ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HUYỀN BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HUYỀN BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn “Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi” riêng thân hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU trung thực, khơng có chép hay sử dụng để bảo vệ học vị chưa cơng bố hình thức Tất giúp đỡ cho việc xây dựng sở lý luận cho luận trích dẫn đầy đủ ghi nguồn gốc rõ ràng Nếu phát có chép kết nghiên cứu đề tài khác, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2021 Tác giả NGUYỄN THỊ HUYỀN i Lời cảm ơn Trong thời gian hồn thành luận văn tơi nhận nhiều giúp đỡ, đóng góp ý kiến bảo nhiệt tình GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Ngồi ra, trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cơ Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, trau dồi thêm nhiều kiến thức, kỹ phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tôi muốn gửi lời cảm ơn mơn Tốn ứng dụng tin học Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tơi cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tơi mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2021 Tác giả NGUYỄN THỊ HUYỀN ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Lời mở đầu 1 Hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi 1.1 1.2 1.3 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Tổ hợp lồi tính chất Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 1.2.2 Các tính chất 1.2.3 Dưới vi phân hàm lồi 11 Hàm tựa lồi 13 1.3.1 Định nghĩa, ví dụ 13 1.3.2 Các tính chất 14 1.3.3 Đạo hàm vi phân hàm tựa lồi 16 Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi 2.1 Bài toán cực tiểu hàm lồi iii 22 22 2.2 2.1.1 Phát biểu tốn, ví dụ 22 2.1.2 Một thuật toán chiếu đạo hàm 28 Bài toán cực tiểu hàm tựa lồi 28 2.2.1 Phát biểu toán 29 2.2.2 Một thuật toán chiếu đạo hàm 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iv Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn không gian Euclide n−chiều R = R ∪ {−∞, +∞} trục số thực mở rộng xT chuyển vị x coA bao lồi A coA bao lồi đóng A ri(A) tập điểm tương đối tập A int(A) tập hợp điểm A f hàm bao đóng f domf miền hữu dụng f epif đồ thị f ∂f (x) vi phân f x ✷ kết thúc chứng minh v Lời mở đầu Ngày nay, lý thuyết tập lồi, hàm lồi hàm tựa lồi có ví trí quan trọng tốn học nói chung, giải tích nói riêng cụ thể liên quan đến hầu hết ngành giải tích hàm, hình học, tốn kinh tế, giải tích lồi, Trong có tính chất hàm lồi sử dụng rộng rãi tốn học là: cực tiểu địa phương có cực tiểu tồn cục Cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi lớp toán tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi, có tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng cho phép lý thuyết có tính địa phương giới hạn, vi phân, áp dụng vào quy hoạch lồi Lý thuyết toán quy hoạch lồi nghiên cứu nhiều thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa Mục tiêu luận văn giới thiệu số kiến thức hàm lồi hàm tựa lồi Đặc biệt nội dung luận văn tập trung sâu vào vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Tiếp đến giới thiệu hai thuật toán chiếu đạo hàm để giải toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau: Chương Hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi Trong chương giới thiệu tổng quan trình bày số khái niệm bản, tính chất ví dụ minh họa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi trích dẫn tài liệu số [1] [2], đặc biệt sâu vào khái niệm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Chương Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Đây phần luận văn, chương này, chúng tơi trình bày tốn cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi, ví dụ minh họa Phần cuối luận văn trình bày hai thuật tốn chiếu đạo hàm trích dẫn tài liệu số [2], [3], [4], [5] [6] Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi Chương mở đầu luận văn chúng tơi trình bày khái niệm, số tính chất tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi ví dụ minh họa Đặc biệt phần cuối chương sâu vào khái niệm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Tập lồi Phần mở đầu chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, ví dụ tính chất tập lồi 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc tơ) a, b Rn tập hợp tất véc tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn | x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc tơ x có dạng {x ∈ Rn | x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Điểm x∗ ∈ C gọi cực đại địa phương f (x) ≤ f (x∗ ), ∀x ∈ U ∩ C Nếu f (x) ≥ f (x∗ ), ∀x ∈ C, x∗ gọi cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối f C f (x) ≤ f (x∗ ), ∀x ∈ C, x∗ gọi cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối f C Mệnh đề cho thấy điểm cực tiểu địa phương hàm lồi tập lồi điểm cực tiểu tuyệt đối Điều quan trọng cho phép sử dụng cơng cụ mang tính địa phương phép tính vi phân việc xây dựng lý thuyết phương pháp giải cho toán Mệnh đề 2.1.2 Cho hàm f : Rn → R ∪ {+∞} lồi Khi điểm cực tiểu địa phương f tập lồi cực tiểu toàn cục Hơn tập hợp điểm cực tiểu f tập lồi Nếu f lồi chặt, điểm cực tiểu, tồn tại, Chứng minh Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rn Giả sử x∗ điểm cực tiểu địa phương f C Khi tồn lân cận U x∗ cho f (x) ≥ f (x∗ ), ∀x ∈ U ∩ C Với x ∈ C < λ < 1, C lồi U lân cận x∗ ∈ C nên điểm xλ := (1 − λ)x∗ + λx ∈ C ∩ U λ đủ nhỏ Do f (x∗ ) ≤ f (xλ ) f lồi, ta có: f (x∗ ) ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ)f (x∗ ) + λf (x) 23 Từ suy f (x∗ ) ≤ f (x) Chứng tỏ x∗ cực tiểu toàn cục f C Giả sử x∗ , y ∗ ∈ C điểm cực tiểu f C Vậy f (x∗ ) = f (y ∗ ) ≤ f (x) với x ∈ C Lấy z ∗ := λx∗ + (1 − λ)y ∗ với < λ < Do C lồi nên z ∗ ∈ C f lồi nên f (z ∗ ) ≤ λf (x∗ ) + (1 − λ)f (y ∗ ) ≤ f (x) Suy z ∗ điểm cực tiểu f C Chứng tỏ tập điểm cực tiểu f C lồi Dễ thấy tập hợp gồm nhiều điểm f lồi chặt Mệnh đề mang tính chất định tính Mệnh đề mang nhiều tính chất định lượng Ta xét tốn tìm cực tiểu hàm lồi tập lồi có dạng sau:  f (x) với điều kiện    gi (x) ≤ 0, i = 1, , m (OP )  h (x) = 0, j = 1, , k   j x ∈ X, X ⊆ Rn tập lồi đóng khác rỗng f, gi (i = 1, , m) hàm lồi hữu hạn X, hj (j = 1, , k) hàm affine hữu hạn tập affine X Ta ln giả sử X có điểm hàm affine hj (j = 1, , k) độc lập tuyến tính X k j=1 µj hj (x) = với x ∈ X µj = với j Bài toán (OP ) gọi toán quy hoạch lồi Hàm f gọi hàm mục tiêu Các điều kiện x ∈ X, gi (x) ≤ 0(i = 1, m), hj (x) = 0, (j = 1, , k) gọi ràng buộc Tập D := {x ∈ X | gi (x) ≤ 0, i = 1, , m, hj (x) = 0, j = 1, , k} gọi miền chấp nhận Một điểm x ∈ D gọi điểm chấp nhận toán (OP ) Do X tập lồi, hàm gi (i = 1, , m) 24 lồi X hj (j = 1, , k) affine nên D tập lồi Điểm cực tiểu f D gọi nghiệm tối ưu toán (OP ) Ta xây dựng hàm sau gọi hàm Lagrange, cho tốn (OP ): m L(x, λ, µ) := λ0 f (x) + k λi gi (x) + i=1 µj hj (x) j=1 Định lý 2.1.3 (Karush-Kuhn-Tucker) Nếu x∗ nghiệm tốn quy hoạch lồi (OP ) tồn λ∗i ≥ (i = 0, 1, , m) µ∗j (j = 1, , k) không đồng thời cho L (x∗ , λ∗ , µ∗ ) = minx∈X L (x, λ∗ , µ∗ ) (điều kiện đạo hàm triệt tiêu), λ∗i gi (x∗ ) = (i = 1, , m) (điều kiện độ lệch bù) Hơn intX = ∅ điều kiện Slater sau thoả mãn ∃x0 ∈ D : gi x0 < (i = 1, , m) λ∗0 > hai điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù trên, điều kiện đủ để điểm chấp nhận x∗ nghiệm tối ưu toán (OP) Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm (OP ) Đặt C := {(λ0 , λ1 , , λm , µ1 , , µk ) | (∃x ∈ X) : f (x) − f (x∗ ) < λ0 , gi (x) ≤ λi , i = 1, , m, hj (x) = µj j = 1, , k} Do X = ∅ lồi, f, gi lồi hj affine hữu hạn X nên C tập lồi, khác rỗng Rm+k+1 Hơn ∈ / C Thật vậy, ngược lại ∈ C tồn điểm chấp nhận x thoả mãn f (x) < f (x∗ ), điều mâu thuẫn với việc x∗ nghiệm tối ưu (OP ) 25 Khi tồn λ∗i (i = 0, 1, , m), µ∗j (j = 1, , k) không đồng thời cho m k λ∗i λi µ∗j µj ≥ ∀ (λ0 , , λm , µ1 , , µk ) ∈ C + i=0 j=1 Chú ý với λ0 , , λm > 0, (λ0 , , λm , 0, , 0) ∈ C, theo định nghĩa C ta lấy x = x∗ Từ ý này, ta suy tất λ∗0 , λ∗1 , , λ∗m ≥ Hơn nữa, với > x ∈ X ta lấy λ0 = f (x) − f (x∗ ) + , λi = gi (x)(i = 1, , m), µj = hj (x) (i = 1, , k) cho → 0, m ∗ i=1 λi gi (x) λ∗0 f (x) + m ∗ ∗ i=1 λi gi (x ) λ∗0 f (x∗ ) + k ∗ i=1 µi hi (x) + ≥ k ∗ ∗ i=1 µi hi (x ) ∀x + ∈ X Hay L (x∗ , λ∗ , µ∗ ) ≤ L (x, λ∗ , µ∗ ) ∀x ∈ X Đây điều kiện đạo hàm triệt tiêu Để chứng minh điều kiện độ lệch bù, ta ý x∗ chấp nhận được, nên gi (x∗ ) ≤ với i Nếu tồn i mà gi (x∗ ) = ξ < 0, với > 0, ta có: ( , , ξ, , , , 0, , 0) ∈ C(ξ vị trí thứ i + 1) Cho → 0, ta thấy λ∗i ξ ≥ Nhưng ξ < 0, nên λ∗i ≤ Suy λ∗i = Điều kiện độ lệch bù thoả mãn Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử điều kiện Slater thoả mãn Ta có λ∗0 > Thật vậy, λ∗0 = 0, điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện độ lệch bù, ta có: m k λ∗i gi (x∗ ) 0= i=1 m µ∗j hj + ∗ (x ) ≤ j=1 i=1 26 k λ∗i gi (x) µ∗j hj (x)∀x ∈ X + j=1 Thế λ∗0 = 0, nên phải có λ∗i > với i đó, λ∗i = với i, có µ∗j > với j Trong trường hợp đầu, thay x0 vào bất đẳng thức trên, m k λ∗i gi (x∗ ) 0= m µ∗j hj + i=1 ∗ k λ∗i gi (x ) ≤ j=1 x µ∗j hj x0 < + i=1 j=1 Mâu thuẫn Trong trường hợp sau, ta có: k k µ∗j hj 0= ∗ µ∗j hj (x)∀x ∈ X (x ) ≤ j=0 j=0 k ∗ j=0 µj hj (x) Do intX = ∅ hj affine với j, nên từ suy = 0, ∀x ∈ X Từ hàm hj độc lập tuyên tính X, ta có µ∗j = với j Điều mâu thuẫn với việc tất nhân tử λ∗i µ∗j khơng đồng thời Vậy λ∗0 > Do λ∗0 > nên cách chia cho λ∗0 > 0, ta coi hàm Lagrange m L(x, λ, µ) = f (x) + k λi gi (x) + µj hj (x) i=1 j=1 Do điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù nên với x chấp nhận được, ta có: m ∗ i=1 λi gi (x ) f (x∗ ) = f0 (x∗ ) + ≤ f (x) + m i=1 λi gi (x) + k j=1 µj hj + k j=1 µj hj (x) (x∗ ) ≤ f (x) Chứng tỏ x∗ lời giải tối ưu (OP ) Chú ý 2.1.4 Khi X tập mở (nói riêng tồn khơng gian) hàm khả vi điều kiện đạo hàm triệt tiêu m 0= λ∗0 ∇f0 (x∗ ) k λ∗j ∇gj + j=1 ∗ µ∗i ∇hi (x∗ ) (x ) + i=1 27 2.1.2 Một thuật toán chiếu đạo hàm Thuật toán Chọn điểm x0 ∈ X {βk } dãy số dương thỏa mãn βj2 < +∞ Tại bước lặp k(k = 0, 1, ) ta có xk ∈ X Lấy g k ∈ ∂f (xk ) tính xk+1 := PD xk − αk g k , αk := βk γk với γk := max 1, g k a) Nếu xk+1 = xk xk nghiệm tốn (OP ) b) Ngược lại, thay xk xk+1 tiếp tục bước lặp k với k := k + Chú ý thuật tốn áp dụng với D tập lồi đóng Định lý 2.1.5 (Định lý hội tụ) Giả sử hàm tựa lồi liên tục, khả vi phân tập mở chứa tập D, giả sử toán M inf (x) với x ∈ D, có nghiệm Ngồi giả thiết thêm dãy {xk } bị chặn Khi thuật tốn kéo dài vơ hạn, dãy lặp {xk } hội tụ đến nghiệm tối ưu toán 2.2 Bài toán cực tiểu hàm tựa lồi Trong mục chúng tơi trình bày tốn cực tiểu hàm tựa lồi, ví dụ minh họa trình bày thuật tốn chiếu đạo hàm, khỏa sát hội tụ thuật toán 28 2.2.1 Phát biểu toán Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rn Khi toán cực tiểu hàm tựa lồi phát biểu sau: {g(x) : x ∈ C} , (OP) g : Rn → R hàm tựa lồi C 2.2.2 Một thuật toán chiếu đạo hàm Thuật toán Cho C tập lồi đóng Rn , chọn dãy thực {αk } thỏa mãn điều kiện sau: αk > ∀k ∈ N, ∞ ∞ αk2 < +∞ αk = +∞ k=1 k=1 Bước 1: Chọn điểm x1 cho x1 ∈ C, k = Bước k: (k=1,2, ) Lấy g k ∈ ∂ ∗ g(xk ) Nếu g k = 0, ta dừng lại: xk nghiệm Nếu g k = 0, ta thực chuẩn hóa ||g k || = Thật ta tính xk+1 = PC (xk − αk g k ) Nếu xk+1 = xk , tức xk nghiệm ta dừng lại Trái lại cho k ← k + lặp lại bước k Nhận xét 2.2.1 (i) Vì vi phân-sao hình nón, ta ln chuẩn hóa phần tử khác khơng để lấy véc tơ đơn vị vi phân (ii) Nếu thuật toán tạo nên dãy hữu hạn điểm cuối phải 29 nghiệm Thật ∈ ∂ ∗ g(xk ) theo Bổ đề 1.3.12 ∈ ∂ GP g(x) ⇔ ∂ GP g(x) = Rn ⇔ x ∈ arg g(y) y∈Rn Ta có xk ∈ arg min[g(y) − g(x∗ )], tức g(y) ≥ g(x∗ ), với y ∈ C Nếu x k+1 y∈C k = x xk = PC (xk − αk g k ) Do đó, theo tính chất hình chiếu vng góc ta có: −αk g k , y − xk ∀y ∈ C, g k , y − xk ∀y ∈ C Do g k ∈ ∂ ∗ g(xk ), ta có g(y) − g(xk ) ≥ với y ∈ C Suy x∗ nghiệm tối ưu Bổ đề 2.2.2 Ta ln có bất đẳng thức sau với k ||xk+1 − xk || ≤ αk (3.1) Chứng minh Vì xk = PC (xk − αk g k ), xk+1 − xk + αk g k , y − xk+1 ∀y ∈ C Bằng cách đặt y = xk , ta xk+1 − xk ≤ αk g k , xk − xk+1 ≤ αk g k xk+1 − xk = αk xk+1 − xk Vậy xk+1 − xk ≤ αk 30 Mệnh đề 2.2.3 Cho C tập lồi đóng Rn , với xk điểm lặp bước k Khi với z ∈ C ta ln có bất đẳng thức sau: xk+1 − z ≤ xk − z + 2αk g k , z − xk + 2αk2 (3.2) Chứng minh Chọn z ∈ C, ta có: xk+1 − z = xk − z − xk+1 − xk ≤ xk − z + xk − xk+1 , z − xk+1 + xk − xk+1 , z − xk+1 (3.3) Vì xk+1 = PC xk − αk g k z ∈ C xk − xk+1 , z − xk+1 ≤ αk g k , z − xk+1 (3.4) Từ (3.3) (3.4) xk+1 − z ≤ xk − z + 2αk g k , z − xk+1 = xk − z + 2αk g k , z − xk + 2αk g k , xk − xk+1 (3.5) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ||g k || = 1, ta có: g k , xk − xk+1 xk − xk+1 Do đó, theo Bổ đề 2.2.2, xk − xk+1 αk , theo bất đẳng thức (3.5) ta có: ||xk+1 − z||2 ≤ ||xk − z||2 + 2αk g k , z − xk + 2αk2 31 Bổ đề 2.2.4 (a) Đặt B(x, ) hình cầu đóng có tâm x bán kính Nếu B(x, ) ⊂ Lg (xk ) với x ∈ Rn > 0, g k , xk − x¯ > (b) lim inf g k , xk − x ≤ ∀x ∈ C k→∞ ¯ x, ) ⊂ Lg xk , x¯ + g k ∈ Lg xk Chứng minh (a) Nếu B(¯ Vì g k ∈ ∂ ∗ g xk , ta có: g k , x¯ + g k − xk < Từ g k = 1, kéo theo g k , xk − x¯ > (b) Giả sử tồn z ∈ C, ξ > k0 điểm cho k > k0 , g k , xk − z ≥ ξ > Theo Mệnh đề 2.2.3 ta có: 2αk g k , xk − z ≤ xk − z − xk+1 − z + 2αk2 Bằng cách lấy tổng phần tử αk ξ , ta thu ∞ ∞ αk g k , xk − z αk ξ ≤ 2 k=0 k=0 ∞ ≤ x −z αk2 +2 k=1 Vậy, x0 − z 0 cho g(x∗ ) − g(x) ≤ −a 34 Khi đó, g(.) liên tục C nên suy tồn > 0, > cho với x ∈ B(x, ), y ∈ B(x∗ , ), ta có: a g(y) − g(x) ≤ − Mặt khác, lim xki = x, tồn i0 ≤ i cho xki thuộc B(x, ), i→∞ ∗ y ∈ B(x , ) suy a g(y) − g(xkq ) ≤ − < 0, nghĩa B(x∗ , ) ⊂ Lg (xki ) Khi theo Bổ đề 2.2.4 (a), ta có: g ki , xki − x∗ > ∀i i0 Kết hợp với (3.12) Suy g(x∗ ) − g(x) = 0.Vậy x nghiệm Bước 4: Dãy {xk } hội tụ đến nghiệm toán (OP ) Thật Bước ta có g(x∗ ) − g(x) = Do g(x) − g(x∗ ) ≤ 0, mà x∗ ∈ S(OP ), nên g(x) − g(x∗ ) = Vậy x nghiệm toán (OP ) Từ bước dãy {||xk − x||2 } hội tụ, kết hợp với lim xki = x Tức toàn dãy {xk } hội tụ nghiệm i→∞ x toán (OP ) Kết luận chương trước hết chúng tơi trình bày tốn cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Tiếp theo ta giới thiệu chi tiết hai thuật toán chiếu đạo hàm để giải cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi đóng 35 Kết luận Trong luận văn giới thiệu đề cụ thể sau: Trình bày kiến thức sở giới thiệu tổng quan hàm lồi, hàm tựa lồi tập lồi Bao gồm định nghĩa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi Các tính chất ví dụ minh họa cho định nghĩa trên, đồng thời sâu vào khái niệm, tính chất vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Trình bày toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Bằng việc phát biểu toán cực tiểu hàm lồi, hàm tựa lồi sau chứng minh Phần cuối luận văn chúng tơi trình bày hai thuật tốn chiếu đạo hàm để giải toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập đóng 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, (2015) [2] Lê Dũng Mưu, Giáo trình phương pháp tối ưu, NXB KHKT, Hà Nội (1998) Tiếng Anh [3] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Springer (2015) [4] Le Hai Yen and Le Dung Muu, A subgradient method for equilibrium problems involving quasiconvex bifunctions, Operations Research Letter 48(2020) 579-583 [5] Olvi L Mangasarian, Nonlinear Programming, Society For Industrial and Applied Mathematics (1994) [6] Paulo Santos, Susana Scheimberg, An inexact subgradient algorithm for Equilibrium Problems, Comput Appl Math (2011) 91-107 37 ... tính chất hàm lồi sử dụng rộng rãi tốn học là: cực tiểu địa phương có cực tiểu toàn cục Cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi tập lồi lớp toán tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi, có tính... định nghĩa trên, đồng thời sâu vào khái niệm, tính chất vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Trình bày toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Bằng việc phát biểu toán cực tiểu hàm lồi, hàm tựa lồi sau chứng... chất ví dụ minh họa tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi trích dẫn tài liệu số [1] [2], đặc biệt sâu vào khái niệm vi phân hàm lồi hàm tựa lồi Chương Bài toán cực tiểu hàm lồi hàm tựa lồi Đây phần luận