Những khái niệm cơ bản
Một đa tạp M được coi là đồng nhất với một nhóm G (nhóm các phép biến đổi) nếu nhóm này có khả năng tác động lên M, tức là có thể biến đổi một điểm này thành một điểm khác trên đa tạp thông qua các phép biến đổi thích hợp từ nhóm G.
Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung vào tính đồng nhất affine địa phương của siêu diện thực trong không gian C^3 Theo định nghĩa, một đa tạp M được nhúng trong C^n được xem là đồng nhất affine tại một điểm Q nếu có một nhóm con Lie thuộc nhóm các phép biến đổi affine Aff(n, C) tác động lên M trong lân cận điểm Q.
Thay vì nhóm con Lie trong định nghĩa, chúng ta có thể xem xét nhóm con Lie địa phương, mặc dù các phép biến đổi affine được áp dụng trên toàn bộ không gian C^n Việc sử dụng nhóm Lie địa phương cho phép chuyển từ Định nghĩa (1.2) sang một biến thể liên quan đến các phép biến đổi vi phân.
Trong trường hợp nhóm các phép biến đổi affine, các phép biến đổi vi phân có thể được coi như là trường vector affine trong không gian C 3
Các phép biến đổi vi phân tương ứng với một G-nhóm Lie địa phương tạo thành g-đại số Lie Khi nhóm G bảo toàn bề mặt M, trường vectơ từ đại số g sẽ tiếp xúc với bề mặt này.
Phương trình chính tắc của bề mặt dạng ống trong C 3
Trong không gian phức C³, giả sử có một siêu diện giải tích thực M và một điểm phân biệt bất kỳ trên đó Thông qua phép tịnh tiến, điểm này có thể được đưa về gốc tọa độ trong không gian C³ Sử dụng chuỗi lũy thừa, phương trình M tại điểm này có thể được diễn đạt dưới dạng: v = F(z, z, u) = Σ X k,l,m≥0.
Trong không gian C³, z được định nghĩa là (z₁, z₂), w là các tọa độ, với u = Re(w) và v = Im(w) Đa thức Fₖₗₘ là một đa thức đồng nhất có bậc tổng k theo biến z và bậc l theo biến z Trong trường hợp này, các biến z₁, z₂ có trọng số 1, trong khi biến u có trọng số khác.
2 Trọng lượng của các đơn thức z1, z2,z1, z2, u, sẽ được xác định theo nguyên tắc tự nhiên bằng tổng trọng lượng Ví dụ, trọng lượng của đơn thức z 1 u là 3.
Chọn các thành phần trọng lượng đồng nhất trong việc khai triển hàm số
F(z, z, u), chúng ta viết lại phương trình (1.1) dưới dạng: v = F(z, z, u) = F0 +F1(z, z, u) +F2(z, z, u) + (1.2)
Chúng ta nhớ lại rằng bằng phép tịnh tiến trục tọa độ, chúng ta đã thu được đẳng thức F 0 = 0, trong phương trình (1.2) thành phần trọng lượng
F 1 (z, z, u) và số hạng tuyến tính theo biến u của F 2 có thể được triệt tiêu bằng phép quay tọa độ.
Trong F 2, tồn tại số hạng toàn hình bậc 2 phụ thuộc vào biến z, với z được biểu diễn dưới dạng z = (z 1 , z 2 ) Công thức Hermitian H(z, z) là số hạng đầu tiên trong phương trình (1.2).
Trong giải tích phức nhiều chiều, công thức Hermitian được biết đến như công thức Levi của bề mặt M Khi công thức này xác định dương, bề mặt được gọi là nghiêm giả lồi (NGL) Các trường hợp khác, bao gồm không xác định và suy biến, cũng có mối liên hệ với công thức này.
Sau khi áp dụng các phép biến đổi affine thích hợp, siêu diện nghiêm giả lồi trong không gian C^3 có thể được xác định gần bất kỳ điểm nào của nó, được biểu diễn qua phương trình: v = |z1|^2 + |z2|^2 + [ε1(z1^2 + z1^2) + ε2(z2^2 + z2^2)] + Xk+l+2m≥3.
Trong đó: z 1 , z 2 , w - là tọa độ phức trong C 3 , u = Rew, v = Imw;
Hơn nữa, cặp (ε1, ε2) số thực không âm là một affine bất biến của bề mặt
F klm - là một đa thức bậc k đối với biến z = (z 1 , z 2 ), bậc l đối với biến ¯ z = (¯z 1 ,z¯ 2 ) ,bậc m theo biến u.
Tổng k+l+2m được gọi là trọng lượng của đa thức tương ứng F klm (z, z, u).
Bề mặt giải tích thực Γ trong không gian R³ (x₁, x₂, u) lồi nghiêm gần điểm bất kỳ Q có thể được biểu diễn bằng phương trình sau thông qua phép biến đổi affine: u = 2(x₁² + x₂²) + Σ(k+l≥3) fₖₗ x₁ᵏ x₂ˡ.
Chúng ta xem xét trong không gian C 3 bề mặt ống có đáy là Γ (viết gọn là ống), có nghĩa là bề mặt có dạng:
M = Γ +iR 3 (y 1 ,y 2 ,v) với phương trình (1.4) Trong phương trình (1.4) thay u thành v và đưa về biến phức chúng ta có thể viết phương trình ống này ở dạng (1.5). v = |z 1 | 2 +|z 2 | 2 +1
X k+l≥3 fkl(z1+ ¯z1) k (z2+ ¯z2) l (1.5) Điều này có nghĩa là, ống M đáy Γ ∈ R 3 (x 1 ,x 2 ,u) giải tích thực lồi nghiêm bất kì Γ thuộc R 3 tại một điểm bất kỳ, cả hai tham số (ε 1 , ε 2 ) ở phương trình
Các đa tạp dạng ống có vai trò quan trọng trong các bài toán về tính đồng nhất, đặc biệt là khi xét các ống trên các đáy thực đồng nhất affine trong không gian R n, chúng đồng nhất đối với phép biến đổi affine dạng phức trong không gian C n, mặc dù có một số trường hợp ngoại lệ Nghiên cứu của tác giả tập trung vào việc tổng quát lớp các bề mặt NGL dạng ống đồng nhất trong không gian C 3 Theo định nghĩa, bề mặt được mô tả bởi phương trình (1.3) được gọi là bề mặt dạng ống nếu ε 1 = ε 2 = 1.
2. Tác giả tiếp tục phân tích từ bậc sang trọng lượng Khi đó, thay vì (1.3) chúng ta có thể thảo luận phương trình dạng v = |z 1 | 2 +|z 2 | 2 +
Cũng có thể đơn giản hóa trong phương trình (1.6) số hạng bậc hai (hoặc trọng lượng hai), tức là phương trình có dạng v = 2(x 2 1 +x 2 2 ) + X k≥3
Trong bài viết này, chúng ta nghiên cứu đa thức F 3 (z, z, u) theo phương trình (1.6) với các hệ số được ký hiệu bằng f klmnr cho các đơn thức dạng z 1 k z 2 l z m 1 z n 2 u r Đặc biệt, đối với các hệ số của đa thức F 4, chúng ta cũng sẽ áp dụng ký hiệu đặc biệt Đa thức F 3 (z, z, u)¯ có cấu trúc cụ thể mà chúng ta sẽ phân tích sâu hơn.
Rõ ràng rằng đa thức F 3 (1) (z,z)¯ từ số hạng thứ hai trong tổng này có thể được biểu diễn dưới dạng
F 3 (1) = (α 1 z 1 +α 2 z 2 ) + (α 1 z 1 +α 2 z 2 ) với α 1 , α 2 là các hệ số phức nào đó. Đa thức khác không F 3 (0) (z,z)¯ có thể biểu diễn ở dạng tổng
Trong bài viết này, mỗi số hạng được biểu diễn bằng một chỉ số kép, trong đó chữ số đầu tiên thể hiện bậc của số hạng theo biến z, và chữ số thứ hai thể hiện bậc theo biến z Hàm F 3 là hàm thực, do đó F 1¯ 2 và F 0¯ 3 là các đa thức liên hợp với F 2¯ 1 và F 3¯ 0 Toàn bộ đa thức F 3 được xác định bởi các số hạng của F 2¯ 1 và F 3¯ 0, và các số hạng này có thể được viết dưới dạng cụ thể.
F 2¯ 1 = (g20z 1 2 +g11z1z2 + g02z 2 2 )z1 + (h20z 1 2 +h11z1z2 +h02z 2 2 )z2 với f kl , g kl , h kl là các hệ số phức nào đó. Điều này có nghĩa là đa thức F 3 (0) (z,z)¯ được xác định bởi "ma trận" gồm
Nếu ta quan tâm đến đa thức F 3¯ 0 , đưa đa thức này về dạng rút gọn bởi một tập các hệ số xác định
Thật dễ dàng để thấy rằng dạng của phương trình (1.6) (cũng như (1.7)) được bảo toàn bởi họ các phép biến đổi affine Chúng bao gồm:
+ “phép quay” ứng với nó trong không gian C 3 z 1 → z 1 + M w, z 2 → z 2 +N w (1.9) với M và N là các số phức bất kì
+ các phép quay "trực giao" trong không gian C 2 z1 z 2
+ sự co giãn phù hợp tọa độ z → tz, w → t 2 w, t∈ R (1.11)
Chú thích 1.1 Sự hoán vị các biến z1 ↔z2 bảo toàn dạng của phương trình (1.6).
Chúng ta sẽ xem xét các phép biến đổi từ những phép biến đổi đã nêu Đặc biệt, chúng ta sẽ tập trung vào sự thay đổi của đa thức F 3 (z,z,u)¯ và trọng lượng 3 trong phương trình chính tắc (1.6) Tác giả đã rút ra những khẳng định đúng đắn từ nghiên cứu này.
Mệnh đề 1.1 Cho M 1 , M 2 , N 1 , N 2 là các số thực tùy ý Nếu thay z 1 →z 1 + (M 1 +iM 2 )w, z 2 → z 2 + (N 1 +iN 2 )w, thì bảo toàn dạng của phương trình (1.6), đa thức F3 được viết lại ở dạng sau
Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề này, ta thay (1.9) vào phương trình (1.6) và xem xét các số hạng có trọng lượng nhỏ trong đồng nhất thức thu được.
Thay z 1 →z 1 + (M 1 +iM 2 )w, z 2 → z 2 + (N 1 +iN 2 )w vào (1.6) ta được: v = |z 1 +M w||¯z 1 + ¯Mw|+¯ |z 2 +N w||¯z 2 + ¯Nw|¯ +1
Mệnh đề 1.2 Trong phép quay trực giao (1.10) sự thay đổi các hệ số của đa thức F 3 (1) = 2Re(α 1 z 1 +α 2 z 2 ) và F 3¯ 0 (z 1 , z 2 ) = f 30 z 1 3 +f 21 z 1 2 z 2 +f 12 z 1 z 2 2 +f 03 z 2 3 , được mô tả bằng các công thức sau: α ∗ 1 α ∗ 2
! , f 30 ∗ = f 30 cos 3 ϕ−f 21 cos 2 ϕsinϕ+f 12 cosϕsin 2 ϕ−f 03 sin 3 ϕ, f 21 ∗ = 3f 30 cos 2 ϕsinϕ+f 21 (cos 3 ϕ−2 sin 2 ϕcosϕ)+
+f 12 (sin 3 ϕ−2 sinϕcos 2 ϕ) + 3f 03 sin 2 ϕcosϕ, f 12 ∗ = 3f 30 cosϕsin 2 ϕ+f 21 (2 sinϕcos 2 ϕ−sin 3 ϕ)+ (1.12) +f 12 (−2 sin 2 ϕcosϕ+ cos 3 ϕ)−3f 03 sinϕcos 2 ϕ, f 03 ∗ = f 30 sin 3 ϕ+f 21 cosϕsin 2 ϕ+f 12 cos 2 ϕsinϕ+ f 03 cos 3 ϕ.
z 1 →z 1 cosϕ+z 2 sinϕ z 2 → −z 1 sinϕ+z 2 cosϕ vào F 3¯ 0
F 3¯ 0 = f 30 (z 1 cosϕ+z 2 sinϕ) 3 +f 21 (z 1 cosϕ+z 2 sinϕ) 2 (−z 1 sinϕ+z 2 cosϕ)+f12(z1cosϕ+z2sinϕ)(−z 1 sinϕ+z2cosϕ) 2 +f03(−z 1 sinϕ+ z2cosϕ) 3 Suy ra: Điều phải chứng minh.
Phép biến đổi affine z 1 → z 1 + M w và z 2 → z 2 + N w, với M và N là các số thực, dẫn đến việc các hệ số (α 1 , α 2 ) của đa thức F 3 (1) trong phương trình (1.6) của bề mặt dạng ống chỉ chứa phần ảo.
Chứng minh mệnh đề 1.3 giống cách chứng minh mệnh đề 1.1.
Do phép biến đổi affine z 1 →z 1 +M w, z 2 →z 2 +N w
Vì α 11 , α 21 , M 1 , N 1 ∈ R nên có thể chọn sao cho α 11 + 2M 1 = 0, α 21 +N 1 = 0. Suy ra: F 3 (1)∗ = z 1 iα 11 +z 2 iα 22 + (z 1 iα 11 +z 2 iα 22 ) hay F 3 (1) chỉ chứa các hệ số ảo α 1 , α 2 ∈ iR.
Tiếp theo, chúng ta viết hệ số ảo của đa thức F 3 (1) ở dạng (iα 1 , iα 2 ) , với (α 1 , α 2 ) là các số thực.
Kết quả chính của phần này tập trung vào khả năng viết ngắn gọn của đa thức F3 Định lý 1.1 chỉ ra rằng thông qua các phép biến đổi affine theo phương trình (1.6), đa thức F3 có thể thỏa mãn một trong những điều kiện nhất định.
Chứng minh Định lí 1.1 dựa trên các phép biến đổi đã được đưa ra ở trên.
Từ đó, phương trình được thảo luận của bề mặt (1.6) có dạng v = 2(x 2 1 +x 2 2 ) +i(α 1 z 1 +α 2 z 2 )u−i(α 1 z¯ 1 +α 2 z¯ 2 )u+F 3 (0) (z,z) +¯ X k≥4
F k (z, z, u) với α 1 , α 2 là các số thực.
Giả sử rằng vectơ thực hai chiều α 1 α2
! là khác không Theo mệnh đề 1.2, phép quay trực giao (1.10) với góc ϕ z 1 z 2
= iα 1 (z 1 cosϕ+z 2 sinϕ−z 1 cosϕ−z 2 sinϕ) +iα2(−z 1 sinϕ+z2cosϕ+z1sinϕ−z2cosϕ)
= iz 1 (α 1 cosϕ−α 2 sinϕ) +iz 2 (α 1 sinϕ+ α 2 cosϕ)
−iz 1 (α 1 cosϕ−α 2 sinϕ)−iz 2 (α 1 sinϕ+α 2 cosϕ) Đặt
Trường hợp này tương ứng với trường hợp 1 của Định lý 1.1.
Bây giờ, cho vectơ (α 1 , α 2 ) của đa thức F 3 (1) bằng không Khi đó, đa thức
F 3 (z,z, u) =¯ F 3 (0) (z,z)¯ không phụ thuộc vào biến u Xem xét ma trận các hệ số (1.7) của đa thức F 3 (0) này Nếu hàng đầu tiên
Trong trường hợp (f30, f21, f12, f03) với thành phần F 3¯ 0 bằng 0, ta thu được trường hợp 2 của Định lý 1.1 Nếu ít nhất một trong các hệ số khác không, tác giả sẽ tiếp tục thực hiện việc đơn giản hóa Phần tiếp theo sẽ tập trung vào các phần thực của bốn hệ số được đề cập trong (1.13).
Giả sử rằng tất cả các phần thực này đều bằng không (nhưng phần ảo của ít nhất một trong các hệ số là khác không).
Trong trường hợp hệ số ảo f30 khác không, hệ số này có thể được mở rộng thông qua phép biến đổi tọa độ (1.11) thành i, đồng thời vẫn giữ nguyên các hệ số còn lại của (1.13).
Sử dụng phép biến đổi (1.11): z → tz, w → t 2 w, t∈ R.
Suy ra, t 2 v = t 2 |z 1 | 2 +t 2 |z 2 | 2 +[i(α1tz1+α2tz2)−i(α 1 tz1+α2tz2)]t 2 u+F 3 (0) (z, z)+X k≥4
Khi đó, F 3 (0) : f 30 = iImf 30 → itImf 30 , chọn t sao cho tImf 30 = 1
Trường hợp này tương ứng với trường hợp 3 của Định lý 1.1.
Nếu giả sử một hệ số ảo nào đó của đa thức F 3 (0) khác không và f 30 = 0, thì theo phép quay (1.10), chúng ta có thể điều chỉnh hệ số f 30 để nó khác không Hơn nữa, tất cả các hệ số trong (1.13) vẫn giữ nguyên tính ảo, cho phép tiếp tục giảm như các trường hợp đã nêu trước đó.
Trong trường hợp tổng quát,
(f30, f21, f12, f03), phần thực của các hệ số này không bằng không Ở đây, điều quan trọng là phải thu được đẳng thức
Đánh giá số chiều đại số g(M) cho bề mặt đồng nhất dạng ống 24
Thành phần trọng lượng 2 của đồng nhất thức cơ bản 24
Mệnh đề 2.1 Các tham số c 2 , A 1 , A 2 , B 1 , B 2 thỏa mãn: c 2 = Imc = (iα 1 p−iα 1 p+iα 2 s−iα 2 s+ 2λq),
+(− 1 2 h 11 −g 02 )s+ (− 1 2 à 2 − 1 2 ν 2 +α 1 α 2 i)q −A 21 Trong mệnh đề này, ta sử dụng ký hiệu sau cho các hệ số trong phương trình chính tắc: f10101 = à1, f10011 = à2, f01011 = à3, f20001 = ν1, f11001 = ν2, f02001 = ν3.
Ta xem xét 5 đơn thức dạng z 1 2 , z 1 z 2 , z 2 2 , z 1 z¯ 2 , u của trọng lượng 2 trong đồng nhất thức cơ bản.
Trong phương trình (1.25), nghĩa là trong biểu thức
2c(u+iF 2 )} = 0 có 5 thành phần khác nhau Ta bắt đầu với số hạng (0,0,0,0,1) Lưu ý rằng số hạng thứ hai của công thức (1.25) là ∂F 2 (L) và thứ tư là 1
∂u không chứa biến u, nên ta chỉ viết các thành phần còn lại Tiếp theo, từ biểu thức
S ta viết thành S k chỉ chứa các thành phần đang quan tâm Ta có:
Từ thành phần chứa (0,0,0,0,1), ta có công thức sau:
⇔iα 1 p−iα 1 p¯+iα 2 s−iα 2 s¯+ 1 2 iã2ic 2 + 2λq = 0 suy ra c 2 = Imc = (iα 1 p−iα 1 p+iα 2 s−iα 2 s+ 2λq) (2.3) Các thành phần chứa (2,0,0,0,0):
Sau đó, bằng cách sử dụng đẳng thức của các phần thực z và z, ta có được:¯
4)z 1 2 } = 0. Thế các biểu thức a, c2 từ các công thức (2.1) và (2.3) ta có được:
2Rec,(2.4)Tương tự, đối với số hạng (0,2,0,0,0) ta có
= 0 Thay biểu thức b = 2i(s+ ¯s+iα 2 q) ta thu được:
2Rec, (2.5) Bằng cách tương tự, đối với số hạng (1,1,0,0,0) ta có:
Thay các biểu thức a, b Khi đó
(2.6) Các thành phần chứa (1,0,0,1,0) ta có:
(2.7) Xét hai phương trình của dạng (1,1,0,0,0) và (1,0,0,1,0), ta có:
Từ hai phương trình chúng ta thu được dạng thu gọn:
2[(−2h 20 −2α 2 )p+ (−g 11 )p+ (−h 11 )s+ (−2g 02 −2α 1 )s+ (−f 10011 )q]−A 21 Dạng chính xác của công thức này được phát biểu trong mệnh đề 2.1 Như vậy, mệnh đề 2.1 được chứng minh xong.
Thành phần trọng lượng 3 của đồng nhất thức cơ bản 29
Mệnh đề 2.2 Đại lượng quan tâm A3, B3 là các hàm (tuyến tính) nào đó theo các tham số p, s, q, Re(c), A 21 :
Trong thành phần trọng lượng 3 của đồng nhất thức cơ bản, nghĩa là trong phương trình (1.26)
= 0 có 12 dạng đơn thức khác nhau z 1 3 , z 1 2 z 2 , z 1 z 2 2 , z 2 3 , z 1 2 z 1 , z 1 z 2 z 1 , z 2 2 z 1 , z 1 2 z 2 , z 1 z 2 z 2 , z 2 2 z 2 , z 1 u, z 2 u và 7 số hạng khác nhau Tác giả chỉ xét một số dạng, a) Xét các thành phần chứa (3,0,0,0,0):
Thay các biểu thứca, c 2 ,A 1 ,B 1 từ các công thức (2.1), (2.2), (2.3) ta được: 3f 30
Tương tự, từ việc xem xét các thành phần chứa (0,3,0,0,0) ta có được
Thay các biểu thứca, A1, B1 từ các công thức (2.1), (2.2), ta thu được phần thực của tham số A 3 :
Tương tự, từ việc xem xét các thành phần chứa (0,1,0,0,1) ta có
Thay các biểu thức b, A 2 , B 2 từ các công thức (2.1), (2.2), ta thu được phần thực của tham số B 3 :
Kết hợp phần thực và phần ảo của các tham số A3 và B3 đã chứng minh Mệnh đề 2.2 Mệnh đề 2.1 và 2.2 cung cấp thông tin quan trọng cho Định lý 2.1 Các phần tử của ma trận cơ sở (1.15) và các tham số của trường vectơ z, tương tác với bề mặt đồng nhất affine (1.6), có thể được biểu diễn thông qua bảy tham số thực của trường này, bao gồm các tham số p, s, q, c1.
A21) Nhưng đối với một bề mặt đồng nhất, điều kiện dim R g(M) ≥ 5, được thỏa mãn, vì thế Định lý 2.1 được chứng minh.
Các đại số 5 chiều tương ứng với các bề mặt đồng nhất affine dạng ống
Khi xem xét trọng lượng 2 và 3 của đồng nhất thức cơ bản, ta nhận thấy rằng các tham số của các trường vectơ tiếp xúc với bề mặt đồng nhất, hay còn gọi là các phần tử của ma trận cơ sở, được thể hiện thông qua các hệ số của các đa thức bậc thấp.
Trong phương trình (1.6), các hệ số của đa thức F3 và F4 có thể bị ràng buộc bởi một số điều kiện bổ sung Điều này dẫn đến việc thiết lập một chuỗi các điều kiện cần thiết cho các hệ số trong phương trình chính tắc.
Mệnh đề 2.3 Các hệ số của đa thức F 3 (0) và F 4 (1) trong phương trình chính tắc của một bề mặt đồng nhất dạng ống M thỏa mãn các điều kiện sau:
Từ (2.6) và (2.7) ta nhận được biểu thức sau:
A 21 +B 11 = Reϕ 1 = Reϕ 2 với Re(ϕ 1 −ϕ 2 ) = 0. trong đó ϕ1 +ϕ 1 −(ϕ2 −ϕ 2 ) = 0.
Từ đây, sẽ thu được điều kiện bổ sung thứ 3 ở trên.
Xem xét thành phần chứa (1,0,1,0,0) của trọng lượng 2 ta có:
Thay biểu thức c 2 , a, A 1 từ các công thức (2.1) và (2.2), ta có được:
+(g 11 −h 20 −f 21 )s+ (g 11 −h 20 −f 21 )s+ (à 1 −ν 1 −ν 1 )q = 0. Điều này sẽ thu được điều kiện bổ sung thứ nhất cho các hệ số của phương trình chính tắc.
Tương tự, xét thành phần (0,1,0,1,0) của trọng lượng 2 ta có:
2c = 0. Thay các biểu thức b, c 2 , B 2 từ các công thức (2.2), (2.3) và (2.5), ta thu được:
Từ điều này ta được điều kiện thứ 2 của mệnh đề.
Mệnh đề 2.3 đã được chứng minh thành công Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày hệ quả của Định lý 1.1 cùng với mệnh đề 2.3 Đây là kết quả quan trọng nhất trong nội dung 2 của đề tài.
Mệnh đề 2.4 nêu rõ rằng M là một bề mặt đồng nhất affine dạng ống trong không gian C^3 với đại số 5 chiều g(M) Theo đó, các thành phần của đa thức F_3(0) trong phương trình chính tắc của M có thể được biểu diễn theo một cách cụ thể.
F 2¯ 1 = +((3t 1 −4α 1 +it 2 )z 1 2 + (2δ−2α 2 +it 7 )z 1 z 2 + (ζ−2α 1 +i(t 4 −t 8 ))z 2 2 )¯z 1 + +(δ −2α2 +i(t3 −t7))z 1 2 + (2ζ −2α1 +it8)z1z2 + (3t5 −4α2 +it6)z 2 2 )¯z2 δ, ζ, t 1 , t 2 , , t 8 là các tham số thực.
Khi sử dụng các kí hiệu này thì cơ sở của đại số g(M) có dạng:
, với m 1 , m 2 , m 3 , m 4 , m 5 , n 1 , n 2 , n 3 , n 4 , n 5 là các số thực và A3 k , B3 k (k = 1 5) là các số phức.
Thật vậy, sử dụng Mệnh đề 2.3, ta có: 4α 1 −3f 30 + 2g 20 −g 20 = 0
⇔4α 1 −3t 1 −3it 2 + 2Reg 20 + 2iImg 20 −Reg 20 +iImg 20 = 0
⇔4α2 −3t5 −3it6 + 2Reh02 + 2iImh02 −Reh02 +iImh02 = 0
Reg11+iImg11−Reh20 +iImh20 −δ −it3 = 0
2δ + 2it 3 −2Reh 20 −2iImh 20 −Reg 11 −iImg 11 +Reg 11 −iImg 11 −4α 2 = 0
Reh 11 +iImh 11 −Reg 02 +iImg 02 −ζ −it 4 = 0
2ζ + 2it 4 −2Reg 02 −2iImg 02 −Reh 11 −iImh 11 +Reh 11 −iImh 11 −4α 1 = 0
Các thành phần của đa thức F 3 (0) trong mệnh đề đã chứng minh có thể được viết lại ở dạng sau:
Tiếp theo, ta chứng minh E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 Thật vậy, ta có
Mục đích của luận văn là đánh giá số chiều đại số của bề mặt đồng nhất Affine dạng ống trong không gian C^3 Bài toán liên quan đến những bề mặt này vẫn chưa được giải quyết một cách đầy đủ.
Luận văn đã đạt được các kết quả sau:
1 Đánh giá tính đồng nhất Affine của các siêu diện thực trong không gian phức 3 chiều Phương trình chính tắc của chúng (cụ thể là bề mặt dạng ống).
Phân loại các trường hợp có thể đạt được của đa thức F3 trong phương trình chính tắc giúp đánh giá số chiều đại số của bề mặt đang nghiên cứu Qua đó, ta có thể xác định các đại số 5 chiều tương ứng với bề mặt đồng nhất Affine dạng ống.
Chứng minh tường minh và làm rõ các kết quả đạt được trong một số công trình liên quan đến việc đánh giá số chiều đại số của bề mặt đồng nhất Affine dạng ống trong không gian C^3 là rất quan trọng Các nghiên cứu này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc hình học và tính chất đại số của bề mặt, từ đó mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng trong toán học và khoa học máy tính.
Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi có sử dụng gói phần mềm toán học Maple do đó đảm bảo tính chính xác của kết quả.
[1] Trần Anh Bảo (1982), Lý thuyết hàm số biến phức số, NXB Giáo dục.
[2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, NXB Giáo dục.
[3] Lavrentiev, Chabat (1979), Phương pháp của lý thuyết hàm một biến phức, NXB ĐH và THCN.
[4] Nguyễn Thủy Thanh (2002),Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐHQG.
[5] A.M Demin (2008) An example of a 2-parameter family of affinely ho- mogeneous hypersurfaces in C 3 , Mat Notes, p.791 - 794.
[6] A.P Shirokov (1959), Affine differential geometry, Fizmatgiz.
[7] A.V Loboda (2001)Homogeneous strictly pseudo-convex hypersurfaces in
C 3 with two-dimensional isotropy groups, Matem.
[8] A.V Loboda (2011), Affine-homogeneous holomorphically flat hypersur- faces in C 2 , Mater.10th Kazan Summer School-conf Kazan.
[9] A.V Loboda, Nguyen T T Z.(2012), On the affine homogeneity of tubu- lar type surfaces in C 3 , Proceedings of the V.A Steklova, no 279, p. 102–119 (Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Decem- ber 2012, V.279, Issue 1, p.93–109) (ISI).
[10] A.V Loboda (2003), On one family of affine-homogeneous real hypersur- faces of 3-dimensional complex spacing University news Ser Maths -
[11] E Cartan (1932),On pseudoconform hypersurfaces geometry of two com- plex variables, Ann Math.PuraAppl, p.17-90.