(LUẬN văn THẠC sĩ) mã lưới cho kênh fading rayleigh

Mô hình hệ thống

Mô hình kênh không dây được giả định là một kênh fading phẳng Rayleigh độc lập, với thông tin về tình trạng kênh được biết tại phía thu và không có nhiễu xuyên ký hiệu Mô hình rời rạc theo thời gian của kênh được biểu diễn bằng phương trình r 0 = α 0 x + n 0, trong đó x là ký hiệu từ tập hợp tín hiệu phức, n 0 là nhiễu Gauss trắng phức, và α 0 là hệ số fading phức có phân bố Gauss trung bình 0 Các hệ số fading cho mỗi ký hiệu được giả định là độc lập với các ký hiệu tiếp theo.

Vì phía thu biết được CSI nên các pha ϕ của các hệ số fading α 0 = |α|e iϕ có thể được loại bỏ, do đó ta có: r=αx+n, (1.2)

Mô hình kênh được mô tả với hệ số fading thực α=α 0 theo phân bố Rayleigh và nhiễu Gauss trắng phức n=n 0 e − jϕ Trong mô hình này, biến ngẫu nhiên thực x∈R và các hệ số fading là độc lập giữa các ký hiệu được phát Khi truyền dẫn mã, mỗi từ mã được biểu diễn dưới dạng vector thực n chiều x = (x1, x2, , xn) thuộc chòm sao tín hiệu hữu hạn S ⊆ R n, trong đó mỗi thành phần vector chịu ảnh hưởng của một hệ số fading thực độc lập.

Xét hệ thống truyền dẫn như hình vẽ (1.2): Bộ ánh xạ (mapper) kết hợp một bộ

Hình 1.2: Mô hình hệ thống truyền dẫn [7] các bit đầu vào với một điểm u ∈ Z n Tiếp theo đó u được ánh xạ đến một điểm x sử dụng mã hóa lưới.

Như vậy, x thuộc chòm sao tín hiệu n chiều S lấy ra từ tập hợp các điểm lưới Λ ={x=uM}, trong đó u là một vector nguyên,M là ma trận sinh của lưới.

Các điểm chòm sao được phát qua kênh fading Rayleigh độc lập được mô tả bởi phương trình r = xH + n, trong đó r = (r1, r2, , rn) là vector thu được, n = (n1, n2, , nn) là vector nhiễu với các thành phần ni là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss có trung bình 0 và phương sai N0 Ma trận fading kênh H có dạng đường chéo với H = diag(α1, α2, , αn), trong đó αi là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Rayleigh với moment bậc hai bằng 1.

Với giả thiếtCSI được biết tại phía thu, giải mã trên cơ sở hợp lẽ tối đa (Maximum Likelihood - ML) yêu cầu tối thiểu hóa độ đo sau: m(x|r, α) Xn 1

Nói cách khác, điểm giải mãxˆ phải thỏa mãn: ˆ x= arg min x ∈ S kr−xHk 2 = arg min x 0 ∈ S 0 r−x 0 2 (1.5) trong đó S 0 =HS.

Tối thiểu hóa (1.5) là một phép toán phức tạp đối với các chòm sao tín hiệu với nhiều điểm Đối với mã lưới, một thuật toán giải mã hiệu quả hơn là giải mã hình cầu, sẽ được thảo luận trong phần cuối của chương này.

Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới

Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp

Để thiết lập tiêu chí thiết kế mã cho hệ thống, trước tiên cần ước lượng xác suất lỗi của nó.

Ký hiệu Pe(S) đại diện cho xác suất lỗi khi phát một điểm trong chòm sao tín hiệu hữu hạn S, trong khi P(x→x)ˆ là xác suất lỗi cặp, cho biết xác suất mà điểm nhận được gần với xˆ hơn so với x theo độ đo đã xác định Đối với bất kỳ chòm sao tín hiệu S nào, |S| là số phần tử của chòm sao đó.

Công thức xác suất lỗi trong trường hợp mã lưới có thể được đơn giản hóa đáng kể Với một lưới vô hạn đồng dạng hình học, ta có thể dễ dàng xác định xác suất lỗi khi phát một điểm thuộc lưới, biểu thị bằng Pe(Λ) = Pe(Λ|x) cho bất kỳ điểm x ∈ Λ được phát Nếu S là một chòm sao hữu hạn được lấy ra từ Λ, thì chúng ta có thể áp dụng công thức này một cách hiệu quả.

Tức là, xác suất của hợp các biến cố nhỏ hơn hoặc bằng tổng các xác suất của các biến cố thành phần.

Trước tiên, chúng ta xem xét biên trên của xác suất lỗi có điều kiện P(x→ˆx|α) Lỗi xảy ra trong quá trình giải mã theo quy tắc ML khi điểm nhận được r gần với xˆ hơn so với x.

Có nghĩa là,m(ˆx|r,α)≤m(x|r,α) Xác suất lỗi cặp có điều kiện là:

! Đặt χ Xn i=1 αi(xi−xˆi)ni là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Gaussni.

Ta có χ là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình bằng 0 và phương sai bằng: σ χ 2 =N0

Xn i=1 αi(xi−xˆi) 2 là hằng số Chúng ta có thể viết xác suất lỗi cặp có điều kiện theoχ và A.

P (x→xˆ|α) =P (χ≥A) =Q(A/σχ), trong đó hàm Q(x) được định nghĩa bởi Q(x) = (2π) − 1

Z ∞ x exp −t 2 /2 dt Vì Q(x) bị chặn trên với 1

, xác suất lỗi cặp có điều kiện trở thành:

Xác suất lỗi cặp được tính bằng trung bìnhP (x→xˆ|α) qua hệ số fading α:

Thay P (α)dα = P (α1) P(αn)dα1 dαn, trong đó P (αi) = 2αie −α 2 i là phân bố Rayleigh chuẩn, vào biểu thức cuối cùng chúng ta thu được:

2α i exp −C i α i 2 dα i trong đó Ci = 1 + (xi−xˆi) 2

8N 0 Tính tích phân ta được:

(1.6) Đối với trường hợp tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SN R) lớn thì:

(8N0) ` d ` p (x,x)ˆ 2 (1.7) trong đód ` p (x,x) =ˆ Q x i 6=ˆ x i|xi−xˆi|là khoảng cách (`−product distance) giữax vàxˆ khi hai điểm khác nhau` thành phần

Độ phân tập điều chế (modulation diversity) hay bậc phân tập (diversity order) của chòm sao lưới được xác định bởi số thành phần khác nhau nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ trong chòm sao Để hạn chế biên trên của bất đẳng thức (1.8), mục tiêu của chúng ta là tối đa hóa các giá trị L và dp,min, với dp,min được tính là mind (L) p.

Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới

Để thiết kế chòm sao lưới hiệu quả, hai hoạt động then chốt là tạo nhãn bit và hình dạng chòm sao Hai vấn đề này có mối liên hệ chặt chẽ, đòi hỏi sự thỏa hiệp giữa độ phức tạp và hiệu suất thực hiện.

Quá trình gán nhãn bit là việc ánh xạ các bit đầu vào tới các điểm trong chòm sao tín hiệu Để tránh sử dụng bảng tìm kiếm lớn cho việc gán nhãn, cần phát triển một thuật toán đơn giản hơn để kết hợp các bit với các điểm tín hiệu.

Trong thiết kế chòm sao lưới cho kênh fading, việc sử dụng các chòm sao có hình khối là lựa chọn tối ưu, vì lưới thiết kế này thực chất là một phiên bản quay của lưới Z n.

Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh

Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh

Trong phần trước, chúng ta đã xét các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới, cụ thể như sau:

1 Tối đa hóa bậc phân tập L.

2 Tối đa hóa giá trịdp,min= min d (L) p (x,x)ˆ

3 Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Z n

Chúng tôi xây dựng lưới đáp ứng các tiêu chí đã đề ra thông qua việc sử dụng trường số đại số Quy trình này được thực hiện dựa trên những nguyên tắc và phương pháp cụ thể.

1 Tối đa hóa bậc phân tập L: Xây dựng lưới đại số thực trên vành OK, do lưới đại số xây dựng trên trường số thực có bậc phân tập lớn nhất L=n, với n là bậc của trường số K (xem Định lý 9 phần Phụ lục A) Từ cơ sở nguyên thuộc OK, nhúng vào R n qua phép nhúng chính tắc để nhận được một lưới đại số (xem Định nghĩa

2 Tối đa hóadp,min: Để đánh giá tiêu chí vềdp,min, ta xây dựng lưới từ một ideal thuộc vành OK, vì ideal của vành OK cũng có cơ sở nguyên n thành phần (xem Định lý

Trong trường hợp lưới sinh ra từ cơ sở nguyên của một ideal chính trong vành OK, giá trị dp,min của lưới có thể được xác định một cách tường minh và chỉ phụ thuộc vào dK Do đó, việc tối thiểu hóa biệt thức của trường số dK là cần thiết.

3 Các chòm sao lưới là một phiên bản của lướiZ n : Với một giá trịn cho trước, chúng ta phải xác định một trường sốK bậcnvà một idealI⊆OK sao cho lướiΛ = (I, qβ) là tương đương với Z n (xem Định nghĩa 31, Phụ lục A) Một phiên bản tỷ lệ của

Z n có dạng: (√ cZ) n ,c∈Z, do đó định thức của lưới này làdet (G) = c n

Ta lại có: (Công thức (8), Phụ lục A) det (Λ) =N(β)N(I) 2 |dK|

Như vậy, ta phải xác định β thỏa mãn (1.9).

Xây dựng mã lưới từ trường vòng

Phần này trình bày tổng quát việc xây dựng mã lưới từ trường vòng (xem [7])Q(ζp), trong đó ζ = ζ p = e − 2iπ/p là căn bậc p của đơn vị, và quan tâm đến trường hợp p ≥ 5

[7, 8] Bậc củaQ(ζp) trên Qlà (p−1) Trường K =Q ζp +ζ p − 1 là một trường con của

Q(ζ p ), được sinh ra bởi phần tử ζ p +ζ p − 1 = 2 cos (2π/p) Đây là trường thực và có bậc trên Qlà n= (p−1)/2 và biệt thức của nó được xác định bằng: d K =p (p−3)/2 (1.10)

Trường K có vành nguyên là OK =Z ζp +ζ p −1

Một cơ sở nguyên của K được xác định bởi công thức ej = ζ p j + ζ p − j với n phép nhúng của K vào C được mô tả qua σk(ej) = ζ p kj + ζ p − kj Để có được một lưới ideal Z n, cần tìm một phần tử β thỏa mãn điều kiện nhất định.

Phần tử β= (1−ζp) 1−ζ p −1 có N(β) = p. Định lý sau chỉ ra rằng, với việc sử dụng thành phần này, chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng lướiZ n Định lý 1.1.

Cho K = Q ζ p +ζ p − 1 và β = (1−ζ p ) 1−ζ p − 1 thì Λ OK, 1 p q β tương đương với Z n , trong đó qβ =Tr(βxy)

Ta chứng minh định lý này bằng cách tính trực tiếp:

(1.13) σj(ζp)và σj =σj(β)với j = 1, , n là các liên hiệp của ζp và β.

Chúng ta tính tiếp qβ(eiej) với i=j và i6=j sử dụng (1.14) và (1.15): q β (e i e i ) =Pn j=1β j σ j ζ p 2i +ζ p − 2i + 2

Với kết quả trong phần chứng minh trên, ta suy ra ma trận củaqβ trong cơ sở{e1, , en} là:

Ma trận này là đồng hình của ma trận đơn vị, và để kiểm tra điều này, chúng ta có thể chọn một cơ sở mới {e 0 1, , e 0 n} với e 0 n = e n và e 0 j = e j + e 0 j+1 cho j = 1, , n Khi áp dụng các biến đổi này, ma trận sẽ trở thành ma trận Gram của lưới Z n.

Ma trận chuyển đổi cơ sở từ e j sang e 0 j là:

Như vậy, lưới Z n tương ứng thu được như sau:

Lưới sinh ra bởi vành nguyên có ma trận sinh n×n, trong đó n là số phép nhúng trườngK:

Mk,j =σk(ej) = ζ p kj +ζ p −kj = 2 cos

Thành phần β biểu diễn dưới dạng ma trận đường chéo:

A =diagp σk(β) Kết quả cuối cùng, ma trận sinh của lướiZ n quay là:

Giải mã hình cầu

Tổng quan

Giải mã hình cầu [7, 9, 10] là phương pháp điều chế dựa trên Machine Learning (ML) cho các chòm sao tín hiệu lưới bất kỳ Phương pháp này giúp giải quyết bài toán tìm điểm lưới gần nhất, tức là xác định các điểm lưới gần nhất với một điểm nhận được.

Tính hiệu quả của giải mã hình cầu phụ thuộc vào số lượng điểm lưới trong hình cầu, thường nhỏ hơn nhiều so với số điểm trong hình lập phương bao quanh Để tối ưu hóa quá trình này, thuật toán giải mã lưới chỉ tìm kiếm các điểm thuộc lưới Λ nằm trong hình cầu có bán kính √, giúp giảm thiểu việc liệt kê tất cả các điểm của chòm sao tín hiệu.

C cho trước, tâm tại mỗi điểm nhận được Sau đó, chỉ tính độ đo đối với những điểm thuộc hình cầu này.

Những bước chủ yếu của thuật toán này là:

1 Thiết lập điểm gốc tại điểm nhận được r.

3 Định nghĩa hàm Q(u) = kxk 2 = xx T = uGu T trong đó G = M M T là ma trận Gram của lưới.

4 Tìm tất cả các điểm trong hình cầu bán kính √

C bằng cách giải bất đẳng thức:

5 Chọn x thỏa mãn minkr−xk 2

Thuật toán giải mã hình cầu

Lưới Λ được xem như kết quả của phép biến đổi tuyến tính, dẫn đến việc cần giải phương trình: minx ∈Λkr−xk 2 = min w ∈ r −Λkwk 2 Điều này cho thấy rằng, vì lưới Λ là sản phẩm của biến đổi tuyến tính, nên r−Λ cũng hình thành một lưới, và nhiệm vụ của chúng ta là xác định vector w ngắn nhất thuộc lưới này.

Ta có: x=uM với u∈Z n Đặt: r=ρM với ρ= (ρ1, , ρn)∈R n w=ξM với ξ = (ξ 1 , , ξ n )∈R n

Ta có w = Pn i=1ξivi trong đó vi là các vector cơ sở của lưới và ξi = ρi −ui, i 1, , n là sự dịch chuyển các trục tọa độ.

C, tâm tại điểm nhận được được biến đổi thành hìnhellipsoid với tâm lại gốc của hệ tọa độ mới được xác định bằngξ: kwk 2 =Q(ξ) =ξM M T ξ T =ξGξ T Xn i=1

Phân tích Cholesky ma trận Gram G=M M T đưa raG=R T R, trong đó R là ma trận tam giác trên, đo đó:

Thế qii =r 2 ii với i= 1, , n và qij =rij/rii với i= 1, , n, j =i+ 1, , n, ta có thể viết lại như sau:

Xn j=i+1 rijξj) 2 Xn i=1 qiiU i 2 ≤C, (1.21) trong đó, hệ tọa độ mới được định nghĩa là:

Công thức Xn j=i+1 r ij ξ j, với i từ 1 đến n, xác định một elipsoid có hình dạng chính tắc Bắt đầu từ Un và tính lùi, chúng ta có thể thu được các công thức để xác định biên của elipsoid.

− sC−qnnUn q n−1,n−1 ≤ Un − 1 ≤ sC−qnnUn q n−1,n−1 (1.23)

Các khoảng tương ứng của thành phần nguyênun và un − 1 xác định bằng cách thay ξi =ρi−ui trong (1.22) và (1.23):

% trong đódxe là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn x và bxc là giá trị nguyên lớn nhất nhỏ hơn x Đối với thành phần nguyên thứ i ta có:

 (1.24) Để đơn giản, ta thiết lập gốc của tọa độ r = 0 (có nghĩa là ρi = 0, i= 1, , n), lúc đó thuật toán giải mã hình cầu trở thành thuật toán đếm điểm Finke-Pohst [9].

Minh họa hình học của phương pháp được thể hiện như hình 1.3, 1.4 và 1.5.

362 The Sphere Decoder inside the ellipse in Fig 4.4 are visited from the bottom to the top and from left to right. v v 1

Fig 4.2 The sphere is centered at the origin and includes the lattice points to be enumer- ated.

The search algorithm operates similarly to a mixed radix counter, utilizing the digits \( u_i \) while incorporating dynamic bounds that adjust during carry operations between digits In practical applications, these bounds can be updated recursively through specific equations.

= T i −q ii (S i −u i ) 2 Hình 1.3: Hình cầu bao gồm những điểm phải đếm [7]

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Fig 4.3 The sphere is transformed into an ellipsoid in the integer lattice domain.

The current value is compared to the minimum square distance d², initially set to C, identified during the search process If this value is smaller, a new candidate for the closest point is established, allowing the search to continue with a new sphere of reduced radius.

This method offers the significant advantage of limiting the testing of vectors to those within a specified radius, ensuring that no vectors with a norm exceeding this limit are evaluated Each vector requires the computation of its norm, involving n multiplications and n−1 additions Although updating the bounds necessitates additional operations, this is greatly outweighed by the substantial decrease in the number of vectors tested, particularly as the dimensionality increases.

In order to be sure to always find a lattice point inside the sphere we must select √

The covering radius, denoted as C, plays a crucial role in bounded distance decoding, allowing the decoder to indicate an erasure when no lattice point is located within the specified sphere By carefully selecting the value of C, the decoding process can be significantly accelerated In practical applications, C can be tailored based on the noise variance \( N_0 \) to optimize the probability of successful decoding.

Hình 1.4: Hình cầu chuyển thành hình elipsoid trong miền lưới nguyên [7]

The coordinate rotation facilitates the enumeration of Z n-lattice points, ensuring that the likelihood of decoding failure remains minimal In cases where a decoding failure occurs, the operation can be repeated with an increased radius, or an erasure can be declared to address the issue effectively.

The kernel of the Sphere Decoder (the enumeration of lattice points inside a sphere of radius √

C) requires the greatest number of opera- tions The complexity is obviously independent of the constellation size, i.e the number of operations does not depend on the spectral efficiency of the signal constellation.

The complexity analysis presented in [27] shows that ifd −1 is a lower bound for the eigenvalues of the Gram matrix G, then the number of arithmetical operations is

Hình 1.5: Hình elipsoid với tọa độ nguyên có thể đếm được [7]

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Tiếp theo, ta thực hiện việc tìm kiếm trên cácui với biên được xác định như (1.24). Các biên được cập nhật liên tục qua các tham số sau:

Khi có một vector nằm trong hình cầu được tìm thấy, bình phương khoảng cách từ điểm trung tâm là: dˆ 2 =C−T1+q11(S1 −u1) 2

Khoảng cách được so sánh với khoảng cách tối thiểu 2, được thiết lập ban đầu bằng C Nếu kết quả so sánh nhỏ hơn, điểm ứng cử gần nhất sẽ được xác định và quá trình tìm kiếm tiếp tục với hình cầu mới có bán kính nhỏ hơn Trong môi trường fading, giải mã hình cầu được áp dụng với lưới mới Λc, với ma trận sinh đã được xác định.

Mỗi điểm lưới của Λ c được xác định bằng: x (c) = (x (c) 1 , x (c) n ) = (α 1 x 1 , α n x n ). Độ đo phải tối thiểu là: m(x|r, α) Xn i=1

Lưu đồ thuật toán của giải mã hình cầu thể hiện như hình 1.6, chương trình thực hiện thuật toán này bằng Matlab được trình bày trong Phụ lục B.

T i /q ii + S i m − 1 ui =ui+ 1 i=i+ 1 i=i−1 ui > Li? yes no no i=n? yes

Hình 1.6: Lưu đồ thuật toán giải mã hình cầu [7]

CHO KÊNH FADING RAYLEIGH MIMO

Chương này tập trung vào việc phát triển mã lưới cho kênh fading Rayleigh MIMO, đặc biệt là mã khối không gian-thời gian (STBC) được xây dựng từ đại số chia tuần hoàn Công nghệ mã Space-Time được áp dụng để thực hiện mã hóa đồng thời trên không gian (với nhiều anten) và thời gian, nhằm cải thiện hiệu suất truyền tải dữ liệu.

Chương này trình bày mô hình kênh (phần 2.1), tiêu chí xây dựng mã lưới (phần 2.2) và quy trình xây dựng mã lưới (phần 2.3) Phần 2.4 diễn giải cách biểu diễn STBC theo cấu trúc lưới, nhằm áp dụng phương thức giải mã hình cầu như đã đề cập trong chương 1 Cuối cùng, phần 2.5 trình bày các tính toán và mô phỏng mã Golden cho kênh fading Rayleigh MIMO 2×2.

Mô hình kênh MIMO fading Rayleigh

Hệ thống sử dụng nhiều antenna phát và thu là công nghệ hứa hẹn nâng cao hiệu suất truyền dẫn số không dây Việc khai thác hiệu quả nguồn tài nguyên hạn chế như phổ và công suất trong truyền thông không dây giúp cung cấp chất lượng tốt và dung lượng cao cho nhiều ứng dụng yêu cầu tốc độ dữ liệu cao.

Xét hệ thống có n t antenna phát và n r antenna thu Ta có thể mô hình hệ thống như sau [8, 11, 12]: y(k) = H(k)x(k) +z(k), (2.1) trong đó: y(k)∈C n r là vector thu tại thời điểm k,

H(k)∈C n r × n t là ma trận kênh, x(k)∈C n t là đầu vào kênh, và z(k)∈C n r là nhiễu Gauss trắng độc lập với phân bố trung bình 0 Trong mô hình fading phẳng Rayleigh, các thành phần của H là biến ngẫu nhiên độc lập, đồng nhất với phân bố Gauss phức có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1 Trong khoảng thời gian T ký hiệu, kênh giữ nguyên, tức là H(k) = H Giả sử thông tin kênh (CSI) được biết ở phía thu, mô hình (2.1) trở thành một hệ thống có thể phân tích và tối ưu hóa.

Mã X được phát trong khoảng thời gian T từ bảng mã C, trong khi H là ma trận kênh chứa các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập và đồng nhất Z là ma trận nhiễu với các phần tử là các biến ngẫu độc lập cũng theo phân bố Gauss Tín hiệu xik tương ứng là tín hiệu phát ra từ antenna thứ i tại symbol thứ k.

1≤k ≤T (T được gọi là thời gian liên kết -cohenrence time).

Các tiêu chí thiết kế mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO

Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi

Một STBC là tập hợp hữu hạnC của các ma trậnX có kích thước n t ×T |C| là số lượng ma trận.

Để giải mã trong điều kiện phía thu biết được CSI, thuật toán cần chọn một từ mã X sao cho thỏa mãn độ đo tối thiểu: minX ∈CkY−HXk Xác suất lỗi thu được sẽ được ước lượng thông qua bất đẳng thức.

X →Xˆ là xác suất lỗi cặp, đó là xác suất mà khi từ mã X được phát, nhưng ở phía thu lại chọn sai làX Biến đổi cuối cùng ta có:ˆ

, (2.4) với E s là công suất tín hiệu phát ở mỗi antenna Trong trường hợp SNR cao, ta có:

, (2.5) trong đó ∆ =Qr j=1λj,λi là các trị riêng khác 0 của ma trận:

X,Xˆ i,j =xj,i−xˆj,i, i= 1, , nt, j = 1, , T. Viết gọn (2.5) ta được:

Từ việc tối thiểu hóa xác suất lỗi ở trên, ta thu được hai tiêu chí cho việc thiết kế mã:

1 Tiêu chí về bậc: Để thu được độ đa dạng tối đan t n r thì ma trận B

X,Xˆ phải là bậc đầy đủ đối với cặp từ mã bất kỳ X và X.ˆ

2 Tiêu chí về định thức: Tối đa hóa giá trị nhỏ nhất của định thức det (A)

Chú ý rằng ma trận A được tính cho tất cả các cặp từ mã phân biệt trong tập C Tuy nhiên, để đơn giản hóa quá trình và áp dụng giải mã hình cầu, chúng ta chỉ tập trung vào mã tuyến tính Do đó, trường hợp tính toán ma trận A sẽ được rút gọn từ hai từ mã phân biệt trong lưới xuống còn một từ mã bất kỳ trong lưới và số 0.

Các tiêu chí khác

Giả sử rằng mã STBC mã hóa các thông tin từ chòm sao tín hiệu Q - QAM hoặc

Q - HEX, trong đóQ= 2 q , q là số lượng bit thông tin chứa đựng trong một ký hiệu.

Gọi κ là số lượng các ký thiệu thông tin (QAM hoặc HEX) được mã hóa vào trong bảng mã STBC Tối độ mã hóa là:

Bộ mã được gọi là tốc độ đầy đủ (full rate) nếu Rc= 1.

Ví dụ về bộ mã tốc độ đầy đủ: nt=nr =T =n.

Khi vector hóa mã STBC, mỗi từ mã trở thành một điểm trong không gian nhiều chiều, với số chiều là m×n Điều này có nghĩa là mỗi từ mã tương ứng với một điểm trong không gian m×n chiều Theo nghiên cứu, hình dạng khối cần thỏa mãn tính dễ dàng trong việc gán nhãn bit và có hệ số hình dạng tối ưu.

Một yếu tố quan trọng trong thiết kế mã là tính chất "định thức không triệt tiêu" (non-vanishing determinant) Hệ thống điều chế tương thích yêu cầu truyền tải nhiều chòm sao tín hiệu với kích thước khác nhau, và hệ số mã hóa cần phải độc lập với kích thước của các chòm sao này Đặc biệt, chúng ta quan tâm đến mã vô hạn với ∆min khác không, và tính chất này được gọi là tính chất non-vanishing determinant.

Khái niệm mã STBC hoàn hảo [8]

Một mã n×n STBC được gọi là hoàn hảo nếu và chỉ nếu:

− Nó là mã tuyến tính tốc độ đầy đủ sử dụng n 2 t ký hiệu thông tin hoặc QAM hoặc HEX.

− Giá trị nhỏ nhất của định thức của mã vô hạn là khác 0

Năng lượng cần thiết để phát sóng các ký hiệu thông tin trên mỗi lớp tương tự như năng lượng tiêu thụ để phát các ký hiệu tương ứng của nó.

− Tất cả các ký hiệu mã trong ma trận mã có năng lượng trung bình bằng nhau.

Xây dựng mã STBC hoàn hảo

Cách xây dựng mã STBC hoàn hảo

Mã hóa các ký hiệu thông tin QAM hoặc HEX có thể được coi là tập con hữu hạn của Z(i) hoặc Z(j) Do đó, chúng ta lựa chọn trường cơ sở K là Q(i) hoặc Q(j).

Với nt là số lượng antenna phát, ta xây dựng một algebra tuần hoàn A (xem định nghĩa 35, phụ lục A) được xác định như sau:

A= (L/K, σ, γ) trong đó mở rộngL/K có bậcn =n t

Chúng tôi chọn γ với |γ| = 1 để đảm bảo năng lượng phát của mỗi anten được chuẩn hóa Để bộ mã có tính chất định thức không biến mất, cần xác định phương pháp lập mã sao cho định thức det(X) có một cận dưới lớn hơn 0 Khi phát các ký hiệu thông tin QAM hoặc HEX, điều này rất quan trọng để duy trì hiệu suất truyền tải.

K hoặc là Q(i) hoặc làQ(j), khi đó vành nguyênOK tương ứng sẽ làZ(i) hoặc làZ(j), do đó chọn γ ∈OK.

Trong tất cả các phần tử của A, ta quan tâm đến trường hợpx=x 0 +ex 1 + .+ e n − 1 xn − 1, trong đó xi ∈I là một ideal củaOK.

Như vậy, từ mã sẽ có dạng:

Mỗi lớp của từ mã có dạng (x ` , σ(x ` ), , σ n − 1 (x ` )), với ` = 0, , n−1 Cần chọn Isao cho chòm sao tín hiệu trên mỗi lớp là phiên bản quay của lưới Z[i] n hoặc Z[j] n Phương pháp này tương tự như cách tạo mã lưới đã đề cập ở chương 1 Để đảm bảo algebra Alà khả đảo, cần xác định γ sao cho γ, , γ n−1 không phải là norm thuộc L.

Trong nghiên cứu về trường số, ta chú ý đến trường hợp đặc biệt khi L/K = L₀K/K, trong đó L là trường nhỏ nhất chứa cả L₀ và K, được gọi là compositum của L₀ và K Ở trường hợp này, công thức det(Λ) = |N(β)|² |dL₀| (2.9) được áp dụng, và điều quan trọng là xác định β sao cho thỏa mãn đẳng thức trên.

Từ phần tửβ xác định ở trên, chúng ta tiến hành xác định ma trận GramM M T [Tr(βωiω¯j)] và đảm bảo ma trận Gram là một ma trận đơn vị.

Mã Golden

Xác định:Mã Golden là mã STBC hoàn hảo 2×2.

Mã Golden được xây dựng bằng cách sử dụng algebra vòng:

2 Trước khi tạo dạng, từ mã từ algebra này có dạng:

Vì i không là norm của thành phần nào thuộc Q i,√

5 do đó bộ mã thu được là bộ mã bậc đầy đủ vàA là một algebra vòng chia được.

Chúng ta tìm cách thêm tính chất về hình dạng của bảng mã như đã xây dựng bởi

Chúng ta phải tìm thành phần β sao cho NL/K(β) 2 = 5 Để xác định thành phần này, chúng ta phân tích5 trong OL như sau:

Do đó chúng ta chọn β = 1 +i−iθ Ma trận sinh của nó là:

Kết quả tính toán trực tiếp ta được:M M + = 5I 2 Do đó: √ 1

5M là ma trận đơn vị, từ đó cho ta thuộc tính hình dạng như mong muốn.

Như vậy, một từ mã X của mã Golden sau khi thêm tính chất hình dạng có dạng như sau:

# , trong đó a, b, c, d là các ký hiệu QAM.

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức của mã vô hạn Từ ββ = 2 +i, ta có: det (X) = 2 +i

Vì việc xác địnha, b, c, dtừ QAM do đó giá trị nhỏ nhất của|a 2 +ab−b 2 −i(c 2 +cd+d 2 )| 2 là1, do đó ta có: δmin(C∞) = min

5 vì β được chọn sao cho: N L/K (β) 2 = 5.

Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 3 × 3 antenna

Đối với trường hợp 3 anten, chúng ta áp dụng ký hiệu HEX, với trường cơ sở được xác định là K = Q(j), trong đó j là nghiệm bậc 3 của phương trình đơn vị Đặt θ = ζ7 + ζ7 − 1 / 2 cos(2π/7), ta có Llà Q(j, θ) là một compositum của K và Q(θ).

Biệt thức của Q(θ)làd Q (θ) = 49, đa thức tối thiểupθ(X) = X 3 +X 2 −2X−1 Mở rộng L/K là vòng với phần tử sinh σ:ζ7+ζ 7 − 1 7→ζ 7 2 +ζ 7 − 2

Algebra vòng tương ứng với bậc 3 là:A= (L/K, σ, γ), viết dạng tường minh:

Để xây dựng mã STBC hoàn hảo, ta xét A = L⊕eL⊕e²L, với e ∈ A thỏa mãn e³ = γ ∈ K∗ và λe = eσ(λ) cho mọi λ ∈ L Khi chọn γ = j, do j và j² không phải là chuẩn trong L/K, bộ mã tạo ra sẽ là mã có bậc đầy đủ.

Vì chúng ta sử dụng các ký hiệu HEX, do đó ta xác định một lưới Z[j] là một lưới

Xuất phát từ điều kiện: det (Λ) = NL/K(β) 2 d Q ( √ θ )

= 7 2 NL/K(β) 2 Điều kiện cần để thu được một phiên bản quay của lưới Z[j] 3 là tồn tại phần tử β mà NL/K(β) 2 = 7.

Cơ sở của (β)OL được xác định bởi βθ k 2 k=0 ={(1 +j) +θ,(1 +j)θ+θ 2 ,1 + 2θ+jθ 2 } Đặc biệt, thành phần thứ ba trong cơ sở này đã được tối giản nhờ vào việc áp dụng đa thức tối thiểu pβ(θ) Để thực hiện chuyển đổi cơ sở, chúng ta sử dụng ma trận.

 ta thu được cơ sở sau:

7Tr L/ Q (j) (νkνl) =δkl k, l= 1,2,3 sử dụngTr Q (θ)/ Q(1) = 3, Tr Q (θ)/ Q(θ) = −1,Tr Q (θ)/ Q(θ) 2 = 5 Tính ví dụ cho các thành phần thuộc đường chéo:

Ma trận sinh dưới dạng số là:

Từ mã X∈Cmã hóa 9ký hiệu HEX x0, , x9 là:

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức

Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 4 × 4 antenna

Tương tự như mã Golden, việc truyền các ký hiệu QAM cũng cần được quan tâm, với trường cơ sở K = Q(i) Đặt θ = ζ15 + ζ15 - 1 = 2 cos(2π/15) và Llà Q(i, θ), là hợp của Q(i) và Q(θ) Ta có tỉ số [Q(θ) : Q] = 4, dẫn đến [Q(i, θ) : Q(i)] = 4 Biệt thức của Q(θ) là dQ(θ) = 1125 và đa thức tối thiểu pθ(X) = X^4 - X^3 - 4X^2 + 4X + 1.

Mở rộngL/Q(i)là vòng với phần tử sinh σ:ζ 15 +ζ 15 − 1 7→ζ 15 2 +ζ 15 − 2

Algebra vòng tương ứng của bậc 4 là:A= (L/K, σ, γ)tức là:

Mã STBC hoàn hảo được xây dựng từ A = L⊕eL⊕e 2 L⊕e 3 L, với e thuộc L và thỏa mãn e 4 = γ ∈ K ∗ Để đảm bảo tính đầy đủ của độ đa dạng, ta chọn γ = i Do ±i và −1 không phải là norm trong L/K, mã tạo thành sẽ đạt được đặc tính mong muốn.

Sử dụng điều kiện (2.9) ta có: det (Λ) = NL/K(β) 2 d Q ( √ θ )

Ta phải xác địnhβ sao cho: NL/K(β) 2 = 3 2 5 Phân tích3 và 5 trongOL:

Chọn β = β3β5 = (1−3i) +iθ 2 Một Z[i] - basis của (β) là {βθ i } 3 i=0 Sử dụng phép chuyển đổi cơ sở bởi ma trận như sau:

 chúng ta có được cơ sở mới Z[i]- basis:

Tính trực tiếp ta có:

Tr Q (θ)/ Q (θ 3 ) = 1, Tr Q (θ)/ Q (θ 4 ) = 29 Các phần tử thuộc đường chéo:

Ma trận sinh của lưới dưới dạng số như sau:

Một từ mã X∈C mã hóa16ký hiệu QAM x0, , x15, cụ thể như sau:

Tính giá trị nhỏ nhất của định thức

15 4 Với cách chọn β như trên, ta có: δmin(C) = 1

Giải mã

Phần này mô tả cách biểu diễn mã STBC trong cấu trúc lưới, nhằm áp dụng giải mã hình cầu đã được trình bày chi tiết trong chương 1 Hàm vec(.) được định nghĩa để xác định một vector cột, phân tách phần thực và phần ảo, cụ thể là: vec(Y) = (R(y11), J(y11), , R(yn r 1), J(yn r 1), ).

Hàm chuyển đổi ma trận từ số phức sang số thực ri(.) thay thế mỗi thành phần phức của ma trận H = (hij) bằng một ma trận thực có kích thước 2×2.

Từ đó ta có: vec(Y) 

Trong phương pháp này, mỗi từ mã trong STBC tương ứng với một điểm x trong không gian R^N với N = 2ntT Từ đó, chúng ta có thể xác định một lưới được sinh ra bởi ma trận R.

C∞= Λ x=Ru:u∈Z N Các từ mã tương ứng là một chòm sao hữu hạn lấy ra từ lưới vô hạn Λ.

C x=Ru:u= (u1, , uN), uk+iuk+1 ∈Q−QAM, với k= 1, , N/2

Tính toán mô phỏng mã golden

Tính toán các tham số mô phỏng

Xuất phát từ biểu thức, từ mã Golden có dạng:

Thay các biểu thức (2.16), (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) vào (2.15) ta được:

Nhắc lại hàmvec(.)đã trình bày trong phần giải mã ở chương trước: vec(Y) = (R(y11),J(y11), ,R(yn r 1),J(yn r 1), ,

Từ đó ta có: vec(X) = 1

Lưu ý trong phần tính toán này: i 2 =−1 và θθ¯=−1

Ma trận kênh Hchuyển đổi về H như sau:

Như vậy, có thể áp dụng giải mã hình cầu (phụ lục B) đối với lưới có ma trận sinh được xác định bởi:M =H T R T

Mô phỏng mã Golden

Chương trình mô phỏng trong hệ thống fading Rayleigh MIMO 2×2.

Tại mỗi SNR, phát ngẫu nhiên 100000 bits.

Kết quả mô phỏng so sánh 4-QAM và mã Golden như hình 2.1, kết quả so sánh giải mã hình cầu và giải mã ML cho mã Golden như hình 2.2

Simulation of BER for Golden code and 4−QAM in 2 x 2 MIMO Rayleigh channel

BER of 4−QAM BER of Golden code

Hình 2.1: Mô phỏng mã Golden cho hệ thống fading Rayleigh MIMO 2×2

Simulation of BER for Golden code in 2 x 2 MIMO Rayleigh channel

Hình 2.2: So sánh giải mã hình cầu và giải mã ML, số lượng bits lỗi trong hai phương pháp giải mã bằng nhau và bằng [5153 973 281 68 18 0 0 0 0 0]

Một số nhận xét từ kết quả mô phỏng:

Kết quả mô phỏng cho thấy sự khác biệt giữa hệ thống không mã hóa và hệ thống mã hóa STBC (mã Golden) khi phát thu chòm sao tín hiệu 4-QAM Mục tiêu là so sánh tỷ lệ lỗi bit (BER) trong hai trường hợp, từ đó làm nổi bật ưu điểm của mã Golden trong việc cải thiện hiệu suất truyền tải tín hiệu.

Kết quả chỉ ra trong hình 2.1 cho ta thấy rằng:

1 BER trong trường hợp phát thu mã Golden rất nhỏ so với trường hợp phát thu 4-QAM;

2 Đường cong BER trong trường hợp phát thu mã Golden có độ dốc lớn;

3 Khi SN R lớn hơn12 dB thì BER trong trường hợp phát mã Golden bằng0 tức là hầu như không có lỗi;

Hình 2.2 trình bày kết quả BER khi phát thu mã Golden, so sánh hai phương thức giải mã: giải mã hình cầu và giải mã ML Giải mã hình cầu dựa trên nguyên tắc của giải mã ML Đồ thị trong hình 2.2 cho thấy rằng hai phương thức giải mã này đạt được kết quả hoàn toàn tương đồng.

Một điểm bàn thêm về hai thuật toán này chưa được đề cập trong luận văn là về độ phức tạp của hai thuật toán giải mã.

1 Đối với giải mã ML, phía thu phải thực hiện tính độ đo và so sánh đối với tất cả các điểm thuộc lưới, và vì vậy khi số điểm thuộc lưới tăng lên thì số lượng phép tính và so sánh sẽ tăng lên rất nhiều.

2 Đối với giải mã hình cầu, phía thu chỉ thực hiện tính độ đo và so sánh đối với những điểm thuộc hình cầu bán kính cho trước, do vậy phương thức giải mã này sẽ giảm mức độ phức tạp so với ML Tuy nhiên, phương thức này chỉ áp dụng đối với chòm sao tín hiệu có cấu trúc lưới.

TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH

VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO

Chương này cung cấp cái nhìn tổng quan về kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính và sự liên kết của nó với mã hóa STBC Kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính khai thác thông tin kênh (CSI) tại phía phát (CSIT) bằng cách điều chỉnh tín hiệu đã mã hóa trước khi phát Bộ tiền mã hóa tuyến tính hoạt động tương tự như một bộ tạo chùm nhiều chế độ, tối ưu hóa sự phù hợp giữa tín hiệu phát và kênh truyền Quá trình này chia tín hiệu phát thành các chùm trực giao và điều chỉnh công suất phát của từng chùm dựa trên loại CSIT.

Thuật ngữ CSIT bao hàm những thông tin tức thời về tình trạng kênh và những tham số kênh theo nghĩa thống kê.

Nghiên cứu về tiền mã hóa tuyến tính cho mã STBC đã được thực hiện rộng rãi Trong các nghiên cứu này, bộ tiền mã hóa được phát triển sau khi mã STBC đã được thiết kế, dẫn đến việc thiết kế bộ tiền mã hóa không phụ thuộc vào mã STBC.

Chương này cung cấp cái nhìn tổng quan về cấu trúc hệ thống khai thác CSIT (phần 4.1), thiết kế tiền mã hóa tối ưu (phần 4.2) và đưa ra một số nhận định nhằm khám phá hướng đi mới cho đề tài (phần 4.3).

Cấu trúc hệ thống

Cấu trúc của bộ lập mã

Một bộ lập mã bao gồm khối mã hóa kênh, khối xen (interleaving) và khối ánh xạ ký hiệu, từ đó tạo ra các ký hiệu vector cho khối tiền mã hóa Có hai loại cấu trúc bộ lập mã dựa trên khối ánh xạ ký hiệu: hợp kênh không gian và mã hóa ST Cấu trúc hợp kênh không gian phân kênh các bit đầu ra của khối mã hóa kênh và khối interleaving thành các dòng bit độc lập, sau đó ánh xạ vào các ký hiệu vector và đưa trực tiếp vào khối tiền mã hóa.

U) can then be achieved by a single Gaussian codebook designed for a channel without CSIT, provided that the code symbols are dynamically scaled by a power-allocation function determined by the CSIT

The expectation is derived from the joint distribution of h and U, leading to a power-allocation function f(U) that, when combined with the channel, forms an effective channel This effective channel allows for coding to be applied as if the transmitter lacked Channel State Information at the Transmitter (CSIT) This concept is rooted in the foundational work of Shannon.

For a scalar fading channel, therefore, the optimal use of CSIT is for temporal power allocation.

Recent advancements have extended the findings to the MIMO fading channel, demonstrating that the capacity-optimal input signal with Channel State Information at the Transmitter (CSIT) can be expressed as the product of a codeword suited for a channel without CSIT and a weighting matrix influenced by the CSIT The effective utilization of CSIT is achieved through linear precoding, which distributes power across both spatial and temporal dimensions Consequently, the capacity-optimal signal is characterized by a zero-mean Gaussian distribution, with its covariance defined by the precoding matrix, as illustrated in Figure 5.

This article highlights key properties of capacity-optimal signaling for fading channels with Channel State Information at the Transmitter (CSIT) It emphasizes the importance of separating the functions that utilize CSIT from the channel coding, which should be designed as if CSIT were unavailable Additionally, it identifies linear precoding as the optimal method for leveraging CSIT These principles of separation and linearity serve as foundational guidelines for designing MIMO frequency-flat precoders The focus of this article is on creating a precoder that effectively incorporates CSIT, while using predetermined channel coding and detection techniques Before delving into specific designs, the article first analyzes the overall structure of a system that employs precoding.

In a precoding system, the transmitter comprises an encoder and a precoder, which work together to enhance data transmission The encoder first processes data bits by adding redundancy for error correction and mapping them into vector symbols Subsequently, the precoder prepares these symbols for transmission through antennas On the receiving end, the receiver decodes the received signal, which may be affected by noise, to recover the original data bits, treating the combined effect of the precoder and the channel as a single effective channel Detailed discussions on the structures of these processing blocks will follow.

An encoder comprises a channel coding and interleaving block alongside a symbol-mapping block, which collectively produce vector symbols for the precoder We categorize encoders into two main structures: spatial multiplexing and space-time (ST) coding, determined by the symbol mapping block In the spatial multiplexing structure, the output bits from the channel coding and interleaving block are de-multiplexed to create independent bit streams These streams are subsequently mapped into vector symbols and sent directly to the precoder, allowing for per-stream rate adaptation due to their individual signal-to-noise ratios (SNR).

In the ST coding structure, the output bits from the channel coding and interleaving block are initially mapped directly into symbols, which are subsequently processed.

The ST encoder generates vector symbols for the precoder, as illustrated in Figure 7 When using a capacity lossless ST code, such as the Alamouti code for a 2 × 1 channel, the structure remains capacity optimal even with Channel State Information at the Transmitter (CSIT) This ST coding framework operates with a single data stream, requiring only one rate adaptation, which is managed through the Forward Error Correction (FEC) code rate and constellation design.

The difference between these two encoding structures therefore lies in the temporal dimen- sion of the symbol-level code Spatial multiplexing spreads symbols over the spatial dimension alone,

[FIG5] An optimal configuration for exploiting CSIT

[FIG7] A space-time (ST) encoding structure

IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE [92] SEPTEMBER 2007

Authorized licensed use limited to: QUEENSLAND UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Downloaded on July 31,2010 at 16:34:04 UTC from IEEE Xplore Restrictions apply

Hình 3.2: Cấu trúc mã hóa hợp kênh không gian [5, 6]

Trong cấu trúc mã hóa ST, dòng bit đầu ra từ mã hóa kênh và khối interleaving được ánh xạ trực tiếp thành các ký hiệu Những ký hiệu này sau đó được xử lý bằng mã hóa ST, tạo ra các ký hiệu vector và được đưa vào bộ tiền mã hóa.

U) can then be achieved by a single Gaussian codebook designed for a channel without CSIT, provided that the code symbols are dynamically scaled by a power-allocation function determined by the CSIT

The expectation is derived from the joint distribution of h and U, leading to an effective channel through the integration of the power-allocation function f(U) and the channel itself This allows for coding to be applied as if the transmitter lacked Channel State Information at the Transmitter (CSIT), a concept that can be traced back to Shannon's work.

For a scalar fading channel, therefore, the optimal use of CSIT is for temporal power allocation.

Recent advancements have extended the findings to the MIMO fading channel, where the capacity-optimal input signal with Channel State Information at Transmission (CSIT) can be expressed as the product of a codeword designed for a channel without CSIT and a weighting matrix influenced by CSIT The effective utilization of CSIT is achieved through linear precoding, which distributes power across both spatial and temporal dimensions Consequently, the capacity-optimal signal is characterized by a zero-mean Gaussian distribution, with its covariance defined by the precoding matrix This optimal configuration is illustrated in Figure 5.

These results establish important properties of capacity- optimal signaling for a fading channel with CSIT First, it is optimal to separate the function that exploits CSIT and the

The guiding principles for MIMO frequency-flat precoder designs are based on separation and linearity properties This article specifically emphasizes the design of a precoder utilizing Channel State Information at the Transmitter (CSIT), while considering established channel coding and detection techniques Before delving into specific design methodologies, an analysis of the system structure incorporating precoding is conducted.

In a precoding system, the transmitter comprises an encoder and a precoder The encoder takes data bits, applies error correction coding by adding redundancy, and maps the coded bits into vector symbols Subsequently, the precoder processes these symbols prior to their transmission from the antennas On the receiving end, the receiver decodes the received signal, which may be corrupted by noise, to retrieve the original data bits, effectively treating the combination of the precoder and the channel as a single channel The detailed structures of these processing components will be explored further.

An encoder comprises a channel coding and interleaving block along with a symbol-mapping block, which together produce vector symbols for the precoder We categorize encoders into two main structures: spatial multiplexing and space-time (ST) coding, determined by the symbol mapping block In the spatial multiplexing structure, the output bits from the channel coding and interleaving block are de-multiplexed to create independent bit streams These streams are subsequently mapped into vector symbols and sent directly to the precoder, allowing for per-stream rate adaptation due to their individual signal-to-noise ratios (SNR).

In the ST coding structure, the output bits from the channel coding and interleaving block are directly mapped into symbols, which are subsequently processed.

Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính

Chúng tôi phân tích cấu trúc tiền mã hóa tuyến tính cho STBC, trong đó bộ tiền mã hóa tuyến tính thực hiện chức năng tương tự như bộ tổ hợp tạo dạng và bộ tạo chùm với khả năng chia sẻ nhiều chế độ Hệ thống này cũng đảm bảo việc cấp phát công suất cho từng dòng, giúp tối ưu hóa hiệu suất truyền dẫn Ma trận tiền mã hóa được khai triển nhằm nâng cao độ tin cậy và hiệu quả trong quá trình truyền tải dữ liệu.

The direction of the orthogonal beams is represented by the UF matrix, where each column indicates a specific beam direction, and the power of each beam is D² The VF matrix combines the input symbols from the pre-encoder for each beam, serving as the input shape matrix, as illustrated in Figure 3.4 This results in a one-symbol-long input block, while ST coding typically distributes symbols across both spatial and temporal dimensions Although these structures have different effects on rate adaptation, this article does not address that topic.

In our precoding analysis and design, we consider spatial multiplexing as a specific instance of space-time (ST) coding with a block length of one We assume a Gaussian-distributed codeword C, which has dimensions N × T and a zero mean The codeword covariance matrix is then defined accordingly.

In this context, P represents the transmit power, with the codeword scaled accordingly to ensure a normalized covariance, while the expectation is calculated based on the distribution of the codeword When C involves spatial multiplexing, the matrix Q is equivalent to the identity matrix I.

Space-Time Block Coding (STBC) is essential for capturing spatial diversity in wireless channels without requiring Channel State Information at the Transmitter (CSIT) The diversity order significantly influences the error probability relative to the Signal-to-Noise Ratio (SNR) and is linked to the number of spatial links that are not fully correlated High diversity is particularly beneficial in fading channels, as it minimizes the fade margin necessary for achieving reliable link performance A full-diversity code can attain maximum diversity, represented as MN, in a system with N transmit and M receive antennas However, there exists a fundamental trade-off between diversity and multiplexing orders in ST coding.

The multiplexing order is crucial for rate adaptation, indicating how transmission rates increase with signal-to-noise ratio (SNR), while a fixed-rate system has a multiplexing order of zero Recent advancements have explored the diversity-multiplexing trade-off at low SNRs, introducing a modified definition of multiplexing order Additionally, the design of space-time block codes (STBC) that achieve the optimal diversity-multiplexing trade-off without channel state information at the transmitter (CSIT) remains a significant area of research.

CSIT-based precoding aims to leverage coding gains by utilizing channel state information, providing a signal-to-noise ratio (SNR) advantage This approach operates independently of, and complements, the diversity-multiplexing trade-offs associated with space-time (ST) codes.

The precoder operates as an independent transmit processing unit, distinct from channel and space-time coding, and relies on Channel State Information at the Transmitter (CSIT) Its linear structure serves as both an input shaper and a multimode beamformer, enabling power allocation for each beam This functionality can be analyzed through the singular value decomposition (SVD) of the precoder matrix.

The orthogonal beam directions are the left singular vectors U F , of which each column represents a beam direction (pattern).

The structure known as eigen-beamforming is characterized by the eigenvectors of the product FF∗, where the beam power loadings correspond to the squared singular values D² The right singular vectors VF serve as the input shaping matrix, mixing the precoder input symbols for each beam To ensure efficient power usage, the precoder must adhere to the constraint tr(FF∗) = 1.

The total power across all beams must remain constant, although the power of each individual beam may vary based on factors such as Signal-to-Noise Ratio (SNR), Channel State Information (CSIT), and specific design criteria.

A precoder plays a crucial role in wireless communication by decoupling the input signal into orthogonal spatial modes, known as eigen-beams, and distributing power among these beams based on Channel State Information at the Transmitter (CSIT) When the precoded eigen-beams align with the channel eigen-directions, interference is minimized, enabling the creation of parallel channels for independent signal transmission However, achieving this optimal performance necessitates complete channel knowledge at the transmitter In scenarios with partial CSIT, the precoder aims to closely align its eigen-beams with the channel eigen-directions, thereby reducing interference among the transmitted signals and enhancing the overall decoupling effect.

The precoder optimizes power distribution across beams, ensuring that when orthogonal eigen-beams are utilized with equal power, the transmit antenna array exhibits an isotropic radiation pattern.

Figure 9(a) illustrates a uniform linear antenna array pattern, while Figure 9(b) demonstrates how varying beam powers result in a distinct, non-circular transmit radiation pattern By strategically allocating power, the precoder tailors the radiation shape to align with the channel conditions based on Channel State Information at the Transmitter (CSIT), directing higher power towards stronger channels and minimizing or eliminating power in weaker ones Increasing the number of transmit antennas enhances the ability to precisely shape the radiation pattern, potentially delivering greater precoding gain.

[FIG8] A linear precoder structure as a multimode beamformer

IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE [93] SEPTEMBER 2007

Authorized licensed use limited to: QUEENSLAND UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Downloaded on July 31,2010 at 16:34:04 UTC from IEEE Xplore Restrictions apply

Hình 3.4: Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính [5, 6] Để bảo toàn tổng năng lượng phát, bộ tiền mã hóa phải thỏa mãn: tr(F F ∗ ) = 1 (3.2)

Tổng công suất của tất cả các chùm là một hằng số, trong khi công suất của từng chùm lại khác nhau dựa vào các yếu tố như SNR, SCIT và các tiêu chí thiết kế.

Cấu trúc thu

Xét một hệ thống với một bộ lập mã tạo nên một từ mã Cvà một bộ tiền mã hóa

F tại phía phát như được mô tả trong hình 3.1 Ở phía thu, tín hiệu nhận được có dạng:

Trong công thức Y=HFC+N (3.3), N đại diện cho vector nhiễu Gauss trắng cộng tính Điều này cho thấy trong hệ thống có tiền mã hóa, HF được xử lý như ma trận kênh hiệu dụng bởi phía thu.

Phía thu có nhiệm vụ phát hiện và giải mã tín hiệu nhận được nhằm ước lượng từ mã đã phát Để thực hiện điều này, phía thu có thể áp dụng một trong nhiều phương pháp phát hiện khác nhau, tùy thuộc vào mức độ thực hiện và độ phức tạp của thuật toán cần thiết.

MLsẽ thu được từ mã thỏa mãn:

Thiết kế tiền mã hóa tối ưu

Bộ tiền mã hóa tuyến tính bao gồm ma trận tạo dạng đầu vào, ma trận tạo chùm và bộ cấp phát năng lượng cho các chùm này Ma trận tạo dạng đầu vào tối ưu chỉ phụ thuộc vào mã đầu vào, trong khi ma trận tạo chùm lại phụ thuộc vào thông tin kênh có sẵn (CSIT), và bộ cấp phát năng lượng phụ thuộc vào cả mã và CSIT.

Ma trận tạo dạng đầu vào là yếu tố quan trọng trong thiết kế STBC, vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu suất của hệ thống Bộ mã hóa sẽ tạo ra ma trận hiệp phương sai cho các từ mã, sau đó chuyển giao đến bộ tiền mã hóa để xử lý tiếp theo.

Bộ tiền mã hóa tương ứng lựa chọn ma trận đầu vào để phù hợp với ma trận hiệp phương sai Gọi ma trận hiệp phương sai của từ mã là Q và giả sử nó có khai triển trị riêng.

Q=U Q Σ Q U Q , ma trận tạo dạng đầu vào tối ưu sẽ là:

Ma trận đầu vào được tạo ra từ ma trận Q, thường được xác định trước trong các thiết kế tiền mã hóa cho STBC, mà không phải là tham số thiết kế Ma trận hiệp phương sai Q đặc trưng cho mã của hệ thống Bằng cách điều chỉnh hiệp phương sai từ mã đầu vào, bộ tiền mã hóa tối ưu hóa tín hiệu đầu vào và lựa chọn năng lượng đầu vào hiệu quả nhất.

Một số vấn đề cần bàn luận

Trong hệ thống MIMO, khối phát sử dụng cấu trúc khai thác CSIT đầy đủ bao gồm mã hóa kênh, mã hóa STBC và tiền mã hóa Mục tiêu chung của các kỹ thuật này là giảm tỷ lệ lỗi và nâng cao dung lượng cũng như hiệu suất đường truyền.

Với cấu trúc STBC hoàn hảo, trong hệ thống tiền mã hóa tuyến tính, việc sử dụng giải mã hình cầu cho phía thu là một lợi thế của mã lưới Các nghiên cứu hiện tại về tiền mã hóa tuyến tính cho STBC giả thiết đã có mã STBC, coi đây không phải là tham số thiết kế Thiết kế đồng thời mã STBC và tiền mã hóa tuyến tính có thể khả thi do hai kỹ thuật này chia sẻ một số tiêu chí giống nhau, như xác suất lỗi cặp Nếu thực hiện thiết kế đồng thời, có thể giảm bớt các ràng buộc khắt khe của mã STBC hoàn hảo, từ đó tăng số lượng bộ mã đáp ứng yêu cầu thiết kế hệ thống.

Khi áp dụng mã hóa kênh, lượng thông tin thực sự trong mỗi ký hiệu giảm so với kích thước ký hiệu, đồng thời yêu cầu phía thu phải xử lý phức tạp hơn Để khắc phục vấn đề này, việc sử dụng cấu trúc lưới cho phép áp dụng giải mã hình cầu, giúp giảm thiểu khối lượng tính toán cần thiết ở phía thu.

Khi áp dụng mã lưới trong môi trường truyền có fading sâu, việc thu nhận thông tin có thể gặp khó khăn khi ma trận thu có số chiều nhỏ hơn ma trận phát Một câu hỏi quan trọng là liệu có thể khôi phục thông tin đã mất dựa vào cấu trúc lưới hay không Kỹ thuật lấy mẫu nén (compressed sensing) có thể được sử dụng để phục hồi thông tin này một cách hiệu quả.

Thông qua việc thực hiện luận văn này, tôi đã thu được kiến thức chi tiết về mã lưới cho kênh fading Rayleigh và có cái nhìn toàn diện về hệ thống thông tin không dây MIMO Mục tiêu ban đầu của tôi là tìm hiểu về hệ thống thông tin không dây, và để nắm bắt vấn đề một cách chi tiết, việc nghiên cứu công cụ toán học trong việc xây dựng mã lưới và mã STBC cho kênh fading Rayleigh với đơn antenna và MIMO fading Rayleigh là rất quan trọng.

Luận văn này tập trung vào việc nghiên cứu mã lưới cho kênh fading Rayleigh với anten đơn, đặc biệt là mã STBC hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO Ngoài ra, luận văn cũng đã mô phỏng thành công hệ thống trong các trường hợp đơn giản Kết hợp với việc tìm hiểu về tiền mã hóa tuyến tính trong tương lai, nghiên cứu có thể mở ra ý tưởng mới về việc kết hợp thiết kế STBC và tiền mã hóa tuyến tính, đây có thể là hướng nghiên cứu tiếp theo của tác giả.

[1] C R J Boutros, E Viterbo and J.-C Belfiore, “Good lattice constellations for both rayleigh fading and gaussian channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 42, pp 502–518, 1996.

[2] X Giraud and J C Belfiore, “Constallation mached to the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 42, pp 106–114, 1996.

[3] J Boutros and E Viterbo, “Signal space diversity: A power and bandwidth efficient diversity technique for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on Informa- tion Theory, 1998.

[4] F O E Bayer-Fluckiger and E Viterbo, “New algebraic constructions of rotated zn-lattice constellations for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on In- formation Theory, 2004.

[5] A P Mai Vu, “Mimo wireless linear precoding,” IEEE Signal Processing Magazine, pp 87–105, 2007.

[6] M Vu, “Exploiting transmit channel side information in mimo wireless systems,” Ph.D dissertation, Stanford University, 2006.

[7] F Oggier and E Viterbo, “Algebraic number theory and code design for rayleigh fad- ing channels,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, vol 1, 2004.

[8] F Oggier, “Algebraic methods for channel coding,” Ph.D dissertation, Ecole Poly- technique Federare De Lausanne, 2005.

[9] M Pohst, Computational Algebraic Number Theory Verlag, 1993.

[10] E Viterbo and E Biglieri, “A universal lattice decoding algorithm for lattice codes,” pp 611–614, 1993.

[11] F O J C Belfiore and E Viterbo, “Cyclic division algebras: a tool for space-time coding,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, 2007.

[12] N S Vahid Tarokh and A R Calderbank, “Space-time codes for high data rate wireless communication: Performance criterion and code construction,” IEEE Trans- actions on Information Theory, vol 44, pp 744–765, 1998.

[13] J.-C Belfiore and G Rekaya, “Quaternionic lattices for space-time coding,”ITW2003, 2003.

[14] G R Jean-Claude Belfiore and E Viterbo, “The golden code: A 2 x 2 full-rate space-time code with nonvanishing determinants,”IEEE Transactions on information theory, vol 51, pp 1432–1436, 2005.

[15] J.-C B Yi Hong, Emanuele Viterbo, “Golden space-time trellis coded modulation,” IEEE Transactions on Information Theory, 2007.

[16] J H Conway and N J A Sloane,Sphere Packings, Lattices and Groups Springer- Verlag, New York, 1988.

[17] H Cohn,Advanced Number Theory Dover Publications, New York, 1980.

[18] A Weil,Basic number theory Springer-Verlag, New York, 1974.

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI

Phần phụ lục này giới thiệu cơ sở toán học của mã lưới, bao gồm các khái niệm cơ bản về lý thuyết lưới và lý thuyết số đại số, đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển mã lưới cho hệ thống đơn antenna Đồng thời, đại số vòng chia được cũng là công cụ thiết yếu trong việc xây dựng mã STBC cho hệ thống MIMO.

Một số định nghĩa toán học cơ bản Định nghĩa 1.Cho G là một tập hợp với một toán tử trong (ký hiệu là +).

(a, b) 7−→ a+b Hợp(G,+) được gọi là một nhóm nếu:

1 Toán tử có tính chất kết hợp: a+ (b+c) = (a+b) +c ∀a, b, c∈G

2 Tồn tại phần tử trung hòa 0mà a+ 0 = 0 +a=a ∀a ∈G

3 ∀a ∈Gthì tồn tại phần tử ngược −a mà a−a=−a+a= 0

Nhóm G được gọi là Abelian nếu a+b =b+a ∀a, b∈G (Tức là toán tử có tính chất giao hoán). Định nghĩa 2.

Trong lý thuyết nhóm, cho một nhóm (G, +) và một tập con không rỗng H của G, H được gọi là nhóm con của G nếu (H, +) cũng là một nhóm, với phép toán + được kế thừa từ G.

Cấu trúc nhóm có một đặc điểm thú vị là tổng của bất kỳ hai thành phần nào trong nhóm luôn thuộc về nhóm đó, vì vậy ta có thể khẳng định rằng G là một nhóm đóng dưới toán tử nhóm cộng Định nghĩa 3: Giả sử v = (v1, v2, , vm) là một tập hợp các vector độc lập tuyến tính.

R n (m≤n) Tập hợp điểm Λ ( xXm i=1 λivi, λi ∈Z

) được gọi là một lưới với số chiềum và {v1, v2, , vm} được gọi là cơ sở của lưới.

Có rất nhiều cách chọn cơ sở của một lưới đã cho.

Một lưới là tập hợp các điểm rời rạc trong R^n, được hình thành từ các tổ hợp tuyến tính nguyên của các vector v1, v2, , vm Là một nhóm con của (R^m, +), tổng hoặc hiệu của hai vector trong lưới vẫn thuộc lưới đó Ô chứa tất cả các điểm θ1v1 + θ2v2 + + θnvn, với điều kiện 0 ≤ θi < 1, được gọi là một ô cơ sở của lưới.

Cho tọa độ của các vector cơ sở như sau: v1 = (v11, v12, , v1n) v2 = (v21, v22, , v2n) vm = (vm1, v22, , vmn) trong đó n ≥m Định nghĩa 5.

 được gọi là ma trận sinh (generator matrix) của lưới.

Ma trận G= M M T được gọi là ma trận Gram của lưới, trong đó (.) T là biểu diễn của ma trận chuyển vị.

Lưới có thể được định nghĩa qua ma trận sinh của nó, ký hiệu là Λ ={x=λM |λ∈Z m} Định thức của lưới, được ký hiệu là det(Λ), tương đương với định thức của ma trận G, tức là det(Λ) = det(G) Đây là một đại lượng bất invariant của lưới, vì nó không phụ thuộc vào việc chọn các cơ sở của lưới.

Vì ma trận G được xác định bằng G = M M T , trong đó M chứa các vector cơ sở {vi} n i=1, do đó phần tử(i, j) của G chính là tích trong hvi,vji=viv T i Định nghĩa 7.

Một lưới Λ được gọi là lưới nguyên nếu ma trận Gram của nó có các hệ số nguyên.

Trong trường hợp lưới có bậc đầy đủ (full-rank lattice), ma trận M là ma trận vuông và ta có công thức det(Λ) = (det(M))^2 Đối với lưới này, căn bậc hai của định thức được coi là thể tích của ô cơ sở, hay còn gọi là thể tích của lưới, được ký hiệu là vol(Λ).

Cho Λ là một lưới với số chiều n được định nghĩa bởi đa thức sinh M. Định nghĩa 9.

Cho B là một ma trận nguyên kích thước n×n Một lưới con Λ 0 của Λ được định nghĩa là: Λ 0 ={x=λBM |λ∈Z m }

Vì một lưới có cấu trúc nhóm, do đó Λ 0 là một nhóm con của Λ. Định nghĩa 10.

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G Cho a∈G Tập con: a+H ={a+h, h∈H} Tương ứngH+a={h+a, h∈H} được gọi là tập cộng bên trái (bên phải) của Gvới module H.

Nếu G có tính chất Abilian thì việc phân biệt tập cộng bên trái hay bên phải của

Gmodule H là không cần thiết. Định nghĩa 11.

Một lưới tỷ lệ (scaled lattice) Λ 0 có thể được hình thành bằng cách nhân tất cả các vector của lưới Λ với một hệ số c, được biểu diễn là Λ 0 = c.Λ, trong đó c thuộc tập số thực R Nếu c là một số nguyên (c∈Z), thì Λ 0 sẽ trở thành một lưới con của Λ.

Các lưới được coi là tương đương (equivalent) khi một lưới có thể được chuyển đổi thành lưới khác thông qua các phép biến đổi như quay, đối xứng hoặc thay đổi tỷ lệ.

Một số vấn đề về lý thuyết số đại số

Trường số đại số Định nghĩa 13.

Cho A là tập hợp với hai toỏn tử trong, biểu diễn là + và ã Tập hợp (A,+,ã) là một vành nếu:

2 Toỏn tử ã cú tớnh chất kết hợp và cú phần tử trung hũa

3 Cú tớnh chất phõn phối giữa phộp + và phộp ã

Vành A được định nghĩa là giao hoán nếu với mọi a, b thuộc A, thì a*b = b*a Tập hợp các phần tử trong A có phần tử nghịch đảo được gọi là tập đơn vị của A, ký hiệu là A*.

Cho A là một vành mà A ∗ =A\ {0}, ta nói rằng A là không giao hoán Nếu A có tính chất giao hoán thìA được gọi là một trường.

Ví dụ tập hợp Qlà một trường.

Ví dụ khác: Các trường có thể xây dựng từ trường Q Ví như số √

2 không phải là phần tử của Q Chúng ta có thể tạo ra trường mới bằng thêm tất cả các bội số và lũy thừa √

2 vào Q Và do đó trường mới chứa cả Q và √

2 Chúng ta gọi đây là mở rộng củaQ. Định nghĩa 15.

Cho K và Llà hai trường NếuK ⊆Lthì ta nói rằngLlà một mở rộng trường của

Chú ý rằng nếu ta cóL/K thìLcó bản chất là một không gian vector trênK Theo như ví dụ trên, nếux∈Q √

2 là các vector cơ sở còn a và b là các thành phần vô hướng Như vậy Q √

2 có thể coi là không gian vector với số chiều bằng2. Định nghĩa 16.