Mởt số khĂi niằm mð Ưu
Khổng gian tuyán tẵnh ành chuân
1.1.1 Khổng gian tuyán tẵnh ành nghắa 1.1.1 Cho têp hủp X khĂc rộng v trữớng số K ∈ {R,C}.
Ta ành nghắa hai ph²p toĂn nhữ sau:
Vợi mồi x, y ∈ X;α ∈ K, ta cõ ph²p cởng:
Têp hủp X cũng vợi hai ph²p toĂn trản lêp th nh mởt khổng gian tuyán tẵnh náu thọa mÂn cĂc tiản ã sau:
- Náu K = R thẳ X ữủc gồi l khổng gian tuyán tẵnh thỹc.
- Náu K = C thẳ X ữủc gồi l khổng gian tuyán tẵnh phực.
Vẵ dử 1.1.1 Khổng gian R n , vợi x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) cũng vợi hai ph²p toĂn cởng v nhƠn vổ hữợng ữủc ành nghắa nhữ sau: x+y = (x 1 +y 1 , , x n +y n ) αx = (αx1, , αxn),∀α∈ K.
Ta cõ thº kiºm tra cĂc ph²p toĂn nõi trản thọa mÂn 8 tiản ã cừa khổng gian vectỡ, thêt vƠy: vợi mồi x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ), z (z1, z2, , zn) ∈R n , vợi mồi α, β ∈ K, ta cõ:
Vẵ dử 1.1.2 Khổng gian l p = {x = (xn) : xn ∈ R,P∞ n=1|xn| p < +∞}, ð Ơy 1 < p < +∞, vợi hai ph²p toĂn cởng dÂy số v nhƠn vổ hữợng vợi dÂy số ữủc ành nghắa nhữ sau: x+y = (xn+yn) v αx = (αxn),∀α ∈ K.
Khi õ, l p l l mởt khổng gian tuyán tẵnh Trữợc hát ta chựng minh vợi x= (x n ), y = (y n )∈ l p thẳ x+y = (x n +y n ) cụng thuởc l p , thêt vêy, ta cõ
Tực l x+y ∈ l p Sau Ơy ta s³ kiºm tra cĂc ph²p toĂn thọa mÂn 8 tiản ã cừa khổng gian vectỡ x = (x n ), y = (y n ) ∈l p , ∀α, β ∈ R ta cõ:
Vẵ dử 1.1.3 Cho Ω l mởt têp mð trong R n v à l ở o Lebesgue trản
R n Khổng gianL p (Ω)l hồ cĂc h m sốf(x)cõ lụy thứa bêcp(1 ≤ p < ∞) khÊ tẵch theo ở o à trản Ω tực l
Trản L p (Ω) là không gian các hàm bị ảnh hưởng bởi một số hàm theo nghĩa bậc thường Khi đó, có thể kiểm tra tính lồi rỗng của L p (Ω) là không gian tuyến tính Chú ý rằng, với f(x), g(x) ∈ L p (Ω), tổng f(x) + g(x) cũng thuộc L p (Ω).
Do õ, |f(x)| p ,|g(x)| p khÊ tẵch thẳ |f(x) +g(x)| p cụng khÊ tẵch, hay f(x) +g(x) ∈L p (Ω).
M°t khĂc, náu f(x) ∈ L p (Ω), α ∈ R thẳ |αf(x)| p = |α| p ã |f(x)| p khÊ tẵch nản αf(x) ∈L p (Ω).
Tứ õ suy ra L p (Ω) l khổng gian tuyán tẵnh.
Vẵ dử 1.1.4 Tữỡng tỹ cĂc vẵ dử trản, khổng gian C[a, b] = {x : [a, b] →
R, x l liản tửc}, cũng vợi hai ph²p toĂn cởng hai h m số v nhƠn vổ hữợng giỳa mởt số v mởt h m số theo nghắa bẳnh thữớng cụng l mởt khổng gian tuyán tẵnh.
Sau Ơy ta s³ ành nghắa khĂi niằm chuân trản khổng gian tuyán tẵnh thüc. ành nghắa 1.1.2 GiÊ sỷX l khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng số thỹc
R Mởt chuân trản X l Ănh xÔ, kỵ hiằu ||.||, xĂc ành trản X v nhên giĂ trà thỹc thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk,∀x, y ∈ X.
Hai chuân ||.|| 1 v ||.|| 2 trản khổng gian tuyán tẵnh X ữủc gồi l tữỡng ữỡng náu tỗn tÔi hai số m, M > 0 sao cho m||x||1 ≤ ||x||2 ≤ M||x||1,∀x ∈X.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử vã chuân trản mởt số khổng gian tuyán tẵnh quen thuởc.
Vẵ dử 1.1.5 Mởt số chuân thổng thữớng trản R 2
Thêt vêy, ta kiºm tra 3 tẵnh chĐt cừa chuân Vợi x = (x 1 , x 2 ), y (y1, y2) ∈ R 2
(ii) kxk2 = max{|x1|,|x2|} Thêt vêy, ta kiºm tra 3 tẵnh chĐt cừa chuân. Vợi x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2
= |α|max{|x1|,|x2|} =|α|kxk2. 3. kx+yk2 = max{|xi +yi|}, i = {1; 2} kxk2+kyk2 = max{|xi|}+ max{|yi|}, i = {1; 2}
Suy ra kx+yk 2 ≤ kxk 2 +kyk 2
(iii) kxk 3 = p x 2 1 +x 2 2 Thêt vêy, ta kiºm tra 3 tẵnh chĐt cừa chuân Vợi x= (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R 2
= (kxk 3 +kyk 3 ) 2 Vêy ta cõ kx+yk 3 ≤ kxk 3 +kyk 3
Chú ỵ 1.1.3 Cõ thº chựng minh ữủc rơng cĂc chuân||.|| 1 ,||.|| 2 ,||.|| 3 trản
R 2 ð trản l tữỡng ữỡng, cử thº: kxk 2 ≤ kxk 3 ≤ kxk 1 ≤ 2kxk 2
CĂc chuân n y v sỹ tữỡng ữỡng giỳa chúng cõ thº ữủc mð rởng mởt cĂch tỹ nhiản cho khổng gian R n ,∀n ≥ 1.
Vẵ dử 1.1.6 Sau Ơy l mởt số chuân trản cĂc khổng gian tuyán tẵnh quen thuởc khĂc i Khổng gian l p ,1 ≤ p < ∞: Vợi x= (xn) ∈ l p ta cõ chuân kxk p ∞
|x n | p ii Khổng gian L p (Ω),1 ≤ p < ∞: Vợi f(x)∈ L p (Ω) ta cõ chuân kfk p Z
|f(x)| p dà. iii Khổng gian cĂc h m số liản tửc C[a, b]: Vợi x(t) ∈ C[a, b] ta cõ chuân kxk = max{|x(t)|, t∈ [a, b]}.
1.1.3 Khổng gian tuyán tẵnh ành chuân ành nghắa 1.1.4 Mởt khổng gian tuyán tẵnh vợi chuân k ã k ữủc xĂc ành trản nõ ữủc gồi l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Kẵ hiằu(X,kãk) ho°c ìn gi£n l X khi ||.|| ¢ x¡c ành.
Vẵ dử 1.1.7 (i) Khổng gian tuyán tẵnh R n vợi chuân kxk v u u t n
X i=1 x 2 i , lêp th nh mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
(ii) Khổng gian tuyán tẵnh C[a, b] vợi chuân kxk = max a≤t≤b|x(t)|, lêp th nh mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
(iii) Khổng gian tuyán tẵnh C [a,b] L vợi chuân kxk b
|x(t)|dt, lêp th nh mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
(iv) Khổng gian l p ,1 ≤ p < ∞, x= (xn) ∈ l p vợi chuân kxk p ∞
|xn| p , lêp th nh mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
(v) Khổng gian L p (Ω),1 ≤ p < ∞, f(x) ∈ L p (Ω) vợi chuân kfk p Z
|f(x)| p dà, lêp th nh mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Trong trữớng hủp
Khổng gian tuyán tẵnh ành chuân (X, k) là một khổng gian Banach nếu (X, k) là khổng gian ành chuân Ưy và mọi dãy Cauchy trong X hội tụ trong X.
Vẵ dử 1.1.8 CĂc khổng gian tuyán tẵnh ành chuân
Các không gian Banach như R^n, C[a, b], C[a, b] L, l^p, và L^p(Ω) (với 1 ≤ p < ∞) là những ví dụ quan trọng trong lý thuyết không gian toán học Định nghĩa không gian tuyến tính chuẩn (X, k) với X0 là một không gian vectơ con của X cho thấy rằng nếu k là một chuẩn trên X, thì k0 là chuẩn thu hẹp của k trên X0.
X0 là không gian tuyến tính, và khi X0 và kã k0 được gọi là không gian tuyến tính, thì X và kã k trở thành không gian con Giả sử X và Y là các không gian tuyến tính, thì ánh xạ A: X → Y được gọi là một phép ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn tính chất tuyến tính, tức là A là một ánh xạ tuyến tính và A^(-1) là ánh xạ tuyến tính.
Hai khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X v Y ữủc gồi l ỗng phổi vợi nhau náu tỗn tÔi mởt ph²p ỗng phổi tứ khổng gian n y lản khổng gian kia.
Kát quÊ sau Ơy tạo ra một quan hệ giữa các không gian tuyến tính ảnh chuẩn hữu hạn chiều Mỗi không gian tuyến tính ảnh chuẩn thực n chiều đều có một không gian R n tương ứng.
Chựng minh GiÊ sỷ X l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân thỹc n chiãu v {e 1 , , en} l mởt cỡ sð cừa X Khi õ, vợi x ∈ X ta cõ biºu diạn x n
Ta x²t ¡nh x¤ A :R n → X x¡c ành nh÷ sau
X i=1 xiei,∀¯x = (x1, , xn) ∈ R n Dạ thĐy, A l mởt song Ănh tuyán tẵnh tứ R n lản X Ta s³ chựng minh A l ph²p ỗng phổi Thêt vêy, vợi x¯ = (x1, , xn) ∈ R n ta cõ kA(¯x)k =kxk n
Vêy A l Ănh xÔ tuyán tẵnh bà ch°n Theo ành lỵ 7.2 trong [2] thẳ A l Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc.
Gồi B l hẳnh cƯu ỡn và trong khổng gian R n X²t h m số f(¯x) = f(x 1 , , x n ) = kA(¯x)k = kxk = k n
Theo tẵnh chĐt cừa chuân nản f l h m số liản tửc trản B Do õ, f Ôt giĂ trà nhọ nhĐt l m trản B v tứ ành nghắa cừa f suy ra m > 0 Vêy ta câ kA(¯x)k ≥m, vợi mồi x¯ ∈ B.
Gi£ sû x¯ ∈ R n ,x¯ 6= 0 Khi â x¯ kxk¯ ∈ B Do â ta câ A x¯ kxk¯
≥ m hay A(¯x) k¯xk ≥ m suy ra kA(¯x)k ≥ mk¯xk.
Hiºn nhiản, bĐt ¯ng thực trản úng khi x¯ = 0 Tứ õ suy ra A −1 l Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc Vêy A l mởt ph²p ỗng phổi.
Tứ ành lỵ 1.1.9 ta cõ thº ỗng nhĐt cĂc khổng gian tuyán tẵnh ành chuân n chiãu vợi khổng gian R n
Têp lỗi - H m lỗi
GiÊ sỷ X l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
Hẳnh 1.1: Têp lỗi v têp khổng lỗi ành nghắa 1.2.1 Têp U ⊂ X ữủc gồi l lỗi náu
∀x, y ∈ U,∀λ ∈ [0; 1] ⇒(1−λ)x+λy ∈ U. ành nghắa 1.2.2 GiÊ sỷ U ⊂ X;x, y l hai 2 iºm trong U Têp hủp cĂc iºm z thọa mÂn z = (1−λ)x+λy, vợi λ ∈[0; 1] l oÔn th¯ng nối hai iºm x v y.
Tệp lỗi trong không gian tuyến tính ảnh hưởng đến việc phát biểu: Tệp U được gọi là lỗi nếu nó nối hai điểm bất kỳ trong U công chùa trong U.
Trong Hẳnh 1.1 cho ta cĂc hẳnh Ênh vẵ dử vã têp lỗi v têp khổng lỗi. Sau Ơy l mởt số vẵ dử khĂc.
Vẵ dử 1.2.1 (i) R n , ∅, {x} l cĂc têp lỗi.
(ii) Nỷa khổng gian xi ≥ 0 l cĂc têp lỗi trong khổng gian R n
(iii) CĂc a giĂc lỗi v hẳnh trỏn trong m°t ph¯ng l cĂc têp lỗi.
(iv) Hẳnh cƯu õng ỡn và B(0,1) = {x ∈X :||x|| ≤1} trong khổng gian Banach X l mởt têp lỗi.
(v) Tờng Ôi số cừa cĂc têp lỗi cụng l mởt têp lỗi Thêt vêy: giÊ sỷ
A, B l cĂc têp lỗi, v gồi C l tờng Ôi số cừa A v B, tực l :
Hẳnh 1.2: Tờng Ôi số cừa cĂc têp
Hẳnh 1.2 cho ta hẳnh Ênh cừa tờng Ôi số cừa hai têp lỗi °c biằt, têp lỗi bĐt bián qua ph²p tành tián.
Mằnh ã 1.2.2 GiÊ sỷ Uα ∈ X, α ∈ I l cĂc têp lỗi, vợi I l têp ch¿ số bĐt kẳ Khi õ U = T α∈IUα cụng lỗi.
Chựng minh LĐy x, y ∈U Khi õ, x, y ∈ Uα Vợi α ∈ I, vẳ Uα lỗi, nản
Tứ ành nghắa (1.2.1) ta nhên ữủc cĂc mằnh ã sau:
Mằnh ã 1.2.3 GiÊ sỷ U i ∈ X lỗi λ i ∈ R, i = 1, , m Khi õ, λ 1 U 1 + +λ m U m l têp lỗi.
Mằnh ã 1.2.4 GiÊ sỷ X i l cĂc khổng gian tuyán tẵnh ành chuân, têp
Ui lỗi, (i = 1; .;m) Khi õ, tẵch Descarte U1ì .ìUm l têp lỗi trong
Mằnh ã 1.2.5 GiÊ sỷ X, Y l cĂc khổng gian tuyán tẵnh ành chuân,
A: X → Y là toán tỷ tuyến tĩnh Khi đó: a) Nếu U ⊂ X là tập lỗi thì A(U) cũng là tập lỗi; b) Nếu V ⊂ Y là tập lỗi thì nghịch đảo A⁻¹(V) của V cũng là tập lỗi Định nghĩa 1.2.3 Vectơ x ∈ X được gọi là tổ hợp lỗi của các vectơ xi ∈ X (i = 1, , n), nếu tồn tại các hệ số λi (i = 1, , n) sao cho ∑(i=1 đến n) λi = 1, và x = ∑(i=1 đến n) λi xi.
Sau khi mở tệp hủp A trong không gian X, ta có thể xác định các tệp lỗi trong X chứa tệp A Các tệp lỗi này được gọi là bao lỗi của A, ký hiệu là Co(A).
Theo Mằnh ã 1.2.2, tệp lỗi Co(A) là một tệp chứa lỗi trong X và tệp lỗi nhọ nhĐt trong X, đồng thời sửa tệp hợp A Hơn nữa, bao lỗi của tệp A trùng với tệp tĐt, có các tờ hợp lỗi của một số hỳu hÔn bắt ký các phần tỷ của.
Vẽ đường bao lỗi trong không gian R^n bao gồm một số khái niệm quan trọng Đầu tiên, bao lỗi của hai điểm phân biệt M và N được xác định là khoảng không gian giữa chúng Thứ hai, bao lỗi của ba điểm không đồng phẳng M, N, P tạo thành một miền tam giác, trong đó bao gồm cả các điểm biên.
Cho X l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân v U ⊂ X l mởt têp lỗi. ành nghắa 1.2.5 H m f : U →R ữủc gồi l h m lỗi náu f((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)f(x) +λf(y), (1.1) vợi mồi x,y ∈ U, λ∈ [0; 1].
• H m f ữủc gồi l lỗi ch°t náu vợi mồi x 6= y v λ ∈ (0; 1) ta cõ f((1−λ)x+λy)< (1−λ)f(x) +λf(y).
• H m f ữủc gồi l h m lóm náu h m −f l h m lỗi, tực l f((1−λ)x+λy) ≥ (1−λ)f(x) +λf(y), ∀x,y ∈U, λ ∈ [0; 1].
• H m f ữủc gồi l lóm ch°t náu h m −f l lỗi ch°t, tực l f((1−λ)x+λy) > (1−λ)f(x) +λf(y), ∀x 6= y ∈ U, λ ∈ (0; 1).
Mằnh ã 1.2.8 H m f :U → R l lỗi (tữỡng ựng lỗi ch°t, lóm ) khi v ch¿ khi mồi c°p x v y trong U, h m φ : [0; 1]→ R, φ(t) =f((1−t)x+ty), l lỗi (tữỡng ựng lỗi ch°t, lóm ).
Hẳnh 1.4: Trản ỗ thà cừa h m f °t v = y −x, ta cõ thº ành dÔng lÔi Mằnh ã (1.2.8) thay ời iãu kiằn lỗi tữỡng ựng cừa h m ψ(t) = f(x+tv), t∈ domψ ={t ∈ R :x+tv ∈U}, trong â, x ∈ U v v ∈E.
Hằ quÊ 1.2.9 (Mð rởng tiảu chẵ lỗi cừa Jensen) H m liản tửc f :U → R l lỗi náu v ch¿ náu nõ l lỗi trung iºm, nghắa l f x+y 2
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm m f: U → R và khái niệm epi(f), được định nghĩa là epi(f) = {(x, α) : x ∈ U, α ∈ R và f(x) ≤ α} Điều này cho thấy rằng epi(f) biểu thị các điểm trên mặt phẳng mà hàm f không vượt quá giá trị α Hơn nữa, hàm giá trị thực f xác định một tập con trong không gian U, trong đó tập con này được gọi là epi(f) và liên quan đến cấu trúc của không gian tuyến tính E trong R.
Hẳnh 1.5: Dữợi ỗ thà cừa h m lóm f ành nghắa 1.2.7 Cho h m lóm f : U → R, kẵ hiằu hyp(f) l dữợi ỗ thà cõa h m f, tùc l hyp(f) ={(x, α) : x ∈ U, α ∈ R v α ≤ f(x)}.
Nhữ chúng ta  nhên thĐy, trữớng hủp rới rÔc cừa bưt ¯ng thực Jensen
Cụng nhữ trữớng hủp ối số cừa nõ mð rởng nguyản vôn cho trữớng hủp cĂc h m lỗi mởt bián vectỡ Ảnh lỵ (1.2.10) ữa ra mởt ối số ỡn giÊn thay thá.
Hằ quÊ 1.2.11 (Trữớng hủp °c biằt cừa bĐt ¯ng thực Jensen) Náu f :U → R l h m lỗi v Pn k=1λ k x k l tờ hủp lỗi cĂc iºm trong U, thẳ f( n
X k=1 λkf(xk). ối vợi h m lóm, bĐt ¯ng thực ngữủc lÔi s³ úng.
Chựng minh Ta cõf lỗi, nảnepi(f)l têp lỗi X²tniºm(x1, f(x1)), ,(xn, f(xn)) trản epi(f), khi õ bĐt kẳ tờ hủp lỗi cừa chúng n X k=1 λ k x k , n
, cụng nơm trong epi(f) Theo ành nghắa cừa trản ỗ thà, iãu n y ta cõ b§t ¯ng thùc Jensen.
Hằ quÊ 1.2.12 Náu f :U → R l h m lỗi v x1, ,xn l cĂc iºm trong
Khi õ, h m f Ôt cên trản cừa nõ trản conv({x 1 , ,x n }) tÔi mởt trong c¡c iºm x 1 , ,x n
Tẵnh chĐt ữủc phĂt biºu ð Hằ quÊ (1.2.12) chẵnh l °c trững cừa h m tỹa lỗi, tực l h m f :U → R sao cho f (1−λ)x +λy
Cho h m f : U → R v số thỹc α, têp mực α cừa f ữủc xĂc ành nhữ sau: level α f(x) = {x ∈U : f(x)≤ α}.
Bờ ã 1.2.13 H m tỹa lỗi l h m m têp mực cừa nõ lỗi.
Náu bĐt ¯ng thực (1.3) thay max th nh min thẳ f l h m tỹa lóm. Mồi h m lỗi (lóm) l mởt h m tỹa lỗi (tỹa lóm).
Sau khi xác định các hàm giá trị thực mở rộng trên không gian tuyến tính ảnh chuẩn E, ta có thể mô tả hàm giá trị mờ f: E → R¯ Hàm này được gọi là lỗi mờ trong trường hợp nó thỏa mãn điều kiện epi(f) = {(x, α) : x ∈ E, α ∈ R và f(x) ≤ α} Đây là tập con lỗi của E trong R.
Miãn hỳu hiằu cừa h m lỗi f :E →R¯ l têp domf = {x : f(x)< ∞}.
Tứ x∈ domf tữỡng ữỡng tỗn tÔi α ∈R sao cho (x, α) ∈epi(f), têp hỳu hiằu cừa h m lỗi l têp lỗi.
H m chẵnh thữớng l h m f :E → R¯ khổng bao gỗm 2 giĂ trà ±∞.
Trong trữớng hủp n y, tẵnh chĐt lỗi cõ thº ữủc viát dữợi dÔng f((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)f(x) +λf(y)
H m f : E → R∪ {−∞} ữủc gồi l h m lóm chẵnh thữớng náu −f l lỗi chẵnh thữớng.
Náu U l têp con lỗi trong khổng gian tuyán tẵnh E, thẳ mồi h m lỗi f :U → R mð rởng án h m lỗi chẵnh fetrản E, °t fe(x) =∞, x ∈ E\U.
H m ch¿ cừa têp con khĂc rộng U cừa E ữủc xĂc ành bði dÔng ı U (x)
Dạ d ng chựng minh ữủc U lỗi khi v ch¿ khi ı U l h m lỗi chẵnh thữớng.Têp dữợi mực cừa h m lỗi chẵnh thữớng f : X → R∪ {∞} l têp lỗi.
Tẵnh chĐt cừa h m lỗi trản khổng gian tuyán tẵnh ành chu©n
Tẵnh liản tửc cừa h m lỗi
Bờ ã 2.1.1 Mội h m lỗi f xĂc ành trản têp lỗi mð U ⊂ R n ãu bà ch°n àa phữỡng (nghắa l , mội a∈ U cõ mởt lƠn cên m trản õ f bà ch°n).
Chứng minh rằng với một tập hợp K thuộc U, có thể biểu diễn dữ liệu thông qua một tờ hợp lỗi của các điểm thuộc K Điều này cho thấy K là một tập hợp lớn và mọi điểm x thuộc K đều có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các điểm trong K.
Do h m f lỗi nản ta cõ f(x) = f
Vêy h m f bà ch°n trản àa phữỡng trong K.
Ta chứng minh rằng hàm f là chọn lựa địa phương trong K, từ đó suy ra hàm f là chọn lựa địa phương tràn K Thực tế, do tính đối xứng của K với mọi x ∈ K, tồn tại y ∈ K sao cho a = x + y.
Vêy h m f bà ch°n dữợi àa phữỡng trản K.
Kát quÊ sau Ơy l sỹ mð rởng cừa h m lỗi trản trản ữớng th¯ng thỹc.
Cử thº, náu h m f l lỗi trản têp mởt têp con lỗi I trong R thẳ nõ liản tửc trản phƯn trong intI cừa I.
Mằnh ã 2.1.2 Cho f l h m lỗi trản têp lỗi mð U trong R n Khi õ f Lipschitz àa phữỡng v tứ õ suy ra f liản tửc trản U.
Chựng minh Theo bờ ã trữợc, lĐy iºm a ∈ U, ta cõ thº tẳm mởt hẳnh cƯu B 2r (a) ⊂ U m f bà ch°n trản bði M Vợi x 6= y trong B r (a), °t z = y+ r α(y−x), trong õ α = ky−xk Dạ d ng thĐy ữủc z ∈ B 2r (a).
Ta câ y = r r+αx+ α r+αz, vẳ f lỗi nản ta cõ f(y) ≤ r r+αf(x) + α r +αf(z).
HoĂn ời vai trỏ x v y cho nhau v lêp luên tữỡng tỹ ta cõ f(x)−f(y) ≤ 2M r ky−xk.
Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh
|f(x)−f(y)| ≤ 2M r ky −xk. ành nghắa 2.1.1 Cho têp A ⊂ E, A ữủc gồi l têp affine náu λx+
Cho A là một tập con mở của E Khi đó, giao của tất cả các tập affine chứa tập A được gọi là bao affine của A, ký hiệu là aff(A) Phần trong của tập A, ký hiệu là ri(A), là phần trong của A trong aff(A) Tồn tại a ∈ ri(A) nếu có một khoảng > 0 sao cho
Kát quÊ vã tẵnh liản tửc cừa h m lỗi trản ri(A) l hằ quÊ cừa Mằnh ã 2.1.2.
Hằ quÊ 2.1.3 Cho f l h m lỗi xĂc ành trản têp lỗi A trong R n Khi õ f Lipschitz trản mội têp con lỗi compact cừa ri(A) v do õ f liản tửc trản ri(A).
Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ thº giÊ sỷ aff(A) = R n Khi õ ri(A) = int(A) Khi õ Ăp dửng Mằnh ã 2.1.2 ta suy ra iãu cƯn chùng minh.
Kát quÊ sau Ơy l sỹ mð rởng cừa Mằnh ã 2.1.2 trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân vổ hÔn chiãu.
Mằnh ã 2.1.4 trình bày về việc cho hàm lỗi tràn tiếp mð U trong không gian tuyến tính ảnh chuẩn Nếu hàm f là hàm Lipschitz trong một miền mở của U, thì hàm f là hàm liên tục trong miền đó.
Bờ ã 2.1.5 Cho phép lựa chọn lỗi trong không gian tuyến tính, nhằm đạt được chuẩn mực Nếu lựa chọn trong một không gian lớn hơn, thì cần phải cân nhắc đến phương pháp trong không gian đó.
Chựng minh GiÊ sỷf bà ch°n trản bði M trản hẳnh cƯuBr(a) LĐy x ∈ U v ρ > 1 sao cho z = a+ρ(x−a) ∈U Náu λ= 1 ρ thẳ
V = {v|v = (1−λ)y +λz,y ∈ Br(a)} l lƠn cên cừa x = (1− λ)a +λz, vợi bĂn kẵnh (1 − λ)r Hỡn nỳa, vợi v ∈ V ta câ f(v) ≤ (1−λ)f(y) +λf(z)≤ (1−λ)M +λf(z). º chựng minh f bà ch°n dữợi trong lƠn cên tữỡng tỹ, chồn v ∈ V tũy ỵ, v lữu ỵ rơng 2x−v ∈ V Kát quÊ l f(x)≤ f(v)
2 , suy ra f(v) ≥ 2f(x)−f(2x−v)≥ 2f(x)−f(M). ành nghắa 2.1.3 Mởt h m giĂ trà thỹc mð rởng f xĂc ành trản khổng gian tổpổ Hausdorff X ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi náu f(x) ≤ lim inf y→x f(y),∀x ∈ X.
Mởt h m g ữủc gồi l trản nỷa liản tửc náu −g l nỷa liản tửc dữợi.
Khi X l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân, iãu kiằn nỷa liản tửc dữợi ữủc hẳnh th nh theo ngổn ngỳ chuội: xn → x ∈ X ⇒ f(x)≤ lim inf n→∞ f(xn). ành lỵ 2.1.6 Cho h m f : E → R ∪ {∞} cĂc mằnh ã sau l tữỡng ÷ìng:
(a) Trản ỗ thà cừa f õng trảnEìR, nghắa l , mội chuội iºm (xn,yn) ∈ epi(f) hởi tử án (x,y) ∈E ìR ta cõ (x,y) ∈epi(f);
(b) Mồi têp mực cừa f õng;
(c) f nỷa liản tửc dữợi trản E.
Chựng minh (a)⇒ (b) LĐy α ∈ R bĐt kẳ.
Náu levelα(f) = ∅, thẳ nõ l têp õng.
Náu level α (f) 6= ∅, khi õ, chồn (x n ) n l chuội trong level α (f) sao cho x n → x ∈ E Ta cõ f(x n ) ≤ α vợi mồi n, do õ (x n , α) ∈ epi(f),∀n.
Tứ (x n , α) → (x, α) v trản ỗ thà cừa h m f l têp õng, ta suy ra (x, α)∈ epi(f), vẳ vêy x ∈ level α (f).
(b)⇒ (c) Ta chựng minh bơng phÊn chựng.
Giả sử hàm f là một hàm khổng nề và liên tục trên một tập E, và chuỗi (xn)n hội tụ về x trong E với điều kiện f(x) > lim inf n→∞ f(xn) Điều này cho phép tồn tại một số c và một chuỗi con (xk(n))n sao cho f(x) > c ≥ f(xk(n)), với xk(n) thuộc mức c (f) cho mọi n Do xk(n) hội tụ về x, và với mỗi mức c của f, ta có thể thấy rằng x thuộc mức c (f) Do đó, f(x) ≤ c, dẫn đến mâu thuẫn.
Do õ, f nỷa liản tửc dữợi trản E.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hàm số f và một điểm (x, y) không nằm trong tập hợp epi(f) Để chứng minh điều này, chúng ta xác định một chuỗi các điểm (x_n, y_n) thuộc epi(f) sao cho chuỗi này hội tụ về (x, y) Với điều kiện f(x_n) ≤ y_n cho mọi n, chúng ta có thể kết luận rằng giới hạn dưới của f(x_n) khi n tiến tới vô cùng không vượt quá giới hạn của y_n.
M°t khĂc, y < f(x) vẳ (x,y) ∈/ epi(f) Hỡn nỳa lim inf n→∞ f(xn) < f(x),mƠu thuăn vợi iãu kiằn nỷa liản tửc dữợi cừa h m f Vêy epi(f) l têp âng.
Dữợi vi phƠn cừa h m lỗi
Cho E là không gian tuyến tính ảnh chuẩn v h m f: E → R∪ {∞} là hàm lỗi tràn E Để chứng minh các kết quả trong mức này, ta đưa ra một số khái niệm sau:
• Miãn xĂc ành thỹc sỹ cừa h m f, kỵ hiằu l dom(f), xĂc ành nhữ sau dom(f) ={x∈ E : f(x)∈ R}.
CĂc h m lỗi trong mửc n y ta luổn giÊ sỷ dom(f) 6= ∅.
Gồi E là một không gian, và hàm affine h(x) = f(a) + x* (x - a) được định nghĩa cho mọi x ∈ E, với a ∈ E và x* ∈ E* Hàm này biểu diễn giá trị của hàm f tại điểm a Đồ thị của hàm affine h là tập hợp {(x, h(x)) : x ∈ E}, tạo thành một mặt phẳng tiếp xúc với epi(f) tại điểm (a, f(a)).
Ta có hàm lỗi tràn khổng gian tuyến tính E, với hàm lỗi nửa liên tục dữ dội xác định tràn khổng gian tuyến tính E Khi đó, với mọi a thuộc int(dom(f)), tồn tại một phiám hàm tuyến tính liên tục x* thuộc E* sao cho f(x) ≥ f(a) + x*(x−a), với mọi x thuộc E.
Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục trong không gian E^n, với điều kiện rằng nếu a ∈ int(dom)(f) thì f(a) là điểm cực trị Đối với mọi ε > 0, tồn tại một điểm (a, f(a) + ε) thuộc int(epi(f)), và (a, f(a)) là điểm biên của epi(f) Ngược lại, có thể xây dựng một hàm số khác trong không gian E^n, sao cho tồn tại (y*, λ) ∈ E*^n với (y*, λ) ≠ (0,0) và y*(x) + λr ≤ y*(a) + λf(a) cho mọi (x, r) ∈ epi(f).
Tứ a ∈ int(domf), suy ra λ 6= 0 M°t khĂc, °t r → ∞ ta suy ra λ ≤ 0. Vẳ vêy, λ 0 sao cho x ∗ (x) +λr < x ∗ (x 0 ) +λα− (2.1) trong õ (x, r) ∈ epi(f)(cõ nghắa l ∀x ∈ domf v r ≥ f(x)).
Náu (x 0 , f(x 0 )) ∈epi(f), thẳ bĐt ¯ng thực (2.1) Ăp °t λ < 0 v trong trữớng hủp n y f(x) ≥ h(x) = ( 1
Dạ d ng thĐy ữủch liản tửc v affine, h(x0) > α v f(x) ≥ h(x),∀x ∈ E. Náu f(x0) =∞ v λ 6= 0, cho r → ∞ trong bĐt ¯ng thực (2.1), ta suy ra λ 0.
Mởt h m p :E → R ữủc gồi l cởng tẵnh dữợi náu p(x+y) ≤ p(x) +p(y),∀x,y ∈ E v cởng tẵnh trản náu −p l cởng tẵnh dữợi, p ữủc gồi l tuyán tẵnh dữợi náu nõ vứa thuƯn nhĐt dữỡng vứa cởng tẵnh dữợi.
Mởt h m tuyán tẵnh dữợi l nỷa chuân náu p(λx) = |λ|p(x),∀λ ∈R H m nỷa chuân l chuân náu p(x) = 0 =⇒ x = 0.
Nỷa chuân l cổng cử trong lỵ thuyát khổng gian lỗi àa phữỡng.
Bờ ã 2.3.1 Náu f l h m thuƯn nhĐt dữỡng xĂc ành trản nõn lỗi C,thẳ f lỗi (t.ữ lóm) náu v ch¿ náu f cởng tẵnh dữợi (t.ữ cởng tẵnh trản).
Chựng minh GiÊ sỷ rơng f lỗi v x,y ∈ C.
Khi õ, vẳ f thuƯn nhĐt dữỡng nản ta cõ:
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f l cởng tẵnh dữợi Khi õ, vẳ f thuƯn nhĐt dữỡng nản ∀x,y ∈ C v λ ∈(0,1) ta cõ: f (1−λ)x+λy
Vêy f lỗi. ối vợi h m lóm, ta chựng minh tữỡng tỹ nhữ sau:
Khi õ, vẳ f thuƯn nhĐt dữỡng nản ta cõ:
Vêy −f cởng tẵnh dữợi ⇒f cởng tẵnh trản.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f l cởng tẵnh trản, tực l −f cởng tẵnh dữợi.
Khi õ, vẳ f thuƯn nhĐt dữỡng nản ∀x,y ∈C v λ ∈ (0,1) ta cõ: f (1−λ)x
+ (−f)(λy) = (1−λ)(−f)(x) +λ(−f)(y). vẳ −f cởng tẵnh dữợi nản
Bờ ã 2.3.2 Cho f l h m thuƯn nhĐt dữỡng xĂc ành trản nõn lỗi C v Ôt giĂ trà dữỡng Náu têp mực {x ∈ C :f(x) ≤ 1} lỗi thẳ f lỗi.
Nõi cĂch khĂc, mồi h m thuƯn nhĐt dữỡng, tỹa lỗi, v dữỡng thẳ lỗi.
Chựng minh Theo bờ ã (2.3.1), f thuƯn nhĐt dữỡng nản f l cởng tẵnh dữợi Do õ, lĐy x,y ∈ C v chồn α, β sao cho α > f(x), v β > f(y). Vẳ f dữỡng v thuƯn nhĐt dữỡng nản f x α
1 βf(y) ≤ 1 Vẳ vêy, cÊ x α v y β ãu nơm trong têp mực {x ∈C : f(x ≤ 1)}. GiÊ sỷ têp mực n y lỗi, khi õ ta cõ:
Theo Bờ ã(2.3.1) ta suy ra f lỗi.
Vẵ dử 2.3.3 Cho p ≥ 1, x²t h m f trản têp R n + cho bði cổng thực f(x1, , xn) = (x p 1 + .+x p n ) 1/p
Dạ d ng chựng minh ữủc f dữỡng v thuƯn nhĐt dữỡng, v f p l h m lỗi Vẳ vêy, têp mực
{x ∈ X :f(x) ≤ 1} = {x ∈X :f p (x) ≤ 1} lỗi, v iãu n y chựng tọ rơng f l h m lỗi Theo bờ ã (2.3.1) ta kát luên f cởng tẵnh dữợi.
H m giĂ cừa mởt têp C lỗi khĂc rộng trản khổng gian tuyán tẵnh ành chuân E xĂc ành bði cổng thực: σ C (u ∗ ) = sup x∈C
Đoạn văn này nói về việc chứng minh một hàm tuyến tính trong không gian R ∪ {∞} Hàm này được xác định trên tập hợp C và có liên quan đến khối không gian E Khi E = R^n, không gian đối ngẫu có thể được xác định từ E, và công thức σ C (u) = sup x∈C hx,ui, với u ∈ R, được đưa ra để mô tả mối quan hệ này.
Hỡn nỳa, náu kuk = 1, thẳ têp Hα = {x ∈ R : hx,ui = α} Ôi diằn cho siảu ph¯ng song song, cõ u l v²c tỡ phĂp tuyán, α = σC(u) l giĂ trà m
Hα l giĂ cừa C v C chựa trong nỷa khổng gian H α −
Hàm giá trị của nửa không gian C = {a} trong R^n được biểu diễn là hC(u) = hu, ai Trong trường hợp C là hình cầu, hàm cấu trúc sẽ là hC(u) = kuk Theo định lý 2.3.4 (L Hormander), hàm giá trị σC của tập C ⊂ R^n không chỉ là một lỗi compact mà còn là lỗi thuần nhất.
C = {x ∈R n : hx,xi ≤ σ C (u), vợi mội u ∈R n }, cho thĐy rơng C l giao cừa tĐt cÊ cĂc nỷa khổng gian chựa nõ. b) Ngữủc lÔi, cho h: R n →R l h m lỗi thuƯn nhĐt dữỡng Khi õ, têp
C = {x ∈ R n : hx,xi ≤ h(u), vợi mội u∈ R n }, l têp khĂc rộng, compact, lỗi v h m giĂ cừa nõ l h.
Chứng minh rằng một vector u thuộc tập hợp R^n thỏa mãn điều kiện hx, ui ≤ σC(u) với mọi u ∈ R^n và z ∉ C Từ đó, theo kích thước của tập hợp, ta có thể suy ra rằng tồn tại một vector u sao cho σC(u) = sup{hx, ui : x ∈ C} < hz, ui Do đó, z thuộc tập hợp C.
Theo định nghĩa trong tài liệu, nếu x thuộc biên ∂h(v), thì h(u) ≥ h(v) + ⟨u - v, x⟩ với mọi u Khi thay u bằng λu (với λ > 0 cố định), ta có h(u) ≥ h(v)/λ + ⟨u - v/λ, x⟩ Khi λ tiến tới vô cùng, suy ra h(u) ≥ ⟨u, v⟩ với mọi u thuộc R^n Điều này cho thấy C là một tập hợp hợp lệ trong không gian con của ∂f(v), và tập này là một tập rộng C cũng là một tập hợp đóng và giao của các không gian con Với mỗi x thuộc C, ta có -h(-e_k) ≤ -⟨x, -e_k⟩ ≤ h(e_k) cho mọi k, thỏa mãn tính đóng của C Do đó, C là một tập compact.
Ró r ng σ C ≤ h ối vợi bĐt ¯ng thực khĂc, chồn tũy ỵ u ∈ R n v z ∈ ∂h(u) v lữu ỵ rơng 0 = h(0) ≥ h(u) + h0 − u,zi, nghắa l , h(u)≤ hu,zi Vẳ z ∈ C ta kát luên rơng h(u) ≤ σ C (u).
Hằ quÊ 2.3.5 Náu 2 têp khĂc rộng, compact, v lỗi trong R n cõ cũng giĂ thẳ chúng trũng nhau.
Cho C l têp lỗi khĂc rộng trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân E.
H m Minkowski liản ợi C l h m γC :E →R∪ {∞}, γC(x) = inf{λ >0 : x ∈ λC}, vợi quy ữợc γC(x) = ∞ náu x ∈ λC, λ ≤ 0.
Mằnh ã 2.3.6 Náu têp C lỗi õng v chựa iºm gốc thẳ: a) Hàm Minkowski γ C là hàm nhịp lượng tửc dữợi, tuyến tính dữợi, và dữỡng b) C = {x ∈ E : γ C (x) ≤ 1} c) γ C là hàm giá trị thực và lượng tửc náu iºm gốc nằm trong cửa.
Chựng minh Dạ d ng chựng minh ữủc γ C ≥ 0 v γ C (0) = 0 Tẵnh thuƯn nh§t d÷ìng cõa γC nh÷ sau: γC(λx) = inf{à > 0 : λx ∈ àC}
= λinf{τ > 0 :x ∈ τ C} =λγ C (x), vợi mồi λ >0,x ∈ domγ C Ta cõ:
= \ λ>1 λC =C, theo bờ ã (2.3.2), γC l h m lỗi Theo bờ ã (2.3.1), ta thĐy γC thêt sỹ tuyán tẵnh dữợi M°c khĂc, do tẵnh thuƯn nhĐt dữỡng cừa γC, ta cõ {x ∈E : γ C (x)< r} = rC,∀r > 0, vẳ vêy γ C l nỷa liản tửc dữợi.
Náu 0 l iºm trong cừa C, thẳ C chựa hẳnh cƯu õng B¯ (0) vợi > 0. Khi õ mội iºm x ∈ E,x 6= 0, thọa mÂn cổng thực γC(x) =γC kxk ã x kxk
Hằ quÊ 2.3.7 Náu C ⊂ E l têp con õng, bà ch°n, v intC 6= ∅, thẳ C ỗng nhĐt vợi hẳnh cƯu õng B ={x ∈ E : kxk ≤ 1}.
Chựng minh GiÊ sỷ 0 ∈ intC, khi õ, tỗn tÔi r >0 sao cho C chựa tĐt cÊ x ∈ E vợi kxk ≤r, khi õ γC(x) ≤ kxk/r,∀x ∈ E.
Vẳ C bà ch°n, nản cõ số R >0 sao cho kxk ≤ R,∀x ∈ C.
Do õ, náu x ∈λC, thẳ kx/λk ≤R, khi õ γ C (x) ≥ kxk/R,∀x ∈ E. Kát quÊ l tẵnh liản tửc cừa h m Minkowski γ C , thêt vêy:
|γ C (x)−γ C (y) ≤ max{γ C (x−y), γ C (y −x)} ≤ 1 rkx−yk,∀x,y ∈ E. Lữu ỵ rơng Ănh xÔ:
0 náu x = 0, γC(x) x kxk náu x 6= 0. liản tửc vợi nghàch Êo liản tửc v T(C) =B.
Ôo h m theo hữợng
Dữ liệu vi phân có thể được biểu thị qua các số hạng của hàm theo hướng Định nghĩa 2.4.1: Cho hàm f: E → R ∪ {∞} là hàm chính thống xác định trên không gian tuyến tính chuẩn E Hàm bản phải của f tại a ∈ int(dom f) so với v ∈ E được xác định qua công thức f + 0 (a; v) = lim t→0 + (f(a + tv) - f(a)) / t.
Mằnh ã 2.4.1 (BĐt ¯ng thực ba dƠy công) Cho h m f : E → R Vợi x, y, z ∈ R, f l h m lỗi khi v ch¿ khi f thọa mÂn bĐt ¯ng thực sau: f(z)−f(x) z−x ≤ f(y)−f(x) y−x ≤ f(y)−f(z) y−z
CĂc °c trững chẵnh cừa Ôo h m theo hữợng phÊi ữủc tõm tưt trong bờ ã dữợi Ơy.
Bờ ã 2.4.2 GiÊ sỷ f : E → R ∪ {∞} l h m lỗi chẵnh thữớng v a ∈ int(dom f) Khi â:
(a) Ôo h m theo hữợng phÊi f + 0 (a;v) l h m giĂ trà thỹc, tuyán tẵnh dữợi v thu¦n nh§t d÷ìng cõa v ∈ E;
(c) náu f liản tửc tÔi a, thẳ Ôo h m theo hữợng f + 0 (a;v) l h m liản tửc trong v.
Vẳ a ∈ int(dom f), do õ cõ số ε > 0 sao cho h m t → f(a + tv) lỗi trản khoÊng [−ε;ε] vợi v ∈ E Theo bĐt ¯ng thực ba dƠy công, t¿ số f(a+tv)−f(a) t l h m tông cừa t, mang lÔi f(a−εv)−f(a)
Công thức (2.8) cho thấy f + 0 (a;v) được định nghĩa là giới hạn của f(a+tv)−f(a) t khi t tiến đến 0 Theo đó, f + 0 (a;v) = lim t>0 f(a+tv)−f(a) t và f + 0 (a; 0) = 0 Đối với tính thuần nhất dữ liệu của f + 0 (a;.), ta có: f + 0 (a;αv) = lim t→0 + f(a+tαv)−f(a) t.
Ta cõ f + 0 (a;ã) l cởng tẵnh dữợi (v vẳ vêy cụng tuyán tẵnh dữợi).
(c) Náu f liản tửc tÔi a, thẳ f Lipschitz trong hẳnh cƯu õng B¯ R (a) Vẳ vêy, cõ số M > 0 sao cho vợi mồi v ∈ E,v 6= 0, f(a+tv)−f(a) t
≤ Mkvk,∀t ∈ (0, R kvk). iãu n y nghắa l f + 0 (a;v) ≤ Mkvk,∀v ∈ E v tẵnh liản tửc cừa f + 0 (a;v) thọa mÂn.
BƠy giớ ta thÊo luên vã sỹ liản kát giỳa dữợi gradient v Ôo h m theo hữợng phÊi.
Bờ ã 2.4.3 GiÊ sỷ rơng f : E → R∪ {∞} l h m lỗi chẵnh thữớng v a ∈ int(dom f) Khi õ x ∗ ∈ E ∗ l dữợi gradient cừa f tÔi a náu v ch¿ náu x ∗ (v) ≤ f + 0 (a,v), vợi mồi v ∈ E.
Chựng minh Náu x ∗ ∈∂f(a) thẳ vợi mội v ∈ E v mội t > 0 ta cõ: x ∗ ≤ f(a+tv)−f(a) t , khi õ, bơng cĂch lĐy giợi hÔn khi t → 0 + , ta kát luên rơng x ∗ (v) ≤ f + 0 (a;v).
Ngữủc lÔi, náu f + 0 (a;v) vợi mồi v ∈ E thẳ cổng thực (2.8) thọa x ∗ (v) ≤ f + 0 (a;v) ≤ f(a+tv)−f(a) t vợi mồi v ∈ E v t > 0.
Trong phƯn n y, vợiv = x−a v t = 1, ta thu ữủcx ∗ (x−a)≤ f(x)−f(a),nghắa l x ∗ ∈ ∂f(a) Chựng minh xong. ành lỵ 2.4.4 (Cổng thực cỹc Ôi Moreau) Náu f : E → R∪ {∞} l h m lỗi chẵnh thữớng v f liản tửc tÔi a, thẳ ∂f(a) l têp rộng v f + 0 (a;v) = max{x ∗ (v) : x ∗ ∈ ∂f(a)}.
Nõi cĂch khĂc, f + 0 (a;ã) l h m giĂ cừa ∂f(a)}.
Chứng minh rằng với mỗi v ∈ E cố định, tồn tại một dữ liệu gradient x∗ ∈ E sao cho x∗(v) = f + 0(a; v) Theo định lý Hahn-Banach, ta có thể tìm được hàm tuyến tính x∗: E → R thỏa mãn x∗(v) = f + 0(a; v) và x∗(v) ≤ f + 0(a; v) với mọi x ∈ E Để chứng minh tính liên tục của x∗ tại gốc, ta có lim sup x→0 x∗(x) ≤ lim x→0 f + 0(a; x) = 0 và lim sup x→0 x∗(−x) = −lim inf x→0 x∗(x) ≤ lim x→0 f + 0(a; −x) = 0.
0 ≤ lim inf x→0 x ∗ (x)≤ lim sup x→0 x ∗ (x) ≤ 0, nghắa l lim x→0x ∗ (x) = 0.
Liản quan án cổng thực cỹc Ôi Moreau, lữu ỵ rơng mội têp C khĂc rộng, lỗi, compact trong R n ta cõ
∂σ C (0) = C v (σ C ) 0 (0;ã) =σ C ành lỵ 2.4.5 (Dữợi vi phƠn cừa h m cỹc Ôi) GiÊ sỷ f 1 , , f n l cĂc h m lỗi giĂ trà thỹc trản R n v kẵ hiằu f = max{f 1 , , f n }.
Vợi a ∈ R n , °t J(a) ={j : fj(a) = f(a)} l têp ch¿ số hoÔt ởng Khi õ
Chứng minh rằng ta có f(a) ≤ tệp lỗi ông v ∂f(a) ⊃ ∂fj(a) với mọi j ∈ J(a) Có một h m fk liên tục và tồn tại tÔi > 0 sao cho fk(x) < f(x) với mọi k ∉ J(a) và x ∈ B(a) Khi x và mọi v ∈ R n {0} cố định và t < kvk, ta có f(a+tv) = max j∈J(a) f(a+tv) Do đó, ta có f + 0 (a;v) = lim t→0 + (f(a+tv)−f(a))/t.
, iãu n y chựng tọ rơng h m v → f + 0 (x;v) l giĂ cừa têp lỗi C conv ∪ j∈J (x) ∂f j (x)
Theo định lý 2.4.4, hàm số f(x) là giá trị của đạo hàm, và từ định lý 2.3.4, ta có thể khẳng định rằng hai tập hợp này là trũng nhau Định lý 2.4.6, liên quan đến quy tắc tiếp cận vi phân, chỉ ra rằng nếu f1 và f2 là hai hàm số liên tục trên R^n với t1, t2 > 0, thì với mọi x ∈ R^n, điều này sẽ được áp dụng.
Chựng minh Thêt vêy t 1 ∂f 1 (x) +t 2 ∂f 2 (x) l cĂc têp lỗi compact m giĂ cừa chúng l t 1 f 1 0 (x;ã) +t 2 f 2 0 (x;ã) M°t khĂc, h m giĂ cừa∂(t 1 f 1 +t 2 f 2 )(x) l
Hai tệp lỗi compactt1∂f1(x) + t2∂f2(x) v ∂(t1f1+t2f2)(x) có cùng giá trị do ảnh hưởng lẫn nhau Cho f là hàm lỗi giới hạn thực trên R^n và A là biến đổi tuyến tính từ R^m vào R^n Khi đó, với mọi x ∈ R^m,
Chứng minh rằng theo định nghĩa của hàm hợp và cổng thực của Moreau, ta có thể chứng minh rõ ràng rằng đạo hàm của hàm hợp f ◦ A tại điểm x, với v là f 0 (Ax, Av) Do đó, hàm gián đoạn của tập lỗi compact ∂(f ◦ A)(x) thỏa mãn điều kiện cổng thực σ ∂(f ◦ A)(x)(v) = f 0 (Ax, Av).
M°t kh¡c, σ A∗∂f (Ax) (v) = sup y∈∂f (Ax) hA ∗ y,vi= sup y∈∂f(Ax) hy, Avi =f 0 (Ax, Av).
Do õ cĂc têp lỗi compact ∂(f ◦A)(x) v A ∗ ∂f(Ax) cõ cũng giĂ, chóng tròng nhau GiÊ sỷ E v F là hai không gian Banach thực và U là tập con mở của E Hàm f: U → F được gọi là khả vi Gâteaux tại a ∈ U nếu tồn tại giới hạn f 0 (a,v) = lim t→0 (f(a + tv)−f(a))/t với mọi v ∈ E, từ đó xác định toán tử tuyến tính f 0 (a): v → f 0 (a,v) từ E vào F, được gọi là vi phân Gâteaux của f tại a theo hướng v.
Trong trữớng hủpf l h m giĂ trà thỹc xĂc ành trảnR n , khÊ vi GƠteaux nghắa l sỹ tỗn tÔi cừa tĐt cÊ cĂc Ôo h m riảng
∂x k (a) =f 0 (a)(e k ) vợi k = 1, , n, trong â e 1 = (1,0, ,0), ,e n = (0,0, ,1) l cì sð cõa R n
Vẳ vêy, f 0 (a)((v) =h5f(a),vi vợi mồi v ∈ R n , trong â
∂x k (a)ek kẵ hiằu cho gradient cừa f tÔi a.
Trong trường hợp hàm lỗi chính thường f: E → R ∪ {∞}, định nghĩa vi phân Gâteaux tại điểm a ∈ int(dom f) được áp dụng Theo công thức (2.4.3), hàm f liên tục và khả vi Gâteaux tại điểm a ∈ int(dom f) nếu và chỉ nếu f + 0 (a,v) = −f + 0 (a,−v) với mọi v ∈ E.
Thêt vêy, h m p tuyán tẵnh dữợi l tuyán tẵnh náu v ch¿ náu p(−x) −p(x) vợi mồi x iãu kiằn liản tửc ữủc tỹ ởng ho n th nh khi E hỳu hÔn chiãu.
Mằnh ã 2.4.8 Náu h m lỗi chẵnh thữớng f : E → R ∪ {∞} khÊ vi GƠteaux tÔi iºm a ∈ int(dom f), thẳ
∂f(a) ={f 0 (a)} v bĐt ¯ng thực dữợi gradient trð th nh f(x) ≥ f(a)(x−a) vợi mồi x ∈ E.
Chựng minh Dạ d ng chựng minh ữủc f 0 (a) ∈ ∂f(a) Náu x ∗ ∈ ∂f(a), thẳ x ∗ (v)≤ f 0 (a)(v) vợi mồi v ∈E Thay v bði −v, ta thu ữủc bĐt ¯ng thực ngữủc lÔi Do õ, x ∗ = f 0 (a).
Hằ quÊ 2.4.9 Cho f : E → R∪ {∞} l h m lỗi chẵnh thữớng liản tửc tÔi iºm a ∈ int(dom f) Khi õ f khÊ vi GƠteaux tÔi a náu v ch¿ náu f câ gi¡ duy nh§t t¤i a.
Chựng minh GiÊ sỷ∂f(a) ={x ∗ } Khi õ, theo cổng thực cỹc Ôi Moreau, f + 0 (a,v) =x ∗ (v) v f + 0 (a,−v) = x ∗ (v) vợi mồi v ∈ E Theo nhên x²t sau ành nghắa, ta thĐy rơng f khÊ vi GƠteaux tÔi a.
Náu E hỳu hÔn chiãu, khi õ iãu kiằn liản tửc trong Hằ quÊ (2.4.9) l tỹ ởng Ành lỵ 2.4.10 (Dữợi vi phƠn tối ữu) cho thấy rằng E là không gian Banach và f: E → R ∪ {∞} là hàm lỗi chẵnh thữớng Khi õ iºm a ∈ dom f, thì cỹc tiºu àa phữỡng cừa f là dữợi vi phƠn tÔi a.
Náu a ∈ int(dom f) v f cõ Ôo h m tÔi a, thẳ iãu kiằn 0 ∈ ∂f(a) rút th nh f 0 (a) = 0.
Tẵnh khÊ vi cừa h m lỗi
Trong bài viết này, chúng ta sẽ so sánh hai không gian Banach E và F, cũng như khám phá mối quan hệ giữa hàm xác định f và các điều kiện cần thiết để f là khế vi Fréchet Cụ thể, f là hàm xác định trên tập con U thuộc E, và nếu tồn tại toán tử tuyến tính df(a) ∈ L(E, F) thỏa mãn điều kiện giới hạn x→a, thì f sẽ được coi là khế vi Fréchet tại điểm a ∈ U Điều này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các ứng dụng của giải tích phi tuyến trong các lĩnh vực khác nhau.
Tữỡng tỹ, sỷ dửng kẵ hiằu o l vổ cũng b² cừa Landau, f(a+v) = f(a) +df(a)(v) +o(v), (2.9) iãu n y nghắa l tỗn tÔi hẳnh cƯu tƠm 0 B (0) ⊂ E v mởt h m ω : B (0) →R sao cho ω(0) = lim v→0ω(v) = 0 v f(a+v) =f(a) +df(a)(v) +ω(v)kvk vợi mồi v ∈ B (0).
ToĂn tỷ df(a), náu nõ tỗn tÔi, thẳ duy nhĐt Nõ cỏn ữủc gồi l khÊ vi Fr²chet cõa f t¤i a.
Chú ỵ sỹ tữỡng tỹ sau Ơy cừa cổng thực (2.9) trong trữớng hủp khÊ vi G¥teaux: f(a+v) =f(a) +f”(a)(v) +o(v) (2.10)
Rã ràng, khái niệm Fréchet bao hàm khái niệm Gâteaux và công nhận các khái niệm tương đương f 0 (a) Trong phần 2.5.1, chúng ta xem xét sự ràng buộc của hàm f và xác định các lỗi xác định trong tập lỗi mð U ⊂ R n, liên quan đến các điều kiện của hàm ràng buộc ∂f.
∂xn tÔi mởt số iºm a ∈ R n Khi õ f khÊ vi Fr²chet t¤i a.
Chựng minh vẳ U l têp mð, tỗn tÔi r >0 sao cho Br(a) ⊂ U.
∂x k (a)uk, xĂc ành vợi mồi vectỡ u = (u 1 , , u n ) vợi kuk < r, thọa kuk→0lim f(u) kuk = 0.
M°t khĂc, vợi mội u m nkuk < r, ta cõ g(u) = g(1 n n
trong õ e1, ,en l cỡ sð cừa R n Dạ d ng, ta cõ g(−u) ≤ kuk| X
, v º ho n th nh chựng minh ta cƯn lữu ỵ rơng tứ ành nghắa Ôo h m riảng ta cõ g(nu k e k ) nuk
→0 khi uk →0. ành lỵ 2.5.2 GiÊ sỷ rơng f l h m lỗi trản têp con mð U ⊂ R n Khi â f kh£ vi h¦u kh p nìi trong U.
Chựng minh X²t trữớng hủp thự nhĐt khiU bà ch°n Theo ành lỵ (2.5.1) ta phÊi chựng minh rơng mội têp
Tập hợp \( E_k \) với \( k = 1, \ldots, n \) là một tập Lebesgue có độ đo bằng 0 Tính chất của \( E_k \) liên quan đến các hàm đo lường được thể hiện qua giới hạn \( f^+_0(x, e_k) = \lim_{j \to \infty} \frac{f(x + e_k j) - f(x)}{j} \) Điều này cho thấy rằng tính chất của \( f^+_0(x, e_k) \) liên quan đến số hạng giới hạn của \( f^-_0(x, e_k) \).
E k = {x ∈ U :f + 0 (x,e k )−f − 0 (x,e k )> 0} o ữủc Vẳ bà ch°n nản Ek cụng khÊ tẵch Theo ành lỵ Fubini
R χE k dx k dx 1 dx k−1 dx k+1 dx n v tách phân phần trong bồng 0 và f lỗi Nếu U tùy ý, đối số tràn cho thấy rỗng tất cả các tập E k ∩B n (0) không rỗng Hoặc E k = ∪ ∞ n=1 (E k ∩B n (0)) và hợp các tập không rỗng k.
H m f(x, y) = sup{x,0} lỗi trản R 2 v khổng khÊ vi tÔi nhỳng iºm nơm trản trửc tung.
Sỹ trũng nhau cừa khÊ vi GƠteaux và khÊ vi Fr²chet trong không gian hỳu hÔn chiãu Đối với không gian Banach E, nếu x ∗ n → 0 trong tổ pổ ∗ yáu cừa E ∗ và kx ∗ n k → 0, thì E là không gian hỳu hÔn chiãu Nếu E là không gian Banach và với mọi hàm liên tục f : E → R, mọi iºm khÊ vi GƠteaux cũng đồng thời là khÊ vi Fr²chet.
Chựng minh X²t dÂy(x ∗ n )n cõ chuân bơng 1 trongE ∗ v dÂy số thỹc(αn)n sao cho αn ↓ 0 Khi â h m f(x) = sup n
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện liên quan đến lỗi và tính liên tục trong không gian Banach E Cụ thể, nếu f là hàm khả vi Gâteaux tại 0, thì điều kiện x ∗ n (x) → 0 đối với mọi x ∈ E là cần thiết và đủ Hơn nữa, đối với hàm khả vi Fréchet tại 0, điều kiện kx ∗ n (x)k → 0 cũng tương tự Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết Josephson-Nissenzweig, từ đó khẳng định rằng không gian Banach E có thể được coi là một không gian chuẩn trong ngữ cảnh của các hàm khả vi Gâteaux.
Tình trạng và lỗi chất liệu liên quan đến ngẫu nhiên Nếu lỗi chất (tức là tình trạng) xảy ra, thì tình trạng (tức là lỗi chất) cũng sẽ xảy ra Điều này ảnh hưởng đến các không gian phân xô, những nơi chung không tường quách.
Mằnh ã 2.5.5 Cho (Ω,Σ, à) l khổng gian ở o Khi õ, tĐt cÊ cĂc khổng gian Lebesgue L p (à) vợi 1 < p 1.
|a| p − |a−b| p ≤ |a+tb| p − |a| p t ≤ |a+b| p − |a| p , (2.12) theo ba bĐt ¯ng thực công dƠy BĐt ¯ng thực k²p (2.12) cho thĐy tẵnh khÊ tẵch cừa h m
Theo cổng thực (2.11) v ành lỵ hởi tử trởi Lebesgue, ta suy ra
KT LUN ã t i nghiản cựu "H m lỗi trản khổng gian tuyán tẵnh ành chuân" Â Ôt ữủc mởt số kát quÊ sau Ơy:
Hệ thống hóa các khái niệm là một bước quan trọng để hiểu rõ hơn về không gian tuyện tĩnh và các khái niệm liên quan Không gian tuyện tĩnh ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực khác nhau và cần được nghiên cứu một cách cẩn thận Các khái niệm này cần được trình bày một cách logic và có sự minh bạch để người đọc dễ dàng nắm bắt và áp dụng.
• Nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt cừa h m lỗi trản khổng gian tuyán tẵnh ành chuân nhữ tẵnh liản tửc, tẵnh chĐt cừa dữợi vi phƠn, Ôo h m theo hữợng cừa h m lỗi.
• Kát quÊ nghiản cựu cừa luên vôn s³ l t i liằu tham khÊo tốt cho cĂc bÔn sinh viản v hồc viản cao hồc muốn nghiản cựu vã h m lỗi.
[1] Nguyạn Vôn Hiãn, Lả Dụng Mữu v Nguyạn Hỳu iºn (2014), GiÊi tẵch lỗi ựng dửng, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi.
[2] Nguyạn XuƠn Liảm (2002), GiÊi tẵch h m, NXB GiĂo dửc.
[3] ộ Vôn Lữu (2000), GiÊi tẵch lỗi, NXB Khoa hồc Kÿ Thuêt.
[4] Huýnh Thá Phũng (2005), GiÊi tẵch lỗi, Ôi hồc Khoa hồc Huá. Tiáng Anh
[5] J M Aldaz (2008), A stability version of Hứlder's inequality J Math. Anal Appl 343, no 2, 842 - 852.
[6] Y Al-Manasrah and F Kittaneh (2015), A generalization of two rifined Young inequality Positivity 19, no 4, 757 - 768.
[7] H W Alt (2016), Linear functional analysis An application - oriented introduction Translated from the German edition 1992, Springer - Ver- lag, London.
[8] C P Niculescu and L E Persson (2018), Convex functions and their applications (2rd), CMS Books in Math.