ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH TÂM SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ HÀM SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn TS TÔN THẤT TÚ Đà Nẵng – 2021 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KIẾN THỨC TOÁN CƠ BẢN VỀ VẤN ĐỀ HÀM SỐ 1.1.1 Giới hạn hàm số : Định nghĩa 1.1.2 Đạo hàm, tích phân 1.1.3 Tích phân xác định 1.1.4 Tính lồi lõm điểm uốn đồ thị 10 1.1.5 Định lý Lagrange 11 1.1.6 Khai triển Taylor 11 1.2 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MAPLE 12 1.2.1 Mở đầu 12 1.2.2 Dữ liệu Maple 13 1.2.3 Hàm số đồ thị 15 1.2.4 Giới hạn – Liên tục 23 1.2.5 Đạo hàm 24 1.2.6 Tích phân 26 ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 28 2.1 Giới hạn hàm số 28 2.1.1 Giới thiệu lệnh 28 2.1.2 Ví dụ 28 2.2 Minh họa tính lồi lõm hàm số 30 2.2.1 Giới thiệu lệnh 30 2.2.2 Ví dụ 31 2.3 Định lý Lagrange 32 2.3.1 Giới thiệu lệnh 32 2.3.2 Ví dụ 33 2.4 Minh họa hình học tích phân xác định 34 2.4.1 Giới thiệu lệnh 34 2.4.2 Ví dụ: Vẽ hình ảnh minh họa tích phân xác định hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 đoạn [1,4] với số phân hoạch khác phân tích kết 35 2.5 Khai triển Taylor 38 2.5.1 Giới thiệu lệnh 38 2.5.2 Ví dụ 39 KẾT LUẬN 41 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ” kết trình làm việc nghiêm túc nỗ lực thân, giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ thầy cô, bạn bè người thân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người giúp đỡ em thời gian học tập - nghiên cứu vừa qua Em xin trân trọng gửi đến thầy Tơn Thất Tú, người trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho khóa luận lời cảm ơn chân thành sâu sắc Em xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm, quý thầy cô khoa Toán cho em nhiều kiến thức bổ ích suốt năm học tạo điều kiện giúp em hồn thành tốt khóa luận Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè bên cạnh, ủng hộ động viên Vì thời gian kiến thức cịn hạn chế nên thân dã cố gắng khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ thầy, bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Thanh Tâm MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phần mềm Maple công cụ hỗ trợ việc dạy học mơn Tốn thơng qua minh họa với chất lượng cao, giảm bớt thời gian làm công việc thủ cơng, dễ nhầm lẫn, … để có điều kiện sâu vào vấn đề chất giảng Hơn thế, cho thấy rõ ưu việt phương pháp tốn học bản, góp phần định hướng việc dạy học vào chủ đề giải tích Rõ ràng khơng có phương pháp giúp ta vẽ loại kỹ thuật “khảo sát hàm số” khơng thể góp phần cải thiện tình Một giải pháp cho tình khó khăn sử dụng phần mềm máy tính hỗ trợ, “phần mềm Maple” Tuy nhiên, điều khơng có nghĩa phần dạy kỹ thuật khảo sát vẽ đồ thị hàm số chương trình phổ thơng khơng có ý nghĩa, ngược lại cần thiết Và việc giảng dạy giáo viên vô quan trọng, giáo án giáo viên cần hỗ trợ Công nghệ thông tin để học hoàn thiện Việc làm giúp học có hiệu cao giải nhanh chóng khó khăn khảo sát hàm số toán liên quan Maple phần mềm Tốn học chun dụng có khả hỗ trợ cho dạy học toán Ta thấy phần mềm Maple chương trình tính tốn vạn năng, đề cập đến hầu hết lĩnh vực toán học Thế mạnh phần mềm chỗ mơn sử dụng làm phương tiện giảng dạy học tập Đặc biệt đại số, số học, giải tích, … Maple có đầy đủ công cụ để giảng dạy học tập Như phần mềm giáo viên khơng phép thụ động vào có sẵn, mà phải chủ động phát huy tối đa khả sáng tạo Cái khó khơng phải chỗ giải tập tốn, mà chỗ giảng cho học sinh hiểu chất khái niệm phương pháp tư duy, suy luận chúng mang lại Thiết kế giảng hỗ trợ phần mềm Maple phương pháp dạy học hiệu nâng cao chất lượng dạy học thầy trò chương trình THPT Vì vậy, tơi chọn đề tài: “Sử dụng Maple để minh họa trực quan số toán hàm số” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Sử dụng Maple để minh họa trực quan số toán hàm số” nhằm mục đích góp phần thực chủ trương ứng dụng cơng nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Phân tích kĩ số vấn đề liên quan đến hàm số ứng dụng Maple để minh họa trực quan vấn đề Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm Maple nội dung dạy học hàm số trường trung học phổ thông - Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận tập trung nghiên cứu sử dụng phần mềm Maple việc minh họa trực quan số toán hàm số Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến Maple vấn đề liên quan đến hàm số - Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào khóa luận - Quan sát, điều tra tìm hiểu việc dạy học nội dung hàm số trường phổ thông - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Sản phẩm khoa học: Khóa luận hệ thống vấn đề liên quan đến hàm số sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ minh họa trực quan vấn đề - Sản phẩm thực tiễn: Tạo điều kiện cho việc dạy học tốt hơn, đạt kết cao Cấu trúc khóa luận: Ngồi phần mở đầu kết luận, khóa luận chia thành hai chương: Chương 1: Các kiến thức sở Chương trình bày về: - Định nghĩa, tích chất, định lý số vấn đề liên quan đến hàm số - Cách sử dụng Maple, câu lệnh toán tử, hàm, hằng, phép toán hàm dùng để minh họa trực quan vấn đề liên quan đến hàm số Chương 2: Ứng dụng Maple để minh họa trực quan số tốn hàm số Chương trình bày số ứng dụng phần mềm Maple để minh họa trực quan số toán hàm số CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KIẾN THỨC TOÁN CƠ BẢN VỀ VẤN ĐỀ HÀM SỐ 1.1.1 Giới hạn hàm số : Định nghĩa Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói hàm số f(x) xác định K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn L x dần tới x0 với dãy số (xn ) bất kì, xn  K \{x0 } xn  x0 , ta có: f(xn )  L Ta kí hiệu : lim f(x)  L hay f(x)  L x  x0 x  x0 Giới hạn bên  Cho hàm số y  f(x) xác định (x0 ; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y  f(x) x dần tới x0 với dãy (xn ) : x0  xn  b mà xn  x0 ta có: f(xn )  L Kí hiệu: lim f(x)  L xx0  Cho hàm số y  f(x) xác định (a; x0 ) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y  f(x) x dần tới x0 với dãy (xn ) : a  xn  x0 mà xn  x0 ta có: f(xn )  L Kí hiệu: lim f(x)  L xx0 Chú ý: lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L x  x0 x x x  x Giới hạn vô cực  Ta nói hàm số y  f(x) xác định (a; ) có giới hạn L x   với dãy số (xn ) : xn  a xn   f(xn )  L Kí hiệu: lim f(x)  L x   Ta nói hàm số y  f(x) xác định ( ; b) có giới hạn L x   với dãy số (xn ) : xn  b xn   f(xn )  L Kí hiệu: lim f(x)  L x  Giới hạn vô cực  Ta nói hàm số y  f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực x dần tới x0 với dãy số (xn ) : xn  x0 f(xn )   Kí hiệu: lim f(x)   x  x0  Tương tự ta có định nghĩa giới hạn dần âm vơ cực Ta có định nghĩa ta thay x0   1.1.2 Đạo hàm, tích phân Đạo hàm a) Các cơng thức: * (C ) '  0; ( x) '  * (x n ) '  n.x n 1 x * (sin x)'= cos x u' , (u>0) u => (sin u )'= u '.cos u * (cos x)'=  sin x => (cos u )'=  u '.sin u cos x * (cot x) '   sin x u' cos u u' => (cot u ) '   sin u * ( x)'  => (u n ) '  n.u n 1.u ', ( n  N ,  2) , (x>0) => ( u ) '  * ( tan x) '  => ( tan u ) '  b) Các phép toán đạo hàm: Cho hai hàm số y  u ( x ), y  v( x) , C số Khi đó: * (u  v ) '  u ' v ' * (u.v) '  u '.v  v '.u => (C.u ) '  C.u ' u u '.v  v '.u * ( )'  , (v  0) v v2 * Cho y  f (u ), u  u ( x) C C.u ' => ( ) '   u u => y ' x  y 'u u ' x c) Đạo hàm bậc cao hàm số: Đạo hàm bậc n hàm số y=f(x) đạo hàm bậc đạo hàm bậc n-1 hàm số y=f(x) (n>1) Tích phân a) Các tính chất nguyên hàm Định lí Nếu F nguyên hàm hàm f K nguyên hàm f K có dạng F  x   C, C   Do F  x   C gọi họ nguyên hàm hàm f K kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C Định lí Mọi hàm số liên tục K có ngun hàm K Định lí Nếu f,g hai hàm liên tục K thì:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx   k.f  x  dx  k f  x  dx với số thực k  Định lí Nếu  f  x  dx  F  x   C  f  u  x  u'  x  dx   f  u  x  d  u  x    F  u  x   C b) Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp  1 x C  1    1  x    e  x  a dx    sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C  dx   ax C ln a dx  cos2 x  tan x  C   sin x   cot x  C 1   cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C a dx  e x  C  dx  ax  b  a ln ax  b  C   sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C a dx  ln x  C x x Nguyên hàm mở rộng dx dx   cos2 ax  b   a tan  ax  b   C   sin2  ax  b    a cot  ax  b   C    dx dx ax  b e ax  b  ax  b  C a dx  eax  b  C a c) Các tính chất tích phân a   f  x  dx   a a b b a   f  x  dx    f  x  dx b  a b b a a a  f  x  g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx b c b a a c   f  x dx   f  x dx   f  x  dx b  k.f  x  dx  k. f  x  dx b  Nếu f  x   g  x  a x  a; b  b b a a  f  x  dx   g  x  dx 1.1.3 Tích phân xác định Bài tốn diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục, khơng âm đoạn [a,b] Xét hình thang cong AabB hình giới hạn đồ thị hàm số f (x) (trên [a,b]), đường thẳng x= a, x = b trục hoành y B A Pi-1 Pi a x1 xi-1 xi b x Với quan điểm giải tích, ta định nghĩa diện tích S hình thang cong AabB Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ điểm chia x0 , x1 , x2 , xn −1 , xn chọn tùy ý cho x0 ≡ a < x1 < x2 < xi −1 < xi < < xn−1 < xn ≡ b Đặt Δxi = x i – xi −1 (i = 1,2, ,n) Từ điểm chia xi (i = 1,2, ,n) ta dựng đường thẳng x = xi , ta chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ Pi−1 xi−1 xi Pi (i=1, 2, ,n) Chọn điểm ξi ∈[ xi −1 , xi ] Thay hình cong nhỏ Pi−1 xi−1 xi Pi hình chữ nhật có đáy chiều cao f (ξi ) Diện tích hình chữ nhật là: f (ξ1 ) Δ x1, f (ξ 2) Δ x2, , f (ξ n ) Δ xn Hiển nhiên tổng diện tích n hình chữ nhật biểu diễn gần diện tích cần tìm S hình thang cong AabB cho Nói cách khác, ta viết: n S ~  f (i )xi i 1 Ta nhận thấy số đoạn chia nhiều cho độ lớn đọan chia nhỏ tổng  f (i )xi gần giá trị S i 1 Từ ta nói chuyển giới hạn n→ ∞ cho Δxi → (i = 1, n ) giá trị giới hạn tổng n  f ( )x i 1 i i diện tích cần tìm S hình thang cong cho: S  lim n max xi   f ( )x i 1 i i Định nghĩa tích phân xác định Giả sử hàm số f ( x) xác định bị chặn [a, b] Chia [ a, b] thành n khoảng nhỏ [ xi , xi +1 ] phân hoạch a = x0 < x1 < < xn = b Trong đoạn [ xi , xi +1 ] ta chọn điểm ξ i ∈ [ xi , xi+1 ] thành lập biểu thức: n 1 S n   f ( i )xi với xi  xi 1  xi i 0 ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 2.1 Giới hạn hàm số 2.1.1 Giới thiệu lệnh plot(f, x) plot(f, x=x0 x1) plot(v1, v2) Trong đó: o o o o f: biểu thức biến độc lập x x: biến độc lập x0, x1: điểm cuối bên trái bên phải phạm vi ngang v1, v2: tọa độ x tọa độ y 2.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Nghiên cứu tồn giới hạn hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = hình ảnh trực quan > bt:=sin(x)/x: > p1:=plot(bt,x=-1 0,style=point,numpoints=30); p2:=plot(bt,x=0 1,style=point,numpoints=30); plots[display](p1,p2); 28 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒙 𝐱 → 𝟎 Hình minh họa đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ( ) đoạn [-1,1] Ta thấy x tiến dần từ −1 → đồ thị f(x) hội tụ điểm (0,1) Tương tự x tiến dần từ → đồ thị f(x) hội tụ điểm (0,1) Điều chứng tỏ hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ( ) có giới hạn 𝑥 → Ví dụ 2: Hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏(𝒙) |𝒙| có tồn giới hạn 𝒙 → 𝟎 hay khơng? > bt:=sin(x)/abs(x): > p1:=plot(bt,x=-1 0,style=point,numpoints=30); p2:=plot(bt,x=0 1,style=point,numpoints=30); plots[display](p1,p2); Hình minh họa đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝒔𝒊𝒏(𝒙) |𝒙| đoạn [-1,1] Ta thấy x tiến dần từ −1 → đồ thị f(x) hội tụ điểm (0,-1) Nhưng x tiến dần từ → đồ thị f(x) lại hội tụ điểm (0,1) Qua ta kết luận hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ( ) | | có tồn giới hạn trái, giới hạn phải, không tồn giới hạn 𝑥 → Ví dụ 3: Hãy hàm số 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 không tồn giới hạn 𝒙 → + ∞ > VC:=20000: f:=unapply(sin(x),x): day_x:=[seq(50+i*50,i=0 (VC-50)/50)]: day_y:=[seq(f(50+i*50),i=0 (VC-50)/50)]: 29 > with(plots): > pointplot([seq([day_x[k],day_y[k]],k=1 (VC-50)/50+1)]); Hình minh họa đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 đoạn [0,+∞] (ở ta lấy giá trị 20000 đại diện cho +∞) Ta thấy điểm chạy hỗn loạn, không theo xu hướng cả, chứng tỏ dãy hội tụ giới hạn riêng khác Ta suy hàm số 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 không tồn giới hạn 𝑥 → +∞ 2.2 Minh họa tính lồi lõm hàm số 2.2.1 Giới thiệu lệnh Ta sử dụng lệnh FunctionChart gói Student[Calculus1] có cấu trúc sau: FunctionChart(f(x), x, opts) FunctionChart(f(x), x = a b, opts) FunctionChart(f(x), a b, opts) Trong đó: o o o o f(x): biểu thức đại số biến ‘x’ x : tên, định biến độc lập a,b : biểu thức đại số, phạm vi đồ thị Opts: Các tùy chọn, là: mũi tên, bề lõm, số, … 30 2.2.2 Ví dụ Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 khoảng (−𝟐𝝅, 𝟐𝝅) Hãy đánh dấu phần đồ thị lồi lõm > with(Student[Calculus1]): > FunctionChart(sin(x),x=-2*Pi 2*Pi); Trên đồ thị hàm số y=sinx khoảng (−2𝜋, 2𝜋) Bề lõm biểu thị dấu mũi tên phân biệt màu sắc, ta thấy đồ thị có bề lõm hướng xuống khoảng (−2𝜋, −𝜋) (0, 𝜋) (phần đồ thị tơ màu tím có mũi tên hướng xuống) ; đồ thị có bề lõm hướng lên khoảng (−𝜋, 0) (𝜋, 2𝜋) (phần đồ thị tơ màu xanh có mũi tên hướng lên) Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 Chỉ khoảng mà hàm số đơn điệu với điểm cực trị đồ thị hàm số > with(Student[Calculus1]): > FunctionChart(x^4-2*x^2+2,view=[-3 3,0 4], slope=[thickness(3,1),linestyle(solid,dash),color(red,black)],c oncavity=[],pointoptions=[symbolsize=20]); 31 Trên đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + Nhìn vào đồ thị ta nhận thấy biến thiên hàm số; khoảng (−∞, −1) (0,1) đồ thị biểu diễn nét gạch ngang màu đen, khoảng nghịch biến hàm số Tương tự khoảng (−1,0) (1, +∞) đồ thị biểu diễn nét liền màu đỏ, khoảng đồng biến hàm số Có hình ảnh đặc biệt hình trên, biểu tượng màu xanh lá, chúng biểu thị điểm đặc biệt đồ thị Ta thấy biểu tượng hình thoi biểu thị điểm cực trị, hàm số đạt cực trị (−1,1), (0,2) (1,1) Các điểm uốn biểu thị dấu cộng, đồ thị hàm số có điểm uốn − √ , √ , 2.3 Định lý Lagrange 2.3.1 Giới thiệu lệnh Ta sử dụng lệnh MeanValueTheorem gói Student[Calculus1] có cấu trúc sau: MeanValueTheorem(f(x), x = a b, opts) MeanValueTheorem(f(x), a b, opts) Trong đó: o f(x): biểu thức đại số biến ‘x’ o x: tên, định biến độc lập o a, b: biểu thức đại số; định điểm cuối đường cong 32 o opts: Các tùy chọn, chức : phân tuyến, số, đường biểu diễn, tùy chọn đồ thị 2.3.2 Ví dụ Ví dụ 1: Vẽ đồ thị minh họa định lý Lagrange hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙 đoạn [𝟎, 𝟐] > with(Student[Calculus1]): > MeanValueTheorem(x^3-x,0 2); > MeanValueTheorem(x^3-x,0 2,output=points); Ví dụ 2: Vẽ đồ thị minh họa định lý Lagrange hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 +1 đoạn [−𝟐, 𝟑] > with(Student[Calculus1]): > MeanValueTheorem(x^3-2*x^2+1,-2 3); 33 > MeanValueTheorem(x^3-2*x^2+1,-2 3,output=points); Ví dụ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 liên tục đoạn [0,2] hàm số có đạo hàm khoảng (0,2) Dựa vào đồ thị ta có A1(0,0); B1(2,6), tồn điểm C1 ( √ , √ ) mà tiếp tuyến đồ thị hàm số C1 song song với đường thẳng A1B1 Ví dụ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝑥 − 2𝑥 +1 liên tục đoạn [-2,3] hàm số có đạo hàm khoảng (-2,3) Ta có A2 (-2,-15); B2(3,10), nhìn vào hình ảnh ta thấy trường hợp có điểm C2( √ , √ ) C3( √ , √ ) mà tiếp tuyến đồ thị C2 C3 song song với đường thẳng A2B2 2.4 Minh họa hình học tích phân xác định 2.4.1 Giới thiệu lệnh Ta sử dụng lệnh ApproximateInt gói Student[Calculus1] có cấu trúc sau: ApproximateInt(f(x), x = a b, opts) ApproximateInt(f(x), a b, opts) ApproximateInt(Int(f(x), x = a b), opts) 34 Trong đó: o f(x): biểu thức đại số biến 'x' o x: tên, định biến độc lập o a, b: biểu thức đại số; định điểm cuối đường cong o opts: tùy chọn, là: đường viền, đầu ra, phân vùng, vùng hiển thị, tùy chọn đồ thị, … 𝟏 2.4.2 Ví dụ: Vẽ hình ảnh minh họa tích phân xác định hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙 đoạn [1,4] với số phân hoạch khác phân tích kết Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = xác định, liên tục, không âm đoạn [1,4] Xét hình thang cong AabB (a=1, b=4) hình giới hạn đồ thị hàm số f (x) (trên [1,4]), đường thẳng x= 1, x = trục hoành Hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 xác định bị chặn [1,4] Ta chia [1,4] thành n khoảng nhỏ [ xi , xi +1 ] phân hoạch = x0 < x1 < < xn = Trong đoạn [ xi , n 1 xi+1 ] ta chọn điểm ξ i ∈ [ xi , xi+1 ] thành lập biểu thức S n   f ( i )xi với i 0 xi  xi 1  xi Biểu thức Sn gọi tổng tích phân Diện tích xác hình thang cong tích phân xác định hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = [1,4] : S dx  ln    1, 38629 x 35 Bây giờ, ta tính tổng tích phân hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) = đoạn [1,4] cách sau: Cách 1: Với n=10, lấy ξ i = xi > with(Student[Calculus1]): > ApproximateInt(1/x, x = 4, method=left,boxoptions = [filled = [color = pink, transparency = 0.5]],output = plot); > evalf(ApproximateInt(1/x, x = 4, method=left,boxoptions = [filled = [color = pink, transparency = 0.5]],output = value)); Cách 2: Với n=10, lấy ξ i = xi+1 > with(Student[Calculus1]: >ApproximateInt(1/x,x=1 4,method=right,boxoptions=[filled=[col or=pink,transparency=0.5]],caption="",output=plot); 36 > evalf(ApproximateInt(1/x, x = 4, method=right,boxoptions = [filled = [color = pink, transparency = 0.5]],output = value)); Cách 3: Với n=10, lấy  i  xi  xi 1 > with(Student[Calculus1]: >ApproximateInt(1/x,x=1 4,method=midpoint,boxoptions=[filled=[ color=pink,transparency=0.5]],caption="",output=plot); 37 > evalf(ApproximateInt(1/x, x = 4, method=midpoint,boxoptions = [filled = [color = pink, transparency = 0.5]],output = value)); Ở cách trên, ta cho n=10 Bây ta thay đổi giá trị n tổng tích phân S n thay đổi theo cách nào? Ta có bảng sau, với diện tích xác hình thang cong S  ln    1, 38629 , độ chênh lệch ∆ = 𝑆 − 𝑆 Cách (ξ i = x i ) n=10 S10=1,50576 ∆ = -0,11947 n=30 S30=1,42457 ∆ =-0,03828 n=50 S50=1,40908 ∆ =-0,02279 n=100 S100=1,39762 ∆ = -0,01133 Cách (ξ i = xi+1 ) S10=1,28076 ∆ =0,10553 S30= 1,34957 ∆ =0,03672 S50= 1,36408 ∆ =0,02221 S100= 1,37512 ∆ =0,01117 Cách S10=1,38284 ∆ =0,00345 S30=1,38590 ∆ =0,00039 S50=1,38616 ∆ =0,00013 S100=1,38626 ∆ =0,00003 ( i  xi  xi 1 ) Qua bảng số liệu trên, phân tích bảng theo chiều ngang, ta thấy cách, n lớn |∆ | nhỏ, 𝑆 tiến dần tới S Điều cho ta thấy tích phân xác định khơng phụ thuộc vào cách chọn ξ i, số phân hoạch tăng lên cách tính cho ta kết tiến giá trị S Phân tích bảng theo chiều dọc, ứng với giá trị n, ta thấy cách cho ta kết |∆ | có giá trị nhỏ nhất, điều chứng tỏ ta chọn  i  xi  xi 1 kết 𝑆 gần với giá trị S hơn, suy cách cách tốt Và điều đặc biệt số phân hoạch tăng (n lớn) tổng 𝑆 gần giá trị S 2.5 Khai triển Taylor 2.5.1 Giới thiệu lệnh series(expr, eqn) series(expr, eqn, n) Trong đó: o expr: biểu thức o eqn: phương trình (chẳng hạn x = a) tên (chẳng hạn x) o n: (tùy chọn) số nguyên không âm, định "thứ tự cắt ngắn" phép tính chuỗi 38 2.5.2 Ví dụ Ví dụ 1: Khai triển Taylor hàm số 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒙 = 𝟎 đến cấp 𝐧 = 𝟓 lân cận x0=0 > phanchinh:=convert(series(sin(x),x=0,5),polynom); > plot([sin(x),phanchinh],x=-4 4,legend=["Đồ thị gốc","Phần khai triển"]); Ví dụ 2: Khai triển Taylor hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒙 = 𝟎 đến cấp 𝐧 = 𝟏𝟎 lân cận x0=0 > phanchinh:=convert(series(sin(x),x=0,10),polynom); > plot([sin(x),phanchinh],x=-4 4,legend=["Đồ khai triển"]); 39 thị gốc","Phần Ví dụ ta minh họa khai triển Taylor hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) cấp n=5 lân cận x0=0 đoạn [-4,4], phần khai triển trường hợp 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥 , nhìn vào đồ thị ta thấy đoạn [-1,1] phần đồ thị hàm số 𝑓 (𝑥) dường trùng với phần đồ thị hàm số 𝑓 (𝑥), phần đoạn [-1,1] đồ thị hàm số tách rời khỏi Ví dụ minh họa khai triển Taylor hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) cấp n=10 lân cận x0=0 đoạn [-4,4], phần khai triển trường hợp 𝑓 (𝑥) = 𝑥− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 , trường hợp đoạn [-4,4] ta thấy đồ thị hàm số 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) gần trùng Điều chứng tỏ cấp khai triển ảnh hưởng đến giá trị phần chính, cấp khai triển tăng lên giá trị phần gần với giá trị xác hàm số 40 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, tơi thực cơng việc sau đây: Hệ thống lại lý thuyết số vấn đề liên quan đến hàm số Giới thiệu cách sử dụng Maple, câu lệnh toán tử, hàm, hằng, phép toán hàm dùng để minh họa trực quan vấn đề liên quan đến hàm số Nghiên cứu số ứng dụng phần mềm Maple để minh họa trực quan toán liên quan đến hàm số Mặc dù cố gắng thời gian khả có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy cơ, bạn để khóa luận ngày hoàn chỉnh 41 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trịnh Thanh Hải, Giáo trình “Sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học toán”, Đại học Sư phạm Thái Nguyên, 2005 [2] Phạm Duy Hiển, Tính tốn, lập trình giảng dạy Maple, NXB KH&KT, 2002 [3] Lê Văn Trực, Giải tích tốn học tập 1, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2007, Hà Nội [4] https://www.maplesoft.com/applications/Category.aspx?cid=156 [5] Nguyễn Chánh Tú, Ứng dụng Maple đổi phương pháp học tập giảng dạy Toán, Kỷ yếu hội thảo khoa học, ĐH Sư phạm Huế, 4/2004 [6] Corless R M., Essential Maple 7, An Introduction for Scientific Programmers, Springer, 2002 42 ... Ứng dụng Maple để minh họa trực quan số tốn hàm số Chương trình bày số ứng dụng phần mềm Maple để minh họa trực quan số toán hàm số CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KIẾN THỨC TOÁN CƠ BẢN VỀ VẤN ĐỀ HÀM SỐ... tài: ? ?Sử dụng Maple để minh họa trực quan số toán hàm số? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: ? ?Sử dụng Maple để minh họa trực quan số tốn hàm số? ?? nhằm mục đích góp phần thực chủ trương ứng dụng. .. thuyết số vấn đề liên quan đến hàm số Giới thiệu cách sử dụng Maple, câu lệnh toán tử, hàm, hằng, phép toán hàm dùng để minh họa trực quan vấn đề liên quan đến hàm số Nghiên cứu số ứng dụng phần