Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của nón trong không gian Banach.
1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực R. Một tập con P của E được gọi là một nón trong E nếu:
(ii) Với a, b∈ R, a, b ≥0 và x, y ∈ P thì ax+by ∈ P;
1.2.2 Ví dụ ([6]) 1) Trong không gian số thực Rvới chuẩn thông thường, tập
2) Giả sử E = R 2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R 2 Khi đó, P là nón trong E.
3) Giả sử C [a,b] là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực liên tục trên [a, b] Ta đã biết C [a,b] là không gian Banach với chuẩn kfk = sup x∈[a,b] kf(x)k, ∀f ∈ C [a,b]
Trên C [a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi với f, g ∈ C [a,b] , f ≤g ⇔ f(x) ≤g(x), ∀x ∈ [a, b]. Đặt
Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện
(ii) Với a, b∈ R, a, b ≥0 và mọi f, g ∈ P ta có
Vậy P là một nón trên E.
Trong không gian Banach E, cho P là một nón, ta định nghĩa quan hệ thứ tự “≤” dựa trên P, với điều kiện x ≤ y nếu và chỉ nếu y−x thuộc P Khi đó, ta ký hiệu x < y nếu x ≤ y và x khác y, và x y nếu y−x thuộc intP, trong đó intP là phần trong của P.
Trong không gian Banach E, một nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại một số thực K > 0 sao cho với mọi x, y thuộc E và 0 ≤ x ≤ y, điều kiện kxk ≤ Kkyk được thỏa mãn Hằng số chuẩn tắc của P là số thực dương K nhỏ nhất đáp ứng điều kiện này.
1.2.4 Bổ đề ([6]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c∈ E và α là số thực dương Khi đó,
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;
(vi) Với mỗi c 1 ∈ intP và c 2 ∈ intP tồn tại d ∈ intP sao cho c 1 d và c 2 d; (vii) Với mỗi c 1 , c 2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e c 1 và e c 2 ;
(viii) Nếu a ∈ P và a ≤x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
(x) Nếu 0 ≤x n ≤ y n với mỗi n∈ N và lim n→∞x n = x, lim n→∞y n = y thì 0 ≤x ≤y.
Chứng minh (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a b và b c thì b −a ∈ intP và c−b ∈ intP Suy ra c−a = c−b + b −a ∈ intP +intP ⊂intP Vậy a c.
(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂intP.
(x+intP) là tập mở và P là nón nên suy ra x+intP ⊂ P Do đó P +intP ⊂ intP Nếu a ≤ b và b c thì b−a ∈ P và c−b ∈ intP Suy ra c−a = c−b+b−a ∈ intP +P ⊂intP hay c−a ∈ intP. Vậy a c.
(iii) Ta có a b và c d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra b−a+d−c∈ intP hay (b+d)−(a+c) ∈ intP, do đó a+c b+d.
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho δ nkxk < 1.
Khi đó, nếu đặt γ = δ nkxk thì γ sẽ thỏa mãn: 0< γ < 1 và kγxk ≤ kγkkxk ≤ δ nkxkkxk ≤ δ n < δ.
Chọn δ > 0 sao cho c 1 + B(0, δ) nằm trong intP, với B(0, δ) = {x ∈ E : kxk < δ} Do tính hút của B(0, δ), tồn tại m > 1 sao cho c 2 thuộc mB(0, δ), dẫn đến −c 2 cũng thuộc mB(0, δ) và mc 1 − c 2 nằm trong intP Đặt d = mc 1 − c 2, ta có d thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Chọn δ₀ > 0 sao cho c₁ + B(0, δ₀) và c₂ + B(0, δ₀) đều nằm trong intP, với B(0, δ₀) = {x ∈ E : kxk < δ₀} Nhờ tính hút của B(0, δ₀), tồn tại m > 0 sao cho c₁ và c₂ đều thuộc mB(0, δ₀), từ đó suy ra −c₁ và −c₂ cũng thuộc mB(0, δ₀) Điều này dẫn đến mc₁ − c₁ và mc₂ − c₂ đều nằm trong intP Đặt e = mc₁ − c₁ + mc₂ − c₂, ta có e thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Giả sử x thuộc intP, ta có a ≤ x n với mọi n = 1, 2, Do đó, x n - a thuộc P với mọi n Vì kx n k = kxk n → 0, suy ra x n → 0 và x n - a → -a Hơn nữa, dãy {x n - a} nằm trong P và P đóng trong E, nên -a thuộc P Kết luận, a và -a đều thuộc P, từ đó suy ra a = 0 vì P là nón.
(ix) Vì a ≤ λa nên λa − a ∈ P hay (λ −1)a ∈ P Do 0 < λ < 1 nên
Nếu ta có x n ≤ y n, thì suy ra y n − x n thuộc tập P Vì P là tập đóng, nên giới hạn lim n→∞(y n − x n) cũng thuộc P Đồng thời, với lim n→∞x n = x và lim n→∞y n = y, ta có lim n→∞(y n − x n) = y − x Từ đó, suy ra y − x thuộc P, dẫn đến x ≤ y Tương tự, ta có thể chứng minh điều này cho các trường hợp khác.
Bổ đề 1.2.5 khẳng định rằng, trong không gian Banach E, nếu P là nón và {x_n} là dãy trong P với x_n tiến đến 0, thì cho mỗi điểm c thuộc phần trong của P, tồn tại một số nguyên dương n_0 sao cho x_n nằm trong c với mọi n ≥ n_0 Hơn nữa, nếu P là nón chuẩn tắc, thì điều ngược lại cũng đúng.
Giả sử {x_n} là dãy trong P và x_n hội tụ về 0 Với mọi điểm c thuộc vào phần trong của P (intP), do intP là tập mở, tồn tại δ > 0 sao cho c + B_E(0, δ) nằm trong intP Điều này có nghĩa là nếu x thuộc E và ||x|| < δ, thì c - x cũng thuộc intP Với δ được xác định như trên, có tồn tại n_0 ∈ N sao cho ||x_n|| < δ với mọi n > n_0.
Suy ra c−x n ∈ intP với mọi n > n 0 Do đó x n c với mọi n≥n 0
Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n c Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0 c và
K||c||< ε Khi đó, từ giả thiết tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n c với mọi n ≥n 0
Vì P là chuẩn tắc với hằng số K nên kx n k ≤ Kkck< ε với mọi n ≥n 0 Vậy x n → 0.
Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gianD ∗ −mêtric nón 13 2.1 Sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ Banach
Sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ T −co
Trong phần này, chúng tôi trình bày hai định lý liên quan đến sự tồn tại của điểm bất động chung cho cặp ánh xạ T−co trong không gian D ∗ −mêtric nón Các định lý này dẫn đến một số kết quả quan trọng đã được đề cập trong các tài liệu như [3], [5], và [8].
2.2.1 Định lý Giả sử (X, D ∗ ) là không gian D ∗ - mêtric nón đầy đủ; T, f và g : X → X là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Tồn tại các hằng số không âm a 1 , a 2 , , a 9 sao cho a 1 +a 2 + 2a 3 +a 5 +a 6 + 2a 7 + 2a 8 +a 9 < 1, (18) a 1 +a 2 + 2a 4 +a 5 + 2a 6 +a 7 +a 8 + 2a 9 < 1, (19) và
+a 3 D ∗ (T x, T x, T gy) +a 4 D ∗ (T y, T y, T f x) +a 5 D ∗ (T y, T y, T gy) +a 6 D ∗ (T x, T y, T f x) +a 7 D ∗ (T x, T y, T gy) +a 8 D ∗ (T x, T f x, T gy) +a 9 D ∗ (T y, T f x, T gy)
(ii) T đơn ánh và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
(a) T liên tục và hội tụ dãy con,
(b) T(X) là tập con đóng trong X,
Khi f và g có điểm bất động chung duy nhất trong không gian X, nếu thêm giả thiết rằng f T x = T f x và g T x = T g x với x thuộc F ix(f)∩ F ix(g), thì T, f và g cũng sẽ có điểm bất động chung duy nhất trong X.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X Đặt x 1 = f x 0 , x 2 = gx 1 , , x 2n+1 = f x 2n , x 2n+2 gx 2n+1 , và d n = D ∗ (T x n , T x n , T x n+1 ) với n∈ N Áp dụng điều kiện (20), ta có d 2n+1 = D ∗ (T x 2n+1 , T x 2n+1 , T x 2n+2 )
Từ (18) suy raq ∈ [0; 1)và từ (19) suy rar ∈ [0; 1) Do đó nếu đặtλ= max(r, q) thì λ∈ [0; 1) Từ (21) và (22), ta có d 2n+1 ≤ λd 2n ≤λ 2 d2n−1 ≤ ≤λ 2n+1 d 0 và d 2n+2 ≤λd 2n+1 ≤λ 2 d 2n ≤ ≤λ 2n+2 d 0
Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức tứ giác suy ra, với mọi n ∈ N và mọi p∈ N, ta có
Vì λ∈ [0; 1) nên 1−λ λ n d 0 → 0 khi n→ ∞ Do đó, với mọi c∈ intP tồn tại số tự nhiên n c sao cho
1−λd 0 c, ∀n≥n c ,∀p ∈ N. Điều này chứng tỏ {T x n } là dãy Cauchy trong X Vì (X, D ∗ ) đầy đủ nên,
(a) Giả sử T liên tục và hội tụ dãy con Khi đó, vì T x n → y nên tồn tại x n i là dãy con của {x n } sao cho x n i → u ∈ X Do T liên tục nên T x n i → T u Do đó ta có T x n →y = T u.
(b) Giả sửT(X)là tập con đóng trongX Khi đó, từ{T x n } ⊂ T(X)vàT x n → y suy ra y ∈ T(X) Do đó tồn tại u ∈ X sao cho y = T u.
(c) Giả sử T toàn ánh Khi đó, vì y ∈ X nên tồn tại u ∈ X sao cho T u= y. Như vậy, nếu một trong các điều kiện (a),(b),(c) được thỏa mãn thì tồn tại u∈ X sao cho y = T u.
Bây giờ, ta chứng minh u là điểm bất động chung của f và g Áp dụng bất đẳng thức tứ giác và (3), với mọi n∈ N ∗ , ta có
Vì T x n → T u nên với mọi c ∈ intP tồn tại n c ∈ N sao cho vế phải của (23) c với mọi n≥n c Do đó
Kết hợp với (1−a 2 −a 4 −a 6 −a 8 −a 9 )> 0 suy ra D ∗ (T u, T u, T f u) = 0, tức là T u= T f u Vì T là đơn ánh nên u = f u.
Tương tự, ta chứng minh được D ∗ (T u, T u, T gu) = 0 Do đó u= gu Như vậy u là điểm bất động chung của f và g.
Giả sử u 0 là điểm bất động chung của f và g Khi đó, ta có
Từ bất đẳng thức này và (a 1 +a 3 +a 4 +a 6 +a 7 +a 8 +a 9 )< 1, suy ra
D ∗ (T u, T u, T u 0 ) = 0, tức T u = T u 0 Vì T đơn ánh nên u = u 0
Giả sửT giao hoán với g vàT giao hoán với f tại những điểm bất động chung của f và g Khi đó, ta có
Do đó, T u cũng là điểm bất động chung của f và g Do đó T u = u Vậy u là điểm bất động chung duy nhất của f, g và T.
Sau đây là một số hệ quả của Định lý 2.2.1.
2.2.2 Hệ quả Giả sử (X, D ∗ ) là không gian D ∗ -mêtric đầy đủ; T, f : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau.
(i) Tồn tại các hằng số không âm b 1 , b 2 , , b 5 sao cho b 1 + 2b 2 + 2b 3 + 3b 4 + 3b 5 < 1, (24) và
(ii) T đơn ánh và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
(a) T liên tục và hội tụ dãy con,
(b) T(X) là tập con đóng trong X,
Khi hàm f có một điểm bất động duy nhất trong không gian X, nếu thêm giả thiết rằng T f(x) = f(T x) với x là điểm bất động của f, thì T và f sẽ có một điểm bất động chung duy nhất trong X.
Không gian D∗-mêtric là một trường hợp đặc biệt của không gian D∗-mêtric nón Theo định nghĩa 1.3.1, khi chọn E = R và P = [0,+∞), chúng ta nhận được khái niệm không gian D∗-mêtric Cần lưu ý rằng trong Định lý 2.2.1, khi g = f, điều kiện (20) sẽ được áp dụng.
(26) với mọi x, y ∈ X. Đặt a 1 = b 1 , a 2 = a 5 = b 2 , a 3 = a 4 = b 3 , a 6 = a 7 = b 4 và a 8 = a 9 = b 5 Khi đó, điều kiện (25) trở thành (26) Mặt khác, từ (24) suy ra a 1 +a 2 + 2a 3 +a 5 +a 6 + 2a 7 + 2a 8 +a 9 = b 1 + 2b 2 + 2b 3 + 3b 4 + 3b 5 < 1 và a 1 +a 2 + 2a 4 +a 5 + 2a 6 +a 7 +a 8 + 2a 9 = b 1 + 2b 2 + 2b 3 + 3b 4 + 3b 5