BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ ÁI MỸ ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CHO TÍCH PHÂN: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ ÁI MỸ ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CHO TÍCH PHÂN: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả TRẦN THỊ ÁI MỸ LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Huỳnh Minh Hiền người tận tình hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Thống kê, Phịng sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 22 Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K22 giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả TRẦN THỊ ÁI MỸ Mục lục Mở đầu v Định lý giá trị trung bình cho tích phân 1.1 Định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục đoạn 1.2 Một số định lý giá trị trung bình vi phân 1.3 Định lý giá trị trung bình cho tích phân 1.3.1 Định lý giá trị trung bình thứ 1.3.2 Định lý giá trị trung bình tích phân thứ hai 13 Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình cho tích phân 19 2.1 Mở rộng định lý giá trị trung bình tích phân thứ 19 2.2 Định lý giá trị trung bình cho tích phân bội 20 2.3 Mở rộng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai 23 2.4 Dáng điệu tiệm cận giá trị trung gian 29 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình cho tích phân giải tốn phổ thơng 36 3.1 Tồn giá trị trung gian 36 3.2 Tính giới hạn 39 3.3 Tính tổng chuỗi 46 3.4 Chứng minh bất đẳng thức 48 iii Kết luận 53 iv Mở đầu Tích phân khái niệm toán học với phép toán ngược nó, phép tính vi phân đóng vai trị phép tính chủ chốt lĩnh vực giải tích Giả sử hàm f liên tục [a, b] có nguyên hàm F (x) Khi đó, b f (x)dx = F (b) − F (a) a Định lý giá trị trung bình cho tích phần Issac Barrow (1630 - 1677) người nhận phép lấy vi phân phép lấy tích phân hai phép tốn ngược Định lý giá trị trung bình cho tích phân phát biểu sau: Nếu f liên tục [a, b] tồn ξ ∈ (a, b) cho b f (x)dx = f (ξ)(b − a) a Trong chương trình tốn học phổ thơng đại học, định lý giá trị trung bình cho vi phân ứng dụng khai thác nhiều Tuy nhiên, định lý giá trị trung bình cho tích phân đề cập, giới thiệu định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai, cần tìm hiểu cách tổng quát mở rộng định lý giá trị trung bình cho tích phân Hơn nữa, cần tìm hiểu định lý giá trị trung bình cho tích phân mở rộng khoảng vơ hạn cho tích phân bội, Đặc biệt, nghiên cứu sâu ứng dụng dạng mở rộng định lý Với suy nghĩ đó, mục tiêu luận văn nhằm cung cấp thêm cho cho em học sinh, sinh viên, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu u thích mơn tốn, tài liệu, ngồi kiến thức cịn có thêm kiến thức số toán nâng cao, qua v thấy rõ dạng tốn ứng dụng phong phú định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai số định lý mở rộng khác Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày số định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục, định lý giá trị trung bình cho vi phân định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai Chương trình bày số mở rộng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, thứ hai, định lý giá trị trung bình cho tích phân bội, sưu tầm chứng minh định lý giá trị trung bình cho tích phân khoảng vô hạn dáng điệu tiệm cận giá trị trung gian Chương cuối trình bày số ví dụ nâng cao ứng dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả vi Chương Định lý giá trị trung bình cho tích phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất hàm số liên tục đoạn kết liên quan đến định lý giá trị trung bình cổ điển, từ giới thiệu định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ hai Các kết chương tham khảo [1], [12] 1.1 Định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục đoạn Định lý 1.1 ([12]) Nếu hàm số f : [a, b] → R liên tục f đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn [a, b] Chứng minh Đặt M = sup {f (x), x ∈ [a, b]} Vậy với n ≥ 1, n ∈ N, tồn điểm ξn ∈ [a, b] cho |M − f (ξn )| < n (1.1) Vì dãy {ξn }n≥1 ⊂ [a, b] nên theo Định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy {ξnk }k≥1 hội tụ, đặt lim ξnk =d∈ [a, b] k→∞ Vì f hàm liên tục d nên lim ξnk = f (d) k→∞ Mặt khác, từ (1.1) suy |M − f (ξnk )| < , ∀k ≥ nk M = lim f (ξnk ) = f (d) k→∞ Vậy hàm số f đạt giá trị cực đại đoạn [a, b] giá trị cực đại M Tương tự, đặt N = inf {f (x), x ∈ [a, b]}, f đạt cực tiểu [a, b] giá trị cực tiểu N Định lý chứng minh Định lý 1.2 (Định lý giá trị trung gian, [1]) Cho hàm số f liên tục [a, b] Khi đó, f nhận giá trị trung gian f (a) f (b) Tức với K ∈ [min{f (a), f (b)}, max{f (a), f (b)}], tồn ξ ∈ [a, b] cho f (ξ) = K Chứng minh Nếu f (a) = f (b) = K ta chọn ξ = a ξ = b Giả sử f (a) < f (b) Với K ∈ (f (a), f (b)), ta xét hàm số g(x) = f (x) − K, x ∈ [a, b] Vì f hàm liên tục [a, b] nên rõ ràng g liên tục [a, b] Lại có, g(a) · g(b) = [f (a) − K] · [f (b) − K] < Điều rằng, tồn ξ ∈ (a, b) cho g(ξ) = hay f (ξ) = K Trường hợp f (a) > f (b) chứng minh tương tự Định lý chứng minh Định lý 1.3 ([1]) Cho hàm số f liên tục [a, b] Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f [a, b] Khi đó, f nhận Ta có g(0) = 0, g(1) = f (t)dt > g hàm liên tục Theo Bổ đề 1.2, với n ∈ N, ta có 0< n 1 f (x)dx < f (t)dt, 0 nên phải tồn θ(n) ∈ (0, 1) cho n θ(n) f (x)dx = g(θ(n)) = f (t)dt + 0 f (t)dt 1−θ(n) Bây theo Định lý 1.7, tồn ξ1 (n) ∈ [0, θ(n)] ξ2 (n) ∈ [1 − θ(n), 1] cho n f (x)dx = [f (ξ1 (n)) + f (ξ2 (n))]θ(n), Suy nθ(n) = 1 f (ξ1 (n)) + f (ξ2 (n)) f (x)dx Mặt khác, f hàm dương liên tục [0, 1] nên tồn < m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [0, 1] Dẫn tới n θ(n) f (x)dx = f (t)dt ≥ 2mθ(n) f (t)dt + 1−θ(n) Suy ≤ θ(n) ≤ 2mn f (x)dx ⇒ lim θ(n) = 0, lim ξ1 (n) = 0, lim ξ2 (n) = n→∞ n→∞ n→∞ Từ đó, ta lim [θ(n)] = n→∞ f (0) + f (1) 41 f (x)dx Ví dụ 3.7 ([7]) Cho f : [a, b] → R hàm khả vi liên tục Chứng minh tồn α ∈ [a, b] cho b f (x)dx = f (b)(b − a) − a f (α) (b − a)2 Lời giải Xét x ∈ [a, b], theo Định lý Lagrange tồn ξ(x) ∈ (x, b) ⊂ (a, b) cho f (b) − f (x) = f (ξ(x))(b − x), dẫn tới b f (b)(b − a) − b f (ξ(x))(b − x)dx f (x)dx = a a Theo Định lý 1.8, tồn α ∈ [a, b] cho b b (b − x)dx = f (ξ(x))(b − x)dx = f (α) a a f (α) (b − a)2 Từ đó, ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.8 ([12]) Cho hàm f : [a, b] → R khả vi liên tục Chứng minh tồn β ∈ [a, b] cho b f (x)dx = f (a)(b − a) + a f (β) (b − a)2 Lời giải Xét x ∈ [a, b], theo Định lý Lagrange, tồn ζ(x) ∈ (a, x) ⊂ (a, b) Sao cho f (x) − f (a) = f (ζ(x))(x − a), Dẫn tới b b f (x)dx − f (a)(b − a) = a f (ζ(x))(x − a)dx a Theo Định lý 1.8, tồn β ∈ [a, b] cho b b f (ζ(x))(b − x)dx = f (β) a (x − a)dx = a từ đây, ta suy điều phải chứng minh 42 f (β) (b − a)2 , Ví dụ 3.9 ([12]) Cho hàm f : [a, b] → R khả vi liên tục đến cấp Chứng minh tồn c ∈ [a, b] cho b a (b − a)3 f (a) + f (b) (b − a) − f (c) f (x)dx = 12 Ta chứng minh kết bổ trợ sau: Bổ đề 3.1 ([12]) Cho hàm liên tục f : [a, b] → R Xét số không âm p1 , p2 , , pn điểm x1 , x2 , , xn ∈ [a, b] Khi tồn điểm c ∈ [a, b] cho n n f (c) pi = i=1 pi f (xi ) i=1 Chứng minh Vì f liên tục [a, b] nên tồn m = f (x), M = max f (x) x∈[a,b] x∈[a,b] giá trị f lấp đầy đoạn [m, M ] Gọi α = {f (xi )}, β = max {f (xi )} 1≤i≤n 1≤i≤n m≤α≤β≤M giá trị f lấp đầy đoạn [α, β] ⊂ [m, M ] Ta dễ dàng thấy n n n pi ≤ α pi f (xi ) ≤ β i=1 i=1 i=1 pi n pi = 0, tức p= 0, ∀i ∈ {1, 2, , n}, Loại trừ trường hợp tầm thường i=1 n pi > 0, dẫn đến ta xét trường hợp i=1 α≤ n pi f (xi ) ≤ β n pi i=1 i=1 43 Theo nguyên lý lấp đầy giá trị hàm liên tục (Định lý Darboux) ta suy tồn c ∈ [a, b] cho f (c) = n pi f (xi ), n pi i=1 i=1 hay n f (c) n pi = i=1 pi f (xi ) i=1 Bổ đề 3.2 ([12]) Cho hàm f : [a, b] → R khả vi liên tục tới cấp n Xét số khơng âm µ1 , µ2 , , µn thỏa mãn µi = điểm i=1 x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] Khi đó, tồn điểm c ∈ [a, b] cho n n f µi xi − i=1 i=1 f (c) µi f (xi ) = − n µi (xi − A)2 , i=1 n A = µi xi i=1 Chứng minh Gọi α = {xi }, β = max {xi }, ta có 1≤i≤n 1≤i≤n n α≤A= µi xi ≤ β i=1 Sử dụng khai triển Taylor ta thấy với ≤ i ≤ n tồn ξi nằm (xi , A) (A, xi ) cho f (xi ) = f (A) + f (A)(xi − A) + 44 f (ξi ) (xi − A)2 Suy n n µi f (xi ) = i=1 n µi f (A)(xi − A) + µi f (A) + i=1 n i=1 i=1 n = f (A) n µi + f (A) i=1 = F (A) + µi i=1 µi (xi − A) + f (ξi ) (xi − A)2 n µi f (ξi )(xi − A)2 i=1 n µi (xi − A)2 f (ξi ) i=1 Đặt pi = µi (xi − A)2 ≥ Do f hàm liên tục, theo Bổ đề 3.1 tồn c ∈ [a, b] cho n n pi = f (c) i=1 pi f (ξi ), i=1 n n µi (xi − A)2 f (ξi ) µi (xi − A) = f (c) i=1 i=1 Vậy ta điều phải chứng minh Lời giải Áp dụng Bổ đề 3.2 cho hàm f : [a, b] → R khả vi liên tục đến cấp hai Ta xét a ≤ x < y ≤ b ≤ t ≤ Khi tồn c ∈ [a, b] cho f ((1 − t)x + ty) − [(1 − t)f (x) + tf (y)] = f (c) t(t − 1)(x − y)2 Do kết này, ta có f ((1 − t)a + tb) − [(1 − t)f (a) + tf (b)] = f (ξ) t(1 − t)(b − a)2 Dẫn đến 1 f ((1 − t)a + tb)dt − f (ξ) t(1 − t)(b − a)2 dt (b − a)2 = f (ξ)t(t − 1)dt [(1 − t)f (a) + tf (b)]dt = 45 Đổi biến cho tích phân vế trái với x = (1 − t)a + tb, ta 1 b−a f (x)dx − f (a) + f (b) (b − a)2 = 2 f (ξ)t(t − 1)dt Chú ý t(t − a) ≤ 0, ∀t ∈ [0, 1] nên theo Định lý trung bình tích phân (Định lý 1.8), tồn c ∈ [a, b] cho 1 f (ξ)t(t − 1)dt = f (c) 0 t(t − 1)dt = − f (c) Từ đây, ta b a f (a) + f (b) (b − a)3 f (x)dx = (b − a) − f (c) , 12 điều cần chứng minh 3.3 Tính tổng chuỗi Ví dụ ứng dụng Định lý giá trị trung bình tích phân việc khảo sát hội tụ, tính tổng chuỗi số Ví dụ 3.10 ([14]) ∞ n=1 π2 = n2 (3.4) Lời giải Ta có x sin (2n + 1) Dn (x) := + cos kx = x 2 sin k=1 n (3.5) π Định nghĩa An := tDn (t)dt Sử dụng phương trình trước, ta thu A2n−1 π2 = −2 46 n k=1 (2k − 1)2 (3.6) π A2n−1 = t/2 sin 2t sin(4n − 1) dt (3.7) Để kết thúc chứng minh, ta thấy A2n−1 = O(1/n) Thật vậy, ta ∞ = chứng minh A2n−1 = O(1/n) (3.6) có (2n − 1) n=1 π2 Khi đó, biểu diễn S = ∞ ∞ n=1 ∞ S= n=1 1 + = (2n)2 n=1 (2n − 1)2 , ta có n2 ∞ n=1 π2 π2 + = S+ n2 8 π2 S = Bây quay lại với chứng minh A2n−1 = O(1/n) Ta có π t/2 sin 2t t sin(4n − 1) dt = lim →0 π t/2 sin 2t t sin(4n − 1) dt π t/2 sin 2t π t sin(4n−1) dt = − t/2 sin 2t t cos(4n − 1) 4n − Sử dụng tích phân phần, ta có π A2n−1 := = t/2 sin 2t t cos(4n − 1) 4n − dt π t/2 cos(4n − 1) sin 2t 4n −   t t t π sin − cos 2 t 2  − cos(4n − 1) dt   t 4n − sin 47 dt Áp dụng Định lý 1.8 với f (t) = 2 t cos(4n − 1) 4n − sin g(t) = t − sin2 cos t t Khi đó, tồn ξ ∈ [ , π] cho A2n−1 = t/2 t cos(4n − 1) sin 2t 4n − π t − 2t cos sin2 2t sin t π − ξ cos(4n − 1) 4n − dt Điều cho thấy A2n−1 = lim A2n−1 = O(1/n), →0 ta có điều phải chứng minh 3.4 Chứng minh bất đẳng thức Trong mục này, xem xét số ứng dụng Định lý giá trị trung bình tích phân tốn bất đẳng thức tích phân Ví dụ 3.11 ([4]) Xét bất đẳng thức sau đây: x sin t dt ≥ 0, ∀x ≥ t+1 Lời giải Với x = 0, hiển nhiên cần chứng minh Với x > 0, xét hàm số g(x) = sin t, t ∈ [0, x] f (x) = , t ∈ [0, x] t+1 48 Rõ ràng, g f hàm liên tục đoạn [0, x] Ta có f (t) = − < 0, t ∈ [0, x] (t + 1)2 Khi đó, f hàm đơn điệu giảm [0, x] Áp dụng Định lý 1.9, ta suy tồn c ∈ [0, x] thỏa x c sin t 1 dt = sin tdt + t+1 0+1 1+1 = − (cos c + cos x) x sin tdt c Vì cos x ≤ 1, ∀x ≥ nên cos c + cos x ≤ Điều x sin t dt = − (cos c + cos x) ≥ t+1 Nhận xét 3.1 Ta tính trực tiếp tích phân để đánh giá bất đẳng thức cách khác cho dạng tốn Ví dụ 3.12 ([4]) Xét bất đẳng thức sau đây: √ ≤ 10 x9 √ dx ≤ 10 1+x Lời giải Xét hai hàm số f (x) = √ , g(x) = x9 1+x với x ∈ [0, 1] Theo Định lý 1.8, ta suy tồn c ∈ [0, 1] thỏa x9 √ dx = 1+x f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx 49 (3.8) Ta có, f hàm đơn điệu tăng [0, 1] nên = f (0) ≤ f (x) ≤ f = (3.9) Lại có, 1 x9 dx = g(x)dx = 0 10 (3.10) Từ (3.8), (3.9) (3.10), ta suy √ ≤ 10 x9 √ dx ≤ 10 1+x Nhận xét 3.2 Ta tính trực tiếp tích phân để đánh giá bất đẳng thức cách khác cho dạng toán Ví dụ 3.13 ([4]) Xét bất đẳng thức sau đây: 11 ≤ 24 − x2 dx ≤ 11 24 Lời giải Xét hai hàm số f (x) = √ , g(x) = − x2 − x2 , x ∈ 0, Theo Định lý 1.8, ta suy tồn c ∈ 0, 2 − x2 dx = √ thỏa 1 − x2 − x2 dx f (x)g(x)dx = = f (c) g(x)dx (3.11) Ta có, f hàm đơn điệu giảm 0, nên √ = f (1) ≤ f (x) ≤ f (0) = 50 (3.12) Lại có, 2 g(x)dx = − x2 dx = 1 11 − = 24 24 − x2 dx ≤ 11 24 (3.13) Từ (3.11) − (3.13), ta suy 11 ≤ 24 Nhận xét 3.3 Ta tính trực tiếp tích phân để đánh giá bất đẳng thức cách khác cho dạng tốn Ví dụ 3.14 ([4]) Cho hàm φ(t) có khả vi liên tục cấp hai đoạn [a, b] thỏa φ (t) = 0, ∀t ∈ [a, b] tồn m > cho φ (t) ≥ m, ∀t ∈ [a, b] Khi b sin φ(t)dt ≤ a m2 Lời giải Vì theo giả thiết φ (t) ≥ m > với t ∈ [a, b] nên b b sin φ(t)dt = a a sin φ(t) · φ (t)dt φ (t) g(t) = sin φ(t) · φ (t) với t ∈ [a, b] Rõ ràng, g φ (t) f hàm liên tục [a, b] Ta có Xét hàm số f (t) = f (t) = − φ (t) , ∀t ∈ t ∈ [a, b] [φ (t)]2 Vì • φ liên tục φ (t) > với t > 0; • φ liên tục φ (t) = với t > 51 nên f liên tục không đổi dấu [a, b] Áp dụng Định lý 1.9, ta suy tồn c ∈ [a, b] thỏa b a sin φ(t) · φ (t)dt φ (t) = ≤ = ≤ c b 1 sin φ(t) · φ (t)dt + sin φ(t) · φ (t)dt φ (a) a φ (b) c c b sin φ(t) · φ (t)dt + sin φ(t) · φ (t)dt m a m c − cos φ(t) m c a m 52 + − cos φ(t) m b c Kết luận Tác giả chọn lọc kiến thức có tài liệu tham khảo trình bày số nội dung sau luận văn: Trình bày kết liên quan đến định lý giá trị trung bình cổ điển định lý giá trị trung bình cho tích phân Trình bày số mở rộng định lý giá trị trung bình tích phân thứ nhất, cho tích phân thứ hai, cho tích phân bội, cho tích phân khoảng mở, cho tích phân khác, Trình bày số ví dụ ứng dụng định lý giá trị trung bình tích phân như: chứng minh bất đẳng thức, tính tổng chuỗi số, tìm giá trị trung gian Vì thời gian kiến thức có hạn nên cịn ứng dụng Định lý giá trị trung bình cho tích phân chưa trình bày luận văn Những vấn đề chúng tơi tiếp tục tìm hiểu tương lai 53 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Thái Thuần Quang, Nguyễn Dư Vi Nhân, Mai Thành Tấn, Nguyễn Ngọc Quốc Thương, Giải Tích: Phép Tính Vi Tích Phân Hàm Một Biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2020 [2] Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [3] Kỷ yếu Olympic Toán sinh viên năm 2012 – 2019 Tiếng Anh [4] T M Apostol, Calculus: One Variable Calculus, Wiley, 1991 [5] Z Bao-lin, A note on the mean value theorem for integrals, American Mathematical Monthly, 104(5), 561-562, 1997 [6] C Hui-Ru, S Chan-Juan, Generalizations of the Second Mean Value Theorem for Integrals, Electronics and Signal Processing Lecture Notes in Electrical Engineering, 97, 657-662, 2011 [7] W.J Kaczor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, American Mathematical Society,2003 54 [8] P Khalili, D Vasiliu, An extension of the mean value theorem for integrals, International Journal of Mathematical Education 41(5), pp 707-710, 2010 [9] B Jacobson, On the mean value theorem for integrals, merican Mathematical Monthly, 89(5), pp 300–301, 1982 [10] N Mikaeilvand, S Noeiaghdam, Mean value theorem for integrals and its application on numerically solving of fredholm integral equation of second kind with Toeplitz plus Hankel Kernel, International Journal of Industrial Mathematics 6(4),351-360, 2014 [11] D A Neuser, A Survey in Mean Value Theorems, All Graduate Theses and Dissertations, Utah State University, 1970 [12] P.K Sahoo, T Riedel, Mean Value Theoream and Functional Equations, World Scientific, 1998 [13] E L Stark, Application of a mean value theorem for integrals to series summation, American Mathematical Monthly 85(6), pp 481–483, 1978 [14] J Tong, A generalization of the mean value theorem for integrals, College Math J 33(5), p 408, (2002) 55 ... trình bày số định lý giá trị trung bình cho hàm số liên tục, định lý giá trị trung bình cho vi phân định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ nhất, định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ... bình tích phân thứ hai 13 Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình cho tích phân 19 2.1 Mở rộng định lý giá trị trung bình tích phân thứ 19 2.2 Định lý giá trị trung bình cho tích phân bội... 1.2 Một số định lý giá trị trung bình vi phân 1.3 Định lý giá trị trung bình cho tích phân 1.3.1 Định lý giá trị trung bình thứ 1.3.2 Định lý giá trị trung bình tích