Phương pháp tính ứng dụng trong tính toán kỹ thuật Nguyễn Hoài Sơn

Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối 2

‚a được gọi là số gần đúng hay số xấp xỉ của A nếu a khá gần với A (a > A hoặc a < A) và nó được dùng thay A trong tính toán‛

Sai số thực của một số gần đúng a được định nghĩa là A - a, trong đó A là giá trị chính xác mà chúng ta không biết Do đó, để xác định mức độ sai lệch của a, chúng ta cần tìm trị tuyệt đối của sai số thực, được gọi là sai số tuyệt đối.

Sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a là mọi số dương  a thỏa mãn bất đẳng thức: a a

Trong thực hành Chọn các số trong các số dương thỏa mãn (1.1) càng bé càng tốt làm sai số tuyệt đối

Như vậy, từ (1.1) dù không biết chính xác A nhưng ta biết miền giá trị của nó: a a A a a    (1.2) hay a a

‚Sai số tương đối của số xấp xỉ a là tỉ số của sai số tuyệt đối với trị tuyệt đối của nó‛ a a a

Vớ duù 1: Đo được hai số xấp xỉ a 1 10m,a 2 5m chúng có cùng sai số tuyệt đối là m a a 1  2 0.001

 , kết quả là phép đo a 1 chính xác hơn dù sai số tuyệt đối của chuựng nhử nhau

Ta kết luận rằng: ‚sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo càng cao, phép đo a 1 chính xác hơn‛

Chú ý: sai số tuyệt đối có cùng thứ nguyên với số xấp xỉ, sai số tương đối không có thứ nguyên, biểu thị bằng %.

Chữ số tin cậy và chữ số nghi ngờ 3

Khi viết một số thập phân với nhiều chữ số, các chữ số không phải số 0 đầu tiên, tính từ trái sang phải, được gọi là các chữ số có nghĩa.

Mọi số thập phân đều viết dạng:

‚Trong (1.5) chữ số a n gọi là chữ số tin cậy nếu sai số tuyệt đối của a thỏa mãn: a0.5.10 n

 , ngược lại a0.5.10 n thì a n gọi là chữ số nghi ngờ‛

1.2.3 Cách viết số gần đúng

Khi viết số gần đúng, ta sử dụng định dạng a ± Δa, trong đó Δa thể hiện sai số Cách viết này giúp xác định rằng sai số tuyệt đối của số xấp xỉ không vượt quá một nửa đơn vị của chữ số ở hàng cuối bên phải Việc trình bày số liệu theo cách này không chỉ làm tăng độ tin cậy mà còn cung cấp thông tin rõ ràng về độ chính xác của giá trị được ước lượng.

Các loại sai số 4

Khi một số có quá nhiều chữ số và việc tính toán trở nên khó khăn, chúng ta có thể làm tròn số bằng cách loại bỏ một hoặc nhiều chữ số cuối để đơn giản hóa Sai số trong quá trình này được xác định là sai số làm tròn, được tính bằng cách lấy số đã làm tròn trừ đi số chưa làm tròn.

Quy tắc làm tròn số rất đơn giản: Nếu chữ số đầu tiên bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5, ta sẽ cộng thêm 1 vào chữ số trước đó Ngược lại, nếu chữ số đầu tiên bị bỏ đi nhỏ hơn 5, ta giữ nguyên chữ số trước đó.

Sai số làm tròn làm tăng sai số tuyệt đối của phép tính Như vậy, ảnh hưởng đến kết quả tính toán

Làm tròn 67.548 với 2 số lẻ  67.55

‚Sai số tạo ra do tất cả các lần xấp xỉ và làm tròn‛

Thay bài toán phức tạp thành bài toán đơn giản sẽ tạo ra sai số gọi là sai số phương pháp

Chẳng hạn để giải phương trình f(x)0 ta dùng phương pháp Newton với giải thuật sau:

1 ' n n n n x f x x    (1.6) Để tìm nghiệm, ta cần cho trước nghiệm ban đầu và sai số chấp nhận được (xem chửụng 2)

A n n Chuỗi A đan dấu hội tụ nên tồn tại tổng Ta không thể cộng vô hạn số hạn được Do đó dùng phương pháp gần đúng, thay A baèng An

A là sai số phương pháp, ta cần chọn n sao cho sai số tính toán cộng với sai số phương pháp 5.10  3 n 

Theo lý thuyết chuỗi đan dấu ta có:

Nếu lấy A 6 làm giá trị gần đúng ta phạm phải sai số:

A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Sai số của hàm số 6

Giả sử cần tính y theo công thức: y f(x 1 ,x 2 , ,x n ), hàm f khả vi đối với các bieán soá x i

Nếu x 1 ,x 2 , ,x n là các số gần đúng thì y cũng là giá trị gần đúng

Gọi X i ,Ylà các giá trị đúng, X i ,Ylà các sai số tuyệt đối, x i ,y là các sai số tương đối

Theo nội suy Lagrange, để tính các sai số y và y dựa trên các sai số x i và x i, ta sử dụng công thức số gia Gọi x i là giá trị trung gian giữa x i và X i Do X i x i rất nhỏ, nên ta có thể chọn x i x i, từ đó áp dụng vào công thức để tính toán giá trị y tương ứng với các giá trị x.

(1.7) là công thức tính sai số tuyệt đối của hàm y theo các sai số của đối số Chia

2 vế của (1.7) cho f(x 1 ,x 2 , ,x n ), ta có: i n i n i n x x x x f x x x x y f  

(1.8) và (1.9) là sai số tương đối của hàm y

1.4.2 Sai số của các phép tính cơ bản: y y y

Cho yx 1 x 2 ; x 1 100.1; x 2 1000.5 Tính các sai số y,y

Thể tích hình cầu được tính theo công thức: 3

Cho R3.70.5(cm); 3.140.05 Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của

Giới thiệu 8

Hàm nội suy là một loại hàm được thiết kế để đi qua các điểm dữ liệu đã cho Những hàm này có thể được lấy từ các bảng hàm mẫu hoặc được xác định trực tiếp từ các hàm đã biết.

Nội suy là một kỹ thuật quan trọng trong giải số, với nhiều phương pháp khác nhau như nội suy Lagrange và Hermite Trong số đó, nội suy tuyến tính và nội suy đa thức đơn giản thường được áp dụng phổ biến.

Nội suy 8

2.2.1 Phương pháp nội suy tuyến tính:

Nội suy tuyến tính là nền tảng cho nhiều sơ đồ số cơ bản, trong đó việc áp dụng tích phân nội suy tuyến tính dẫn đến việc phát triển sơ đồ tích phân, được gọi là luật hình thang Hơn nữa, gradient của nội suy tuyến tính cung cấp một xấp xỉ cho đạo hàm bậc nhất của hàm số.

Nội suy tuyến tính là tìm một đường thẳng thoả mãn những điểm dữ liệu đã cho

Trong đó, f(a),f(b) là giá trị đã biết của f(x) tại x = a và x = b

Phương trình (2.2) phụ thuộc vào biến x và có thể gây khó khăn trong việc đánh giá chính xác giá trị của x Tuy nhiên, chúng ta có thể phân tích e(x) khi đạo hàm bậc hai f’’(x) gần như ổn định trong khoảng [a, b].

Nếu f‛ là hàm biến đổi chậm hoặc khoảng [a,b] nhỏ, ta có thể xấp xỉ f‛(ξ) bằng f‛(xm), với xm là điểm giữa a và b, tức là xm = (a+b)/2 Sai số xấp xỉ lớn nhất xảy ra tại điểm giữa hai điểm dữ liệu, và sai số gia tăng khi b - a tăng Hơn nữa, sai số cũng tăng khi f'' tăng.

Ngoại trừ những hướng mà f‛=0 trong [a,b] vì f‛xấp xỉ hằng số không chấp nhận được

2.2.2 Phương pháp nội suy LAGRANGE:

Một trong những phương pháp cơ bản để xác định hàm đi qua nhiều điểm dữ liệu là nội suy đa thức, cho phép khớp với 3, 4 hoặc nhiều điểm dữ liệu trên một đường cong.

Nội suy đa thức có thể được biểu diễn qua nhiều dạng khác nhau, bao gồm nội suy Lagrange và nội suy Hermite Newton tiến và lùi Đặc biệt, bậc đa thức thứ N đi qua N+1 điểm là duy nhất, điều này có nghĩa là mọi công thức nội suy đều khớp các điểm dữ liệu với sự tính toán tương tự.

Giả sử N+1 điểm dữ liệu cho trước: x0, x1, x2, ….xN f0 ,f1, f2 ……fN

Trong đó x0 x1 x2….xN là của điểm lưới và f0 , f1 …là giá trị nhận được từ x0, x1,

…tương ứng Một đa thức bậc N đi qua N+1 điểm dữ liệu được viết: g(x)= a0 + a1x + a2 + …+ aNx N (2.3)

Trong đó, ai hệ số chưa biết f0= a0 + a1x0 + a2x0 2 + …+ aNx N f1= a0 + a1x1 + a2x1 2 + …+ aN x N N

Hệ số ai có thể được xác định thông qua việc giải hệ phương trình, nhưng có những phương pháp hiệu quả hơn để giải bài toán nội suy đa thức mà không cần phải giải hệ phương trình tuyến tính Các công thức nội suy như Lagrange, Hermite và Newton là những lựa chọn tốt Để hiểu rõ hơn về công thức cơ bản của Lagrange, chúng ta sẽ xem xét kết quả của các yếu tố đã cho: f0, f1, f2, f3, f4, f5 tương ứng với các giá trị x0, x1, x2, x3, x4, x5 và y, x.

V (x0-x1)(x0-x2)……(x0-xN ) Biểu thức trên được liên kết với N+1 điểm dữ liệu đã cho trước Hàm V  0 là đa thức bậc N của x và bằng 0 tại x = x1, x2, ….xN Nếu ta chia V 0 (x)

 ta được 1 hàm sau đây:

Tương tự , ta có thể viết tổng quát cho Vi

Tử số của hàm Vi(x) bao gồm (x - xi), trong khi mẫu số không chứa (xi - xi) Hàm Vi(x) là một đa thức bậc N, có giá trị duy nhất tại x = xi và bằng 0 khi xi = xj với j khác i Bằng cách nhân các hàm V0(x), V1(x), V2(x) đến VN(x) với các hệ số f0, f1, …, fN theo thứ tự và cộng chúng lại, ta thu được một đa thức bậc N với các hệ số fi cho i từ 0 đến N.

Công thức nội suy Lagrange bậc N được viết như sau:

Giải phương trình (2.5) tương đương với việc giải hệ phương trình phi tuyến

Tỉ trọng của Natri ở 3 nhiệt độ khác nhau được mô tả trong bảng 2.1 i Nhiệt độ ( 0 C) Tỉ trọng( i )(kg/m 3 )

860 Tìm tỉ trọng của Natri ở 251 0 C bằng cách sử dụng nội suy Lagrange

Vì số điểm dữ liệu là 3, nên ta chọn bậc đa thức của công thức Lagrange N=2 g(T) ) 860 )( 205 371 )(

Thay T%1 vào phương trình trên, ta được g(251)= 890.5 kg/m 3

2.2.3.Phương pháp nội suy đường cong bậc ba:

Khi dữ liệu bài toán lớn, việc làm mịn đường cong nội suy sẽ mang lại kết quả chính xác và giảm thiểu sai số Nội suy cubic spline, bezier spline và NURB là những phương pháp phổ biến Trong giải quyết các phương trình vi phân và đạo hàm riêng, các phương pháp số như sai phân, phần tử hữu hạn, và gần đây là phương pháp không lưới thường áp dụng Tăng bậc đa thức trong xấp xỉ nghiệm (P-adaptive) là một giải pháp cần thiết và hiệu quả.

Trong nội suy đường cong bậc 3, đường cong này được áp dụng giữa hai điểm dữ liệu liên tiếp và có 4 hệ số, do đó cần 4 điều kiện Hai trong số các điều kiện này yêu cầu đa thức phải đi qua 2 hoặc 3 điểm dữ liệu Hai điều kiện còn lại liên quan đến tính liên tục của đạo hàm bậc nhất và bậc hai của đa thức tại mỗi điểm dữ liệu.

Trong nội suy bậc 3, ta xem xét khoảng từ xi đến xi+1 với chiều dài hi = xi+1 - xi Sử dụng hệ tọa độ địa phương s = x - xi, hàm nội suy trong khoảng này được biểu diễn dưới dạng g(s) = a + bs + cs² + es³, với điều kiện xi ≤ x ≤ xi+1 hay 0 ≤ s ≤ hi.

Trong bài toán phân tích số đặc biệt trong phương pháp phần tử hữu hạn, hệ tọa độ toàn cục (x) và hệ tọa độ địa phương (s) đóng vai trò quan trọng Để áp dụng phương pháp này, cần biết giá trị hàm f(s) tại s = 0 và s = hi, cụ thể là: fi = a và fi+1 = a + bhi + chi^2 + ehi^2.

Trong bài viết, chúng ta xem xét các giá trị fi và fi+1 tại s = 0 và s = hi, với g’ và g‛ liên tục tại các điểm i và i + 1 trong một đa thức bậc 3 Chúng ta ký hiệu đạo hàm bậc nhất và bậc hai tại điểm i của lưới lần lượt là g i ' và g i " Đạo hàm bậc hai của phương trình (2.6) cho ra công thức liên quan đến fi-1, xi, xi+1 và hi-1, dẫn đến các biểu thức cho g‛i và g‛i+1 Cuối cùng, chúng ta giải hệ phương trình để tìm các tham số c và e.

Hệ số a đã cho từ (2.7) Hệ số b được xác định bởi việc khử a, c, và e trong phửụng trỡnh (2.7),(2.8), (2.12), (2.13) b = i i i i i i g g h h f f

Do đó, phương trình đường cong đa thức (2.6) được viết lại như sau:

    (2.15) Đạo hàm bậc nhất của phương trình (2.15) tại s = 0 và s = h là:

Trong đo,ù h = xi+1 – xi Cho khoảng dữ liệu khác của x i 1 xx i , ta được:

Trong đó, hi-1 = xi – xi-1 Để đảm bảo đạo hàm bậc nhất liên tục, g’i của phương trình (2.18) phải bằng g’i của phương trình (2.16) Bằng cách khử g’i giữa hai phương trình, ta thu được phương trình mới.

Chú y ù là phương pháp ngoại suy được áp dụng khi giá trị hàm tại hai điểm biên chưa được xác định Phương trình (2.19) có thể áp dụng cho mọi điểm lưới, ngoại trừ hai điểm biên, giá trị của chúng được tính dựa trên phép ngoại suy từ hai điểm bên trong lưới Giả thuyết cho rằng số điểm dữ liệu được ký hiệu bởi i = 0, 1, 2, 3…, N, dẫn đến hệ phương trình tương ứng.

Giả sử ta có lưới điểm gồm 4 khoảng bằng nhau i=04, áp dụng hai kiểu tính điều kiện biên được minh hoạdưới đây:

Trong đó, g‛0 và g‛4 là giá trị tính dựa trên phép ngoại suy:

Tương tự, tính g‛ tại biên bên phải: g 4 '' 2g 3 '' g 2 '' (2.23) Tổng quát: g N '' 2g N ''  1 g N ''  2 (2.24) Hệ phương trình trên trở thành:

Giải hệ trên ta tìm được g‛1, g‛2, g‛3

Thay g‛1, g‛2, g‛3 vào phương trình (2.15) ta được hàm theo s

Cho bảng dữ liệu sau: (bảng 2.2) x f(x)

Sử dụng nội suy đường cong bậc 3 để tính giá trị f(x) tại các điểm x = 0.1, 0.2,…,1.0 từ hàm thử f(x) = sin(x) theo bảng (2.2) Bài viết cũng sẽ phân tích sai số giữa hàm thử và hàm nội suy g(x).