CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Một số vấn đề khái quát về tƣ duy
1.1.1 Khái niệm về tư duy
1.1.2 Đặc điểm của tư duy
Khái quát hóa
1.3.1 Các thao tác tư duy cơ bản
1.3.2 Các dạng khái quát hóa trong môn Toán
Một số sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề bất đẳng thức liên quan đến khái quát hóa
(Phần này chủ yếu chủ yếu phân tích các sai lầm liên quan đến khái quát hóa)
1.5 Đặc điểm của học sinh Trung học cơ sở
CHƯƠNG 2: TẬP LUYỆN HOẠT ĐỘNG KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
2.1 Chương trình, nội dung chủ đề bất đẳng thức ở trường Trung học cơ sở
2 2 Một số biện pháp tập luyện hoạt động khái quát hóa trong dạy học chủ đề bất đẳng thức
2.2.1 Biện pháp 1: Yêu cầu học sinh khái quát hóa một bài toán cụ thể a) Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của của các yếu tố và quan hệ trong một hoặc một lớp bất đẳng thức b) Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho
2.2.2 Biện pháp 2: Yêu cầu học sinh giải những bài toán có tính chất mở, những bài toán chứa những con số phức tạp trong tính toán nhưng những con số đó có một mối liên hệ nào đó
2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện khái quát hóa cùng với các thao tác trí tuệ khác
2.2.4 Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Một số vấn đề khái quát về tƣ duy
1.1.1 Khái niệm tư duy Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các hiện tƣợng, các sự vật, các quá trình của tự nhiên, của xã hội và của chính bản thân để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của chúng Quá trình nhận thức đó bao gồm nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính Quá trình nhận thức lý tính đƣợc gọi là tƣ duy
Tư duy được định nghĩa bởi nhiều nhà tâm lý học với những cách diễn đạt khác nhau X L Rubinstein cho rằng "tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính" Các tài liệu khác cho rằng "tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất và mối liên hệ quy luật của sự vật trong hiện thực khách quan" Nó cũng được mô tả là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ, tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, đồng thời phản ánh thực tế một cách tổng quát qua phân tích và tổng hợp Tư duy phát sinh từ hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó.
1.1.2 Đặc điểm của tư duy
Theo [17], [18], [19], tƣ duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính "có vấn đề" của tƣ duy
Tư duy chỉ xuất hiện trong những tình huống "có vấn đề", khi mà những hiểu biết và phương pháp cũ không còn hiệu quả Để giải quyết những vấn đề mới và đạt được mục đích mới, con người cần phải tìm ra cách thức giải quyết mới, từ đó kích thích quá trình tư duy.
Sau khi học cách giải phương trình bậc hai, học sinh được yêu cầu giải một phương trình bậc bốn, tạo ra một tình huống khó khăn do chưa có phương pháp giải sẵn có Điều này khuyến khích các em suy nghĩ sáng tạo để tìm ra cách giải Học sinh cảm thấy hứng thú khi phát hiện ra biểu thức đồng dạng, dẫn đến việc đặt ẩn phụ Nhờ đó, phương trình ban đầu chuyển thành một dạng đã có phương pháp giải, giúp các em giải quyết vấn đề.
- Tính gián tiếp của tƣ duy
Ngôn ngữ đóng vai trò quan trọng trong tư duy của con người, giúp chúng ta sử dụng các kết quả nhận thức như khái niệm, phán đoán và quy luật để hiểu bản chất của sự vật và hiện tượng Trong quá trình này, con người còn sử dụng các công cụ và phương tiện như đồng hồ, nhiệt kế và máy móc để nhận thức những đối tượng mà không thể tri giác trực tiếp.
- Tính tr u tƣợng và khái quát của tƣ duy
Tư duy có khả năng trừu xuất những thuộc tính và dấu hiệu cụ thể từ sự vật, hiện tượng, chỉ giữ lại các thuộc tính chung và bản chất Qua đó, tư duy khái quát các sự vật, hiện tượng riêng lẻ với những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại hay một phạm trù.
Công thức tính diện tích tam giác được xác định bằng nửa tích độ dài đường cao từ đỉnh A với độ dài cạnh đối diện đỉnh A Để xây dựng công thức tổng quát này, chúng ta đã loại bỏ các yếu tố không quan trọng như loại tam giác, chất liệu, mối quan hệ giữa các cạnh, cũng như việc đặt tam giác trong không gian hay mặt phẳng Điều này giúp tập trung vào hai yếu tố chính là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy, từ đó tạo ra công thức mang tính khái quát.
- Tƣ duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ
Ngôn ngữ đóng vai trò quan trọng trong quá trình tư duy của con người, vì không có ngôn ngữ, tư duy sẽ không thể diễn ra và các sản phẩm của tư duy như khái niệm, phán đoán hay quy luật sẽ không được truyền đạt Ngôn ngữ không chỉ là phương tiện để biểu đạt kết quả tư duy mà còn là hình thức vật chất của tư duy Ngược lại, nếu thiếu tư duy, ngôn ngữ chỉ trở thành những chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, cần lưu ý rằng ngôn ngữ không phải là tư duy, mà chỉ là công cụ hỗ trợ cho tư duy.
- Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, theo nhà tâm lý học X L Rubinstein, "Nội dung cảm tính luôn hiện hữu trong tư duy trừu tượng, như một chỗ dựa cho tư duy."
Tƣ duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tƣ duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc
1.2 Một số vấn đề về tƣ duy toán học
Toán học, như nhiều lĩnh vực khác trong đời sống xã hội, là một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và ứng dụng đa dạng Với những đặc điểm riêng về đối tượng và phương pháp nghiên cứu, toán học không chỉ là một môn học mà còn là một đối tượng của tư duy, dẫn đến sự phát triển của tư duy toán học.
Để nhận thức được nội dung và hình thức của hiện thực, cần có tư duy biện chứng và tư duy lôgic Tư duy toán học là sự kết hợp giữa hai loại tư duy này, bao gồm các cặp phạm trù quan trọng như cụ thể - trừu tượng, nhận thức cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, và cái bản chất - cái không bản chất Việc áp dụng những luận điểm này vào dạy học là cần thiết để phát triển tư duy toán học cho học sinh.
Giáo dục toán học cho HS nh m đạt các mục tiêu:
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản đƣợc chọn lựa cho ph hợp với đặc điểm của đối tƣợng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;
- Phát triển tƣ duy toán học cho HS (dẫn theo [14, tr 12])
Tƣ duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
Để đạt được trình độ kiến thức và kỹ năng mong muốn trong dạy học toán, việc phát triển có phương hướng là rất quan trọng Thiếu sự định hướng trong quá trình này sẽ không thể mang lại hiệu quả như kỳ vọng.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tƣ duy toán học nhƣ sau:
Viện sĩ B V Gơnhedencô đƣa ra một số yêu cầu đối với tƣ duy toán học, đó là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy đƣợc sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký hiệu (dẫn theo [14, tr 15])
Nhà toán học A Ia Khinsin cho r ng những nét độc đáo của phong cách tƣ duy toán học là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ƣu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành mạch các bước suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
Trong quá trình lập luận, cần đảm bảo tính có căn cứ đầy đủ, đặc biệt là không chấp nhận những khái quát thiếu suy luận và những phép tương tự không có cơ sở.
A I Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần đƣợc bồi dƣỡng cho
HS trong dạy học Toán là:
- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng tr u tƣợng hóa;
- Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic t những tiền đề đã cho;
- Kỹ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;
- Kỹ năng khái quát hóa kết quả nhận đƣợc và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát;
- Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tƣợng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
- Kỹ năng xây dựng các kết luận đƣợc rút ra t các suy luận, đối chiếu kết quả đó với các điều đƣợc dự kiến;
- Kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin cậy, (dẫn theo [14, tr 16])
1.3.1 Các thao tác tư duy cơ bản
TẬP LUYỆN HOẠT ĐỘNG KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH
Chương trình, nội dung chủ đề bất đẳng thức ở trường Trung học cơ sở23 1 Định nghĩa và một số tính chất của bất đẳng thức ở trường Trung học cơ sở
2 2 Một số biện pháp tập luyện hoạt động khái quát hóa trong dạy học chủ đề bất đẳng thức
2.2.1 Biện pháp 1: Yêu cầu học sinh khái quát hóa một bài toán cụ thể a) Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của của các yếu tố và quan hệ trong một hoặc một lớp bất đẳng thức b) Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho
2.2.2 Biện pháp 2: Yêu cầu học sinh giải những bài toán có tính chất mở, những bài toán chứa những con số phức tạp trong tính toán nhưng những con số đó có một mối liên hệ nào đó
2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện khái quát hóa cùng với các thao tác trí tuệ khác
2.2.4 Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh chuyển từ bài toán thực tiễn sang bài toán toán học
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Đánh giá kết quả thực nghiệm
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Một số vấn đề khái quát về tƣ duy
1.1.1 Khái niệm tư duy Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các hiện tƣợng, các sự vật, các quá trình của tự nhiên, của xã hội và của chính bản thân để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của chúng Quá trình nhận thức đó bao gồm nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính Quá trình nhận thức lý tính đƣợc gọi là tƣ duy
Tư duy được định nghĩa đa dạng bởi các nhà tâm lý học, trong đó X L Rubinstein cho rằng "tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính" Các tài liệu khác cũng nhấn mạnh rằng tư duy là quá trình nhận thức phản ánh các thuộc tính bản chất và mối liên hệ quy luật của sự vật trong thực tại khách quan Hơn nữa, tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ, thể hiện quá trình tìm tòi, sáng tạo và phản ánh thực tế một cách tổng quát thông qua phân tích và tổng hợp Tư duy hình thành từ hoạt động thực tiễn và vượt xa các giới hạn của nhận thức cảm tính.
1.1.2 Đặc điểm của tư duy
Theo [17], [18], [19], tƣ duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính "có vấn đề" của tƣ duy
Tư duy chỉ nảy sinh trong những tình huống "có vấn đề", nơi mà mục đích và thách thức mới xuất hiện, đòi hỏi những hiểu biết và phương pháp cũ không còn đủ hiệu quả Để giải quyết những vấn đề mới này và đạt được mục tiêu mới, con người cần phải tìm ra những cách thức giải quyết sáng tạo, tức là phải tư duy.
Sau khi học cách giải phương trình bậc hai, học sinh được yêu cầu giải một phương trình bậc bốn, tạo ra một tình huống khó khăn do chưa có thuật giải phù hợp Điều này khuyến khích các em suy nghĩ sáng tạo để tìm ra cách giải Học sinh cảm thấy hứng thú khi nhận ra có biểu thức đồng dạng, dẫn đến việc đặt ẩn phụ Khi áp dụng phương pháp này, phương trình ban đầu trở thành một dạng có thể giải được.
- Tính gián tiếp của tƣ duy
Con người sử dụng ngôn ngữ như một công cụ tư duy, giúp họ áp dụng các kết quả nhận thức như khái niệm, phán đoán và quy luật vào quá trình hiểu biết về bản chất của sự vật và hiện tượng Trong quá trình này, con người cũng sử dụng các công cụ và phương tiện như đồng hồ, nhiệt kế và máy móc để nhận thức những đối tượng mà không thể tri giác trực tiếp.
- Tính tr u tƣợng và khái quát của tƣ duy
Tư duy có khả năng trừu xuất các thuộc tính và dấu hiệu cụ thể từ sự vật, hiện tượng, chỉ giữ lại những đặc điểm chung và bản chất Qua đó, nó giúp khái quát các sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những thuộc tính chung thành một nhóm, một loại hay một phạm trù.
Công thức tính diện tích tam giác được xác định bằng cách nhân một nửa độ dài cạnh đáy với độ dài đường cao hạ từ đỉnh A Để đạt được công thức tổng quát này, chúng ta đã loại bỏ những yếu tố không quan trọng như loại tam giác, chất liệu, mối quan hệ giữa các cạnh, cũng như vị trí trong không gian, và chỉ giữ lại hai yếu tố chính là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy.
- Tƣ duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ
Ngôn ngữ là yếu tố thiết yếu cho quá trình tư duy ở con người, giúp hình thành và truyền đạt các sản phẩm của tư duy như khái niệm, phán đoán và quy luật Nó không chỉ cố định kết quả của tư duy mà còn là phương tiện để diễn đạt những kết quả đó Ngược lại, nếu thiếu tư duy, ngôn ngữ trở thành những âm thanh vô nghĩa Do đó, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là công cụ hỗ trợ cho tư duy.
- Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, theo nhà tâm lý học X L Rubinstein, "Nội dung cảm tính luôn hiện hữu trong tư duy trừu tượng, như một nền tảng vững chắc cho tư duy."
Tƣ duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tƣ duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc
1.2 Một số vấn đề về tƣ duy toán học
Toán học, như nhiều lĩnh vực khác trong xã hội, là một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và ứng dụng đa dạng Nó không chỉ có đặc điểm riêng về đối tượng và phương pháp nghiên cứu mà còn là một đối tượng của tư duy, dẫn đến sự phát triển của tư duy toán học.
Để hiểu rõ nội dung và hình thức của hiện thực, cần có tƣ duy biện chứng và tƣ duy lôgic Tƣ duy toán học là sự kết hợp giữa hai loại tƣ duy này, bao gồm các cặp phạm trù như cụ thể - trừu tượng, nhận thức cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, và cái bản chất - cái không bản chất Việc áp dụng những luận điểm này vào giảng dạy là cần thiết để phát triển tƣ duy toán học cho học sinh một cách hiệu quả.
Giáo dục toán học cho HS nh m đạt các mục tiêu:
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản đƣợc chọn lựa cho ph hợp với đặc điểm của đối tƣợng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;
- Phát triển tƣ duy toán học cho HS (dẫn theo [14, tr 12])
Tƣ duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
HS cần có sự phát triển có phương hướng để đạt được kiến thức và kỹ năng mong muốn trong quá trình dạy học toán.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tƣ duy toán học nhƣ sau:
Viện sĩ B V Gơnhedencô đƣa ra một số yêu cầu đối với tƣ duy toán học, đó là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy đƣợc sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký hiệu (dẫn theo [14, tr 15])
Nhà toán học A Ia Khinsin cho r ng những nét độc đáo của phong cách tƣ duy toán học là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ƣu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành mạch các bước suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
Trong quá trình lập luận, việc đảm bảo tính có căn cứ là rất quan trọng, và không nên chấp nhận những khái quát thiếu suy luận hoặc những phép tương tự không có cơ sở.
A I Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần đƣợc bồi dƣỡng cho
HS trong dạy học Toán là:
- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng tr u tƣợng hóa;
- Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic t những tiền đề đã cho;
- Kỹ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;
- Kỹ năng khái quát hóa kết quả nhận đƣợc và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát;
- Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tƣợng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
- Kỹ năng xây dựng các kết luận đƣợc rút ra t các suy luận, đối chiếu kết quả đó với các điều đƣợc dự kiến;
- Kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin cậy, (dẫn theo [14, tr 16])
1.3.1 Các thao tác tư duy cơ bản
Phân tích là quá trình sử dụng trí óc để tách biệt các bộ phận và thuộc tính của một toàn thể nhằm nghiên cứu sâu sắc hơn Ngược lại, tổng hợp là quá trình kết nối những bộ phận và thuộc tính đã được phân tích, tạo thành một chỉnh thể nguyên vẹn để mang lại hiểu biết mới về thực tế.
Bàn về mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, các nhà nghiên cứu đã đƣa ra những nhận định sau:
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại bổ sung cho nhau trong một quá trình thống nhất Chúng có mối quan hệ chặt chẽ, không thể tách rời, và là nền tảng cho các hoạt động trí tuệ khác.
