Thiết kế bộ quan sát trạng thái cho một lớp bài toán của các hệ thống động học lai

MỞ ĐẦ U

Đặ t v ấn đề

Hệ thống động học lai (Hybrid Dynamic Systems) là loại hệ thống có sự kết hợp giữa diễn biến động học liên tục và rời rạc Điều này có nghĩa là hệ thống có thể được mô tả bằng các phương trình vi phân, vi phân đại số hoặc vi phân đạo hàm riêng (ODE/DAE/PDAE), đồng thời cũng có thể được mô hình hóa thông qua các trạng thái hữu hạn (Finite State Machine/Automata).

Trong lĩnh vực hệ thống lai, DCCS (Hệ thống Điều khiển Rời rạc Liên tục) đóng vai trò quan trọng Đây là các hệ thống có mô hình động học liên tục, được điều khiển bởi bộ điều khiển rời rạc và sử dụng cảm biến rời rạc Các bài toán liên quan đến DCCS thường xuất hiện trong các ứng dụng công nghiệp, đặc biệt là khi áp dụng bộ điều khiển logic khả trình (PLC).

Controllers) hay là các hệđiều khiển phân tán DCS (Distributed Control Systems)

Hệ thống điều khiển và giám sát sử dụng cảm biến rời rạc để đảm bảo điều kiện vận hành và an toàn Các cảm biến này được lắp đặt tại những vị trí đặc biệt, tương ứng với các ngưỡng trạng thái quan trọng Khi trạng thái đạt đến một trong các ngưỡng đã định, cảm biến sẽ gửi tín hiệu cho bộ điều khiển dưới dạng các sự kiện rời rạc, thường là xung cao hoặc thấp Dựa trên trạng thái hiện tại của hệ thống, bộ điều khiển sẽ phát tín hiệu điều khiển tiếp theo để duy trì hoạt động ổn định.

Việc thiết kế bộ điều khiển rời rạc thường được thực hiện thủ công, gây tốn nhiều thời gian Quá trình này bắt đầu bằng việc nghiên cứu quy trình vận hành của hệ thống, từ đó lựa chọn các phương pháp điều khiển phù hợp với yêu cầu Tuy nhiên, kết quả từ việc vận hành hệ thống có thể không đạt tối ưu và không đảm bảo các yêu cầu vận hành cần thiết.

Thiết kế bộ quan sát trạng thái là yếu tố quan trọng không kém so với bộ điều khiển Các cảm biến rời rạc chỉ cung cấp thông tin hạn chế về trạng thái hệ thống, và sự ảnh hưởng của nhiễu quá trình cùng nhiễu đo có thể dẫn đến kết quả mô phỏng không chính xác về vị trí trạng thái trên ngưỡng Điều này có thể khiến bộ điều khiển đưa ra tín hiệu không phù hợp, dẫn đến sự cố trong hệ thống Do đó, bộ quan sát trạng thái được sử dụng để ước lượng chính xác trạng thái hệ thống từ chuỗi phép đo rời rạc, cung cấp giải pháp điều khiển toàn diện và hỗ trợ cho các nhiệm vụ như chẩn đoán và phát hiện lỗi.

Dựa trên các phân tích đã thực hiện và dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thu Hà, tôi quyết định chọn đề tài “Thiết kế bộ quan sát trạng thái”.

MỘT LỚP BÀI TOÁN CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐỘNG HỌC LAI” làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ.

M ục đích đề tài

Đềtài được thực hiện đểđạt được các mục đích sau:

1) Tìm hiểu tổng quan về hệ DCCS, cấu trúc và nhiệm vụđiều khiển

2) Tìm hiểu và áp dụng bộđiều khiển phản hồi trạng thái

3) Xây dựng bộ quan sát trạng thái

4) Tiến hành mô phỏng và đánh giá chất lượng của bộ quan sát.

Đối tượ ng và ph ạ m vi nghiên c ứ u c ủa đề tài

Nghiên cứu này tập trung vào các hệ thống DCCS được điều khiển bởi bộ điều khiển rời rạc Việc tính toán bộ điều khiển phản hồi trạng thái và xây dựng bộ quan sát trạng thái được thực hiện trên phần mềm MATLAB của công ty MathWorks Để kiểm tra tính khả thi của hệ thống điều khiển và bộ quan sát, mô hình hệ thống ba bình nước nối thông với nhau đã được sử dụng Mô hình này được xây dựng từ các khối trong thư viện Simscape Fluid của Simulink trong MATLAB.

Ý nghĩa khoa họ c c ủa đề tài

Các nghiên cứu về xây dựng bộ điều khiển và bộ quan sát sẽ được áp dụng để thiết kế điều khiển rời rạc cho các hệ thống trong cùng lớp bài toán DCCS Việc tính toán bộ điều khiển phản hồi trạng thái theo phương thức offline giúp ứng dụng cho các hệ thống thực tế, nơi mà các thiết bị điều khiển thường có cơ chế hoạt động đơn giản như PLC và không có cấu hình phần cứng mạnh mẽ để thực hiện các tính toán phức tạp Luận văn này cũng chỉ ra cách vận dụng các bộ quan sát cho các bài toán hệ thống rời rạc đã biết lên các hệ thống DCCS.

N ộ i dung c ủa đề tài

Chương 2: Tổng quan về hệ thống DCCS, cấu trúc điều khiển và nhiệm vụ điều khiển Chương này nêu ra một số định nghĩa cần thiết cho hệ DCCS, đồng thời trình bày cấu trúc của bộđiều khiển và nhiệm vụđiều khiển mà bài toán thiết kế cần phải chú ý trong quá trình xây dựng bộđiều khiển

Chương 3: Xây dựng bộ điều khiển phản hồi trạng thái Chương này trình bày cách xây dựng bộđiều khiển từ kỹ thuật quy hoạch động của Bellman

Chương 4: Xây dựng bộ quan sát trạng thái Chương này trình bày cách vận dụng các bộ quan sát Kalman mở rộng – Extended Kalman Filter và bộ quan sát Unsceted Kalman Filter cho hệ DCCS

Chương 5: Mô phỏng và nhận xét Chương này sẽ tiến hành tính toán bộđiều khiển và bộquan sát cho đối tượng hệ DCCS cụ thể, với mô hình sử dụng ởđây là hệ thống ba bình nối thông với nhau Các đặc điểm mà ảnh hưởng đến chất lượng của bộđiều khiển và bộ quan sát cũng sẽđược so sánh và nhận xét

Chương 6: Kết luận Chương này sẽ tiến hành đánh giá phân tích các ưu nhược điểm của cách xây dựng bộ điều khiển và bộ quan sát theo cách tiếp cận trên Từđó đềra định hướng xử lý các vấn đề còn tồn đọng và các công việc trong tương lai.

TỔ NG QUAN V Ề H Ệ DCCS, C Ấ U TRÚC VÀ NHI Ệ M V Ụ ĐIỀ U KHI Ể N

H ệ th ố ng DCCS – Discretely Controlled Continuous Systems

Hệ thống DCCS – Discretely Controlled Continuous Systems được định nghĩa như sau [6], [7], [8], [9]:

Trong không gian trạng thái ℝ^𝑚, trạng thái 𝑥𝑚 nằm trong khoảng 𝑥𝑚,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 với 𝑖 = 1, … ,𝑛, trong đó 𝑛 là số chiều của không gian trạng thái Tập đầu vào rời rạc được ký hiệu là 𝑈 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚} ⊆ ℝ^𝑝.

Tập các ngưỡng trạng thái 𝐿𝐿 = {𝐿𝐿 1 ,𝐿𝐿 2 , … ,𝐿𝐿 𝑚𝑚 } được định nghĩa cho từng biến trạng thái 𝑥𝑥𝑚𝑚, với 𝐿𝐿𝑚𝑚 = {𝑙𝑙𝑚𝑚,0, 𝑙𝑙𝑚𝑚,1, … ,𝑙𝑙𝑚𝑚,𝑞𝑞} và 𝑙𝑙𝑚𝑚,0 = 𝑥𝑥𝑚𝑚,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑙𝑙𝑚𝑚,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑥𝑥𝑚𝑚,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Các ngưỡng trạng thái này thường được xác định trước bởi các cảm biến rời rạc Khi có một phép đo được thực hiện, thông tin từ cảm biến sẽ chỉ ra thời điểm chạm ngưỡng 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑘𝑘 và ngưỡng mà trạng thái đã đạt được là 𝑥𝑥 𝑚𝑚 (𝑡𝑡) = 𝑙𝑙 𝑚𝑚,𝑘𝑘 Số 𝛾𝛾 được xác định từ việc phân vùng 𝑋𝑋 bởi tập 𝐿𝐿, làm cho tập 𝑋𝑋 trở thành một phần quan trọng trong quá trình phân tích trạng thái.

𝑚𝑚=1 Mỗi ô 𝑋𝑋 𝑚𝑚 ⊂ 𝑋𝑋 đều được bao bởi tập �𝑙𝑙 1,𝑘𝑘 1 ,𝑙𝑙 1,𝑘𝑘 1 +1 �×

�𝑙𝑙 1,𝑘𝑘 2 ,𝑙𝑙1,𝑘𝑘 2 +1�× … ×�𝑙𝑙 1,𝑘𝑘 𝑛𝑛 ,𝑙𝑙1,𝑘𝑘 𝑛𝑛 +1� với 𝑘𝑘𝑚𝑚 ∈ {1, … ,𝑞𝑞𝑚𝑚 −1} o 𝐸𝐸 =�𝑒𝑒1,𝑒𝑒2, … ,𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑒𝑒 � ⊆ ℝ 𝑚𝑚 𝑒𝑒 là tập các sự kiện rời rạc Một sự kiện 𝑒𝑒𝑚𝑚 ∈

Tại thời điểm 𝑡𝑡=𝑡𝑡𝑘𝑘, biến trạng thái đạt ngưỡng 𝑙𝑙𝑚𝑚,𝑘𝑘 với giá trị 𝑥𝑥(𝑡𝑡 𝑘𝑘) = 𝑙𝑙 𝑚𝑚,𝑘𝑘 Hàm mô tả động học của đối tượng được biểu diễn bởi 𝑜 𝑓𝑓:𝑋𝑋×𝑈𝑈 → ℝ𝑚𝑚 Trong nghiên cứu này, chúng tôi chỉ xem xét trường hợp 𝑥̇ = 𝑓(𝑥,𝑢,𝑡).

Tập 𝑇𝑇 = {𝑡𝑡 0 , 𝑡𝑡 1 , … , 𝑡𝑡 𝑓𝑓} đại diện cho các thời điểm quan trọng, trong đó 𝑡𝑡 0 là thời điểm đầu tiên và các 𝑡𝑡𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) là thời điểm xảy ra sự kiện Chuỗi đầu vào 𝜙𝜙𝑢𝑢 = {𝑢𝑢 0 , 𝑢𝑢 1, … , 𝑢𝑢𝑓𝑓−1} có giá trị không thay đổi trong khoảng thời gian 𝑡𝑡 ∈ [𝑡𝑡 𝑘𝑘 , 𝑡𝑡𝑘𝑘+1] và các giá trị đầu vào 𝑢𝑢(𝑡𝑡 𝑘𝑘) thuộc tập hợp 𝑈𝑈 Từ hai tập 𝑇𝑇 và 𝜙𝜙𝑢𝑢, ta thu được tập giá trị biến trạng thái 𝜙𝜙𝑚𝑚 = {𝑥𝑥 𝑡𝑡 0 , 𝑥𝑥 𝑡𝑡 1 , … , 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑓𝑓}, với 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑘𝑘 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡 𝑘𝑘), thể hiện quỹ đạo trạng thái của hệ DCCS Khi một biến trạng thái 𝑥𝑥𝑚𝑚(𝑡𝑡) đạt ngưỡng 𝑙𝑙𝑚𝑚,𝑘𝑘, sự kiện 𝑒𝑒𝑚𝑚 sẽ xảy ra Đầu vào điều khiển được chọn từ tập 𝑈𝑈 và giữ nguyên giá trị cho đến khi đạt được ngưỡng khác, tiếp tục như vậy cho đến khi quá trình kết thúc.

Ví dụ về hệ DCCS:

Hình 2.1 Hệ thống ba bình nước liên kết với nhau

Van điều khiển Cảm biến mực chất lỏng

Hệ thống ba bình nước được liên kết với nhau, mỗi bình được trang bị cảm biến báo mức để gửi tín hiệu về bộ điều khiển khi mực chất lỏng đạt vị trí cảm biến Lưu lượng dòng chảy vào và ra giữa các bình được điều chỉnh thông qua các van điều khiển Bộ điều khiển logic khả trình (PLC) quản lý toàn bộ hệ thống Biến trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng 𝑥 = [ℎ1 ℎ2 ℎ3] với ℎ1, ℎ2, và ℎ3 là độ cao mực chất lỏng trong từng bình Biến điều khiển được biểu diễn bằng 𝑢 = [𝑉1 𝑉12 𝑉23 𝑉3𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑉3𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡], trong đó các giá trị 𝑉 đại diện cho lưu lượng giữa các bình.

𝑉𝑉 3𝑚𝑚𝑚𝑚 và 𝑉𝑉 3𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 lần lượt là độ mở van của các van tương ứng

Các mực nước ℎ 1, ℎ 2 và ℎ 3 chỉ hoạt động trong một giới hạn cụ thể do chiều cao của bình là hữu hạn Nếu các giá trị này vượt quá chiều cao bình, sẽ xảy ra sự cố gây mất an toàn cho toàn bộ hệ thống Do đó, không gian làm việc của hệ thống cần được xác định rõ ràng.

Với các vị trí cảm biến mức nước được gắn trên thành của hai bình nước, tập các ngưỡng trạng thái 𝐿𝐿 thu được như sau:

Các van ở đây là các van đóng/ mở:

Kết hợp các tín hiệu đóng mở van này nên tập tín hiệu điều khiển 𝑈𝑈 gồm 2 5 = 32 phần tửnhư sau:

Dựa trên yêu cầu vận hành của hệ thống, không gian trạng thái được phân chia thành ba vùng: vùng thường, vùng cảnh báo và vùng cấm Nhiệm vụ của bộ điều khiển là duy trì hệ thống trong vùng an toàn, đồng thời ngăn chặn việc đi vào vùng cấm.

C ấu trúc điề u khi ể n cho h ệ DCCS

Cấu trúc điều khiển hệ thống, như mô tả trong Hình 2.2, bao gồm các thành phần chính: Đối tượng liên tục (Continuous Plant), Bộ tạo sự kiện (Event Generator) và Bộ điều khiển (Controller) [6], [7], [8], [9].

7 o Bộ quan sát – Estimator o Thông số cần thiết cho bộđiều khiển – Control Specifications

Hình 2.2 Cấu trúc điều khiển cho hệ DCCS [6], [7], [8], [9]

Các thông tin cần chú ý về cấu trúc điều khiển này: o Thông số cho bộđiều khiển bao gồm:

• Tập trạng thái ban đầu 𝑋𝑋0 ⊂ 𝑋𝑋 với trạng thái ban đầu 𝑥𝑥0 ∈ 𝑋𝑋0

• Tập các trạng thái cấm 𝑋𝑋 𝐹𝐹 =�𝑋𝑋 𝐹𝐹,1 ,𝑋𝑋 𝐹𝐹,2 , … ,𝑋𝑋 𝐹𝐹,𝑚𝑚 𝐹𝐹 � ⊂ 𝑋𝑋 và

• Tập đích 𝑋𝑋 𝑇𝑇 ⊂ 𝑋𝑋 và 𝑋𝑋 𝑇𝑇 ⋂ 𝑋𝑋𝐹𝐹 =∅ o Bộ tạo sự kiện:

• Là hệ thống các cảm biến được tích hợp vào hệ thống

Khi một biến trạng thái đạt đến ngưỡng đã xác định, một sự kiện mới sẽ được tạo ra và gửi đến bộ điều khiển, kèm theo thông tin quan trọng về ngưỡng vừa chạm và thời điểm xảy ra Bộ quan sát trạng thái đóng vai trò quan trọng trong quá trình này.

• Có nhiệm vụ cung cấp thông tin đầy đủ về trạng thái hệ thống cho bộđiều khiển phản hồi trạng thái

Sử dụng phương trình động học hệ thống và thông tin về ngưỡng bị chạm khi sự kiện xảy ra, tín hiệu điều khiển được áp dụng để ước lượng trạng thái Bộ điều khiển phản hồi trạng thái đóng vai trò quan trọng trong việc quản lý và điều chỉnh hệ thống.

• Được tổng hợp nên từ các thông số cho bộđiều khiển và nhiệm vụđiều khiển

• Dựa trên thông tin về trạng thái hệ thống cung cấp từ bộ quan sát để từđó tính toán tín hiệu điều khiển đểđưa vào hệ thống

Bộ quan sát trạng thái

Bộ điều khiển phản hồi trạng thái

Thông số bộ điều khiển

Tín hiệu điều khiển sẽ được duy trì cho đến khi có sự kiện mới, lúc này bộ quan sát sẽ đánh giá lại trạng thái hệ thống và cung cấp thông tin cho bộ điều khiển Quá trình này sẽ lặp lại liên tục cho đến khi kết thúc.

Giả thiết cho rằng thời gian xử lý của bộ quan sát và bộ điều khiển phản hồi trạng thái là rất nhỏ so với động học của hệ thống, tức là bộ điều khiển có khả năng phản ứng ngay lập tức với các sự kiện xảy ra.

Các nhi ệ m v ụ điề u khi ể n

Nhiệm vụ điều khiển trong hệ DCCS là tính toán bộ điều khiển nhằm xác định tập các tín hiệu đầu vào 𝜙𝜙 𝑜𝑜 ∗, giúp đưa hệ thống từ bất kỳ trạng thái ban đầu nào (không nằm trong vùng cấm) đến tập đích 𝑋𝑋 𝑇𝑇 trong thời gian ngắn nhất, đồng thời giảm thiểu số lần chạm ngưỡng và tránh xa vùng cấm 𝑋𝑋 𝐹𝐹.

Hàm mục tiêu được đặt ra ởđây là: min𝑜𝑜∈𝑈𝑈 𝐼𝐼�𝑥𝑥,𝑢𝑢� (2.6) trong đó:

𝑡𝑡 0 (2.7) với 𝑡𝑡 0 là thời gian bắt đầu, 𝑡𝑡 𝑓𝑓 là thời gian kết thúc

Các điều kiện ràng buộc như sau:

THIẾ T K Ế B Ộ ĐIỀ U KHI Ể N PH Ả N H Ồ I TR Ạ NG THÁI CHO

Phương pháp quy hoạch độ ng Bellman

Phương pháp quy hoạch động Bellman, được phát triển từ bài toán tối ưu không liên tục, sử dụng mô hình đối tượng được mô tả qua phương trình sai phân.

10 trong đó: 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ∈ ℝ 𝑚𝑚 là vector giá trị trạng thái, 𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∈ ℝ 𝑚𝑚 là vector giá trị điều khiển tại thời điểm 𝑡𝑡=𝑘𝑘×𝑇𝑇𝑚𝑚 được giữ lại trong khoảng thời gian 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑚𝑚 ≤ 𝑡𝑡 ≤(𝑘𝑘+ 1)𝑇𝑇𝑚𝑚 giữa hai lần trích mẫu:

Nhiệm vụ của bài toán điều khiển tối ưu là xác định dãy vector gồm N giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu \(u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}\) để đưa đối tượng từ trạng thái ban đầu \(x_0\) đến trạng thái cuối \(x_N\) trong đúng N bước điều khiển, đồng thời tối ưu hóa hàm mục tiêu.

Bài toán tối ưu được đề cập thuộc loại không liên tục, với điểm trạng thái ban đầu và điểm trạng thái cuối cùng, trong khi khoảng thời gian điều khiển đã được xác định Về nguyên tắc, bài toán tối ưu động này có thể được chuyển đổi thành bài toán tối ưu tĩnh bằng cách sử dụng biểu diễn truy hồi các điểm trạng thái 𝑥𝑘 với 𝑘 = 0, 1, … ,𝑁 thông qua các biến điều khiển 𝑢0, 𝑢1, … ,𝑢𝑁−1.

Để giải quyết bài toán tối ưu động không liên tục, việc thay các tham số vào hàm mục tiêu sẽ tạo ra hàm mục tiêu với số lượng tham số lớn là 𝑚𝑚×𝑁𝑁 Tuy nhiên, do số lượng tham số này quá lớn, việc chuyển đổi bài toán tối ưu động thành bài toán tối ưu tĩnh không phải là phương pháp hiệu quả Phương pháp quy hoạch động của Bellman là giải pháp hữu hiệu để xử lý trực tiếp bài toán này.

Thuật toán lập trình động có thể được mô tả như một phương pháp truy hồi, chia bài toán tối ưu tĩnh với kích thước 𝑚𝑚×𝑁𝑁 thành một chuỗi các quy tắc quyết định tối ưu Các quy tắc này bao gồm 𝑁𝑁 luật 𝑢𝑢 0 ,𝑢𝑢 1 , … ,𝑢𝑢 𝑁𝑁−1, mỗi luật chứa 𝑚𝑚 phần tử Tất cả các cách chia được thực hiện dựa trên nguyên lý tối ưu của Bellman, như sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.

Nguyên lý t ối ưu của Bellman

Nguyên lý tối ưu của Bellman khẳng định rằng: "Mỗi đoạn cuối của một quỹ đạo trạng thái tối ưu cũng sẽ là một quỹ đạo trạng thái tối ưu." Điều này có nghĩa là bất kỳ phần nào của quỹ đạo tối ưu đều duy trì tính tối ưu, từ đó giúp tối ưu hóa quá trình ra quyết định trong các bài toán quản lý và điều khiển.

Nguyên lý Bellman có thể được kiểm chứng thông qua hình 3.1, trong đó quỹ đạo tối ưu đi từ điểm 𝑥𝑥0 qua điểm 𝑥𝑥𝑘𝑘 đến 𝑥𝑥𝑁𝑁 được chia thành hai đoạn 𝛾𝛾 và 𝛼𝛼 Tuy nhiên, phần quỹ đạo 𝛼𝛼 từ 𝑥𝑥𝑘𝑘 đến 𝑥𝑥𝑁𝑁 lại không đạt tối ưu.

Đoạn tối ưu từ 𝑥𝑘 đến 𝑥𝑁, được ký hiệu là đoạn 𝛽, cần phải tồn tại Hàm mục tiêu 𝑄 từ 𝑥𝑘 đến 𝑥𝑁 phải có giá trị nhỏ hơn so với đoạn 𝛼, điều này cho thấy sự liên kết giữa hai đoạn này.

𝛾𝛾 − 𝛽𝛽 hàm 𝑄𝑄 có giá trị nhỏ hơn là theo hai đoạn 𝛾𝛾 − 𝛼𝛼 Điều này là trái với giả thiết đoạn 𝛾𝛾 − 𝛼𝛼 là tối ưu

Hình 3.1 Minh họa nguyên lý quy hoạch động của Bellman [24], [25]

Nguyên lý tối ưu không chỉ áp dụng cho đoạn cuối của quỹ đạo trạng thái tối ưu mà còn đúng với bất kỳ đoạn nào Tuy nhiên, trong phương pháp quy hoạch động, chúng ta chỉ cần tập trung vào đoạn cuối để áp dụng nguyên lý này.

Cho hệ không liên tục không dừng, bậc 𝑛𝑛:

Các điều kiện ràng buộc: o Tập 𝑈𝑈 ⊆ ℝ 𝑚𝑚 là một tập con (hở hoặc đóng) trong không gian điều khiển

Quá trình tối ưu trong điều khiển số bước NN có số bước cố định được xác định trước Điểm khởi đầu x0 có thể được chọn tùy ý nhưng cần phải được xác định trước Điểm cuối xN có thể được xác định trước hoặc có thể là bất kỳ giá trị nào khác.

Bài toán đặt ra như sau: Xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu

𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ =𝑢𝑢�𝑥𝑥 𝑘𝑘 � ∈ 𝑈𝑈 đưa hệ đi từ 𝑥𝑥 0 đến 𝑥𝑥 𝑁𝑁 trong 𝑁𝑁 bước, sao cho hàm mục tiêu 𝑄𝑄 cho bởi (3.7) đạt giá trị nhỏ nhất

Hai vòng tính của phương pháp: vòng ngược (kỹ thuật nhúng) và vòng xuôi

Vòng ngược – Kỹ thuật nhúng

Dựa trên nguyên lý tối ưu, chúng ta sẽ tìm nghiệm cho bài toán bằng cách đi ngược từ thời điểm cuối 𝑘 = 𝑁 về điểm đầu 𝑘 = 0 Tại mỗi thời điểm 𝑘 trong khoảng 0 ≤ 𝑘 < 𝑁, chúng ta xác định quan hệ giữa tín hiệu điều khiển tối ưu 𝑢𝑘 và trạng thái tối ưu 𝑥𝑘 thông qua việc lập công thức biểu diễn giá trị hàm mục tiêu cho đoạn cuối.

Theo nguyên lý tối ưu, dọc theo quỹ đạo trạng thái tối ưu, các hàm 𝑄𝑄 𝑘𝑘 phải có giá trị nhỏ nhất khi tính ngược từ 𝑘𝑘 =𝑁𝑁 đến 0, tức là hàm Bellman 𝐵𝐵𝑘𝑘 cần thỏa mãn điều kiện này.

Bởi vậy, khi đã có hàm 𝐵𝐵𝑘𝑘+1 của đoạn cuối tối ưu tính toán từđiểm trạng thái

𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 ta sẽxác định được mối quan hệ𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ =𝑢𝑢�𝑥𝑥 𝑘𝑘 � của tín hiệu điều khiển tối ưu tương ứng với điểm trạng thái 𝑥𝑥 𝑘𝑘 theo quy tắc như Hình 3.1:

𝑘𝑘 �𝑛𝑛�𝑥𝑥 𝑘𝑘 ,𝑢𝑢𝑘𝑘,𝑘𝑘�+𝐵𝐵𝑘𝑘+1�𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑢𝑢𝑘𝑘,𝑘𝑘��� (3.10) trong đó các giá trị biên 𝐵𝐵0, 𝐵𝐵𝑁𝑁 được xác định như sau:

Công thức (3.10) kết hợp với điểm xuất phát (3.11) tạo ra công cụ xác định mối quan hệ giữa tín hiệu điều khiển và trạng thái tối ưu, được gọi là vòng ngược Vòng ngược này thực hiện theo thứ tự từ k = N (tương ứng với trạng thái cuối x_N) đến k = 0 (tương ứng với trạng thái đầu x_0) Kỹ thuật này, được Bellman gọi là kĩ thuật nhúng (embedding technique), đóng vai trò quan trọng trong quá trình tính toán.

Nội dung vòng ngược như sau:

1) Bắt đầu từ𝑘𝑘 =𝑁𝑁 −1 ta có 𝐵𝐵 𝑁𝑁 = 0 Từđây, trong trường hợp 𝑥𝑥 𝑁𝑁 là bất kỳ thì từ (3.10) ta được:

Và hàm Bellman 𝐵𝐵 𝑁𝑁−1 cũng như 𝑢𝑢 𝑁𝑁−1 ∗ chỉ phụ thuộc vào 𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 Trong trường hợp 𝑥𝑥𝑁𝑁 là cốđịnh cho trước ta lại có:

Như vậy, ở đây hàm Bellman 𝐵𝐵𝑁𝑁−1 và 𝑢𝑢 𝑁𝑁−1 ∗ cũng chỉ phụ thuộc vào

𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 Ta sẽ nhấn mạnh sự phụ thuộc này vào kí hiệu 𝐵𝐵 𝑁𝑁−1 �𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 � và

2) Lần lượt với 𝑘𝑘 =𝑁𝑁 −2, … , 1, 0 thì do hàm Bellman 𝐵𝐵𝑘𝑘+1 và 𝑢𝑢 𝑘𝑘+1 ∗ đã có được từbước trước và chỉ phụ thuộc vào 𝑥𝑥𝑘𝑘+1, tức là 𝐵𝐵𝑘𝑘+1�𝑥𝑥𝑘𝑘+1� và

𝑢𝑢 𝑘𝑘+1 ∗ �𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 �, nên theo (3.10), mà cụ thể là:

Ta cũng có 𝐵𝐵 𝑘𝑘 và 𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ chỉ phụ thuộc vào 𝑥𝑥 𝑘𝑘 , tức là lại có các hàm: 𝐵𝐵 𝑘𝑘 �𝑥𝑥 𝑘𝑘 � và 𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ �𝑥𝑥 𝑘𝑘 �

Vòng này có nhiệm vụxác định giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu.

Sau khi xác định giá trị tối ưu 𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ cho 𝑘𝑘 = 0, 1, … ,𝑁𝑁 −1, và với điểm đầu 𝑥𝑥0 đã được cho trước, từng giá trị của tín hiệu điều khiển tối ưu 𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ sẽ được tính toán thông qua mô hình đối tượng Quá trình tính toán này được gọi là vòng xuôi, diễn ra tuần tự từ 𝑘𝑘 = 0 đến 𝑘𝑘 = 𝑁𝑁 − 1.

Nội dung của vòng xuôi như sau:

1) Với 𝑘𝑘 = 0 ta có giá trị cụ thể của 𝑢𝑢0 ∗ =𝑢𝑢0 ∗�𝑥𝑥 0 �, vì đã có 𝑥𝑥0 Từ đây cũng có được 𝑥𝑥1 từ𝑥𝑥0 và 𝑢𝑢0 ∗ theo công thức (3.5)

2) Với 1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁 −1, ta cũng lần lượt có 𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ =𝑢𝑢 𝑘𝑘 ∗ �𝑥𝑥 𝑘𝑘 � và 𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 theo (3.5)

Xét bài toán mô tảở Hình 3.2

Trong hình, các điểm trạng thái được ký hiệu bằng các ký tự như 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, …, 𝑁𝑁 Các con số trên từng đoạn nối giữa các điểm trạng thái thể hiện giá trị hàm mục tiêu 𝑄𝑄, phản ánh chi phí cho mỗi quá trình chuyển trạng thái cụ thể.

Bài toán đặt ra ở đây là xác định đường nối tối ưu từ điểm trạng thái đầu là

V ậ n d ụ ng k ỹ thu ậ t quy ho ạch động để xây d ự ng b ộ điề u khi ể n ph ả n h ồ i

trạng thái cho hệ DCCS

Trong hệ DCCS hai biến trạng thái, thông tin phân vùng bao gồm tập ban đầu 𝑋𝑋 0, tập đích 𝑋𝑋𝑇𝑇, các vùng cho phép và vùng cấm 𝑋𝑋𝐹𝐹, được xác định thông qua việc phân chia không gian làm việc bằng các ngưỡng trạng thái, như minh họa trong Hình 3.3 Để áp dụng kỹ thuật quy hoạch động, cần xác định các lớp và điểm trạng thái tương ứng, cũng như các chuyển tiếp giữa các trạng thái và hàm chi phí liên quan Phương pháp này đã được trình bày chi tiết trong các công bố [6], [7].

Việc thiết kế bộ quan sát trạng thái cho hệ thống DCCS là cần thiết để cung cấp thông tin về trạng thái của hệ thống, giúp bộ điều khiển phản hồi xác định tín hiệu điều khiển tại thời điểm xảy ra sự kiện Nội dung thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái sẽ được tóm tắt trong các tài liệu [6], [7], [8], [9].

Tập ban đầu 𝑋𝑋 0Tập đích 𝑋𝑋 𝑇𝑇Tập cấm 𝑋𝑋 𝐹𝐹,𝑚𝑚

3.2.1 Tìm các lớp và các điểm trạng thái tương ứng

Để xác định số lớp trong không gian trạng thái, chúng ta dựa vào tập hợp các ngưỡng trạng thái được cung cấp bởi yêu cầu bài Hệ thống ngưỡng trạng thái đã chia không gian thành các ô hữu hạn Ví dụ, lớp các điểm tương ứng với 𝐵𝐵 4 có thể trực tiếp đến điểm cuối 𝐵𝐵 5 mà không cần điểm trung gian, trong khi lớp tương ứng với 𝐵𝐵 3 chỉ cần vượt qua lớp trung gian 𝐵𝐵 4 để đến lớp 𝐵𝐵 5.

Theo ý tưởng này, chúng ta sẽ lần lượt xác định các lớp điểm có thể tiếp cận tập đích mà không cần vượt qua lớp khác Nếu coi tập đích là lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 0) trong không gian trạng thái, thì lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 1) bao gồm các điểm có thể đến trực tiếp lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 0), tức là các ô liền kề với ô chứa tập đích Tương tự, lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 2) bao gồm các ô chứa điểm có thể đến lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 0) chỉ cần vượt qua lớp trung gian 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 1) một lần, tức là lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 2) tiếp giáp với lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 1).

… o Lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘) là lớp tiếp giáp “bên ngoài” lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘 −1)

Quá trình tìm kiếm diễn ra liên tục cho đến khi các lớp phủ kín không gian làm việc Hình 3.4 minh họa kết quả phân lớp trong không gian trạng thái hai chiều.

Hình 3.4 Kết quả phân vùng cho hệ DCCS hai biến trạng thái Ở hình này: o Tập đích được tô bởi màu xanh lá cây hay cũng chính là lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 0)

Lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 1) bao gồm 04 ô màu cam, nằm liền kề xung quanh ô 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 0) Các ô trong lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 2) là tập hợp các ô màu xanh da trời, tiếp giáp "bên ngoài" lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 1) Tương tự, các ô trong các lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 3), 𝐿𝐿(𝑁𝑁 = 4), cũng được tô cùng một màu.

Khi sử dụng các cảm biến rời rạc, giá trị đầy đủ của các biến trạng thái không được đảm bảo Điều này dẫn đến việc thiết lập các ngưỡng trạng thái, tạo nền tảng cho ý tưởng chia ô Do đó, việc áp dụng tập giá trị đầu và tập giá trị đích là hợp lý hơn trong trường hợp này Khi giá trị của biến trạng thái chạm đến tập đích, bộ điều khiển sẽ ngừng tính toán.

Tìm t ập các điểm đại diện cho lớp

Sau khi xác định các lớp, bước tiếp theo là tìm các điểm trạng thái để hỗ trợ tính toán chuyển tiếp giữa các lớp Giải pháp đề xuất là phân chia mỗi đường biên của từng ô thành các đoạn nhỏ riêng biệt Từ những đoạn nhỏ này, ta có thể xác định các vị trí trên đường biên.

Bằng cách sắp xếp các vị trí theo thứ tự của các biến trạng thái, ta có thể tạo ra một tập hợp các điểm thử (test point) đại diện cho ô trong không gian phân bố Những điểm này không chỉ đại diện cho ô mà còn hỗ trợ cho quá trình tính toán Để giảm khối lượng công việc tính toán, chỉ cần lựa chọn các điểm nằm ngay trên đường biên của mỗi ô Khi xác định các điểm đại diện cho lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘), cần lưu ý rằng các điểm cũng phải nằm trên lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘 −1) và loại bỏ các điểm nằm trong vùng cấm.

3.2.2 Tìm chuyển tiếp giữa các điểm trạng thái

Sau khi hoàn thành việc xây dựng hệ thống lớp và các điểm đại diện tương ứng, bước tiếp theo là tìm kiếm chuyển tiếp giữa các điểm thử để phục vụ cho tính toán vòng ngược Ví dụ trong mục 3.1.2 cho thấy các chuyển tiếp đều hướng từ lớp ứng với.

Trong bài toán hệ thống DCCS, việc tính toán sự chuyển tiếp giữa các điểm trạng thái 𝐵𝐵𝑘𝑘−1 và 𝐵𝐵𝑘𝑘 yêu cầu sử dụng tập hợp các tín hiệu điều khiển cùng với phương trình mô tả động học của hệ thống Cụ thể, với mỗi điểm 𝑥𝑥 𝑚𝑚 (𝑡𝑡 𝑘𝑘) trong tập hợp đại diện cho lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘), chúng ta sẽ kết hợp từng tín hiệu điều khiển đầu vào 𝑢𝑢 𝑗𝑗 ∈ 𝑈𝑈 để mô phỏng hệ thống trong các điều kiện khác nhau.

Sau khi kết thúc mô phỏng, chúng ta sẽ thu được trạng thái 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑗𝑗(𝑡𝑡 𝑘𝑘+1 ) Tiếp theo, cần tìm điểm gần nhất với trạng thái này, giả sử điểm đó là 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑗𝑗,𝑚𝑚𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡, thuộc tập hợp các điểm thử đại diện đã được tính toán trước đó Điều này là cần thiết vì trạng thái cuối cùng 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑗𝑗 (𝑡𝑡 𝑘𝑘+1 ) sau khi chạy mô phỏng thường không trùng khớp với các điểm đã có trong tập hợp.

Hình 3.5 minh họa các trường hợp có thể xảy ra khi mô phỏng hệ thống với các tín hiệu điều khiển 𝑢𝑢𝑗𝑗 ∈ 𝑈𝑈 trong không gian trạng thái hai chiều, dựa trên một điểm cụ thể trong tập các điểm đại diện đã được tính toán ở bước trước.

Hình 3.5 Quỹ đạo trạng thái ứng với mỗi tín hiệu điều khiển

Trong quá trình kiểm tra tín hiệu điều khiển đầu vào 𝑢𝑢𝑗𝑗, nếu điểm trạng thái 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑗𝑗(𝑡𝑡𝑘𝑘+1) không nằm trên lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘 −1) hoặc gần nhất với nó là một điểm cấm, tín hiệu điều khiển 𝑢𝑢 𝑗𝑗 sẽ được coi là không hợp lệ Ví dụ trong Hình 3.5, các quỹ đạo nét đứt màu xanh da trời có điểm trạng thái cuối không nằm trong lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘 −1) hoặc thuộc tập cấm 𝑋𝑋 𝐹𝐹, dẫn đến việc các tín hiệu điều khiển tương ứng đều không hợp lệ Ngược lại, nếu 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑗𝑗,𝑚𝑚𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡 nằm trên lớp 𝐿𝐿(𝑁𝑁 =𝑘𝑘 −1), thì 𝑢𝑢 𝑗𝑗 sẽ được xem là tín hiệu điều khiển hợp lệ Trong Hình 3.5, các tín hiệu điều khiển tương ứng với quỹ đạo nét liền màu xanh lá cây là các tín hiệu hợp lệ.

Trong quá trình mô phỏng hệ thống, giá trị hàm mục tiêu tương ứng với các quỹ đạo hợp lệ sẽ được tính toán, đặc biệt là thời gian di chuyển giữa hai lần chạm ngưỡng Các tín hiệu điều khiển hợp lệ \( u_j \) sẽ được lưu trữ cùng với các giá trị hàm mục tiêu \( I_{x_{m,j},u_j} \), tương ứng với tín hiệu điều khiển và các điểm gần nhất với điểm trạng thái cuối \( x_{m,j}(t_{k+1}) \), là \( x_{m,j,mn} \).

THIẾ T K Ế B Ộ QUAN SÁT TR Ạ NG THÁI CHO H Ệ TH Ố NG

B ộ quan sát Extended Kalman Filter

4.1.1 Lý thuyết về bộ quan sát Extended Kalman Filter

Bộ quan sát EKF được áp dụng trong các tài liệu [27], [26] cho hệ thống có động học liên tục nhưng có phép đo rời rạc.

Nhiễu quá trình 𝜔𝜔(𝑡𝑡) được coi là nhiễu ổn trắng với phương sai 𝑄𝑄, trong khi nhiễu đo 𝑣𝑣 𝑘𝑘 cũng được giả định là nhiễu ổn trắng rời rạc với phương sai 𝑅𝑅 𝑘𝑘 Giữa các lần đo, giá trị trạng thái ước lượng được tính toán dựa vào mô hình động học hệ thống thông qua phương trình đầu tiên trong (4.1) Ma trận hiệp phương sai được xác định từ việc giải phương trình vi phân tương ứng.

𝑃𝑃̇ =𝐴𝐴𝑃𝑃+𝑃𝑃𝐴𝐴+𝐿𝐿𝑄𝑄𝐿𝐿 𝑇𝑇 − 𝑃𝑃𝐷𝐷 𝑇𝑇 (𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀 𝑇𝑇 ) −1 𝐷𝐷𝑃𝑃 (4.2) trong đó các ma trận 𝐴𝐴, 𝐿𝐿, 𝐷𝐷, 𝑀𝑀 là các ma trận Jacobian:

Trong (4.2), không có thành phần 𝑅𝑅 đi kèm với 𝑃𝑃̇ vì 𝑃𝑃 được tính toán trong khoảng thời gian giữa các lần đo liên tiếp, khi mà các phép đo không được thực hiện Điều này có nghĩa là giữa các thời điểm đo, phương sai trở nên vô cùng lớn (𝑅𝑅 =∞), dẫn đến thành phần gần cuối trong (4.2) tiến dần về 0 Do đó, công thức để ước lượng hai giá trị 𝑥𝑥� và 𝑃𝑃 là rất quan trọng.

Phương trình (4.4) cho phép tính giá trị ước lượng 𝑥𝑥� từ giá trị đo ước lượng 𝑥𝑥� 𝑘𝑘−1 + và ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1 + tại thời điểm đo 𝑡𝑡 𝑘𝑘−1, dẫn đến giá trị ước lượng 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 − và ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘 − tại thời điểm 𝑡𝑡 𝑘𝑘 Cần lưu ý rằng nhiễu danh định 𝜔𝜔 0 trong (4.1) được giả định là 𝜔𝜔 0 (𝑡𝑡) = 0.

Tại thời điểm đo, trạng thái ước lượng và ma trận hiệp phương sai được cập nhật dựa trên công thức của bộ lọc Kalman rời rạc như sau:

Trong đoạn này, 𝑣𝑣 0 được xác định là nhiễu định danh với giá trị 𝑣𝑣 0 = 0 Các ma trận 𝐷𝐷 𝑘𝑘 và 𝑀𝑀 𝑘𝑘 là đạo hàm riêng của ℎ𝑘𝑘 theo 𝑥𝑥 và 𝑢𝑢, được tính toán theo công thức (4.3) Cả hai ma trận này được xác định tại điểm 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 −.

Thuật toán triển khai áp dụng bộ quan sát EKF [27] được trình bày như sau:

 B ước 1 : Tại 𝑘𝑘 = 0, khởi tạo các giá trị:

 Bước 2 : Tại 𝑘𝑘 = 1,2, …, ta lần lượt thực hiện hai bước nhỏ sau:

• Bước 2.1 – dựđoán: ước lượng giá trị trạng thái và ma trận hiệp phương sai từ thời điểm đo 𝑡𝑡 𝑘𝑘−1 đến thời điểm 𝑡𝑡 𝑘𝑘 bằng cách giải hệ phương trình vi phân:

Quá trình tính toán này được bắt đầu bằng 𝑥𝑥 =𝑥𝑥� 𝑘𝑘−1 𝑇𝑇 và 𝑃𝑃=𝑃𝑃 𝑘𝑘−1 + Tại thời điểm 𝑡𝑡 𝑘𝑘 , thu được giá trị 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 − và 𝑃𝑃 𝑘𝑘 −

• Bước 2.2 – hiệu chỉnh: tích hợp giá trị đo 𝑦𝑦 𝑘𝑘 để cập nhật giá trị trạng thái ước lượng và ma trận hiệp phương sai theo các phương trình sau:

 Bước 3 : Tăng 𝑘𝑘 lên một đơn vị và cập nhật lại giá trị cho giá trị ước lượng và ma trận hiệp phương sai:

(4.9) Sau đó quay trở lại bước 2.

B ộ quan sát Unscented Kalman Filter

4.2.1 Lý thuyết về bộ quan sát Unscented Kalman Filter

Kỹ thuật lấy mẫu Unscented Transform (UT) cho phép tính toán các số liệu thống kê của biến ngẫu nhiên thông qua phép biến đổi phi tuyến Nguyên lý chính của UT là việc xấp xỉ phân bố Gauss dễ dàng hơn so với việc xấp xỉ một hàm phi tuyến hoặc một phép biến đổi phi tuyến bất kỳ.

Vector 𝑥𝑥 có kích thước 𝑛𝑛× 1 với kỳ vọng 𝑥𝑥̅ và ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 được xem xét trong mô hình UT Khi áp dụng hàm phi tuyến 𝑦𝑦=ℎ(𝑥𝑥), các giá trị 𝑦𝑦̅ và 𝑃𝑃̅ sẽ là ước lượng cho kỳ vọng và phương sai của 𝑦𝑦 Để tính toán, cần xác định 2𝑛𝑛 vector sigma 𝑥𝑥 (𝑚𝑚) theo quy trình đã định.

(4.10) trong đó √𝑛𝑛𝑃𝑃 là ma trận căn bậc hai của ma trận 𝑛𝑛𝑃𝑃, trong đó

�√𝑛𝑛𝑃𝑃� 𝑇𝑇 √𝑛𝑛𝑃𝑃=𝑛𝑛𝑃𝑃 và chỉ số𝑖𝑖 là hàng thứ𝑖𝑖 của ma trận o Biến đổi các vector signma theo công thức:

𝑦𝑦 (𝑚𝑚) = ℎ�𝑥𝑥 (𝑚𝑚) � 𝑖𝑖 = 1, … ,2𝑛𝑛 (4.11) o Ước lượng kì vọng và hiệp phương sai của 𝑦𝑦như sau:

Hình 4.1 mô tả ví dụ về hệ thống hai chiều khi được áp dụng bộ quan sát EKF và UKF, trong đó:

Hình bên trái thể hiện kỳ vọng và phương sai từ phương pháp trích mẫu Monte Carlo, trong khi hình ở giữa minh họa kết quả của việc tuyến tính hóa theo phương pháp EKF Cuối cùng, hình bên phải cho thấy hiệu quả của kỹ thuật UT, cho thấy chất lượng của bộ kỹ thuật này khá tốt.

Hình 4.1 So sánh giá trị trung bình và phương sai trong trường hợp áp dụng các bộ quan sát khác nhau [32]

Thuật toán triển khai áp dụng bộ quan sát UKF [33] được trình bày như sau:

 Bước 1 : Tại 𝑘𝑘 = 0, khởi tạo các giá trị:

Bước 2 trong quy trình là dự đoán, được thực hiện giữa hai phép đo liên tiếp từ thời điểm \( t_{k-1} \) đến \( t_k \) Trong bước này, cần ước lượng giá trị trạng thái cũng như ma trận hiệp phương sai bằng cách thực hiện các bước cụ thể.

• Bước 2.1: Chọn 2𝑛𝑛 vector sigma 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 (𝑚𝑚) tương tự như trong (4.10) dựa trên trạng thái ước lượng và ma trận hiệp phương sai ở bước trước là 𝑥𝑥� 𝑘𝑘−1 + và 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1 + Cụ thểnhư sau:

• Bước 2.2: Tìm các trạng thái 𝑥𝑥� (𝑚𝑚) nhờ việc ánh xạ2𝑛𝑛 vector sigma 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 (𝑚𝑚) thông qua phương trình phi tuyến sai phân 𝑓𝑓(∘)như sau:

• Bước 2.3: Kết hợp các vector 𝑥𝑥� (𝑚𝑚) này với nhau từ đo thu được trạng thái ước lượng tại thời điểm 𝑡𝑡𝑘𝑘:

• Bước 2.4: Ma trận hiệp phương sai được ước lượng qua công thức:

Bước 3: Hiệu chỉnh Giai đoạn này diễn ra sau khi nhận được giá trị đo, trong đó giá trị ước lượng trạng thái của hệ thống và ma trận hiệp phương sai sẽ được cập nhật thông qua các bước đã định sẵn.

• Bước 3.1: Chọn 2𝑛𝑛 vector sigma 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 (𝑚𝑚) tương tựnhư trong (4.10) dựa trên trạng thái ước lượng 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 − và ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘 − Cụ thểnhư sau: 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 (𝑚𝑚) = 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 − +𝑥𝑥� (𝑚𝑚) 𝑖𝑖 = 1, … ,2𝑛𝑛

• Bước 3.2: Sử dụng phương trình đo ℎ(∘) để tìm các giá trị 𝑦𝑦� 𝑘𝑘 (𝑚𝑚) từ các giá trị 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 (𝑚𝑚) :

• Bước 3.3: Kết hợp các giá trị 𝑦𝑦� 𝑘𝑘 (𝑚𝑚) để thu được giá trị đo ước lượng tại thời điểm 𝑡𝑡𝑘𝑘:

• Bước 3.4: Ước lượng phương sai của giá trịđo ước lượng như sau:

• Bước 3.5: Ước lượng ma trận tương quan giữa trạng thái ước lượng 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 − và giá trịđo 𝑦𝑦�𝑘𝑘 như sau:

• Bước 3.6: Tiến hành cập nhật trạng thái ước lượng và ma trận hiệp phương sai như sau:

 Bước 4 : Tăng 𝑘𝑘 lên một đơn vị và cập nhật lại giá trị cho giá trị ước lượng và ma trận hiệp phương sai:

(4.24) Sau đó quay trở lại bước 2.

Thi ế t k ế b ộ quan sát tr ạ ng thái cho h ệ th ố ng DCCS

Hình 4.2 Mô tả quá trình áp dụng bộ quan sát với cách áp dụng thông thường

Hình 4.3 Diễn biến động học của hệ thống DCCS

Hình 4.2 minh họa cách áp dụng bộ quan sát Kalman trong các hệ thống điều khiển số, nơi các phép đo được thực hiện tại các thời điểm trích mẫu đều đặn, nhờ vào chức năng ngắt định thời của bộ điều khiển Bộ điều khiển sẽ liên tục tính toán ước lượng giá trị trạng thái hệ thống, yêu cầu khả năng tính toán nhanh và cấu hình tốt, thường sử dụng bo mạch DSP Ngược lại, Hình 4.3 mô tả hệ thống DCCS với hai biến trạng thái, nơi các phép đo được kích hoạt khi một biến trạng thái chạm ngưỡng, tạo ra hệ thống lái theo sự kiện Điều này dẫn đến khoảng cách giữa các phép đo không đều và các giá trị đo phụ thuộc vào ngưỡng cảm biến, khác với hệ thống trong Hình 4.2, nơi các giá trị đo đã được xác định từ trước.

Khi một ngưỡng cảm biến được chạm vào, giá trị đo sẽ thay đổi theo từng thời điểm Ví dụ, tại thời điểm 𝑡𝑡 1, giá trị đo 𝑙𝑙 3 thuộc về biến trạng thái 𝑥𝑥 2, nhưng tại thời điểm 𝑡𝑡 2, giá trị đo lại là 𝑙𝑙 1 thuộc về biến trạng thái 𝑥𝑥 1 Do đó, hàm đo sẽ khác nhau mỗi khi xảy ra sự kiện đo.

Các thông tin này được chú trọng trong quá trình áp dụng các bộ quan sát

Các thuật toán EKF và UKF được triển khai với các bước thực hiện gồm khởi tạo, dự đoán, cập nhật và lặp lại, như minh họa trong Hình 4.4.

Để áp dụng bộ lọc EKF và UKF cho hệ thống DCCS, cần chú ý đến thông tin từ các sự kiện đo, bao gồm khoảng cách giữa các lần đo và các giá trị đo Quá trình bắt đầu bằng việc khởi tạo các giá trị cần thiết.

Dự đoán là bước thực hiện giữa hai sự kiện đo, nhằm ước lượng các giá trị trạng thái 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 − và ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘 − tại thời điểm 𝑡𝑡𝑘𝑘, dựa trên các giá trị 𝑥𝑥� 𝑘𝑘−1 + và 𝑃𝑃 𝑘𝑘−1 + tại thời điểm 𝑡𝑡𝑘𝑘−1.

• Với bộ quan sát EKF: quá trình này được thực hiện bằng cách giải phương trình (4.7)

• Với bộquan sát UKF: quá trình này được thực hiện thông qua các phương trình từ (4.14) đến (4.17)

Quá trình giải các phương trình vi phân (4.7) và (4.15) diễn ra từ thời điểm đo 𝑒𝑒 𝑘𝑘−1 tại 𝑡𝑡 𝑘𝑘−1 đến thời điểm đo 𝑒𝑒 𝑘𝑘 tại 𝑡𝑡 𝑘𝑘 Bước hiệu chỉnh được thực hiện khi nhận được giá trị đo 𝑦𝑦 𝑘𝑘, trong đó quá trình này sẽ cập nhật giá trị trạng thái ước lượng 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 + và ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘 +.

• Với bộ quan sát EKF: sử dụng phương trình (4.8)

Dự đoán Ước lượng các giá trị:

 Ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘 −

Cập nhật các giá trị:

 Ma trận hiệp phương sai 𝑃𝑃 𝑘𝑘 +

Bộ quan sát UKF sử dụng các phương trình từ (4.18) đến (4.23), trong đó hàm đo ℎ 𝑘𝑘 là yếu tố quan trọng, phụ thuộc vào ngưỡng cảm biến được chạm tại các sự kiện đo Đối với hệ DCCS, hàm đo có dạng cụ thể như sau:

Ma trận 𝐷𝐷𝑘𝑘 kích thước 1 × 𝑛 có giá trị bằng 1 tại vị trí thứ 𝑖 tương ứng với biến trạng thái 𝑥𝑚 vừa chạm ngưỡng, trong khi các vị trí còn lại của ma trận đều có giá trị bằng 0.

Sau khi thu được giá trị 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 +, giá trị này sẽ được gửi đến bộ điều khiển để tính toán tín hiệu đầu vào 𝑢𝑢 𝑘𝑘, nhằm triển khai trên đối tượng Đồng thời, các giá trị sẽ được cập nhật để chuẩn bị cho lần tính toán tiếp theo.

Dưới tác động của 𝑢𝑢 𝑘𝑘, hệ thống sẽ bắt đầu phát triển Đồng thời, bước dự đoán được triển khai dựa trên các giá trị ban đầu thu được từ (4.28) Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi một trong các biến trạng thái đạt được điều kiện nhất định.

Khi đạt đến một ngưỡng nhất định, quá trình tính toán cho bước dự đoán sẽ dừng lại và chuyển sang bước hiệu chỉnh Quá trình này sẽ được lặp lại cho đến khi hệ thống dừng lại hoặc khi đạt được tập đích 𝑋𝑋 𝑇𝑇.

MÔ PHỎ NG VÀ NH Ậ N XÉT

H ệ th ống ba bình nướ c

5.1.1 Xây dựng mô hình trong Simulink

Hình 5.1 Mô hình hệ thống ba bình nước

Hình 5.2 Mô hình hệ thống ba bình nước thiết lập trong Simulink

Mô hình hệ thống ba bình nước được giới thiệu trong Hình 5.1, với các yếu tố ảnh hưởng đến mực nước của từng bình Mực nước ℎ₁ của bình 1 phụ thuộc vào dòng chảy đầu vào có lưu lượng không đổi F₁,m và dòng chảy F₁₂ Mực nước ℎ₂ trong bình 2 được xác định bởi dòng chảy F₁₂ từ bình 1 và dòng chảy F₂₃ kết nối với bình 3 Bình 3 không chỉ nhận dòng chảy vào với lưu lượng không đổi F₃,m mà còn có dòng chảy F₂₃ từ bình 2 và dòng chảy đầu ra F₃,ô Các dòng chảy F₁,m, F₁₂, F₂₃, F₃,m, và F₃,ô được điều khiển bởi các van V₁,m, V₁₂, V₂₃, V₃,m, và V₃,ô.

Mô hình hệ thống ba bình nước trong Simulink được trình bày qua sơ đồ Hình 5.1 và Hình 5.2 Các khối chính trong mô hình bao gồm Bình 1 và Bình 2, được mô tả bằng khối Variable Head Two – Arm Tank.

3 được mô tả bởi khối Variable Head Three – Arm Tank o Khối Gate Valve được dùng để biểu thịcho các van điều khiển

Các khối này đều được lấy ra từ toolbox Simscape theo đường dẫn sau: Simscape/Fluids/Hydraulics (Isothermal)

5.1.2 Động học của mô hình

Trước khi phân tích động học tổng thể của hệ thống, cần chú ý đến động học của từng thành phần Hai khối mô phỏng quan trọng nhất là khối bình nước và khối van, vì chúng ảnh hưởng trực tiếp đến mức nước trong ba bình, đối tượng điều khiển chính Các khối khác như khối tạo dòng chảy vào bình 1 và bình 3, hay khối chứa nước chảy ra từ bình 3, chỉ là các khối chức năng phụ trợ và không ảnh hưởng trực tiếp đến biến điều khiển Do đó, phần này sẽ tập trung vào động học của hai khối chính này.

Kh ối mô phỏng bình nước

Hình 5.3 Khối mô phỏng bình nước

Các khối mô phỏng bình nước được trình bày trong Hình 5.3, bao gồm hai khối với cổng vật lý V thể hiện thể tích chất lỏng bên trong Các cổng kết nối vật lý khác như A, B hoặc C liên quan đến các dòng chảy vào bình Mặc dù số lượng cổng vật lý của hai khối khác nhau, chúng đều sử dụng chung một mô hình động học đã được mô tả trong tài liệu [35].

Variable Head Two-Arm Tank

Variable HeadThree-Arm Tank

Các kí hiệu được giải thích trong Bảng 5.1:

Bảng 5.1 Giải thích các ký hiệu trong mô hình động học của khối bình nước

Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị

𝑖𝑖 Cổng kết nối 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐷𝐷 của bình

𝑝𝑝𝑛𝑛𝑙𝑙𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑚𝑚 Áp suất gây ra bởi mực chất lỏng tại cổng 𝑖𝑖 [𝑃𝑃𝑃𝑃]

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑚𝑚 Áp suất thất thoát tại đường ống kết nối với cổng 𝑖𝑖 [𝑃𝑃𝑃𝑃]

𝜌𝜌 Khối lượng riêng của chất lỏng [𝑛𝑛 𝑚𝑚⁄ 3 ]

𝐻𝐻 Mực chất lỏng tính từ cổng 𝐴𝐴 [𝑚𝑚]

ℎ 𝐵𝐵𝐴𝐴 Độ cao của cổng 𝐵𝐵 so với cổng 𝐴𝐴 [𝑚𝑚]

ℎ𝐶𝐶𝐴𝐴 Độ cao của cổng 𝐷𝐷 so với cổng 𝐴𝐴 [𝑚𝑚]

𝐾𝐾 𝑚𝑚 Hệ số áp suất thất thoát tại cổng 𝑖𝑖

𝐴𝐴𝑚𝑚 Tiết diện của đường ống kết nối với cổng 𝑖𝑖 [𝑚𝑚 2 ]

𝑑𝑑 𝑚𝑚 Đường kính đường ống kết nối với cổng 𝑖𝑖 [𝑚𝑚]

𝐹𝐹𝑚𝑚 Lưu lượng dòng chảy qua cổng 𝑖𝑖 [𝑚𝑚 3 ⁄𝑠𝑠]

𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑛𝑛,𝑚𝑚 Áp suất nhỏ nhất cho dòng chảy xoáy bên trong đường ống nết nối với cổng 𝑖𝑖 [𝑃𝑃𝑃𝑃]

𝑅𝑅𝑒𝑒𝑐𝑐𝑛𝑛 Hệ số Reynolds giới hạn

𝑣𝑣 Độ nhớt động học chất lỏng [𝑚𝑚 2 ⁄𝑠𝑠]

𝑉𝑉 Thể tích chất lỏng tức thời của bình [𝑚𝑚 3 ]

𝑉𝑉 0 Thế tích chất lỏng ban đầu của bình [𝑚𝑚 3 ]

Trong mô hình động học của hệ thống, một điểm quan trọng là mối quan hệ giữa mực chất lỏng bên trong và thể tích chất lỏng trong bình Đối với trường hợp được áp dụng trong mô hình này, các bình đều có tiết diện không đổi.

Trong công thức (5.9), lưu lượng dòng chảy sẽ mang dấu dương nếu dòng chảy này chảy vào bình chứa

Kh ối mô phỏng van điều khiển

Van Gate Valve là một loại van điều khiển với cửa vào hình tròn và cửa điều khiển phẳng, có khả năng di chuyển vuông góc với trục cửa vào Cổng kết nối của cửa điều khiển có đường kính tương đương với cửa vào của thân van Khi cửa điều khiển di chuyển lên xuống, nó sẽ thực hiện chức năng mở hoặc đóng đường ra của van, như được minh họa trong Hình 5.4.

Hình 5.4 Khối van điều khiển được sử dụng trong mô hình

Khối Gate vale này gồm có ba cổng: o Cổng 𝐴𝐴, 𝐵𝐵: cổng đầu vào và đầu ra của van o Cổng 𝐷𝐷 :cổng tín hiệụđiều khiển độ dịch chuyển của cửa

Lưu lượng dòng chảy qua van phụ thuộc vào độ mở của van và chênh lệch áp suất giữa đầu vào và đầu ra Công thức xác định lưu lượng dòng chảy qua van được trình bày như sau [35]:

Cửa điều khiển Cửa ra

Gate Valve a) Khối mô tả van điều khiển b) Mô tả độ mở van

Các kí hiệu được giải thích trong Bảng 5.2:

Bảng 5.2 Giải thích các ký hiệu trong mô hình động học của khối van

Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị

𝐹𝐹 Lưu lượng chảy qua van [𝑚𝑚 3 ⁄𝑠𝑠]

𝑝𝑝 Chênh áp giữa đầu vào và đầu ra [𝑃𝑃𝑃𝑃]

𝑝𝑝𝐴𝐴,𝑝𝑝𝐵𝐵 Áp suất tại cổng 𝐴𝐴 và cổng 𝐵𝐵 [𝑃𝑃𝑃𝑃]

𝐷𝐷 𝐷𝐷 Hệ sốlưu lượng dòng chảy 𝐴𝐴(ℎ) Tiết diện tức thời của đường ra [𝑚𝑚 2 ]

𝑥𝑥 Độ dịch chuyển của cửa từ vị trí ban đầu [𝑚𝑚]

𝜌𝜌 Khối lượng riêng của chất lỏng [𝑛𝑛 𝑚𝑚⁄ 3 ]

𝑣𝑣 Độ nhớt động học của chất lỏng [𝑚𝑚 2 ⁄𝑠𝑠]

𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛 Áp suất nhỏ nhất của dòng chảy xoáy [𝑃𝑃𝑃𝑃]

𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑛𝑛 Hệ số Reynolds giới hạn

𝐷𝐷𝐻𝐻 Đường kính tức thời của đường ra của van [𝑚𝑚]

𝐴𝐴 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑚𝑚𝑘𝑘 Diện tích thất thoát khi van đóng hoàn toàn [𝑚𝑚 2 ]

Một điều đáng chú ý trong khối này là lưu lượng chảy qua van 𝐹𝐹𝑚𝑚được coi là dương khi dòng chảy chảy chảy từ cổng 𝐴𝐴 đến cổng 𝐵𝐵

Mô hình động học hệ thống có thểđược mô tảnhư sau:

Trong đó: o 𝑏𝑏 1,𝑚𝑚𝑚𝑚 , 𝑏𝑏 12 , 𝑏𝑏 23 , 𝑏𝑏 3,𝑚𝑚𝑚𝑚 , 𝑏𝑏 3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 : tín hiệu điều khiển các van 𝑉𝑉 1,𝑚𝑚𝑚𝑚 , 𝑉𝑉 12 , 𝑉𝑉 23 ,

𝑉𝑉3,𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑉𝑉3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 Do các van này đều là các van logic nên các giá trị này chỉ có một trong hai giá trị:

• 0tương đương với tác động đóng van hoàn toàn.

Mô hình này cho thấy tác động của việc mở van hoàn toàn, với lưu lượng dòng chảy không đổi vào bình 1 và bình 3 được ký hiệu là 𝐹𝐹1,𝑚𝑚𝑚𝑚 và 𝐹𝐹3,𝑚𝑚𝑚𝑚 Các lưu lượng giữa các bình được thể hiện qua 𝐹𝐹 12 (∘), 𝐹𝐹 23 (∘) và 𝐹𝐹 3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 (∘), tương ứng với dòng chảy giữa bình 1 và bình 2, bình 2 và bình 3, và từ bình 3 chảy ra bể chứa Điểm nổi bật trong mô hình này là các lưu lượng dòng chảy 𝐹𝐹 12 (∘).

𝐹𝐹 23 (∘), 𝐹𝐹 3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 (∘) phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố từ áp suất tại cổng đầu vào, áp suất của dòng chảy xoáy, …v.v Điều này dẫn đến việc áp dụng để triển khai bộđiều khiển và bộquan sát đặc biệt với bộ quan sát EKF trởlên khó khăn hơn rất nhiều do bộ quan sát yêu cầu khối lượng tính toán rất lớn và bộ quan sát EKF có sử dụng đến ma trận Jacobian Vì vậy, để có thể giảm bớt thời gian tính toán và có thể dễ dàng hơn trong việc triển khai bộ quan sát EKF, cần phải có một mô hình vừa đáp ứng tiêu chí đơn giản nhưng cũng cần phải có độ chính xác nhất định trong quá trình tính toán bộđiều khiển offline Hướng tiếp cận để giải quyết vấn đề này là xấp xỉ mỗi lưu lượng các dòng chảy 𝐹𝐹 12 (∘), 𝐹𝐹 23 (∘), 𝐹𝐹 3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 (∘) chỉ còn là các hàm liên quan đến mực chất lỏng trong ba bình

Khi có sự chênh lệch mực nước giữa hai bình, ví dụ như 𝐹𝐹 12 (∘), lưu lượng dòng chảy 𝐹𝐹 12 (∘) sẽ tăng lên khi độ chênh lệch này lớn và giảm khi chênh lệch nhỏ Chiều dòng chảy phụ thuộc vào mực nước của hai bình, với dòng chảy chảy ra từ bình có mực nước cao hơn Do đó, lưu lượng dòng chảy và chiều của 𝐹𝐹 12 (∘) có thể được xem là hàm của mức chênh lệch giữa ℎ 1 và ℎ 2, cụ thể là Δℎ 12 = ℎ 2 − ℎ 1.

Tương tựta cũng sẽ có mỗi quan hệ sau:

𝐹𝐹 23 = 𝐹𝐹 23 (Δℎ 23 ) Δℎ 23 = ℎ 3 − ℎ 2 (5.20) với dòng chảy từ bình 3 ra bên ngoài 𝐹𝐹3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡, tương tựnhư cách tiếp cận với dòng chảy giữa lưu lượng dòng chảy này sẽ phụ thuộc vào mực nước trong bình 3 là chủ yếu:

Các cách tiếp cận bên trên là khá phổ biến, xuất hiện trong các phương trình mô tảđộng học của các mô hình bình nước [36], [37], [38], [39]

Việc lựa chọn biểu thức cho các hàm lưu lượng là rất quan trọng Một trong những phương pháp phổ biến là sử dụng hàm căn bậc hai để mô tả lưu lượng Chẳng hạn, nếu ℎ1 > ℎ2, lưu lượng 𝐹𝐹12 sẽ được tính toán theo cách cụ thể.

Hệ số dòng chảy 38 với 𝑐𝑐 12 cho thấy mô hình (5.22) không quá phức tạp và có thể áp dụng trên một dải làm việc lớn Tuy nhiên, mô hình này chỉ có thể sử dụng khi ℎ1 ≥ ℎ2 Do đó, cần một hàm khác khi dòng chảy diễn ra từ bình 2 sang bình 1 (ℎ 2 >ℎ 1) Hàm được chọn là hàm tuyến tính [36], [39].

Hệ số 𝑅𝑅1 (5.23) được xác định tại điểm làm việc và mô hình này rất đơn giản, dễ dàng triển khai tính đạo hàm riêng Tuy nhiên, nó chỉ có thể áp dụng trong một phạm vi làm việc rất nhỏ.

Khi xây dựng mô hình xấp xỉ dòng chảy, cần đạt được một số tiêu chí quan trọng: mô hình phải có khả năng hoạt động hiệu quả trong một dải làm việc lớn, cần xem xét yếu tố chiều của dòng chảy, và việc triển khai tính đạo hàm riêng phải diễn ra một cách dễ dàng.

Quá trình tính toán hàm xấp xỉ dòng chảy được thực hiện như sau:

 Bước 1 : Chạy mô hình trong một sốtrường hợp đặc biệt

 Bước 2 : Thu thập đồng thời các cặp dữ liệu: 𝐹𝐹 12 − Δℎ 12 , 𝐹𝐹 23 − Δℎ 23 và

 Bước 3 : Tiến hành nhận dạng nhờ các công cụ có sẵn

Cài đặ t thông s ố

5.2.1 Thông số mô hình ba bình nước trong Simulink

Hệ thống được xây dựng chủ yếu từ các khối mô phỏng bình nước và van, với hầu hết các thông số mô hình tập trung vào hai khối này Để đơn giản hóa việc lưu trữ thông tin và xây dựng mô hình toán xấp xỉ, các khối mô phỏng cùng một đối tượng sẽ có các thông số giống nhau Thông số cho các khối mô phỏng được trình bày trong phần PHỤ LỤC Một số thông số quan trọng trong mô hình xây dựng trong Simulink bao gồm: các bình có cùng tiết diện ngang 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴3 = 0.1 [𝑚𝑚²] và dòng nước chảy vào bình 1 và bình 3 có lưu lượng không đổi.

𝐹𝐹1,𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝐹𝐹3,𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1 × 10 −4 [𝑚𝑚 3 ⁄𝑠𝑠] o Mực nước làm việc các bình được xem xét trong khoảng: 0≤

ℎ 1 ,ℎ 2 ,ℎ 3 ≤0.6 [𝑚𝑚] o Mực nước ban đầu của các bình: ℎ1(𝑡𝑡 = 0) = 0.27 [𝑚𝑚], ℎ2(𝑡𝑡 = 0) 0.47 [𝑚𝑚], ℎ3(𝑡𝑡 = 0) = 0.17 [𝑚𝑚]

5.2.2 Thông số cho việc thiết kế bộ điều khiển

Các ngưỡng cảm biến cài đặt cho mô hình hệ thống:

Các ngưỡng cảm biến được xác định bởi tập hợp LL mm = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6} [mm] với i = 1, 2, 3 Những ngưỡng này được thể hiện qua khối Hit Crossing trong thư viện Simulink Khi biến trạng thái đạt giá trị cài đặt, khối này sẽ kích hoạt tín hiệu logic để dừng mô phỏng, cho phép bộ quan sát và bộ điều khiển tính toán trước khi tiếp tục triển khai hệ thống với tín hiệu điều khiển mới.

Các thống số thiết kế: o Tập ban đầu: 𝑋𝑋 0 = [0.2 0.3] × [0.4 0.5] × [0.1 0.2] [𝑚𝑚] o Tập đích:𝑋𝑋𝑇𝑇 = [0.4 0.5] × [0.2 0.3] × [0.3 0.4] [𝑚𝑚] o Các tập cấm:

• 0 kết quả trả về

Kết quả nhận dạng mô hình được thể hiện trên Hình 5.6:

Hình 5.6 Kết quả xấp xỉ

Kết quả từ Hình 5.6 cho thấy mô hình (5.30) có chất lượng gần gũi với dữ liệu gốc hơn so với mô hình (5.29) Do đó, mô hình này sẽ được áp dụng trong việc tính toán bộ điều khiển phản hồi trạng thái offline và bộ quan sát trạng thái Thông số cụ thể của mô hình này như sau:

𝑃𝑃12 = −3.507 × 10 −9 ;𝑏𝑏12 = −6.372 × 10 −4 (5.31) Tương tự cách tiếp cận này, mô hình xấp xỉ các mối quan hệ còn lại thu được như sau:

(5.34) o Bước 4: Kiểm nghiệm mô hình xấp xỉ với hệ thống Mô hình xấp xỉ hệ thống như sau:

Mối quan hệ 𝐹𝐹 12 (Δℎ 12 ), 𝐹𝐹 23 (Δℎ 23 ), 𝐹𝐹 3,𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡 (ℎ 3 ) được xác định từ các phương trình (5.30), (5.32) và (5.33) Mô hình này đã được kiểm chứng thông qua việc mô phỏng song song với mô hình ban đầu như thể hiện trong Hình 5.2, sử dụng cùng một kiểu tín hiệu đầu vào Kết quả kiểm chứng được trình bày trong Hình 5.7.

Hình 5.7 Kết quả kiểm chứng giữa mô hình ban đầu và mô hình xấp xỉ

Chất lượng mô hình xấp xỉ trong Hình 5.7 rất tốt, cho phép áp dụng hiệu quả trong việc tính toán bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái.

5.3.2 Kết quả mô phỏng với bộ điều khiển vàbộ quan sát EKF

Hình 5.8 Quỹ đạo trạng thái khi áp dụng bộ quan sát EKF

Hình 5.8 minh họa diễn biến động học của hệ thống khi áp dụng bộ điều khiển và bộ quan sát EKF, với đường nét liền màu biểu thị quỹ đạo của hệ thống và nét đứt thể hiện trạng thái quan sát Sau 04 sự kiện đo, quỹ đạo trạng thái ước lượng đã gần gũi với quỹ đạo thực của hệ thống Sự tiến triển của từng biến trạng thái được thể hiện rõ hơn qua Hình 5.9, Hình 5.10 và Hình 5.11, cho thấy cả ba biến đã đạt đến vùng đích (vùng màu xanh) tại thời điểm sự kiện đo cuối cùng.

Thresholds Real States Estimated States

ThresholdsReal StatesEstimated States

Hình 5.12 Các tín hiệu điều khiển van

Hình 5.12 minh họa tín hiệu đóng/mở của các van tương ứng, cho thấy rằng tín hiệu không có sự dao động lớn, ngay cả khi các sự kiện đo đầu tiên xảy ra gần nhau.

Thresholds Real States Estimated States

5.3.3 Kết quả mô phỏng vớibộ điều khiển vàbộ quan sát UKF

Hình 5.13 minh họa sự diễn biến động học của hệ thống khi sử dụng bộ điều khiển và bộ quan sát UKF Đường nét liền màu thể hiện quỹ đạo của hệ thống, trong khi nét đứt biểu thị trạng thái quan sát, và khối hình hộp đại diện cho tập trạng thái đích Quá trình ước lượng trạng thái diễn ra nhanh chóng, cho thấy sự tiệm cận với trạng thái hệ thống, điều này được thể hiện rõ trong các hình 5.14, 5.15 và 5.16 Tại thời điểm đo cuối, tất cả các biến trạng thái đều nằm trong vùng trạng thái đích (vùng màu xanh).

Hình 5.13 Quỹ đạo trạng thái khi áp dụng bộ quan sát UKF

ThresholdsReal StatesEstimated States

Thresholds Real States Estimated States

ThresholdsReal StatesEstimated States

Hình 5.17 Các tín hiệu điều khiển van

Tương tự như Hình 5.13, Hình 5.17 cũng cho thấy được sựít thay đổi trong tín hiệu điều khiển đóng/mở van trong toàn bộ quá trình mô phỏng.

Nh ậ n xét chung

Dựa trên các kết quả mô phỏng từ Hình 5.8 đến Hình 5.17, có thể rút ra những kết luận quan trọng sau: Bộ điều khiển phản hồi trạng thái đã thành công trong việc chuyển hệ thống từ tập trạng thái ban đầu 𝑋𝑋 0 đến tập trạng thái 𝑋𝑋 𝑇𝑇, đồng thời ngăn chặn sự xuất hiện của các tập trạng thái cấm 𝑋𝑋 𝐹𝐹 Tín hiệu điều khiển được sử dụng là đơn giản và không gây ra dao động Hơn nữa, các bộ quan sát đã chứng minh khả năng ước lượng trạng thái rất hiệu quả, với sai lệch ước lượng giảm nhanh chóng chỉ sau một vài sự kiện đo.

Thời gian mô phỏng của hai bộ quan sát chênh lệch nhau là không đáng kể (tầm 7 – 8 giây trên tổng thời gian mô phỏng tầm 160 giây)

So sánh quá trình tính toán giữa hai bộ quan sát cho thấy bộ quan sát trạng thái EKF, mặc dù có cấu trúc đơn giản hơn, nhưng yêu cầu khối lượng công việc chuẩn bị lớn hơn do cần tính toán ma trận Jacobian Ngược lại, bộ quan sát trạng thái UKF yêu cầu ít công việc chuẩn bị hơn, nhưng lại có khối lượng tính toán lớn hơn trong quá trình ước lượng, vì phải áp dụng kỹ thuật Unscented Transform, đòi hỏi giải 2𝑛𝑛 hệ phương trình vi phân mô tả hệ thống và tìm ma trận căn bậc hai bằng các hàm tính toán đặc biệt.

Trong quá trình áp dụng các bộ quan sát để ước lượng trạng thái hệ thống, việc lựa chọn trạng thái ước lượng ban đầu 𝑥𝑥0 +, ma trận hiệp phương sai cho sai lệch quan sát 𝑃𝑃 0 +, cùng với các phương sai cho nhiễu quá trình 𝑄𝑄 và nhiễu đo 𝑅𝑅, đòi hỏi nhiều thời gian để đảm bảo chất lượng của bộ quan sát.

KẾ T LU ẬN VÀ HƯỚ NG PHÁT TRI Ể N