = 0 ta tìm khoảng phân li nghiệm áp dụng phương pháp đồ thị, ta có thể biểu diễn đồ thị của hai hàm số: y 1 = 2 x và y 2 = 4 – x v

Qua đồ thị, phương trình 2x + x - 4 = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất trong khoảng [0, 2] Để tìm nghiệm gần đúng, ta áp dụng phương pháp chia đôi, phân chia khoảng [0, 2] thành hai khoảng con: [0, 1] và [1, 2].

Vậy khoảng phân li mới của phương trình đã cho là [1, 2] Tiếp tục chia đôi khoảng phân li [1, 2] ta thu được bảng sau :

Bảng 2.1 Bảng kết quả tìm nghiệm theo phương pháp chia đôi n a n b n

Hình 2.1 Đồ thị hàm số y 1 = 2 x , y 2 = 4 – x y y 2 = 4 - x y 1 = 2 x

Sau một số lần phân chia ta tìm được nghiệm là: a n  b n  1,386 với sai số |a n - c| ≤ 0,001

Ví dụ 2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng pháp chia đôi x 3 – x – 1 = 0

Giải: f(x) = x 3 – x – 1, f(x) xác định và liên tục với mọi x Áp dụng phương đồ thị, ta biết được phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x  [1, 2]

Chia đôi khoảng [1,2] điểm chia là 3/2 f(3/2) > 0 , f(1)< 0 vậy  thuộc khoảng [1 ,3/2 ]

Chia đôi khoảng [1 ,3/2 ] điểm chia là 5/4 f(5/4) < 0 ,  thuộc khoảng [5/4 ,3/2 ]

Chia đôi [5/4 ,3/2] điểm chia là 11/ 8, f(11/ 8) > 0,  thuộc khoảng [5/4, 11/8] Chia 5 lần như vậy, dừng và lấy   21/16 = 1, 3125, với sai số là 0,03125.s

Từ các ví dụ nêu trên, ta có thể đưa ra thuật toán đối với phương pháp chia đôi như sau:

Bước 1: Xét phương trình một ẩn f(x) = 0

Bước 2: Ấn định sai số cho phép  hoặc số lần lặp n

Bước 3: Xác định khoảng phân li nghiệm [a, b]

Hình 2.2 Lưu đồ phương pháp chia đôi

Xét phương trình f(x) = 0 với giả thiết nó có nghiệm thực  phân li ở trong khoảng [a, b]

Trước hết ta chuyển phương trình f(x) = 0 về dạng: x = g(x) (2.1) và tương đương với f(x) = 0

Để áp dụng phương pháp lặp, chúng ta chọn một giá trị x₀ trong khoảng [a, b] làm điểm khởi đầu và tính dần dãy số xₙ theo quy tắc xₙ = g(xₙ₋₁) với n = 1, 2, Giá trị x₀ phải nằm trong khoảng [a, b] Quá trình này lặp đi lặp lại và được gọi là phương pháp lặp, trong đó hàm g được gọi là hàm lặp Để đảm bảo phương pháp lặp hội tụ, chúng ta cần xem xét tính hội tụ của dãy số; nếu dãy xₙ tiến tới một giá trị α khi n tiến tới vô cùng, thì phương pháp lặp được coi là hội tụ, tức là xₙ xấp xỉ α.

Khi áp dụng phương pháp hội tụ, giá trị x_n sẽ càng gần với α khi n tăng Do đó, x_n với n cố định có thể được coi là giá trị gần đúng của α trong quá trình lặp.

Phương pháp lặp hội tụ là yếu tố quan trọng để đảm bảo giá trị của kết quả, trong khi phương pháp không hội tụ có thể dẫn đến kết quả xa vời Để kiểm tra tính hội tụ của một phương pháp lặp, ta cần áp dụng định lý liên quan, giúp xác định điều kiện hội tụ cho phương pháp này.

1 [a, b] là khoảng phân li nghiệm  của phương trình f(x) = 0 , tức là của phương trình x = g(x)

2  x n tính theo x n = g(x n - 1 ) , n = 1,2, x 0 thuộc [a, b] cho trứơc

3 Hàm g(x) có đạo hàm thoả mãn:

g’(x) ≤ q < 1 , a < x < b, (q là hằng số) (2.4) Khi đó phương pháp lặp (2.2) (2.3) hội tụ: x n  khi n  (2.5) Chứng minh: Trước hết vì  là nghiệm của f(x) = 0 nên ta có

 thuộc [a, b] nên  = () Đem đẳng thức này trừ (2.2) vế với vế ta được:

F(x) liên tục và có đạo hàm trong (a,b) , c thuộc [a, b] , c = a + (b – a)

Theo (2.4) ta có: g’(c) ≤ q < 1, do đó ta có:

Nhân vế với vế các phương trình này ta được: - x n  ≤ q n  - x 0  (2.8) Khi n   thì q n  0 hay  - x n   0, suy ra điều phải chứng minh Đánh giá sai số

Giả sử x n là giá trị gần đúng của , xét  - x n , sai số của phương pháp lặp

Sai số này thường quá lớn

Thường sử dụng tính sai số | x n - | ≤

Ví dụ 1: Xét phương trình x 3 – x – 1 = 0  x 3 = x + 1 x = 3 x  1 , nên g(x) = 3 x  1  g(x) = (x + 1) 1/3

Ta có quá trình lặp: g(x) = (x + 1) 1/3  g’(x) = | 1

3 | Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ ∈ [1, 2] x = 1; q = 1

Ta lấy nghiệm gần đúng:  = 1,325 Đánh giá sai số: | 𝛼 - x| = 𝑞

Ta nhận thấy | f’(x)| ≤ 0.23< 1 nên ta chọn hàm lặp g(x) = (x + 1) -1/2

Ta có quá trình lặp: g(x) = (x + 1) -1/2 g(x) = | - 1

2 | Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn x 0 là 1 số bất kỳ ∈ [0,7; 0,8]

Ta lấy nghiệm gần đúng:  = 0,755 Đánh giá sai số: | 𝛼 - x| = 𝑞

Từ các ví dụ nêu trên, ta có thể đưa ra thuật toán đối với phương pháp tính lặp như sau:

Bước 1: Xét phương trình một ẩn f(x) = 0

Bước 2: Xác định khoảng phân li nghiệm [a,b]

Bước 3: Ấn định sai số cho phép  hoặc số lần lặp n

Bước 4: Xác định x = g(x) Tìm hàm lặp hội tụ g

Bước 5: Chọn xấp xỉ đầu x 0

Cho tới khi | x n – x n – 1| <  thì dừng

Bước 7: Kết qủa  = x n , sai số   - x n  ≤  q q

2.1.3 Phương pháp tiếp tuyến (NewTon)

Cho hàm số số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n +1 tại x 0 và lân cận của nó, ta có công thức khai triển TayLo bậc n của f(x) tại x 0 : f(x) = f(x 0 ) + (x – x 0 )f’(x 0 ) +

30 ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG với c = x 0 +  (x – x 0 ) , 0 <  < 1, ( c là trung gian của x 0 và x )

Xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực  phân li trong khoảng [a, b], giả sử tồn tại: f’(x)  0 tại x  [a, b] và f”(x) tại x  [a, b] , chọn x 0  [a, b] Áp dụng công thức TayLo, ta có: f(x) = f(x 0 ) + (x – x 0 )f’(x 0 ) +

Nếu bỏ qua số hạng cuối cùng ta có: f(x 0 ) + (x – x 0 )f’(x 0 ) = 0

Nếu gọi x 1 là nghiệm ta được: x 1 = x 0 -

Coi x n là giá trị gần đúng của  Phương pháp tính x n như trên gọi là phương pháp tiếp tuyến (Hay phương pháp NewTon) [4]

Sự hội tụ của định lý cho rằng nếu [a, b] là khoảng phân li nghiệm α của phương trình f(x) = 0, với f có đạo hàm f’(x) và f”(x) không đổi dấu trên [a, b], và cả f cùng f’ đều liên tục trên khoảng này, thì ta có thể chọn x₀ là a hoặc b sao cho f(x₀) cùng dấu với f”(x).

Khi đó x n tính bởi công thức (2.9) hội tụ về  khi n   Hay ta có x n đơn điệu tăng tới  nếu f’f” < 0 và x n đơn điệu giảm về  nếu f’f” > 0

Ví dụ: Xét phương trình x 3 – x – 1 = 0  là nghiệm trong khoảng [1,2]

Trong khoảng phân li nghiệm [1, 2] f’(x) = 3x 2 -1  3 -1 = 2 > 0 f”(x) = 6x > 6 > 0 x  [1, 2 ], f(2) = 5 cùng dấu với f”(x)

Ta có bảng kết quả dưới đây:

Bảng 2.2 Bảng kết quả tìm nghiệm theo phương pháp NewTon n x n Sai số

0,0000024 2.10 -8 Áp dụng công thức cùng với ví dụ nêu trên, ta có thể đưa ra thuật toán đối với phương pháp NewTon như sau:

Bước 2: Ấn định sai số cho phép  hoặc số lần lặp n

Bước 3: Tìm khoảng phân li nghiệm [a, b] trong đó f’ và f” không đổi dấu Bước 4: Chọn xấp xỉ đầu x 0

Hình 2.3 Lưu đồ phương pháp NewTon

Sai số là :  - x 1 ≤ f(x 1 ) / m trong đó : 0< m ≤ f’(x), x  [a , b]

Giả sử [a, b] là khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0

Hình 2.4 Đồ thị biểu diễn phương pháp dây cung

Gọi A, B là 2 điểm trên đồ thị f(x) có hoành độ, tung độ là a, b

Phương trình thẳng qua 2 điểm A(a,f(a)), B(b, f(b)) có dạng:

Dây cung AB cắt trục Ox tại điểm có toạ độ (x 1 , 0)

Nếu f(a).f(x 1 ) epsilon)

{ c[i] = (a[i] + b[i]) / 2; if (tinhF(c[i]) == 0) txtketqua.Text = c[i] + "là nghiệm của phương trình"; else if (tinhF(a[i]) * tinhF(c[i]) < 0)

{ b[i + 1] = c[i]; a[i + 1] = a[i]; c[i + 1] = c[i]; eps1[i + 1] = (c[i] - a[i]); txtketqua.Text = " Nghiệm của phương trình x= " + c[i] + " sai số với lần lặp n = " + lanlap + " là: " + eps1[i + 1].ToString();

{ a[i + 1] = c[i]; b[i + 1] = b[i]; c[i + 1] = c[i]; eps1[i + 1] = (c[i] - a[i]); txtketqua.Text = " Nghiệm của phương trình x= " + c[i]

+ " sai số với lần lặp n = " + lanlap + " là: " + eps1[i + 1].ToString();

{ txtketqua.Text = "[" + an + "," + bn + "]" + " Không phải là khoảng phân li cuả phương trình";

Phụ lục B cung cấp mã code C# để tìm nghiệm theo phương pháp Newton, bao gồm các mảng như x0, x1, a, b, fx, eps, eps1 và x00, mỗi mảng có kích thước 16 Trong đó, x00 được sử dụng để làm tròn giá trị trong x1[] Các biến an, bn, m, lanlap và epsilon được khai báo để hỗ trợ trong quá trình lặp và tính toán Hàm thuattoan() sẽ thực hiện thuật toán tìm nghiệm.

{ an = Convert.ToDouble(canduoiA.Text); bn = Convert.ToDouble(cantrenb.Text); int i = 0; double m; if (Math.Abs(DaoHamCap1F(an)) < Math.Abs(DaoHamCap1F(bn)))

// m trụy tuyệt đối đạo hàm cấp I của a hoặc b m = Math.Abs(DaoHamCap1F(bn)); else m = Math.Abs(DaoHamCap1F(an)); if (tinhF(an)*tinhF(bn) 0) && (DaoHamCap1F(an) * DaoHamCap1F(bn)

> 0) && (DaoHamCap2F(an) * DaoHamCap2F(bn) > 0)) // điều kiện chọn x0=a ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

{ x1[i] = x1[i-1] - tinhF(x1[i-1]) / DaoHamCap1F(x1[i-1]); x1[i-1] = x1[i]; fx[i-1] = tinhF(x1[i-1]); eps[i-1] = Math.Round(Math.Abs(fx[i-1]) / m, 5); i++;

} while (i 0) && (DaoHamCap1F(an) * DaoHamCap1F(bn) > 0) && (DaoHamCap2F(an) * DaoHamCap2F(bn) > 0))

// điều kiện chọn xo=bn

{ x1[i] = x1[i - 1] - tinhF(x1[i - 1]) / DaoHamCap1F(x1[i - 1]); x1[i - 1] = x1[i]; fx[i - 1] = tinhF(x1[i - 1]); eps[i - 1] = Math.Round(Math.Abs(fx[i - 1]) / m, 5); i++;

} while (i