Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp thpt

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5 1.1 Những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động và hoạt động dạy học

Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, mỗi nội dung dạy học đều gắn liền với những hoạt động cụ thể đã diễn ra trong quá trình hình thành và áp dụng nội dung đó Việc phát hiện các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung giúp xác định con đường truyền đạt hiệu quả và đạt được các mục tiêu dạy học, đồng thời làm rõ mục đích và phương pháp kiểm tra việc thực hiện Ông nhấn mạnh rằng các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động đóng vai trò quan trọng trong quá trình này.

1.1.1.1 Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học a) Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Một hoạt động được coi là tương thích với nội dung khi nó giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Việc nhận diện các hoạt động tương thích phụ thuộc vào hiểu biết về các phương pháp tiếp cận khác nhau để lĩnh hội nội dung, như khái niệm, định lý hay phương pháp Các con đường tiếp cận này có thể bao gồm quy nạp, suy diễn để xây dựng khái niệm, hoặc sử dụng suy diễn thuần túy và suy đoán để học tập định lý.

Chẳng hạn, khi ta dạy định nghĩa đạo hàm cho học sinh lớp 11 thì hoạt động tìm giới hạn

0)sẽ là tương thích hơn hoạt động tìm giới hạn lim ( )

Trong quá trình phát hiện các hoạt động phù hợp với nội dung, cần chú ý đến sự đa dạng của các dạng hoạt động trên nhiều khía cạnh khác nhau Đặc biệt, cần tập trung vào những dạng hoạt động sau đây:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Những hoạt động toán học phức hợp;

+ Những hoạt động ngôn ngữ;

+ Những hoạt động trí tuệ chung;

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học b) Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần

Trong quá trình hoạt động, một hoạt động có thể trở thành thành phần của hoạt động khác Việc phân tách một hoạt động thành các hoạt động thành phần giúp hiểu rõ cách tiến hành toàn bộ, từ đó vừa rèn luyện cho học sinh các hoạt động toàn diện, vừa chú ý đến việc luyện tập những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết.

Ví dụ 1.1 Đối với bài toán sau:

Hoạt động 2: Tìm các giá trị của x để y‟ > 0

Rõ ràng hoạt động 1 là một thành phần của hoạt động 2 c) Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung thường chứa đựng nhiều hoạt động, nhưng khuyến khích tất cả có thể dẫn đến tình trạng rối ren cho học sinh Để khắc phục, cần sàng lọc các hoạt động để tập trung vào những mục tiêu quan trọng, đảm bảo việc thực hiện các mục đích còn lại hiệu quả hơn Tập trung vào các hoạt động Toán học là một giải pháp cần thiết.

Khi lựa chọn hoạt động dạy học, cần hiểu rõ chức năng phương tiện và chức năng mục đích, cũng như mối liên hệ giữa chúng Trong môn Toán, nhiều hoạt động được sử dụng chủ yếu như phương tiện để đạt được các yêu cầu về kiến thức và kỹ năng Do đó, cần phối hợp hai chức năng này theo công thức: “Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện” (Faust).

Để giảng dạy một định lý hoặc giải quyết một bài toán, chúng ta cần xem xét các trường hợp cụ thể, hình vẽ và mô hình, đồng thời thực hiện quan sát và nhận xét Tuy nhiên, điều quan trọng là phải chú ý đến chức năng toán học như chứng minh, phương pháp giải toán, và khả năng nhận dạng cũng như thể hiện các khái niệm toán học.

1.1.1.2 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

Học tập tự giác và tích cực yêu cầu học sinh phải nhận thức rõ mục tiêu và tạo động lực nội tại để đạt được chúng Để thực hiện điều này trong quá trình dạy học, không chỉ cần nêu rõ mục đích mà còn phải kích thích động cơ cho học sinh.

Gợi động cơ không chỉ là một hành động ngắn hạn khi bắt đầu giảng dạy một tri thức mới, mà cần phải duy trì liên tục trong suốt quá trình dạy học Do đó, có thể phân loại các phương pháp gợi động cơ thành nhiều hình thức khác nhau, trong đó có gợi động cơ mở đầu cho hoạt động học tập.

(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế

Khi dạy bài “Cực trị của hàm số” trong SGK Giải tích 12, sau khi học sinh nắm vững quy tắc tìm cực trị theo đạo hàm cấp 1 (Quy tắc 1), giáo viên có thể dẫn dắt học sinh sang quy tắc tìm cực trị theo đạo hàm cấp 2 (Quy tắc 2) bằng cách gợi ý tìm các điểm cực trị của các hàm số như a y = x³ – 3x và b y = 2cosx - x Hoạt động này giúp học sinh nhận thức rõ hơn về việc áp dụng các quy tắc để xác định cực trị của hàm số.

Trong trường hợp a, học sinh có thể dễ dàng xác định các điểm cực trị bằng Quy tắc 1 Tuy nhiên, khi xét dấu y', học sinh sẽ gặp khó khăn Để giải quyết vấn đề này, cần xây dựng thêm Quy tắc 2.

(ii) Hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc

Ví dụ nhƣ lập quy trình khảo sát hàm số sau đó chuyển giao quy trình này cho máy tính

(iii) Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống hoá

Ở cấp 2, chúng ta chỉ xét hàm số bậc hai có dạng y = ax² (với a ≠ 0) Một câu hỏi quan trọng là liệu có thể suy ra chiều biến thiên và đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) từ đồ thị của hàm số y = ax² hay không.

(iv) Lật ngược vấn đề

Sau khi chứng minh được một định lý, ta thường đặt câu hỏi là liệu mệnh đề đảo của định lý đó có đúng không?

Chẳng hạn, sau khi học định lí về sự biến thiên của hàm số, một câu hỏi đặt ra là có định lí này hay không ?

Ví dụ 1.3 Đối với đồ thị hàm số y = ax 2 + b( a  0 ) điểm O(0;0) có một vai trò rất “đặc biệt”

Tương tự đồ thị y = ax 2 +b( a  0 ), hãy tìm điểm “đặc biệt” của đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c ( a  0 )

Khi nghiên cứu các điểm cực trị của hàm số đa thức bậc 2, bậc 3 và bậc 4, giáo viên có thể yêu cầu học sinh rút ra kết luận về số lượng điểm cực trị mà hàm số có thể có Đồng thời, học sinh cũng cần nêu rõ các điều kiện cần thiết để xảy ra các trường hợp này.

(viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc đại lượng nào đó

Ví dụ 1.5 Để gợi động cơ cho việc học về tịnh tiến đồ thị, trước tiên ta cho học sinh thực hiện hoạt động sau:

Khi tịnh tiến điểm M(x; y) theo thứ tự lên trên, xuống dưới, sang phải và sang trái 3 đơn vị, tọa độ của các điểm M1, M2, M3 và M4 sẽ được xác định như sau: Điểm M1 có tọa độ (x, y + 3), điểm M2 có tọa độ (x, y - 3), điểm M3 có tọa độ (x + 3, y) và điểm M4 có tọa độ (x - 3, y).

Quá trình dạy học

Quá trình dạy học môn khoa học cụ thể là sự tương tác biện chứng giữa giáo viên, học sinh và tư liệu dạy học Trong đó, giáo viên và học sinh hoạt động cùng nhau để tiếp thu tri thức một cách hiệu quả.

* Tương tác giữa giáo viên với học sinh

Tương tác trực tiếp giữa giáo viên và học sinh đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng hoạt động học tập Qua sự tương tác này, giáo viên nhận được thông tin phản hồi từ học sinh về tài liệu dạy học, giúp cải thiện và điều chỉnh phương pháp giảng dạy một cách hiệu quả.

* Tương tác giữa học sinh và tư liệu dạy học:

Hành động của học sinh đối với tài liệu dạy học thể hiện sự thích ứng với tình huống học tập, đồng thời là quá trình chiếm lĩnh và xây dựng tri thức cá nhân.

* Tương tác giữa giáo viên với tư liệu hoạt động dạy học:

Hành động của giáo viên trong việc tổ chức và cung cấp tài liệu dạy học đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra tình huống học tập cho học sinh Tương tác trực tiếp giữa học sinh và giáo viên, cũng như giữa các học sinh với nhau, tạo cơ hội cho sự trao đổi và tranh luận, giúp từng cá nhân học sinh nhận được sự hỗ trợ từ giáo viên và bạn bè trong quá trình tiếp thu và xây dựng tri thức.

Hoạt động dạy học là một quá trình phức tạp và có mục đích, có thể được tổ chức dưới nhiều hình thức khác nhau Sự tổ chức này phụ thuộc vào cách giải quyết mối quan hệ giữa các yếu tố chính: giáo viên, học sinh và tài liệu dạy học.

1.1.2.1 Hoạt động học của học sinh Đối với môn Toán hoạt động học tập là hoạt động phức tạp dựa trên sự kiện thực tế, sự hướng dẫn của giáo viên, thông qua tư liệu dạy học, học sinh tiến hành các thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa, từ đó rút ra kết luận mới, xây dựng tri thức mới, tương ứng hình thành: kỹ năng, kỹ xảo

Kết quả của hoạt động học Toán cho học sinh là sự thay đổi về vốn kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng và nhân cách Động cơ học Toán cần phải gắn liền với nội dung môn học, bao gồm việc nắm vững các khái niệm, định lý và quy luật phát triển của Toán học Học sinh cần phát triển kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như ứng dụng Toán học vào thực tiễn Động cơ này được cụ thể hóa thành các nhiệm vụ học tập, yêu cầu học sinh thực hiện một loạt các hành động theo các giai đoạn nhất định để hoàn thành nhiệm vụ học tập trong môn Toán.

- Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động

- Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng

- Điều chỉnh hoạt động học Toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân

- Phân tích các kết quả thu đƣợc của hoạt động học, từ đó dần hình thành được phương pháp học tập có hiệu quả cho mình

1.1.2.2 Hoạt động dạy của giáo viên

Hoạt động dạy của giáo viên bao gồm việc sử dụng tài liệu dạy học và tương tác trực tiếp với học sinh Giáo viên đóng vai trò tổ chức và cung cấp tài liệu, tạo ra các tình huống học tập cho học sinh Dựa trên tài liệu này, giáo viên không chỉ kiểm tra và định hướng hoạt động của học sinh mà còn khuyến khích sự trao đổi và tranh luận giữa các em.

Cơ sở của dạy học Toán là điều khiển hoạt động học tập của học sinh dựa trên logic khoa học của môn Toán, phương pháp nghiên cứu đặc trưng và đặc điểm tâm lý, trình độ nhận thức của học sinh Điều này được xác định bởi các nhiệm vụ dạy học của bộ môn.

+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản;

+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững các kỹ năng cơ bản;

+ Phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh;

+ Giáo dục kỹ thuật tổng hợp và thế giới quan cho học sinh

Kết quả học tập chủ yếu phụ thuộc vào sự tham gia tích cực của học sinh Hoạt động dạy cần được thiết kế để khuyến khích học sinh thực hiện và trải nghiệm, thay vì chỉ đơn thuần trình bày nội dung để học sinh bắt chước.

1.2.2.3 Quan hệ giữa hoạt động dạy và hoạt động học

Hoạt động dạy và học có mối liên hệ chặt chẽ và không thể tách rời Giáo viên đóng vai trò hướng dẫn, giúp học sinh thực hiện các hoạt động học tập, trong khi học sinh cần tự giác điều chỉnh để ôn lại kiến thức đã học và lựa chọn thông tin cần thiết nhằm xây dựng kiến thức mới Để đạt hiệu quả cao, giáo viên cần duy trì mối liên hệ thường xuyên với học sinh, từ đó kịp thời điều chỉnh phương pháp dạy học cho phù hợp với quá trình học của các em.

1.2.2.4 Sự khác nhau giữa hoạt động dạy và hoạt động học

Mục tiêu của giáo viên trong quá trình giảng dạy là thông qua các phương pháp hướng dẫn sư phạm để tác động đến tư duy của học sinh, từ đó phát triển năng lực trí tuệ và các phẩm chất cần thiết phù hợp với mục tiêu giáo dục.

Mục tiêu của hoạt động học của học sinh là tích cực tham gia vào hoạt động trải nghiệm, tiếp thu tri thức nhân loại và chuyển hóa chúng thành năng lực cá nhân, từ đó tự cải thiện bản thân để đạt được trình độ cao hơn.

Nội dung dạy và học được quy định trong chương trình, thể hiện qua sách giáo khoa và mục tiêu môn học Những kiến thức và kỹ năng này phải phù hợp với khả năng của học sinh, đáp ứng mục đích giảng dạy, đồng thời kích thích sự hứng thú và tính tự giác trong việc tiếp thu của học sinh.

Phương pháp dạy học là những phương thức chỉ đạo và điều khiển hoạt động học tập của học sinh, giúp các em thực hiện các hành động và thao tác học tập một cách tích cực và tự lực.

Mục đích

Nghiên cứu thực trạng dạy học Toán tại các trường THPT nhằm xác định các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng nhận thức Toán học của học sinh Qua đó, phát hiện nguyên nhân và khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập Dựa trên những kết quả này, cần lựa chọn và tổ chức các hoạt động học tập phù hợp để nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy - học Toán, đặc biệt là trong việc giảng dạy nội dung đạo hàm và ứng dụng của nó.

Phương pháp tìm hiểu thực tế dạy và học

Chúng tôi sử dụng các phương pháp:

+ Thăm dò giáo viên (dùng phiếu điều tra, trao đổi, dự giờ)

+ Điều tra học sinh (dùng phiếu điều tra, dự giờ, trao đổi trực tiếp)

+ Trao đổi với lãnh đạo nhà trường, tổ trưởng bộ môn, chuyên viên và cốt cán bộ môn của Sở

Các vấn đề tìm hiểu

Cơ sở vật chất và trang thiết bị của nhà trường đóng vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ quá trình dạy và học Việc sử dụng tài liệu chuyên môn, áp dụng các phương pháp giảng dạy hiệu quả, cũng như mức độ sử dụng thiết bị dạy học là những yếu tố quyết định đến chất lượng giáo dục Hơn nữa, cách soạn giáo án và phương pháp đổi mới kiểm tra, đánh giá của giáo viên trong môn Toán cũng cần được chú trọng để nâng cao hiệu quả giảng dạy.

Trình độ nhận thức của học sinh về môn Toán phụ thuộc vào cách thức học tập và việc sử dụng sách giáo khoa Hứng thú học tập môn Toán cũng là yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến khả năng nhận thức toán học của các em Các nguyên nhân tác động đến sự hứng thú và nhận thức này cần được xem xét để cải thiện hiệu quả học tập.

Kết quả

1.2.3.1 Về thực trạng giảng dạy Toán của giáo viên

+ Việc sử dụng tài liệu phục vụ chuyên môn:

Các giáo viên tại các trường được khảo sát đã có đủ sách giáo khoa, sách giáo viên và một số tài liệu tham khảo cho việc giảng dạy môn Toán, chủ yếu mượn từ thư viện Tuy nhiên, sách tham khảo còn hạn chế và thường là những ấn phẩm cũ, không phù hợp với xu hướng đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy hiện nay Hơn nữa, việc sử dụng thiết bị dạy học chưa được thực hiện thường xuyên, và nhiều trường vẫn thiếu thốn các thiết bị cần thiết cho việc giảng dạy.

Trong quá trình soạn bài, giáo viên đã thực hiện đúng các bước theo quy định, nhưng nhiều bài soạn chưa xác định rõ trọng tâm kiến thức và chủ yếu mang tính diễn giảng Đa số giáo viên chưa đầu tư vào việc thiết kế các hoạt động phù hợp với nội dung dạy học và chưa xây dựng được hệ thống câu hỏi phát vấn nhằm phát triển tư duy cho học sinh, đồng thời cũng ít tạo ra các tình huống có vấn đề trong quá trình học tập.

Một số giáo viên vẫn chưa nắm rõ cách dạy phù hợp với mục tiêu giáo dục, dẫn đến chất lượng và hiệu quả giảng dạy thấp Họ thường phân bổ thời gian không hợp lý, dành quá nhiều thời gian cho việc ghi chép và trình bày, mà không quan tâm đến hoạt động của học sinh Việc giảng dạy chủ yếu dựa vào nội dung sách giáo khoa, dẫn đến truyền thụ kiến thức một chiều và thiếu thời gian cho các hoạt động tương tác Mặc dù có đặt câu hỏi cho học sinh, nhưng chất lượng câu hỏi chưa cao, không khuyến khích sự tư duy và giải quyết vấn đề Hình thức dạy học chưa đa dạng và sinh động, không tạo được hứng thú cho học sinh Khi cố gắng đổi mới phương pháp dạy học, nhiều giáo viên gặp khó khăn trong việc xử lý tình huống, đặc biệt là khi học sinh không đáp ứng được yêu cầu.

1.2.3.2 Về thực trạng học môn Toán của học sinh:

*) Trình độ nhận thức của học sinh

Chất lượng học sinh hiện nay còn yếu, với số lượng học sinh tự tiếp thu và giải toán hạn chế Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc xây dựng kiến thức, bao gồm định hướng giải toán, chuyển đổi bài toán, chuyển đổi ngôn ngữ, và phát hiện vấn đề để giải quyết.

*) Phương pháp và thái độ học tập môn toán

Nhiều học sinh hiện nay chưa nắm vững phương pháp học tập hiệu quả, dẫn đến kết quả học tập không cao trong môi trường giáo dục Kỹ năng ghi chép và nhớ thông tin vẫn chiếm ưu thế, trong khi các kỹ năng khác như tự đọc, tự suy nghĩ và tìm tòi chưa được phát triển đầy đủ Điều này gây ảnh hưởng tiêu cực đến quá trình học tập ở các bậc học cao hơn Thống kê cho thấy, khoảng 70% học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức từ giáo viên và sách giáo khoa, trong khi chỉ có khoảng 15% tự giác làm bài tập từ sách tham khảo Hơn nữa, 65% học sinh chỉ hoàn thành các bài tập dễ dàng trong sách giáo khoa, và 15% gần như không thực hiện bài tập ở nhà.

Nhiều học sinh hiện nay vẫn lười suy nghĩ và chưa tích cực trong việc tư duy, hoạt động trí não để phát hiện và giải quyết vấn đề Họ thường tiếp thu kiến thức một cách thụ động, dẫn đến việc dễ quên và không thể vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải toán Chưa có thói quen tìm tòi, sáng tạo và khai thác những vấn đề mới từ những gì đã học, chỉ khoảng 35% học sinh chú ý nghe giảng và tích cực tham gia phát biểu, trong khi 60% chỉ nghe giảng và ít khi tham gia, còn 15% không chú ý nghe giảng.

+ Đa số học sinh (60%) cho rằng Toán học là môn học trừu tƣợng, khó hiểu, phải học là do bắt buộc nên không hứng thú học tập

1.1.3.3 Những khó khăn của giáo viên khi dạy học theo chương trình SGK mới

Thời gian tiếp cận chương trình SGK mới và yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) còn hạn chế, đồng thời thiếu tài liệu cụ thể về tổ chức dạy học, khiến giáo viên gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp mới Nhiều giáo viên vẫn duy trì thói quen thuyết trình, chưa thực sự phát huy được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh trong quá trình dạy học.

Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo hiện còn nhiều bất hợp lý, với khối lượng kiến thức lớn mà giáo viên phải tuân thủ Điều này tạo tâm lý e ngại cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) và khai thác sâu các khái niệm, định lý, bài tập Sách giáo khoa mới cung cấp kiến thức dàn trải, chủ yếu giới thiệu để ứng dụng mà không có chứng minh, gây khó khăn cho giáo viên trong việc hướng dẫn giải toán Hơn nữa, sách giáo khoa thiếu bài tập kích thích tư duy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi, hạn chế sự phát triển tư duy của các em Do đó, giáo viên cần đổi mới cách soạn giáo án và phương pháp giảng dạy để phù hợp với thực tiễn hiện nay.

Nội dung chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số trong chương trình môn toán THPT

1.3.1 Nội dung chủ đề Đạo hàm Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích

Đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của hàm số, giúp xác định tính đơn điệu, cực trị, các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị Việc áp dụng đạo hàm không chỉ hỗ trợ trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mà còn là giải pháp hiệu quả cho nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học như cơ học, điện học và hóa học.

- Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm;

- Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm;

- Nắm đƣợc định nghĩa vi phân, công thức tính gần đúng nhờ vi phân;

- Hiểu đƣợc định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp hai

Về kĩ năng: Học sinh cần đạt đƣợc các yêu cầu sau

- Tính đƣợc đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối với một số hàm số đơn giản;

- Vận dụng tốt các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số và cách tính đạo hàm của hàm số hợp;

- Biết cách tính đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp;

- Biết các ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải một số bài toán về tiếp tuyến, vận tốc, …

Cấu tạo của chương: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 15 tiết, cụ thể: §1 Khái niệm đạo hàm (2 tiết)

Luyện tập (1 tiết) §2 Các quy tắc tính đạo hàm (3 tiết)

Luyện tập (1 tiết) §3 Đạo hàm của các hàm số lƣợng giác (2 tiết)

Luyện tập (1 tiết) §4 Vi phân (1 tiết) §5 Đạo hàm cấp cao (1 tiết)

Luyện tập (1 tiết) Ôn tập và kiểm tra chương (2 tiết)

* Những điểm mới về cấu trúc và thời lƣợng:

Trong chương trình sách giáo khoa (SGK) Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung Giải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm được phân bổ 46 tiết, tập trung vào hai chương đầu của lớp 12.

Chương II: Ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)

Chương trình đổi mới SGK nâng cao chia nội dung thành 3 mảng chính, phân bổ trong 2 năm học Đạo hàm được giới thiệu vào cuối lớp 11, nối tiếp chương giới hạn, và tiếp tục với ứng dụng của đạo hàm đầu lớp 12 Công thức tìm đạo hàm cho các hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số luỹ thừa được xen kẽ trong chương tiếp theo ở lớp 12 Đạo hàm được trình bày trong chương V, chương cuối của năm học lớp 11, mang lại nhiều ưu điểm quan trọng.

Tiếp nối chương Giới hạn (chương IV) đã học trước, việc áp dụng các định lý và tính chất vừa học trở nên dễ dàng hơn.

- Không gây căng thẳng cho học sinh phải học liên tục, học dồn dập nhiều giờ vào một vấn đề

- Đáp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập tốt các môn học khác nhƣ: Vật lí, Hoá học, Sinh học,

Chương Đạo hàm trong sách giáo khoa hiện tại chỉ có 15 tiết, giảm 5 tiết so với phiên bản năm 2000, nhưng không đề cập đến công thức đạo hàm của hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số Luỹ thừa, đã được chuyển lên lớp 12 Để nâng cao tính khả thi, các tác giả đã cải tiến cách trình bày, rút gọn khái niệm, tăng thời gian luyện tập và giảm thời gian giảng lý thuyết, đồng thời vẫn đảm bảo bám sát chương trình và chuẩn kiến thức quy định.

Về mục câu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đã cố gắng cải tiến theo hướng:

Giảm bớt những bài tập phức tạp liên quan đến tính toán đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian và các bài tập tính đạo hàm cho những hàm số được biểu diễn bằng nhiều biểu thức giải tích.

Để nâng cao hiệu quả học tập, việc đa dạng hóa các bài tập là rất quan trọng Cụ thể, nên sử dụng nhiều câu hỏi và bài tập có hình ảnh hình học, kết hợp với các bài tập ôn tập kiến thức đã học ở lớp 10 và đầu lớp 11 Đồng thời, các bài tập thực tế cũng cần được áp dụng để giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của kiến thức.

Những điểm mới về nội dung trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao nhằm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, tập trung vào việc phát huy tính chủ động và sáng tạo của học sinh.

- Đổi mới phương pháp trình bày một số khái niệm như: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,

Giảm bớt những kiến thức phức tạp như đạo hàm một phía, đạo hàm trên đoạn, và mối quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục, đồng thời giảm thiểu việc chứng minh một số định lý.

Để cải thiện hiệu quả học tập, cần tăng cường luyện tập tại lớp và bổ sung một số bài tập về nhà, tuy nhiên, nên lựa chọn những bài tập đơn giản và loại bỏ các bài toán phức tạp Cụ thể, cần giảm bớt những bài toán tính đạo hàm của hàm số được cho bởi nhiều biểu thức hoặc đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm trung gian.

Bài viết này sẽ bổ sung một số bài toán ứng dụng thực tế, bao gồm các bài toán hình học có hình ảnh minh họa và bài toán tổng hợp, giúp ôn tập hiệu quả nhiều kiến thức đã học trong chương trình lớp 10 và lớp 11 Những bài toán này không quá khó, tạo điều kiện cho học sinh củng cố và áp dụng kiến thức một cách linh hoạt.

Ví dụ: §3 Đạo hàm của các hàm số lƣợng giác

Trước khi phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà không tính toán) bảng giá trị của x x sin ở trong SGK để đi đến nhận xét: với x

Khi giá trị của dương càng nhỏ, tỉ số x sin sẽ càng gần với 1 Mặc dù trong chương trình không chứng minh được định lý này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giỏi, đặc biệt là học sinh chuyên toán, thực hiện chứng minh Tuy nhiên, trước khi bắt đầu, học sinh cần nắm vững định lý "kẹp", trong đó giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0, các hàm g1, f và g2 được xác định trên D = (a; b)\{x0} với điều kiện g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x) cho mọi x thuộc D.

Trong ví dụ minh hoạ cho định lí 1, ta có kết quả sau:

 x x x x x x Đó chỉ là một trường hợp riêng của định lí: “Nếu hàm số u = u(x) thoả mãn các điều kiện: u(x) 0 với mọi x  x0 và lim ( ) 0

Định lý trên vẫn áp dụng cho hàm số u(x) khác không với mọi x trong một khoảng chứa x0, miễn là x khác x0 Tuy nhiên, để đơn giản hóa, chúng tôi sẽ chỉ đưa ra các ví dụ và bài tập với hàm số u = u(x) thỏa mãn điều kiện u(x) khác không với mọi x.

Có thể chứng minh phần b) của định lí 2 nhƣ sau:

Hàm số y = g(x) = sin(u(x)) có thể xem là hàm số hợp của hàm số f(u)

Sử dụng hàm số trung gian u = u(x) và lưu ý rằng f ‟ (u) = cosu, ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp để có được y ‟ = g ‟ (x) = f ‟ [u(x)].u ‟ (x) = [cos u(x)].u ‟ (x) Tương tự, ta có thể chứng minh cho phần b) của các định lý 3, 4 và 5.

1.3.2 Nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm

* Vị trí của chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số”

Chúng tôi sẽ phân tích tầm quan trọng của ứng dụng đạo hàm trong môn Toán, đặc biệt là trong chương trình Giải tích lớp 12.

TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH CÁC HOẠT ĐỘNG

Sự cần thiết phải tập luyện cho học sinh các dạng hoạt động trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

J Piaget nhấn mạnh tầm quan trọng của hoạt động trong giáo dục, khẳng định rằng học sinh chỉ có thể học hỏi thông qua trải nghiệm thực tiễn Ông cho rằng việc khám phá và phát minh lại kiến thức là cần thiết, thay vì chỉ đơn thuần ghi nhớ công thức Hơn nữa, trẻ em được trang bị khả năng hoạt động tích cực, và thành công trong giáo dục phụ thuộc vào việc khai thác và duy trì tính tích cực này.

Con người phát triển thông qua hoạt động, và việc học tập cũng diễn ra trong bối cảnh hoạt động Do đó, việc chú trọng vào hoạt động của học sinh là một nguyên tắc cơ bản trong phương pháp dạy học.

Mục đích của dạy học là phát triển toàn diện cho học sinh, thể hiện mối quan hệ biện chứng giữa dạy học và phát triển Phát triển không chỉ là mục tiêu cuối cùng mà còn giúp học sinh tiếp thu và áp dụng kiến thức hiệu quả hơn, tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình dạy học Học tập qua các hoạt động khuyến khích sự chủ động của học sinh, giúp kiến thức không bị áp đặt Qua đó, học sinh có cơ hội thể hiện bản thân, cải thiện khả năng trình bày và tự đánh giá, cũng như đánh giá người khác Hơn nữa, các hoạt động giúp học sinh nhận thức rõ vai trò của môn Toán trong thực tiễn, từ đó tăng cường hứng thú với bộ môn này.

Các căn cứ để xác định các dạng hoạt động cần thiết có tác động đến quá trình nhận thức của học sinh trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

2.2.1 Căn cứ vào nội dung dạy học

Hoạt động được coi là tương thích với nội dung khi nó diễn ra trong quá trình hình thành hoặc áp dụng nội dung đó Nói cách khác, một hoạt động chỉ được xem là tương thích nếu việc hiểu biết về nội dung là điều kiện hoặc kết quả tồn tại trong chủ thể của hoạt động Kết quả ở đây được hiểu là sự biến đổi và phát triển bên trong chủ thể, khác với kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài.

Khi dạy khái niệm hàm số chẵn và lẻ, các hoạt động như phân tích, so sánh các đối tượng riêng lẻ, trừu tượng hóa và nhận dạng các đặc điểm đặc trưng là rất quan trọng Những hoạt động này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm mà còn hỗ trợ họ trong việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

2.2.2 Căn cứ vào mục đích dạy học

Tập trung vào những mục đích quan trọng giúp tối ưu hóa quá trình thực hiện các mục tiêu khác.

Khi dạy định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cần cân nhắc và sàng lọc các hoạt động tiềm tàng trong nội dung dạy học, tập trung vào những mục đích chính như giúp học sinh hiểu rõ khái niệm, phát triển kỹ năng phân tích và áp dụng đạo hàm vào các bài toán thực tiễn.

- Có kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa

Việc tập trung vào những mục đích trên dựa vào căn cứ sau đây:

Hiểu khái niệm và kỹ năng tính đạo hàm từ định nghĩa là nền tảng cho việc học các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của các hàm số sơ cấp Đây là một phần quan trọng trong chương trình toán học THPT.

2.2.3 Căn cứ vào chức năng của hoạt động

Mỗi loại hoạt động trong quá trình dạy học đều có chức năng riêng, và việc giáo viên lựa chọn hoạt động phù hợp cho từng đơn vị kiến thức sẽ ảnh hưởng tích cực đến nhận thức của học sinh Khi thiết kế và sử dụng các hoạt động, cần xác định rõ mục đích của chúng, liệu để giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ, gợi mở vấn đề mới, hay để giải quyết và kết thúc vấn đề.

Trong quá trình giảng dạy khái niệm và định lý, giáo viên thường tổ chức các hoạt động ngôn ngữ và nhận dạng để củng cố kiến thức cho học sinh Đối với các tiết dạy bài tập, việc thực hiện các thao tác như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa và trừu tượng hóa là rất cần thiết để nâng cao khả năng tư duy của học sinh.

2.2.4 Căn cứ vào yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay

Trong bối cảnh thế kỷ XXI, trường phổ thông cần đào tạo những cá nhân không chỉ nắm vững kiến thức khoa học mà còn phát triển khả năng sáng tạo để giải quyết những thách thức mới trong cuộc sống cá nhân, đất nước và xã hội.

PPDH cần tập trung vào việc tổ chức cho học sinh học tập thông qua các hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Để đạt được điều này, giáo viên cần lựa chọn các dạng hoạt động phù hợp nhằm rèn luyện các kỹ năng cần thiết, khuyến khích tinh thần chủ động trong học tập, giúp học sinh tự tin vào bản thân và nỗ lực đạt được kết quả cao trong học tập.

Một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh nhằm phát triển khả năng nhận thức trong quá trình dạy học Toán

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [9, tr 63] trong dạy học Toán ở trường THPT cần chú trọng các dạng hoạt động sau đây:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

Các hoạt động toán học phức hợp như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng lập phương trình, giải toán dựng hình và giải toán quỹ tích thường xuyên xuất hiện trong sách giáo khoa phổ thông Việc cho học sinh luyện tập những hoạt động này không chỉ giúp các em nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển các kỹ năng và năng lực toán học cần thiết.

- Những hoạt động ngôn ngữ;

- Những hoạt động trí tuệ chung, đó là: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

Trong Toán học, có nhiều hoạt động trí tuệ phổ biến như lật ngược vấn đề, xét tính giải được của bài toán (bao gồm có nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc nhiều nghiệm), và phân chia trường hợp Những phương pháp này giúp nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề trong lĩnh vực Toán học.

Theo tác giả Bùi Văn Nghị, có nhiều hoạt động hữu ích để khai thác và rèn luyện cho học sinh, bao gồm tìm tòi, dự kiến, kiểm nghiệm, lật ngược vấn đề, nhận dạng, thể hiện, sử dụng ngôn ngữ, chứng minh và khắc phục sai lầm.

Theo GS Đào Tam, bên cạnh các hoạt động đã nêu, còn có nhiều hoạt động khác như biến đổi đối tượng, đồng hóa, điều ứng, mô hình hóa và tổng quát hóa.

Dựa trên các tác giả đã nghiên cứu, chúng tôi đã phân tích và xác định một số hoạt động cần thiết để rèn luyện cho học sinh trong quá trình dạy học về chủ đề đạo hàm và ứng dụng của nó tại trường THPT.

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Hoạt động tìm tòi phát hiện;

+ Hoạt động biến đổi đối tượng;

+ Hoạt động mô hình hóa;

Trong một tiết dạy, không nhất thiết phải thực hiện tất cả các hoạt động mà chỉ cần những hoạt động cần thiết để rèn luyện cho học sinh Có thể kết hợp nhiều hoạt động trong cùng một bài toán Bài viết này sẽ phân tích chức năng của từng dạng hoạt động và đề xuất một số tình huống tập luyện cho học sinh trong quá trình dạy học về chủ đề đạo hàm và ứng dụng của nó ở trường THPT.

Một số định hướng của việc thiết kế các tình huống hoạt động để tập luyện cho học sinh trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

Việc thiết kế các hoạt động học tập là nhiệm vụ quan trọng của giáo viên, ảnh hưởng trực tiếp đến sự thành công trong việc rèn luyện cho học sinh Giống như một vở kịch cần có kịch bản hay để diễn viên tỏa sáng, giáo viên cũng cần chú trọng đến việc xây dựng các hoạt động phù hợp Do đó, khi thiết kế các hoạt động học tập, giáo viên cần lưu ý một số định hướng quan trọng để đảm bảo hiệu quả giảng dạy.

Định hướng 1 trong việc thiết kế tình huống hoạt động giáo dục nhấn mạnh rằng tình huống phải chứa đựng tri thức cần thiết để giải quyết một chướng ngại hoặc thỏa mãn nhu cầu nhận thức của học sinh Giáo viên cần căn cứ vào mục tiêu dạy học và chức năng của hoạt động để tạo ra tình huống phù hợp Khi học sinh hoàn thành tình huống được giao, kiến thức mới sẽ được tiếp cận một cách tự nhiên, không bị áp đặt, giúp quá trình học tập hiệu quả hơn.

Định hướng 2 nhấn mạnh rằng tình huống hoạt động cần được thiết kế linh hoạt, cho phép người học tiếp cận đối tượng học tập qua nhiều phương thức khác nhau, từ đó phát huy khả năng sáng tạo Việc không quá phụ thuộc vào sách giáo khoa mà điều chỉnh hoạt động dạy học theo thực tiễn cũng rất quan trọng, miễn là vẫn đảm bảo đạt được mục tiêu dạy học.

Tình huống hoạt động trong giáo dục cần được thiết kế sao cho không quá đơn giản cũng không quá phức tạp Nếu hoạt động quá đơn giản, học sinh sẽ không cảm thấy hứng thú vì những kiến thức đã biết sẽ không tạo ra nhu cầu nhận thức Ngược lại, nếu tình huống quá phức tạp, học sinh có thể gặp khó khăn và phụ thuộc quá nhiều vào sự hướng dẫn của giáo viên, dẫn đến cảm giác chán nản và mất hứng thú Do đó, việc tạo ra các hoạt động vừa sức là rất quan trọng, đảm bảo vẫn đạt được mục tiêu giáo dục mà không làm giảm động lực học tập của học sinh.

Định hướng 4 nhấn mạnh rằng tình huống hoạt động cần đi kèm với hệ thống câu hỏi để hỗ trợ học sinh trong việc tiếp cận và chiếm lĩnh kiến thức mới Giáo viên cần chuẩn bị các câu hỏi xen kẽ với yêu cầu học sinh thực hiện, nhằm hướng dẫn và khuyến khích sự phát hiện kiến thức Mỗi hoạt động đều có mục tiêu cụ thể, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và đạt được mục tiêu chung của bài học Hệ thống câu hỏi của giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh mà còn quyết định chất lượng tiếp thu kiến thức trong lớp học Câu hỏi cần phải rõ ràng, dễ hiểu và phù hợp với trình độ học sinh, đồng thời liên kết với kiến thức cũ mà học sinh đã học hoặc trải nghiệm từ thực tế cuộc sống.

Khi thiết kế tình huống hoạt động, giáo viên cần đảm bảo tính khả thi bằng cách xem xét các yếu tố như thời gian, cách tổ chức và phương tiện dạy học Một số tình huống có thể không khả thi do yêu cầu thời gian vượt quá giới hạn của tiết học hoặc không có đủ phương tiện hỗ trợ Ví dụ, nếu hoạt động yêu cầu máy chiếu mà cơ sở vật chất không đáp ứng, giáo viên cần điều chỉnh phương án để phù hợp với điều kiện lớp học và đối tượng học sinh.

Định hướng 6 nhấn mạnh rằng tình huống hoạt động phải đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học (PPDH), trong đó vai trò của giáo viên và học sinh được thể hiện rõ Hoạt động của học sinh là ưu tiên hàng đầu, với giáo viên cung cấp gợi ý để học sinh tự tìm tòi và xây dựng kiến thức cần thiết Để thực hiện điều này hiệu quả, giáo viên cần nắm vững quy luật nhận thức khoa học và lôgíc hình thành kiến thức Toán học, cũng như các tình huống thường gặp trong quá trình học tập.

Toán học để hoạch định những hành động, thao tác cần thiết của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh một kiến thức hay một kỹ năng xác định.

Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong quá trình dạy học nội

2.5.1.Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy khái niệm toán học

Trong môn Toán, việc dạy và học các khái niệm toán học đóng vai trò quan trọng, vì nó tạo nền tảng cho toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh Hệ thống khái niệm vững chắc giúp học sinh áp dụng hiệu quả kiến thức đã học, đồng thời phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng.

Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường phổ thông phải dần dần làm cho học sinh đạt đƣợc các yêu cầu sau:

- Nắm vững các hoạt động đặc trƣng của cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể

- Nắm đƣợc mối quan hệ của các khái niệm với các khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm

Để dạy khái niệm toán học cho học sinh, cần tổ chức các hoạt động toán học theo các bước cụ thể, dựa trên các yêu cầu về xây dựng và tổ chức quá trình luyện tập.

Bước 1: Tiếp cận khái niệm, trình bày khái niệm

Giáo viên thiết kế các hoạt động nhằm giúp học sinh hồi tưởng và hiểu rõ khái niệm cùng các thuộc tính của nó Học sinh được yêu cầu nêu định nghĩa, trong khi giáo viên sẽ phát hiện và sửa chữa những sai sót về ngôn ngữ Cuối cùng, giáo viên sẽ trình bày định nghĩa chính xác của khái niệm kèm theo các ký hiệu liên quan.

Bước 2: Nắm vững khái niệm

Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động nhận diện khái niệm trong toán học và áp dụng vào các tình huống thực tế Học sinh có thể được khuyến khích tự tạo ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm đã học.

Bước 3: Củng cố, vận dụng khái niệm

Trong bước này, giáo viên nên tổ chức cho học sinh áp dụng khái niệm vừa học vào các tình huống cụ thể như thực hành giải toán và chứng minh định lý Học sinh cũng có thể xây dựng các khái niệm khác và vận dụng chúng vào thực tiễn Tiếp theo, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh xem xét các trường hợp riêng lẻ và tổng quát Cuối cùng, cần sắp xếp một cách logic các khái niệm và mối liên hệ giữa khái niệm đang học với các khái niệm khác.

2.5.1.1 Dạy học khái niệm đạo hàm của hàm số

(*) GV phát phiếu số 1 cho học sinh: Phiếu số 1

Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm M chuyển động trên trục S‟OS Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t)

Hãy tìm một đại lƣợng đặc trƣng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0

HS: Trong khoảng thời gian từ t0 đến t, chất điểm đi được quãng đường là s – s0 = s(t) – s(t0)

Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số

 là một hằng số với mọi t

Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t  t 0

Khi t tiến gần đến t0, tức là khoảng thời gian t - t0 giảm, vận tốc trung bình sẽ phản ánh chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0.

Hoạt động 2 : (Hoạt động nhận dạng và thể hiện)

Sau khi giảng dạy về định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, giáo viên có thể đặt câu hỏi liệu hàm số y = x có đạo hàm tại điểm x0 = 0 hay không.

Học sinh để trả lời đƣợc câu hỏi này thì phải xét xem giới hạn o o x x x x x f x f o 

) ( ) lim ( có tồn tại hữu hạn hay không (nhận dạng định nghĩa), trong đó f(x) = x và x0 = 0 Giáo viên yêu cầu học sinh viết lại công thức hàm f(x):

Để hiểu rõ về đạo hàm tại điểm x = 0, học sinh cần tính giới hạn bên trái và bên phải Kết quả cho thấy f’(0 +) = 1 và f’(0 -) = -1, từ đó suy ra f’(0 +) ≠ f’(0 -) Điều này dẫn đến kết luận rằng hàm số y = x không có đạo hàm tại x0 = 0 Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện các ví dụ tương tự để củng cố kiến thức.

Để hàm số f(x) = { ax^2 + b khi x ≤ 1; x khi x > 1 có đạo hàm tại điểm x = 1, cần đảm bảo hàm số này liên tục tại điểm đó Điều này đồng nghĩa với việc đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 phải bằng nhau Qua quá trình giải bài toán, học sinh sẽ tìm ra các giá trị a = 2 và b = -1.

Ta cũng có thể cho học sinh nhận dạng ở mức độ cao hơn qua ví dụ sau:

Đa số học sinh có thể không nghĩ đến việc áp dụng kiến thức về đạo hàm để tính giới hạn, nhưng giáo viên có thể khuyến khích học sinh bằng cách đặt câu hỏi một cách khéo léo.

Sự liên hệ giữa 3 4x và 2 là gì? Ta hi vọng học sinh sẽ trả lời:

2 = 3 4 2 , tức 2 chính là giá trị của hàm số f ( x )  3 4 x tại x = 2 Khi đó ta có đƣợc kết luận: 2 = f(2) Giáo viên tiếp tục hỏi học sinh:

Giới hạn trên được viết lại như thế nào? Câu trả lời của học sinh khi đó chắc chắn sẽ là:

Giới hạn này gợi nhớ đến kiến thức về đạo hàm của hàm số tại một điểm Khi giáo viên đặt ra câu hỏi này, học sinh sẽ liên tưởng đến định nghĩa của đạo hàm, điều mà giáo viên mong đợi từ học sinh.

Trong ví dụ này, việc đặt câu hỏi một cách khéo léo đã giúp học sinh nhận diện và thể hiện khái niệm đạo hàm, đồng thời hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và giới hạn Giáo viên đã đề xuất ứng dụng của đạo hàm trong việc tính giới hạn của hàm số, làm rõ cách thức mà đạo hàm có thể hỗ trợ trong việc xác định giá trị giới hạn.

0, ta có thể tính L bằng việc khéo léo biến đổi L về một trong các dạng sau:

Trong Dạng III, nếu ta xem P(x) = f(x) – f(x 0 ),Q(x) = g(x) – g(x 0 ) thì

P’(x 0 ) = f’(x 0 ), Q’(x 0 ) = g’(x 0 ) Từ đó có đƣợc công thức sau (công thức

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên (a ; b)

Giả sử rằng: lim   lim   0 lim '( )

2.5.1.2 Dạy học khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số

Tiến hành tập luyện cho học sinh các hoạt động :

* Hoạt động 1: Hình thành một cách trực quan về điểm cực trị của hàm số

* Hoạt động 2 (Hoạt động ngôn ngữ): Khuyến khích học sinh khái quát nên khái niệm cực trị của hàm số

* Hoạt động 3 (Hoạt động ngôn ngữ): Giúp học sinh củng cố khái niệm cực trị của hàm số

* Hoạt động 4 (Nhận dạng và thể hiện khái niệm): Giúp học sinh củng cố khái niệm cực trị của hàm số

(*) GV phát phiếu số 1 cho học sinh

Hoạt động 1 : Cho đồ thị hàm số y = x 2 -2 f(x)=x^2-2

Hình 2 a Hàm số có xác định trên (-1;1) không? b  x  (-1;0), so sánh f(x) và f(0)? c  x  (0;1), so sánh f(x) và f(0)? d Cho h là hằng số dương gần 0

Khi ta nói hàm số y = f(x) đạt tại x = 0

(*) GV tổ chức học sinh làm phiếu số 1: Học sinh làm lần lƣợt từng hoạt động

Hoạt động 2 (Hoạt động ngôn ngữ)

(*) GV: Vậy hàm số y = f(x) nhƣ thế nào là đạt cực tiểu tại xo? Nhƣ thế nào là đạt cực đại tại x o ?

(*) HS: Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại xo nếu  x (x o - h; x o + h), x  x 0 thì f(x) > f(x o )

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại xo nếu  x (x o - h; x o + h), x  x o thì f(x) < f(x o )

(*) GV phát biểu chính xác khái niệm

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a; b) (có thể a là -; b là

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀ nếu tồn tại h > 0 sao cho với mọi x thuộc khoảng (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀, ta có f(x) > f(x₀) Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu Ngược lại, hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀ nếu tồn tại h > 0 sao cho với mọi x thuộc khoảng (x₀ - h; x₀ + h) và x ≠ x₀, ta có f(x) < f(x₀), với giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực đại Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị, trong khi giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi là cực trị.

Hoạt động 3 : (Hoạt động ngôn ngữ)

Ta nói hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x o nếu ?

Ta nói hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x o nếu ?

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại xo nếu  x (x o - h; x o + h), x  x o thì f(x) < f(x o )

Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại xo nếu  x (x o - h; x o + h), x  x o thì f(x) > f(x o )

Hoạt động 4 : (Hoạt động nhận dạng và thể hiện)

Phiếu số 3 Câu hỏi 1: Tìm điểm cực trị của các hàm số sau: a) x x 1 y   b) 2 x 6

Câu hỏi 2: Xác định m để hàm số y = x 1 m x 4 x 2

 a.Có cực đại và cực tiểu b.Đạt cực trị tại x = 2 c.Đạt cực tiểu khi x = -1

Câu hỏi 3: Cho ví dụ về hàm số

(1) Có cực đại, không có cực tiểu?

(2) Có cực tiểu, không có cực đại

(3) Có cực đại tại x = -1 và cực tiểu tại x = 3 ?

2.5.1.3 Dạy học khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Tiến hành tập luyện cho học sinh các hoạt động

* Hoạt động 1, 2: Hình thành một cách trực giác khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Hoạt động 3 (Hoạt động ngôn ngữ): Khuyến khích học sinh khái quát nên khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Hoạt động 4 (Hoạt động ngôn ngữ): Giúp học sinh củng cố khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Hoạt động 5 (Nhận dạng và thể hiện khái niệm): Giúp học sinh củng cố khái niệm cực trị của hàm số

(*) GV phát cho học sinh phiếu số 1

Hoạt động 1: Cho hàm số f(x) = x 2 - 3 a Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ? b Tìm cực trị của hàm số? c Đặt m = f(0)

Với mọi x thuộc tập xác định, so sánh f(x) và m ?

Ta nói hàm số y = f(x) có………….là m = f(0) đạt đƣợc tại x = 0

Hoạt động 2: Cho hàm số f(x) = 4 – (x+1) 2 a Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số? b Tìm cực trị của hàm số? c Đặt M = f(x)

Với mọi x thuộc tập xác định, so sánh f(x) và f(-1) ?

Ta nói hàm số y = f(x) có…… là M = f(-1) đạt đƣợc tại x = -1

Hoạt động 3: Cho hàm số f(x) = x 3 – 6x 2 + 5 a Với mọi x thuộc tập xác định, kết luận sau đúng hay sai?

Nếu kết luận sai, chỉ ra:

* điểm x mà tại đó f(x) < f(x CT )

* điểm x mà tại đó f(x) > f(x CĐ ) b Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;5]

(*) GV tổ chức học sinh làm phiếu số 1(Hoạt động khám phá có hướng dẫn)

+ GV cho học sinh làm hoạt động 1 (một em lên bảng làm, các em khác độc lập làm, sau đó nhận xét khi bạn làm xong)

+ GV hướng dẫn điền vào phần cuối của hoạt động 1: f(x)  f(0) = m, với mọi x thuộc tập xác định Ta nói hàm số y = x 2 -3 có giá trị nhỏ nhất là m = f(0) đạt đƣợc tại x = 0

+ GV cho học sinh làm hoạt động 2 (một em lên bảng làm, các em khác độc lập làm, sau đó nhận xét khi bạn làm xong)

+ GV hướng dẫn điền vào phần cuối của hoạt động 2: f(x) ≤ M = f(-1), với mọi x thuộc tập xác định Ta nói hàm số y = 4 – (x+1) 2 có giá trị lớn nhất là M = f(-1) đạt đƣợc tại x = -1.

Theo xu hướng hiện nay, học sinh thường nhầm lẫn giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị cực tiểu, cũng như giữa giá trị lớn nhất và giá trị cực đại.

+ GV cho học sinh làm hoạt động 3

- Một học sinh lên bảng làm, các em khác độc lập làm

- Yêu cầu nhận xét khi bạn làm xong

Trong quá trình học, yêu cầu một học sinh khác trả lời câu hỏi b, trong khi các bạn khác lắng nghe và đưa ra nhận xét Giáo viên đặt ra câu hỏi: "Vậy giá trị nhỏ nhất có phải là giá trị cực tiểu không? Giá trị lớn nhất có phải là giá trị cực đại không?"

+ GV tiếp tục cho học sinh làm phần b, hoạt động 3

(Học sinh lên bảng làm, các học sinh khác độc lập làm, yêu cầu nhận xét bổ sung khi bạn làm xong)

Bảng biến thiên của hàm số Cho hàm số y = x 3 – 6x 2 + 5 trên [-1; 5] x -1 0 4 5 y‟ +

xo = 5 mà tại đó f(x)  f(5) = 20  x  [-1; 4] x1= 4 mà tại đó f(x)  f(4) = -27  x  [-1; 5]

+ GV: Khi đó ta nói trên [-1; 5], hàm số có giá trị lớn nhất là f(5) = 20 và hàm số có giá trị nhỏ nhất là f(4) = -27

Vậy thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ?

Phát biểu định nghĩa (Hoạt động ngôn ngữ)

(*) HS: Giá trị lớn nhất của hàm số là số M sao cho f(x) ≤ M, giá trị nhỏ nhất của hàm số là số m sao cho f(x) ≥ m

(*) GV nêu chính xác định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

(*) GV: Hãy bằng lời phát biểu lại định nghĩa?

Kết luận chương 2

Bước đầu tiên trong việc kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của việc tập luyện cho học sinh là thực hiện các hoạt động dạy học liên quan đến nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong các hàm số, đặc biệt là ở các lớp cuối cấp THPT.

Thực nghiệm sư phạm được thực hiện nhằm kiểm tra các giả thuyết khoa học đã đề ra Nghiên cứu của chúng tôi tuân thủ các yêu cầu chung của thực nghiệm sư phạm, đảm bảo đánh giá và xử lý kết quả một cách khách quan và trung thực.

- Lớp thực nghiệm: Lớp 12C1 Trường THPT Đông Hiếu TX.Thái Hoà

- Lớp đối chứng: Lớp 12C2 Trường THPT Đông Hiếu TX.Thái Hoà

Tiến trình thực nghiệm được thực hiện trong buổi học của lớp 12C1, kéo dài trong 2 tiết học, với sự tham gia của các đồng nghiệp để đánh giá và trao đổi ý kiến Trong khi đó, lớp 12C2 tiếp tục dạy và học theo đúng phân phối chương trình hiện hành.

- Thực nghiệm dạy theo nội dung đã chọn

- Nội dung thực nghiệm đƣợc biên soạn thành giáo án (bài soạn đƣợc trình bày dưới đây):

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 105 3.1 Mục đích thực nghiệm