2 NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Mã số Xác nhận của trường Đại học Ngân hàng TPHCM Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Ngọc Giang TPHCM, 2020 3 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Ngọc Giang Thành viên 1 TS Nguyễn Minh Hải 2 Th S Nguyễn Huy Thao 4 PHẦN 1 MỞ ĐẦU 8 PHẦN 2 KIẾN THÚC CHUẨN BỊ 10 2 1 Không gian tô pô 10 2 2 Không gian mê.
KIẾN THÚC CHUẨN BỊ
Không gian tô pô
Cho một tập hợp Họ các tập hợp con của được gọi là một tô pô trên nếu:
Tập hợp cùng với tô pô trên được gọi là một không gian tôpô Ký hiệu là ( )
+ Cho là tập hợp tùy ý khác rỗng Họ * + là một tôpô trên ( ) được gọi là không gian tôpô thô (hoặc không gian phản rời rạc)
+ Họ * + là một tôpô trên ( ) được gọi là không gian tôpô rời rạc
Tập hợp vô hạn có thể được xem như một không gian tô pô, được gọi là không gian tô pô bù hữu hạn hay không gian Darixki.
+ tùy ý * + là một tô pô trên Định nghĩa 2
Cho ( ) là không gian tô pô Tập được gọi là tập mở trong ( ) nếu
- và là các tập hợp mở
- Hợp một họ các tập mở là một tập mở
- Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở Định nghĩa 3
Cho và được gọi là một lân cận của tập hợp nếu
Nếu * + thì được gọi là một lân cận của điểm Nếu là tập mở thì là lân cận mở của Định lý 1
Tập là tập mở nếu và chỉ nếu là lân cận của mọi điểm thuộc Định nghĩa 4
Tập được gọi là tập đóng nếu
- đóng khi và chỉ khi mở
- Giao một họ bất kỳ các tập đóng là một tập đóng
- Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng Định nghĩa 5
Cho không gian tôpô ( ) và
+ được gọi là điểm trong của nếu (tức nhận làm lân cận)
+ được gọi là điểm ngoài của nếu
+ được gọi là điểm biên của nếu và
+ được gọi là điểm dính của nếu
+ được gọi là điểm giới hạn của nếu ( * +) + được gọi là điểm cô lập của nếu * + Định nghĩa 6
Phần trong của tập là tập hợp tất cả các điểm trong của tập
Ký hiệu: hoặc Định lý 2 là tập mở lớn nhất được chứa trong
Hệ quả 1 a) * + b) mở Định lý 3 a)
12 b) ta có: i) ( ) ii) Nếu iii) ( ) iv) ( ) Định nghĩa 7
Bao đóng của tập là tập đóng bé nhất trong chứa
Hệ quả 2 a) ̅ * + b) đóng ̅ Định lý 3
Cho không gian tôpô ( ), và Khi đó: a) ̅ ̅ b) ̿ ̅ c) ̅ d) ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ e) ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ Định nghĩa 8
Trong không gian tôpô, một ánh xạ được gọi là liên tục tại một điểm nếu với mọi lân cận của điểm đó, luôn tồn tại một lân cận của điểm trong không gian tôpô nguồn sao cho ánh xạ vẫn giữ nguyên tính chất Hơn nữa, ánh xạ được coi là liên tục trên toàn bộ không gian nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc không gian đó.
Trong không gian tôpô, ánh xạ được coi là liên tục tại một điểm khi và chỉ khi với mỗi lân cận của điểm đó, tồn tại một lân cận tương ứng trong không gian đầu Định lý 5 khẳng định rõ ràng điều này.
Giả sử ( ) ( ) là hai không gian tôpô và là ánh xạ từ vào Các mệnh đề sau đây là tương đương:
13 a) Ánh xạ liên tục trên b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng là một tập đóng d) ( ̅) ( )̅̅̅̅̅̅ e) ( ) ( ( )) Định nghĩa 7
Không gian tôpô ( ) được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của đều tồn tại một phủ con hữu hạn
Cho ( ) là một không gian tôpô, và
+ được gọi là tập compact trong nếu với tôpô cảm sinh trên bởi tôpô trên là không gian compact
+ là tập compact tương đối nếu ̅ là tập compact
Ví dụ 2 a) Tập tùy ý với tôpô thô là khôn gian compact b) với tôpô tự nhiên là không gian không compact Định lý 6
Tập hợp con của không gian tôpô là compact khi và chỉ khi mỗi phủ mở của đều có một phủ con hữu hạn.
Không gian mêtric
Cho tập tùy ý , ánh xạ được gọi là một mêtric
(khoảng cách) trên nếu các điều kiện sau đây nghiệm đúng
(b) ( ) với mọi và ( ) khi và chỉ khi (c) ( ) ( ) ( ) với mọi
Tập cùng với mêtric được gọi là không gian mêtric, ký hiệu là
Ví dụ 3 a) là một không gian mêtric với mêtric
( ) | | b) là một không gian mêtric với mêtric
( ) √∑( ) trong đó, ( ) và ( ) c) Cho tùy ý, Khi đó
( ) { là một mêtric trên Mêtric này được gọi là mêtric rời rạc Không ( ) được gọi là không gian mêtric rời rạc
Cho là một không gian mêtric và Khi đó, với và tập hợp
Một tập hợp được gọi là mở nếu với mọi điểm trong tập, tồn tại một lân cận xung quanh điểm đó thuộc về tập Ngược lại, một tập hợp được gọi là đóng nếu nó là tập mở.
Cho không gian mêtric ( ) Dãy * + được gọi là hội tụ về một điểm nếu
Ký hiệu: hay Khi đó, được gọi là giới hạn của dãy * +
(i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất
(ii) Nếu dãy * + hội tụ về thì mọi dãy con của dãy này cũng hội tụ về
(iv) Tập là tập compact nếu với mọi dãy * + thì tồn tại một dãy con * + hội tụ về
Cho là một không gian mêtric Khi đó dãy * + trong được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi tồn tại để với mọi thì ( )
Như vậy, một dãy hội tụ là dãy Cauchy
Không gian mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong đều hội tụ.
Không gian định chuẩn
Cho không gian tuyến tính Khi đó, một ánh xạ ‖ ‖ được gọi là một chuẩn trên nếu với mọi và các điều kiện sau được thỏa mãn
Không gian cùng với chuẩn ‖ ‖ trên nó được gọi là không gian định chuẩn, ký hiệu là ( ‖ ‖)
Ví dụ 4 a) là không gian định chuẩn với chuẩn
) b) Không gian , - các hàm liên tục trên , - là không gian định chuẩn với chuẩn
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric ( )
‖ ‖ Do đó các tính chất trên không gian mêtric đều áp dụng cho không gian định chuẩn Định nghĩa 13
Dãy * + trong không gian định chuẩn được gọi là hội tụ đến nếu ‖ ‖ Ký hiệu hoặc
Cho là không gian định chuẩn Khi đó:
Hình cầu mở tâm bán kính là tập hợp
Hình cầu đóng tâm bán kính là tập hợp ̅( ) * ‖ ‖ + Định nghĩa 14
Tập con của không gian định chuẩn được gọi là tập lồi nếu với mọi và , - thì ( )
Từ định nghĩa ta suy ra rằng giao của một họ tùy ý các tập lồi cũng là tập lồi Định nghĩa 15
Bao lồi của là giao của các tập lồi chứa ký hiệu là conv( )
Như vậy, bao lồi của là tập lồi bé nhất chứa Định nghĩa 16
Một hàm số f :X được gọi là lồi trên một tập lồi AX nếu với mọi x x 1 , 2 A và t[0,1],thì
Tập lồi Tập không lồi
17 f tx 1 (1 t x ) 2 tf x ( ) (1 1 t f x ) ( ), 2 (1) và được gọi là lõm nếu (1) được thay bởi
1 (1 ) 2 ( ) (11 ) ( ).2 f tx t x tf x t f x Đồ thị hàm số lồi
Tính liên tục của ánh xạ
2.4.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Định nghĩa 17 Ánh xạ đa trị từ tập vào tập , ký hiệu , là một phép cho tương ứng mỗi phần tử với một tập con của , mà ta ký hiệu là ( ) Ánh xạ đa trị còn có các tên gọi khác như: hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập
Nếu với mỗi , tập ảnh ( ) chỉ gồm một phần tử của , thì ta nói là ánh xạ đơn trị từ vào Định nghĩa 18
Cho ánh xạ đa trị , miền hiệu quả của , ký hiệu là dom , được xác định như sau
* | ( ) + Ánh xạ đa trị được gọi là tầm thường nếu và được gọi là chặt nếu Định nghĩa 19
Cho ánh xạ đa trị , đồ thị của , ký hiệu là , được xác định bởi công thức
Ánh xạ đa trị có tính chất nhất định nếu đồ thị của nó thể hiện tính chất đó Chẳng hạn, ánh xạ đa trị được coi là đóng nếu tập hợp của nó là tập đóng; tương tự, ánh xạ đa trị được xem là compact nếu tập hợp của nó là tập compact Cần phân biệt giữa các thuật ngữ như đóng và có giá trị đóng, compact và có giá trị compact; trong đó, có giá trị đóng (hay có giá trị compact) có nghĩa là tập hợp đó là tập đóng (hay tập compact) với mọi định nghĩa tương ứng.
Cho ánh xạ đa trị , ánh xạ ngược của là ánh xạ đa trị từ vào được xác định như sau
Do ảnh qua ánh xạ đa trị là một tập, mỗi tập này có hai loại ảnh ngược: nghịch ảnh và nhân, được xác định bởi các quy tắc cụ thể.
Cho ánh xạ đa trị
Nửa liên tục trên (viết tắt là usc) được định nghĩa là một hàm số có tính chất rằng đối với bất kỳ tập mở nào, tồn tại một lân cận sao cho giá trị hàm trong lân cận đó luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị hàm tại điểm xét.
Nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) được định nghĩa như sau: với bất kỳ tập mở nào, tồn tại một lân cận sao cho điều kiện liên quan được thỏa mãn với mọi điểm trong tập đó.
Ánh xạ được gọi là liên tục tại một điểm nếu nó vừa là liên tục từ phía trên (usc) vừa là liên tục từ phía dưới (lsc) tại điểm đó Khi một ánh xạ thỏa mãn các tính chất usc và lsc tại tất cả các điểm trong một tập hợp, nó được coi là liên tục trên tập đó Trong trường hợp này, chúng ta thường bỏ qua cụm từ “trên” trong các phát biểu liên quan.
19 Ánh xạ đa trị được xác định bởi
* + nửa liên tục dưới tại nhưng không nửa liên tục trên tại Ánh xạ đa trị được xác định bởi
{* + , - nửa liên tục trên tại nhưng không nửa liên tục dưới tại
Hai định lý sau cho ta các dạng tương đương của các khái niệm nửa liên tục trong Định nghĩa trên Định lý 7
Cho ánh xạ đa trị * + Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương với nhau
(i) là ánh xạ nửa liên tục trên
(ii) ( ) là tập mở trong với mọi tập mở trong
(iii) ( ) là tập đóng trong với mọi tập đóng trong
(iv) Nếu { } là một lưới hội tụ về và là lân cận mở của ( ), thì tồn tại sao cho với mọi ta có ( ) Định lý 8
Cho ánh xạ đa trị * + Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương với nhau
(i) là ánh xạ nửa liên tục dưới
(ii) ( ) là tập mở trong với mọi tập mở trong
(iii) ( ) là tập đóng trong với mọi tập đóng trong
(iv) Nếu { } là một lưới hội tụ về và là lân cận mở với
( ) , thì tồn tại sao cho với mọi ta có ( )
(v) Nếu { } là một lưới hội tụ về và ( ) thì tồn tại ( ) sao cho
Mối quan hệ giữa tính đóng và tính nửa liên tục trên ánh xạ đa trị được thể hiện qua các kết quả nghiên cứu quan trọng Những kết quả này đóng vai trò thiết yếu trong việc phân tích tính ổn định của nghiệm và sự đặt chỉnh nghiệm cho nhiều bài toán thực tiễn Để tìm hiểu chi tiết về các chứng minh, bạn có thể tham khảo tài liệu của Hu và Parageorgiou (1997).
Nếu là -Không gian (không gian chính quy) và ánh xạ đa trị
* + là nửa liên tục trên và có giá trị đóng thì là ánh xạ đóng
(i) Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng nếu không có giá trị đóng thì Định lý trên không đúng
Các ví dụ dưới đây minh họa rằng chiều ngược lại của Định lý trên không đúng, ngay cả khi hàm có giá trị là các tập compact.
Xét ánh xạ được xác định bởi
Rõ ràng là usc tại nhưng không đóng tại Thật vậy, ta lấy hai dãy
/ và nhưng ( ) ( ) Chứng tỏ không đóng tại
Cho ánh xạ được xác định bởi
Ta thấy rằng đóng nhưng không usc
Xét ánh xạ được xác định bởi:
Khi đó đóng nhưng không usc tại Thật vậy, với lân cận , ) của ( ) , khi đó với mọi lân cận của , tồn tại ( ) , ) Định lý 10
Giả sử ánh xạ đa trị * + có giá trị compact tại Ánh xạ này được coi là nửa liên tục trên tại khi và chỉ khi với mọi lưới {( )} với , lưới { } có một điểm tụ trong ( ) Điều này có nghĩa là lưới * + tồn tại lưới con hội tụ về một phần tử nào đó của ( ).
Ta chứng minh được rằng giả thiết là -không gian trong Định lý ở trên có thể được thay bằng giả thiết compact của các giá trị hàm
Nếu ánh xạ đa trị * + là nửa liên tục trên và có giá trị compact thì là ánh xạ đóng Định lý 11
Nếu ánh xạ đa trị * + là đóng và compact địa phương, thì với mọi điểm, tồn tại lân cận sao cho tập hợp ( ) là tập compact Do đó, ánh xạ này được xác định là nửa liên tục trên không gian đó.
Trong không gian vectơ tôpô, ánh xạ đa trị được gọi là nửa liên tục trên Hausdorff (H-usc) tại một điểm, nếu với mỗi lân cận của điểm gốc, luôn tồn tại một lân cận của điểm sao cho điều kiện nhất định được thỏa mãn với mọi điểm trong không gian.
(b) được gọi là nửa liên tục dưới Hausdorff (H-lsc) tại , nếu với mỗi lân cận của gốc trong , luôn tồn tại lân cận của sao cho, ( ) ( ) , với mỗi
(c) Nếu (a) (tương ứng (b)) thỏa mãn với mọi thì ta nói rằng là H-usc (tương ứng H-lsc)
(d) được gọi là liên tục Hausdorff tại , nếu nó vừa H-usc và vừa H- lsc tại Nếu liên tục Hausdorff tại mọi thì ta nói rằng là liên tục Hausdorff
Các định lý sau cho thấy mối quan hệ giữa khái niệm nửa liên tục và nửa liên tục theo nghĩa Hausdorff Định lý 12
Nếu * + là usc thì là H-usc
Các ví dụ sau cho thấy chiều ngược lại của Định lý trên nói chung không đúng
Cho , - và * + được xác định bởi
Ta có là H-usc nhưng không usc vì (( )) * + không mở
Các ví dụ dưới đây minh chứng rằng ngay cả trong trường hợp ánh xạ đa trị có giá trị đóng hoặc bị chặn, chúng ta vẫn không thể đạt được chiều ngược lại của định lý đã nêu.
Cho được xác định bởi
| |} Khi đó, là H-usc nhưng không usc vì { / } đóng nhưng ( ) không đóng trong
Cho và * + được xác định bởi
Ta thấy là H-usc nhưng (( )) * + nên không usc Định lý 13
Nếu * + là H-lsc thì là lsc
Chiều ngược lại của Định lý trên nói chung không đúng Thật vậy, cho , - và * + ( ) *( ) + Khi đó, lsc
23 nhưng không H-lsc vì với ( ) ( ) với mọi lân cận của
Cho ánh xạ đa trị * + có giá trị compact Khi đó,
(i) Nếu là H-usc thì là usc
(ii) Nếu là lsc thì là H-lsc
Tính liên tục của ánh xạ đơn trị
Cho không gian mêtric và ánh xạ đơn trị * +
(a) được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại nếu với mọi
(b) được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại nếu với mọi
(c) được gọi là liên tục tại nếu nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tại
Vì ( ) ( ) và ( ) ( ) với mọi nên hiển nhiên usc tại 1 và lsc tại 1
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Mô hình bài toán cân bằng hai mức
Trong không gian véc tơ tô pô Hausdorff, cho một tập con compact lồi khác rỗng và một tập con khác rỗng, cùng với các nón lồi, rắn và có đỉnh, ta sẽ sử dụng các ánh xạ để thể hiện mối quan hệ thứ tự theo nón.
Trong không gian tương ứng, mỗi phần được xác định trong tô pô của nón, và các quan hệ cũng được định nghĩa tương tự.
Với mỗi , chúng ta xét bài toán cân bằng véc tơ với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số sau đây:
(EPEC) Tìm ̅ ( ) sao cho với mọi ( ) chúng ta luôn có ( ̅ ) ở đó
( ) * ( ) ( ) + Với mỗi chúng ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (EPEC) là ( ) tức là: ( ) * ( ) ( ) ( )+
Cho hàm và véc tơ , chúng ta sử dụng các kí hiệu sau để biểu thị các tập mức của hàm véc tơ
Cho và xét hàm được xác định bởi
Khi đó, ( - , - ( - , ) , ) Định nghĩa 24 (Aubin and Frankowska, 1990, Định nghĩa 2.1.1, trang 56) Ánh xạ đa trị được gọi là đóng nếu * ( ) ( )+ là tập đóng Định nghĩa 25
Cho ánh xạ , và là một tập con lồi của Khi đó, (a) là -lõm trên nếu với mọi và , - thỏa ( ) ( ) thì ( ( ) )
(b) là -lõm trên nếu với mọi và ( ) thỏa ( ) ( ) thì ( ( ) )
Trong trường hợp ( ), thì hai khái niệm trên trùng nhau.
Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm
Phần này sẽ thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên cho ánh xạ nghiệm trong bài toán (EPEC)
Trước nhất, ta có bổ đề sau đây trình bày kết quả về tính nửa liên tục trên của ánh xạ ràng buộc
Nếu với mỗi ( ) là tập đóng trên thì là nửa liên tục trên và có giá trị compact trong Hơn nữa, nếu với mỗi
( ) là tập lồi thì có giá trị lồi
Để chứng minh nửa liên tục trên tại điểm , giả sử ngược lại, tức là tồn tại một lân cận của mà không nửa liên tục Có một lưới hội tụ về sao cho với mỗi , tồn tại Nhờ tính compact, ta có thể giả sử rằng tồn tại sao cho Từ đó, ta suy ra rằng Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu Do đó, khẳng định rằng nửa liên tục trên tại là không thể xảy ra, vì điều này áp dụng cho mọi
Chúng ta sẽ chứng minh rằng tập ( ) là tập compact bằng cách chứng minh nó là tập đóng trong ( ) Lấy bất kỳ phần tử nào ( ) với ( ) Với mọi ( ), ta có ( ) Sử dụng tính chất đóng của ( ), ta có ( ), tức là ( ) Do đó, ( ) là tập đóng trong ( ), và vì vậy nó là tập compact.
Cuối cùng, chúng ta chứng minh ( ) tập lồi Lấy bất kỳ ( ) và , - chúng ta cần chỉ ra rằng ( ) ( ) Với mọi ta có ( ) ( ), tức là ( )
Vì ( ) lồi nên ( ) Điều này có nghĩa là ( ) , và vì thế ( ) Vậy ( ) là tập lồi
Các thí dụ sau đây minh họa cho tính cốt yếu của các giả thiết trong Bổ đề 1
Ví dụ 14 (Tính đóng là cốt yếu)
Chúng ta có thể xác định tập nghiệm ( ) * + và ( ) * + cho mọi Tuy nhiên, tập này không nửa liên tục tại , vì ( ) không phải là tập đóng Cụ thể, với một giá trị nhất định , ta có ( ).
Ví dụ 15 (Tính lồi của ( ) là cốt yếu)
Chúng ta có thể tính toán các giá trị liên tục và compact trong không gian xác định Mặc dù vậy, tập hợp này không phải là tập lồi Nguyên nhân là do có những điểm không thuộc tập lồi, ví dụ, với một số điểm nhất định, chúng ta có thể thấy rằng chúng không nằm trong tập lồi.
Bổ đề sau đây trình bày kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc
Giả sử tồn tại một sao cho ( ) với mọi Thêm vào đó, giả sử rằng là tập đóng trong và với mọi , ta có ( ) là -lõm Khi đó, ta có nửa liên tục dưới trong
Để chứng minh rằng một hàm là nửa liên tục dưới tại một điểm bất kỳ, giả sử rằng hàm đó không có tính chất này Khi đó, sẽ tồn tại một lưới hội tụ về điểm đó mà mọi lưới con đều không hội tụ về giá trị của hàm tại điểm đó Chúng ta có thể lấy một giá trị bất kỳ và thiết lập một lưới con, từ đó dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
* ̂ + với ̂ ( ) với mọi Điều này có nghĩa là tồn tại sao cho ( ̂ ) ( )
Do lưới compact hội tụ về một điểm, cùng với tính đóng, chúng ta có thể suy ra rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn với giả thuyết đã đưa ra.
Bây giờ, chúng ta kiểm tra rằng
Kí hiệu “clD” đại diện cho bao đóng của tập Lấy các điểm ( ) và ( ) khi thì Với mỗi điểm, ta có ( ) và ( ) Sử dụng tính chất -lõm của ( ), ta thu được ( ), tức là ( ) Do đó, khẳng định (2) là đúng Bằng cách áp dụng tính nửa liên tục dưới của tại , chúng ta nhận được kết quả như mong đợi.
( ) ( ) ( ) ( ) Điều này có nghĩa là là nửa liên tục dưới tại và vì thế nó nửa liên tục dưới trong
Từ Bổ đề 1 và Bổ đề 2, chúng ta có các kết quả sau Định lí 15
Giả sử rằng \( (X) \) là một không gian lồi và \( (Y) \) là một tập lồi đóng trong \( X \) Nếu \( (Z) \) là một tập đóng trong \( Y \), thì tồn tại giá trị lồi compact và liên tục trong \( Z \).
Kết quả về tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm trong bài toán cân bằng véc tơ với ràng buộc cân bằng được trình bày trong Định lý 16.
Giả sử các giả thiết của Định lí 3.1 đều được thỏa mãn và là tập đóng trong Khi đó là đóng và nửa liên tục trên trong
Để chứng minh tính nửa liên tục trên của hàm số, giả sử ngược lại rằng hàm không nửa liên tục trên tại điểm đã cho Điều này có nghĩa là tồn tại một lân cận của điểm đó sao cho có một lưới hội tụ về điểm này và một lưới khác không hội tụ Theo Bổ đề 1, hàm số này là nửa liên tục trên tại điểm đã cho và tập hợp liên quan là compact Do đó, chúng ta có thể giả định rằng với lưới hội tụ, nếu hàm số không liên tục thì sẽ tồn tại một điểm mà hàm không đạt giá trị mong muốn.
Dựa trên kết quả của Bổ đề 2, chúng ta có thể suy ra rằng nửa liên tục dưới tại một điểm nhất định tồn tại một lưới * + ( ) Kết hợp điều này với tính đóng của , chúng ta nhận được một mâu thuẫn với ( ) Do đó, điều này dẫn đến một kết luận quan trọng trong nghiên cứu.
( ) , điều này là không thể xảy ra vì với mọi
Sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự như trong Bổ đề 1, chúng ta có thể chứng minh tính compact của tập hợp Do tính nửa liên tục trên khoảng và tập hợp có giá trị đóng, việc áp dụng Bổ đề 1 giúp chúng ta dễ dàng xác nhận tính chất đóng của nó.
