Ánh xạ trong không gian Banach.

Không gian vectơ

Một không gian vectơ trên trường R là một tập E cùng với hai ánh xạ mà chúng lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vô hướng,

+ : V ×V → V (v, w) 7→ v+ w ã :K ìV → V (x, v) 7→ xv thỏa mãn các tiên đề sau: a) u+v = v +u với mọi u, v ∈ V b) u+ (v +w) = (u+v) +w với mọi u, v, w ∈ V. c) Tồn tại một phần tử 0 ∈ E sao cho

Trong không gian vectơ E, mọi vectơ v ∈ E đều thỏa mãn tính chất 0 + v = v + 0 = v Nếu v ∈ E, thì tồn tại phần tử −v ∈ E sao cho v + (−v) = (−v) + v = 0 Đối với mọi v ∈ E, 1ãv = v, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường R Ngoài ra, với mọi a, b ∈ R và v ∈ E, có công thức (aãb)v = aã(bv) Tương tự, (a + b)v = av + bv và a(v + w) = av + aw với mọi a ∈ R, v, w ∈ E.

Từ các tiên đề trên ta suy ra:

Phần tử 0 của E là duy nhất.

Phần tử −u là duy nhất với mọi u ∈ E.

Ngoài ra −u = (−1)ãu với mọi u ∈ E.

Định nghĩa chuẩn và không gian vectơ định chuẩn Các ví dụ 7

Định nghĩa chuẩn và không gian vectơ định chuẩn 7

Cho E là không gian vectơ Một chuẩn trên E là một hàm v 7→ |v| từ

E vào R thỏa mãn các tiên đề sau: i) |v| > 0 và |v| = 0 nếu và chỉ nếu v = 0. ii) Nếu a ∈ R và v ∈ E thì |av| = |a||v|. iii) Với mọi v, w ∈ E ta có |v + w| 6 |v| + |w| (Bất đẳng thức tam giác).

Một không gian vectơ định chuẩn là một không gian vectơ cùng với chuẩn trên nó Một không gian vectơ có thể có nhiều chuẩn khác nhau.

Các ví dụ

Cho S là một tập trong không gian định chuẩn và ò(S,R) là không gian vectơ của các hàm bị chặn trên S Nếu f là một hàm bị chặn trên S, chúng ta định nghĩa như sau:

Ta cần chứng minh |f| 1 là một chuẩn Thật vậy,

1 Nếu |f| 1 = 0 thì |f(x)| = 0 với mọi x ∈ S Do đó, f = 0 Mặt khác, |f| 1 ≥ 0 Do đó tiên đề i) thỏa mãn.

Tiên đề ii) thỏa mãn.

3 Cho f, g là hàm bị chặn trên S, M 1 = |f| 1 , và M 2 = |g| 1

|f(x) +g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤M1 +M2. Điều này đúng với mọi x ∈ S Do đó,

|f(x) +g(x)| ≤ |f| 1 +|g| 1 Tiên đề iii) thỏa mãn.

Vậy |f| 1 là một chuẩn Chuẩn này gọi là chuẩn sup.

Ví dụ 1.2.2 Ta có một chuẩn trong R n cho bởi

Nó gọi là chuẩn Euclidean, bởi vì nó là trường hợp tổng quát của chuẩn thông thường trong một không gian sao cho chuẩn của một vectơ (a, b) là

Chúng ta có thể xác định chuẩn khác trên R n được kí hiệu bởi | | 2 Cho

|A| 2 gọi là maximum giá trị tuyệt đối của mỗi phần tử của A Chúng ta cần chứng minh |A| 2 là chuẩn.

1 |A| 2 = 0 ⇔A = 0 vì ai = 0,∀i Hơn nữa, nếu A6= 0 ⇒ |A| 2 > 0 vì

|cA| 2 = max i |ca i | = max i |c||a i | = |c|max i |a i | = |c||A| 2

Người ta gọi chuẩn trên là chuẩn max.

Dễ dàng để kiểm tra chuẩn Euclidean với chuẩn sup tương đương với nhau.

Thật vậy, nếu A= (a 1 , , a n ) thì |a j | = qa 2 j ≤pa 2 1 + +a 2 n

|A| q a 2 1 + +a 2 n ≤ √ n|A| 2 Vậy hai chuẩn trên tương đương.

Không gian vectơ định chuẩn với chuẩn xác định bởi tích vô hướng

định bởi tích vô hướng

Một chuẩn trên không gian vectơ E thường được xác định bởi tích vô hướng: ã : EìE →R (v, w) 7→v ãw = < v, w > thỏa mãn điều kiện sau:

2 Với mọi u, v, w ∈ E, ta cú: uã(v+w) = uãv +uãw.

3 Nếu x là một số thỡ (xv)ãw = xã(vw) =v ã(xw).

Nếu một tích vô hướng xác định dương thì thỏa mãn một tính chất nữa:

4 Nếu v = 0 thỡ vãv = 0, và nếu v 6= 0 thỡ vãv > 0.

Ví dụ 1.3.1 Cho E = R n là không gian n-chiều của số thực.

Nếu A = (a 1 , a 2 , , a n ), B = (b 1 , b 2 , , b n ) là n-chiều của số thực, chúng ta xác định:

Chứng minh AãB là một tớch vụ hướng.

1 Nếu A 6= 0 thỡ ai 6= 0 Suy ra a 2 i > 0 Vậy AãA > 0.

= a 1 ãb 1 + +a n ãb n Suy ra AãB = B ãA.

4 Với mọi A= (a 1 , a 2 , , a n ), B = (b 1 , b 2 , , b n ), c∈ E ta có: cA = (ca 1 , , ca n )

(cA)ãB = (ca 1 )ãb 1 + + (ca n )ãb n

Ta cũng chứng minh được c(AãB) = Aã(cB) Vậy AãB là một tớch vô hướng.

Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về chuẩn xác định trên không gian hàm thông qua một tích vô hướng Cụ thể, cho E là không gian của các hàm liên tục trên đoạn [0,1] Nếu f và g thuộc E, chúng ta sẽ xác định

Bốn tính chất của tích vô hướng xác định dương được kiểm tra ngay lập tức dẫn đến các hệ quả quan trọng của tính chất tích phân, từ đó chúng ta có thể thiết lập một chuẩn tương ứng được gọi là chuẩn L2.

Nếu một hàm liên tục trên đoạn [0,1] thì nó sẽ bị chặn Trong không gian E của các hàm liên tục trên [0,1], chúng ta có thể xác định chuẩn sup, được ký hiệu là ||f||₀ Đối với hàm f thuộc E, giá trị M được tính bằng ||f||₀.

Mặc dù 2 và 0 không tương đương do không có bất đẳng thức ngược lại, hàm có đồ thị được mô tả trên có giá trị sup gần 1 nhưng chuẩn L2 của nó lại nhỏ Định lý 1.3.1 khẳng định rằng, với E là không gian vectơ có tích vô hướng xác định dương.

Chứng minh Đặt x= và y=- thì bằng tính chất 4:

Thay thế các giá trị x, y ta được

0≤ (wãw) 2 (v ãv)−2(w ãw)(v ãw) 2 + (v ãw) 2 (wãw).

Nếu w = 0 thì bất đẵng thức của định lý hiển nhiên, cả hai bên đều 0.

Nếu w 6= 0 thỡ wãw 6= 0 Vỡ thế, chỳng ta chia cả hai vế cho wãw. Lúc đó,

Định nghĩa độ lớn của vector |v| = √(v · v) cho phép chúng ta viết lại bất đẳng thức từ định lý 1.3.1 dưới dạng |v · w| ≤ |v||w|, được gọi là bất đẳng thức Schwarz Theo định lý 1.3.2, hàm v 7→ |v| xác định một chuẩn trên không gian E.

|av| =√ av ãav √ a 2 vãv = |a|√ v ãv = |a||v|.

Tính đầy đủ

Trong không gian vectơ định chuẩn E, một dãy {x n } được coi là hội tụ nếu tồn tại một vectơ v ∈ E sao cho với mọi số dương > 0, có một số nguyên N, để cho mọi n ≥ N, điều kiện |x n − v| < được thỏa mãn Vectơ v được gọi là giới hạn của dãy {x n }, và nếu giới hạn này tồn tại, nó sẽ là duy nhất.

Chứng minh Nếu tồn tại w cũng là giới hạn của dãy, ta nhận được N1 sao cho n ≥ N1 thì |x n −v| < Chọn N = max(N1, N2) Nếu n ≥ N1 thì

Giới hạn này được kí hiệu là n→∞lim vn = v.

Một dãy {x n } trong không gian vectơ định chuẩn được gọi là dãy Cauchy, nếu cho > 0, khi đó tồn tại N, sao cho với mọi m, n ≥ N, ta có

|x m −x n | < Nếu một dãy hội tụ thì nó là dãy Cauchy.

Chứng minh Nếu dãy {x n } hội tụ tới a, cho , khi đó tồn tại N sao cho với mọi n ≥ N, ta có:

Với mọi m, n ≥ N, ta có |x m −x n | ≤ |x m −a|+|x n −a| < ε, từ đó suy ra dãy {x n} là dãy Cauchy Định nghĩa không gian Banach được đưa ra là không gian vectơ định chuẩn mà trong đó mỗi dãy Cauchy đều có một giới hạn Theo Định lý 1.4.1, dãy {v n} sẽ là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu tất cả các hệ số của dãy {x n1}, , {x nk} là dãy Cauchy trong R.

Chứng minh Giả sử {v n } là dãy Cauchy trong R k Cho , khi đó tồn tại

N, sao cho với mọi m, n ≥ N thì |v m −vn| < Nhưng khi đó với mỗi i = 1, , k, ta có |v ni −v mi | < và hệ số thứ i của dãy tăng dần.

Ngược lại, nếu hệ số dãy là Cauchy, với mọii = 1, , k, ta tìm đượcN i sao cho với mọi m, n ≥ N thì |x mi −xni| < Đặt N = max{N 1 , , Nk}.

Theo định nghĩa chuẩn sup, dãy {v n} được xác định là dãy Cauchy Định lý 1.4.2 khẳng định rằng trong không gian Banach R^k, dãy {v n} là dãy Cauchy nếu khi n tiến tới vô cùng, giới hạn của các thành phần xni bằng yi với i = 1, , k thì giới hạn của dãy v n cũng sẽ tiến tới (y1, , yk), và điều này cũng đúng theo chiều ngược lại.

Chứng minh Cho , tồn tại N sao cho nếu n ≥ N thì

Nếu w = (y1, , yk), thì điều kiện |vn - w| < ε được thỏa mãn Ngược lại, nếu dãy {vn} là dãy Cauchy trong Rk và hệ số của nó hội tụ đến (y1, , yk), thì vn cũng hội tụ đến w = (y1, , yk) Theo định lý 1.4.3, hai chuẩn bất kỳ trong Rk là tương đương.

Chứng minh Ta chứng minh định lý bằng quy nạp trên k.

Nếu k = 0 và | | là một chuẩn trờn R thỡ |x| = |xã1| = |x| ã |1| Do đú, chuẩn là hiển nhiên tương đương đối với giá trị bất biến thông thường.

Giả sử định lý đúng với n= k−1, k ≥ 2 Nó đủ để chứng minh chuẩn

Cho e 1 , e 2 , , e n là vectơ đơn vị, e i = (0, 1, ,0) với phần tử 0 trừ phần tử thứ i = 1 Bất kì vectơ v ∈ R k , ta có thể viết v = x1e1 +x2e2 + +xkek.

Vậy ta cần chứng minh tồn tại một số tự nhiên C > 0, sao cho với mọi v ∈ R k , ta có

Giả sử số dương m, tồn tại v 6= 0 trong R k sao cho

Nếu x j là phần tử của vectơ v và là giá trị tuyệt đối lớn nhất trong tất cả các phần tử, chúng ta có thể chia cả hai bên của bất đẳng thức cho |x j |.

Hơn nữa, phần tử thứ i của v m = 1 và tất cả phần tử của v m có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bằng 1 Do đó,

Với 1 ≤ j ≤k, j cố định, ta sẽ có tập vô hạn S của số n mà (*) thỏa mãn Ta cố định số nguyên j đến cuối chứng minh.

Không gian con F của R^k bao gồm tất cả các vectơ có tọa độ thứ j bằng 0, cho phép chúng ta thực hiện phép chiếu F trong R^k Chuẩn trên R^k tạo ra một chuẩn cảm sinh trên F Qua phương pháp quy nạp, chuẩn | | 1 trên F tương đương với chuẩn sup trên F Đặc biệt, tồn tại một hằng số C2 > 0 sao cho mọi vectơ w thuộc F đều thỏa mãn điều kiện nhất định.

Vói mỗi m ∈ S, ta có thể viết v m = e j + w và w = v m −e j với mỗi phần tử v m ∈ F.

Cho , nhận N sao cho 2/N < Nếu m, n ≥ N thì

Dãy Cauchy w m được xác định theo chuẩn | | 1 và được xây dựng bằng phương pháp quy nạp dựa trên chuẩn sup trên không gian F = R k−1 Khi không gian R k−1 là Banach, dãy w m sẽ hội tụ đến một phần tử w ∈ F theo chuẩn sup Do đó, với m ∈ S, ta có kết quả như mong đợi.

Cho m lớn, m ∈ S, bất đẳng thức vế phải nhỏ tùy ý.

Do đó,e j +w = 0 Điều này không thể, vì w ∈ F = R k−1 , e j +w = 1.Vậy chứng minh được định lý.

Tập đóng - tập mở

Định nghĩa tập mở

Cho S là một tập con của không gian vectơ định chuẩn S là mở nếu v ∈ S, tồn tại r > 0 sao cho hình cầu mở bán kính r, tâm tại v được chứa trong S.

Ví dụ 1.5.1 Một hình cầu mở là tập mở.

Chứng minh rằng cho B là hình cầu mở với bán kính r > 0 và tâm v ∈ E Gọi w ∈ B, ta có |w − v| < r Giả sử |w − v| = s và chọn δ > 0 sao cho s + δ < r, với δ = (r − s)/2 Khi đó, hình cầu mở bán kính δ tâm tại w sẽ nằm hoàn toàn trong B Do đó, nếu |z − w| < δ thì z cũng thuộc B.

Trong không gian E = R^k với v ∈ R^k, khi xem xét hai chuẩn | |1 (chuẩn sup) và | | (chuẩn Euclide), ta nhận thấy rằng bất kỳ hình cầu mở nào trong một chuẩn đều chứa hình cầu mở trong chuẩn còn lại, với cùng tâm tại một điểm giống nhau.

Ngoài ra, ta có thể định nghĩa tập mở như sau:

TậpS gọi là tập mở nếu và chỉ nếu x ∈ S, tồn tạiU mở sao chox ∈ U và U ⊂ S.

Nếu x là một điểm của E, ta xác định được một lân cận mở của x trong bất kỳ tập mở chứa x.

Cho U, V là tập mở trong E Khi đó U ∩V là mở.

Để chứng minh rằng giao của hai tập mở U và V là một tập mở, giả sử v thuộc U ∩ V Tồn tại một hình cầu mở B với bán kính r và tâm tại v nằm trong U, cùng với hình cầu mở B' với bán kính r' và tâm tại v nằm trong V Đặt δ = min(r, r') Hình cầu mở bán kính δ và tâm tại v sẽ được chứa trong cả U và V, do đó cũng nằm trong U ∩ V Kết luận, U ∩ V là một tập mở.

Bằng quy nạp, nếu U 1 , , U n mở thì U 1 ∩ ∩U 1 là mở Tuy nhiên, giao của vô hạn tập mở có thể không mở Ví dụ như, cho

Suy ra, U n không mở vì giao của tất cả U n là đoạn [0,1].

Chú ý: Tập rỗng cũng là tập mở.

Hợp hữu hạn các tập mở là tập mở.

Chứng minh Cho I là một tập, và giả sử mỗi i ∈ I, ta có tập mở U i Gọi

U là hợp của tất cả các tập hợp Ui, tức là U chứa tất cả các phần tử x sao cho x thuộc Ui với mọi i Do đó, U là một tập mở, vì nếu x thuộc U thì x cũng thuộc Ui cho mọi i Điều này cho phép tồn tại một quả cầu B với tâm là x, sao cho x thuộc B và B hoàn toàn nằm trong Ui, từ đó cũng nằm trong U.

Ví dụ 1.5.3 Cho S là tập con tùy ý của E và với mỗi x ∈ S, B là hình cầu mở bán kính 1 Hợp của tất cả hình cầu mở B x với x ∈ S là mở.

Định nghĩa tập đóng

Tập đóng trong không gian định chuẩn E là phần bù của tập mở Một tập S được coi là đóng nếu và chỉ nếu với mọi điểm y thuộc E, y không thuộc S, tồn tại một hình cầu mở có tâm tại y mà không giao với S.

Định nghĩa điểm dính

Trong không gian con S của E, một điểm v ∈ E được gọi là điểm dính của S nếu tồn tại một phần tử x ∈ S sao cho khoảng cách |x−v| nhỏ hơn một giá trị ε bất kỳ Điều này có nghĩa là hình cầu mở với bán kính ε và tâm tại v sẽ chứa ít nhất một phần tử của S cho mọi ε Đặc biệt, nếu v thuộc E, thì v sẽ là điểm dính của S.

Mỗi điểm dính của S là một giới hạn của một dãy trong S.

Nếu v là điểm dính của tập S, thì với mỗi n, tồn tại x_n ∈ S sao cho |x_n − v| < 1/n và dãy {x_n} hội tụ đến v Có một N sao cho 1/N < ε, và với mọi n ≥ N, ta có |x_n − v| < 1/n ≤ 1/N < ε, do đó v là giới hạn của dãy {x_n} Ngược lại, nếu v là giới hạn của dãy {x_n} với mọi n ∈ S, thì v cũng là điểm dính của S Định lý 1.5.1 khẳng định rằng nếu S là tập con của không gian vectơ định chuẩn E, thì điều này được áp dụng.

S là tập đóng nếu và chỉ nếu S chứa toàn bộ điểm dính của nó.

Giả sử S là một tập hợp đóng Theo định nghĩa, nếu v là điểm dính, thì bất kỳ hình cầu mở nào với tâm tại v đều chứa các phần tử của S, điều này cho thấy v không thể nằm trong phần bù của S, tức là v phải nằm trên S Ngược lại, nếu S chứa toàn bộ các điểm dính của nó, và cho y là một điểm thuộc phần bù của S, thì y không phải là điểm dính của S, dẫn đến việc tồn tại một hình cầu mở với tâm tại y mà giao với tập S.

S là rỗng Do đó, phần bù của S mở, vậy chứng minh định lý.

Hệ quả 1.5.1 Cho S là tập đóng nếu và chỉ nếu thỏa mãn điều kiện sau:

Mỗi dãy {x n } của mỗi phần tử của S mà hội tụ trong E có giới hạn trong

Nếu một dãy các phần tử của S hội tụ đến v ∈ E, thì v là điểm dính của S Nếu S là tập đóng, thì v ∈ S Ngược lại, mọi dãy trong S hội tụ trong E đều có giới hạn trong S Giả sử v là điểm dính của S, tồn tại x_n ∈ S sao cho |x_n - v| < 1/n Dãy {x_n} hội tụ đến v, và vì v ∈ S theo giả thiết, nên S là tập đóng.

Cho S, T là tập đóng trong E thì S ∪T là đóng.

Kí hiệu cS = cES đại diện cho phần bù của tập S trong E, bao gồm tất cả các phần tử x thuộc E mà không nằm trong S Theo đó, phần bù của hợp hai tập S và T được biểu diễn bằng c(S ∪ T) = cS ∩ cT Vì phần bù của S ∪ T là mở, nên S ∪ T được xác định là một tập đóng.

Theo quy nạp, giao hữu hạn tập đóng là đóng.

Chúng ta có thể chứng minh rằng giao của một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng, bởi vì hợp của vô hạn các tập mở luôn là tập mở Nếu I là một tập, với mỗi i có một tập đóng liên đới S_i, thì phần bù của

Trong không gian vectơ định chuẩn E và F, nếu U là tập mở trong E và V là tập mở trong F, thì tích Cartesian U × V cũng sẽ là tập mở trong không gian E × F với chuẩn sup Hơn nữa, nếu i∈I cS i là mở, thì giao của các tập này sẽ là tập đóng.

F là đóng trong E và T đóng trong F thì S ×T là đóng trong E ×F.

Chứng minh Cho u ∈ U và v ∈ V Khi đó, tồn tại hình cầu mở B trong

Trong không gian E và F, xét hai hình cầu mở B và B 0 với tâm tại u và v, cùng với bán kính r là giá trị nhỏ nhất giữa các bán kính của B và B 0 Hình cầu mở Bx có bán kính r trong E và F tương ứng với tâm tại u và v Theo định nghĩa sup chuẩn, tích B r × B r 0 tạo thành hình cầu mở bán kính r với tâm tại u và v trong E × F, và được chứa trong U × V, do đó U × V là một tập mở.

Cho x, y thuộc phần bù của S×T, tồn tại một tập mở W trong E chứa x mà giao với S là rỗng Nếu W 0 là tập mở trong F chứa y, thì W × W 0 là tập mở trong E × F và giao với S × T cũng rỗng.

S ×T là đóng Vậy định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.5.2 Nếu S 1 , , S n là tập đóng trong R thì

Chẳng hạn, nếu S i là khoảng [0,1] thì

S 1 × ×S n là đóng trong n- lập phương R n (với n = 2 là hình vuông đóng, n = 3 là hình lập phương đóng).

Cho S là không gian con của không gian vectơ định chuẩn F, v ∈ S và f : S →F là một ánh xạ từ S vào F.

Ta nói f liên tục tại v nếu cho , tồn tại δ sao cho với mọi x ∈ S và

Nếu f: S → F là một ánh xạ và T là tập con của F, thì f −1 được định nghĩa là tập tất cả x ∈ S sao cho f(x) ∈ T, được gọi là ánh xạ ngược của f Định lý 1.5.3 chỉ ra rằng nếu U là tập mở trong không gian vectơ định chuẩn E, V là tập mở trong không gian vectơ định chuẩn F và f: U → F là ánh xạ liên tục, thì f −1(V) sẽ là tập mở trong E Ngược lại, nếu S là tập đóng trong E, T là tập đóng trong F và g: S → F là ánh xạ liên tục, thì g −1(T) sẽ là tập đóng trong E.

Chứng minh rằng nếu u thuộc vào f −1 (V) và δ1 > 0, thì hình cầu bán kính δ1 tại u nằm trong U Đặt B0 là hình cầu mở với bán kính và tâm tại f(u), được chứa trong V Do đó, tồn tại δ2 sao cho với mọi x thuộc U,

Nếu |x - u| < δ2 thì |f(x) - f(u)| < ε, do đó f(x) thuộc B0, một tập con của U Gọi δ = (δ1, δ2), hình cầu bán kính δ với tâm tại u nằm trong U và ảnh của f nằm trong V Điều này dẫn đến việc hình cầu nằm trong f^(-1)(V), từ đó suy ra rằng f^(-1)(V) là một tập mở.

Ta có T ⊂ F Suy ra F \T mở trong F Theo trên, ta có g −1 (F \T) mở trong E Suy ra g −1 (F)\g −1 (T) mở trong E Do đó S \g −1 (T) mở trong E Vậy g −1 (T) đóng trong E.

Tính chất cơ bản

Giới hạn tổng

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, v là điểm dính của

S, và f, g là ánh xạ của S vào không gian vectơ định chuẩn Giả sử x→vlimf(x) =w và x→vlimg(x) =w 0 , thì x→vlim(f +g)(x) tồn tại và bằng x→vlim(f +g)(x) =w+ w 0

Chứng minh Cho , tồn tại δ sao cho nếu x ∈ S và |x−v| < δ, ta có:

|f(x) +g(x)−w−w 0 | ≤ |f(x)−w|+|g(x)−w 0 | < 2. Điều này đã chứng minh rằng lim x→v(f +g)(x) = w+ w 0

Giới hạn của tích

Cho E, F, Glà không gian vectơ định chuẩn Một tích của E×F → G nghĩa là một ánh xạ

E ×F →G (u, v) 7→ uv thỏa mãn điều kiện sau:

1 Nếu u, u 0 ∈ E, v ∈ F thì (u+u’)v=uv+u’v Nếu v, v 0 ∈ F thì u(v +v 0 ) = uv+uv 0 (2.1)

(Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Schwarz)

Cho tích E×F → G, tập S, và f : S →E, g : S →F là ánh xạ từ S vào không gian vectơ định chuẩn E và F tương ứng Khi đó, ánh xạ tích được xác định như sau: (f g)(x) =f(x)g(x).

Bây giờ ta đưa ra một công thức quy tắc cho giới hạn của tích Cho

S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, v là điểm dính của S, và

E×F → G là một tích, như trên Cho f : S → E và g : S →F là ánh xạ của S vào E và F tương ứng Nếu x→vlimf(x) =w và x→vlimg(x) = z, thì x→vlimf(x)g(x) tồn tại và bằng wz.

Chứng minh Cho , tồn tại δ sao cho nếu x ∈ S và |x−v| < δ ta có:

|f(x)| < |w|+ 1 Thật vậy, với mỗi bất đẳng thức cố định x đủ đóng tại v Ta có

Vậy lim x→vf(x)g(x) tồn tại, và bằng wz.

Ta có hệ quả giới hạn của hàm.

Hệ quả 2.1.1 Nếu c là số thì x→vlimcf(x) = clim x→vf(x), và nếu f 1 , f 2 là ánh xạ từ S vào không gian vectơ định chuẩn thì x→vlim(f 1 (x)−f 2 (x)) = lim x→vf 1 (x)−lim x→vf 2 (x).

Nếu có một giới hạn bằng 0 thì giới hạn tích vẫn đúng.

Cho tích E ×F → G, f : S → E và g : S → F là ánh xạ Ta giả sử f là bị chặn, lim x→vg(x) = 0 thì lim x→vf(x)g(x) tồn tại và x→vlimf(x)g(x) = 0.

Chứng minh Cho K > 0 sao cho |f(x)| ≤ K với mọi x ∈ S Với > 0, tồn tại δ >0 sao cho với mọi |x−v| < δ, ta có |g(x)| < /K Khi đó,

Giới hạn của ánh xạ hợp

Cho S, T là tập con của không gian vectơ định chuẩn F, với các ánh xạ f : S → T và g : T → F Giả sử v là điểm dính của S, và giới hạn x→vlim f(x) tồn tại và bằng w (điểm dính của T) Nếu y→wlim g(y) tồn tại và bằng z, thì giới hạn x→vlimg(f(x)) cũng tồn tại và bằng z.

Chứng minh Cho , tồn tại δ sao cho nếu y ∈ T và |y −w| < δ ta có:

Với δ > 0 đã cho như trên, tồn tại δ 1 > 0 sao cho với mọi x ∈ S mà

Suy ra, với mọi x ∈ S mà 0< |x−v| < δ 1 ta có:

Giới hạn của bất đẳng thức

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, với hai hàm f và g xác định trên S, và v là điểm dính của S Nếu giới hạn khi x tiến tới v của f(x) và g(x) đều tồn tại, đồng thời thỏa mãn điều kiện f(x) ≤ g(x) cho mọi x đủ đóng tại v trong S, thì ta có kết luận rằng giới hạn khi x tiến tới v của f(x) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng giới hạn khi x tiến tới v của g(x).

Chứng minh Cho ϕ(x) = g(x) −f(x) Khi đó, ϕ(x) ≥ 0 với mọi x đủ đóng tại v và tuyến tính, nó đủ để chứng minh rằng lim x→vϕ(x) ≥0 Cho y = lim x→vϕ(x).

Với đã cho, ta tìm thấy x ∈ S sao cho |ϕ(x)−y| < Mà ϕ(x)−y ≤ |ϕ(x)−y|.

Do đó, ϕ(x)−y < và y > ϕ(x)−≥ − với mọi

Suy ra điều phải chứng minh.

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn và f, g là các hàm xác định trên S Giả sử rằng w = lim x→vf(x) = lim x→vg(x).

Cho h :S →R là hàm khác sao cho f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) với mọi x đủ đóng v thì x→vlimh(x) tồn tại và x→vlimh(x) = f hoặc x→vlimh(x) =g

Chứng minh Cho , tồn tại δ sao cho với mọi |x−v| < δ ta có:

Định lý 2.1.1, hay còn gọi là tiêu chuẩn Cauchy, khẳng định rằng cho tập con S của không gian vectơ định chuẩn F và ánh xạ f : S → F, với F là không gian Banach, thì nếu v là điểm dính của S, các điều kiện sau đây sẽ tương đương.

(a) Giới hạn lim x→vf(x) tồn tại.

(b) Cho , khi đó tồn tại δ sao cho bất kỳ x, y ∈ S và

Chứng minh Giả sử (a) Cho w là giới hạn trong (a) Với , tồn tại δ 1 sao cho bất kì x ∈ S và |x−v|< δ1, ta có

|f(x)−w| < Cho , tồn tại δ 2 sao cho bất kì y ∈ S và |y−v| < δ 1 , ta có

Suy ra với , tồn tại δ sao cho bất kì x, y ∈ S và |x−v| < δ, ta có

Giả sử tồn tại dãy {x n } trong S hội tụ đến v, với điều kiện |x n −v| < 1/n Khi đó, dãy {f(x n )} sẽ là dãy Cauchy trong F Cụ thể, tồn tại δ thỏa mãn điều kiện (b), và chọn N sao cho 1/N < δ/2 Nếu m, n ≥ N, thì các điều kiện cần thiết sẽ được đảm bảo.

Do đó, |f(xn −xm)| < , vậy chứng minh được khẳng định trên.

Khi F là Banach, dãy {f(x n )} hội tụ đến phần tử w ∈ F Ta chứng minhw là giới hạn của f(x) khi x →v Đặt δ 1 = δ/2, giả sử |x−v| < δ 1 Cho n là đủ lớn rằng |x n −v| < δ 1 thì

|f(x)−f(x n )| < Với n vẫn lớn, ta có thể giả sử rằng:

Do đó, chứng minh (b)suy ra (a) và kết luận giới hạn lim x→vf(x)tồn tại.

Cho E là không gian vectơ và | | 1 ,| | 2 là chuẩn trên E Giả sử các chuẩn là tương đương Cho S là tập con của E, f : S → F là ánh xạ từ

S vào không gian vectơ định chuẩn F và v là điểm dính của S Ta có thể định nghĩa giới hạn được lấy theo mỗi chuẩn.

Chúng ta cho rằng nếu giới hạn tồn tại lấy theo một chuẩn thì nó tồn tại lấy theo chuẩn khác và giới hạn là bằng nhau.

Giả sử giới hạn của f(x) khi x → v, x ∈ S, tồn tại lấy theo chuẩn | | 1 và cho giới hạn là w Cho C 1 > 0, sao cho

|u| 1 ≤ C1|u| 2 với mọi u ∈ E Với , tồn tại δ 1 sao cho nếu x ∈ S và |x−v| 1 < δ 1 thì

Gọi δ = δ1/C1 Giả sử x ∈ S và |x−v| 2 < δ thì

|x−v| 1 < δ1, do đó, ta cũng có |f(x)−w| < Chứng minh này, w cũng là giới hạn lấy theo chuẩn | | 2

Cuối cùng, chúng ta lưu ý tồn tại tập liên đới thỏa mãn tính chất (2.1) và tính chất (2.2) và chỉ thay đổi tính chất (2.3), nghĩa là:

Tính chất 2.1.2 Tồn tại số C > 0 sao cho với mọi u, v ta có

Tích mở rộng có thể giảm bằng việc xác định chuẩn mới trên E :

Tính chất này được đáp ứng theo chuẩn mới, liên quan đến ứng dụng giới hạn tích Trong thực tiễn, tính chất này thường thỏa mãn theo chuẩn tự nhiên trong không gian vectơ định chuẩn, và tích tự nhiên ứng dụng chúng một cách hiệu quả.

Ánh xạ liên tục

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn F, v ∈ S và f : S → F là ánh xạ đi từ S vào F Ta nói rằng f liên tục tại v nếu x→vlimf(x) tồn tại và x→vlimf(x) =f(v).

Hay nói cách khác, f liên tục tại v nếu cho , tồn tại δ sao cho |x−v| < δ ta có

Ta nói f liên tục trên S nếu nó liên tục tại mọi phần tử của S.

Chú thích: Giả sử f là liên tục trên S δ xảy ra khi định nghĩa của liên tục phụ thuộc vào v Nghĩa là, với mọi x ∈ S, tồn tại δ(v) sao cho nếu

Nếu |x−v| < δ(v) thì |f(x)−f(v)| < ε Hàm số f được gọi là liên tục đều khi tồn tại δ không phụ thuộc vào v, sao cho với mọi x, y ∈ S và |x−y| < δ, ta có |f(x)−f(y)| < ε.

Từ tính chất của giới hạn ta nhận được tính chất tương tự của ánh xạ liên tục.

Tính chất 2.2.1 Tổng: Cho f, g : S → F là liên tục tại v thì f + g liên tục tại v.

Tích của hai không gian vectơ định chuẩn E và F là không gian G, với ánh xạ f: S → E và g: S → F liên tục tại điểm v, thì ánh xạ tích fg cũng sẽ liên tục tại v Đối với ánh xạ hợp, nếu S và T là tập con của không gian vectơ định chuẩn F, với ánh xạ f: S → T và g: T → F, tại điểm v ∈ S và w = f(v), thì nếu f liên tục tại v và g liên tục tại w, thì ánh xạ hợp g ◦ f cũng liên tục tại v.

Chứng minh Tổng: ∀ > 0,∃δ >0 sao cho |x−v| < δ, ta có :

Suy ra, f(x) +g(x) liên tục tại v.

Tích: Cho , tồn tại δ sao cho khi |x−v| < δ, ta có

= Ánh xạ hợp: Cho >0,∃δ > 0 sao cho khi |y −w| < thì

Với δ đã cho, tồn tại δ 1 > 0 sao cho khi |x−v| < δ 1 thì

Suy ra, với mọi x ∈ S, nếu |x−v| < δ 1 thì

Nếu f là ánh xạ liên tục và c là một số, thì cf cũng là ánh xạ liên tục Do đó, tập hợp các ánh xạ liên tục từ S vào không gian vectơ định chuẩn F tạo thành một không gian vectơ, ký hiệu là C ◦ (S, F) Định lý 2.2.1 chỉ ra rằng, với S là tập con của không gian vectơ định chuẩn F, v ∈ S và f : S → F là ánh xạ, thì f là liên tục tại v nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {x n } trong S hội tụ đến v, ta có n→∞lim f(x n ) = f(v).

Để chứng minh tính liên tục của hàm số f tại điểm v, giả sử rằng f liên tục tại v Có tồn tại δ > 0 sao cho nếu |x−v| < δ thì |f(x)−f(v)| < ε Với δ đã cho, tồn tại N sao cho n ≥ N dẫn đến |x_n −v| < 1/N, từ đó suy ra |f(x_n) −f(v)| < ε Ngược lại, giả sử mỗi dãy {x_n} hội tụ đến v Cần chứng minh rằng nếu tồn tại N sao cho |x−v| < 1/N thì |f(x)−f(v)| < ε Nếu điều này sai, thì với mỗi ε và số nguyên dương n, tồn tại x_n ∈ S sao cho |x_n −v| < 1/n nhưng |f(x_n)−f(v)| > ε, dẫn đến mâu thuẫn với giả thuyết dãy {x_n} hội tụ đến v Do đó, hàm F phải liên tục tại v.

Cho | | 1 và | | 2 là các chuẩn tương đương trong không gian vectơ định chuẩn E, với S là tập con của E và f : S → F là ánh xạ từ S vào không gian vectơ định chuẩn F Nếu v ∈ E là điểm dính của S và f liên tục tại v theo chuẩn | | 1, thì f cũng sẽ liên tục tại v theo chuẩn | | 2 Định lý tiếp theo sẽ đề cập đến ánh xạ vào không gian tích.

Trong không gian vectơ định chuẩn F = F1 × × Fk theo chuẩn sup, ánh xạ f: S → F được xác định bởi các hàm tọa độ f1, , fk, với f(x) = (f1(x), , fk(x)) Đặc biệt, khi F = Rk, các hàm fi được gọi là hàm tọa độ trên f Định lý 2.2.2 chỉ ra rằng, với S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, ánh xạ f: S → F = F1 × × Fk tồn tại nếu và chỉ nếu giới hạn của từng hàm tọa độ fi(x) tồn tại tại điểm dính v của S Nếu giới hạn này tồn tại và w là giới hạn của f(x), thì w = (w1, , wk) với wi = lim x→v fi(x) cho mọi i = 1, 2, , k.

Chứng minh Giả sử x→vlimf(x) =w = (w 1 , , w k ).

Cho , khi đó tồn tại δ sao cho nếu |x−v| < δ thì

|f(x)−w| < Đặtf(x) = y = (y 1 , , y k ).Bằng định nghĩa, |y i −w i | < bất kì|x−v| < δ, vì vậy w i = lim x→vf i (x). Đảo lại, nếu w i = lim x→vf i (x), với mọi i = 1,2, , k, Khi đó, tồn tại δ i sao cho bất kì |x−v| < δ i , ta có

Bằng định nghĩa, khi|x−v| < δ, mỗi |f i (x)−w i | < với mọi i=1, ,k do đó |f(x)−w| < , vì vậy w là giới hạn của f(x) khi x → v Định lý được chứng minh.

Hệ quả 2.2.1 Ánh xạ f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu mỗi ánh xạ tọa độ f i là liên tục, i = 1, , k.

Chứng minh Vì f liên tục nên hình chiếu các ánh xạ tọa độ f i cũng liên tục Hệ quả được chứng minh.

Giới hạn không gian hàm

Cho S là một không gian vectơ định chuẩn F, và {f n } là một dãy ánh xạ từ S vào F Với mỗi x ∈ S, ta có thể xem xét dãy các phần tử của F được xác định bởi {f 1 (x), f 2 (x), } Dãy {f n (x)} sẽ hội tụ cho mỗi x, và nếu {f n } là dãy ánh xạ mà với mỗi x ∈ S dãy {f n (x)} hội tụ, thì ta nói rằng {f n } hội tụ từng điểm.

Trong không gian vectơ của ánh xạ bị chặn từ S vào F theo chuẩn sup, nếu mỗi phần tử {f n } ∈ ò(S, F) hội tụ, ta nói rằng dãy {f n } hội tụ theo chuẩn sup, tức là hội tụ đều Sự hội tụ trong ò(S, F) được hiểu là hội tụ đều, và chuẩn sup được ký hiệu là | |.

Một dãy tùy ý của ánh xạ {f n } từ S vào F hội tụ đều đến ánh xạ f nếu với , tồn tại N sao cho với mọi n≥ N, thì hiệu f −f n là bị chặn và

Cho T là tập con của S Nếu f là ánh xạ trên S vào F, f bị chặn trên

Nếu f là một dãy của ánh xạ từ S vào F và nếu nó hội tụ đều với chuẩn sup lấy theo T, thì ta nói nó hội tụ đều trên T.

Cho dãy hàm {f n } với đồ thị có đỉnh hình tam giác và giá trị bằng 0 khi x ≥ c n, trong đó {c n } là dãy giảm đến 0 Với mỗi x > 0, ta có giới hạn n→∞lim f n (x) = 0, vì tồn tại N sao cho f n (x) = 0 khi n ≥ N Do đó, dãy {f n } hội tụ từng điểm đến 0, nhưng không hội tụ đều đến 0 Nếu tất cả đỉnh tăng đến 1, thì

Vì vậy, dãy của hàm không hội tụ đều Chú ý, mỗi f n bị chặn, liên tục và giới hạn của hàm là liên tục.

Với mỗi n, hàm f_n(x) = 1/nx xác định cho x > 0, dãy {1/nx} hội tụ đến 0 với mỗi x Do đó, giới hạn từng điểm của dãy {f_n(x)} là 0, và chúng ta nói rằng {f_n} hội tụ từng điểm đến hàm 0 Tuy nhiên, sự hội tụ này không đồng đều, vì với mỗi x bất kỳ, cần có một N nhất định.

1/nx < với mọi n ≥ N phụ thuộc vào x Ta có thể viết N = N(x) Khi x xấp xỉ

0, N(x) trở nên lớn và càng lớn.

Đối với mọi f_n xác định trên tập T với tất cả x ≥ c, tập hợp {f_n} sẽ hội tụ đều đến 0 trên T khi c > 0 Cụ thể, tồn tại một số nguyên N sao cho 1/N < c, từ đó với mọi x ≥ c và n ≥ N, ta có điều kiện hội tụ này.

Do đó, |f n | T < , vậy đã chứng minh được {f n } hội tụ đều đến 0 trên T.

Ví dụ 2.3.3 Cho f n (x) = (1 − x) n xác định với 0 ≤ x ≤ 1 Với mỗi x 6= 0, ta có: n→∞lim(1−x) n = 0.

Mỗi f n là liên tục, nhưng giới hạn hàm (từng điểm) là không liên tục trên

Định lý 2.3.1 khẳng định rằng nếu F là không gian Banach và S là một tập con không rỗng, thì không gian hàm liên tục trên S với chuẩn sup cũng là một không gian Banach.

Chứng minh Cho {f n } là dãy Cauchy của ánh xạ bị chặn từ S vào F Với đã cho, tồn tại N sao cho nếu n, m ≥N thì

|f n −f m | < Đặc biệt, với mỗi x, |f n (x)−f m (x)| < Do đó, {f k (x)} với (k = 1,2, ) là dãy Cauchy trongF, mà nó hội tụ khi F là Banach Ta kí hiệu giới hạn của nó bởi f(x) là f(x) = lim n→∞fk(x).

Cho n≥ N, x ∈ S, chọn m ≥ N đủ lớn (phụ thuộc vào x) sao cho

Hơn nữa, ta có |f(x)| ≤ 2 + |f_N(x)| ≤ 2 + |f_N|, cho thấy rằng hàm f bị chặn Bất đẳng thức này chỉ ra rằng |f - f_n| < 2 khi dãy {f_n} hội tụ đều đến f, từ đó chứng minh rằng (S, F) là không gian Banach Định lý 2.3.2 phát biểu rằng nếu S là tập con không rỗng của không gian vectơ định chuẩn F và {f_n} là dãy ánh xạ liên tục từ S vào F, thì khi {f_n} hội tụ đều đến ánh xạ f: S → F, thì f cũng là hàm liên tục.

Chứng minh Cho v ∈ S Chọn n lớn để |f −fn| < Với sự lựa chọn n, sử dụng tính liên tục của f n tại v, chọn δ sao cho bất kì |x −v| < δ Ta có, |f n (x)−f n (v)| < thì

< 3 Vậy định lý được chứng minh.

Từ định lý trên, ta có thể kết luận hội tụ của hàm trong ví dụ 2.3.2 ở trên không thể đều, bởi vì giới hạn hàm là không liên tục.

Hệ quả 2.3.1 khẳng định rằng nếu S là một tập con không rỗng của không gian vectơ định chuẩn và BC ◦ (S, F) là không gian vectơ của các ánh xạ liên tục bị chặn từ S vào F, thì BC ◦ (S, F) sẽ là không gian Banach khi áp dụng chuẩn sup.

Bằng cách áp dụng định lý 2.3.1, ta chứng minh rằng bất kì dãy Cauchy nào trong không gian (S, F) đều có giới hạn trong không gian này Hơn nữa, theo định lý 2.3.2, giới hạn này là một hàm liên tục Điều này dẫn đến việc khẳng định một hệ quả quan trọng trong lý thuyết dãy số.

Hệ quả 2.3.2 Không gian của ánh xạ liên tục bị chặn BC ◦ (S, F) là đóng trong không gian của ánh xạ bị chặn (lấy theo chuẩn sup).

Bất kỳ điểm dính nào của không gian BC ◦ (S, F) đều là giới hạn của một dãy ánh xạ liên tục bị chặn, theo định lý 2.3.2 đã chỉ ra hệ quả này.

Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn E, và T là một tập Ánh xạ f : S × T → F phụ thuộc vào hai biến x ∈ S và y ∈ T Giả sử với mỗi y ∈ T, giới hạn x→vlimf(x, y) tồn tại và có thể viết là x→vlimf(x, y) = g(y) với g : T → F Giới hạn này được coi là tồn tại duy nhất với mỗi y ∈ T nếu có δ sao cho với mọi x ∈ S và |x−v| < δ.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét định lý 2.3.3 liên quan đến các tập con S và T của không gian vectơ định chuẩn Định lý khẳng định rằng nếu f là một ánh xạ từ S×T đến không gian vectơ định chuẩn, với v là điểm dính của S và w là điểm dính của T, thì hai điều kiện sau đây cần được thỏa mãn: đầu tiên, giới hạn lim y→w f(x, y) phải tồn tại với mọi x thuộc S; thứ hai, giới hạn lim x→v f(x, y) phải tồn tại duy nhất với mọi y thuộc T Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các điểm dính và sự tồn tại của các giới hạn trong không gian vectơ định chuẩn.

Thì giới hạn x→vlim lim y→wf(x, y), lim y→wlim x→vf(x, y)

(x,y)→(v,w)lim f(x, y) tất cả đều tồn tại và bằng nhau.

Chứng minh Cho h(x) = lim y→wf(x, y) và g(y) = lim x→vf(x, y). Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng x→vlimh(x) tồn tại Ta sẽ dùng tiêu chuẩn Cauchy và ước lượng:

|h(x)−h(x 0 )| ≤ |h(x)−f(x, y)|+|f(x, y)−f(x 0 , y)|+|f(x 0 , y)−h(x 0 )|. Cho , bằng (ii) khi đó tồn tại δ 1 sao cho nếu x, x 0 ∈ S và

|x−v| < δ 1 ,|x 0 −v| < δ 1 thì với mọi y ∈ T ta có:

Từ (i) khi đó tồn tại δ 2 (x, x 0 ) sao cho nếu y ∈ T và |y −w| < δ 2 thì

|h(x)−h(x 0 )| < 4 do h(x) hội tụ khi x → v, là giới hạn L Điều này chứng minh giới hạn thứ nhất. Để thấy g(y) xấp xỉ L là giới hạn, ta xem xét bất đẳng thức

Ta chọn δ 3 sao cho nếu |x−v| < δ 3 thì |h(x) −L| < Ta cũng biết nếu

|x−v|< δ1 thì|f(x, y)−g(y)|< Ta chọnxsao cho|x−v| < min(δ1, δ3). Chọn x tìm thấy δ sao cho, từ (i), nếu |y −w| < δ thì

|f(x, y)−h(x)| < Điều này chỉ ra rằng với mọi y, ta có

|g(y)−L| < 3, và chứng minh g(y) xấp xỉ L khi y xấp xỉ w.

Cuối cùng, để thấy f(x, y) xấp xỉ L khi (x, y) → (v, w) trong không gian tích, ta viết:

Nếu x đóng tại v, thì |f(x, y)−g(y)| < (do (3.1)) Nếu |y−w| < δ, thì

|g(y)−L| < Nó đã chứng minh giới hạn cuối cùng.

Tính chất cơ bản của tập compact

Tập S là một tập con của không gian vectơ định chuẩn E, và dãy {x n } nằm trong S Điểm tụ của dãy {x n } trong E là phần tử v ∈ E, với điều kiện tồn tại một số dương > 0, sao cho có vô hạn số nguyên n thỏa mãn x n −v < Điều này có thể diễn đạt rằng, với bất kỳ tập mở U chứa v, luôn tồn tại vô hạn số n sao cho x n thuộc U.

Điểm tụ của tập vô hạn S được định nghĩa là một phần tử v thuộc không gian E, sao cho với mọi tập mở U chứa v, tồn tại vô hạn phần tử của S nằm trong U Điều này có nghĩa là điểm tụ của S cũng là một điểm dính của S, thể hiện mối quan hệ chặt chẽ giữa hai khái niệm này trong không gian tập hợp.

Một tập S trong không gian E được xem là tập compact nếu mọi dãy chứa các phần tử của S đều có một điểm tụ nằm trong S Tính chất này tương đương với một đặc điểm khác của tập compact.

(a) Mọi tập con vô hạn của S có một điểm tụ trong S.

(b) Mọi dãy của phần tử của S có dãy con hội tụ mà giới hạn của nó nằm trong S.

Giả sử S là tập hợp compact và T là tập con vô hạn của S Tập T bao gồm một dãy đếm được {x_n} với điều kiện x_n ≠ x_m cho mọi m ≠ n Dãy này sẽ có một điểm tụ v thuộc S Đối với mọi ε > 0, tồn tại vô hạn số n sao cho

|x n −v| < , do đó v là điểm tụ của S Điều này chứng minh được (a).

Giả sử {x_n} là một dãy các phần tử của S Nếu tập hợp tất cả các x_n là hữu hạn, thì tồn tại một tập vô hạn các số nguyên I, sao cho với mọi n ∈ I, các phần tử x_n đều bằng các phần tử của x Chúng ta có thể chọn các phần tử trong I với n_1 < n_2 < để tạo thành một dãy con {x_n1, x_n2, } hội tụ đến x Ngược lại, nếu tập hợp tất cả x_n là vô hạn, thì nó có một điểm tụ v trong S Chúng ta chọn n_1 sao cho |x_n1 - v| < 1/1, sau đó chọn n_2 > n_1 sao cho |x_n2 - v| < 1/2 Bằng quy nạp, giả sử chúng ta đã tìm thấy n_1 < n_2 < < n_k thỏa mãn điều kiện này.

Dãy con {x n 1 , x n 2 , } hội tụ đến v, chứng minh (b) Nếu giả sử (b) đúng, thì bất kỳ dãy nào trong S đều có dãy con hội tụ với giới hạn nằm trong S, và giới hạn đó là điểm dính của dãy đã cho, từ đó chứng minh tập S là compact Theo Định lý 3.1.1, một tập compact là tập đóng và bị chặn.

Chứng minh rằng tập S là compact và v là điểm dính trong S Theo định nghĩa, tồn tại x_n ∈ S sao cho |x_n - v| < 1/n, dẫn đến dãy {x_n} hội tụ đến v Dãy này có dãy con hội tụ với giới hạn nằm trong S, từ đó suy ra v ∈ S, chứng tỏ S là tập đóng Nếu S không bị chặn, với mỗi n tồn tại x_n ∈ S sao cho |x_n| > n, dãy {x_n} không có điểm tụ trong E Nếu v là điểm tụ, xem xét m > 2|v|.

Bất đẳng thức cho thấy rằng với vô hạn m, x m phải đóng tại v, dẫn đến việc S là bị chặn Theo Định lý 3.1.2, tập con đóng của một tập compact cũng sẽ là compact.

Chứng minh rằng nếu S là tập con đóng trong tập compact K và T là tập con vô hạn của S, thì T có ít nhất một điểm tụ trong K Điểm tụ của T cũng là điểm dính của T, dẫn đến việc T là điểm dính đối với S Khi S là tập đóng, điểm tụ này phải nằm trong S, từ đó khẳng định S là tập compact Định lý 3.1.3 chỉ ra rằng nếu S là tập compact và có một dãy các tập con đóng không rỗng S1, S2, , Sn sao cho Sn ⊃ Sn+1, thì giao của tất cả các Sn với mọi n = 1, 2, là không rỗng.

Chứng minh rằng nếu dãy {x_n} có điểm tụ v trong S, thì v cũng là điểm dính cho mỗi dãy con {x_k} với k ≥ n, và do đó, v nằm trong bao đóng của S_n với mọi n Vì S_n được giả định là đóng, nên v ∈ S_n cho mọi n, từ đó chứng minh được định lý Định lý 3.1.4 khẳng định rằng nếu S là tập compact trong không gian vectơ E và T là tập compact trong không gian vectơ F, thì tích S×T cũng là tập compact trong E×F theo chuẩn sup.

Chứng minh rằng cho z n = (x n , y n ) là giới hạn của một dãy S×T với x n ∈ E và y n ∈ F Dãy {x n } có dãy con hội tụ {x n k } đến v ∈ S Tương ứng, dãy {y n k } cũng có dãy con hội tụ {y n kj } đến w ∈ T Do đó, ta có zn kj = (x n kj , y n kj ).

Khi n tiến đến vô cực, dễ dàng nhận thấy rằng z_n sẽ hội tụ đến (v, w) Để chứng minh điều này, giả sử z_n = (x_n, y_n) là giới hạn của một dãy trong S × T với x_n thuộc E và y_n thuộc F Từ đó, tồn tại một tập con vô hạn J_1 của Z+ và một giá trị v thuộc S sao cho giới hạn của x_n khi n thuộc J_1 tiến đến v.

Với J 1 đã cho, tồn tại tập con vô hạn của J 2 của J 1 và w ∈ T sao cho: n→∞lim n∈J 2 y n = w.

Dãy {z n }(n ∈ J 2 ) thì hội tụ đến (v, w) mà nằm trong S×T, do đó chứng minh được định lý.

Theo quy nạp, chúng ta có thể khẳng định rằng tích hữu hạn của các tập compact vẫn là một tập compact Định lý 3.1.5 chỉ ra rằng một tập con của R^k được coi là compact nếu và chỉ nếu nó là tập đóng và bị chặn.

Chứng minh rằng một tập con compact của R^k là đóng và bị chặn đã được nêu ở định lý 3.1.1 Để chứng minh điều ngược lại, giả sử S là tập đóng và bị chặn trong R^k Khi đó, tồn tại một hằng số C > 0 sao cho |x| ≤ C với mọi x ∈ S, trong đó | | là chuẩn sup trong R^k Gọi I là khoảng đóng −C ≤ x ≤ C, thì I là tập compact theo định lý Weierstrass-Bolzano, và S được chứa trong tích.

I ×I × ×I là compact theo định lý 3.1.4 Khi S đóng, theo định lý 3.1.2 ta kết luận

Ánh xạ liên tục trên tập compact

Định lý 3.2.1 ChoS là tập con compact của không gian vectơ định chuẩn

E, f : S → F là ánh xạ liên tục của S vào không gian vectơ định chuẩn

F, thì ảnh của f là tập compact.

Chứng minh rằng cho dãy {y n} thuộc ảnh của hàm f, ta có thể tìm x n ∈ S sao cho y n = f(x n) Dãy {x n} tồn tại dãy con hội tụ {x n k} với giới hạn v ∈ S Khi f là hàm liên tục, ta có giới hạn k→∞lim y n k = lim k→∞f(x n k) = f(v).

Dãy {y n} có một dãy con hội tụ trong f(S), chứng minh rằng f(S) là tập compact Theo Định lý 3.2.2, nếu S là tập compact trong không gian vectơ định chuẩn và f : S → R là hàm liên tục, thì f đạt giá trị cực đại trên S, tức là tồn tại v ∈ S sao cho f(x) ≤ f(v) với mọi x ∈ S.

Theo định lý 3.2.1, ảnh f(S) là tập hợp đóng và bị chặn Điểm b, được xác định là điểm bị chặn nhỏ nhất, sẽ trở thành điểm dính của f(S) Khi f(S) là đóng, điều này dẫn đến việc b thuộc f(S), tức là tồn tại v trong S sao cho b = f(v) Như vậy, định lý đã được chứng minh.

Thông qua định lý 3.2.2 ta cũng nói lên sự tồn tại minimum.

Cho S là một tập con trong không gian vectơ định chuẩn và f: S → F là một ánh xạ vào không gian vectơ định chuẩn Hàm f được gọi là liên tục đều nếu với mọi số dương > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y thuộc S, khi |x − y| < δ thì điều kiện liên tục được thỏa mãn.

Nếu hàm f liên tục trên tập S, thì f sẽ liên tục tại mọi điểm trong S, từ đó khẳng định rằng f liên tục trên S Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp ngược lại Ví dụ, với S là khoảng mở 0 < x < 1 và f(x) = 1/x, hàm f vẫn liên tục trên S nhưng không hội tụ đều.

Thật vậy, ta có f(x)−f(y) = 1 x − 1 y = y −x xy

Chúng ta có thể tìm cặp điểm (x, y) sao cho khoảng cách |x − y| rất nhỏ, nhưng sự khác biệt |f(x)−f(y)| lại lớn Ví dụ, nếu chọn x = 1/n và y = 1/(n+1) với n là một số nguyên lớn, thì ta có |x−y| < 2/n, trong khi |f(x)−f(y)| = 1 Định lý 3.2.3 chỉ ra rằng S là tập hợp compact trong không gian vectơ định chuẩn.

E và f : S → F là ánh xạ liên tục trong không gian vectơ định chuẩn F, thì f là liên tục đều.

Chứng minh Giả định khẳng định của định lý là sai Khi đó, tồn tại >0, mỗi n tồn tại cặp phần tử (x n , y n ) ∈ S, sao cho

Có một tập con vô hạn J1 của Z+ và một phần tử v thuộc S, sao cho dãy xn hội tụ về v khi n tiến tới vô cùng với n thuộc J1 Tương tự, tồn tại một tập con vô hạn J2 của J1 và một phần tử w thuộc S, sao cho dãy yn hội tụ về w khi n tiến tới vô cùng với n thuộc J2 Khi n tiến tới vô cùng và n thuộc J2, ta có |v - w| = 0, từ đó suy ra v = w.

Vậy n → ∞ và n∈ J 2 , ta kết luận |f(x n )−f(y n )| xấp xỉ tới 0 Điều này trái với giả thiết

Do đó ta đã chứng minh được định lý.

Một hàm liên tục trên R sẽ luôn liên tục đều trên các khoảng compact Nếu f là ánh xạ liên tục trên S và cũng là liên tục đều trên S, thì S sẽ là liên tục đều trên mọi tập con của nó Vì vậy, hàm liên tục trên R được khẳng định là liên tục đều trên từng khoảng bị chặn.

Quan hệ với phủ mở

Định lý 3.3.1 Cho S là tập compact trong không gian vectơ định chuẩn

E, r > 0 Khi đó tồn tại hữu hạn hình cầu mở bán kính r mà hợp của nó chứa trong S.

Giả sử điều trên là sai, cho x₁ ∈ S và B₁ là hình cầu mở bán kính r tâm tại x₁, thì B₁ không chứa trong S và x₂ ∈ S, x₂ ∈ B₁ Sử dụng quy nạp, giả sử chúng ta đã tìm thấy các hình cầu mở B₁, , Bn với bán kính r và các điểm x₁, , xₙ sao cho xₖ₊₁ không nằm trong B₁ ∪ ∪ Bₖ Chúng ta có thể tìm thấy xₙ₊₁ mà không nằm trong B₁ ∪ ∪ Bₙ, và gọi Bₙ₊₁ là hình cầu mở bán kính r tâm tại xₙ₊₁ Đặt v là điểm tụ của dãy {xₙ}, theo định nghĩa, tồn tại các số nguyên dương m, k với k > m.

|x k −v| < r/2 và |x m −v| < r/2, thì |x k −x m | < r và điều này mâu thuẫn tính chất của dãy {x n } vì {x k } nằm trong hình cầu B m Điều này chứng minh định lý.

Cho S là tập con trong không gian vectơ định chuẩn và I là một tập Giả sử với mỗi i ∈ I, ta có tập mở Ui đã cho, ta ký hiệu liên hợp bởi {U i} i∈I, và gọi nó là họ các tập mở.

Hợp của họ mở {U i} i∈I là tập U bao gồm tất cả các phần tử x thuộc E sao cho x nằm trong U i với i thuộc I Chúng ta nói rằng họ này là phủ S nếu S được chứa trong hợp U, tức là mỗi phần tử x thuộc S đều nằm trong U i Do đó, {U i} i∈I được gọi là phủ mở của S.

Nếu J là tập con của I, thì ta gọi họ {U j } j∈J là họ con và nếu nó phủ

S được gọi là phủ con của S Nếu U1, U2, , Un là một tập hợp hữu hạn các tập mở, thì S được xem là phủ con hữu hạn của S khi S nằm trong hợp hữu hạn của các tập này.

Định lý 3.3.2 khẳng định rằng nếu S là một tập con compact trong không gian vectơ định chuẩn và {U i } i∈I là một phủ mở của S, thì sẽ tồn tại một phủ con hữu hạn Điều này có nghĩa là sẽ có một số hữu hạn các tập mở Ui 1, , Ui n mà hợp của chúng vẫn phủ S.

Theo định lý 3.3.1, với mỗi n, tồn tại một số hữu hạn hình cầu mở bán kính 1/n phủ S Nếu không có phủ con hữu hạn của S bởi tập mở Ui, thì với mỗi n, tồn tại hình cầu mở Bn từ một số hữu hạn trước đó sao cho Bn ∩ S không được phủ bởi bất kỳ số hữu hạn nào của tập mở Ui Chọn z n ∈ Bn ∩ S, w là điểm dính của dãy {z n } Với chỉ số i0, ta có w ∈ Ui0 Theo định nghĩa, Ui0 chứa hình cầu mở B với tâm tại w và bán kính r > 0 Đặt N là một số lớn sao cho 2/N < r, từ đó tồn tại n > N sao cho

Mỗi điểm trong Bn có khoảng cách nhỏ hơn 2/n và 2/N từ w, dẫn đến việc Bn được chứa trong B Do đó, Bn cũng nằm trong Ui0, điều này mâu thuẫn với giả thuyết rằng Bn không chứa trong B Như vậy, định lý đã được chứng minh.

Từ định lý 3.3.2, ta nhận được một chứng minh khác: Một ánh xạ liên tục trên tập compact S là liên tục đều.

Chứng minh Cho , với mỗi x ∈ S, tồn tại δ(x) sao cho nếu y ∈ S và

Xét tập hợp S, với mỗi điểm x ∈ S, ta định nghĩa hình cầu mở B x có bán kính δ(x) Hợp của tất cả các hình cầu B x với mọi x ∈ S tạo thành phủ mở của S Do đó, tồn tại hữu hạn điểm x₁, , xₙ ∈ S sao cho

Bx 1 ∪ ∪Bx n chứa trong S Cho δ = min δ(x 1 )

Cho x, y là cặp điểm bất kì của S sao cho |x−y| < δ Khi đó, xnằm trong

|f(y)−f(x)| < |f(y)−f(xk)|+|f(xk)−f(x)| < 2. Điều này chứng minh liên tục đều.

Tính chất liên quan của phủ hữu hạn có mối liên hệ chặt chẽ với tính chất của tập compact, được thể hiện qua Định lý 3.3.3 Định lý này khẳng định rằng nếu S là một tập con của không gian vectơ định chuẩn và mọi phủ mở của S đều có một phủ con hữu hạn, thì S sẽ được coi là một tập compact.

Để chứng minh rằng bất kỳ tập con vô hạn T của S đều có một điểm tụ trong S, giả sử ngược lại Giả sử có một điểm x ∈ S, tồn tại một tập mở U_x chứa x nhưng chỉ chứa hữu hạn phần tử của T.

Họ {U x } x∈S là phủ mở của S, {U x 1 , , U x n } là phủ con hữu hạn Ta kết luận rằng chỉ có hữu hạn số của phần tử của T nằm trong hợp hữu hạn

U x 1 ∪ ∪U x n Điều này mâu thuẫn, do đó ta chứng minh được định lý.

Định lý Stone-Weierstrass

Cho S là tập không rỗng Một đại số của hàm trên S (tập của hàm), kí hiệu là A sao cho nếu f, g ∈ A thì f +g ∈ A và nếu c là số thì cf ∈ A.

Ta cũng giả địnhA là không rỗng Ta xem xét cả giá trị đại số thực và giá trị đại số phức.

Ví dụ 3.4.1 Tập tất cả các hàm thực trên S là đại số.

Ví dụ 3.4.2 Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn, tập của hàm liên tục trên S là đại số, kí hiệu là C ◦ (S).

Ví dụ 3.4.3 Cho S là khoảng mở Tập của hàm khả vi trên S là đại số.

Cho S là một tập compact trong không gian vectơ định chuẩn, và A là đại số của các hàm liên tục trên S Mỗi hàm trong A đều bị chặn do tính compact của S, từ đó cho phép xác định chuẩn sup trên A, nghĩa là f ∈ A.

A được chứa trong không gian vectơ định chuẩn của tất cả các hàm bị chặn trên S Cần xác định tập đóng của A, và khi C 0 (S) là một không gian đóng, tập đóng của A sẽ nằm trong C 0 (S).

Ta nói rằng tập hợp A tách điểm của S nếu với mọi điểm x, y ∈ S và x ≠ y, tồn tại hàm f ∈ A sao cho f(x) ≠ f(y) Thông thường, đại số của hàm đa thức có khả năng tách điểm, ví dụ như hàm f(x) = x Định lý 3.4.1, hay còn gọi là định lý Stone-Weierstrass, khẳng định điều này.

Cho S là tập compact và A là đại số của hàm liên tục giá trị thực trên

Giả sử A là một tập hợp tách điểm và chứa hàm hằng, thì bao đóng của A sẽ bằng đại số của tất cả các hàm liên tục thực trên S Để chứng minh định lý này, trước tiên cần chứng minh một bổ đề liên quan.

Bổ đề 3.4.1 Ngoài giả thuyết của định lý, giả sử nếu f, g ∈ A thì max(f, g) ∈ A và min(f, g) ∈ A Là hệ quả của định lý trên.

Để chứng minh định lý, chúng ta thực hiện ba bước Đầu tiên, với hai phần tử x1 và x2 thuộc tập S, với x1 khác x2, và hai số thực α, β đã cho, ta cần chứng minh rằng tồn tại một hàm h thuộc tập A sao cho h(x1) bằng α và h(x2) bằng β Theo giả thuyết, tồn tại một hàm ϕ thuộc A sao cho ϕ(x1) khác ϕ(x2) Đặt h(x) = α + (β - α) * (ϕ(x) - ϕ(x1)) / (ϕ(x2) - ϕ(x1)), thì hàm h sẽ thỏa mãn yêu cầu đề ra.

Tiếp theo, hàm liên tục f đã cho trên S và cho Ta sẽ tìm thấy hàm g ∈ A sao cho f(y)− < g(y) < f(y) +.

Ta sẽ thỏa mãn bất đẳng thức trên như sau: Với mỗi cặp điểm x, y ∈ S tồn tại hàm hx,y ∈ A sao cho h x,y (x) = f(x) và h x,y (y) = f(y).

Nếux = y, nó là tầm thường Nếu x 6= y, nó là điều mà chúng ta đã chứng minh ở bước 1 Bây giờ ta cố định x, với mỗi y ∈ S tồn tại hình cầu mở

U y tâm tại y sao cho với mọi z ∈ U y , ta có: h x,y (z) < f(z) +.

Nó là liên tục của f − h x,y tại y, với hình cầu mở U y phủ S Khi S là compact, tồn tại hữu hạn y 1 , , y n sao cho U y 1 , , U y n phủ S Đặt h x = min(h x,y 1 , , h x,y n ), thì h x thuộc A theo giả thuyết của bổ đề Hơn nữa, với mọi z ∈ S, ta có hx(z) < f(z) + và h x (x) = f(x), nghĩa là (h x −f)(x) = 0.

Với mỗi x ∈ S, ta tìm thấy hình cầu mở V x tâm tại x sao cho bằng liên tục, với mọi z ∈ V x , ta có (h x −f)(z) > −., hoặc nói cách khác, f(z)− < hx(z).

Bằng tập compact, ta có thể tìm thấy hữu hạn điểm x 1 , , x m sao cho

V x 1 , , V x m phủ S Cuối cùng, cho g = max(h x 1 , , h x m ), thì g nằm trong A, ta có với mọi z ∈ S : f(z)− < g(z) < f(z) +,

Để chứng minh bổ đề, ta thấy rằng định lý là hệ quả của nó Điều này có nghĩa là nếu ta chứng minh với mọi hàm f, g ∈ A, thì max(f, g) và min(f, g) sẽ nằm trong bao đóng của A Đặc biệt, ta có thể diễn đạt max(f, g) bằng công thức: max(f, g) = f + g.

Hệ quả này đủ để chứng minh nếu f ∈ A thì |f| ∈ A.

Khi hàm f bị chặn, tồn tại một số c > 0 sao cho −c ≤ f(x) ≤ c cho mọi x thuộc tập S Hàm giá trị tuyệt đối có thể được xấp xỉ đều bằng đa thức thông thường trong khoảng [−c, c] thông qua phép nhân chập.

Ta sẽ chứng minh định lý Stone- Weierstrass lại như sau: Cho , P là đa thức sao cho

|P(f(x))− |f(x)|| < , và do đó |f| có thể xấp xỉ bởi P ◦f Rõ ràng, nếu

P(f(x)) = a n f(x) n + +a 0 Kết luận này đã chứng minh được định lý Stone - Weierstrass.

Hệ quả 3.4.1 Cho S là tập compact trong R k , thì bất kì hàm liên tục thực nào trên S có thể xấp xỉ đều bởi hàm đa thức trong k biến.

Chứng minh Tập của đa thức chứa hằng số và hiển nhiên là tách điểm của R k khi tọa độ hàm x 1 , , x k cũng vậy Vì vậy, ứng dụng định lý Stone

- Weierstrass thì bao đóng của tập đa thức chứa hằng số bằng đại số hàm thực trên k biến Vậy hệ quả được chứng minh.

Định lý Weierstrass - Stone có một tính chất quan trọng liên quan đến đại số hàm giá trị phức Cụ thể, nếu E là đại số của hàm giá trị phức trên tập S và f thuộc A, thì hàm liên hợp của f được xác định bởi f = f(x).

Nếu f(x) = e^(ix), thì f(x) = e^(-ix) Đối với đại số A trên C của hàm giá trị phức, A được coi là số phức của chính nó nếu hàm đối của mọi f ∈ A cũng thuộc A Định lý 3.4.2, hay còn gọi là Định lý Stone - Weierstrass, liên quan đến tính chất này của các hàm phức.

Tập hợp S là một tập compact, trong khi A là đại số (trên C) của hàm liên tục có giá trị phức trên S Nếu A tách điểm, chứa hằng số và liên hợp đối của chính nó, thì bao đóng của A sẽ tương đương với đại số của tất cả các giá trị thực của hàm số liên tục trên S.

Chứng minh rằng A R là tập hợp tất cả các hàm trong A có giá trị thực Ta giả định A R là một đại số trên R, đáp ứng các điều kiện của định lý Stone.

Định lý Stone-Weierstrass cho phép chúng ta xác định rằng nếu x₁ và x₂ là hai điểm khác nhau trong tập S, thì tồn tại một hàm f thuộc A sao cho f(x₁) = 0 và f(x₂) = 1 Từ đó, ta có thể xây dựng hàm g = f + f, với g(x₁) = 0 và g(x₂) = 2, cho thấy g là giá trị thực và thuộc A_R, do đó tập này tách biệt các điểm Hơn nữa, với hàm liên tục phức ϕ trên S, ta có thể biểu diễn ϕ dưới dạng ϕ = u + iv, trong đó u và v là các giá trị thực liên tục, và chúng có thể được xấp xỉ đều bởi các phần tử thuộc A_R Cuối cùng, với các hàm f, g thuộc A_R, ta có điều kiện |u - f| < ε, cho thấy tính liên tục của các hàm này trong không gian R.

|v −g| < , thì f + ig xấp xỉ u+ iv = ϕ, vì vậy chứng minh được định lý.

Định nghĩa cơ bản

Cho S là không gian vectơ định chuẩn, {v n } là một dãy trong E Ta có ∞

X n=1 v n gọi là chuỗi liên hợp với dãy, hoặc đơn giản gọi là chuỗi Ta gọi s n ∞

Tổng riêng thứ n của chuỗi được định nghĩa là X k=1 v k = v 1 + +v n Nếu giới hạn của tổng riêng này tồn tại khi n tiến tới vô cùng (n→∞lim s n), thì chuỗi được coi là hội tụ, và giới hạn đó được gọi là tổng của chuỗi.

X n=1 w n là hai chuỗi trong E và cả hai hội tụ thì

Nếu c là một số và

Nếu E, F, G là không gian vectơ định chuẩn, E ×F → G là một tích và

P n=1 w n là chuỗi hội tụ trong E và F tương ứng, thì

Chú ý rằng sntn = Pviwj với i, j = 1, , n Toàn bộ điểm của chương này là tiêu chuẩn xác định cho sự hội tụ của chuỗi.

Chú ý: Thỉnh thoảng ta có thể viết

Tất nhiên nếu một dãy đã cho với n ≥ 0, ta có thể viết chuỗi như sau:

X n=k v n = lim n→∞(v k +v k+1 + +v n ) nếu nó tồn tại.

Sự hội tụ của chuỗi P v n phụ thuộc duy nhất vào

X n=k v n , với k lớn Thật vậy, nếu với k ≥ 1 chuỗi trên hội tụ thì

X n=1 vn cũng hội tụ Do đó, ta có thể nói hội tụ của một chuỗi đã cho phụ thuộc duy nhất vào vn với n đủ lớn.

Nếu có hai chuỗi P v n và P v n 0 sao cho v n = v n 0 nhưng một số hữu hạn của n, thì một chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi kia cũng hội tụ khác.

Thật vậy, nếu v n = v n 0 với n≥ N, ta có thể biểu diễn tổng riêng s n và s 0 n với n ≥N dưới dạng: s n = v 1 + +v n = v 1 + +v N + n

Tổng cuối cùng từ N + 1 đến n ở bên phải là bằng lẫn nhau.

Do đó, {s n } có một giới hạn nếu và chỉ nếu {s 0 n } có một giới hạn khi n→ ∞.

Cuối cùng, nếu P v n hội tụ thì n→∞lim v n = 0, vì đặc biệt, |s n+1 −s n | = |v n+1 | < với n đủ lớn Tuy nhiên, nhiều chuỗi có số hạng thứ n xấp xỉ 0 là không hội tụ, ví dụ P

Chuỗi số nguyên dương

Ta xem xét đầu tiên trường hợp đơn giản nhất của chuỗi, đó là chuỗi các số dương. Định lý 4.2.1 Cho {a n } ≥ 0 Chuỗi

X n=0 an hội tụ nếu và chỉ nếu tổng riêng là bị chặn.

Chứng minh rằng dãy tổng riêng s_n = a_1 + + a_n là dãy tăng Nếu dãy này không bị chặn, thì chuỗi không hội tụ; ngược lại, nếu bị chặn, giới hạn của nó là giá trị nhỏ nhất, do đó chuỗi hội tụ Đối với chuỗi có các số lớn hơn hoặc bằng 0, chuỗi được gọi là phân kỳ nếu tổng riêng không bị chặn Theo định lý 4.2.2, cho P a_n và P b_n là chuỗi với a_n, b_n ≥ 0, nếu P b_n hội tụ và tồn tại C > 0 sao cho 0 ≤ a_n ≤ Cb_n với n đủ lớn, thì P a_n cũng hội tụ.

Chứng minh Thay thế hữu hạn số của số hạnga n bởi0, ta có thể giả định rằng a n ≤ Cb n với mọi n, thì a1 + +an ≤ C(b1 + +bn) ≤ C

Tổng riêng của chuỗi \( P a_n \) bị chặn và chuỗi hội tụ theo định lý 4.2.1 Định lý 4.2.2, được gọi là tiêu chuẩn so sánh, là công cụ phổ biến nhất để chứng minh sự hội tụ của một chuỗi Theo định lý 4.2.3, nếu \( P a_n \) là chuỗi các số không âm và có một số \( c \) thoả mãn \( 0 < c < 1 \) với điều kiện \( a_{n+1} \leq c a_n \) cho \( n \) đủ lớn, thì chuỗi \( P a_n \) sẽ hội tụ.

Chứng minh Cho N, sao cho a n+1 ≤ ca n với mọi n ≥N Ta có : a N +2 < ca N +1 ≤c 2 a N , và tổng quát bằng quy nạp, aN +k ≤c k aN.

Định lý 4.2.4 khẳng định rằng nếu f là một hàm xác định với các số lớn hơn hoặc bằng 1, và f(x) ≥ 0 với mọi x, đồng thời f là hàm giảm, thì chuỗi hội tụ sẽ được đảm bảo Tiêu chuẩn thử nghiệm này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự hội tụ của chuỗi.

Z B 1 f(x)dx. tồn tại, thì chuỗi

X n=1 f(n) hội tụ Nếu tích phân phân kỳ, thì chuỗi phân kỳ.

Chứng minh Với n ≥ 2 ta có f(n) ≤

Vì vậy, tổng riêng của chuỗi là bị chặn và hội tụ Giả sử ngược lại tích phân phân kỳ, thì với mọi n ≥1, ta có f(n) ≥

Z n+1 n f(x)dx và khin → ∞thì vế phải bất đẳng thức trên lớn tùy ý Vì vậy, chuỗi phân kỳ.

Chuỗi đan dấu

Đầu tiên ta sẽ xem xét chuỗi đan dấu. Định lý 4.3.1 Cho P a n là chuỗi số sao cho n→∞lim a n = 0.

Hơn nữa, số hạng a n là sự đan dấu giữa số dương và số âm và thỏa mãn

|a n+1 | ≤ |a n | với mọi n ≥ 1 Khi đó, chuỗi hội tụ và

Chứng minh Nếu a 1 > 0, ta có thể viết chuỗi dưới dạng b 1 −c 1 +b 2 −c 2 + b 3 −c 3 +

Với b n , c n ≥ 0 và b 1 = a 1 Cho sn = b1 −c1 +b2 −c2 + + bn, t n = b 1 −c 1 +b 2 −c 2 +b 3 −c 3 + +b n −c n

Dãy số s n được xác định bởi công thức s n+1 = s n − c n + b n+1, với điều kiện 0 ≤ b n+1 ≤ c n dẫn đến s n+1 ≤ s n, từ đó suy ra rằng s 1 ≥ s 2 ≥ s 3 ≥ và t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤ , tức là s n là dãy tăng và t n là dãy giảm Khi t n = s n − c n và c n ≥ 0, ta có t n ≤ s n, dẫn đến bất đẳng thức s 1 ≥ s 2 ≥ s 3 ≥ ≥ s n ≥ t n ≥ ≥ t 2 ≥ t 1 Do đó, tồn tại một số N sao cho nếu n ≥ N thì

Chuỗi hội tụ và giới hạn được xem là cận dưới lớn nhất của dãy s_n và cận trên bé nhất của dãy t_n Quan sát giới hạn này nằm trong khoảng s_1 và t_1 = s_1 - c_1 = b_1 - c_1 ≥ 0, điều này đã chứng minh định lý đã nêu Trong trường hợp a_1 < 0, chúng ta sẽ xem xét dạng chuỗi với số hạng.

Ta mở rộng định lý 4.3.1 như sau:

Nếu ta bắt đầu tổng từ số hạng thứ k, thì giả thuyết vẫn thỏa mãn Do đó

X n=k a n | ≤ |a k |. Định lý 4.3.1 cũng chỉ ra với số nguyên dương k ≤ m, ta có

Định lý 4.3.2 khẳng định rằng với dãy số {a_n} giảm dần và không âm, giới hạn của dãy này khi n tiến tới vô cùng là 0 Đồng thời, xét dãy số {b_n} không nhất thiết phải dương và tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi n, ta có mối liên hệ giữa các thành phần trong dãy.

(nghĩa là tổng riêng của chuỗi P b n bị chặn), thì chuỗi P a n b n hội tụ và

Chứng minh Đầu tiên ta sẽ chứng minh bằng quy nạp trên n nếu

Giả sử với n− 1 Nếu a n−1 = 0, thì a n = 0 và bằng quy nạp ta có khẳng định trên Nếu an−1 6= 0, ta viết a 1 b 1 + +a n−1 b n−1 + a n b n = a 1 b 1 + +a n (b n−1 + an a n−1 b n ).

Cho λ = a n /a n−1 Rút gọn quy nạp của chứng minh trên đã chỉ ra

Trong khoảng 0 ≤ λ ≤ 1, nếu x và y là hai số bất kỳ, thì x + λy nằm giữa x và x + y, dẫn đến |x + λy| ≤ max(|x|, |x + y|) Đặt x = b1 + + b(n−1) và y = bn, chúng ta có thể chứng minh khẳng định của định lý Đặc biệt, với m ≤ n, điều này được xác nhận.

Cho s n = a 1 b 1 + + a n b n là tổng riêng Ứng dụng phần thứ nhất của chứng minh đến chuỗi đạt được bằng bắt đầu tổng với m, ta có:

Khi a m →0 khi m → ∞ ta kết luận dãy của tổng riêng là dãy Cauchy và do đó hội tụ Vậy ta chứng minh được định lý 4.3.2.

Hệ quả 4.3.1 Với mọi số nguyên m ≥ 1 và m ≤ n,

Chứng minh Cố định m, với m ≤n Ta có

Cho s n = a 1 b 1 + + a n b n là tổng riêng Ứng dụng phần thứ nhất của chứng minh đến chuỗi đạt được bằng bắt đầu tổng với m, ta có:

Ta cho n → ∞, dùng bất đẳng thức định lý cho giới hạn ta chứng minh được

Có một phương pháp khác cho giá trị tổng của dạng sau n

X k=1 f(k)g(k), với f, g là ánh xạ thích hợp Nó dựa trên bổ đề sau gọi là bổ đề của tổng từng phần.

Bổ đề 4.3.1 Giả sử f(n+ 1) = 0 Cho

Chứng minh Ta xác định G(0) = 0 Ta có n

Cho m = k −1, k = m + 1 vì vậy tổng lấy theo m chạy từ 0 đến n−1. Tuy nhiên, f(1)G(0) = 0 = f(n+ 1)G(n) bằng giả định.

Vậy bổ đề trên được chứng minh.

Công thức này áp dụng cho bất kỳ cặp ánh xạ f và g trong không gian vectơ có tích thỏa mãn tính kết hợp và tích phân phối Điều này cho phép chúng ta sử dụng công thức cho các số thực, số phức và các hàm khác.

Chuỗi trong không gian vectơ định chuẩn

Cho E là không gian Banach, P v n là chuỗi trong E, thì dạng của chuỗi như sau n

|v n | của định chuẩn mỗi số hạng Ta giả định nếuP

|v n | hội tụ, thì P v n cũng hội tụ Điều này dễ thấy, nếu s n n

X k=1 v n là tổng riêng, thì với mọi m ≤ n ta có

Cho tồn tại N sao cho nếu m, n ≥N và m ≤ n thì n

|v k | < Do đó {s n } là dãy Cauchy và hội tụ khi E được giả sử là Banach.

Trong không gian vectơ định chuẩn đầy đủ E, nếu P v n là một chuỗi hội tụ tuyệt đối, thì bất kỳ chuỗi nào được sắp xếp lại từ các số hạng của P v n cũng sẽ hội tụ tuyệt đối và đạt cùng một giới hạn.

Sự sắp xếp của chuỗi được xác định bởi sự thay đổi trật tự của các số nguyên dương Z + Điều này có nghĩa là tồn tại một song ánh σ : Z + → Z +, cho phép chúng ta diễn đạt sự sắp xếp chuỗi dưới dạng cụ thể.

Cho , tồn tại N sao cho nếu m, n > N và cho m ≤ n thì

Nếu N1 là một số lớn, thì với mọi số nguyên n lớn hơn N1, hàm tổng ước σ(n) sẽ lớn hơn N Điều này xảy ra vì σ là phép nội xạ, dẫn đến chỉ có hữu hạn số nguyên n sao cho σ(n) không vượt quá N Do đó, nếu k và l đều lớn hơn N1, thì σ(k) và σ(l) chắc chắn sẽ lớn hơn N.

|v σ(k) |+ +|vσ(l)| < , (4.2) Điều này chứng minh rằng tổng riêng của chuỗi P

Dãy \( v \sigma_f(n) \) là một dãy Cauchy, vì vậy sự sắp xếp lại chuỗi này hội tụ tuyệt đối Để hoàn tất chứng minh, chúng ta cần chỉ ra rằng nó có cùng một giới hạn Mục tiêu của chúng ta là đánh giá giá trị m.

Với m đủ lớn Chọn M > N với mọi số nguyên n với 1 ≤ n ≤ N ta có thể viết σ(k) với k ≤ M Nếu M tồn tại bởi vì σ song ánh Xem xét với m > M, thì từ (4.1) ta có

|v n | < , vì hiệu bên trái chỉ chứa số hạng v n sao cho n ≥ N + 1.

Do đó ta đạt được đánh giá cho (4.3), nghĩa là

X n=1 v n | < 2. Điều này chứng minh giới hạn của sự sắp xếp chuỗi là giống với giới hạn chuỗi gốc.

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều của chuỗi hàm

Ta có thể ứng dụng kết quả trước dãy của hàm Cho S là một tập, {f n } là dãy của hàm trên S Tổng riêng: s n = f 1 +f 2 + +f n vì vậy s n là hàm, s n (x) = f 1 (x) + +f n (x).

Ta sẽ nói rằng chuỗi P f n (có thể viết rằng P f n (x)) hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

X|f n (x)| hội tụ với mỗi x ∈ S Ta sẽ nói chuỗi P f n hội tụ đều nếu dãy của hàm {s n } hội tụ đều.

Phần lớn, chuỗi f n thường bị chặn Trong trường hợp này, việc áp dụng chuẩn sup sẽ dẫn đến sự hội tụ đều Hơn nữa, hội tụ tuyệt đối trên tập S sẽ tương đương với hội tụ của chuỗi.

(−1) n (x+n)/n 2 hội tụ đều với mỗi khoảng C ≤ x ≤C Thật vậy, với n đủ lớn, (x+n)/n 2 là số dương và với mỗi n,

Dùng định lý 4.3.1 hoặc định lý 4.3.2 , ta kết luận với mọi m, n lớn, ta có

|s n −s m | < do hội tụ đều Tuy nhiên hội tụ này không tuyệt đối, bởi vì ta có thể so sánh chuỗi với P 1 n để thấy chuỗi P

Trong trường hợp hội tụ tuyệt đối, ta có tiêu chuẩn Weierstrass: Định lý 4.5.1 Cho {f n } là dãy các hàm bị chặn sao cho |f n | ≤ M n với

M n là số thích hợp và giả sử P

M n hội tụ, thì P f n hội tụ đều và tuyệt đối Nếu mỗi f n là liên tục trên tập S thì P f n là liên tục.

Chứng minh Theo giả thuyết của định lý P f n , PM n là các chuỗi, chuỗi

PM n hội tụ và |f n | ≤ M n Theo tiêu chuẩn so sánh thì P

|f n (x)| hội tụ với mọi x ∈ S Vì vậy, P fn hội tụ tuyệt đối.

Tổng riêng sn = f1 +f2 + +fn vì vậy s n là hàm, s n (x) = f 1 (x) + +f n (x).

Dãy của hàm {f n } lấy theo chuẩn sup nên hội tụ đều Suy ra P f n hội tụ đều.

Vì {s n } hội tụ đến P f n Theo định lý 2.3.2 chương II, P f n liên tục.

X sinn 2 x n 2 là hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối với mọi x bởi vì

1/n 2 hội tụ Do đó chuỗi xác định hàm liên tục f(x) Nó không xác định nếu hàm của nó là khả vi.