Mục đích nghiên cứu
2.1 Nội dung và ph-ơng pháp dạy cách giải toán ở Tiểu học, đặc biệt là ph-ơng pháp giải toán v ậ n d ụ ng ph-ơng pháp chia tỷ lệ
2.2 Thực trạng dạy học toán, việc áp dụng các ph-ơng pháp để giải toán ở tr-ờng Tiểu học Phự Ninh - huyện Phự Ninh - tỉnh Phú Thọ
2.3 Xây dựng hệ thống các bài tập rèn kỹ năng giải toán bằng ph-ơng pháp chia tỷ lệ
Để nâng cao hiệu quả dạy và học toán tại trường Tiểu học Phự Ninh, cần khắc phục những hạn chế hiện tại và phát huy những điểm tích cực Việc áp dụng các phương pháp giảng dạy tích cực sẽ giúp cả giáo viên và học sinh giải bài tập toán một cách hiệu quả hơn.
Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể
Đối tượng nghiên cứu
học trong việc vận dụng các phương pháp giải toán đặc biệt là phương pháp chia tỷ lệ.
Giả thuyết khoa học
Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 12
Nghiên cứu lý luận và thực tiễn trong giáo dục Tiểu học cho thấy rằng việc giáo viên áp dụng linh hoạt và sáng tạo các phương pháp giải toán, đặc biệt là phương pháp chia tỷ lệ, sẽ giúp hình thành và phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh Điều này góp phần nâng cao hiệu quả trong công tác dạy và học môn Toán.
Nhiệm vụ nghiên cứu
5.2 Phân tích thực trạng và các biện pháp thực hiện ph-ơng pháp chia tỷ lệ trong dạy học môn Toán của tr-ờng Tiểu học Phự Ninh
5.3 Tổng kết các ph-ơng pháp có hiệu quả để tổ chức công việc giảng dạy, công việc giải toán bằng ph-ơng pháp chia tỷ lệ.
Ph-ơng pháp nghiên cứu
Nhóm các ph-ơng pháp nghiên cứu lý luận
Hệ thống hóa lý thuyết từ các tài liệu liên quan và chọn lọc những lý thuyết phù hợp với vấn đề nghiên cứu là bước quan trọng Đồng thời, cần xác định các ứng dụng của những lý thuyết này để áp dụng hiệu quả trong nội dung nghiên cứu.
Nhóm các ph-ơng pháp nghiên cứu thực tiễn
7.2.1 Ph-ơng pháp điều tra:
Mục đích của nghiên cứu này là để khám phá các mức độ nhận thức và nhu cầu được thể hiện qua thái độ của cán bộ, giáo viên và toàn thể học sinh tại trường tiểu học Phự Ninh.
Đối tượng điều tra bao gồm việc sử dụng các loại phiếu điều tra và phiếu trắc nghiệm (cả ankét đóng và mở) nhằm tìm hiểu và khai thác thông tin khách quan về thực trạng áp dụng phương pháp chia tỷ lệ trong giải toán của học sinh.
- Thời gian thực hiện: Khoảng tháng1 đến tháng 2 năm 2013
7.2.2 Ph-ơng pháp quan sát: Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 13
Mục đích của bài viết là thu thập thông tin về cách học và giải toán, áp dụng các phương pháp tích cực để đánh giá phương pháp dạy và học của giáo viên cũng như học sinh Qua đó, chúng tôi sẽ đề xuất những biện pháp phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập trong môn toán.
Phương pháp này được áp dụng trong hầu hết các tình huống và hoàn cảnh khác nhau, nhằm thu thập thông tin thiết thực nhất cho vấn đề nghiên cứu.
- Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 2 đến tháng 4 năm 2013
7.2.3 Ph-ơng pháp trò chuyện với cán bộ giáo viên trong tr-ờng tham gia giảng dạy:
Mục đích của phương pháp này là nhằm trao đổi và khai thác thông tin liên quan đến việc dạy và học toán, cũng như tìm hiểu về truyền thống của nhà trường, từ đó giúp có cái nhìn khách quan nhất về quá trình giáo dục.
- Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 2 đến tháng 3 năm 2013
7.2.4 Ph-ơng pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động thực tiễn của học sinh:
Sản phẩm nghiên cứu bao gồm các bài kiểm tra toán, vở lý thuyết và vở bài tập toán, đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển tâm lý trẻ em Những sản phẩm này không chỉ phản ánh hoạt động của trẻ mà còn trở thành phương tiện và vật liệu nghiên cứu quý giá, giúp hiểu rõ hơn về quá trình học tập và phát triển của trẻ.
- Thời gian thực hiện: Từ tháng 4 đến tháng 5 năm 2013
7.2.5 Ph-ơng pháp lấy ý kiến chuyên gia:
Phương pháp nghiên cứu này yêu cầu người thực hiện phải học hỏi và thu thập ý kiến từ các chuyên gia toán học, đặc biệt là những giáo viên có chuyên môn sâu về phương pháp giảng dạy toán ở bậc Tiểu học.
Mục đích của việc tích lũy kiến thức và kỹ năng nghiên cứu toán học là nhằm thu thập những hiểu biết đúng đắn và kinh nghiệm quý báu từ các chuyên gia, từ đó phục vụ hiệu quả cho công việc nghiên cứu của bản thân.
Cấu trúc đề tài khúa luận
Cơ sở lý luận
1.2.1 Sự phát triển tư duy của lứa tuổi Tiểu học:
Tư duy là quá trình nhận thức mà phản ánh các thuộc tính bản chất và mối liên hệ quy luật giữa các sự vật và hiện tượng trong thực tế khách quan mà chúng ta chưa biết đến trước đó.
Các nhà khoa học đã nghiên cứu và phân chia sự phát triển tâm lý và sinh lý của trẻ em thành các giai đoạn liên tiếp, được gọi là lứa tuổi Quan niệm này đã tồn tại từ lâu, phản ánh sự tiến triển tự nhiên trong quá trình trưởng thành của trẻ.
Nghiên cứu của I.M Xêtrenov về hoạt động phản xạ của con người, cùng với học thuyết tiến hóa, đã khẳng định mối liên hệ chặt chẽ giữa hiện tượng tâm lý và sinh lý Điều này chỉ ra rằng sự phát triển tâm lý ở trẻ em gắn liền với cơ sở sinh lý thần kinh và cấu trúc não bộ của con người.
Sự phát triển tư duy của lứa tuổi học sinh Tiểu học
Tư duy của học sinh tiểu học thường mang đặc điểm của tư duy nguyên thủy, với tính chủ quan và cảm xúc chiếm ưu thế Điều này dẫn đến việc hệ thống tín hiệu thứ nhất được ưu tiên hơn hệ thống tín hiệu thứ hai Tuy nhiên, theo thời gian, đặc điểm này sẽ dần thay đổi để phù hợp với lứa tuổi của các em học sinh.
Sự phát triển tư duy của học sinh tiểu học chia làm 2 giai đoạn :
Giai đoạn 1 (7 - 10 tuổi) là thời kỳ tư duy cụ thể, trong đó học sinh thực hiện các thao tác tư duy dựa vào những đặc điểm bên ngoài và trực quan Các hoạt động học tập của trẻ trong giai đoạn này thường dựa vào trải nghiệm thực tế và sự quan sát trực tiếp.
Giai đoạn 2 (11, 12 - 15, 16 tuổi) đánh dấu sự phát triển tư duy trừu tượng khái quát ở học sinh Trong giai đoạn này, học sinh bắt đầu tư duy dựa vào việc phân tích các mối liên hệ bên trong của các đối tượng, sử dụng các dấu hiệu chuẩn để hiểu và giải thích thông tin.
Trong tư duy của học sinh Tiểu học, tính trực quan đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển kỹ năng phân biệt các dấu hiệu bản chất Học sinh cần khả năng tách biệt những dấu hiệu này khỏi các sự vật và hiện tượng mà chúng ẩn chứa, điều này thể hiện phẩm chất tư duy không dễ dàng đạt được ngay lập tức.
Tri giác phát triển sớm hơn, và trước hết, nó liên quan đến việc nhận biết các dấu hiệu bên ngoài Tuy nhiên, những dấu hiệu này không nhất thiết phản ánh bản chất thực sự của sự vật và hiện tượng mà trẻ em đang quan sát.
Sự phát triển của các quá trình nhận thức
Tri giác của học sinh Tiểu học thường mang tính đại thể và ít chú ý đến chi tiết, dẫn đến việc phân biệt các đối tượng chưa chính xác Các em dễ mắc sai lầm và có thể lẫn lộn giữa các đối tượng do tri giác còn yếu Học sinh ở các lớp đầu cấp Tiểu học thường tiếp nhận thông tin theo cách tổng quát, tập trung vào toàn bộ sự vật hơn là những chi tiết cụ thể.
Tri giác về không gian và thời gian cũng như ước lượng về không gian và thời gian của học sinh Tiểu học còn hạn chế
Tri giác của học sinh Tiểu học không tự phát triển mà cần trải qua quá trình học tập Qua thời gian, tri giác trở thành hoạt động có mục đích, dần phức tạp và sâu sắc hơn, từ đó hình thành nên khả năng quan sát có tổ chức và phân tích.
Học sinh Tiểu học thường phát triển trí nhớ trực quan - hình tượng mạnh mẽ hơn so với trí nhớ từ ngữ - logic Điều này xảy ra do ở độ tuổi này, hoạt động của hệ thống trí nhớ trực quan chiếm ưu thế hơn, giúp các em tiếp thu thông tin một cách hiệu quả hơn.
Do ảnh hưởng của hoạt động học tập, trí nhớ của học sinh Tiểu học được triển khai theo hai hướng: Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 18
Một là, tăng cường vai trò ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ của từ ngữ logic so với trí nhớ trực quan hình tượng
Trẻ em có khả năng điều khiển trí nhớ của mình một cách có ý thức, cho phép chúng nhẫn lại và nhớ lại thông tin một cách chủ định.
Trí nhớ được hình thành từ các đường liên hệ thần kinh tạm thời, và những đường liên hệ này chỉ trở nên bền vững thông qua quá trình luyện tập Thực tế, phản xạ và ức chế có điều kiện là kết quả của việc ghi nhớ những bài học đã trải qua.
Muốn phát triển trí nhớ, điều quan trọng đầu tiên là phải tập trung cao độ
Để chuyển đổi trí nhớ ngắn hạn thành trí nhớ dài hạn, việc tập trung là rất quan trọng, vì chỉ khi tập trung, cơ chế nơron mới hoạt động hiệu quả Ngoài ra, việc luyện tập và ôn tập thường xuyên là cần thiết để củng cố các liên kết thần kinh tạm thời Học sinh cần tập trung vào những kiến thức quan trọng và phù hợp với nhu cầu của mình Do đó, khi giảng bài, giáo viên nên nêu ra các vấn đề và sắp xếp theo trình tự logic để dễ nhớ Cuối cùng, việc tạo hứng thú cho bài học là điều cần thiết, vì hứng thú giúp não hoạt động hiệu quả hơn mà không cảm thấy mệt mỏi.
Chú ý ở học sinh Tiểu học có hai loại là: - Chú ý có chủ định
Chú ý có chủ định của học sinh tiểu học còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý một cách có ý trí chưa mạnh
Chú ý không chủ định của học sinh Tiểu học được kích thích bởi những yếu tố mới mẻ, bất ngờ và khác thường, giúp thu hút sự chú ý mà không cần nỗ lực ý chí Sự chú ý có chủ định sẽ mạnh mẽ hơn khi giáo viên sử dụng đồ dùng dạy học đẹp và mới lạ, tạo ra cảm xúc tích cực cho học sinh Do đó, việc sử dụng tranh ảnh, hình vẽ và mô hình trong giảng dạy là cần thiết để thu hút sự chú ý và nâng cao hiệu quả học tập.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ
Tìm hiểu về hệ thống các phương pháp giải toán thường dùng ở Tiểu học
2.2.1 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng:
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một kỹ thuật giải toán hiệu quả, trong đó các đoạn thẳng được sử dụng để biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng đã biết và các đại lượng cần tìm.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán đơn giản, toán hợp và toán có văn điển hình, đặc biệt phổ biến trong các lớp 4 và 5 Nội dung này được nghiên cứu và áp dụng bởi Đỗ Ánh Tuyết, sinh viên lớp K7A tại ĐHSP Tiểu học.
Ví dụ 1 : Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là 540m
Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng số mét vải xanh bằng
Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như sau:
Vì số vải xanh bằng
1 số mét vải hoa và số mét vải xanh ít hơn số mét vải hoa là 540m nên số mét vải xanh là: 540 : 3 = 180 (m)
Số mét vải hoa là:
Cũng có thể giải bài tập này theo cách sau đây:
Số mét vải hoa là:
Số mét vải xanh là:
720 - 540 = 180 (m) Đáp số: vải xanh: 180 m vải hoa: 720 m
Một đội công nhân sửa đường sắt đã thực hiện công việc trong ba ngày Ngày đầu tiên, họ sửa được 15 mét đường Ngày thứ hai, họ sửa thêm 1 mét so với ngày đầu, tức là 16 mét Ngày thứ ba, họ sửa được 2 mét nhiều hơn ngày đầu, tổng cộng là 17 mét Để tính trung bình mỗi ngày, ta cộng tổng số mét đã sửa trong ba ngày và chia cho 3.
Phân tích: Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 34
Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như sau :
Cách 1: Ngày thứ hai sửa được là:
Ngày thứ ba sửa được là:
Cả ba ngày sửa được là:
Trung bình mỗi ngày sửa được là:
Cách 2: Ta có thể giải bài tập nay bằng cách sau đây:
Cả ba ngày sửa chữa được là:
Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là:
Cách 3: Nếu ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như sau ta có thể giải một cách ngắn gọn hơn:
Ngày thứ ba : Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 35
Nếu ta chuyển 1 m của ngày thứ ba sang ngày thứ nhất thì số m của ba ngày đều bằng nhau và bằng số m của ngày thứ hai là:
15 + 1 = 16 (m) Trung bình mỗi ngày đội công nhân sửa được 16m đường sắt Đáp số: 16 m
2.2.2 Phương pháp chia tỉ lệ:
Phương pháp chia tỉ lệ là phương pháp giải toán dùng để giải các bài toán tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng
Giải quyết các bài toán liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch, cũng như các bài toán về cấu tạo số thập phân và phân số là rất quan trọng Phương pháp này cũng có thể áp dụng hiệu quả cho các bài toán chuyển động, giúp người học nắm vững kiến thức toán học cơ bản.
Ví dụ 1: Một lớp học có 48 học sinh, trong đó số học sinh nữ bằng
3số học sinh nam Hãy tìm số học sinh nam và số học sinh nữ
Tổng số phần bằng nhau là:
Số học sinh nữ của lớp là:
Số học sinh nam là:
48 – 18 = 30 (học sinh) (Hoặc 48 : 8 x 5 = 30 học sinh) Đáp số: Nữ: 18 học sinh Nam: 30 học sinh Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 36
Ví dụ 2: Cho hai số có hiệu bằng 952 và biết số này bằng
1 số kia Tìm hai số đó
Ta có thể tóm tắt bằng sơ đồ sau:
Nếu xem số thứ hai là một phần, thì số thứ nhất tương đương với 18 phần Điều này có nghĩa là số thứ nhất lớn hơn số thứ hai 17 phần, và 17 phần đó tương ứng với 952 đơn vị.
Hiệu số phần bằng nhau là:
(Hoặc 952 + 56 = 1008) Đáp số: Số thứ nhất: 1008
Phương pháp chia tỉ lệ được ứng dụng rất nhiều dùng để giải các dạng bài toán khác nhau (Ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn ở phần sau)
2.2.3 Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số:
Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số là hai cách giải khác nhau cho các bài toán liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Trong các bài toán này, thường có ba đại lượng, trong đó một đại lượng giữ nguyên và hai đại lượng còn lại thay đổi theo mối quan hệ tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch.
Ví dụ 1: Có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải loại đó để may 7 bộ quần áo như thế?
Trong bài toán này, chúng ta được cung cấp hai giá trị của đại lượng thứ nhất là 9 bộ và 7 bộ, cùng với một giá trị của đại lượng thứ hai là 45 m Nhiệm vụ của chúng ta là xác định một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai, cụ thể là số mét vải cần thiết để may 7 bộ quần áo.
Ta tóm tắt bài toán như sau:
Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây:
- Bước 1: Tìm xem một bộ quần áo hết mấy m vải? (của đại lượng thứ hai)
- Bước 2: Tìm xem 7 bộ quần áo may hết mấy m vải? (của đại lượng thứ hai)
Số m vải để may một bộ quần áo là:
Số m vải để may 7 bộ quần áo là:
Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị Cách giải theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước:
Bước đầu tiên là xác định một đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng với một giá trị cụ thể của đại lượng thứ hai, ví dụ như một bộ quần áo tương đương với 5 mét vải Để thực hiện điều này, chúng ta có thể sử dụng phép tính chia.
Bước 2: Số đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng với số lần giá trị của đại lượng thứ hai Giá trị của đại lượng thứ hai mà chúng ta cần tìm chính là kết quả trong bài toán; trong trường hợp này, có 7 bộ quần áo tương ứng với giá trị cần xác định.
35m vải) Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính nhân
Ví dụ 2: Một xe máy đi 3 giờ được 60 km Hỏi xe đó đi trong 6 giờ được bao nhiêu kilômét? (Coi như vận tốc không đổi)
Tóm tắt bài toán như sau:
Bài toán này có thể giải theo hai bước sau đây:
6 giờ gấp bao nhiêu lần 3 giờ? (gấp 2 lần)
Suy ra: Quãng đường phải tìm gấp bấy nhiêu lần 60 km
So sánh 6 giờ và 3 giờ thì ta thấy:
6 : 3 = 2 (lần) Vậy 6 giờ xe máy đi được là:
Bài toán này đã được giải bằng phương pháp tỉ số Giải bằng phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước:
Bước 1 : So sánh hai giá trị của đại lượng xem số này gấp mấy lần số kia
Bước 2 : Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai được tăng hoặc giảm đúng một số lần vừa tìm ở bước 1
(Ngoài ra bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp rút về đơn vị)
Phương pháp thử chọn là một kỹ thuật giải toán hiệu quả, giúp tìm ra số thỏa mãn các điều kiện nhất định Để áp dụng phương pháp này, người giải cần liệt kê tất cả các số phù hợp với một trong các điều kiện đã cho, sau đó kiểm tra chúng với các điều kiện còn lại để xác định số cần tìm Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán có nhiều yếu tố cần xem xét.
Trong một bài toán, có tổng cộng 7 bút chì, bao gồm 3 màu: đỏ, vàng và xanh Số lượng bút chì màu đỏ nhiều hơn số bút màu vàng nhưng lại ít hơn số bút màu xanh Câu hỏi đặt ra là: Mỗi loại bút chì có bao nhiêu chiếc?
Khi chọn số bút vàng là 1, số bút đỏ sẽ là 2 vì lớn hơn số bút vàng, tổng số bút là 7 Đồng thời, bút đỏ ít hơn bút xanh, do đó số bút xanh là 4.
Ta có 1 + 2 + 4 = 7 đúng với đầu bài
Nếu bút vàng là 1 bút đỏ là 3 thì bút xanh cũng là 3 vậy bút đỏ bằng bút xanh không đúng vói đầu bài
Vậy số bút là: 1 bút vàng, 2 bút đỏ và 4 bút xanh
Phương pháp thế là một kỹ thuật giải toán cho phép thay thế tạm thời các số chưa biết bằng những số chưa biết khác, hoặc biểu diễn chúng dựa trên các điều kiện của bài toán Phương pháp này thường được sử dụng để tìm hai số khi đã biết tổng và hiệu của chúng Bằng cách này, ta có thể xác định giá trị của các số chưa biết và tiếp tục giải quyết bài toán.
Ví dụ: Lớp 5A và lớp 5B trồng được tất cả 345 cây Lớp 5B trồng được nhiều hơn lớp 5A là 25 cây Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Giả sử bớt 25 cây của lớp 5B thì số cây của hai lớp bằng nhau, do đó số cây trồng của hai lớp sẽ là:
Số cây của lớp 5A là:
Số cây của lớp 5B là: Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 40
Tương tự như trên ta có thể biểu diễn số cây của lớp 5A theo số cây của lớp 5B bằng cách cộng thêm 25 cây vào số cây của lớp 5A
Giả sử số cây của lớp 5A trồng thêm 25 cây nữa thì số cây của hai lớp bằng nhau, do đó tổng số cây của hai lớp sẽ là:
Số cây của lớp 5B là:
Số cây của lớp 5A là:
2.2.6 Phương pháp tính ngược từ cuối:
Phương pháp tính ngược từ cuối là một kỹ thuật giải toán hiệu quả, cho phép tìm ra số chưa biết bằng cách thực hiện các phép tính ngược liên tiếp với những phép tính đã cho Khi áp dụng phương pháp này, kết quả của mỗi phép tính sẽ trở thành dữ liệu đã biết cho phép tính tiếp theo, và quá trình này tiếp tục cho đến khi xác định được số cần tìm.
Phương pháp tính ngược từ cuối được áp dụng để giải các bài toán về số tự nhiên, số thập phân, toán có lời văn
Ví dụ: Hằng có một số tem thư, Hằng đã cho bạn
1 số tem thư đó và thêm một cái nữa thì còn lại 9 cái Hỏi lúc đầu Hằng có bao nhiêu tem thư?
Bài giải Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 41
Nếu không cho thêm một cái nữa thì số tem thư còn lại là:
1 số tem do đó số tem lúc đầu Hằng có là:
2.2.7 Phương pháp đại số (hay phương pháp dùng chữ thay số):
Phương pháp đại số là một kỹ thuật giải toán, trong đó các chữ cái như a, b, c, x, y, z hoặc A, B, C được sử dụng để biểu diễn các số có một hoặc nhiều chữ số.
Phương pháp chia tỷ lệ trong dạy học giải toán ở Tiểu học với từng dạng toán cụ thể được áp dụng
dạng toán cụ thể được áp dụng:
2.3.1 Khái niệm phương pháp chia tỷ lệ:
Phương pháp chia tỷ lệ là một kỹ thuật giải toán hữu ích, giúp tìm hai số khi đã biết tổng và tỷ số hoặc hiệu và tỷ số của chúng.
Phương pháp chia tỷ lệ là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến cấu tạo số tự nhiên, phân số và số thập phân Ngoài ra, phương pháp này còn áp dụng hiệu quả trong các bài toán hình học và bài toán chuyển động đều.
2.3.2 Các bước giải toán bằng phương pháp chia tỷ lệ:
Khi giải toán bằng phương pháp chia tỷ lệ ta thường tiến hành theo bốn bước:
Bước đầu tiên trong việc giải toán là tóm tắt đề bài bằng sơ đồ đoạn thẳng Sử dụng các đoạn thẳng để biểu thị các số cần tìm, trong đó số phần bằng nhau của các đoạn thẳng tương ứng với tỷ số của các số đó.
- Bước 2: (Tìm tổng hoặc hiệu) số phần bằng nhau Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 51
- Bước 3: Tìm giá trị của một phần
- Bước 4: Xác định mỗi số cần tìm
(Có thể kết hợp các bước 2, 3 và 4)
2.3.3 Các ứng dụng của phương pháp chia tỷ lệ trong giải toán ở Tiểu học
2.3.3.1 Ứng dụng phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của chúng
Căn cứ vào cách chia tỷ lệ người ta phân ra các dạng sau:
- Tỉ số cho dưới dạng một số tự nhiên (Số này gấp mấy lần số kia)
- Tỉ số cho dưới dạng số này bằng mấy phần số kia
- Tỉ số cho dưới dạng n m
Ta hãy cùng xét một số ví dụ như sau:
Ví dụ 1: Hai kho chứa 45 tấn thóc Số thóc trong kho thứ nhất nhiều gấp 4 lần số thóc ở kho thứ hai Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn thóc?
Phân tích dẫn dắt học sinh đi đến lời giải:
- Bài toán cho biết gì?
(Cả hai kho chứa 45 tấn thóc và số thóc ở kho thứ nhất gấp 4 lần số thóc ở kho thứ hai)
- Ta có thể vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán này như thế nào?
Số thóc kho thứ nhất:
Số thóc kho thứ hai:
Dựa vào sơ đồ, ta nhận thấy rằng số thóc ở kho thứ hai chiếm một phần, trong khi số thóc ở kho thứ nhất gấp 4 lần phần đó Do vậy, tổng số thóc ở hai kho sẽ được tính bằng tổng số phần của chúng.
- Một phần này gồm bao nhiêu tấn thóc ?
45 : 5 = 9 (tấn) Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 52
- 4 phần gồm bao nhiêu tấn thóc?
- Số thóc ở kho thứ nhất là bao nhiêu? Ở kho thứ hai là bao nhiêu?
(Kho thứ nhất 36 tấn, kho thứ hai 9 tấn)
- Bài toán này thuộc dạng nào?
(Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó)
Tổng số phần bằng nhau là:
Số thóc ở kho thứ hai là:
Số thóc ở kho thứ nhất là:
45 - 9 = 36 (tấn) hoặc 4 x 9 = 36 (tấn) Đáp số: Kho thứ nhất: 36 tấn Kho thứ hai: 9 tấn
Ví dụ 2: Quyển truyện có 60 trang, số trang bạn Thuận đã đọc bằng
1 số trang chưa đọc Tính số trang bạn Thuận đã đọc và số trang chưa đọc ở quyển truyện đó
- Bài toán cho biết gì? (Cả quyển truyện có 60 trang và số trang đã đọc bằng
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Số trang bạn Thuận đã đọc và số trang bạn Thuận chưa đọc)
- Trong bài toán số 60 được gọi là gì và phân số
(60 là tổng số trang sách đã đọc và chưa đọc,
1 là tỉ số của trang sách đã đọc Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 53 và chưa đọc)
- Bài toán này thuộc dạng toán gì?
(Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó)
Số trang sách đã đọc:
Số trang sách chưa đọc:
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (Phần)
Số sách Thuận đã đọc là:
Số sách Thuận chưa đọc là:
60 - 15 = 45 (trang) Đáp số: Đã đọc: 15 trang Chưa đọc: 45 trang
Ví dụ 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng
3chiều dài Tìm chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật đó
Từ chu vi của hình chữ nhật là 350m, ta có thể biết được gì?
(Nửa chu vi hình chữ nhật hay tổng số đo chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó bằng: 350 : 2 = 175 (m))
Tỉ số chiều rộng bằng
3 chiều dài có thể hiểu như thế nào?
(Nếu chiều rộng được chia làm 3 phần thì chiều dài là 4 phần như thế)
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật)
- Ta có thể giải bài toán này theo dạng toán nào?
(Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó) Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 54
Nửa chu vi hình chữ nhật là:
350 : 2 = 175 (m) Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần) Một phần có số mét là:
175 : 7 = 25 (m) Chiều rộng của hình chữ nhật đó là:
25 x 3 = 75 (m) Chiều dài của hình chữ nhật là:
175 - 75 = 100 (m) Đáp số: Chiều rộng: 75 m Chiều dài: 100 m
Ví dụ 4: Cường và Điệp có cả thảy 56 tấm ảnh, trong đó
1 số ảnh của Cường bằng
2 số ảnh của Điệp Hãy tính số ảnh của từng người
Bài toán này đòi hỏi ta tìm số ảnh của mỗi người mà tổng số ảnh của hai người bằng 56 và
1 số ảnh của Cường đúng bằng
2nên ta có thể coi số ảnh của Cường là 4 phần bằng nhau và số ảnh của Điệp là 3 phần như thế Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 55
Nhận dạng: Bài toán thuộc dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó
Tổng số phần bằng nhau là:
Số ảnh ở một phần có là:
Số ảnh của Cường là:
Số ảnh của Điệp là:
8 x 3 = 24 (ảnh) Đáp số: Cường: 32 ảnh Điệp: 24 ảnh
Số phần bằng nhau là:
Số ảnh của Cường là:
Số ảnh của Điệp là:
56 - 32 = 24 (ảnh) Đáp số: Cường: 32 ảnh Điệp: 24 ảnh Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 56
2.3.3.2 Phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về tìm hai số khi biết hiệu hai tỷ số của chúng
Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng cũng có 4 dạng như trên:
- Tỉ số cho dưới dạng số này gấp số mấy lần số kia
- Tỉ số cho dưới dạng số này bằng 1 phần mấy số kia
- Tỉ số cho dưới dạng n m
- Ta lại cùng đi xem xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 5: Hiệu của hai số là 30 Số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai Tìm hai số đó
- Bài toán yêu cầu tìm gì? (Tìm mỗi số)
- Để tìm được mỗi số đó, bài toán cho biết gì?
(Hiệu của hai số là 30, số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai)
- Biểu diễn hiệu số 30 trong sơ đồ sau:
(Học sinh chỉ trên sơ đồ)
Dựa vào sơ đồ, nếu số thứ nhất được chia thành 3 phần bằng nhau, thì số thứ hai tương đương với 1 phần Do đó, hiệu số 30 sẽ tương ứng với bao nhiêu phần như vậy?
- Một phần gồm bao nhiêu đơn vị? Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 57
- 3 phần gồm mấy đơn vị?
- Vậy số thứ nhất là bao nhiêu?
- Số thứ hai là bao nhiêu?
(Số thứ nhất là 45, số thứ hai là 15)
- Bài toán thuộc dạng toán nào?
(Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó)
Hiệu số phần bằng nhau là:
15 x 3 = 45 (Hoặc 15 + 30 = 45) Đáp số: Số thứ nhất: 45
Ví dụ 6: Giá tiền cuốn sách Tiếng Việt hơn cuốn sách Toán là 1200 đồng tìm giá tiền mỗi cuốn sách đó Biết giá tiền cuốn sách Toán bằng
4giá tiền cuốn sách Tiếng Việt
- Bài toán cho biết gì ?
(Giá tiền cuốn sách Tiếng Việt hơn cuốn sách Toán là 1200 đồng Giá tiền cuốn sách Toán bằng
4 giá tiền cuốn sách Tiếng Việt)
- Trong bài toán này 1200 là gì?
4là gì? Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 58
(1200 là hiệu số giữa giá tiền cuốn sách Tiếng Việt và cuốn sách Toán,
4là tỉ số giữa giá tiền hai cuốn sách ấy)
- Bài toán yêu cầu tìm gì?
(Giá tiền mỗi cuốn sách)
(Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó)
Giá tiền sách Tiếng Việt:
Hiệu số phần bằng nhau là:
5 - 4 = 1 (phần) Giá tiền cuốn sách Toán là:
Giá tiền cuốn sách Tiếng Việt là:
4800 + 1200 = 6000 (đồng) Đáp số: sách toán: 4800 đồng sách Tiếng Việt: 6000 đồng
Ví dụ 7: Hiệu hai số bằng 58 Lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và dư 2 Tìm hai số đó
- Yêu cầu của bài toán là gì? (Tìm mỗi số)
- Hai số đó có quan hệ như thế nào với nhau?
(Hiệu của chúng bằng 58, lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và dư 2)
- Lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và dư 2 có thể hiểu như thế nào? Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 59
(Nếu coi số nhỏ là một phần thì số lớn là 5 phần như thế thêm 2 đơn vị)
- Bài toán thuộc dạng nào? (Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số)
Số lớn là:14 + 58 = 72 Đáp số: Số nhỏ: 14
Ví dụ 8: Hai đội vận tải được giao vận chuyển một số hàng Biết
2 số hàng của đội Một bằng
4 số hàng của đội Hai và hơn đội Hai 60 tấn hàng Hỏi mỗi đội đã vận chuyển được bao nhiêu tấn hàng?
Bài toán này yêu cầu ta tìm số hàng của đội Một và đội Hai vận chuyển mà đội Hai chuyển kém hơn đội Một 60 tấn hàng và
2 số hàng của đội Một bằng số hàng của đội Hai
Ta thấy: Tỷ số giữa hàng của đội Một và hàng của đội Hai là: Đội Một chia cho đội Hai 7
Từ đây ta có thể giải bài toán theo cách này tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số:
Theo bài ra ta có sơ đồ: Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 60
Số hàng của đội Một:
Số hàng của đội Hai:
Hiệu số phần bằng nhau là:
Số hàng của đội Một là:
Số hàng của đội Hai là:
200 - 60 = 140 (tấn.) Đáp số: Đội Một: 200 tấn Đội Hai: 140 tấn
Chị năm nay 27 tuổi Trước đây, khi chị bằng tuổi em hiện tại, tuổi chị gấp đôi tuổi em Vậy, hãy xác định tuổi em hiện nay và trước đây.
Theo bài ra ta có sơ đồ biểu diễn tuổi chị và tuổi em trước đây và hiện nay là:
Hiệu số phần nhau giữa tuổi chị và tuổi em không thay đổi theo thời gian Như vậy, tuổi chị hiện nay bằng ba lần tuổi em trước đây
Vậy tuổi em hiện nay là:
Tuổi em trước đây là :
27 tuổi Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 61 Đáp số: Tuổi em trước đây: 9 tuổi Tuổi em hiện nay: 18 tuổi
2.3.3.3 Ứng dụng phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên
Ví dụ 10: Khi viết thêm chữ số 8 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần Tìm số tự nhiên đó
Khi thêm chữ số 8 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số, điều này tương đương với việc tăng giá trị của số đó lên 800 đơn vị.
- Bài toán cho biết gì?
( Viết thêm 8 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần)
Bài toán yêu cầu tìm gì? (Tìm số tự nhiên đã cho)
- Muốn tìm số tự nhiên đã cho cần làm gì?
(Xác lập mối quan hệ giữa số tự nhiên đã cho và số mới sau khi viết thêm số 8 vào bên trái)
- Ta có thể hiểu mối quan hệ đó bằng sơ đồ không?
- Vẽ sơ đồ tóm tắt bài toán trên?
Số tự nhiên đã cho:
Hiệu số phần bằng nhau là:
800 : 25 = 32 Đáp số: 32 Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 62
Tìm một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị Khi hoán đổi vị trí hai chữ số, số mới tạo ra sẽ kém số ban đầu 36 đơn vị.
Bài giải Gọi số cần tìm là ab, ta có: a = b x 3 ab – ba = 36
Hiệu số phần bằng nhau:
Vậy a = 6 ; b = 2 Số phải tìm là 62 Đáp số: 62
Ví dụ 12: Tìm hai số có hiệu bằng 216, biết rằng nếu thêm nột chữ số 0 vào bên phải số bé thì được số lớn
Theo bài ra ta có số lớn gấp 10 lần số bé:
: b Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 63
Hiệu số phần bằng nhau là:
Số lớn là: 24 + 216 = 240 Đáp số: Số lớn: 240
Ví dụ 13: Tìm một số tự nhiên, biết rằng nếu xóa đi hai chữ số cuối thì số đó giảm đi 4491 đơn vị
Gọi a; b là hai số cuối của số cần tìm
Khi xóa đi 2 chữ số cuối của số cần tìm thì ta đã lấy số cần tìm trừ đi số ab rồi chia cho 100 để có số mới
Vậy ta có sơ đồ:
Như vậy 4491 bằng 99 lần số mới và cộng thêm ab
Ta có phép chia: 4491 : 99 = 45 (dư 36 )
Vậy số mới bằng 45 Và ab bằng 36
Thử lại: 4536 – 45 = 4491 Đáp số: Số cần tìm: 4536
216 Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 64
Minh chia hai số tự nhiên với thương là 5 và số dư là 2 Khi Minh cộng số bị chia, số chia, thương và số dư lại với nhau, kết quả sẽ là tổng của các giá trị này.
171 Hỏi Minh đã lấy hai số tự nhiên nào để thực hiện phép chia?
Theo đề bài ta có:
Số bị chia + số chia + 5 + 2 = 171
Số bị chia + số chia + 7 = 171
Số bị chia cộng với số chia bằng 164 Nếu giảm 2 đơn vị ở số bị chia, ta sẽ có số mới gấp 5 lần số chia Khi đó, tổng số mới và số chia sẽ được tính toán dựa trên điều kiện này.
Tổng số phần bằng nhau là:
Số chia cần tìm là: 162 : 6 = 27
Số chia cần tìm là: 164 – 27 = 137 Đáp số: 27 và 137
2.3.3.4 Ứng dụng phương pháp chia tỷ lệ để giải các bài toán về cấu tạo phân số Để giải các bài toán thuộc phần này, ta thường áp dụng các tính chất sau của phân số
Khi cộng một số tự nhiên vào cả tử và mẫu của một phân số, hiệu số giữa tử và mẫu của phân số đó sẽ không bị thay đổi.
Khi bớt đi ở cả tử và mẫu của một phân số cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử
162 Đỗ Ánh Tuyết Lớp K7A ĐHSP Tiểu học 65 và mẫu của phân số đó không thay đổi
Nếu ta tăng tử số và giảm mẫu số của một phân số cùng với một số tự nhiên, tổng của tử và mẫu sẽ không thay đổi.
Khi giảm bớt giá trị ở tử số và đồng thời tăng thêm giá trị ở mẫu số của một phân số bằng cùng một số tự nhiên, tổng của tử số và mẫu số sẽ không thay đổi.
Ví dụ 15: Khi bớt đi ở tử số và thêm vào ở mẫu số của phân số
143với cùng một số tự nhiên ta được một phân số bằng
7 Tìm số tự nhiên đó
- Bài toán yêu cầu gì?
(Số tự nhiên bớt đi ở tử số và thêm vào mẫu số của phân số
- Để tìm được số tự nhiên đó ta cần biết gì?
(Tử số hoặc mẫu số của phân số sau khi bớt ở tử số và thêm vào mẫu số với cùng một số tự nhiên)
- Ta tìm tử số hoặc mẫu số của phân số mới bằng cách nào?
(tỷ số giữa tỷ số và mẫu số của phân số mới bằng
Để giải bài toán tìm hai số khi đã biết tổng và tỷ số hoặc hiệu và tỷ số của chúng, ta cần xác định tổng hoặc hiệu giữa tỷ số và mẫu số của phân số mới.
- Bài toán này có thể tìm được tổng hay hiệu giữa tử số và mẫu số?