V nh v tr÷íng vi ph¥n
CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt
ành nghắa 1.1.1 ([5]) Cho R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và 1 Ta gồi Ănh xÔ
∂ :R→R ữủc gồi l Ănh xÔ Ôo h m náu
Mởt v nh ữủc trang bà mởt Ôo h m cử thº gồi l v nh vi phƠn Miãn nguyản R ữủc gồi l mởt miãn nguyản vi phƠn náu R l v nh vi phƠn Trữớng R ữủc gồi l mởt trữớng vi phƠn náu R l v nh vi phƠn.
Chựng minh 1) Ta cõ1 0 = (1ã1) 0 = 1 0 ã1 + 1ã1 0 nản 1 0 = 1 0 + 1 0 Do õ1 0 = 0.
3) Ta chựng minh tữỡng tỹ nhữ trong 2) bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo n.
Mằnh ã 1.1.3 ([5]) Cho R l mởt v nh vi phƠn Khi õ, vợi mồi a∈R thẳ (a n ) 0 na n−1 a 0
Chựng minh Ta chựng minh mằnh ã bơng phữỡng phĂp quy nÔp.
Vợi n = 2 thẳ (a 2 ) 0 = (aa) 0 =a 0 a+aa 0 = 2aa 0
GiÊ sỷ mằnh ã úng vợi n =k, ta cõ (a k ) 0 =ka k−1 a 0
Ta cƯn chựng minh mằnh ã úng vợi n=k+ 1 Thêt vêy,
Mằnh ã 1.1.4 ([5]) Cho R l mởt trữớng vi phƠn Khi õ, vợi mồi a∈R\ {0} thẳ
Chựng minh Vẳ 0 = 1 0 = (aa −1 ) 0 =a 0 a −1 +a(a −1 ) 0 nản a(a −1 ) 0 =−a 0 a −1
Mằnh ã 1.1.5 ([5]) Cho R l mởt trữớng vi phƠn Khi õ, vợi mồi a ∈ R v b∈R\ {0} thẳ
= a 0 b−ab 0 b 2 Chùng minh Ta câ (ab −1 ) 0 = a 0 b −1 +a(b −1 ) 0 = a 0 b −1 +a(−b −2 b 0 ) = (a 0 b −ab 0 )(b −2 ). iãu n y cho thĐy rơng náuQ⊆R, mội phƯn tỷ cừaQ l mởt hơng số.
Chú ỵ NáuRl mởt miãn nguyản vi phƠn thẳ trữớng cĂc thữỡngFsinh bðiRvợi ph²p toĂn Ôo h m l mởt trữớng vi phƠn.
Vẵ dử 1.1.6 Mồi v nh giao hoĂn R cõ ỡn và 1 vợi ph²p toĂn Ôo h m tƯm thữớng d(a) = 0, ∀a ∈R, l mởt v nh vi phƠn.
Vẵ dử 1.1.7 Cho P(x) l v nh cĂc a thực cõ hằ số thỹc vợi ph²p toĂn Ôo h m thổng thữớng Khi õP(x) l mởt v nh vi phƠn.
Hỡn nỳa, trữớng cĂc thữỡng cừaP(x)l trữớng R(x)cĂc phƠn thực cõ hằ số thỹc. Cho nản R(x)l mởt trữớng vi phƠn vợi ph²p toĂn Ôo h m thổng thữớng.
Văn bản 1.1.8 đề cập đến các hình thức khế ước và các hình thức chính thức liên quan đến việc thực hiện quyền sở hữu Nội dung 1.1.9 nêu rõ sự gộp mở giữa các quyền sở hữu và quyền vi phân, cùng với mối quan hệ giữa các quyền này trong bối cảnh pháp luật hiện hành.
Nhữ vêy,S ⊆R l v nh con vi phƠn náu 1∈S, a, b∈S thẳ a−b ∈S v a∈S thẳ a 0 ∈S.
Mởt cách tưởn tỹ, ideal là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đại số, đặc biệt liên quan đến các vành và nhân Định nghĩa một vành, S, và một ánh xạ R→S, ta có thể hiểu rằng ánh xạ này là một đồng cấu giữa các vành, giúp chúng ta nghiên cứu các tính chất của vành thông qua các ánh xạ.
Mằnh ã 1.1.11 ([5]) Cho R, S l cĂc v nh vi phƠn v ϕ:R →S l mởt ỗng cĐu v nh Khi â
2) nh xÔ f :R/kerf →Imf l mởt ¯ng cĐu vi phƠn.
Chựng minh 1) Dạ thĐy rơng kerϕl mởt v nh con cừaR.
Ta chựng minh rơng kerϕ l ideal Vợi mồix∈kerϕ, vợi mồia ∈R thẳ ϕ(ax) = ϕ(a).ϕ(x) = ϕ(a).0 = 0.
Do õax∈kerϕ Chựng minh tữỡng tỹ thẳ xa∈kerϕ, vợi a∈S, x∈kerϕ.
Ta chựng minh rơng kerϕõng kẵn vợi ph²p toĂn Ôo h m GiÊ sỷ a ∈kerϕ Khi âϕ(a) = 0 Ta câ ϕ(a 0 ) = (ϕ(a)) 0 = (0 0 ) = 0 hay a 0 ∈kerϕ.
2) Nhên x²t rơng f l mởt song Ănh Hỡn nỳa, vợi mồi a∈R thẳ f(a) 0 = (f(a)) 0 =f(a 0 ) =f(a 0 ) =f(a) 0 Vẳ vêyf l mởt ¯ng cĐu vi phƠn.
Mằnh ã 1.1.12 ([5]) Cho R l mởt v nh vi phƠn Khi õ
C = ker(∂) x∈R :x 0 = 0 l mởt v nh con vi phƠn cừa R Hỡn nỳa, náu R l mởt trữớng vi phƠn thẳ C l mởt tr÷íng vi ph¥n.
Chựng minh Ta cõ 1∈C vẳ 1 0 = 0.
Vêy C l mởt v nh con vi phƠn.
GiÊ sỷ R l mởt trữớng Khi õ, vợi mồi a∈C, a6= 0 thẳ
(a −1 ) 0 =−a −2 a 0 =−a −2 0 = 0. cho nản a −1 ∈C,hay C l mởt trữớng.
Vẵ dử 1.1.13 ([5]) Trữớng cĂc h m phƠn thực vợi hằ số thỹcR(x) l mởt trữớng vi phƠn vợi ∂ = dx d Hỡn nỳa, R(x) cõ trữớng cĂc hơng l R.
Q(π)(¯ng cĐu vợiQ(x)) l mởt trữớng vi phƠn vợi ∂ = dπ d Nõi cĂch khĂc, π 0 = 1 v (π 3 ) 0 = 3π 2 ,
Sau Ơy, chúng tôi trình bày một số vấn đề đã và đang mở rộng về hành vi phân Trong thực tế, người ta quan tâm đến các mô hình mở rộng và hành vi phân (trường hợp phân) sao cho các vận hành số (trường hợp hành số) là trùng nhau Hành vi phân R được gọi là một hành vi phân mở rộng của hành vi phân S nếu R là một hành vi phân và S là hành vi phân của S với ảnh số Ôo h mà trản R khi hôn chá trản S là trùng với ảnh số Ôo h mà trản S.
Mởt cĂch tữỡng tỹ ta ành nghắa cho mð rởng trữớng vi phƠn.
Mằnh ã 1.1.15 ([5]) Cho R l mởt miãn nguyản vi phƠn Khi õ Ănh xÔ Ôo h m trản R ữủc mð rởng duy nhĐt trản trữớng cĂc thữỡng F r(R) mởt cĂch duy nhĐt.
Mằnh ã 1.1.16 ([5]) Cho F l mởt trữớng vi phƠn vợi °c số 0 v K/F l mởt mð rởng Ôi số nh xÔ Ôo h m trản F ữủc mð rởng trản K mởt cĂch duy nhĐt Khi õ,
Chựng minh Theo Mằnh ã 5.3.1 trong [5] thẳ Ănh xÔ Ôo h m trản trữớng F ữủc mð rởng trản K.
Ta chựng minh tẵnh duy nhĐt.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá về đa thức f(x) ∈ F[x] và điều kiện cần thiết để điểm α là một nghiệm thực của f(x) Để xác định điều này, chúng ta cần xem xét đạo hàm Df(x) và mối quan hệ giữa f(x) và Df(x) Cụ thể, nếu f(x) và Df(x) có chung một yếu tố, thì điều này có nghĩa là Df(α) không bằng 0 Đa thức f(x) có dạng x^n + an−1x^(n−1) + + a0, và việc phân tích các yếu tố của nó sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về nghiệm thực của đa thức này.
Suy ra α biºu diạn duy nhĐt theo g(α)
Ta biát rơng, têp cĂc số hỳu t Q l mởt trữớng cõ °c số 0 X²t √
LĐy Ôo h m hai vá vợi nhên x²t trữớng hơng số l Qta ữủc
Mð rởng logarit v mð rởng mụ
ành nghắa 1.1.17 ([5]) ChoF l mởt trữớng vi phƠn F(t)/Fữủc gồi l
1) mð rởng logarit náu tỗn tÔi s∈F sao cho t 0 = s 0 s.
2) mð rởng mụ náu tỗn tÔi s ∈F sao cho t 0 =ts 0 ành nghắa 1.1.18 ([5]) ChoFl mởt trữớng vi phƠn vợi trữớng hơng số C Trữớng vi phƠn mð rởng E/F ữủc gồi l mởt mð rởng sỡ cĐp náu tỗn tÔi dÂy cĂc trữớng vi phƠn lỗng nhau
F=F 0 ⊆F 1 ⊆F 2 ⊆ .⊆F l =E trong õ Fj l cĂc trữớng cõ cũng trữớng hơng số v cĂc mð rởng Fj+1/Fj l Ôi số, logarit v mô.
Bờ ã 1.1.19 ([5]) Cho F l trữớng vi phƠn vợi mð rởng trữớng vi phƠnF(t) GiÊ sỷ
F(t) v F cõ cĂc cũng hơng số v t l siảu viằt trản F.
1) Cho t 0 ∈Fv f(t)∈F[t] vợi deg(f(t))>0 Khi õ, (f(t)) 0 ∈F[t] v deg(f(t)) deg(f(t) 0 ) náu v ch¿ náu hằ số Ưu tiản cừa f(t) khổng l hơng số Náu hằ số Ưu tiản cừa f(t) l hơng số thẳ deg(f(t) 0 ) = deg(f(t))−1.
2) Cho t t 0 ∈F Khi õ, vợi mồi a∈F ∗ , n ∈Z 6=0 , (at n ) 0 =ht n , vợi h∈F ∗ Hỡn nỳa, náu f(t) ∈F[t] thẳ deg f(t)
= cf(t) ối vợi cĂc c∈ F náu f(t) l mởt ỡn thực.
Chùng minh Ta gi£ sû f(t) =a n t n +an−1t n−1 +ã ã ã+a 0 ∈F[t] trong â a n 6= 0 v deg f(t)
• Ta chùng minh kh¯ng ành 1). Ôo h m cừa f(t) ta ữủc
Vẳ F l trữớng vi phƠn nảna 0 j ∈F náu aj ∈F Do õ, tĐt cÊ cĂc hằ số ãu nơm trong
Trong không gian F, nếu a₀ ≠ 0, thì bậc của đa thức không thể triệt tiêu khi v là số ưu tiên không phải là hằng số Trong trường hợp này, ta có a₀ n = 0 Giả sử (na₀ t⁰ + a₀ n−1) = 0, điều này có nghĩa là (na₀ t + a₀ n⁻¹) = 0 Do đó, tồn tại c ∈ F sao cho na₀ t + a₀ n−1 = c Với na₀ ≠ 0 và a₀ n−1 ∈ F, ta suy ra rằng tồn tại số thực trong F Điều này mô tả mối quan hệ giữa các hệ số trong đa thức F Như vậy, (na₀ t⁰ + a(t)) = n−1.
• Ta chùng minh kh¯ng ành 2).
GiÊ sỷ t t 0 =b∈F Cho a∈F ∗ Khi õ vẳ t 0 =bt nản
Náu a 0 + nab = 0 thì n l hơng, với t l nghiằm cừa a thực aX n + c và hơng số c = −at n Vả a 6= 0 và a, c ∈ F, thì n y cõ nghắa l t Ôi số trản F Mẫu thuẫn với tẵnh siảu viằt cừa t, do đó a 0 + nab 6= 0 và a 0 + nab ∈ F ∗ Chú ý rằng ph²p tẵnh ð trản cho thấy rơng mội số hÔng khĂc 0 cừa f(t) sinh ra mởt số hÔng khĂc 0 trong f(t) Khi đó, deg(f(t)) = deg((f(t)) 0 Ngoài ra, nếu f(t) là một a thực khĂc 0, thì giÊ sỷ f(t) = at n, từ ph²p tẵnh trản suy ra (at n) 0 = ht n do â (f(t)) 0 t) trong â, c = h/a ∈ F ∗.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ rơng f(t) t) vợi c∈F Khi õ c=h\a j a 0 j +ja j b
GiÊ sỷ rơng, a m , a l 6= 0 vợi mồim 6=l Khi õ, a 0 m +ma m b a m = a 0 l +la l b a l iãu õ cõ nghắa l , a 0 l +la l b a m = a 0 m +ma m b a l
=z vợiz l hơng số thuởcF Cho nản,a m t m −za l t l = 0 (t l mởt a thực khĂc0trảnF) Khi õ,tÔi số trảnF(mƠu thuăn) Do õ, cõ nhiãu nhĐt mởt hằ số khĂc0 (nghắa l f(t) l mởt ỡn thực).
ành lþ Liouville
C¡c h m sè sì c§p
ành nghắa 1.2.1 Mởt h m số ữủc gồi l sỡ cĐp náu nõ ữủc xƠy dỹng tứ C v x bơng cĂch sỷ dửng cĂc ph²p toĂn Ôi số, lụy thứa ho°c loagrit.
Vẵ dử 1.2.2 CĂc h m số sau l h m số sỡ cĐp
Vẵ dử 1.2.3 CĂc h m số lữủng giĂc sinx= e ix −e −ix
Sỷ dửng ¯ng thực arctanx = 2 i (ln(1−ix)−ln(1 +ix)) thẳ arctanx cụng l h m sè sì c§p.
ành lþ Liouville
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một trường vi phân F với số 0 và α ∈ F Nếu y 0 = α, thì y nằm trong miền mở của F với các hướng số giống nhau Tồn tại các hằng số c1, c2, , cn và các phần tử u1, u2, , un trong F sao cho α = v0 + c1 * u0 * u1 + c2 * u0 * u2 + + cn * u0 * un Chứng minh cho thấy rằng y = Rα, trong đó y 0 = α là nghiệm cỡ bên trái của F Khi đó, tồn tại một dãy các trường vi phân lồng nhau.
F⊆F(t 1 )⊆F(t 1 , t 2 )⊆ .⊆F(t 1 , t 2 , , t N ) sao cho tĐt cÊ cĂc trữớng n y cõ cũng cĂc hơng số, y ∈F(t 1 , , t N ), v mội t i l Ôi số, logarit ho°c mụ trản F(t 1 , , ti−1).
Ta chứng minh bậc quy nạp Giả sử N = 0, y ∈ F thì đã chứng minh Giả sử kết quả đúng với N − 1 Chú ý rằng dãy lặp nhau với F là trật tự được thự N−1 Do đó, theo Nguyên lý quy nạp, tồn tại các hằng số c1, c2, , cn và các phần tử u1, u2, , un, v ∈ F(t1) sao cho α = v0 + n.
Ta ch¿ cƯn chựng minh rơng cĂc phƯn tỷ nơm trongF(khổng nơm trongF(t 1 )) Ta x²t mởt số trữớng hủp: t 1 l Ôi số ho°c siảu viằt (logarit ho°c mụ).
Trong trữớng hủp 1, GiÊ sỷ t 1 = t l Ôi số trản F Khi õ, tỗn tÔi các a thực khĂc0 trong F[t] sao cho i = U i (t) và v = V(t) X²t các liản hủp rới nhau cừat trong trữớng õng Ôi số cừa F(t) (hoặc mởt số trữớng tĂch trản F(t)), ta kẵ hiằu l t = τ 1 , τ 2 , , τ s BƠy giớ, E = F(τ 1 , , τ s) là một mð rởng Ôi số cừa F nản nõ mð rởng duy nhĐt dữợi dÔng mởt trữớng vi phƠn.
Khi õ tỗn tÔi mởt ¯ng cĐu cừa E cố ành cĂc phƯn tứ cừaF sao cho bián t =τ 1 th nh τ j v gồi Ănh xÔ n y l σ j , khi õ ta cõ α=σ j (α) =σ j
Nhên x²t rơng vẳ cĂc trữớng cõ °c số 0 nản s −1 tỗn tÔi BƠy giớ, mởt cĂch ¯ng cỹ, cởng tĐt cÊ cĂc biºu thực liản hủp n y v chia cho s, ta ữủc
Chú ỵ rơng, 1 s (V 0 (τ 1 ) + ã ã ã+ V 0 (τ s )) ữủc cố ành qua tĐt cÊ cĂc tỹ ỗng cĐu vẳ nõ l ối xựng Tữỡng tỹ nhữ vêy, ( U i (τ 1 ) U i (τ s )) 0
U i (τ 1 ) U i (τ s ) ữủc cố ành qua tĐt cÊ cĂc tỹ ỗng cĐu vẳ nõ l ối xựng Do õ, cĂc phƯn tỷ n y nơm trong F Bơng cĂch °t v = 1 s V(τ 1 ) +ã ã ã+V(τ s )
∈ F v u i = U i (τ 1 ) U i (τ s ) ∈ F khi õ ành lỵ ữủc chùng minh xong.
Trường hợp 2, giả sử \(1 = t\) là số việt phân Ta có \(u_1, \ldots, u_n \in F(t_1) = F(t)\) Với số việt phân, ta xét a thực hiện theo biến với hằng số trong \(F\) Các a thực như vậy có thể phân tách thành thừa số với bất kỳ \(u_i\), ta có \(a = a_1(t)^{k_1} \cdots a_l(t)^{k_l}\), trong đó \(a_i \in F(t)\) là số thực bất kỳ, \(k_j \in Z\) khác 0 và \(b \in F^*\) Ta có \(0 = b a_1(t)^{k_1} \cdots a_l(t)^{k_l} = b_0 b + k_1 a_0^1(t) a_1(t) + \cdots + k_l a_0^l(t) a_l(t)\).
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ thº giÊ sỷ mội u i l mởt ỡn thực bĐt khÊ quy a(t)∈F[t]ho°c mởt phƯn tỷ cừaF Đối với phƠn tẵch, nó nh cĂc phƠn thực th nh phƯn m mội th nh phƯn cõ dÔng f g(t) (t) τ vợi f(t)∈F[t]l ỡn thực bĐt khÊ quy n o õ v g(t)∈F[t] sao cho deg(g(t)) 0) Khi đó, a 0 b k − akb k−1 b 0 b 2k = a 0 b k − k ab k b k+1 Chú ý rằng, v 0 = f t−P c i u u 0 i i, với deg(u i ) > 0 là thực bất quy tắc nhau và chỉ xuất hiện trong các mẫu đa thức Điều này có nghĩa là a 0 b k − akb k−1 b 0 = 0 (tức là (a b) 0 = 0) khi k = 1, nghĩa là chỉ xuất hiện trong phân thức.
Bởi vì, nếu k = 1, ta có a b 0 − ab b 2 0 và do số hạng thứ hai khổng thể rút gọn (sau khi rút gọn ta có lũy thừa Ưu tiên của b) Do đó, b phải chia hết cho ab 0.
Để phân tích đa thức F(t) = M(b) bĐt khÊ quy cho nản b chia hát −a ho°c b 0, ta nhận thấy rằng nếu deg(a) < deg(b), thì b phải chia hát b 0 Từ điều này, suy ra rằng deg(b) = deg(b 0), tức là b 0 tồn tại với c ∈ F Để nản b, b phải là một ớn thực Do đó, M(b) bĐt khÊ quy nản b = t.
M°t khĂc, với điều kiện a 0 b k − akb k−1 b 0 = 0, ta có õ a 0 b = kab 0 Như vậy, b chia hát kab 0 theo lẽ luân trản, suy ra b = t Do đó, biểu diễn phân thực của v là b k = t k Cuối cùng, v = P p i t j với p j ∈ F, trong đó n là số nguyên.
BƠy giớ, ta lêp luên cho u 0 i s Chú ỵ rơng, Pn i=1c i u 0 i /u i = f t−v 0 =f t−P p i t j v u j ∈/ F ho°c ìn thùc b§t kh£ quy Do â u i ∈/ F ch¿ câ thº l u i = t Trong tr÷íng hủp n y u 0 i /ui =t 0 /t∈F.
Nhưc lÔi rơng t 0 /t =g 0 ∈F nản f t=P p 0 j t j +P jp j g 0 t j +q ỗng nhĐt cĂc hằ số cừa t 1 ta ữủc f 0 =p 0 1 + 1p 1 g 0 Cho a=p 1 ∈F, khi õ f =a 0 +ag 0
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f =a 0 +ag 0 vợi a∈F Khi õ R f e g =R
Mởt số vẵ dử Ăp dửng
Vẵ dử 1.2.6 Chựng minh tẵch phƠn
Z lnx x−adx l sỡ cĐp náu v ch¿ náu a= 0.
Chựng minh Náua= 0 khi õ tẵch phƠn trð th nh
2 +C nản tẵch phƠn  cho sỡ cĐp.
Náu a 6= 0 v giÊ sỷ tẵch phƠn  cho l sỡ cĐp Khi õ theo Hằ quÊ 1.2.5 thẳ tỗn t¤i g(x)∈C(x)sao cho
Do õg(x) = ln(x−a)−Clnx+c Những iãu n y l vổ lỵ vợi tẵnh chĐtg(x)∈C(x). Vêy tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 1.2.7 ([5]) Chựng minh tẵch phƠn
Lới giÊi p dửng Hằ quÊ 1.2.5, ta cõ f(x) = 1 v g(x) =x 2 Khi õ náu R e x 2 dx sì cĐp thẳ tỗn tÔi a(x)∈C(x) sao cho
Gi£ sû a(x) = p(x) q(x) vợi p(x), q(x)∈ C[x] v q(x)6= 0 Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷp(x) v q(x)nguyản tố cũng nhau Khi õ,
Mởt cĂch tữỡng ữỡng, ta cõ q(x)(q(x)−2xp(x)−p 0 (x)) =−p(x)q 0 (x).
Giả sử q(x) có một nghiệm l tại τ, thì p(τ) = 0 (và p(x) và q(x) là các yếu tố cũng nhau) Khi đó, q(x)(q(x)−2xp(x)−p'(x)) = −p(x)q'(x) Vì vậy, nếu q(x) có một nhân tỷ (x−τ) thì q'(x) cũng phải có một nhân tỷ tương tự Điều này dẫn đến việc q'(x) phải có một nhân tỷ bậc nhỏ hơn Do đó, q(x) phải có nghĩa là q(x) = c(x−τ)^n với c là hằng số Mặt khác, a(x) = p(x) thì a(x) phải là một a thực.
(mƠu thuăn) Do õ, khổng tỗn tÔi a(x)nhữ vêy.
Nhữ vêy, R e x 2 dx khổng sỡ cĐp iãu n y cõ nghắa l
Vẵ dử 1.2.8 ([5]) Chựng minh tẵch phƠn
Chựng minh p dửng Hằ quÊ 1.2.5, ta cõ f(x) = 1 x v g(x) = x Vẳ vêy, náu R e x xdx sỡ cĐp, ta cõ mởt nghiằm a(x) ∈ C(x) sao cho x 1 = a 0 (x) + 1a(x) M°t khĂc, 1 x(a 0 (x) +a(x)) Náu a(x) = p(x) q(x) thẳ a 0 (x) = (p 0 (x)q(x)−p(x)q 0 (x)) q(x) 2 hay q 2 (x) = x[p 0 (x)q(x)−p(x)q 0 (x) +p(x)q(x)].
Giá trị của hàm số q(x) có một nghiệm duy nhất khi τ ≠ 0 và b > k Khi đó, xp(x)q'(x) = q(x)[xp'(x) + p(x) - q(x)] Nếu q(x) = cx với c > 1, thì q(x) có thể được viết dưới dạng q(x)² = x[p'(x)q(x) - p(x)q'(x)], với điều kiện rằng nó không bằng 0 Do đó, khi q(x) = cx, ta có x^k(c'p(x)) = xp(x)kcx^(k-1).
Do õ kp(x) = xp 0 (x) +p(x)−cx k v (k−1)p(x) = xp 0 (x)−cx k Vẳ vêy, p(x) cõ mởt nghiằm bơng 0 Những khi õ p(x) v q(x) khổng nguyản tố cũng nhau (mƠu thuăn).
Do dõ, tẵch phƠn R e x xdx khổng sỡ cĐp. iãu n y nghắa l phƯn thỹc v phƯn Êo cừa tẵch phƠn n y khổng sỡ cĐp Do õ, tẵch phƠn
Si(x) Z t 0 sint t dt khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 1.2.9 ([5]) Chựng minh tẵch phƠn
Chùng minh °t u= lnx.Khi â, du= x 1 dx Do â
Z 1 ln(x)dxZ x xln(x)dxZ e u udu.
Do õ, náuR 1 ln xdx sỡ cĐp thẳ
Z e x xdx sỡ cĐp iãu n y l vổ lỵ.
Vẵ dử 1.2.10 Chựng minh tẵch phƠn
Chồn a(x) =x thẳ ta kiºm tra ữủc f(x) = a 0 (x) +a(x)g 0 (x).
Nản theo Hằ quÊ 1.2.5 thẳ tẵch phƠn l sỡ cĐp.
Ta cõ thº tẵnh trỹc tiáp tẵch phƠn 1.2.10 nhữ sau
Vẵ dử 1.2.11 ([5]) Chựng minh tẵch phƠn
Z x 2n e ax 2 dx vợi n l số nguyản, l khổng sỡ cĐp vợi mồi a6= 0.
Lới giÊi Ta chựng minhx 2n =R 0 (x) + 2axR(x) khổng cõ nghiằm hỳu tR(x). GiÊ sỷx 2n =R 0 (x) + 2axR(x), vợiR(x) = p(x) q(x), trong â p(x),q(x)l c¡c a thùc nguyản tố cũng nhau Do õ
Náux 0 l nghiằm bởik cừa g(x)thẳ x 0 l nghiằm cừa vá trĂi trong (1.2.2) vợi bêc lợn hỡn ho°c bơng k.
Những p(x),q(x) nguyản tố cũng nhau nản x 0 l nghiằm bởik−1 ð vá phÊi iãu n y vổ lỵ.
Vêy q(x) khổng cõ nghiằm nản q(x)≡C.
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, lĐy q(x)≡1 Khi õ, (1.2.1) trð th nh x 2n =p 0 (x) + 2axp(x) (1.2.3)
Ta chựng minh (1.2.3) vổ nghiằm bơng cĂch ỗng nhĐt hằ số Vẳpl mởt a thực theo bián x, nản vợi n≥ 1thẳ degp(x) = 2n−1 °t p(x) =P2n−1 j=0 cjx j Thay v o (1.2.3) ta ữủc x 2n 2n−1
Suy rac 1 = 0,c2n−2 = 0,2ac2n−1 = 1v (j+1)c j+1 +2acj−1 = 0vợij = 1,2, ,2n−2. Vẳ c 1 = 0 nản c 3 = 0, c 5 = 0, , c2n−1 = 0 Những theo phữỡng trẳnh thự ba c2n−1 = 1
2a Do õ khổng tỗn tÔi a thực p(x) thọa mÂn (1.2.3) vợi n≥1.
Náu n≤0 dạ thĐy (1.2.3) khổng nhên a thực n o l m nghiằm Do õ, khổng tỗn tÔi h m hỳu t R(x) thọa mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn  cho.
Vêy theo Hằ quÊ 1.2.5 tẵch phƠn R x 2n e ax 2 dx khổng sỡ cĐp.
Sỷ dửng Vẵ dử 1.2.11 cũng cĂc ph²p ời bián v tẵch phƠn tứng phƯn ta cõ cĂc kh¯ng ành sau.
Vẵ dử 1.2.12 Chựng minh tẵch phƠn
Chựng minh °t t 2 = lnx khi õ tẵch phƠn  cho ữủc viát lÔi
Do õ, theo Vẵ dử 1.2.11 vợin = 1 v a= 1 thẳ tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 1.2.13 Chựng minh tẵch phƠn
Chựng minh °t t 2 =xkhi õ tẵch phƠn  cho ữủc viát lÔi
Do õ, theo Vẵ dử 1.2.11 vợin = 0 v a6= 0 thẳ tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp. Vẵ dử 1.2.14 ([5]) Chựng minh tẵch phƠn
Z x −n e cx dx, vợi n nguyản dữỡng v c l mởt hơng số khĂc0 khổng l sỡ cĐp.
Lới giÊi Ta chựng minh rơngx −n =R 0 (x) +cR(x) khổng cõ nghiằm hỳu tR(x). GiÊ sỷ x −n = R 0 (x) +cR(x), vợi R(x) = p(x) q(x) , trong õ p(x), q(x) l cĂc a thực nguyản tố cũng nhau Khi õ
1 x n = (p 0 q−qp 0 ) q 2 +cp q Suy ra q(−q+x n p 0 +cx n p) = x n pq 0 (1.2.4)
Giá trị sỹ degq lớn hơn 0, và x0 là một nghiệm của phương trình q(x) Nếu x0 khác 0, thì x0 là nghiệm của phương trình và nằm trong khoảng (1.2.4) với bậc lớn hơn hoặc bằng r Những nghiệm x0 nằm bởi r−1 của phương trình cũng phải thuộc khoảng (1.2.4) Do đó, khi x0 = 0 và q(x) = kx^r với k khác 0, thay vào (1.2.4) ta có x^r (-kx^r + p0x^n + cpx^n) = rpx^n + r−1.
Trữớng hủp 1 Náu n < r thẳ x 0 l mởt nghiằm vợi bêc lợn hỡn ho°c bơngr+n cừa vá trĂi trong (1.2.5) Những nõ l nghiằm bởi n+r−1 cừa vá phÊi (1.2.5) iãu n y vổ lỵ.
Trữớng hủp 2 Náu n≥r v n6=r thẳ x 0 l mởt nghiằm bởi 2r cừa vá trĂi trong (1.2.5) Những nõ l nghiằm bởi n+r−1 cừa vá phÊi (1.2.5) Do õ, 2r =n+r−1. iãu n y vổ lỵ.
Trữớng hủp 3 Náu n=r+ 1thẳ (1.2.5) trð th nhxp 0 =k+rp−cxp Những hai vá cừa phữỡng trẳnh (1.2.5) l cĂc a thực khổng cũng bêc iãu n y vổ lỵ.
Vẳ vêy, giÊ thiát degq > 0 l khổng hủp lỵ Do õ q ≡ C Khổng mĐt tẵnh tờng qu¡t, l§yq ≡1 Khi â (1.2.4) trð th nh x n p 0 +cx n p= 1 (1.2.6)
Vẳn >0nản khổng tỗn tÔi a thựcp(x)thọa mÂn (1.2.6) Suy rax −n =R 0 (x) +cR(x) khổng cõ nghiằm hỳu tR(x).
Vêy theo Hằ quÊ 1.2.5 tẵch phƠn R x −n e cx dx khổng sỡ cĐp.
Vợi kát quÊ trong Vẵ dử 1.2.14 cũng vợi cĂc ph²p ời bián v tẵch phƠn tứng phƯn, ta cõ cĂc kát luên sau.
Vẵ dử 1.2.15 Chựng minh tẵch phƠn
Chựng minh °t t=e x thẳ tẵch phƠn  cho ữủc viát lÔi
Z e e x dxZ e t t dt. p dửng Vẵ dử 1.2.14 vợi n= 1 v c= 1 thẳ tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 1.2.16 Chựng minh tẵch phƠn
Z ln(lnx)dx khổng sỡ cĐp.
Chựng minh Bơng phữỡng phĂp tẵch phƠn tứng phƯn thẳ
Z ln(lnx)dx=x.ln(lnx)−
M tẵch phƠn R 1 lnxdx khổng sỡ cĐp nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
RểT GÅN HARDY CHO LẻP
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày các tiêu chuẩn tách phân Liouville theo nghiệm cũ của toán rút gọn Hardy Các kết quả chính trong bài viết bao gồm các tiêu chuẩn cho các tách phân có dạng Z x r e a.x s dx Phần tiếp theo sẽ xem xét các kết quả liên quan đến tách phân dọc Z x r e a.x s cos(βx s )dx và Z x r e a.x s cos(βx s )dx.
Mởt số kát quÊ chuân bà
Bờ ã 2.1.1 ([6]) Cho g v h l cĂc h m hỳu t cũng liản tửc tÔi a∈C cố ành Náu h(a)6= 0 v g khổng l hơng số thẳ tẵch phƠn R h(x) x−ae g(x) dx khổng l sỡ cĐp.
Chựng minh Náu R h(x) x−ae g(x) dx l sỡ cĐp, theo tiảu chuân tẵch phƠn Liouville thẳ tỗn tÔi mởt h m hỳu t R sao cho h(x) x−a =R(x)g 0 (x) +R 0 (x).
Để nghiên cứu một hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = a \) với điều kiện \( f(a) \neq 0 \), tồn tại một số nguyên dương \( m \geq 1 \) và một hàm \( h(x) \) sao cho \( f(x) = (x - a)^m \cdot r(x) \), trong đó \( r(a) \neq 0 \) Từ đó, ta có thể suy ra rằng \( h(x) \cdot (x - a)^{m-1} = r'(x) - m \cdot r(x) \cdot \frac{1}{x - a} + g'(x) \cdot r(x) \) Việc phân tích này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số tại điểm \( x = a \).
Hằ quÊ 2.1.2 ([6]) Vợi mồi số nguyản dữỡng n v a ∈ C\ {0}, tẵch phƠn R e ax x n dx khổng sỡ cĐp.
Chựng minh Tẵch phƠn tứng phƯn, ta ữủc
Do õ, bơng cĂch quy nÔp ta ch¿ cƯn chựng minh vợi n= 1 những iãu n y ữủc suy ra tứ Bờ ã 2.1.1.
Khi áp dụng định lý Euler, chúng ta nhận thấy rõ rằng các số nguyên dương có thể được phân tích thành các hàm lượng giác như R cos x và R sin x Đặc biệt, với a = n = 1, chúng ta có thể sử dụng log u và tích phân R e^x x dx để chứng minh rằng kết quả không thay đổi.
Rút gồn Hardy cho tẵch phƠn Liouville
Mởt số kát quÊ vã rút gồn Hardy
ành lỵ 2.2.1 ([6]) Choa l mởt số phực v r, s l cĂc số hỳu t sao chosa 6= 0 Khi â R x r e ax s dx l sỡ cĐp náu v ch¿ náu r+1 s l mởt số nguyản dữỡng.
Chựng minh GiÊ sỷr =n v s=k l cĂc số nguyản vợi k > 0cố ành.
X²t I n Z x n e ax k dx v tẵch phƠn tứng phƯn ta ữủc
I n = x n−k+1 ka e ax k − (n−k+ 1) ka ãI n−k (2.2.1) °t n=k−1trong (2.2.1), ta thĐy rơng Ik−1 l sỡ cĐp, ngo i ra, vợin 6=k−1, ta thĐy rơng I n l sỡ cĐp náu v ch¿ náu In−k sỡ cĐp.
Ta chựng minh rơng I m khổng sỡ cĐp vợi m = −1,0, , k −2 Do õ, I n sỡ cĐp náu v ch¿ náu tỗn tÔi mởt số nguyản l ≥ 0 sao cho n = k−1 +kl iãu n y tữỡng ữỡng vợi n+1 k l số nguyản dữỡng.
Tứ Bờ ã 2.1.1, iãu kh¯ng ành úng vợi m =−1 GiÊ sỷ 0≤m≤k−2v I m l sỡ cĐp Theo tiảu chuân tẵch phƠn Liouville,x m = p qakx k−1 + (p q) 0 vợi cĂc a thực p, q nguyản tố cũng nhau Ta ữủc
Vẳ p, q nguyản tố cũng nhau, tứ ¯ng thực trản ta suy ra q l hơng số khĂc 0 Do õ, ta câ
Chú ỵ rơng 0 ≤ m ≤ k −2, bơng cĂch so sĂnh bêc ta suy ra ữủc p ≡ 0 Do õ
Cxm ≡ 0, và để chứng minh cho trướng hợp không nguyển Ơm, ta suy ra từ trướng hợp không nguyển dữỡng bằng cách °tu = 1 x Do đó, kết quả trản ứng với mỗi rv sẽ là các số nguyển sao cho sa6 = 0.
B¥y gií, ta gi£ sû r = p q v s= c d, vợi dq 6= 0 °t x=u dq suy ra
Do â, Z x r e ax s dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu r+1 s = d(p+q) cq l mởt số nguyản dữỡng.
Tứ ành lỵ trản ta cõ thº suy ra ữủc rơng bĐt ký I n cõ thº ữủc biºu diạn thổng qua cĂc h m số cỡ cĐp v I r vợi r∈ {−1; 0, , k−2}.
Vẵ dử 2.2.2 Ta cõ rút gồn Hardy sau
Z e x 5 x dx. ành lỵ 2.2.3 ([6]) Cho a thực g ∈P bĐt ký vợi k = degg ≥2,
Chứng minh rằng nếu k ≥ 2 và N = {1, x, , x^(k−2)}, thì nếu β_j = x^j g_0(x) + jx^(j−1), ta có thể chứng minh rằng dãy {β_j : j = 0, 1, } là một dãy tuyến tính Hơn nữa, ta có thể
Do õ, náu ta chựng minh rơngZ u(x)e g(x) dx khổng sỡ cĐp vợi mồi u∈ N g \ {0}, thẳ
E g =span{β j :j = 0,1,ã ã ã }, do õ ành lỵ 2.2.3 ữủc chựng minh LĐy u∈N g \ {0} v gi£ sû Z u(x)e g(x) dx sỡ cĐp Theo tiảu chuân tẵch phƠn Liouville, u= p qg 0 + p q
0 vợi cĂc a thực p, q nguyản tố cũng nhau Ta ữủc
(uq−p 0 −pg 0 )q=−pq 0 Vẳ p, q l nguyản tố cũng nhau, suy raq l hơng số C6= 0 Do õ, ta cõ
Vẳ degu≤k−2v degg 0 =k−1, bơng cĂch so sĂnh bêc ta suy ra p≡0 v do õ u≡0 iãu n y vổ lỵ. ành lỵ 2.2.4 ([6]) Cho g ∈Q l h m hỳu t khĂc hơng, °t
Khi õ mởt cỡ sð E g ữủc xĂc ành bði g 0 (x)
Trữớng hủp 1.f l mởt h m hỳu t v g l mởt a thực khĂc hơng.
Náu Ql mởt khổng gian vectỡ cừa cĂc h m hỳu t vợi hằ số trong C, khi õ
(2.2.3) l mởt cỡ sð cừa Q Náu g l mởt a thực vợi bêck ≥1, ta ành nghắa
Ta chựng minh {αλj, g 0 , βj, λ ∈C;j = 1,2, } l ởc lêp tuyán tẵnh bơng phữỡng phĂp quy nÔp, ngo i ra sỷ dửng cỡ sð cừa Qtrong (2.2.3), ta cõ
Ta cõ E g = span{α λj , g 0 , β j : λ ∈ C;j = 1,2, } v do õ ành lỵ s³ ữủc chựng minh náu ta ch¿ ra
Z u(x)e g(x) dx khổng l sỡ cĐp vợi mồiu∈N g \ {0} iãu n y ữủc suy ra tứ chựng minh cừa ành lỵ 2.2.3 vợi ul a thực v tứ Bờ ã 2.1.1.
Trữớng hủp 2 CÊ f v g ãu l h m hỳu t v g khổng phÊi l a thực.
Trữợc hát, ta chựng minh bơng quy nÔp, giÊ sỷ rơng g(x) m
A rs (x−γ r ) s +P(x) (2.2.6) vợi P ∈P ho°c bơng 0 ho°c degP =k GiÊ sỷ m ≥1, cĂc số phực γr l phƠn biằt v
A rl r 6= 0 vợi r = 1, , m Ta ành nghắa
Ee g =span{α λj , g 0 , β j :λ∈C;j = 1,2, } trong â α λj (x) v β j (x) nh÷ trong (2.2.4) v g 0 (x) =− m
1, x, , x k−1 , 1 x−λ, γ rs :γ rs ∈N g , λ∈C\Γ náu P l hơng số {1, x, , x k−1 } l rộng.
Nhên x²t 2.2.5 ([6]) PhƯn cỏn lÔi cừa chựng minh n y úng náu trong ành nghắa cừa Ng 0 , ta bọ qua bĐt ký γrl r +1(x)vợi r= 1, , m−1, thay vẳγml m +1(x).
Chựng minh Vợi kỵ hiằu trản, theo (2.2.5), ành lỵ 2.2.4 s³ ữủc chựng minh náu ta chựng minh rơng
R u(x)e g(x) dx khổng sỡ cĐp vợi bĐt kýu∈N g \ {0}. Ưu tiản ta chựng minh iãu sau Cho u ∈ N g \ {0} Náu u l mởt số hÔng khĂc
Để xác định điều kiện hội tụ của tích phân R u(x)e g(x) dx với λ ∈ C\Γ, ta cần xem xét các yếu tố liên quan đến hàm u(x) Nếu hàm này không hội tụ, ta có thể biểu diễn u(x) dưới dạng X γ rs ∈N g 0 a rs γ rs + Q(x), trong đó Q(x) có thể là 0 hoặc một hàm thực với bậc tối thiểu a k−1 Nếu tích phân R u(x)e g(x) dx hội tụ, thì theo tiêu chuẩn tách phần Liouville, ta có thể viết u = p q g 0 + p q.
0 vợi cĂc a thực pv q nguyản tố cũng nhau iãu nay suy ra ữủc
(uq−p 0 −pg 0 )q=−q 0 p, v nhƠn cÊ hai vá cho D(x) m
(x−γr) l r +1 , nhƠn tỷ chung cừa g 0 , ta suy ra ữủc phữỡng trẳnh
X²t cĂc khổng-iºm cừa q v q 0 ta suy ra cĂc nghiằm cõ thº cõ cừa q l γ 1 , , γ m Náuq(x) = (x−γ 1 ) σ φ(x), vợi σ ≥1v φ(γ 1 )6= 0, khi õ
Theo định nghĩa trong lý thuyết, ta có một điều kiện cần thiết là x - γ1 phải lớn hơn hoặc bằng 1 để có thể tồn tại một nghiệm trong phương trình Nếu x - γ1 không chia hết cho p, thì nghiệm sẽ bị loại bỏ, dẫn đến việc không có nghiệm nào thỏa mãn Khi x - γ1 chia hết cho hai số hạng ưu tiên, ta sẽ có hai nghiệm khác nhau Nếu A1 khác 0, điều này cho thấy x - γ1 chia hết cho pY với r = 2.
(x−γ r ) l r +1 l khổng thº Do õ, γ 1 khổng l nghiằm cừa q ta chựng minh tữỡng tỹγ r cụng khổng l nghiằm cừa q, vợi r= 2, , m Do õ, q 6=C 1 v do õ ta cõ
C 1 uD−p 0 D=pg 0 D (2.2.7) trong õ cĂc a thực uD v pg 0 Dữủc cho bði uD= X γ rs ∈N g 0 a rs D γ rs +QD, (2.2.8) pg 0 D=−p m
GiÊ sỷ k = degP ≥1 Ta ch¿ ra rơng giÊ sỷ n y l vổ lỵ.
Chú ỵ rơng trong trữớng hủp n y bêc cừa vá phÊi (2.2.7) l bêc cừa pP 0 D.
•Náu Q≡0, thẳ deg(pP 0 D)>deg(C 1 uD−p 0 D)trứ khi p≡0 Những iãu n y nghắa l u≡0, mƠu thuăn vợi cĂch chồn u.
• NáuQ6≡0, thẳ degQ≤k−1 Náu pl hơng số thẳ deg(pP 0 D)>deg(C1uD−p 0 D) v tối a bơngmax{degQD,degp 0 D} iãu n y l vổ lỵ,pl mởt hơng sốC 2 v do õ u= C 2
NáuC 2 = 0, ta cõ mƠu thuăn u≡0 Do õ, C 2 6= 0 Vẳ A ml m 6= 0 Sỷ dửng phữỡng trẳnh cuối cũng n y, ta ữủc kát quÊ γ ml m +1 v γ ml m +1 ∈ N g , iãu n y vổ lỵ vợi cĂch ành nghắa N g
Do \( p \) không phải là hằng số, khi \( \deg(pD) > \deg(C1uD−pg0D) \) không thể xảy ra Vì vậy, \( p \) là một hằng số \( C2 \) và có thể được xác định trong một mẫu thuẫn Điều này chứng tỏ rằng tích phân \( R u(x)e g(x) dx \) không thể hội tụ với \( u \in N g \setminus \{0\} \).
BƠy giớ, ta chựng minh Q = N g ⊕Ee g Theo (2.2.5) v cĂc lêp luên trữợc, ta cõ
Vẳ vêy theo (2.2.3) cỡ sð cừa Qthuởc N g +Ee g Theo ành nghắaN g , ta cõ
Hỡn nỳa, vẳl m A ml m 6= 0v g 0 ∈Ee g , cho nản 1
N g +Ee g Bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo j = 1,2, v hai kh¯ng ành sau cũng ta cõ ữủc cĂc kát luên sau
• Vợi k ≥0 cố ành, x j+k−1 ∈Ng+Eeg, vẳ βj(x) = x j g 0 (x) +jx j−1 ∈Eeg.
CĂc hằ quÊ
Hằ quÊ 2.2.6 ([6]) Cho α, β l cĂc số thỹc v r, s l cĂc số hỳu t vợis(α+iβ)6= 0. Khi â, R x r e αx s cos(βx s )dx v R x r e αx s sin(βx s )dx l cĂc h m sỡ cĐp náu v ch¿ náu r+ 1 s l mởt số nguyản dữỡng.
Hằ quÊ 2.2.7 ([6]) Cho g ∈P bĐt ký vợi k = degg ≥2,
Khi õ vợi bĐt ký f ∈P, tỗn tÔi duy nhĐt cĂc a thực P v u vợi degu ≤ k−2, sao cho
Z f(x)e g(x) dxZ u(x)e g(x) dx+P(x)e g(x) (2.2.10) Hỡn nỳa, vá trĂi cừa (2.2.10) l sỡ cĐp náu v ch¿ náu u ≡ 0 v giĂ trà cừa nõ l
P(x)e g(x) Náu u6≡0, tẵch phƠn khổng sỡ cĐp ð vá phÊi l nhọ nhĐt theo nghắa vợi bĐt ký a thực v v Q thọa mÂn
Z f(x)e g(x) dxZ v(x)e g(x) dx+Q(x)e g(x) , vợi degv ≥degu.
Hằ quÊ 2.2.8 ([6]) Cho a thực khĂc hơng g Khi õ, vợi bĐt ký f ∈ Q tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m hỳu t R v u∈N g cõ dÔng u(x) n
A j x−λ j +Q(x) vợi Q≡0 ho°c bêc tối a bơng degg−2, sao cho
Hỡn nỳa, vá trĂi cừa phữỡng trẳnh n y l sỡ cĐp náu v ch¿ náu u≡0, v náuu6≡0 tẵch phƠn ð vá phÊi khổng sỡ cĐp nghắa l vợi bĐt ký h m hỳu t v v Q thọa mÂn
Z f(x)e g(x) dxZ v(x)e g(x) dx+Q(x)e g(x) , vợi degv ≥degu.
Hằ quÊ 2.2.9 ([6]) Cho g v P nhữ trong (2.2.6) Khi õ, vợi bĐt ký f ∈ Q tỗn tÔi duy nhĐt mởt h m hỳu t R v duy nhĐt h m hỳu t u∈N g cõ dÔng u(x) m
A j x−λ j + X γ rs ∈N g 0 a rs γ rs +Q(x) vợi N g v N g 0 ữủc ành nghắa trong chựng minh ành lỵ 2.2.4 , trữớng hủp 2 v Q≡0 náu P ≡0 ho°c l mởt a thực cõ bêc tối a l deg(P)−1, sao cho
Hỡn nỳa, vá trĂi cừa phữỡng trẳnh trản l sỡ cĐp náu v ch¿ náu u ≡ 0 v náu u6≡0, tẵch phƠn ð vá phÊi l khổng sỡ cĐp nhọ nhĐt theo nghắa ối vợi bĐt ký h m hỳu t v v ρ thọa mÂn.
Z f(x)e g(x) dxZ v(x)e g(x) dx+ρ(x)e g(x) ,vợi degv ≥degu.
CĂc vẵ dử
Vẵ dử 2.2.10 ([6]) Tẳm rút gồn Hardy cừa
2 dx vợi bĐt ký a thực f v a ∈C\ {0}.
Líi gi£i Ta câ g(x) = ax 2
P=span{1}+span{ax, ax 2 + 1, ax 3 + 2x, }.
Náudegf(x) = n, ta cõ thº tẳm ữủc A 0 , A 1 , , A n ∈C sao cho f(x) =A0 + n−1
A j+1 x j cõ thº xĂc ành cĂc hằ sốA 0 , A 1 , , A n theo a thựcf cho trữợc, hỡn nỳa tẵch phƠn bản trĂi l sỡ cĐp náu v ch¿ náuA 0 = 0 v gi¡ trà cõa nâ l P(x)e ax
2 Vẵ dử 2.2.11 ([6]) Tẳm rút gồn Hardy cừa
Tẵch phƠn n y cõ sỡ cĐp khổng?
Do õ, f(x) = 1−3x+ 2β 0 (x), rút gồn Hardy ta ữủc
(1−3x)e x 5 dx+ 2e x 5 Vẳ u(x) = 1−3x khĂc a thực 0 nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 2.2.12 ([6]) Tẳm rút gồn Hardy cừa
Tẵch phƠn n y cõ sỡ cĐp khổng?
9x khĂc a thực 0 nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 2.2.13 ([6]) Tẳm rút gồn Hardy cừa
Tẵch phƠn n y cõ sỡ cĐp khổng?
Vẳ u(x) = 2x+ x+1 2 6≡0 nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Vẵ dử 2.2.14 ([6]) Tẳm rút gồn Hardy cừa
Tẵch phƠn trản cõ sỡ cĐp khổng?
(x−1) 2 + 1 x−2 ∈Ng(F)\ {0} nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp.
Trong Chữỡng n y, chúng tổi sỷ dửng mởt số kát quÊ cừa Chữỡng 2 º nghiản cựu mởt số iãu kiằn cừa a thựcP sao cho cĂc tẵch phƠnR
P(x) là một hàm số có dạng ax^k dx, với các điều kiện cụ thể để xác định các hệ số của a Chúng tôi sẽ phân tích các trường hợp cụ thể khi k bằng 2 hoặc k bằng 3 để tìm ra các giá trị tương ứng của a.
Mởt số dÔng tẵch phƠn Liouville °c biằt
Vẵ dử 3.1.1 ([6]) Cho P(x) = a n x n +ã ã ã+a 1 x+a 0 v a∈C\ {0} Náu n= 2l+r, vợi r= 0,1thẳ R
P(x)e ax 2 dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu l
Chựng minh Ta ch¿ x²t trữớng hủp n= 2l Theo ành lỵ 2.2.3 ,R
P(x)e ax 2 dx sì c§p náu v ch¿ náu
Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tữỡng ữỡng vợi (3.1.1).
Nhên x²t 3.1.2 ([6]) Vẵ dử 3.1.1 l mð rởng cĂc kát quÊ trong [8]
Cử thº trong [8] Â chựng minh rơng R
P(x)e −x 2 dx l sỡ cĐp náu v ch¿ náu iãu kiằn trỹc giao
Thêt vêy, vợi mồi j = 0,1,2, thẳ
Do õ, khi P(x) = a n x n +ã ã ã+a 1 x+a 0 vợi n = 2l+r, r ∈ {0,1} thẳ iãu kiằn trỹc giao trản tữỡng ữỡng vợi kh¯ng ành R
P(x)e −x 2 dx l sỡ cĐp náu v ch¿ náu l
Vẵ dử 3.1.3 ([6]) Cho P(x) = anx n +ã ã ã+a1x+a0 v a∈C\ {0} Náu n= 3l+r, vợi r= 1,2thẳ R
P(x)e ax 3 dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu l
P(x)e ax 3 dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu l
Chùng minh Ta ch¿ x²t n = 3l+ 2 Theo ành lþ 2.2.3, R
P(x)e ax 3 dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu
ỗng nhĐt hằ số cừax j , ta ữủc
3a =a 0 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh n y tữỡng ữỡng (3.1.2).
Mằnh ã 3.1.4 ([6]) Cho k l mởt số nguyản dữỡng, P(x) = a n x n +ã ã ã+a 1 x+a 0 vợi a ∈C\ {0} Náu n =kl+r, vợi 0≤r ≤1 thẳ tẵch phƠn Z
P(x)e ax k dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu cĂc hằ số cừa P thọa mÂn hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh bêc k−1 sau l
BƠy giớ ta x²t cĂc tẵch phƠn dÔng Z
P(x)e xk a dx vợi k >0 v P l mởt a thực. Vẵ dử 3.1.5 ([6]) ChoP(x) =a n x n +ã ã ã+a 1 x+a 0 v a∈C\{0}.Khi õ,R
P(x)e a x dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu n
Chựng minh Theo ành lỵ 2.2.4 , náuP l mởt a thực thẳR
P(x)e a x dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu P ∈ spann x− a 2 , x 2 − a 3 x, , x j − j+1 a x j−1 , o
iãu n y xÊy ra náu v ch¿ náu n
ỗng nhĐt hằ số cừax j , ta ữủc
2 =a0.Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh n y tữỡng ữỡng vợi (3.1.3).
Vẵ dử 3.1.6 ([6]) Cho P(x)a n x n +ã ã ã+a 1 x+a 0 v a∈C\ {0} Náu n= 2l+ 1 thẳ
R P(x)e x a 2 dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu l
P(x)e x a 2 dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu l
Chựng minh Theo ành lỵ 2.2.4, náuP(x)l mởt a thực thẳR
ỗng nhĐt hằ số vợix j , ta ữủc
3 A 3 =a 0 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh n y tữỡng ữỡng vợi (3.1.4) Chựng minh tữỡng tỹ vợi n= 2l.
Mằnh ã 3.1.7 ([6]) Cho k l mởt số nguyản dữỡng, P(x) = anx n +ã ã ã+a1x+a0 vợi a∈C\ {0} Náun=kl+r, vợi 0≤r ≤1thẳ tẵch phƠn Z
P(x)e a/x k dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu cĂc hằ số cừa P thọa mÂn hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh bêc k sau l
Vẵ dử 3.1.8 ([6]) Cho a 6= 0 v cl hơng số Náu n l số nguyản dữỡng v P l a thực bêc l ≤n−1 thẳ R P (x)
(x−c) n e ax dx sỡ cĐp náu v ch¿ náu n
Z a 0 x n + a 1 x n−1 +ã ã ã+ a k x n−l e ax dx (3.1.6) sỡ cĐp náu v ch¿ náu n
Theo ành lỵ 2.2.4, ta thĐy (3.1.6) sỡ cĐp náu v ch¿ náu a 0 x n + a 1 x n−1 +ã ã ã+ a l x n−l
=(n−1)A 1 x n +(n−2)A 2 −aA 1 x n−1 +ã ã ã+ (n−l)A 1 −aAl−1 x n−l+1 − aA 1 x n−l vợi A 1 , A 2 , , An−1 l cĂc hơng số ỗng nhĐt hằ số ta ữủc
(n−1)A1 =a0, (n−2)A2−aA1 =a1, , (n−l)Al−aAl−1 =al−1, −aAl =al.
Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh n y tữỡng ữỡng vợi (3.1.7).
Khai triºn Taylor cừa P xung quanhx=cv °t u=x−cta ữủc
Do õ, thay aj = P (j) j! (c) trong (3.1.7), ta ữủc (3.1.5).
CĂc tẵch phƠn Kiºu Liouville
Trong mửc n y, chúng tổi nghiản cựu cĂc vĐn ã vã tẵch phƠn Kiºu Liouville CĂc tẵch phƠn n y cõ dÔng
F(x) tanh −1 G(x)dx trong õ cĂc h mF, G l phƠn thực vợiG khĂc hơng.
Sỷ dửng cĂc ¯ng thực arctanx= 1
1−x thẳ ta ch¿ cƯn nghiản cựu tẵch phƠn Ưu tiản.
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ
(x−β 1 ) .(x−β m ) Khi õ, bơng cĂch sỷ dửng tẵnh chĐt cừa h m số logarit ta cõ thº xĂc ành ữủc h m f sao cho
F(x) logG(x)dxZ f(x) logxdx. khi õ ta cõ thº sỷ dửng tiảu chuân tẵch phƠn Liouville - Hardy º nghiản cựu vã tẵnh chĐt sỡ cĐp cừa tẵch phƠn n y.
P(x) logxdx là một phần quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm số thực và số phức Để hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các hàm số này, chúng ta cần xem xét không gian của các hàm số thực và số phức, đặc biệt là trong bối cảnh của các số thực và số phức Qp Việc phân tích các hàm số f và các điều kiện mà chúng thỏa mãn, như f ≡ 0 hoặc các tỷ lệ thực tế, là rất cần thiết để phát triển các lý thuyết toán học liên quan.
1 x, 1 x−λ, λ∈C, j = 2,3, v Q=N⊕ε Chựng minh Chú ỵ rơngQ=N⊕span
Để chứng minh rằng \( Z u(x) \log x \) không có cấp với mọi \( u \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \), ta xét \( u(x) = \sum_{l=1}^{n} \beta_l x^{-\lambda_l} \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \) và \( Z u(x) \log x \) không có cấp Theo tiêu chuẩn tách phân Liouville - Hardy, tồn tại hàm phân thực \( g \) và hằng số \( c \) sao cho \( u(x) = g_0(x) + c x \) Nếu \( \beta_k \neq 0 \), thì tồn tại \( x = \lambda_k \) Với \( \lambda_k \neq 0 \), tồn tại \( m \geq 1 \) và hàm phân thực \( r \) sao cho \( r(\lambda_k) \neq 0 \) và \( g(x) = r(x) \).
(x−λk) m (u(x)− c x) =r 0 (x)− mr(x) x−λ k iãu n y l vổ lỵ vẳ vá phÊi khổng liản tửc tÔi x=λ k
Hằng số 3.2.2 đề cập đến các tách phân kiểu Liouville, trong đó có sự rút gọn từ các hàm số sở hữu cấp với hàm số khổng sở hữu cấp Các tách phân này có dạng Z logx x−λdx, với λ thuộc tập hợp số phức C ngoại trừ 0.
Vẵ dử 3.2.3 ([6]) Tẳm rút gồn Hardy cừaZ
3x 2 −5x+ 4 x(x−2) 2 logxdx. Lới giÊi Ta cõ phƠn tẵch sau
Vẳ 1 x−2 ∈N\ {0} nản Z logx x−2dx l khổng sỡ cĐp.
KT LUN là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết số, đặc biệt liên quan đến các mảng tiểu số và các hàm số Nó cung cấp cơ sở để nghiên cứu các tính chất của các tách phân Liouville, từ đó mở ra nhiều ứng dụng trong toán học Các tách phân này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm số và mối quan hệ giữa chúng.
R f(x)e g(x) dx trong õ f, g l cĂc h m số hỳu t, g khổng l h m hơng.
Cử thº Luên vôn  trẳnh b y chi tiát mởt số kát quÊ sau
Hệ thống mởt số kián thực cỡ bên vã v nh v trữớng vi phơn, tắm hiếu ảnh hưởng của Liouville trong việc quan sát trật tự mởt trữớng vi phơn và các số hằ quÊ đặc biệt của nó.
Nghiên cứu cho thấy việc mở rộng thuật toán rút gọn Hardy có thể xác định liệu các tác phẩm nghệ thuật có phải là hàng giả hay không Khi không có thông tin rõ ràng, thuật toán này vẫn có khả năng đánh giá giá trị của các tác phẩm nghệ thuật một cách chính xác.
3 Nghiản cựu mởt số iãu kiằn cừa a thực P sao cho cĂc tẵch phƠn R
P(x)e ax k dx l sỡ cĐp CĂc iãu kiằn Ôt ữủc l cĂc hằ phữỡng trẳnh xĂc ành cĂc hằ số cừa a thùcP.
[1] J Baddoura, Integration in finite terms with elementary functions and dilog- arithms, J Symbolic Comput., 41 (2006), 909-942.
[2] M Bronstein, The transcendental Risch differential equation, J Symbolic Comput., 9 (1990), 49-60.
[3] M Bronstein, Integration of elementary functions, J Symbolic Comput., 9
[4] M Bronstein, Symbolic Integration I: Transcendental Functions Second edi- tion With a foreword by B F Caviness Vol 1 Algorithms and Computation in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.
[5] T Crespo, Z Hajto, Algebraic groups and diffrential Galois Theorey, Grad- uate Studies in Mathematics, Vol 122, American Mathematical Society, (2011).
[6] J Cruz-Sampedro, M Tetlalmatzi-Montiel, Hardy's Reduction for a Class of Liouville Integrals of Elementary Functions, The American Mathematical Monthly, Vol 123, No 5 (May 2016), pp 448-470.
[7] J H Davenport,The Risch differential equation problem, SIAM J Comput.,
[8] P Diaconis, S Zabell, Closed form summation for classical distributions:variations on a theme of de Moivre, Statist Sci., 6 (1991), 28content 4-302.