a th˘c mẻt bi∏n
Trong toán học, mặt phẳng K là mặt biểu thức dùng để diễn tả tính chất của các biến thức Mỗi biến thức là tích của mặt phản ánh (được gọi là hệ thức hoặc hệ số) thuộc K với các luật thao tác tự nhiên của các biến.
‡nh nghổa 1.1 (xem[3]) Cho P(x) cú dĐng
P(x) = a0 +a1x+ +an 1x n 1 +anx n , vểi cỏc hê sậ ai 2 R là mẻt a th˘c mẻt bi∏n trờn R.
N∏u an 6= 0 thỡ P(x) là a th˘c mẻt bi∏n b™c n a th˘c trờn cú th∫ vi∏t ng≠n gÂn là
Chỳng ta bi∏t răng mẻt a th˘c mẻt bi∏n cú th∫ cú mẻt nghiêm, nhi∑u nghiêm ho∞c khụng cú nghiêm.
Mênh ∑ 1.2 Sậ nghiêm tậi a cıa a th˘c mẻt bi∏n khụng v˜ềt quỏ b™c cıa a th˘c ó.
Ti∏p theo ta tỡm hi∫u mẻt vòn ∑ cú liờn quan ∏n a th˘c.
Cụng th˘c nẻi suy Lagrange
Giả sử x1, x2, , xn, xn+1 là n + 1 số thực khác nhau và y1, y2, , yn, yn+1 là n + 1 số thực bậc k Mục đích của chúng ta là tìm một hàm P(x) có bậc bộ hạn hoặc bậc n thoả mãn các điều kiện đã cho.
P(x1) = y1, P(x2) = y2, P(x3) =y3, , P(xn) =yn, P(xn+1) = yn+1. a th˘c P(x) cú th∫ ˜ềc xõy dáng t¯ cỏc a th˘c
P(x) = y1P1(x) +y2P2(x) +y3P3(x) + +ynPn(x) + yn+1Pn+1(x), trong ó các a th˘c P1(x), P2(x), P3(x), , Pn(x), Pn+1(x) ˜Òc xác ‡nh nh˜ sau
(xn x1)(xn x2) (xn xn 1)(xn xn+1)
(xn+1 x1)(xn+1 x2) (xn+1 xn 1)(xn+1 xn). Cỏc a th˘c này thoÊ món i∑u kiên
Pn(x1) = 0, Pn(x2) = 0, Pn(x3) = 0, , Pn(xn) = 1, Pn(xn+1) = 0.
Pn+1(x1) = 0, Pn+1(x2) = 0, Pn+1(x3) = 0, , Pn+1(xn) = 0, Pn+1(xn+1) = 1.
Ta có th∫ bi∫u diπn a th˘c P(x) d˜Ói d§ng
(1.1) õy gÂi là cụng th˘c nẻi suy Lagrange.
Công th˘c Euler cho sË ph˘c
Công thức Euler là một công thức toán học quan trọng trong lĩnh vực giải tích phức, được phát triển bởi nhà toán học nổi tiếng Leonhard Euler Công thức này thể hiện mối liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác, đóng vai trò then chốt trong nhiều ứng dụng toán học và kỹ thuật.
Công thức Euler, được biểu diễn dưới dạng e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), kết hợp giữa số e (logarit tự nhiên), i (đơn vị ảo), và các hàm sin và cos Đây là một trong những công thức quan trọng trong toán học, thể hiện mối liên hệ giữa các hàm số lượng giác và số phức.
∫ ch˘ng minh cụng th˘c Euler, õy chỳng tụi nờu ra ph˜ẽng phỏp khai tri∫n chuÈi Taylor.
Các hàm e x ,cosx,sinx ˜Òc vi∏t nh˜ sau: e x = 1 +x+ x 2
Do bỏn kớnh hẻi tˆ cıa chuẩi trờn là vụ hĐn, chỳng ta cú th∫ thay th∏ x bi iz vÓi z là sË ph˘c Khi ó e iz = 1 +iz + (iz) 2
Việc sắp xếp các số hạng là phù hợp vì mỗi chuỗi đều là chuỗi hạng tuyệt đối Lời giải z = x là một dạng số thác sắp dẫn đến những thực nguyên thu mà Euler đã khám phá ra.
Công th˘c De - Moirve
Cụng th˘c De -Moirve là n∑n tÊng cho mẻt loĐt cụng th˘c quan trÂng khác sau này nh˜ phép luˇ th¯a, khai c´n sË ph˘c.
Ta cú ỉng th˘c sau
(cosx+isinx).(cosy +isiny) = cos(x+y) +isin(x+y) (1.3) Th™t v™y,
Ta áp dˆng công th˘c trên cho tr˜Ìng hÒp y = x, ta ˜Òc
(cosx+isinx) 3 = (cosx+isinx) 2 (cosx+isinx)
B¨ng phép quy n§p ta có ˜Òc
(cosx+ isinx) n = cosnx+isinnx (1.4) ây là công th˘c De - Moirve.
Công th˘c hình thang
Mụ tÊ ph˜ẽng phỏp
Ta chia o§n [a, b] thành n o§n con b¨ng nhau, khi ó a = x0 < x1 < < xn = b, x i = a+ih, h = b a n , i= 0, n.
Thay diên tớch hỡnh thang cong băng diên tớch hỡnh thang thỉng ta ˜ềc
Thác chòt (1.5) ta ó thay hàm f(x) băng hàm nẻi suy p(x) =y0 + y0 h (x x0) =y0 + y0 x x0 h (1.6)
∞t t= x x 0 h , khi ó x = x0 +th và dx = hdt Ta có
ánh giá sai sË
Mênh ∑ 1.3 GiÊ s˚ hàm sậ f(x) cú Đo hàm còp 2 liờn tˆc, khi ú ta có ánh giá
Ch˜ẽng này trỡnh bày mẻt sậ vòn ∑ cẽ bÊn a th˘c Chebyshev Vòn
∑ ảu tiờn là ‡nh nghổa a th˘c Chebyhev Vòn ∑ ti∏p theo là ˜a ra mẻt sậ tớnh chòt cıa a th˘c Chebyshev.
Cỏc k∏t quÊ trong ch˜ẽng này chı y∏u tham khÊo t¯ cỏc tài liêu [2], [3] và [7].
∫ xõy dáng ‡nh nghổa a th˘c Chebyshev, chỳng ta b≠t ảu xem xét hàm sË l˜Òng giác sau:
Tn(x) = cosn✓, (2.1) trong ú n là mẻt sậ tá nhiờn, x = cos✓ và 0 ✓ ⇡ Khi ✓ t´ng t¯ 0
Hàm số Tn(x) được xác định trên đoạn [-1; 1], trong đó I là đoạn này Đối với mỗi giá trị x thuộc I, ta tìm giá trị duy nhất của θ = arccos(x).
0 ✓ ⇡ và Tn(x) cú giỏ tr‡ là cosn✓ Vỡ v™y Tn(x) là mẻt hàm ẽn ánh xác ‡nh trên I, có th∫ vi∏t nh˜ sau
Tn(x) = cosn(arccosx), với 0 ≤ arccosx ≤ π Áp dụng công thức Euler và công thức De Moivre, cùng với khai triển nhị thức Newton, ta có biểu thức cosnθ + isinθ = (cosθ + isinθ)n = cos nθ + C(n, 1) cos(n-1)θ (isinθ).
+ C n 2 cos n 2 ✓(isin✓) 2 + +C n n (isin✓) n Khi ú so sỏnh phản thác hai v∏ cıa ph˜ẽng trỡnh (2.3) ta ˜ềc cosn✓ = cos n ✓ C n 2 cos n 2 ✓sin 2 ✓+C n 4 cos n 4 ✓sin 4 ✓+
+ ( 1) [n/2] C n 2[n/2] cos n 2[n/2] ✓sin 2[n/2] ✓ (2.4) Thay sin 2 ✓ = 1 cos 2 ✓ vào (2.4) ta ˜Òc
Chúng ta thấy rằng hàm số (2.5) là mặt thực về cos✓, do đó hàm số Tn(x) được định nghĩa trong (2.1) là mặt thực Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định các hệ số của chúng.
Xột ph˜ẽng trỡnh (2.5), ta nh™n thòy răng v∏ phÊi cıa nú cú dĐng tÍng tam giác, cˆ th∫
Cẻng v∏ phÊi cıa (2.6) băng cỏch nhúm cỏc sậ hĐng trờn ˜èng chộo lĐi vÓi nhau, ta ˜Òc cosn✓ = A0B0,0 +A1B1,1 + +A [n/2] B[n/2],[n/2]
+A [n/2] B 0,[n/2] , ho∞c b¨ng cách thay th∏ Aq và Bk,q vÓi nh˙ng v‡ trí ˘ng cıa chúng cho cosn✓ [n/2]X k=0
Acos n 2k ✓ (2.7) ỉng th˘c (2.7) bi∫u th‡răng Tn(x) là mẻt a th˘c b™c n Do ú a th˘c
Tn(x) ˜Òc vi∏t l§i nh˜ sau:
V™y T n (x) cú cỏc giỏ tr‡ trong I là mẻt a th˘c b™c n, xỏc ‡nh vểi mÂi giá tr‡ x (v®n úng vÓi sË ph˘c) a th˘c Tn(x) nh˜ v™y gÂi là a th˘c Chebyshev b™c n T¯ ú ta i ∏n ‡nh nghổa sau.
‡nh nghổa 2.1 (xem[5]) Vểi n 2 N, a th˘c Chebyshev loĐi 1 là a th˘c Tn(x) thoÊ món i∑u kiên
Ngoài ra, ta có công th˘c l˜Òng giác cos(k + 1)✓+ cos(k 1)✓ = 2 cos✓cosk✓.
Tk+1(cos✓) +Tk 1(cos✓) = 2 cos✓ Tk(cos✓), vÓi x = cos✓
)Tk+1(cos✓) = 2 cos✓ Tk(cos✓) Tk 1(cos✓)
Ta nh™n thòy răng (2.10) là hê th˘c truy hÁi cıa Tn(x), do ú ta cú mẻt
‡nh nghổa t˜ẽng ˜ẽng vểi ‡nh nghổa 2.1 nh˜ sau
‡nh nghổa 2.2 (xem [5]) Vểi n 2 N, a th˘c Chebyshev loĐi 1 b™c n là a th˘c T n (x) xác ‡nh nh˜ sau:
Lòy vi phõn T n (x) = cosn✓ ậi vểi x ta thu ˜ềc
◆ d✓ dx = ( nsinn✓) 1 p1 cos 2 ✓ = nsinn✓ sin✓ , (2.11) vÓi x = cos✓, 0 ✓ ⇡.
T¯ (2.11) ta cú ‡nh nghổa v∑ a th˘c Chebyshev loĐi 2 nh˜ sau
‡nh nghổa 2.3 xem [5]) Vểi n2 N, cỏc a th˘c Un(x) ˜ềc xỏc ‡nh nh˜ sau
Un(x) = 1 n+ 1T n+1 0 (x) = sin(n+ 1)✓ sin✓ = sin(n+ 1) arccosx p1 x 2 , (2.12) vÓi x := cos✓, ˜Òc gÂi là các a th˘c Chebyshev lo§i 2.
Ngoài ra, ta có công th˘c bi∏n tÍng thành tích cıa l˜Òng giác sin(n+ 2)✓+ sinn✓ = 2 cos✓sin(n+ 1)✓
) sin(n+ 2)✓ sin✓ = 2 cos✓sin(n+ 1)✓ sin✓ sinn✓ sin✓ )Un+1(x) = 2xUn(x) Un 1(x) (2.13)
T˜ẽng tá nh˜ trờn, hê th˘c (2.13) là hê th˘c truy hÁi cıa Un(x) Do ú, ta cú mẻt ‡nh nghổa t˜ẽng ˜ẽng vểi ‡nh nghổa 2.3 nh˜ sau
‡nh nghổa 2.4 (xem [5]) Cỏc a th˘c Un(x), n 2 N, ˜ềc xỏc ‡nh nh˜ sau 8
Un+1(x) = 2xUn(x) Un 1(x), (n 1) ˜Òc gÂi là các a th˘c Chebyshev lo§i 2.
Các hàm Chebyshev loại 1 (Tn) và loại 2 (Un) là những hàm đặc trưng, với T0(x) = U0(x) = 1 và T1(x) = x, U1(x) = 2x Mặc dù chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, nhưng lại có những đặc điểm riêng biệt Qua việc nghiên cứu các tính chất của hai hàm này, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa chúng.
Mẻt sậ tớnh chòt quan trÂng cıa a th˘c Chebyshev
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu về các tính chất quan trọng và tiêu biểu của hàm Chebyshev loại 1 và loại 2 Đặc biệt, chúng tôi sẽ làm rõ Tn(x) đại diện cho hàm Chebyshev loại 1 và Un(x) đại diện cho hàm Chebyshev loại 2, cùng với những ứng dụng của chúng trong toán học.
Chebyshev loĐi 2 Cỏc k∏t quÊ trong ch˜ẽng này chı y∏u tham khÊo t¯ cỏc tài liêu [2],[3], [6] và [7].
Mênh ∑ 2.5 (xem [6])[Hê sậ cao nhòt cıa a th˘c]
(i) a th˘c Tn(x) cú b™c n cú hê sậ cao nhòt băng 2 n 1
(ii) a th˘c Un(x) là a th˘c b™c n cú hê sậ cao nhòt băng 2 n
Theo công thức (2.9), ta nhận thấy rằng các hệ số của Tn(x) là các số nguyên và an dồn nhau, với hệ số bậc cao nhất là một số dương Đối với n thuộc tập N, ta có tn [n/2]X j=0.
Ta ch˘ng minh T n (x) 2 Z[x] cú b™c là n, cú hê sậ cao nhòt là 2 n 1 N∏u n = 1 thì T1(x) = x = 2 0 x 1 (tho£ mãn).
GiÊ s˚ mênh ∑ ỳng ∏n n= k, t˘c là a th˘c T k (x) 2 Z[x] cú b™c k, cú hê sậ cao nhòt là 2 k 1 Ta ch˘ng minh mênh ∑ cÙng ỳng cho n = k + 1.
Do ú Tk+1(x) cÙng cú b™c k + 1, hê sậ cao nhòt là 2 k và cú cỏc hê sË nguyên.
(ii) Ch˘ng minh cho tr˜èng hềp Un(x) t˜ẽng tá.
⇤ Trong mênh ∑ ti∏p theo, ta s≥ xem xột tớnh chặn lƠ cıa hai a th˘c
Mênh ∑ 2.6 (xem [6]) [Tớnh chặn lƠ cıa a th˘c]
(i) a th˘c Tn(x) là hàm chặn khi n chặn, là hàm lƠ khi n lƠ.
(ii) a th˘c Un(x) là hàm chặn khi n chặn, là hàm lƠ khi n lƠ.
Ch˘ng minh S˚ dˆng ‡nh nghổa 2.1, ta cú
Tn( cos✓) =Tn[cos(⇡+✓)] = cosn(⇡+✓)
T¯ ó suy ra T n ( x) = ( 1) n T n (x), i∑u ph£i ch˘ng minh.
Ch˘ng minh ậi vểi Un(x) hoàn toàn t˜ẽng tá ⇤ Nh™n xét 2.7.
• Vểi nchặn thỡ a th˘c Tn(x) là mẻt hàm chặn Do ú khai tri∫n cıa
T n (x) chứ gÁm cỏc luˇ th¯a b™c chặn cıa x.
• Vểin lƠ thỡ a th˘c Tn(x) là mẻt hàm lƠ Do ú khai tri∫n cıaTn(x) chứ gÁm cỏc luˇ th¯a b™c lƠ cıa x.
Ti∏p theo, chỳng ta trỡnh bày k∏t quÊ v∑ cụng th˘c nghiêm cıa a th˘c Tn(x) và Un(x).
Mênh ∑ 2.8 (xem [3])[Cụng th˘c nghiêm cıa hai loĐi a th˘c]
(i) a th˘c T n (x) cú ỳng n nghiêm phõn biêt trờn oĐn [ 1; 1] là xk = cos2k + 1
2n ⇡, (k = 0,1,2, , n 1) (2.14) (ii) a th˘c Un(x) cú ỳng n nghiêm phõn biêt trờn khoÊng ( 1; 1) là xk = cos k⇡ n+ 1, (k = 1,2, , n) (2.15) Ch˘ng minh.
(i) Tr˜Óc h∏t ta tìm x 2 [ 1; 1] sao cho Tn(x) = 0.
VÓi |x| 1, ta có th∫ ∞t x = cos✓, v™y
2n + k⇡ n , ta có xk = cos✓k = cos
Bi∫u diπn trên ˜Ìng tròn l˜Òng giác, tuy ta ˜Òc 2n i∫m ✓ k khác nhau, nh˜ng chúng l™p thành t¯ng c∞p Ëi x˘ng nhau qua trˆc Ox.
V™y chứ cú n giỏ tr‡ khỏc nhau cıa xk, ˘ng vểi k = 0,1, n 1.
V™y trờn oĐn [ 1; 1] , ta tỡm ˜ềc n nghiêm phõn biêt cıa T n (x), mà mẻt a th˘c b™c n khụng th∫ cú hẽn n nghiêm thác Do ú
Tn(x) khụng cũn nghiêm nào khỏc ngoài cỏc nghiêm ˜ềc xỏc ‡nh bi công th˘c xk = cos(2k + 1)⇡
(ii) Theo ‡nh nghổa ta cú U n (x) = 1 nT n+1 0 (x) và do T n (x) có úng n nghiêm thác phõn biêt trờn [ 1; 1] nờn theo ‡nh lớ Rolle cú ngay i∑u ph£i ch˘ng minh.
⇤ Ti∏p theo, ta tỡm hi∫u tớnh chòt v∑ mi∑n giỏ tr‡ cıa hai a th˘c Tn(x) và Un(x).
(i) |Tn(x)| 1 8x 2 [ 1; 1], ỉng th˘c |Tn(x)| = 1 chứ xÊy ra vểi n+ 1 giá tr‡ xk x k = cosk⇡ n , (k = 0,1,2, , n).
Tn(xk) = ( 1) k (2.16) Các i∫m xk còn ˜Òc gÂi là các i∫m luân phiên Chebyshev.
|Tn(x)| = |Tn(cos✓)| = |cosn✓| = 1 t˜ẽng ˜ẽng vểi sinn✓ = 0) n✓ = k⇡ )xk = k⇡ n (k 2 Z).
∞t ✓ k = k⇡ n ta có x k = cos✓ k = cosk⇡ n Bi∫u diπn trên ˜Ìng trũn l˜ềng giỏc, ta thòy chứ cú n+ 1 giỏ tr‡ ✓k khỏc nhau, ˘ng vểi k = 0,1,2, n VÓi mÈi giá tr‡ ✓k ó, ta có
T n (x k ) =T n (cos k⇡ n ) = cosk⇡ = ( 1) k (ii) VÓi mÈi x 2 ( 1; 1), ta ∞t x = cos✓, 8✓ 2 (0;⇡) Khi ó
Un(x) = sin(n+ 1)✓ sin✓ Băng ph˜ẽng phỏp quy nĐp theo n, ta ch˘ng minh ˜ềc
⇤ M∞t khác, khi xem xét các i∫m luân phiên Chebyshev ta nh™n ˜Òc tinh chòt thỳ v‡ ˜ềc phỏt bi∫u mênh ∑ d˜ểi õy.
Mênh ∑ 2.10 (xem [7]) a th˘c f(x) = (x x0)(x x1)(x x2) (x xn), vÓi xk = cosk⇡ n , có công th˘c tÍng quát f(x) px 2 1
Băng khai tri∫n nh‡ th˘c Newton, ta thòy g(x) là a th˘c b™c n+ 1.
Ngoài ra, s˚ dˆng công th˘c De-Moivre, ta cÙng có
Đối với hàm g(xk) = 0 với k thuộc tập {0, 1, , n}, ta suy ra rằng hàm h(x) = f(x) g(x) có bậc không vượt quá n và có n + 1 nghiệm phân biệt là x0, x1, , xn Do đó, h(x) đồng nghĩa với 0, hay nói cách khác, f(x) = g(x) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các hàm trong không gian xác định của chúng.
|T n 0 (x)| n 2 , 8x 2 ( 1; 1) (2.17) Ch˘ng minh Theo ‡nh nghổa 2.3, ta cú
⇤ Ti∏p theo, chỳng ta cựng tỡm hi∫u tớnh chòt khỏ hay cıa a th˘c Chebyshev lo§i 1.
◆ ,8n 0, x 6= 0 (2.18) Ch˘ng minh Ta s≥ ch˘ng minh i∑u này b¨ng quy n§p Ta có
GiÊs˚ i∑u ch˘ng minh ỳng ∏nn, theo ‡nh nghổa2.2ta cú cụng th˘c truy hÁi cıa Tn+1 nh˜ sau.
Trong các mệnh đề, ta cần hiểu tính chất riêng biệt của từng loại thực thể, để xác định liệu có mối liên hệ hay có ứng thức nào liên kết chúng hay không Mối liên hệ giữa hai loại thực thể này được thể hiện rõ trong các mệnh đề.
Theo công th˘c (2.1) và (2.12), ta có
Tn(x) = cosn✓, Un(x) = sin(n+ 1)✓ sin✓
= sin(n+ 1)✓ sin✓ cos✓sinn✓ sin✓
= sin(n+ 1)✓ sin(n+ 1)✓cos 2 ✓+ cos(n+ 1)✓sin✓cos✓ sin✓
= sin(n+ 1)✓(1 cos 2 ✓) + cos(n+ 1)✓sin✓cos✓ sin✓
= sin(n+ 1)✓sin✓+ cos(n+ 1)✓cos✓ = cosn✓ = Tn(x).i Nh˜ v™y, ta thu ˜Òc
Ta có Un 1(x) = sinn✓ sin✓ , Tn(x) = cosn✓.
Tn+1(x) + (1 x 2 )Un(x) = cos(n+ 1)✓+ sin 2 ✓sinn✓ sin✓
= cosn✓cos✓ sinn✓sin✓+ sinn✓sin✓
⇤ Mênh ∑ 2.14 (xem [6]) Vểi mÂi n2 N,8x 2 ( 1; 1), ta cú
Ch˘ng minh S˚ dˆng ph˜ẽng phỏp quy nĐp theo n.
Do ú vểi n = 1 thỡ ph˜ẽng trỡnh (2.19) ỳng.
• GiÊ s˚ ph˜ẽng trỡnh (2.19) ỳng vểi n = k.
• Ta cản ch˘ng minh ph˜ẽng trỡnh (2.19) ỳng vểi n = k + 1 Th™t v™y,
(i) 8x 2 ( 1; 1), theo công th˘c (2.2) ta có
(ii) VÓi mÂi x 2 ( 1; 1), theo công th˘c (2.12), ta có
Un(x) = sin[(n+ 1) arccosx] p1 x 2 Suy ra
⇤Mênh ∑ 2.16 (xem [7]) [Tớnh chòt trác giao] Vểi m, n 2 N, ta cú
(ii) ∞t x = cos✓ )✓ = arccosx Ta có x = cos✓ )✓ = arccosx.
Nhận xét 2.17 về tính chất chốt của hai loại thức Chebyshev cho thấy sự quan trọng trong việc áp dụng chúng để giải quyết các bài toán của đại số và số học Nghiên cứu này sẽ làm rõ các kết quả và ứng dụng cụ thể, được trình bày chi tiết trong chương tiếp theo.
Chương này trình bày ứng dụng của đa thức Chebyshev trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức, xác định hàm số bằng đa thức Chebyshev, và giải phương trình bậc cao.
K∏t quÊ trong ch˜ẽng này chı y∏u tham khÊo t¯ cỏc tài liêu [2],[3].
Ÿng dˆng cıa a th˘c Chebyshev trong mẻt sậ bài toỏn các tr‡ liên quan ∏n a th˘c
toỏn các tr‡ liờn quan ∏n a th˘c
Dòu hiêu ẽn giÊn ∫ nh™n bi∏t bài toỏn cú th∫ s˚ dˆng tớnh chòt a th˘c Chebyshev là mi∑n giá tr‡ cıa nó Các a th˘c trên mi∑n [ 1; 1]
∑u gềi ra cỏch giÊi băng cỏch s˚ dˆng tớnh chòt a th˘c Chebyshev. Mênh ∑ 2.5 và Mênh ∑ 2.8 ˜ềc s˚ dˆng nhi∑u ch˜ẽng này.
Tr˜ểc tiờn, ta xột mẻt sậ bài toỏn nh˜ sau.
Bài toán 3.1 Cho f(x) = 2x 2 + bx + c Tìm b, c 2 R ∫ vÓi mÂi x 2 [ 1; 1], ta có |f(x)| 1.
– bài toỏn này ta nh™n thòy dòu hiêu v∑ tớnh chòt a th˘c Chebyshev b™c 2 vÓi x 2 [ 1; 1], |f(x)| 1 Cˆ th∫ nh˜ sau.
Theo gi£ thi∏t ta có |f( 1)| 1, |f(0)| 1, |f(1)| 1.
Nh˜ v™y cỏc dòu băng phÊi xÊy ra t˘c là:
Ng˜Òc l§i vÓi b = 0, c = 1 ta có f(x) = T 2 (x) = 2x 2 1, do ó n∏u
Bài toán 3.2 Cho a th˘c b™c 3, f(x) = 4x 3 + ax 2 + bx + c Tìm a, , b, c 2 R ∫
T˜ẽng tánh˜bài trờn ta nh™n thòy dòu hiêu s˚dˆng a th˘c Chebyshev b™c 3, vÓi |f(x)| 1, 8x 2 [ 1; 1].
Theo Mênh ∑ 2.9 ta s≥ xột cỏc i∫m luõn phiờn cosk⇡
Mà dòu cıa bòt ỉng th˘c |a1+a2+ +an| |a1|+|a2|+ +|an| xÊy ra khi cỏc ai cựng dòu và nhè cú viêc dá oỏn a = 0, b = 3, c = 0, ta cú th∫ s˚ dˆng bòt ỉng th˘c sau:
2 b+ c 2. Cuậi cựng chứ cản kh˚ b, ta cú: 3 |4 +b|+| 1 b| 1 + 2 = 3 V™y dòu băng tòt cÊ cỏc bòt ỉng th˘c xÊy ra hay b = 3, a = c = 0. Khi ó f(x) = 4x 3 3x, 8x 2 [ 1; 1].
Ng˜ềc lĐi n∏u f(x) = T3(x) = 4x 3 3x thỡ vểi bòt kỡ x 2 [ 1; 1], tÁn t§i ↵ 2 [0;⇡] ∫ x = cos↵, lúc ó f(x) = cos3↵ 2 [ 1; 1], chính là i∑u kiên ı cıa bài toỏn V™y a = 0, b = 3, c= 0.
Bài toán 3.3 trong cuộc thi Olympic sinh viên 2016 thuộc khối học sinh phổ thông đề cập đến ba hệ số a, b, c và một số nguyên dương n Hàm số thực f(x) được định nghĩa là f(x) = ax²n + bx + c, với yêu cầu xác định giá trị của hàm số tại các điểm 0, 1 và 1.
4 n n 2n + 1, 8x 2 [ 1; 1]. b) VÓi mÈi M 1, ta có |f(x)| 2M 2n 1 khi 1 |x| M.
Do max{|d|,|e|,|c|} 1, vÓi |x| 1, ta có
max |x 2n |,|x| + 1 x 2n = |x|+ 1 x 2n (1) Áp dˆng bòt ỉng th˘c Cauchy cho 2n sậ khụng õm x 2n , 1
Bài toỏn 3.4 Ch˘ng minh răng mÂi a th˘c P(x) cú b™c n cú hê sậ cao nhòt băng 1, ta ∑u cú max1 x 1|P(x)| 1
2 n 1 , (3.1) dòu băng xÊy ra khi và chứ khi
1 x 1|T n ⇤ (x)| là bộ nhòt trong sậ cỏc max
Theo công th˘c (2.2) ta có
2 n 1 , Đt ˜ềc khi và chứ khi x là i∫m luõn phiờn Chebyshev Do Tn(x) cú hê sậ b™c cao nhòt là 2 n 1 nờn T n ⇤ (x) cú hê sậ cao nhòt là 1.
Ta ph£n ch˘ng nh˜ sau.
GiÊ s˚ tÁn tĐi a th˘c P(x) b™c n cú h∏ sậ cao nhòt là 1 và thoÊ món max1 x 1|P(x)| < 2 1 n (3.3) Khi ó
Ta có H(x) 6= 0 vì n∏u H(x) ⌘ 0 thìT n ⇤ (x) ⌘ P(x), mâu thu®n vÓi (3.3).
Xét các i∫m luân phiên Chebyshev xk = cosk⇡ n , k = 0,1,2, , n Khi ú, theo Mênh ∑ 2.9 ta cú
= cos(k⇡) = ( 1) k M∞t khác, t¯ (3.4) và xk 2 [ 1; 1] nên ta có
Hàm H(x) là một hàm liên tục trên R và có n giá trị tại các điểm x0, x1, , xn Điều này dẫn đến việc H(x) có n nghiệm, với điều kiện rằng degH ≤ n - 1 và H(x) khác 0 Do đó, với mỗi a thực, H(x) sẽ có những giá trị tương ứng.
P(x) b™c n cú hê sậ cao nhòt băng 1, ta ∑u cú max
Ta s≥ tỡm i∑u kiên ∫ dòu băng xÊy ra.
2 n 1 T˜ẽng tá ta ∞t a th˘c H(x) nh˜ trờn, ta suy ra ˜ềc
Nh˜ v™y, dòu băng xÊy ra khi và chứ khi
• Qua bài toỏn trờn ta nh™n thòy răng mẻt a th˘c b™c n cú hê sậ cao nhòt băng 1 thỡ ẻ lêch cıa nú so vểi 0 trờn [ 1; 1] là khụng v˜Òt quá 1
2 n 1 Nh˙ng i∑u này có vai trò quan trÂng cıa a th˘c Chebyshev T n (x) trong l˛ thuy∏t xòp xứ.
Bài toán trên có thể được phát biểu lại dưới dạng bài toán tối ưu hóa hàm thực như sau: Tìm tất cả các hàm bậc n (n ∈ N*) và có hệ số cao nhất bằng 1, sao cho món max1 ≤ x ≤ 1 |P(x)| = 1.
Ví dˆ 3.6 Xét hai a th˘c sau
2 Khi xét trên o§n [ 1; 1], ta có max1 x 1P(x) = 3
2, khi ó P(x) tho£ mãn (3.1) vÓi n= 2. max1 x 1Q(x) = 1
2 2 1 , khi ó a th˘c Q(x) tho£ mãn (3.2) vÓi Q(x) = T 2 ⇤ (x) = 1
‡nh l˛ 3.7 (xem [3]) [ ‡nh l˛ Chebyshev lo§i 1] Cho a th˘c f(x) 2 R[x], b™c n và cú hê sậ cao nhòt là 2 n 1 Khi ú, f(x) thoÊ món
|f(x)| 1,8x 2 [ 1; 1], khi và chứ khi f(x) là a th˘c Chebyshev b™c n.
Khi ú, dof ⇤ (x) là a th˘c cú hê sậ b™c cao nhòt là 1 nờn theo Bài toỏn 3.4, ta ˜Òc max1 x 1|f ⇤ (x)| 1
1 x 1|f(x)| 1. dòu băng xÊy ra khi và chứ khi 1
Mênh ∑ 3.8 (xem [3]) Cho f(x) = anx n + an 1x n 1 + + a1x + a0 tho£ mãn |f(x)| 1, 8x 2 [ 1; 1], và ∞t f ⇤ (x) = x n f
VÓi Tn(x) là a th˘c Chebyshev lo§i 1 b™c n và
|f ⇤ (x)| 2 n 1 , 8x 2 [ 1; 1] (3.7) Ch˘ng minh T¯ gi£ thi∏t, ta có phép bi∏n Íi sau: x n f
◆, 8x 2 [ 1; 1], x 6= 0,|f(x)| |Tn(x)|, 8x 2 ( 1; 1][[1; +1). a) Ta cản ch˘ng minh: |f(x)| |T n (x)|, 8x 2 ( 1; 1][[1; +1).
∞t các luân i∫m xk = cos k⇡ n vểi k = 0, , n Xột sá hẻi tˆ Lagrange (1.1) cıa f(x) b™c n t§i n+ 1 i∫m xk ta có: f(x) Xn k=0 f(xk) (x x0)(x x1) (x xk 1)(x xk+1) (x xn)
(xk x0)(xk x1) (xk xk 1)(xk xk+1) (xk xn). M∞c khác, do |xk| 1, 8k = 0;n nên k∏t hÒp vÓi gi£ thi∏t ta có:
Ta thòy răng vểi x 1 ho∞c x 1, tòt cÊ cỏc phản t˚ dĐng x xi cú cựng dòu và do x0 > x1 > > xn nờn tớch Y i 6 =k
(xk xi) cựng dòu vểi
M∞t khỏc, t¯ Mênh ∑ 2.9 ta ˜ềc Tn(ak) = ( 1) k Áp dˆng khai tri∫n
Lagrange cho a th˘c Chebyshev b™c n vÓi n+ 1 i∫m luân phiên,
Ta có i∑u ph£i ch˘ng minh. b) ∫ ch˘ng minh (3.7) ta quy v∑ viêc ch˘ng minh bòt ỉng th˘c sau
Ta xột bòt ỉng th˘c
Do a th˘c Chebyshev T n cú b™c n, hê sậ cao nhòt là2 n 1 và theo (2.14) thỡ Tn(x) cú n nghiêm phõn biêt xk = cos(2k + 1)⇡
Nên Tn(x) có th∫ vi∏t d˜Ói d§ng
VÓi mÂi x 6= 0 nh˜ng vì nó là a th˘c nên úng vÓi nÂi x 2 R.
Ta nh™n thòy do cos(⇡ ↵) = cos↵ nờn dóy (x0, x1, , xn 1) là dóy Ëi cıa dãy (xn 1, xn 2, , x0) (hay xn 1 k = xk, 8k = 0;n 1) T¯ ó, ta ˜Òc
T¯ hai ỉng th˘c trờn suy ra:
Nhận xét 3.9 cho thấy rằng nếu |f(x)| ≤ 1, 8x trong khoảng [1; 1], thì việc tìm các điểm làm cho Tn(x) = 1 là rất rõ ràng và dễ dàng Khi đã có n + 1 điểm như vậy, việc đánh giá a thực bậc n trở nên khả thi Sử dụng định lý Lagrange là một phương pháp hoàn toàn tự nhiên trong trường hợp này.
Mênh ∑ 3.10 (xem [7]) Cho x1, x2, , xn vểi n 2 là cỏc sậ thác phõn biêt trong oĐn [ 1; 1] Ch˘ng minh răng:
Chứng minh rằng tổng tất cả các bài trắc nghiệm có thể được xác định bằng cách sử dụng nội suy Lagrange Trong bài này, chúng ta sẽ tập trung vào các số liệu thu thập được từ khoảng [1; 1] và cần phải chứng minh sự so sánh với độ dài 2, từ đó giúp hiểu rõ hơn về việc sử dụng Lagrange và đánh giá hệ số dẫn xuất.
Xột sá nẻi suy Lagrange cıa a th˘c Chebyshev T n 1 (x) b™c n 1 tĐi n i∫m x1, x2, , xn ta có:
(xk x1) (xk xk 1)(xk xk+1) (xk xn). Áng nhòt hê sậ 2 v∏ cıa a th˘c, ta cú:
Tn 1(xk) (xk x1) (xk xk 1)(xk xk+1) (xk xn). Nh˜ng ta ∫ ˛, |Tn 1(x)| 1, 8|x| 1 và xk 2 [ 1; 1], 8k = 1;n nên
|(xk x1) (xk xk 1)(xk xk+1) (xk xn)|
⇤ Mênh ∑ 3.11 (xem [7]) Cho a th˘c P(x) = a 0 x n 1 +a 1 x n 2 + + an 2x+ an 1 b™c n 1 Ch˘ng minh r¨ng:
2n ⇡, k = 1,2, , n là cỏc nghiêm cıa a th˘c Cheby- shev Tn(x).
Ch˘ng minh ∞t wn(x) = (x x1)(x x2) (x xn); k(x) = (x x1) (x xk 1)(x xk+1) (x xn)
(xk x1) (xk xk 1)(xk xk+1) (xk xn). Khi ó w n 0 (x) Xn k=1
V™y khi vi∏t a th˘c P(x) ó cho d˜ểi dĐng nẻi suy Lagrange theo cỏc nỳt nẻi suy xj = cos2j 1
⇤ Nh˜ v™y, nhè vào a th˘c Chebyshev và mẻt sậ tớnh chòt cıa nú, ta giÊi quy∏t ˜ềc mẻt sậ bài toỏn các tr‡ liờn quan ∏n a th˘c.
Mẻt ˘ng dˆng quan trÂng khỏc cıa a th˘c Chebyshev là ch˘ng minh
‡nh l˛ Berstein - Markov (xem [7]) sau ây.
‡nh l˛ 3.12 (Berstein - Markov) (xem [5]) Cho a th˘c
Pn(x) = a0x n + a1x n 1 + +an thoÊ món i∑u kiên |P n (x)| 1, 8x 2 [ 1; 1] Khi ú
∫ ch˘ng minh ‡nh l˛ Berstein - Markov, ta cản s˚ dˆng cỏc bÍ ∑ sau.
Tr˜ểc h∏t ta kớ hiêu Ps(x) là a th˘c cú b™c khụng v˜ềt quỏ s cú dĐng sau
Pn 1(x) =a0x n 1 +a1x n 2 + +an 2x+ an 1 b™c n 1 và tho£ mãn p
|a0| 2 n 1 ỉng th˘c xÊy ra khi và chứ khi P(x) =↵Un 1(x), trong ú |↵| = 1.
Ch˘ng minh Ta vi∏t a th˘c ó cho d˜ểi dĐng nẻi suy Lagrange theo cỏc nỳt nẻi suy xj = cos2j 1
2n ⇡, j = 1,2, , n là cỏc nghiêm cıa a th˘c Chebyshev Tn(x)
. Áng nhòt hê sậ x n 1 hai v∑ ta ˜ềc a0 = 2 n 1 n
|a0| 2 n 1 n n = 2 n 1 ỉng th˘c xÊy ra khi và chứ khi:
2 ⇡ = ( 1) k 1 Nh˜ th∏, theo (2.12) ta cú (1) t˜ẽng ˜ẽng
Do P(x),↵Un 1(x) là nh˙ng a th˘c b™c n 1 nờn (2) t˜ẽng ˜ẽng
BÍ ∑ 3.14 Cho a th˘c P(x) có b™c n 1 và tho£ mãn p1 x 2 |P(xk)| 1, 8x 2 [ 1; 1].
Ch˘ng minh VÓi xk = cos 2k 1
2n ⇡, k = 1,2, , n do hàm sË cosx ngh‡ch bi∏n trong kho£ng (0;⇡) nên ta có
Do xk là nghiêm cıa a th˘c Tn(x) nờn
2 n 1 wn(x) x xk = Tn(x x xk. M∞c khỏc, theo ‡nh nghổa 2.3, ta cú
+ Vểi x 1 < x 1 thỡ x x k > 0 và T n (x) cú dòu khụng Íi nờn t¯ (1), ta có:
Tn(x x x k = 1 n|nUn 1(x)| = |Un 1(x)|. + VÓi xn x x1 thì p
BÍ ∑ 3.15 Cho a th˘c l˜Òng giác
P(t) = a 1 sint+a 2 sin 2t+ +a n sinnt thoÊ món cỏc i∑u kiên
Ch˘ng minh Ta thòy răng P(t) sint = Pn 1(cost) vÓi Pn 1(x) ˜Òc vi∏t d˜Ói d§ng (3.8).
Ta thòy P(x) thoÊ món cỏc i∑u kiên cıa BÍ ∑ 3.14 nờn
BÍ ∑ 3.16 Cho a th˘c l˜Òng giác
(ajcosjx+bjsinjx) thoÊ món cỏc i∑u kiên |P(x)| 1,8x 2 R.
P 0 (x) n,8x 2 R. Ch˘ng minh Cho tr˜Óc x 0 tu˝ ˛ Do cos(x0 x) cos(x0 + x) = 2 sinx0sinx, sin(x0 +x) sin(x0 x) = 2 cosx0sin nên g(x) = P(x0 +x) + P(x0 x)
Ta cản ch˘ng minh |g 0 (0)| n.
Th™t v™y, g(x) là a th˘c l˜ềng giỏc ch˘a thuản sin nh˜ trong BÍ ∑ 3.15 và g(x) = P(x0 +x) +P(x0 x)
2 1, nên, theo BÍ ∑ 3.15, g(x) sinx n,8x 2 R\ { , 2⇡, ⇡,0,⇡,2⇡, } (3.9) M∞t khác, ta g(0) = 0 và g(x) g(0) x 0 x sinx n, nên khi x ! 0, và do g(x) g(0) x 0 ! g 0 (0) , x sinx ! 1, ta nh™n ˜Òc |g 0 (0)| n.
T¯ ó ta có |P 0 (x0)| n Nh˜ng x0 ˜Òc chÂn tu˝ ˛nên suy ra|P 0 (x)| n, vÓi mÂi x 2 R ⇤ Bây giÌ ta ch˘ng minh ‡nh l˛ Berstein - Markov.
Ch˘ng minh ∞t x = cos↵ Khi ó theo gi£ thi∏t thì |Pn(cos↵)| 1. Ngoài ra, P n (cos↵) có d§ng
(aj cosj↵ +bjsinj↵), nên theo BÍ ∑ 3.16, ta có
Theo BÍ ∑ 3.15, ta có P n 0 (x) n n Suy ra
Xòp xứ mẻt hàm sậ bi a th˘c Chebyshev
Một hàm số Chebyshev T_n(x) có thể được biểu diễn tuyến tính qua tổ hợp của các hàm T_0(x), T_1(x), , T_n(x) Điều này cho phép xác định rõ ràng các hệ số của hàm số này Vậy, một hàm bậc n có thể biểu diễn tuyến tính thông qua n+1 hàm Chebyshev hay không?
‡nh ˜ềc hê sậ cıa chỳng khụng? ∫ trÊ lèi cỏc cõu h‰i này, ta cựng tỡm hi∫u k∏t quÊ cıa cỏc mênh ∑ d˜ểi õy.
Mênh ∑ 3.17 (xem [4]) Vểi mÂi a th˘c f(x) b™c n (n 1), ∑u cú th∫ bi∫u diπn d˜Ói d§ng f(x) = a0T0(x) +a1T1(x) +a2T2(x) + +anTn(x) (an 6= 0) (3.10) và cỏch bi∫u diπn này là duy nhòt.
Ch˘ng minh Ta cú T n (x) là a th˘c b™c n cú hê sậ cao nhòt là 2 n 1 nên ta có th∫ vi∏t
T n (x) = 2 n 1 x n +'(x), (vểi '(x) là a th˘c b™c nh‰ hẽn n).
Theo ph˜ẽng phỏp quy nĐp ta cú th∫ thay lản l˜ềt x n băng cỏc a th˘c
Bõy giè ta ch˘ng minh tớnh duy nhòt cıa bi∫u diπn này.
⇤ Bõy giè ta i xỏc ‡nh hê sậ a0, a1, , an.
∫ dπ theo dõi, tr˜Óc h∏t ta xét các tr˜Ìng hÒp sau.
Chúng tôi sẽ giới thiệu về phép biểu diễn Chebyshev cho các số hạng x_n, với n = 1, 2, 3, thông qua các số hạng T_n(x) Phép biểu diễn Chebyshev này cho x_n có thể được thực hiện một cách dễ dàng bằng giải pháp a thức Chebyshev Cụ thể như sau.
Tính toán Chebyshev cho các bậc cao hơn cho phép sử dụng phương pháp bình phương tại điểm thiếu Việc áp dụng các tính chất đặc trưng của hàm Chebyshev giúp cải thiện độ chính xác trong việc xấp xỉ hàm số.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá sự gần đúng của hàm số bằng các đa thức Chebyshev Nếu chúng ta có một hàm số f(x) mà chúng ta muốn xấp xỉ bằng một loạt các đa thức Chebyshev, thì mối quan hệ được thể hiện là f(x) gần bằng 1.
Ta cản xỏc ‡nh cỏc hê sậ cıa ci, i = 0, n.
Ph˜ẽng phỏp õy là ta s≥ nhõn f(x) vểi Tm(x) p1 x 2 và lòy tớch phõn trờn oĐn [ 1; 1], băng cỏch s˚ dˆng tớnh chòt trác giao cıa T n (x) Do ú, ta có
M∞t khỏc, theo Mênh ∑ 2.16, ta cú
Tích phân f(x)T m (x) p1 x 2 dx trong (3.14) đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá tích phân cho các bài toán liên quan Để đảm bảo tính chính xác, việc thực hiện tích phân này cần phải dựa trên các điều kiện nhất định, bao gồm việc sử dụng xấp xỉ Chebyshev cho hàm f(x) Trong một số trường hợp đặc biệt, tích phân này có thể được đánh giá và không phát sinh vấn đề; đặc biệt là khi f(x) = x^n với n khác 0 Do đó, việc xem xét các điều kiện và phương pháp tính toán là cần thiết để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Vớ dˆ 3.18 Tỡm mẻt xòp xứ b™c 3 cho e x băng cỏch s˚ dˆng a th˘c Chebyshev.
GiÊ s˚ ta cú xòp xứ e x ⇡ 1
∞t x = cos✓, ta có dx = sin✓d✓ = p
Trong việc ước lượng tích phân có hàm tuân hoàn, phương pháp chính trong hàm lượng tích phân thường là tật nhọt sử dụng các công thức của phương pháp số như quy tắc trung bình, quy tắc Simpson hoặc quy tắc hình thang Bằng cách sử dụng một trong các phương pháp này, hệ số có thể được ước lượng cho một loạt giá trị và kết quả so sánh Điều này sẽ thiết lập một số thông tin vào đánh giá chính xác của kết quả Do đó, việc sử dụng quy tắc hình thang với bậc-cố sẽ mang lại hiệu quả cao hơn trong việc tính toán.
2(y0 + 2y1 + 2y2 + + 2yn 1 +yn), trong úh là cễb˜ểc T¯ ph˜ẽng trỡnh (3.15), ta tỡm ˜ềc ỏnh giỏ cho c0 nh˜ sau c0 = 2
2 và trong kho£ng (0;⇡) ta có ba i∫m 0,⇡
Do ó chúng ta có y = e cos ✓
2 ⇡ y e 1 e 1 Tích phân này b¨ng quy t≠c hình thang s≥ cho c0 = 2
4 và trên kho£ng(0;⇡)ta có n´m i∫m0, ⇡
Ta có b£ng ˜Óc l˜Òng sau k ◊Óc l˜Òng
Và ta có k∏t lu™n c0 = 2,53213176 ∏n 8 ch˙ sË th™p phân.
Cỏc hê sậ khỏc ˜ềc tớnh toỏn t˜ẽng tá và ta tỡm ˜ềc ( ∏n 8 ch˙ sậ sau dòu th™p phõn). c1 ⇡ 1,13031821 ;c2 ⇡0,27149534 ; c3 ⇡ 0,04433685.
Cho nờn xòp xứ cản tỡm là e x ⇡ 1,26606588ãT 0 (x) + 1,13031821ãT 1 (x) + 0,27149534ãT 2 (x)
Không cản thiệt hại bậc thấp của x cho công thức này mà có thể dựng trác tiếp cho tính toán của xấp xỉ n bằng cách sử dụng hàm Chebyshev T_n(x) Do đó, với x = 0,8, ta có thể tính toán giá trị tương ứng.
Do ó t¯ (3.16), ta có k∏t qu£ (làm tròn ∏n 4 ch˙ sË th™p phân) e 0,8 ⇡ 2,2307.
Giỏ tr‡ ỳng ∏n 4 ch˙ sậ phản th™p phõn là 2,2255.
Ta cú xòp xứ b™c ba Đt ˜ềc băng cỏch s˚dˆng chuẩi Taylor cho e x ∏n sË h§ng th˘ 4 (˘ng vÓi x 3 ), ta ˜Òc e x = 1 +x+ 1
Ta cú sai sậ trong hai xòp xứ nh˜ sau Sai sậ trong xòp xứ Chebyshev là
Sai sË cıa chuÈi Taylor là
So sánh hai kết quả trên, ta thấy sai số trong chuỗi Taylor góp phần 4 của xấp xỉ Chebyshev Tuy nhiên, khi cho giá trị x = 0,2, xấp xỉ chuỗi Taylor (e^0,2 ≈ 1,2213) cho giá trị lớn hơn xấp xỉ Chebyshev (e^0,2 ≈ 1,2172), với giá trị gần đúng của e^0,2 ≈ 1,2214.
Núi chung, hiện nay có nhiều công thức xốp xứ đặc biệt và mới mẻ, mỗi công thức đều mang đến những hương vị và đặc điểm riêng Các công thức khác nhau có thể tạo ra kết quả xốp xứ khác nhau trên các phản ứng khác nhau của nguyên liệu.
3.4 Ÿng dˆng a th˘c Chebyshev vào giÊi cỏc ph˜ẽng trình b™c cao
Việc sử dụng các phương pháp cao cấp của lý thuyết Chebyshev kết hợp với hàm Hyperbolic giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp trong lĩnh vực phân tích Các phương pháp này không chỉ mang lại hiệu quả trong việc suy diễn mà còn tạo ra các giải pháp chính xác cho những bài toán khó khăn.
Mênh ∑ 3.19 GiÊ s˚ cosnt = Pn(cost) vểi Pn(x) là a th˘c b™c n. Theo (2.18), ta có
Mệnh đề ∑ 3.20 cho rằng Giê s˚ sin(2k+ 1)t = P2k+1(sint), trong đó P2k+1(x) là một đa thức bậc 2k + 1 Để hiểu rõ hơn, Q2k+1(x) là một đa thức bậc 2k + 1 sinh bởi P2k+1(x) bằng cách thay thế những hệ số với luỹ thừa chia 4 d˜ 1 và thay những hệ số với luỹ thừa chia 4 d˜ 3 bằng hệ số tương ứng.
◆ Núi riờng, ta cú mẻt sậ hê th˘c liờn quan ∏n hàm Hyperbolic th˜èng ˜Òc s˚ dˆng sau:
T¯ cos 3t = 4 cos 3 t 3 cost, ta ˜Òc
T¯ cos 5t = 16 cos 5 t 20 cos 3 t+ 5 cost, ta ˜Òc
T¯ sin 3t= 3 sint 4 sin 3 t, ta ˜Òc
T¯ sin 5t= 16 sin 5 t 20 sin 3 t+ 5 sint, ta ˜Òc
T¯ nh˙ng ỉng th˘c trờn, ta ỏp dˆng vào giÊi cỏc bài toỏn d˜ểi õy. Bài toỏn 3.21 GiÊi ph˜ẽng trỡnh x 5 + 10x 3 + 20x 18 = 0 (3.19)
◆ , a 6= 0 (có th∫ ∞t ˜Òc do a 1 a là hàm liên tˆc trờn khoÊng ( 1,0) và (0,+1) Áng thèi nú vột h∏t toàn bẻ t™p
T¯ ú, ph˜ẽng trỡnh (3.19) ˜ềc vi∏t lĐi
8 (2) Áp dˆng (3.18) vào ph˜ẽng trỡnh (2) ta ˜ềc
2 Ph˜ẽng trỡnh cú nghiêm duy nhòt x = p
Bài toỏn 3.22 Ch˘ng minh ph˜ẽng trỡnh
16x 5 20x 3 + 5x+ 2 = 0 (3.20) cú nghiêm duy nhòt Tỡm giỏ tr‡ cıa nghiêm ú.
Ta xét 2 tr˜Ìng hÒp sau
TH1: |x| 1 ∞t x = cosa vểi 0 a ⇡, ph˜ẽng trỡnh (3.20) tr thành
Hi∫n nhiờn, ph˜ẽng trỡnh này vụ nghiêm nờn (3.20) vụ nghiêm x vểi
◆ vÓi a 2 R\{0} , áp dˆng (3.17) thì ph˜ẽng trỡnh (3.20) tr thành
M∞t khỏc, ta thòy răng a1a2 = 1 ) x1 = x2 Do v™y (3.20) cú nghiêm duy nhòt là x = 1 2 q5
Bài toỏn 3.23 Cho r là sậ thác d˜ẽng thoÊ món p 6 r + 1 p6 r = 6 Tìm giá tr‡ cıa p 4 r 1 p4 r. Lèi giÊi T¯ ỉng th˘c x 3 + 1 x 3 ✓ x+ 1 x
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết và rõ ràng về các nội dung liên quan đến hàm Chebyshev, bao gồm các ứng dụng của hàm này trong việc giải quyết các bài toán cụ thể Chúng tôi hy vọng rằng những đóng góp chính trong luận văn này sẽ mang lại giá trị thiết thực cho nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực toán học.
Bài viết trình bày chi tiết về hai loại hàm Chebyshev, bao gồm các định nghĩa và tính chất quan trọng của chúng Đồng thời, nó cũng nêu rõ mối liên hệ giữa hai loại hàm này, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ứng dụng và sự khác biệt của chúng trong các lĩnh vực toán học và kỹ thuật.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết về hệ thống và phân loại mẻt sậ ˘ng dˆng của định lý Chebyshev, nhấn mạnh vai trò quan trọng của nó trong việc giải quyết các bài toán thường gặp trong chương trình Toán THPT và lý thuyết xác suất Chúng tôi cũng sẽ giới thiệu nhiều bài toán minh họa và cung cấp lời giải chi tiết để bạn đọc dễ dàng hiểu và áp dụng.
Mặc dù nhóm chúng tôi đã cố gắng và nỗ lực trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thiện dự án, nhưng do điều kiện thời gian, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận được sự thông cảm, những nhận xét, góp ý chân thành từ các bạn để dự án có thể hoàn thiện hơn nữa.
