Kián thực cỡ sð
Phữỡng trẳnh Newton
Trong lý thuyết cỡ học, mô tả chuyển động của một vật trong không gian ba chiều được thể hiện qua hàm vị trí x : R → R³ Hàm này xác định vị trí của vật theo biến thời gian Tốc độ của vật được mô tả bằng hàm v : R → R³, thể hiện sự thay đổi vị trí theo thời gian Cuối cùng, gia tốc của vật được xác định qua hàm a = v' : R → R³, cho thấy sự thay đổi tốc độ theo thời gian.
X²t chĐt iºm chuyºn ởng trong mởt trữớng ngoÔi lỹc:
F : R 3 →R 3 , (1.4) trong õ F(x) l lỹc tĂc dửng lản chĐt iºm tÔi và trẵ x Theo ành luêt
II Newton, tÔi mội iºm x trong khổng gian, lỹc tĂc dửng lản chĐt iºm bơng tẵch cừa khối lữủng v gia tốc, nghắa l : mx 00 (t) =F(x(t)),∀t∈ R + (1.5)
Nhữ vêy, mối quan hằ giỳa h m x(t) v cĂc Ôo h m cừa nõ trong trữớng hủp n y ữủc gồi l Phữỡng trẳnh vi phƠn.
Phương trình (1.5) là phương trình vi phân cấp hai Chính xác hơn, ta có một hệ phương trình vi phân và cự một hàm tọa độ, ta có một phương trình tường ứng Trong trường hợp này, xử lý biến phụ thuộc, còn t là biến độc lập Ta có thể tổng số lượng biến phụ thuộc bằng cách tham khảo vào các biến phụ thuộc và x²t (x, v) ∈ R.
Ta có hệ phương trình điều kiện mở: x'(t) = v(t), v'(t) = 1 mF(x(t)) Đối với lực F, người ta muốn tìm nghiệm cho các hàm x(t) thỏa mãn các điều kiện này Hơn nữa, ta xác định chuyển động của hệ thống trong không gian lớn hơn để có sự tự do Trong vùng lớn cận của bề mặt, lực hấp dẫn tác dụng lên vật thể được coi là không đáng kể so với lực khác.
Tứ phữỡng trẳnh cuối ta cõ ữủc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn:
Tián h nh lĐy tẵch phƠn hai lƯn theo t phữỡng trẳnh Ưu tiản trong (1.8), ta ữủc: x 1 (t) = C 1 +C 2 t trong õ C 1 , C 2 l cĂc hơng số.
TÔi t = 0, C 1 = x 1 (0), C 2 = v 1 (0), tữỡng tỹ vợi hai phữỡng trẳnh cỏn lÔi, ta thu ữủc: x(t) = x(0) +v(0)t− g
Do õ, to n bở trÔng thĂi (trữợc v sau) cừa chĐt iºm ữủc xĂc ành duy nhĐt bơng cĂch xĂc ành và trẵ ban Ưu x(0) v vên tốc ban Ưu v(0).
Tứ vẵ dử n y, ta thấy rằng việc nghiên cứu các phương trình vi phân luôn có thể tách biệt được Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng dễ dàng để áp dụng những lý thuyết này vào thực tiễn.
|x| 3 , γ, M > 0, (1.10) khi õ ta thu ữủc mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn:
PhƠn loÔi phữỡng trẳnh vi phƠn
U → V cõ Ôo h m liản tửc án cĐp k Ta kẵ hiằu:
Mởt phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng cõ dÔng:
F ∈ C(U), U l mởt têp hủp mð, U ⊂ R k+2 , t l bián ởc lêp, x l bián phử thuởc Ôo h m cao nhĐt cừa x xuĐt hiằn trong F ữủc gồi l cĐp cừa phữỡng trẳnh vi phƠn.
Vợi I ⊆J l mởt khoÊng, nghiằm cừa (1.12) l h mφ ∈ C k (I) sao cho:
F(t, φ(t), φ (1) (t), , φ (k) (t)) = 0, ∀t ∈ I Phương trình (1.12) có thể khó giải quyết hoặc không thể giải được Do đó, giá trị F cần được xác định để giải quyết tối ưu nhất cho x, khi phương trình (1.12) trở thành phương trình vi phân có dạng: x (k) = f(t, x, x (1), , x (k−1)) Theo đó, phương trình này có thể giải được nếu điều kiện ∂y/∂F k(t, y) ≠ 0 được thỏa mãn Đây là một dạng phương trình vi phân mà chúng ta sẽ xem xét trong bối cảnh tổng quát hơn, với x: R → R n.
Hằng phương trình vi phân tuyên tính có dạng: x_i(k) = g_i(t) + Σ X_f(i,j,l)(t)x_l(j) Hằng (1.17) được gọi là hằng phương trình vi phân tuyên tính thuần nhất khi g_i(t) ≡ 0 Hơn nữa, bắt đầu từ hằng này, có thể xây dựng các hằng phương trình vi phân cấp một mới thông qua việc thay đổi biến phù hợp Nếu y = (x, x(1), , x(k−1)), thì ta có thể thu được hằng phương trình vi phân cấp một mới từ đó.
Náu thảm t v o bián phử thuởc bơng cĂch °t z = (t, y) l m cho vá phÊi ởc lêp vợi t thẳ ta ữủc hằ phữỡng trẳnh:
Phữỡng trẳnh ặ-tổ-nổm cĐp mởt
X²t phữỡng trẳnh x 0 = f(x), x 0 (0) = x 0 , f ∈ C(R) (1.20) Náu f(x) 6= 0, tứ (1.20) suy ra: x 0 f(x) = 1, lĐy tẵch phƠn hai vá, ta ữủc:
0 x dy f (y), nghiằm cừa (1.20) phÊi thọa mÂn F(x(t)) = t Do õ, ta thu ữủc nghiằm duy nhĐt: φ(t) =F −1 (t), φ(0) = F −1 (0) = x 0 (1.22) trong â F −1 (t) l ¡nh x¤ nghàch £o cõa F(t).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét khoảng thời gian tối thiểu trong một hàm số f(x) và điều kiện cần thiết để xác định sự tồn tại của nghiệm trong khoảng (x₁, x₂) xung quanh x₀ Nếu f(x₀) > 0 hoặc f(x₀) < 0, thì hàm f sẽ liên tục trong khoảng này, cho phép chúng ta áp dụng các phương pháp tìm nghiệm hiệu quả.
T + = lim x→x 2 F(x) ∈ (0,∞], T − = lim x→x 1 F(x) ∈ [−∞,0) (1.23) Khi â φ ∈ C 1 (T − , T + ) v t→Tlim+ φ(t) = x 2 , lim t→T − φ(t) = x 1 (1.24)
Trong trữớng hủp °c biằt, φ ữủc xĂc ành vợi mồi t > 0 khi v ch¿ khi:
T + Z x 0 x 2 dy f(y) = +∞, (1.25) cõ nghắa l , náu f (x) 1 khổng tẵch hủp gƯn x 2 Tữỡng tỹ, φ ữủc xĂc ành vợi mồi t < 0 khi v ch¿ khi f (x) 1 khổng tẵch hủp gƯn x 1
Náu T+ < ∞ có hai trường hợp: Ho°c x2 = ∞ hoặc x2 < ∞ Trong trường hợp thực nghiệm, nếu φ phân kỷ án +∞ thì không có cách nào để rỗng nó ra ngoài T+ Trong trường hợp thực hai, nếu φ ôt án iºm x2 tại thời điểm T+ thì chúng ta có thể rỗng như sau: Nếu f(x2) > 0 thì x2 không thể chồn tối a và chúng ta có thể tổng hợp nó thành phần rỗng cần thiết Ngược lại, nếu f(x2) = 0, chúng ta có thể rỗng φ bằng cách thiết lập φ(t) = x2 với t ≥ T+ Tuy nhiên, trong trường hợp sau, Ơy có thể không phải là phần rỗng duy nhất như chúng ta thấy trong dữ liệu Ơy Rõ ràng, lớp liên tục tủy áp dụng cho t < 0.
Vẵ dử 1.3.1 Náu f(x) =x, x 0 > 0, ta cõ (x 1 , x 2 ) = (0,∞) v
Do õ, nghiằm n y ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ R Chú ỵ rơng Ơy l mởt nghiằm vợi mồi x 0 ∈ R.
Vẵ dử 1.3.2 Cho f(x) = x 2 , x 0 > 0 Ta cõ (x 1 , x 2 ) = (0,∞) v
Figure 1.1: °c biằt, nghiằm n y khổng cỏn xĂc ành vợi mồi t ∈ R Hỡn nỳa, do lim t↑1/x 0 φ(t) = ∞, nản khổng cõ cĂch n o º mð rởng nghiằm n y vợi t≥ T +
BƠy giớ ta xem x²t sỹ °c biằt cĂc nghiằm cừa f(x)? Ró r ng, náu f(x0) = 0, ta cõ nghiằm tƯm thữớng φ(t) = x 0 , (1.30) vợi iãu kiằn ban Ưu x(0) = x 0 Náu ta cõ
| Z x 0 x 0 +ε dyf(y)| < ∞, (1.31) thẳ ta cõ ữủc nghiằm khĂc cừa phữỡng trẳnh  cho l : ϕ(t) = F −1 (t), F(x) Z x 0 x dyf(y), (1.32) vợi ϕ(0) = x 0 khĂc vợi φ(t).
Vẳ vêy, vợi x 0 = 0 cõ mởt số nghiằm cõ thº thu ữủc bơng cĂch kát hủp nghiằm tƯm thữớng vợi cĂc nghiằm ð trản nhữ sau: φ(t) =˜
(1.35) Nghiằm φ˜ vợi t0 = 0 v t1 = 1 ữủc mổ tÊ dữợi Ơy:
Tứ cĂc vẵ dử nảu trản ta cõ kát luên:
• CĂc nghiằm cõ thº tỗn tÔi àa phữỡng trong miãn xĂc ành ối vợi bián t, ngay cÊ khi f l mởt h m số àp.
• CĂc nghiằm cõ thº khổng duy nhĐt.
Chú ỵ: Cõ mởt cĂch khĂc º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn ban Ưu bơng phữỡng phĂp tĂch bián: x 0 = f(x)g(t) (1.36)
Nghiằm tữớng minh cừa phữỡng trẳnh vi phƠn
Trong phần trước, chúng ta đã khám phá một số phương trình vi phân có thể giải quyết một cách rõ ràng Thật không may, không có công thức chung để giải các phương trình vi phân Hơn nữa, việc tìm kiếm nghiệm tổng quát gần như không thể, trừ trường hợp hợp phương trình đang xét có dạng cụ thể Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một số lớp cửa phương trình cấp một có thể giải được rõ ràng Đặc biệt, chúng ta sẽ tập trung vào một số thay đổi phù hợp của các biến trong phương trình vi phân để tìm ra một dạng có thể giải được Trong nhiều trường hợp, phương trình có thể giải được sẽ là:
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt x 0 = a(t)x (1.37) ữủc cho bði: φ(t) =x 0 A(t, t 0 ), A(t, s) = exp
Z s t a(s)ds, (1.38) v nghiằm cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt tữỡng ựng: x 0 = a(t)x+g(t), (1.39) ữủc cho bði φ(t) = x 0 A(t, t 0 ) +
Tiáp theo chúng ta chuyºn sang b i toĂn bián ời phữỡng trẳnh vi phƠn. Cho mởt iºm cõ tồa ở (t, x), ta cõ thº ời th nh tồa ở mợi (s, y) trong â: s = σ(t, x), y = η(t, x) (1.41)
Mởt hàm φ(t) cho sự biến đổi thành hàm ψ(t) bằng cách lối bộc tứ: s = σ(t, φ(t)), ψ = η(t, φ(t)) Thật không may, điều này không phải lúc nào cũng có thể xảy ra Trong văn bản này, chúng ta chú ý đến trường hợp cụ thể của tính chất bền vững biến đổi: s = σ(t), y = η(t, x).
(t = const, s = const) Biºu thà bián ời nghàch Êo bði: t = τ(s), x = ξ(s, y), (1.44) mởt ựng dửng ỡn giÊn cừa quy tưc chuội cho thĐy φ(t) thọa mÂn: x 0 = f(t, x) (1.45) khi v ch¿ khi ψ(s) = η(τ(s), φ(τ(s))) thọa mÂn: y 0 = τ 0 (∂η
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các phương trình liên quan đến biến đổi τ và ξ, với τ = τ(s) và ξ = ξ(s, y) Điều này cho phép chúng ta tìm ra các giải pháp thực cho các phương trình có cấp cao hơn Mặc dù vậy, các giải pháp thực thường giúp đơn giản hóa quá trình tính toán, mang lại hiệu quả tốt hơn trong việc xử lý các vấn đề phức tạp Cụ thể, chúng ta có thể áp dụng công thức dy/ds = dy(t(s), x(t(s))) ds = ∂y để tối ưu hóa quá trình này.
∂x dx dt dt ds (1.47) BƠy giớ chúng ta hÂy nhẳn xem bián ời nhữ thá n o º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn.
Mởt phữỡng trẳnh vi phƠn (phi tuyán) ữủc gồi l thuƯn nhĐt náu nõ câ d¤ng: x 0 = f(x t) (1.48) °t y = x t ,(t6= 0), tứ (1.47) bián phữỡng trẳnh cừa chúng ta th nh: y 0 = ∂y
Phữỡng trẳnh n y cõ thº tĂch ữủc Tứ (1.49) ta cõ: y 0 = f (y)−y t
LĐy tẵch phƠn hai vá v kát hủp mởt số bián ời, ta thu ữủc nghiằm cừa phữỡng trẳnh.
Tờng quĂt hỡn, x²t phữỡng trẳnh vi phƠn x 0 = f( ax+bt+ c αx+βt+γ) (1.50)
Cõ hai trữớng hủp xÊy ra Náuaβ−αb = 0, phữỡng trẳnh vi phƠn cõ dÔng: x 0 = ˜f(ax+ bt), (1.51) °t y = ax+ bt thẳ (1.51) bián ời th nh: y 0 = af˜(y) + b (1.52)
Náu aβ −αb 6= 0, chúng ta cõ thº sỷ dửng y = x−x 0 v s = t−t 0 bián ời (1.50) th nh phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt: y 0 = ˆf(ay +bs αy+ βs), (1.53) trong õ(x 0 , t 0 )l nghiằm duy nhĐt cừa hằax+by+c = 0, αx+βy+γ = 0.
Phương trình vi phân Bernoulli là phương trình có dạng: \( x' = f(t)x + g(t)x^n \), với \( n \neq 0,1 \) Để giải phương trình này, ta sử dụng phép biến đổi \( y = x^{1-n} \) Khi đó, phương trình (1.54) trở thành một phương trình tuyến tính: \( y' = (1-n)f(t)y + (1-n)g(t) \) Lưu ý rằng nếu \( n = 0 \) hoặc \( n = 1 \), thì phương trình hiện tại là tuyến tính và có thể giải một cách đơn giản.
Phương trình Riccati là phương trình có dạng: \( x' = f(t)x + g(t)x^2 + h(t) \) Việc giải phương trình này thường thực hiện thông qua việc biết một nghiệm cụ thể \( x_p(t) \) Từ đó, ta có thể biến đổi phương trình Riccati thành một phương trình tuyến tính: \( y' = -(f(t) + 2x_p(t)g(t)y - g(t)) \) Đây là một trong những phương trình quan trọng, cho phép giải quyết một cách khéo léo với sự sử dụng của một số biến đổi thông minh.
Chúng ta có thể sử dụng phần mềm toán học như Mathematica để giải phương trình vi phân Xem xét phương trình vi phân sau: x' = sin(t)x.
Khi õ trong phƯn mãm Mathematica ta sỷ dửng cĂc lằnh sau:
Để giải bài toán với biểu thức Out[1] = x[t] → e^(-cos[t]) C[1], chúng ta có thể sử dụng phần mềm Mathematica Phần mềm này cho phép thực hiện các phép toán phức tạp và giải quyết bài toán theo cách tối ưu Bằng cách áp dụng các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể đạt được kết quả chính xác và hiệu quả hơn trong việc giải các bài toán toán học.
Out[2] = x[t] →e 1−cos[t] v v³ ỗ thà cừa nõ bơng cĂch sỷ dửng:
PhƠn tẵch ành tẵnh phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt
Trong phần trước, chúng ta đã thảo luận về phương trình vi phân thường gặp trong các bài toán giải quyết một cách tường minh May mắn thay, trong một vài tình huống, một giải pháp là không cần thiết và chỉ cần một số khái niệm cơ bản về giải pháp được quan tâm Ví dụ, nó có thể xuất hiện trong một khu vực nhất định, nó có thể chứa những thông tin nào, nó sẽ chứa những thông tin nào với tỷ lệ lớn hơn, v.v
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách giải quyết các bài toán liên quan đến phân tích hàm số trong bối cảnh cụ thể, với sự chú ý đến các điều kiện cần thiết cho việc áp dụng các phương pháp giải tích Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét phương trình x 0 = f(x) và điều kiện x(0) = x 0, trong đó f thuộc C(R) và có đạo hàm duy nhất Phương pháp giải tích đã được trình bày trong mục 1.3, tuy nhiên, với mỗi hàm f tùy ý, chúng ta cần đảm bảo tính chính xác khi thực hiện tích phân F(x) = R x.
Khi giải phương trình f(x(t)) = t, ta cần nhận thức rõ ràng về ảnh hưởng và các giải pháp có liên quan Cụ thể, trong ví dụ 1.5.1, phương trình mô hình tăng trưởng Logistic được biểu diễn như sau: x'(t) = (1−x(t))x(t)−h.
Phương trình (1.62) có thể giải thích bằng cách tách biến, cho phép chúng ta xác định mối quan hệ giữa các biến Cụ thể, hàm số (1.62) f(x) = (1−x)x−h giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự di chuyển theo hướng n, từ đó có thể phân tích và theo dõi sự biến đổi của f(x).
Để tối ưu hóa giải pháp thoả mãn trong các bài toán, chúng ta cần xác định các điều kiện cụ thể Nếu biết được giá trị tối ưu của một tham số, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp giải quyết khác nhau cho các bài toán liên quan Cụ thể, việc tối ưu hóa một tham số có thể dẫn đến việc giải quyết hiệu quả hơn cho các bài toán phức tạp khác.
Vợi h = 1 4 thẳ hai nghiằm trũng nhau x1 = x2 những cĂc phƠn tẵch trản văn ữủc Ăp dửng.
Vợi h > 1 4 thẳ khổng cõ nghiằm n o v tĐt cÊ cĂc giÊi phĂp giÊm v hởi tử án −∞.
Vẳ vêy chúng ta cõ mởt bực tranh ho n ch¿nh ch¿ bơng cĂch x²t dĐu cừa f(x)! Hỡn nỳa, chúng ta cõ kát quÊ sau:
Bờ ã 1.5.2 X²t b i toĂn giĂ trà Ưu ặ-tổ-nổm cĐp mởt (1.61), trong õ f ∈ C(R) sao cho phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt.
2) Náu f(x 0 ) 6= 0, thẳ x(t) hởi tử án nghiằm thự nhĐt bản trĂi (f(x 0 ) 0) cừa x 0 Náu khổng cõ nghiằm thẳ nghiằm hởi tử án −∞ tữỡng ựng ∞.
Phương trình vi phân của chúng ta không phải là loại tổn hợp, mà là một dạng đơn giản, cụ thể là phương trình vi phân Riccati: \( x_0 = x^2 - t^2 \) (1.63) Đây là phương trình không thể giải quyết cho mọi giá trị, đặc biệt là khi có một số điều kiện nhất định được đặt ra.
Chúng ta hãy cố gắng phân tách phương trình này một cách khéo léo Trước hết, phải xem xét các giải pháp tồn tại Nếu hàm f(t, x) ∈ C^1(R^2, R), thì với mỗi (t₀, x₀) ∈ R², tồn tại duy nhất một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu: x₀ = f(t, x), x(t₀) = x₀ Điều này có nghĩa là trong một vùng lớn quanh t₀, các nghiệm tồn tại với mọi t mà không tồn tại với mỗi t mà không có điều kiện Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng một nghiệm sẽ phải hội tụ về ±∞ nếu nó không tồn tại với mỗi t.
Mởt h m vi phƠn x + (t) thọa mÂn: x 0 + (t) > f(t, x + (t)), t ∈ [t 0 , T), (1.65) ữủc gồi l nghiằm trản cừa phữỡng trẳnh Tữỡng tỹ, mởt h m vi phƠn x − (t) thọa mÂn: x 0 − (t) < f(t, x − (t)), t ∈ [t 0 , T), (1.66) ữủc gồi l nghiằm dữợi.
Vẵ dử 1.5.3 x+(t) =t l mởt nghiằm trản v x − (t) = −tl mởt nghiằm dữợi cừa phữỡng trẳnh (1.63) vợi mồi t≥ 0.
Bờ ã 1.5.4 Cho x + (t), x − (t) lƯn lữủt l nghiằm trản, nghiằm dữợi cừa phữỡng trẳnh vi phƠn x 0 = f(t, x) trản [t 0 , T) Khi õ vợi mội nghiảm x(t) trản [t 0 , T) ta cõ x(t) < x + (t), t∈ (t 0 , T), x(t 0 ) ≤ x + (t 0 ), (1.67) t÷ìng tü x − (t) < x(t), t∈ (t 0 , T), x(t 0 ) ≥ x − (t 0 ), (1.68) Chùng minh X²t ∆(t) =x + (t)−x(t) Khi â ta câ:
Tõm lÔi, chúng ta  ch¿ ra ữủc nhỳng iãu sau:
• Cõ duy nhĐt mởt nghiằm x 0 (t) hởi tử án ữớng th¯ng x = t.
• TĐt cÊ cĂc nghiằm trản x 0 (t) cuối cũng s³ hởi tử án +∞ trong thới gian húu h¤n.
• TĐt cÊ cĂc nghiằm dữợi x 0 (t) hởi tử án ữớng th¯ng x = −t.
Ró ràng, các phương trình như phương trình đạo hàm riêng có thể áp dụng cho bất kỳ phương trình cấp một nào, và người ta có thể thu được một bậc thang khái quát hơn cho các giải pháp Tuy nhiên, điều quan trọng là chúng ta thường gặp phương trình nằm trong không gian hai chiều (t, x) ∈ R² Nếu ta xét phương trình hoặc hệ phương trình có cấp cao hơn, thì cần nhiều chiều hơn Trong R², một đường cong chia không gian của chúng ta thành hai phần: một bản thân và một bản dữ liệu đường cong Cách duy nhất để đi từ vùng này qua vùng khác là vượt qua đường cong Trong không gian nhiều hơn hai chiều, điều này không còn đúng nữa và cho phép các giải pháp phức tạp hơn Thực tế, các phương trình trong không gian ba chiều (hoặc nhiều hơn) thường không thể mô tả các giải pháp một cách đơn giản Hàm f được gọi là Lipschitz liên tục nếu phương trình trong không gian thực hai chiều, và với không gian thực một chiều, nếu:
Để đảm bảo tính đồng nhất trong miền cửa f, ta xem xét điều kiện |x−y| (1.69) và sự tồn tại của Lipschitz liên tục với biến x thống nhất trong t Giả sử x(t) và y(t) là hai hàm vi phân, với x(t₀) ≤ y(t₀) và x₀(t)−f(t, x(t)) ≤ y₀(t)−f(t, y(t)) trong khoảng [t₀, T) Khi đó, ta có thể khẳng định rằng x(t) ≤ y(t) cho mọi t thuộc [t₀, T) Nếu x(t) < y(t) tại một thời điểm nào đó, điều này sẽ dẫn đến một mâu thuẫn trong hệ thống.
Chựng minh Chựng minh bơng phÊn chựng GiÊ sỷ iãu ngữủc lÔi Sau õ chúng ta tẳm mởt v i giĂ trà t 1 sao cho x(t 1 ) = y(t 1 ) v x(t) > y(t) vợi mồi t∈ (t 1 , t 1 +ε) °t ∆(t) =x(t)−y(t) v chú ỵ:
Đối với hàm số f(t, x(t)) và f(t, y(t)), có một điều kiện quan trọng là ∆0(t) = x0(t) - y0(t) ≤ f(t, x(t)) - f(t, y(t)) ≤ L∆(t) trong khoảng thời gian t ∈ [t1, t1 + ε) Điều này dẫn đến hệ quả rằng ∆(t) = ∆(t)e^(-Lt) thỏa mãn ∆(t) ≤ 0 Do đó, khi ∆(t) ≤ ∆(t1) = 0, ta có thể kết luận rằng x(t) ≤ y(t) trong khoảng t ∈ [t0, T).
Vẳ vêy, phƯn Ưu tiản l úng º ch¿ ra phƯn thự hai, têp ∆(t) y(t)−x(t) khổng Ơm bði phƯn thự nhĐt Sau õ, nhữ ð trữớng hủp trữợc,
Mởt v i hằ quÊ cõ giĂ trà trong khi lữu ỵ:
Trữợc hát, náu x(t) v y(t) l hai nghiằm vợi x(t 0 ) ≤ y(t 0 ), thẳ x(t) ≤ y(t) vợi mồi t ≥ t 0 °c biằt, trong trữớng hủp x(t 0 ) = y(t 0 ) thẳ iãu n y cho thĐy tẵnh duy nhĐt cừa giÊi phĂp: x(t) =y(t).
Thực hiện việc mở rộng khái niệm của nghiệm trong bài toán biến đổi, chúng ta có thể thiết lập điều kiện rằng x + (t) ≥ f(t, x + (t)) Điều này dẫn đến việc x + (t0) ≥ x(t0) và x + (t) ≥ x(t) cho mọi t ≥ t0 Khi đó, ta có thể khẳng định rằng nghiệm thực sự tồn tại trong khoảng thời gian đã chỉ định.
PhƠn tẵch ành tẵnh cĂc phữỡng trẳnh tuƯn ho n cĐp mởt
Phương trình x 0 (t) = (1 − x(t))x(t) − h(1 − sin(2πt)) mô tả sự thay đổi của biến x theo thời gian t, với h là một hằng số dương Thực tế, chúng ta có thể thay thế 1 − sin(2πt) bằng một hàm tuần hoàn g(t) để phân tích dữ liệu một cách hiệu quả hơn.
Dữ dương như mồi nghiằm bưt Ưu, các giải pháp bưt Ưu tứ mởt v i giá trà khác x2 > x1, trong khi các giải pháp bưt Ưu dữợi x1 phân kẳ tơi −∞ Từ đó, chúng ta có thể xem x²t số phên của giá trà ban Ưu x bắt kẳ sau một chu kì Chính xác hơn, giải pháp bưt Ưu tứ iºmx tÔi t= 0 là φ(t, x) Sau đó, ta có thể giới thiệu ảnh hưởng Poincaré thông qua.
Bơng cĂch xƠy dỹng, mởt iãu kiằn ban Ưu x 0 s³ tữỡng ựng vợi mởt giÊi phĂp tuƯn ho n khi v ch¿ khi x 0 l iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ Poincar²,
P(x0) = x0 Trong toán học, điều này xuất phát từ tính duy nhất của bài toán giá trị ưu, với φ(t + 1, x) thỏa mãn x0 = f(t, x) nếu f(t+1, x) = f(t, x) Do đó, φ(t+1, x0) = φ(t, x0) khi và chỉ khi thực hiện không thay đổi theo thời gian ban đầu t=0, nghĩa là φ(1, x0) = φ(0, x0) = x0 Chúng ta bắt đầu tính toán thông qua cách tính ô hình của P(x) như sau: θ(t, x) = ∂.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình đạo hàm riêng liên quan đến hàm φ(t, x) và mối quan hệ giữa các biến số Đầu tiên, chúng ta có phương trình φ 0 (t, x) = (1−φ(t, x))φ(t, x)−h(1−sin(2πt)), từ đó suy ra phương trình θ 0 (t, x) = (1−2φ(t, x))θ(t, x) Với giả thiết φ(t, x) được biết, ta có thể áp dụng phương trình (1.38) để giải quyết phương trình (1.75) cho θ(t, x) dưới dạng hàm mũ.
(1−2φ(s, x))ds) (1.76) Thay t=1 v o (1.76) ta thu ữủc:
(1−2φ(s, x))ds) (1.77) M°c dũ cõ v´ cổng thực n y giúp ẵch rĐt ẵt vẳ chúng ta khổng biát ữủc φ(t, x), những ẵt nhĐt nõ cho chúng ta biát rơng P 0 (x) > 0, cõ nghắa l ,
Hỡn nỳa, vi phƠn biºu thực (1.77) mởt lƯn nỳa, ta thu ữủc:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét điều kiện θ(s, x)ds)P 0 (x) < 0 và θ(t, x) > 0, đồng thời phân tích mối quan hệ giữa P(x) và các yếu tố khác Cụ thể, chúng ta sẽ khám phá các trường hợp có thể xảy ra và cách mà các tham số ảnh hưởng đến kết quả Đặc biệt, P(x) được coi là một hàm quan trọng trong việc mô tả sự thay đổi trong hệ thống Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh các kết quả này thông qua việc áp dụng các công thức và định lý liên quan.
∂hφ(t, x), (1.79) v vi phƠn phữỡng trẳnh  cho ối vợi h ta thu ữủc: ψ(t, x) = (1−2φ(t, x))ψ(t, x) + (1−sin(2πt)) (1.80)
Do õ, vẳ ψ(0, x) = ∂h ∂ φ(0, x) = ∂h ∂ x = 0, phữỡng trẳnh (1.40) ngử ỵ rơng: ψ(t, x) Z
(1−2φ(r, x))dr)(1−sin(2πs))ds < 0, (1.81) v thay t = 1 ta thu ữủc:
∂hP h (x) < 0, (1.82) trong õ, ta thảm h v o phƯn ch¿ mửc º nhĐn mÔnh sỹ phử thuởc v o h.
Hỡn nỳa, vợi h = 0 ta cõ:
Để giải phương trình 1 + (e−1)x, ta xác định hai điểm x1 = 0 và x2 = 1 Khi hàm số đạt giá trị tại những điểm này, chúng tiếp xúc nhau và thể hiện sự liên kết chặt chẽ Giá trị hàm số tại những điểm này phản ánh sự biến đổi không giới hạn, với xu hướng tiệm cận về âm vô cực.
P(x) < 0 vợi mồi x ∈ R. º ho n th nh lêp luên cừa chúng ta, giÊ sỷ h < h c v x 1 < x 2 l hai iºm bĐt ởng cừa P(x) XĂc ành cĂc lƯn l°p cừa P(x) bði P 0 (x) = x v
Trong khoảng x ∈ (x1, x2), hàm P(x) có tính chất là một hàm đồng biến, với P(x1) < P(x) < P(x2) Nếu P(x) lớn hơn một giá trị nào đó, ta có thể thấy rằng Pn(x) là một dãy đồng biến Với x0 thuộc khoảng (x, x2], ta có P(x0) = P(lim n→∞ Pn(x)) = lim n→∞ Pn+1(x) = x0, từ đó suy ra x0 là một điểm cố định, có nghĩa là x0 = x2 Các trường hợp khác có thể được xem xét tương tự.
Vẳ vêy, vợi x < x 1 giÊi phĂp hởi tử án −∞ v vợi x > x 1 ta cõ: n→∞lim |φ(n, x)−x 2 | = 0, (1.85) ngử ỵ rơng: n→∞lim |φ(n, x)−φ(t, x 2 )| = 0 (1.86)X²t tữỡng tỹ cho trữớng hủp h = hc v h > hc.
CH×ÌNG2BI TON GI TRÀ U
ành lẵ iºm bĐt ởng
Cho X l mởt khổng gian vector thỹc Mởt chuân trản X l mởt Ănh xÔ ||.|| : X → [0,∞) thọa mÂn cĂc mằnh ã sau:
(iii) ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| vợi x, y ∈ X (bĐt ¯ng thực tam giĂc).
Tứ bĐt ¯ng thực tam giĂc ta cụng cõ bĐt ¯ng thực tam giĂc Êo:
Không gian C°p (X, ||.||) được gọi là một không gian tuyến tính ảnh chuẩn Cho một không gian vector chuẩn X, ta nói một dãy vector f_n hội tụ tới vector f khi giới hạn lim n→∞ ||f_n − f|| = 0 Khi đó, ta có f_n → f hoặc lim n→∞ f_n = f Hơn nữa, cho X, Y là hai không gian tuyến tính ảnh chuẩn, ánh xạ F: X → Y được gọi là liên tục nếu f_n → f thì F(f_n) → F(f) Phép cộng các vector và phép nhân vô hướng vector với một số thực đều là các phép toán liên tục.
Khi nghiên cứu về không gian Banach, ta nhận thấy rằng nếu một không gian normed được hoàn thành, tức là mọi dãy Cauchy đều hội tụ, thì không gian đó được gọi là không gian Banach Điều này có nghĩa là một không gian normed hoàn chỉnh là một phần quan trọng trong lý thuyết toán học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của các không gian này.
Vẵ dử 2.1.1 Ró r ng R n (ho°c C n ) l mởt khổng gian Banach vợi chuân Euclide thổng thữớng:
Gồi I l mởt khoÊng compact v x²t cĂc h m liản tửc C(I) trản khoÊng õ Chúng tÔo th nh mởt khổng gian vector náu cĂc ph²p toĂn cởng v ph²p toĂn nhƠn ữủc xĂc ành Hỡn nỳa, C(I) trð th nh mởt khổng gian ành chuân náu ta ành nghắa:
Mởt dÂy x n (t) hởi tử án x(t) khi v ch¿ khi: n→∞lim ||x n −x|| = lim n→∞sup t∈I
Có nghĩa l trong ngôn ngữ của giới toán học, xác định hạng tử ảo ảnh Bây giờ, x(t) trở thành một dãy Cauchy, trong đó x_n(t) rõ ràng là một dãy Cauchy của số thực bất kỳ t ∈ I Đặc biệt, do R có tính chất đầy đủ, x_n(t) có giới hạn x(t) với mọi t Vì vậy, ta có hàm giới hạn x(t) Hơn nữa, cho m → ∞ trong:
Đối với mọi ε > 0 và t ∈ I, ta có |x_n(t) - x(t)| ≤ ε khi n > N Điều này có nghĩa là x_n(t) hội tụ đến x(t) Tuy nhiên, chúng ta không chắc chắn rằng liệu x_n(t) có nằm trong không gian vector C(I) hay không Để khẳng định điều này, với mỗi t ∈ I và ε > 0, cần xác định một δ sao cho |t - s| < δ.
|x(t)−x(s)| < ε Chồn n sao cho ||x n −x|| < ε/3 v δ sao cho |t−s| < δ thẳ |x n (t)−x n (s)| < ε/3 Khi õ, |t−s| < δ suy ra:
Do õ, x(t) ∈ C(I) v do õ mội dÂy Cauchy trong C(I) hởi tử Ho°c nõi cĂch khĂc, C(I) l mởt khổng gian Banach.
Mởt iºm bĐt ởng cừa mởt Ănh xÔ K : C ⊆ X → C l mởt phƯn tỷ x ∈ C sao cho K(x) = x Hỡn nỳa, K ữủc gồi l co ữủc náu cõ mởt hơng số co θ ∈ [0,1) sao cho:
Ta công câ K n (x) = K(K n−1 (x)), K 0 (x) =x. ành lẵ 2.1.2 (Nguyản lẵ co Ănh xÔ) Cho X l mởt khổng gian Banach,
C l mởt têp con khĂc rộng õng trong X v cho K : C → C l co ữủc, khi õ K cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng x¯∈ C sao cho:
Chùng minh Chùng minh duy nh§t:
Gi£ sû K(¯x) = ¯x v K(˜x) = ˜x, khi â ta câ:
||¯x−x||˜ = ||K(¯x)−K(˜x)|| ≤ θ||¯x−x||,˜ suy ra x¯ l iºm cè ành duy nh§t.
Tữỡng tỹ nhữ vêy ta cõ:
||x n+1 −x n || ≤ θ||x n −x n−1 || ≤ ≤ θ n ||x 1 −x 0 ||, v Ăp dửng bĐt ¯ng thực tam giĂc (vợi n > m)
Do õ x n l dÂy Cauchy v hởi tử tợi x.¯ Hỡn nỳa
||K(¯x)−x||¯ = lim n→∞||x n+1 −x n || = 0 ch¿ ra rơng x¯ l mởt iºm bĐt ởng v biºu thực (2.8) ữủc suy ra tứ (2.9) khi cho n→ ∞.
Sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm
Bài viết này đề cập đến sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu (IVP) được mô tả bởi phương trình x' = f(t, x) với điều kiện x(t0) = x0 Hàm số f thuộc lớp C(U, R^n), trong đó U là một tập con mở của R^(n+1) và (t0, x0) nằm trong U.
Trữợc hát, lĐy tẵch phƠn cÊ hai vá ối vợi t, ta thĐy rơng phữỡng trẳnh (2.10) tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh tẵch phƠn sau: x(t) =x 0 +
Z t 0 t f(s, x(s))ds (2.11) º ỵ rơng x 0 (t) = x 0 l mởt nghiằm gƯn úng tÔi ẵt nhĐt giĂ trà t n o õ Thay x0(t) v o phữỡng trẳnh tẵch phƠn, ta thu ữủc mởt nghiằm gƯn óng kh¡c: x1(t) =x0 +
Z t 0 t f(s, x0(s))ds (2.12) L°p lÔi quĂ trẳnh n y ta thu ữủc mởt chuội cĂc nghiằm xĐp x¿: xm(t) = K m (x0)(t), K(x)(t) = x0 +
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (2.13) dưới dạng tích phân, với điều kiện ban đầu là phương trình vi phân (2.11) Khi t0 = 0, ta có thể giải quyết bài toán trong không gian Banach, cụ thể là không gian C([0, T], R^n) với T > 0 Để tiến hành, cần xác định một tập con C ⊆ X sao cho ánh xạ K: C → C Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét việc mở rộng quỹ đạo xung quanh điểm x0 trong không gian này.
Vẳ U l têp mð v (0, x 0 ) ∈ U ta cõ thº chồn V = [0, T]ìB δ (x 0 ) ⊃ U, trong õ B δ (x 0 ) = {x∈ R n ||x−x 0 | < δ}, v viát tưt:
(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.14) trong õ maximum tỗn tÔi do tẵnh liản tửc cừa f v tẵnh compact cừa V. Khi â:
|f(, x(s))|ds ≤ tM, (2.15) bĐt cự khi n o ỗ thà cừa x(t) nơm trong V, cõ nghắa l
M}, (2.16) ta cõ T 0 M ≤δ v ỗ thà cừaK(x) bà giợi hÔn [0, T 0 ] mởt lƯn nỳa trong V.
Trong trữớng hủp °c biằt M = 0 thẳ M δ = ∞ sao cho T 0 = min{T,∞} T Hỡn nỳa, chú ỵ rơng vẳ [0, T 0 ] ⊆ [0, T], hơng số M cụng s³ r ng buởc
Vẳ vêy, náu ta chồn X = C([0, t 0 ],R n ) l khổng gian Banach, vợi chuân
|x(t)|, v C = {x ∈ X| ||x−x 0 || ≤δ} l mởt têp con õng, thẳ K : C →C l co ữủc. º ch¿ ra iãu n y, chúng ta cƯn ữợc lữủng:
Ró r ng, vẳ f liản tửc, ta biát rơng |f(s, x(s))−f(s, y(s))| l nhọ náu
Để đảm bảo tính liên tục và khả năng điều chỉnh trong không gian metric, điều kiện Lipschitz là cần thiết Cụ thể, nếu hàm số f là Lipschitz liên tục trên một tập compact V 0 thuộc U, thì sự khác biệt giữa hai giá trị hàm số |f(x) - f(y)| được giới hạn bởi một hằng số nhất định Điều này giúp chúng ta kiểm soát được sự biến thiên của hàm số trong không gian số thực.
|x(s)−y(s)|, (2.19) vợi iãu kiằn l ỗ thà cừa cÊ x(t) v y(t) nơm trong V 0 Nõi cĂch khĂc:
Đối với hàm K(x) và K(y) trong không gian C, ta có bất đẳng thức ||K(x)−K(y)|| ≤ LT₀ ||x−y||, với x, y ∈ C Nếu T₀ < L⁻¹, thì K sẽ có tính liên tục và tồn tại nghiệm duy nhất theo nguyên tắc có nội dung trong định lý Picard - Lindelöf Cụ thể, nếu f ∈ C(U, Rⁿ) với U là một tập con mở của Rⁿ⁺¹ và (t₀, x₀) ∈ U, đồng thời f là hàm Lipschitz liên tục, thì sẽ tồn tại nghiệm duy nhất x(t) ∈ C¹(I) cho bài toán giá trị ban đầu (IVP) (2.10), trong đó I là một khoảng lớn hơn t₀.
Cử thº hỡn, náu V = [t0, t0+T]ìBδ(x¯ 0) ⊂U v M l giĂ trà lợn nhĐt cừa |f| trản V Khi õ, tỗn tÔi nghiằm ẵt nhĐt vợi t ∈ [t 0 , t 0 +T 0 v văn cỏn trong B δ (x¯ 0 ), trong õ T 0 = min{T, M δ } Kát quÊ giỳ tữỡng tỹ cho khoÊng [t 0 −T, t 0 ].
Bờ ã 2.2.2 GiÊ sỷ f ∈ C k (U,R n ), k ≥ 1, trong õ U l têp con mð cừa R n+1 , v (t 0 , x 0 ) ∈ U Khi õ nghiằm àa phữỡng x¯ cừa IVP (2.10) l
Mð rởng ành lẵ Picard - Lindel f
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá thảm ảnh Picard - Lindelöf Để hiểu rõ hơn, cần mở rộng một số khái niệm liên quan Thực tế, nhờ vào chứng minh của họ, quan sát rộng rãi cho phép chúng ta thay đổi cách nhìn nhận về vấn đề này Cụ thể, cho không gian Banach X và một tập con C trong X, chúng ta có thể áp dụng định lý Weissinger để phân tích sâu hơn về các tính chất của không gian này.
||K n (x)−K n (y)|| ≤ θ n ||x−y||, x, y ∈ C, (2.21) vợi P ∞ n=1 θ n < ∞ Khi õ K cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng x¯ sao cho:
Mục tiêu ưu tiên của chúng ta là tìm ra một số giải pháp cho hệ thống tồn tại trong khoảng thời gian T0 Sử dụng định lý Weissinger, chúng ta có thể đảm bảo rằng nếu hàm f là Lipschitz liên tục trong một miền U, thì tồn tại một nghiệm duy nhất cho bài toán trong khoảng thời gian [t0, t0 + T] với điều kiện (t0, x0) ∈ U và Bδ(x̄0) ⊂ U.
Chú ỵ rưng M(t) l khổng giÊm v kẵ hiằu T0 thổng qua:
Khi õ nghiằm àa phữỡng duy nhĐt x(t)¯ cừa phữỡng trẳnh IVP (2.10) ữủc cho bði: ¯ x = lim m→∞K m (x 0 ) ∈ C 1 ([t 0 , t 0 + T 0 ],B δ (x¯ 0 )), (2.27) trong õ K m (x0) ữủc ành nghắa ð (2.13), v thọa mÂn : sup t 0 ≤t≤T 0
Chựng minh Chồn t 0 = 0 º ỡn giÊn hõa cổng thực Mửc tiảu cừa chúng ta l xĂc minh cĂc giÊ ành cừa ành lẵ 2.4 chồn X = C([0, T 0 ],R n ) vợi chu©n ||x|| = max
|x(t)| v C = {x ∈ X| ||x−x 0 || ≤ δ}. Ưu tiản, náu x ∈ C ta cõ:
|f(s, x(s))|ds ≤M(t) ≤ δ, t ∈ [0, T 0 ], cõ nghắa l , K(x) ∈ C °c biằt, iãu n y giÊi thẵch sỹ lỹa chồn T 0 Tiáp theo ta chựng minh
|x(s)−y(s)|, (2.29) trong õ, L 1 (t) =R 0 t L(s)ds Bơng ph²p quy nÔp, ta cõ:
Do õ K thọa mÂn iãu kiằn cừa ành lẵ 2.4 m cuối cũng ta cõ ữủc: sup
Náu f(t, x) được xác định với mọi x ∈ R n, cho phép ta tìm một hàm số Lipschitz Điều này có nghĩa là ta có thể nói nhiều hơn và tách phân trong tổng tốn tối thiểu Hằng quên 2.3.3 Giới hạn [t0, T] ⊂ R n thuộc U.
|x−y| , (2.32) thẳ x¯ ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ [t 0 , T]. °c biằt, náu U = R n+1 v R −T T L(t)dt < ∞ vợi mồi T > 0, thẳ x¯ ữủc xĂc ành vợi mồi t∈ R.
Chựng minh Trong trữớng hủp n y chúng ta cõ thº chồn têpC õng trong khổng gian Banach X = C([0, T],R n ) v tián h nh chựng minh nhữ ành lẵ trữợc vợi T0 = T.
Chú ỵ rơng hằ quÊ n y Ăp dửng cho vẵ dử náu phữỡng trẳnh vi phƠn l tuyán tẵnh, với công thức f(t, x) = A(t)x + b(t), trong đó A(t) là một ma trận và b(t) là một vector Thay thế cho một vẵ dử, ta có x²t: x 0 = sgn(t)x, x(0) = 1.
Khi õ x(t) = exp(|t|) ữủc coi l mởt nghiằm m°c dũ nõ khổng cõ vi ph¥n t¤i t= 0.
Sỹ phử thuởc cừa nghiằm v o iãu kiằn ban Ưu
Bờ ã 2.4.1 (BĐt ¯ng thực Gronwall) GiÊ sỷ ψ(t) thọa mÂn: ψ(t) ≤ α(t) +
Z s t β(r)dr)ds, t∈ [0, T] (2.35) Hỡn nỳa, náu α(s) ≤ α(t) vợi s ≤ t, thẳ ψ(t) ≤α(t) exp(
Chựng minh °t φ(t) = exp(−R 0 t β(s)ds) Khi õ tứ cổng thực (2.34), ta câ: d dtφ(t)
Tẵch phƠn hai vá bĐt ¯ng thực theo t v chia cho φ(t) ta thu ữủc:
Thảm α(t) ð cÊ hai vá v lÔi sỷ dửng (2.34) ta thu ữủc iãu phÊi chựng minh thù nh§t.
(βψ(s) +γ)ds, t ∈ [0, T], (2.37) vợi cĂc hơng số Â cho α ∈ R, β ≥ 0, v γ ∈ R, thẳ khi õ: ψ(t) ≤αexp(βt) + γ β(exp(βt)−1), t∈ [0, T] (2.38) Trong trữớng hủp β = 0 thẳ vá bản phÊi ữủc thay bði giợi hÔn cừa nõ ψ(t) ≤ α+γt.
Bài viết này đề cập đến việc xác định tính đúng đắn của bài toán giá trị ban đầu (IVP) trong không gian Lipschitz Cụ thể, với hai hàm số f và g thuộc không gian c(U, R^n), nếu f là hàm Lipschitz liên tục, thì tồn tại các nghiệm x(t) và y(t) cho IVP, với các điều kiện ban đầu x(t0) = x0 và y(t0) = y0 Điều này chứng tỏ rằng IVP là well-posed, tức là có nghiệm duy nhất và nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu.
|f(t, x)−g(t, x)|, (2.41) vợi V ⊂ U l cĂc têp chựa ỗ thà cừa x(t) v y(t).
Chùng minh º ìn gi£n °t t 0 = 0 Ta câ
Sỹ xĂc ành h m lĐy tẵch phƠn ch¿ ra:
Tứ (2.38) suy ra rằng cần phải chứng minh Cụ thể, không thể hiểu ngầm của IVP (2.10) nếu không có φ(t, t₀, x₀) (2.42), điều này thể hiện mối liên hệ giữa nghiệm và điều kiện ban đầu Khi chúng ta xem xét trường hợp đặc biệt f = g, các yếu tố này trở nên rõ ràng hơn.
Đối với hàm φ(t, t₀, x₀) và φ(t, t₀, y₀), ta có bất đẳng thức |φ(t, t₀, x₀) − φ(t, t₀, y₀)| ≤ |x₀ − y₀|e^(L|t−t₀|), cho thấy sự phụ thuộc của φ vào giá trị ban đầu Khi t tiến tới t₀, các phương trình tuyến tính x₀ = x cho thấy rằng chúng ta không thể đạt được độ chính xác tốt hơn Định nghĩa hàm f ∈ C(U, Rⁿ) là Lipschitz liên tục trong một số thực, cho phép áp dụng các khái niệm liên quan đến sự ổn định và tính liên tục của các phương trình Xung quanh mỗi điểm (t₀, x₀) ∈ U, có thể tìm thấy một tập hợp compact I ⊂ U sao cho φ(t, s, x) ∈ C(I).
B,R n ) Hỡn nỳa, φ(t, t0, x0) l Lipschits liản tửc,
(t,x)∈V |f(t, x)|, (2.45) vợi V ⊂ U l cĂc têp compact chựa I ìφ(I ìI ìB).
Chứng minh rằng trong phần chứng minh của đoạn 2.2, ta có thể xác định một tập hợp compact V = [t₀ - ε, t₀ + ε] và B δ (x₀) sao cho φ(t, t₀, x₀) tồn tại với điều kiện |t - t₀| ≤ ε.
Khi õ tỗn tÔi φ(t, t 1 , x 1 ) sao cho |t−t 1 | ≤ ε/2 vợi mồi |t 1 −t 0 | ≤ε/2 v
Do õ, chúng ta cõ thº chồn I = [t0 −ε/2, t0 +ε/2 v B = B δ/2 (x0).
+|R s t f(r, φ(r, s 0 , y 0 ))dr|, trong õ số hÔng thự nhĐt ta sỷ dửng (1.43) Hỡn nỳa, số hÔng thự ba ró r ng cõ thº ữợc tẵnh bơng M|t− s| º tẵnh số hÔng thự hai, ta °t
Định lý Gronwall là một công cụ quan trọng trong phân tích toán học, giúp chứng minh các bất đẳng thức cho hàm số Trong trường hợp cụ thể, nếu ta có hàm φ(t, t₀, x₀) = φ(t - t₀, 0, x₀), ta có thể áp dụng định lý này để rút ra kết luận về sự thay đổi của hàm φ theo thời gian Điều này cho phép chúng ta xem xét các tình huống phức tạp hơn trong nghiên cứu toán học và ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc khắc phục trước đó không phải lúc nào cũng tốt và ta cần có khái niệm về vi phân đối với điều kiện ban đầu Do đó, ta sẽ thiết lập một hàm φ(t, t0, x) với k ≥ 1 Ưu tiên ta sẽ xem xét φ(t, t0, x) là khái niệm vi phân đối với x Khi áp dụng điều kiện tướng tác dụng đối với φ0(t, t0, x) theo quy tắc ưu và vi phân, ta thu được kết quả như trong (2.10).
Do õ, náu ta giÊ thiát rơng ta cõ thº hoĂn ời và trẵ cĂc Ôo h m riảng ð vá trĂi,
∂x(t, t 0 , x) (2.48) thọa mÂn phữỡng trẳnh bián số phƠn ly: y 0 = A(t, x)y, A(t, x) = ∂f
∂x(t, φ(t, t 0 , x)) (2.49) Chú ỵ rơng phữỡng trẳnh n y l tuyát tẵnh v phữỡng trẳnh tẵch phƠn t÷ìng ùng l : y(t) = I+
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình φ(t, t₀, x) với điều kiện ∂φ/∂x (t₀, t₀, x) = I Để phân tích các kỹ thuật liên quan, cần xác định miền IìB ⊆ U sao cho φ(t, s, x) thuộc C^k(IìB, Rⁿ) Hơn nữa, đạo hàm ∂t ∂φ(t, s, x) cũng thuộc C^k(IìB, Rⁿ) Nếu D^k là một miền mở, thì D^kφ thỏa mãn phương trình vi phân cấp cao hơn.
∂tφ(t, s, x) = D k f(t, φ(t, s, x)) (2.51) °c biằt, phữỡng trẳnh n y tuyán tẵnh trong D k φ v nõ cụng theo sau tẵnh to¡n ¤o h m c§p cao hìn t÷ìng ùng.
Chứng minh rằng băng cách thảm t vào các biến phụ thuộc, không có giới hạn hơn so với thiết lập rộng rãi của chúng ta Tổn nổm và x²t φ(t, x) = φ(t, 0, x) cho thấy sự tồn tại của một tập I ⊆ U sao cho φ(t, x₀) là liền mạch, và được thiết lập thành lẵ trước và còn giữ hiếu nghiện cựu.
Ta có thể xác định hàm φ(t, x) liên quan đến trường hợp k = 1 sau Ơy Đối với x 1 ∈ B, chúng ta có thể chỉ ra rằng x 1 = 0 là một điểm quan trọng trong việc chứng minh Khoảng I = (−T, T) và B là khu vực chứa x 0, sao cho bao quanh I nằm trong U.
Viát tưt φ(t) = φ(t, x 1 ), A(t) = A(t, x 1 ) v kẵ hiằu ψ(t) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thự nhĐt ψ 0 (t) =A(t)ψ(t) vợi iãu kiằn ban Ưu tữỡng ựng ψ(t 0 ) = I Têp θ(t, x) = φ(t, x)−φ(t)−ψ(t)x
|x| , thẳ ∂φ ∂x tÔi x 1 = 0 s³ tỗn tÔi náu ta cõ thº ch¿ ra rơng lim x→0θ(t, x) = 0. GiÊ ành f ∈ C 1 ngử ỵ rơng: f(y) =f(x) + ∂f
∂x(x)||. é Ơy ||.|| dũng º ch¿ chuân ma trên Bði tẵnh liản tửc ãu cừa cĂc Ôo h m riảng ∂f ∂x trong mởt lƠn cên cừa x 1 = 0 ta suy ra lim y→x|R(y, x)| = 0.
BƠy giớ tẵch phƠn v lĐy cĂc giĂ trà tuyằt ối (chú ỵ θ(0, x) = 0 v sỷ dửng (2.43)) ta thu ữủc
Khi xem xét bài toán Gronwall, ta có điều kiện |θ(t, x)| ≥ R(x) exp(¯ R 0 T ||A(s)||ds) Với giới hạn lim y→x|R(y, x)| = 0, ta suy ra lim x→0R(x) = 0 và lim x→0θ(t, x) = 0 Hơn nữa, đạo hàm ∂φ/∂x(t, x) là hàm liên tục, điều này cho thấy phương trình biến thiên thực nghiệm có giải Đối với trường hợp k = 1, điều kiện cần thiết cho tính ổn định được thỏa mãn Trong trường hợp tổng quát với k ≥ 1, ta sử dụng quy nạp: điều kiện cần thiết cho k và cho f ∈ C k+1 Khi φ(t, x) thuộc C 1 và thỏa mãn điều kiện ∂φ/∂x(t, x), phương trình biến thiên thực nghiệm sẽ có giải Các hàm A(t, x) thuộc C k cũng được xem xét trong bối cảnh này.
∂x(t, x) ∈ C k , cũng vợi Bờ ã 2.3, ch¿ ra rơng φ(t, x) ∈ C k+1
Trong thực tế, chúng ta có thể xem xét sự phụ thuộc của tham số trong các phương trình vi phân Giả sử f phụ thuộc vào một số tham số λ ∈ Λ⊆ R^p và x là nghiệm của phương trình vi phân x'(t) = f(t, x, λ), với điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀ Nếu f ∈ C^k (U × Λ, R^n) với k ≥ 1, xung quanh mỗi điểm (t₀, x₀, λ₀) ∈ U × Λ, chúng ta có thể tìm một tập hợp I × B × Λ₀ ⊆ U × Λ sao cho φ(t, s, x, λ) ∈ C^k (I × I × B × Λ₀, R^n).
Lẵ thuyát nhiạu loÔn chẵnh quy
Mởt b i toĂn dÔng: x 0 = f(t, x, ε), x(t 0 ) =x 0 , (2.55) ữủc biát án nhữ mởt b i toĂn nhiạu loÔn chẵnh quy.
Náu ta giÊ sỷ f ∈ C 1 thẳ ành lẵ 2.11 Êm bÊo rơng iãu tữỡng tỹ l úng vợi nghiằm φ(t, ε), trong õ ta khổng hiºn thà sỹ phử thuởc cừa iãu kiằn ban Ưu (t0, x0) º ỡn giÊn hõa cổng thực °c biằt, ta cõ cổng thực Taylor mð rởng nhữ sau: φ(t, ε) = φ 0 (t) + φ 1 (t)ε + o(ε) (2.56) trong mởt lƠn cên cừa ε.
Ró r ng, số hÔng khổng nhiạu loÔn φ 0 (t) = φ(t,0) được xác định bởi phương trình khổng nhiạu loÔn φ 0 0 = f 0 (t, φ 0 ), với điều kiện ban đầu φ 0 (t 0 ) = x 0 Để giải phương trình biên số phân ly tương ứng, ta có φ 1 (t) = ∂ε ∂ φ(t, ε)| ε=0, với φ 0 1 = f 10 (t, φ 0 (t))φ 1 + φ 11 (t, φ 0 (t)), và φ 1 (t 0 ) = 0 Các hàm f 10 (t, x) và f 11 (t, x) được xác định bởi đạo hàm riêng ∂x ∂ f(t, x,0) và ∂ε ∂ f(t, x, ε)| ε=0 Điều kiện biên φ 1 (t 0 ) = 0 có nghĩa là ∂ε ∂ φ(t 0 , ε)| ε=0 = ∂ε ∂ x 0 | ε=0 = 0.
Phương trình v = φ(t, ε) = ge^(-εt) - (1/ε) mô tả chuyển động của vật thể chịu tác động của lực cản không khí, với điều kiện ban đầu v(0) = 0 và ε ≥ 0 Khi ε = 0, ta nhận được phương trình v = -gt, cho thấy tốc độ giảm do trọng lực Bằng cách áp dụng phương pháp số, ta có thể giải phương trình này và tìm ra nghiệm v(t) = -g(t - εt²), phản ánh mối quan hệ giữa tốc độ và thời gian trong bối cảnh lực cản.
Phát triển Taylor là một phương pháp quan trọng trong toán học, giúp xác định giá trị gần đúng của một hàm số Mặc dù nó có thể cho ra kết quả chính xác, nhưng việc áp dụng nó chỉ hiệu quả trong khoảng thời gian nhất định Trong thực tế, khi ε > 0, hàm số v(t) có thể phân kỳ đến vô hạn, trong khi hàm số chính xác lại phụ thuộc vào giá trị của ε.
Rõ ràng, chúng ta có thể mở rộng quá trình này để có được phép tính gần đúng hình nút Đặt \( f \in C^k(U, \mathbb{R}^n) \), với \( k \geq 1 \) và cố định một điểm \( (t_0, x_0, \varepsilon_0) \in U \) Cho hàm \( \phi(t, \varepsilon) \in C^k(U_0, \mathbb{R}^n) \) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu \( x_0 = f(t, x, \varepsilon) \), với điều kiện \( x(t_0) = x_0 \).
X j=0 φ j (t) j! (ε−ε 0 ) j +o((ε−ε 0 ) k ), (2.60) trong õ hằ số cõ thº thu ữủc bơng cĂch giÊi ằ quy: φ 0 j = f j (t, φ 0 , φ 1 , , φ j , ε 0 ), φ j (t 0 ) x 0 , j = 0,
0, j ≥ 1, (2.61) trong õ h m f j ữủc ành nghắa ằ quy thổng qua: f j+1 (t, x 0 , , x j+1 , ε) = ∂f ∂ε j (t, x 0 , , x j , ε) + j
(2.62) Náu ta giÊ sỷ f ∈ C k+1 số hÔng sai số s³ l O((ε −ε 0 ) k+1 ) ãu vợi mồi t∈ I.
Tẵnh dÂn ữủc cừa cĂc nghiằm
Ta thấy rằng các nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (IVP) tồn tại và duy nhất trong một khoảng (t−, t+) với điều kiện f là hàm Lipschitz Cho φ1, φ2 là hai nghiệm của IVP trong các khoảng I1, I2 tương ứng, ta có I = I1 ∩ I2 = (T−, T+) Cần chứng minh rằng (t−, t+) = (T−, T+) Thực tế, hai nghiệm luôn trùng nhau trong khoảng (t+, b) khi b tiến đến T+ Xét IVP với điều kiện u(x(t+)) = φ1(t+) = φ2(t+), ta thấy rằng hai nghiệm trùng nhau trong khoảng lớn hơn t+ khi b tiến đến T+ Do đó, t+ = T+ và t− = T−.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm φ(t) và φ1(t) trong khoảng I1, φ2(t) trong khoảng I2, và xác định miền I1 ∪ I2 Thực tế, khi thêm một số điều kiện nhất định cho các hàm này, chúng ta có thể thu được một hàm duy nhất xác định trên một miền không tối ưu Đặc biệt, theo hình 2.6.1, hệ phương trình IVP (2.10) có một hàm duy nhất tồn tại, với điều kiện thỏa mãn theo hình 2.5 Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm tối ưu xác định trên miền (t0, x0) với các khoảng (T - (t0, x0), T + (t0, x0)).
Chựng minh Cho S l têp tĐt cÊ cĂc nghiằm φ cừa (2.10) ữủc xĂc ành trản khoÊng I φ Cho I = S φ∈S
I φ , l mởt têp mð Hỡn nỳa, náu t 1 > t 0 ∈ I thẳt 1 ∈ I φ vợi mởt v iφv do õ,[t 0 , t 1 ) ⊆ I φ ⊆ I.Tữỡng tỹ, vợit 1 < t 0 v do õ I l mởt khoÊng mð chựat 0 Trong trữớng hủp riảng, I = (T − , T + ).
Ta có φ max (t) trản I bði φ max (t) = φ(t), với φ ∈ S và t ∈ I φ Bằng cách này, nếu φ max (t) được xác định đúng, hai giá trị φ cụng cho giá trị giống nhau Hơn nữa, với mọi t > t 1, tồn tại một giá trị φ ∈ S sao cho t 1 ∈ I φ và φ max (t) = φ(t) với t ∈ (t 0 − ε, t 0 + ε), cho thấy φ max là một ngưỡng Bằng cách xây dựng khổng lồ, có thể xác định trần cho một khoảng lớn hơn.
Nghiệm ức tầm thể hiện giá trị của hàm số trước khi đạt cực trị Một nghiệm ức xác định với mỗi t ∈ R được gọi là nghiệm tối a Rõ ràng, mỗi nghiệm tối a là cực trị của hàm số.
Bờ ã 2.6.2 đề cập đến việc cho φ(t) là một nghiệm của phương trình (1.10) được xác định trên khoảng (t−, t+) Khi tồn tại một miền rỗng (t−, t+ + ε) với ε > 0, thì tồn tại một dãy tm ∈ (t−, t+) sao cho lim m→∞ (tm, φ(tm)) = (t+, y) ∈ U Điều này cho thấy mối liên hệ giữa t và t−.
Chựng minh GiÊ sỷ cõ mởt h m thọa mÂn (2.64), Ưu tiản, ta thĐy rơng trong trữớng hủp n y: t→tlim+ φ(t) = y (2.65)
Do õ Ôo h m cừa nõ s³ cƯn phÊi tông, iãu n y l khổng thº vẳ f(t, x) hởi tử gƯn y Chẵnh xĂc hỡn, vẳ U l têp mð nản cõ mởt v i giĂ trà δ > 0 sao cho V = [t + − δ, t + ] × B δ (y) ⊂ U v M = max
Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện (t,x)∈V với |f(t, x)| < ∞ Sau khi chuyển qua một dãy con, ta có thể chọn một t m ∈ (t + −δ, t + ), sao cho φ(t m ) ∈ B δ (y) và t m < t m+1 Nếu (2.65) không đúng, ta có thể tìm một dãy τ m → t + với |φ(τ m ) −y| ≥ γ > 0, đồng thời đảm bảo rằng γ < δ và τ m ≥ t m Theo định lý trung gian, ta có thể yêu cầu |φ(t m )−y| = γ trong khi |φ(t)−y| < γ với t ∈ [t m , τ m].
|f(s, φ(s))|ds+|φ(t m )−y| ≤ M|τ m −t m |+|φ(t m )−y|, trong õ vá phÊi hởi tử án 0 khi m → ∞ iãu n y dăn án mƠu thuăn, do õ (2.65) ữủc chựng minh.
Bài viết này đề cập đến việc xác định một nghiệm φ(t) của bài toán giá trị ban đầu (IVP) trong khoảng (t - ε, t + ε) Trước đó, chúng ta có thể gần đúng φ(t) và φ(t) tại t + ε để thu được một hàm liên tục trong khoảng (t - ε, t + ε) Điều này cho phép chúng ta xác định hàm f(t, y) liên tục Khi φ(t) được lấy vi phân tại t + ε, nghiệm sẽ được xác định trong khoảng (t - ε, t + ε) Hệ quả 2.6.3 nêu rõ rằng nếu φ(t) là một nghiệm liên tục trong khoảng (t - ε, t + ε), thì tồn tại một tập compact [t0, t+] trong U sao cho φ(tm) ∈ C với chuỗi tm ∈ [t0, t+], và điều này khẳng định tính liên tục của nghiệm trong khoảng (t - ε, t + ε) với ε > 0.
Trong trữớng hủp riảng, náu cõ mởt têp compact C vợi mồi t + > t 0 (C cõ thº phử thuởc v o t+), khi õ nghiằm tỗn tÔi vợi mồi t > t0.
Chựng minh Cho t m → t + Do tẵnh compact nản φ(t m ) cõ m dÂy con hởi tử v suy ra iãu phÊi chựng minh tứ bờ ã trữợc.
Hằ quÊ 2.6.4 đề cập đến việc xác định một hàm I tại điểm (t0, x0) = (T − (t0, x0), T+(t0, x0)) với l khoÊng tối ưu để mở một nghiằm bưt Ưu tÔi x(t0) = x0 Nếu T+ = T + (t0, x0) < ∞, thì hàm nghiằm phải có lô cuối cùng trong một tập compact C với [t0, T+] ⊂ U tÔi t tián án T+ Hình 2.6.5 chỉ ra rằng với U = R và R^n, cho mọi T > 0, có hằng số tồn tại.
|f(t, x)| ≤M(T) +L(T)|x|, (t, x) ∈ [−T, T]×R n (2.66) Khi õ tĐt cÊ nghiằm cừa IVP (2.10) ữủc xĂc ành vợi mồi t ∈ R.
Chựng minh Sỷ dửng Ănh giĂ ð trản cho f ta cõ:
(M +L|φ(s)|)ds, t ∈ [0, T]∩I, v vợi cĂch biºu diạn khĂc (2.38) cừa bĐt ¯ng thực Gronwall ta cõ ữủc:
Do õ φ nơm trong mởt quÊ cƯu compact v kát quÊ ữủc ch¿ ra bði bờ ã trữợc õ.
Phữỡng phĂp Euler v ành lẵ Peano
Nghiệm của bài toán giảo tích Ưu (2.10) được xác định thông qua hình thức Taylor, cho phép viết φ(t₀ + h) = x₀ + φ₀(t₀)h + o(h) = x₀ + f(t₀, x₀)h + o(h) Để xác định nghiệm xấp xỉ, ta áp dụng phương pháp Euler, trong đó xh(tm + 1) = xh(tm) + f(tm, xh(tm))h, với tm = t₀ + mh Quá trình này sử dụng sai số và lặp lại để tiến gần tới nghiệm chính xác hơn.
Ta hi vồng rơng x h (t) hởi tử án mởt nghiằm khih ↓0 º chựng minh iãu n y, ta quan sĂt ữủc l , vẳ f liản tửc, ữủc giợi hÔn bði mởt hơng số trản mội khoÊng compact Do õ Ôo h m cừa x h (t) bði cũng mởt hơng số Vẳ hơng số n y ởc lêp vợih, cĂc h m x h (t) tÔo th nh mởt hồ cĂc h m liản tửc ãu m hởi tử ãu sau khi chuyºn th nh mởt dÂy con bði ành lẵ Arzel - Ascoli GiÊ sỷ dÂy cĂc h m{x m (t)} ∈ C(I,R n ), m ∈.
N, trản mởt khoÊng compact I l liản tửc ãu, cõ nghắa l , vợi mồi ε > 0 cõ mởt δ > 0 (ởc lêp vợi m) sao cho:
|x m (t)−x m (s)| ≤ ε nu |t−s| < δ, m∈ N (2.69) Náu dÂy {x m } bà ch°n, thẳ cõ mởt dÂy con hởi tử ãu.
Chứng minh rằng cho chuỗi {t_j} ∞_{j=1} ⊂ I và x_m(t_1) đã chọn, ta có thể xây dựng một chuỗi con {x(1)_m(t)} sao cho {x(1)_m(t_1)} hội tụ Tương tự, ta có thể chọn một chuỗi con {x(2)_m(t)} từ {x(1)_m(t)} mà cũng hội tụ tới t_2 (do nó luôn hội tụ tới t_1 và là chuỗi con của {x(1)_m(t)}) Bằng phương pháp quy nạp, ta thu được một chuỗi {x(j)_m(t)} hội tụ tới t_1, , t_j Dãy này chỉ ra rằng x_m(t) = x(m)_m(t) do nó hội tụ với mọi t = t_j Ta sẽ chứng minh rằng nó hội tụ đều với mọi t.
Cố ành ε > 0 v chồn δ sao cho vợi|t−s| < δ thẳ |x m (t)−x m (s)| ≤ ε 3 CĂc quÊ cƯuBδ(tj) phừI v bði tẵnh compact, ta nõi 1 ≤ j ≤ p Hỡn nỳa, chồn N ε sao cho |˜x m (t j )−x˜ n (t j )| ≤ ε 3 vợi n, m ≥ N ε v 1 ≤j ≤ p.
BƠy giớ chồn t v lữu ỵ rơng t ∈ B δ (t j ) vợi j bĐt kẳ Nhữ vêy:
|˜xm(t)−x˜n(t)| ≤ |˜xm(t)−x˜m(tj)|+|˜xm(tj)−x˜n(tj)|
+|˜x n (t j )−x˜ n (t)| ≤ ε vợi n, m ≥ N ε , suy ra x˜ m l dÂy Cauchy Bơng cĂch ho n th nh C(I,R n ) nõ cõ mởt giợi hÔn.
Chẵnh xĂc hỡn, chồn δ, T > 0 sao cho V = [t 0 , t 0 +T]ìB δ (x 0 ) ⊂ U v cho:
Do ô bĐt kẳ dÂy con n o cừa hồ x h (t) l liản tửc ãu v cõ mởt dÂy con hởi tử ãu φ m (t) → φ(t) Nõ văn cỏn cho ta thĐy rơng giợi hÔn φ(t) giÊi quyết b i toĂn giĂ trà Ưu (2.10) Ta s³ ch¿ ra iãu n y bơng cĂch xĂc minh phữỡng trẳnh tẵch phƠn tữỡng ựng (2.11) cố ành Vẳ f liản tửc ãu trản.
V, ta cõ thº tẳm mởt dÂy ∆(h) → 0 khi h →0, sao cho
|f(s, y)−f(t, x)| ≤∆(h)vi|y −x| ≤M h, |s−t| ≤ h (2.72) º cõ thº ữợc tẵnh sỹ khĂc biằt giỳa vá trĂi v vá phÊi cừa (2.11) vợi x h (t) ta chồn m vợi t ≤ t m v viát lÔi: x h (t) = x 0 + m−1
X(s)f(t j , x h (t j ))ds, (2.73) trong õ X(s) = 1 vợi s ∈ [t 0 , t] v X(s) = 0 vợi nhỳng giĂ trà s khĂc. Khi â:
Tứ õ ch¿ ra rơng φ thỹc sỹ l mởt nghiằm nhữ sau: φ(t) = lim m→∞φ m (t) =x 0 + lim m→∞
(2.75) vẳ ta cõ thº hoĂn và giỳa giợi hÔn v tẵch phƠn bði hởi tử ãu. ành lẵ 2.7.2 (Peano) GiÊ sỷ f liản tửc trản V = [t 0 , t 0 +T]ìB δ (x 0 ) ⊂
Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm cừa b i toĂn giĂ trà Ưu (2.10) vợi t∈ [t 0 , t 0 + T] chùa trong B δ (x 0 ), trong â T 0 = min{T, M δ }.
Nhên x²t rơng thuêt toán Euler rất phù hợp với việc tính toán bậc số cừa nghiằm xĐp x¿ và nó chỉ ra yêu cầu ảnh hưởng tới một điểm bĐt ởng Một khía cạnh khác, nó khổng rõ ràng là mối quan hệ giữa một dãy con hởi tử, và vì vậy ta hãy chỉ ra rằng x h (t) hởi tử ãu náu f là Lipschitz Bằng (2.29) với x(t) = x h (t) và y(t) = K(x h )(t), ta có được kết quả mong muốn.
Sỷ dửng kẵ hiằu tữỡng tỹ nhữ trong chựng minh cừa ành lẵ 2.2 Cho n→ ∞ ta thu ữủc:
||x h −φ|| ≤ T 0 e LT 0 ∆(h), t ∈ [t 0 , t 0 +T 0 ], (2.77) Vẳ ữợc lữủng ð trản (2.74) vợi t = t 0 +T 0 ta cõ:
||x h −K(x h )|| ≤ T 0 ∆(h) (2.78) Lữu ỵ rơng náu ta cõ thº xĂc ành mởt hơng số Lipschitz L 0 sao cho
|f(t, x)−f(s, x)| ≤L0|t−s|, khi õ ta cõ thº chồn ∆(h) = (L0+LM)h.
Phương pháp số trong giải tích toán học thường gặp sai số, đặc biệt là trong các tính toán thực tế Người ta thường sử dụng các phương pháp sai số phỏng đoán để xử lý các bài toán này Nếu có sự khác biệt lớn giữa hai kết quả, kích thước các bước được điều chỉnh để đạt độ chính xác cao hơn Mặc dù phương pháp Euler không phải là phương pháp hiệu quả nhất hiện nay, nhưng kết quả của nó có thể thu được nhanh chóng hơn so với các phương pháp phức tạp khác Công thức tính toán cho phương pháp này là: \( x_{m+1} = x_m + h \).
(2.80) ữủc gồi l thuêt toĂn Runge Kutta.
Sau mởt thới gian nghiản cựu, luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ sau:
1) Hằ thống lÔi cĂc kián thực cỡ sð trong lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ: Phữỡng trẳnh Newton, PhƠn loÔi phữỡng trẳnh vi phƠn, Phữỡng trẳnh ặ - tổ - nổm cĐp mởt, nghiằm tữớng minh cừa phữỡng trẳnh vi phƠn, Phữỡng trẳnh ành tẵnh,
2) Mổ phọng mởt số hiằn tữủng vêt lẵ kắ thuêt dữợi dÔng phữỡng trẳnh vi phƠn ho°c hằ phữỡng trẳnh vi phƠn.
3) Nghiản cựu vã b i toĂn vợi giĂ trà Ưu v ựng dửng
4) Chựng minh chi tiát mởt số ành lẵ cỡ bÊn cừa lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ: ành lẵ vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm, ành lẵ Picard
- Lindelof, Mð rởng ành lẵ Picard - Lindelf, bĐt ¯ng thực Gronwall.
5) Nghiản cựu vã b i toĂn nhiạu loÔn chẵnh quy, nghiản cựu vã phữỡng phĂp Euler v ành lẵ Peano trong viằc tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh vi phƠn
[1] Ho ng Hỳu ữớng (1975), Lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc v Trung hồc chuyản nghiằp H Nởi.
[2] Nguyạn Thá Ho n, TrƯn Vôn Nhung (2005), B i têp phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc.
[3] Nguyạn Thá Ho n, PhÔm Phu (2007), Cỡ sð phữỡng trẳnh vi phƠn v lẵ thuyát ờn ành, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc H Nởi.
[4] Lả HÊi Trung (2019) GiĂo trẳnh phữỡng trẳnh vi phƠn - sai phƠn, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Nđng, Nh xuĐt bÊn Thổng tin v Truyãn thổng.
[5] Gerald Teschl (2008), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems.
[6] N Piskunov, English Translation (1981), Differential and Integral Cal- culus II, Mir Publisher.
[7] David Lomen, David LoveLock NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.