Không gian mêtric nón
Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian mêtric nón.
Mêtric nón được định nghĩa trong không gian định chuẩn E với nón P, trong đó intP không rỗng Đối với một tập không trống X, ánh xạ d từ X × X đến E được gọi là mêtric nón nếu nó đáp ứng các điều kiện cụ thể.
D1) 06 d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 Khi và chỉ khi x = y; D2) d(x, y) =d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
D3) d(x, y) 6 d(x, z) +d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X Khi đó (X, d) được gọi là không gian mêtric nón.
Không gian mêtric nón là một khái niệm tổng quát của không gian mêtric Khi chọn nón P = {x ∈ R : x > 0}, chúng ta thu được không gian mêtric thông thường Dưới đây là một số ví dụ khác về lớp không gian mêtric nón.
Xét không gian E = R² và tập P = {(x, y) ∈ R² : x, y > 0} Đặt X = R và định nghĩa ánh xạ d: X × X → E bởi d(x, y) = (α | x−y |, β | x−y |) với ∀x, y ∈ X, trong đó α, β là các hằng số dương đã chọn Qua đó, dễ dàng kiểm tra rằng (X, d) là không gian metric nón.
2) Cho E = l 1 và P = {x = {x n } ∈ l 1 : x n > 0,∀n} Nếu (X, d) là một không gian mêtric thì d :X ×X → l 1 cho bởi d(x, y) ={ρ(x, y)
2 n },∀x, y ∈ X xác định một mêtric nón trên l 1 Vậy (X, d) là một không gian mêtric nón.
Sau đây là phần trình bày các vấn đề về sự hội tụ của dãy trong không gian mêtric nón.
1.2.3 Định nghĩa Cho(X, d)là một không gian mêtric nón, dãy{x n } ⊂
X và x ∈ X Dãy {x n } được gọi là hội tụ tới x nếu với mọi c ∈ E thỏa mãn 0¿ c, tồn tại N sao cho d(x n , x) ¿c,∀n > N.
Giới hạn của dãy {x n} được ký hiệu là lim n→∞ x n = x hoặc x n → x (n → ∞) Định lý sau đây khẳng định sự duy nhất của giới hạn trong không gian mêtric nón Các kết quả trong tài liệu [6] chỉ đề cập và chứng minh cho nón chuẩn tắc, nhưng dưới đây là phát biểu và chứng minh cho nón tùy ý Cho (X, d) là không gian mêtric nón, nếu dãy {x n} ⊂
X hội tụ tới x và y thì x = y.
Để chứng minh khẳng định rằng nếu p ∈ P và p ¿c với mọi c ∈ P thì p = 0, ta cố định c ∈ P Từ giả thiết, ta có p ¿ c m cho mọi số nguyên dương m, dẫn đến c m − p ∈ P với mọi m Vì c m − p hội tụ tới −p trong E và P là tập đóng, nên −p ∈ P Do đó, ta suy ra p = 0, khẳng định đã được chứng minh.
Bây giờ, với mọi 0 ¿c ∈ E từ giả thiết {x n } hội tụ tới x và y suy ra tồn tại N 1 , N 2 sao cho d(x n , x) ¿ c
2−d(x n , y) ∈ int P với mọi n > N max{N 1 , N 2 } Từ int P +int P ⊂int P với mọi nón P suy ra c
2−d(x n , y) = c−(d(x n , x) +d(x n , y)) ∈ int P với mọi n > N Ta nhận được d(x, y) 6d(x n , x) + d(x n , y) ¿c,∀n > N.
Từ khẳng định trên suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y.
Trong không gian mêtric nón, một dãy {x n } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu khoảng cách ρ(x n , x) tiến về 0 Mệnh đề này thể hiện một tính chất tương tự như trong không gian mêtric thông thường.
1.2.5 Mệnh đề [6] Cho (X, d) là không gian mêtric nón và dãy {x n } ⊂
X Khi đó, {x n } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi d(x n , x) → 0 trong E.
Chứng minh Giả sử {x n } ⊂ X và x n → x ∈ X Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P Với mọi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0 ¿ c và Kkck < ε Khi đó, từ x n → x ∈ X suy ra tồn tại N sao cho d(x n , x) ¿c,∀n > N.
Vì nón P là chuẩn tắc với hằng số K nên kd(x n , x)k 6 Kkck < ε,∀n > N.
Nếu d(x_n, x) tiến về 0 trong không gian E, thì với mọi số dương c thuộc E, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu ||x|| < δ thì c - x thuộc miền trong của P, vì miền trong P là tập mở Với δ đã xác định, tồn tại một số N sao cho ||d(x_n, x)|| < δ cho mọi n > N.
Suy ra c−d(x n , x) ∈ int P Ta nhận được d(x n , x) ¿ c với mọi n > N, tức là x n → x.
Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và các dãy con của nó.
1.2.6 Mệnh đề [6] Cho (X, d) là không gian mêtric nón Nếu dãy {x n } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X thì mọi dãy con của {x n } cũng hội tụ tới x
Mệnh đề sau nói lên tính liên tục của ánh xạ mêtric nón.
1.2.7 Mệnh đề Cho (X, d) là không gian mêtric nón, P là nón chuẩn tắc và các dãy {x n },{y n } ⊂ X Nếu x n → x và y n →y thì d(x n , y n ) → d(x, y),(n → ∞).
Chứng minh Với mỗi ε > 0 chọn c ∈ E sao cho 0 ¿ c và k c k< 4K+2 ε
Từ x n → x và y n → y, tồn tại N sao cho d(x n , x) ¿ c và d(y n , y) ¿ c,∀n > N Chúng ta có d(x n ,y n ) 6d(x n ,x) + d(x,y) + d(y,y n ) 6 d(x,y) + 2c,∀n > N và d(x, y) 6d(x n , x) + d(x n , y n ) + d(y, y n ) 6 d(x n , y n ) + 2c
Từ tính chuẩn tắc của nón và bất đẳng thức trên ta nhận được k d(x n , y n )−d(x, y) k6kd(x, y)+2c−d(x n , y n ) k + k 2c k6 (4K+2) k c k< ε với mọi n > N Bất đẳng thức trên chứng tỏ d(x n , y n ) → d(x, y).
Sau đây là khái niệm dãy Cauchy trong không gian mêtric nón.
1.2.8 Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric nón Dãy {x n } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu mọi 0¿ c ∈ E tồn tại N sao cho d(x m , x n ) ¿ c,∀m, n > N.
1.2.9 Mệnh đề [6] Cho (X, d) là không gian mêtric nón, P là nón chuẩn tắc và dãy {x n } ⊂ X Khi đó, {x n } ⊂ X là dãy Cauchy khi và chỉ khi d(x n , x m ) →0 trong E khi m, n → ∞.
Giả sử {x n } ⊂ X là dãy Cauchy, với K là hằng số chuẩn tắc của P Đối với mọi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0 < c và K k c k < ε Từ tính chất của dãy Cauchy, tồn tại N sao cho d(x n , x m ) < c, với mọi m, n > N.
Vì nón P là chuẩn tắc với hằng số K nên k d(x n , x m ) k6K k c k< ε,∀m, n > N.
Ngược lại, giả sử d(x n , x m ) → 0 trong E Ta có, với mọi 0 ¿ c ∈ E, tồn tại δ > 0 sao cho nếu k x k< δ thì c−x ∈ intP Với δ > 0 xác định như trên tồn tại N sao cho kd(x n , x m ) k< δ,∀n, m > N.
Suy ra c−d(x n , x m ) ∈int P Ta nhận được d(x n , x m ) ¿ c với mọi n, m >
N, tức là {x n } là dãy Cauchy.
1.2.10 Mệnh đề [6] Nếu {x n } là dãy hội tụ trong (X, d) thì nó là dãy Cauchy.
Chứng minh Giả sử {x n } hội tụ tới x ∈ X Khi đó, với mọi 0 ¿ c ∈ E tồn tại N sao cho d(x n , x) ¿ c
Vì vậy, với mọi m, n > N ta có d(x m , x n ) 6 d(x n , x) +d(x m , x) ¿ c
Ta thu được {x n } là dãy Cauchy.
1.2.11 Định nghĩa [6] Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
1.2.12 Ví dụ [6] Cho E = R 2 và P = {(x, y) ∈ R 2 : x, y >0} Xét
X = R và ánh xạ d : X ×X → E Xác định bởi d(x, y) = (α | x−y |, β | x−y |),∀x, y ∈ X, trong đó α, β là các hằng số dương chọn trước Khi đó, dễ dàng kiểm tra được (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ.
Trong lý thuyết không gian mêtric, cho hai không gian mêtric nón (X, d) và (Y, ρ) cùng với ánh xạ T: X → Y, T được coi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mọi dãy {x_n} ⊂ X mà x_n tiến tới x, thì T(x_n) tiến tới T(x) khi n tiến tới vô cực T được gọi là liên tục nếu điều này xảy ra tại mọi điểm trong không gian X.
1.2.14 Định nghĩa Cho {T n } là dãy các ánh xạ từ không gian mêtric nón (X, d) vào không gian mêtric nón (Y, ρ).
1) {T n } được gọi là hội tụ điểm trên X tới T : X → Y nếu với mọi x ∈ X thì {T n x} hội tụ tới T x.
2) {T n } được gọi là hội tụ đều trên X tới T : X → Y nếu với mọi c ∈ P tồn tại n 0 ∈ N sao cho n> n 0 c−ρ(T n x, T x) ∈ P với mọi x ∈ X
3) {T n } được gọi là hội tụ đều trên các tập compact của X tới T :
X → Y nếu với mọi tập compact K của X nếu với mọi c ∈ P tồn tại n 0 ∈ N sao cho n> n 0 c−ρ(T n x, T x) ∈ P với mọi x ∈ K.
Ta có mệnh đề sau.
1.2.15 Mệnh đề Cho (X, d),(Y, ρ) là các không gian mêtric nón và {T n } là dãy các ánh xạ liên tục từ X vào Y Giả sử {T n } hội tụ đều tới
T Khi đó T là ánh xạ liên tục.
Chứng minh Vì {T n } hội tụ đều trên X tới T : X → Y nên với mọi c ∈ P tồn tại n 0 ∈ N sao cho n> n 0 c
3 Mặt khác, vì {T n 0 } liên tục nên với mỗi a ∈ X và bất kỳ dãy {x k } ⊂ X hội tụ tới a ta có {T n 0 x k } hội tụ tới T n 0 a, tức là tồn tại k 0 sao cho n> n 0 c
3 −ρ(T n 0 x k , T n 0 a) ∈ P với mọi k > k 0 Suy ra, với k >k 0 ρ(T x k , T a) 6 ρ(T x k , T n 0 x k )+ρ(T n 0 x k , T n 0 a)+ρ(T n 0 a, T a) 6 c
Vì vậy, lim k→∞ ρ(T x k , T a) = 0, tức là T x k → T a Vậy T liên tục tại a Vì a tùy ý nên T liên tục trên X.
1.2.16 Định nghĩa [6] Không gian metric nón (X, d) được gọi là com- pact theo dãy nếu mọi dãy trong X đều có dãy con hội tụ trong X.
Sự tồn tại điểm bất động của một lớp ánh xạ co trong không
Bài viết này trình bày các kết quả quan trọng về sự tồn tại của điểm bất động trong các ánh xạ co và ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric nón đầy đủ Những kết quả này góp phần làm rõ hơn tính chất của các ánh xạ trong lý thuyết không gian mêtric, đồng thời mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học.
Trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) với nón chuẩn tắc P và hằng số chuẩn tắc K, định lý 1.3.1 khẳng định rằng nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ kd(x, y) cho mọi x, y ∈ X với k ∈ [0,1), thì T sẽ có duy nhất một điểm bất động trong X Hơn nữa, dãy truy hồi {T n x} sẽ hội tụ về điểm bất động này.
Từ (1.1) ta nhận được d(x n+1 , x n ) =d(T x n , T x n−1 ) 6 kd(x n , x n−1 )
Vì vậy, với mọi n > m ta có d(x n , x m ) 6 d(x m , x m+1) + +d(x n−2 , x n−1) +d(x n−1 , x n )
Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên bất đẳng thức trên kéo theo k d(x m , x n ) k6 k m
Từ k ∈ [0,1) suy ra d(x m , x n ) → 0 khi m, n → ∞ Áp dụng mệnh đề
1.2.10 ta nhận được {x n } là dãy Cauchy trong (X, d) Vì X đầy đủ nên x n →u ∈ X khi n → ∞ Ta chỉ ra u là điểm bất động duy nhất của T.
Từ tính chuẩn tắc của nón suy ra k d(T u, u) k6 K k kd(x n , u)+d(x n+1 , u k) 6K(k kd(x n , u) k+ kd(x n , u) k).
(1.2) Mặt khác, vìx n →x nên áp dụng mệnh đề 1.2.5 ta nhận đượcd(x n , u) →
0 và d(x n+1 , u) → 0 Vì vậy, trong (1.2) cho n → ∞ ta nhận được d(T u, u) = 0, hay T u = u Bây giờ, nếu v là điểm bất động của T thì d(u, v) =d(T u, T v) 6 kd(u, v). suy ra (k−1)d(u, v) ∈ P Vì 1−k > 0 nên
Từ đây ta nhận được d(u, v) = 0, hay u = v.
Ta nhận được hệ quả sau:
Trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d), với nón chuẩn tắc P và hằng số chuẩn tắc K, ta xác định tập B(u, c) = {x ∈ X : d(x, u) ≤ c} cho mỗi c ∈ E và mỗi u ∈ X Nếu ánh xạ T : X → Y thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ kd(x, y) cho mọi x, y ∈ B(u, c), với k ∈ [0,1) và d(T u, u) ≤ (1−k)c, thì T sẽ có duy nhất một điểm bất động trong tập B(u, c).
Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh B(u, c) là đầy đủ và T x ∈ B(u, c),∀x ∈ B(u, c).
Giả sử {x n } là dãy Cauchy trong B(u, c) khi đó {x n } là dãy Cauchy trong X Vì X đầy đủ nên x n →x ∈ X Ta có d(u, x) 6d(u, x n ) + d(x n , x) 6 d(x n , x) +c,∀n.
Cho n → ∞ và kết hợp với d(x n , x) → 0 ta nhận được d(u, x) 6 c suy ra x ∈ B(u, c) Vậy B(u, c) là đầy đủ.
Suy raT u ∈ B(u, c).Áp dụng định lý 1.3.1 ta nhận được điều phải chứng minh.
Trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d), với P là nón chuẩn tắc có hằng số chuẩn tắc K, nếu ánh xạ T : X → X thoả mãn điều kiện d(T^n(x), T^n(y)) ≤ k d(x, y) cho mọi x, y ∈ X, trong đó k ∈ [0,1) và n là số nguyên dương, thì T sẽ có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh Áp dụng Định lý 1.3.1 ta có T n có duy nhất điểm bất động u ∈ X một mặt
Do đó T u là điểm bất động của T n Từ tính duy nhất của u suy ra
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng nếu T u = u, thì u là điểm bất động của T Nếu v cũng là điểm bất động của T, thì T n v = T m−1 v = = T v = v, từ đó suy ra v cũng là điểm bất động của T n Do tính duy nhất của u, ta có u = v, chứng tỏ rằng T chỉ có một điểm bất động duy nhất Định lý này tương tự nguyên lý ánh xạ co của Brower trong không gian mêtric nón.
1.3.4 Định lý [6] Cho(X, d) là không gian mêtric nón compact theo dãy,
P là nón chính quy với hằng số chuẩn tắc K Nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) 6d(x, y),∀x 6= y ∈ X, (1.3) thì T có duy nhất điểm bất động trong X.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X và đặt x 1 = T x 0 , x 2 = T x 1 , , x n+1 T x n , Nếu tồn tại n sao cho x n+1 = x n thì x n là điểm bất động của
T, do đó chứng minh là dễ dàng Vì vậy giả sử x n+1 6= x n với mọi n với mỗi n=1, đặt d n = d(x n+1 , x n ) Ta có d n+1 6 d(x n+1 , x n+2 ) = d(T x n , T x n+1 ) < d(x n , x n+1 ) = d n
Dãy giảm d n bị chặn dưới bởi 0, và do P là nón chính quy, ta có d n → d ∗ ∈ E Nhờ tính compact theo dãy của X, tồn tại dãy con {x n k} sao cho x n k → x ∗ khi k → ∞ Từ bất đẳng thức d(T x n k, T x ∗) ≤ d(x n k, x ∗) và tính chuẩn tắc của nón, suy ra k d(T x n k, T x ∗) k ≤ K k d(x n k, x ∗) k → 0 khi k → ∞, với K là hằng số chuẩn tắc của P Do đó, T x n k → T x ∗ khi k → ∞, và tương tự, T 2 x n k → T 2 x ∗ Áp dụng Mệnh đề 1.2.7, ta có d n k = d(T x n k, x n k) → d(T x ∗, x ∗) và d(n k + 1) = d(T 2 x n k, T x n k) → d(T 2 x ∗, x ∗) khi k → ∞ Từ d n → d ∗, suy ra d ∗ = d(T x ∗, x ∗) = d(T 2 x ∗, x ∗) Cuối cùng, nếu T x ∗ ≠ x ∗ thì d ∗ = d(T x ∗, x ∗) > d(T 2 x ∗, x ∗) = d ∗, dẫn đến mâu thuẫn.
Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy T x ∗ = x ∗ , hay x ∗ là điểm bất động của T Giả sử u 6= x ∗ là điểm bất động của T Khi đó
Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy T có duy nhất điểm bất động.
Sau đây là hai định lý điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu Kannan trong không gian mêtric nón đầy đủ.
Định lý 1.3.5 nêu rằng trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) với nón chuẩn tắc P và hằng số chuẩn tắc K, nếu ánh xạ T : X → X thoả mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ k[d(T x, x) + d(T y, y)] với k ∈ [0, 1/2), thì T có một điểm bất động duy nhất trong X Hơn nữa, dãy truy hồi {T n x} sẽ hội tụ về điểm bất động của T.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X và đặt x 1 = T x 0 , x 2 = T x 1 , , x n+1=T x n
1−kd(x n , x n−1 = hd(x n , x n−1),∀n> 1, trong đó h = 1−k k Vì k ∈ [0, 1 2 ) nên h ∈ [0,1) Với mỗi n>m ta có d(x n , x m ) =d(x n , x n−1 ) + +d(x m+1 , x m )
Từ tính chuẩn tắc của nón suy ra kd(x n , x m ) k6 h m
1−h k d(x 1 , x 0 ) k→ 0, khi m → ∞, trong đó K là hằng số chuẩn tắc của P Do đó {x n } là dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên x n → u ∈ X Ta có d(T u, u) 6 d(T x, T u) +d(T x n , u)
Trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞ và kết hợp với x n → u ∈ X ta nhận được d(T u, u) = 0, hay T u = u Vậy u là điểm bất động của T. Nếu v là điểm bất động của T thì d(u, v) =d(T u, T v) 6k(d(T u, u) +d(T v, v)) = 0.
Suy ra d(u, v) = 0, hay u = v Vậy T có duy nhất điểm bất động.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số tính chất của nón trong đại số Banach và trình bày các định lý điểm bất động liên quan đến ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric nón Nón trong đại số Banach đóng vai trò quan trọng, và các tính chất cơ bản của nó có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo [14].
1.3.6 Định nghĩa Một đại số phức A là một không gian véctơ A trên trường C cùng với một phép nhân trong trên A thoả mãn các điều kiện:
1.3.7 Định nghĩa Một đại số Banach A là một đại số phức thoả mãn các điều kiện
1) A là một không gian Banach với chuẩn k.k nào đó cho trước.
3) Tồn tại e ∈ A sao cho ex= xe= x, ∀x ∈ A.
Phần tử e được gọi là đơn vị của A Nếu phép nhân trong trên A là giao hoán thì ta gọi A là đại số Banach giao hoán.
Phần tử x ∈ A được gọi là khả nghịch trong A nếu tồn tại y := x −1 ∈
Khi x −1 x = xx −1 = e, x −1 được xem là phần tử nghịch đảo của x Có thể dễ dàng xác minh rằng nếu phần tử khả nghịch của x tồn tại, thì nó là duy nhất.
Bổ đề sau đưa ra một số tính chất của nón trong đại số Banach.
1.3.8 Bổ đề [8] Giả sử P là một nón trong đại số Banach E với đơn vị e và P ∗ = {a ∈ E : aP ⊂ P} Khi đó, ta có các khẳng định sau
1) Nếu E không chứa ước của 0 thì P ∗ là nón trong E.
3) Nếu a ∈ P ∗ , kak < 1 thì e−a khả nghịch và (e−a) −1 ∈ P ∗
Đầu tiên, ta chứng minh rằng P ∗ là tập hợp đóng và không rỗng Cụ thể, vì 0 và e thuộc P ∗, nên P không rỗng và không chỉ chứa phần tử 0 Giả sử {a n } là một dãy con của P ∗ và a n hội tụ về a Với mỗi x thuộc P, ta có a n x thuộc P cho mọi n Từ tính chất đóng của P và sự liên tục của phép nhân trong đại số Banach E, ta suy ra rằng a n x hội tụ về ax, và ax cũng thuộc P.
Ta có ax ∈ P cho mọi x ∈ P, suy ra a ∈ P ∗, điều này chứng tỏ P ∗ là tập đóng Giả sử a, b ∈ P ∗ và α, β > 0, thì với mọi x ∈ P, ta có ax, bx ∈ P Vì P là nón, điều này khẳng định tính chất của P.
Ta thu được αa+βb ∈ P ∗ Cuối cùng, giả sử a ∈ P ∗ và −a ∈ P ∗ Khi đó, vì ax,−ax ∈ P với mọi x ∈ P Suy ra ax = 0 với mọi x ∈ P Vì
P 6= {0} và E không chứa ước của 0 nên a = 0 Vậy P ∗ là một nón.
2) Nếu a, b ∈ P ∗ thì bx ∈ P với mọi x ∈ P Suy ra (ab)x = a(bx) ∈ P với mọi x ∈ P Ta nhận được ab ∈ P ∗
3) Nếu kak< 1 thì e−a khả nghịch (xem [14]) Hơn nữa
(e−a) −1 = lim n→∞ s n , trong đó s n = e+a+a 2 + +a n , n = 1,2, Từ 1), 2) suy ra s n ∈ P ∗ với mọi n Vì phép nhân trong E liên tục và tính đóng của P nên
Kết quả sau đây được thiết lập trong [8].
1.3.9 Định lý [8] Cho P là một nón chuẩn tắc trong đại số Banach E và (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ với mêtric d lấy giá trị trong
P Giả sử T : X → X là một ánh xạ Khi đó, nếu tồn tại a i ∈ P ∗ , i = 1, ,5 thoả mãn P 5 i=1 ka i k < 1 sao cho, với mọi x, y ∈ X, d(T x, T y) 6 a 1 d(x, y)+a 2 d(x, T x) +a 3 d(y, T y) +a 4 d(x, T y) +a 5 d(y, T x)
(1.5) thì T có duy nhất điểm bất động trong X và mọi x ∈ X, dãy truy hồi {T n x} hội tụ tới điểm bất động.
Chứng minh Chọnx 0 ∈ X và đặtx 1 = T x 0,x 2 = T x 1 = T 2 x 0, ,x n+1 T x n = = T n+1 x 0 , Trước hết, ta chứng minh d(x n+1 , x n ) → 0 khi n→ ∞ Thật vậy, với mỗi n = 1,2, , ta có d(x n+1 , x n ) =d(T x n , T x n−1 )
Bất đẳng thức trên tương đương với
Từ P 5 i=1 ka i k < 1 suy ra (e− a 2 +a 3 +a 2 4 +a 5 ) khả nghịch Ta nhận được d(x n+1 , x n ) 6 1
2 ) −1 (2a 1 +a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ). áp dụng Bổ đề 1.3.8, ta thu được q ∈ P ∗ Ta cần chỉ ra kqk < 1 Thật vậy, k(e− a 2 +a 3 +a 4 + a 5
2− ka 2 k − ka 3 k − ka 4 k − ka 5 k < 1 bởi vì P 5 i=1 ka i k < 1 Bây giờ, từ (1.6) suy ra d(x n+1 , x n ) 6q n d(x 1 , x 0 ).
Vì P là chuẩn tắc nên kd(x n+1 , x n )k 6Mkq n d(x 1 , x 0 )k 6Mkqk n kd(x 1 , x 0 )k, trong đó M là hằng số chuẩn tắc của p Từ kqk < 1, ta kết luận được d(x n+1 , x n ) hội tụ tới 0 khi n → ∞.
Tiếp theo, ta chỉ ra {x n } là dãy Cauchy Với mỗi m, n ∈ N ∗ , ta có d(x m , x n ) =d(T x m−1 , T x n−1 )
Từ (e−a 1 −a 4 −a 5) khả nghịch và (e−a 1 −a 4 −a 5) ∈ P ∗ , ta thu được d(x m , x n ) 6(e−a 1 −a 4 −a 5 ) −1 (a 1 +a 2 +a 5 )d(x m−1 , x m )
Vì d(x m , x m−1) → 0 khi m → ∞ nên d(x m , x n ) → 0 khi m, n → ∞ Vì vậy {x n } là dãy Cauchy.
Bây giờ, vì X đầy đủ nên a = lim n→∞ x n Ta sẽ chỉ ra a là điểm bất động của T Để thực hiện điều này ta cần khẳng định x n+1 → T a khi n → ∞.
Thật vậy, sử dụng (2.8) và bất đẳng thức tam giác ta nhận được d(x n+1 , T a) 6 (e−a 3 −a 4 ) −1 h a 1 d(x n , a) + (a 2 +a 4 )d(x n , x n+1 ) + (a 3 +a 5 )d(x n+1 , a) i
Từ đây suy ra d(x n+1 , T a) = 0 khi n → ∞ Vì vậy x n+1 → T a khi n → ∞ Vì x n+1 → a nên T a = a Vậy a là điểm bất động của T và
Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử b là một điểm bất động khác của T áp dụng (2.8), ta nhận được d(a, b) = d(T a, T b)
Suy ra (a 1 +a 4 +a 5 −e)d(a, b) ∈ P Từ (e−a 1 −a 4 −a 5 ) −1 ∈ P ∗ , ta có
Suy ra d(a, b) = 0, hay a = b Định lý được chứng minh.
Ta nhận được ngay các hệ quả sau:
1.3.10 Hệ quả [8] Cho (X, d) là không gian mêtric nón chuẩn tắc, đầy đủ Giả sử T : X → X là một ánh xạ Khi đó, nếu tồn tại a i ∈ R, a i > 0 với P 5 i=1 a i < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X, d(T x, T y) 6 a 1 d(x, y)+a 2 d(x, T x) +a 3 d(y, T y) +a 4 d(x, T y) +a 5 d(y, T x)
(1.7) thì T có duy nhất điểm bất động trong X.
1.3.11 Hệ quả [8] Cho P là một nón chuẩn tắc trong đại số Banach E và (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ với mêtric d lấy giá trị trong
P Giả sử T : X → X là một ánh xạ Khi đó, nếu tồn tại q ∈ P ∗ thoả mãn kqk < 1 sao cho, với mọi x, y ∈ X, d(T x, T y) 6 qd(x, y) (1.8) thì T có duy nhất điểm bất động trong X và mọi x ∈ X.
GIỚI HẠN CỦA DÃY ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA DÃY CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
Chương này khám phá tính chất của giới hạn dãy điểm bất động từ các ánh xạ trong không gian mêtric nón, thông qua các dạng hội tụ của dãy ánh xạ Chúng tôi quy ước rằng mêtric trong không gian mêtric nón sẽ nhận giá trị trong nón P của một không gian định chuẩn nhất định.
2.1 Về sự hội tụ của dãy điểm bất động của dãy các ánh xạ trong không gian mêtric nón.
Mục này nghiên cứu về sự hội tụ của dãy điểm bất động của dãy các ánh xạ trong không gian mêtric nón.
Trong không gian không mêtric nón (X, d), một dãy ánh xạ {f n } từ X vào X tạo ra một dãy điểm bất động {v n } nếu thỏa mãn điều kiện f n (v n ) = v n cho mọi n = 1, 2,
Chúng tôi thiết lập kết quả sau đây:
Trong không gian mêtric nón chuẩn tắc (X, d), cho dãy ánh xạ liên tục {f n } từ X vào X và dãy điểm bất động {v n } tương ứng Nếu {f n } hội tụ đều tới ánh xạ f trên toàn bộ X và lim n→∞ v n = v, thì điểm v sẽ là điểm bất động của ánh xạ f.
Chứng minh rằng dãy {f n} hội tụ đều đến hàm f, và từ Mệnh đề 1.2.15, suy ra rằng f là ánh xạ liên tục Do đó, từ giới hạn lim n→∞ v n = v, ta có lim n→∞ f(v n) = f(v) Từ đó, với mọi c ∈ P, tồn tại n1 sao cho d(f(v n), f(v)) n 0 = max{n 1 , n 2 } từ (2.1) và (2.1) ta có d(f v, v n ) = d(f v, f n v n ) 6 d(f v, f v n ) +d(f v n , f n v n ) < c với mọi n > n 0 Vì vậy v = lim n→∞ v n = f v Hay v là điểm bất động của f.
Ta nhận được hệ quả là kết quả quen thuộc trong không gian mêtric.
Về dãy điểm bất động của dãy các ánh xạ co trong không gian mêtric nón
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu giới hạn của dãy điểm bất động trong không gian mêtric nón, cụ thể là dãy ánh xạ co {T n} từ không gian mêtric nón X vào chính nó Chúng tôi cũng xem xét dãy điểm bất động {a n} tương ứng, hội tụ đến điểm bất động a của ánh xạ.
T : X → X nào đó hay không? Chú ý rằng các nón trong mục này giả thiết các nón là chuẩn tắc.
Định lý 2.2.1 khẳng định rằng trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d), nếu tồn tại một dãy ánh xạ {T n} từ X vào X thỏa mãn điều kiện d(T n x, T n y) ≤ qd(x, y) với mọi x, y ∈ X và q nằm trong khoảng (0,1), thì dãy ánh xạ này sẽ có một dãy điểm bất động duy nhất {a n} cho mỗi n = 1, 2, Hơn nữa, nếu dãy {T n} hội tụ điểm, điều này sẽ dẫn đến những kết quả quan trọng trong lý thuyết không gian mêtric.
X tới ánh xạ T và lim n→∞ a n = a thì a là điểm bất động của T.
Theo Định lý 1.3.1, chuỗi {T n} có điểm bất động duy nhất a n ∈ X cho mỗi n Đồng thời, bất đẳng thức d(T n x, T n y) ≤ qd(x, y) được áp dụng cho mọi x, y ∈ X và mọi n ∈ N Khi chuỗi {T n} hội tụ điểm tới T và dựa vào tính liên tục của mêtric nón (Mệnh đề 1.2.7), ta có thể rút ra rằng d(T x, T y) ≤ qd(x, y) khi n tiến tới vô cùng Như vậy, T được xác định là ánh xạ co, và theo Định lý 1.3.1, ta có kết luận cần thiết.
T có duy nhất điểm bất động b ∈ X Ta cần chứng minh lim n→∞ a n = b.
Thật vậy, d(b, a n )−d(b, T n b) 6d(a n , T n b) = d(T n a n , T n b) với mọi n∈ N Mặt khác, ta có d(T n a n , T n b) 6qd(a n , b) với mọi n Do đó d(b, a n )−d(b, T n b) 6 qd(a n , b) với mọi n, tức là
(1−q)d(b, a n ) 6 d(b, T n b) với mọi n ∈ N Từ lim n→∞ T n b = T b = b suy ra lim n→∞ d(b, T n b) = 0 Do đó, với mọi c ∈ P ta có, tồn tại n 0 ∈ N sao cho d(b, T n b) n 0 , tức là (1−q)c−d(b, T n b)intP với mọi n >n 0 Từ Bổ đề 1.1.14 suy ra
(1−q)(c−d(b, a n ) ∈ intP với mọi n> n 0 Sử dụng tiếp Bổ đề 1.1.14 ta nhận được
(c−d(b, a n ) ∈ intP tức là d(b, a n ) n 0 Vì vậy lim n→∞ a n = b Theo giả thiết lim n→∞ a n = a suy ra a = b Vì thế a là điểm bất động của T Định lý được chứng minh.
Ta nhận được hệ quả quen thuộc của Fraser and Nadler.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), giả sử có một dãy ánh xạ {T n } từ X vào X thỏa mãn điều kiện d(T n x, T n y) ≤ qd(x, y) với mọi x, y ∈ X, trong đó q nằm trong khoảng (0,1) Dãy ánh xạ này sẽ tạo ra một dãy điểm bất động duy nhất {a n } cho mỗi n = 1, 2, Hơn nữa, nếu dãy {T n } hội tụ điểm, thì các thuộc tính của nó sẽ được duy trì.
X tới ánh xạ T và lim n→∞ a n = a thì a là điểm bất động của T.
2.2.3 Định lý Cho (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và {T n } là dãy các ánh xạ từ X vào X thỏa mãn d(T n x, T n y) 6 q n d(x, y) với mọi x, y ∈ X, trong đó (q n ) ∈ (0,1) Giả sử q n hội tụ đến q ∈ (0,1).
Nếu dãy {T n} hội tụ điểm tới ánh xạ T, thì dãy này có điểm bất động {a n} với giới hạn lim n→∞ a n = a, là điểm bất động của T Để chứng minh, với mỗi n= 1,2, , ta có bất đẳng thức d(T n x, T n y) ≤ q n d(x, y) với mọi x, y ∈ X, trong đó q n ∈ (0,1), cho thấy {T n} có duy nhất một điểm bất động a n ∈ X Hơn nữa, vì {T n} hội tụ tới T và q n hội tụ tới q ∈ (0,1), khi n → ∞, ta nhận được d(T x, T y) ≤ q d(x, y) với mọi x, y ∈ X, chứng tỏ T là ánh xạ co trong không gian mêtric nón đầy đủ X và do đó T có điểm bất động duy nhất a Cuối cùng, với mỗi n= 1,2, , ta có d(a n, a) = d(T n a n, T a) ≤ d(T n a n, T n a) + d(T n a, T a) ≤ q n d(a, a n) + d(T n a, T a).
(1−q n )d(a n , a) 6d(T n a, T a) với mọi n Cho n→ ∞ với để ý {T n } hội tụ điểm tới T ta có
2.2.4 Định nghĩa Cho P là nón chuẩn tắc Dãy mêtric nón {d n } trên
X nhận giá trị trong P được gọi là hội tụ đều tới mêtric nón d nếu với mọi c ∈ P tồn tại n 0 sao cho với mọi x, y ∈ X c−(d n (x, y)−d(x, y)) ∈ intP và c−(d(x, y)−d n (x, y)) ∈ intP với mọi n> n 0
Ta thiết lập kết quả sau:
Trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) với mêtric chuẩn tắc P và 0 < q < 1, định lý 2.2.5 khẳng định rằng nếu có một dãy ánh xạ T n: X → X với dãy điểm bất động {a n}, thì các mêtric nón P trên X sẽ thỏa mãn các điều kiện nhất định.
1) {T n } là ánh xạ q-co với mêtric nón d n ;
2) {d n } hội tụ đều tới mêtric nón d;
3) {T n } hội tụ điểm trên X tới ánh xạ T Khi đó, lim n→∞ a n = a tồn tại và là điểm bất động của ánh xạ T.
Để chứng minh T là ánh xạ q−co theo mêtric d, ta xem xét mọi x, y ∈ X và c ∈ intP Do dãy {T n} hội tụ điểm tới T và hàm mêtric nón liên tục, nên tồn tại n 0 sao cho d(T x, T y) − d(T n x, T n y) ≤ c.
3 với mọi n > n 0 Từ {d n } hội tụ đều tới d suy ra ta tìm được n 1 (không phụ thuộc vào x, y) sao cho d(x, y)−d n (x, y) 6 c
3 với mọi n> n 1 Khi đó, với n > max{n 0 , n 1 } ta có d(T x, T y) 6 d(T n x, T n y) + c
Vì T là ánh xạ q−co theo mêtric nón d, ta nhận được (T x, T y) 6qd(x, y) Do không gian (X, d) đầy đủ, T có điểm bất động duy nhất a ∈ X Ta có d n (a, a n) = d n (a, T n a n) 6 d n (a, T n a) + d n (T n a, T n a n) 6 d n (a, T n a) + qd(a, a n) cho mọi n.
Vì lim n→∞ d(a, T n a) = 0 nên ta tìm được n 2 sao cho d(a, T n a) 6 c với n> n 2 Khi đó, với n > max{n 1 , n 2 } ta có
Vì c tùy ý nên ta có lim n→∞ d(a, a n ) = 0.
Ta nhận được hệ quả sau của Ivanov.
Với không gian mêtric đầy đủ (X, d) và 0 < q < 1, giả sử d n là các mêtric trên X và T n : X → X là dãy các ánh xạ với dãy điểm bất động {a n } Khi đó, hệ quả của việc áp dụng các ánh xạ này sẽ dẫn đến một số kết quả quan trọng liên quan đến tính chất của không gian và các ánh xạ.
1) {T n } là ánh xạ q-co với mêtric d n ;
2) {d n } hội tụ đều tới mêtric d;
3) (T n ){T n } hội tụ điểm trên X tới ánh xạ T Khi đó, lim n→∞ a n = a tồn tại và là điểm bất động của ánh xạ T.
Định lý 2.2.7 khẳng định rằng trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d), nếu có một dãy ánh xạ {T n} từ X vào X với dãy điểm bất động {a n}, và tồn tại các hằng số 0 < a, b, c, e, f < 1, thì khoảng cách giữa các điểm T n x và T n y được giới hạn bởi một biểu thức liên quan đến các khoảng cách d(x, y), d(x, T n x), d(y, T n y), d(x, T n y), và d(y, T n x).
(2.3) với mọi x, y ∈ X và {T n } hội tụ điểm tới T thì lim n→∞ a n = a tồn tại và là điểm bất động của T.
Chứng minh Với mỗi x, y ∈ X, từ giả thiết hội tụ điểm của {T n } tới T và tính liên tục của mêtric nón cho n → ∞ trong (2.3) ta nhận được d(T x, T y) 6 qad(x, y) +bd(x, T x) +cd(y, T y) +ed(x, T y) +f d(y, T x).
Sử dụng Hệ quả 1.3.10 ta có T có duy nhất điểm bất động a ∈ X Bây giờ, với mỗi n= 1,2, ta có d(a n , a) 6d(a, T n a) +d(T n a, a n ) (2.5)
Mặt khác d(T n a, a n ) = d(T n a, T n a n ) 6 ad(a n , a) +bd(a, T n a) +cd(a n , T n a n )
Từ (2.5) và (2.7) ta nhận được d(a, a n ) 6 1 +q
1−qd(a, T n a) với mọi n Từ {T n } hội tụ điểm tới T suy ra lim n→∞ T n a = T a = a Do đó n→∞ lim d(a, T n a) = 0 Vì vậy lim n→∞ d(a n , a) = 0, hay lim n→∞ a n = a tồn tại và a là điểm bất động của T.
Tiếp theo ta thiết lập một kết quả với nón nhận trong đại số Banach.
2.2.8 Định lý Cho P là một nón chuẩn tắc trong đại số Banach E và
Trong không gian mêtric nón đầy đủ (X, d) với mêtric d lấy giá trị trong P, giả sử T n : X → X là một dãy ánh xạ Nếu tồn tại dãy q n ∈ P ∗ với kq n k < 1 và lim n→∞ q n = q, kqk < 1, thỏa mãn điều kiện d(T n x, T n y) ≤ q n d(x, y) cho mọi x, y ∈ X, thì dãy {T n } sẽ có một dãy điểm bất động (a n ) thuộc X, và a sẽ là điểm bất động của T.
Theo Hệ quả 1.3.11, tập hợp {T n} có một điểm bất động duy nhất {a n } thuộc X Đồng thời, ta có d(T n x, T n y) ≤ qd(x, y) cho mọi x, y thuộc X và mọi n thuộc N Dựa vào giả thiết, tập hợp {T n} hội tụ về một điểm.
Tính liên tục của ánh xạ T và bất đẳng thức d(T x, T y) ≤ qd(x, y) cho mọi x, y ∈ X cho thấy T là ánh xạ co Kết quả là T có duy nhất một điểm bất động b ∈ X Để chứng minh lim n→∞ a n = b, ta có d(b, a n) − d(b, T n b) ≤ d(a n, T n b) = d(T n a n, T n b) với mọi n ∈ N Đồng thời, ta cũng có d(T n a n, T n b) ≤ qd(a n, b) với mọi n Từ đó, ta suy ra d(b, a n) − d(b, T n b) ≤ qd(a n, b) với mọi n.
(1−q)d(b, a n ) 6 d(b, T n b) với mọi n ∈ N Từ lim n→∞ T n b = T b = b suy ra lim n→∞ d(b, T n b) = 0 Do đó, với mọi c ∈ P ta có, tồn tại n 0 ∈ N sao cho d(b, T n b) n 0, tức là (1−q)c−d(b, T n b)intP với mọi n >n 0 Từ Bổ đề 1.1.14 suy ra
(1−q)(c−d(b, a n ) ∈ intP với mọi n> n 0 Sử dụng tiếp Bổ đề 1.1.14 ta nhận được
(c−d(b, a n ) ∈ intP tức là d(b, a n ) n 0 Vì vậy lim n→∞ a n = b Theo giả thiết lim n→∞ a n = a suy ra a = b Vì thế a là điểm bất động của T Định lý được chứng minh.