Khái niệm thiết diện
Hình phẳng có được do cắt một hình khối T bằng một mặt phẳng (P ) gọi là thiết diện của hình khối T cắt bởi mặt phẳng (P ).
Thiết diện của một số hình thường gặp
Thiết diện của hình cầu
Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu T luôn cho ta một thiết diện là một hình tròn bán kínhr = √
R 2 − k 2 Trong đóR là bán kính hình cầu; k là khoảng cách từ mặt phẳng tới tâm hình cầu (0 ≤ k < R) (Hình 1.1)
Thiết diện của hình nón
- Mặt phẳng qua đỉnh, cắt hình nón theo hai đường sinh ta được thiết diện là một tam giác cân (Hình 1.2)
- Cắt hình nón bởi mặt phẳng không qua đỉnh:
Khi mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của hình nón, ta sẽ nhận được thiết diện là một hình elip Đặc biệt, nếu mặt phẳng này vuông góc với trục hình nón, thiết diện sẽ trở thành một hình tròn có tâm nằm trên trục hình nón.
Khi mặt phẳng song song với hai đường sinh của hình nón, thiết diện tạo ra sẽ là một hình phẳng Hình phẳng này được giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng với mặt đáy của hình nón, tạo thành một đoạn thẳng, và với mặt bên của hình nón, hình thành một đường cong thuộc một nhánh của hyperbol.
Khi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón, thiết diện tạo ra sẽ là một hình phẳng Hình này được giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng với mặt đáy hình nón, tạo thành một đoạn thẳng, và với mặt bên của hình nón, tạo thành một phần đường cong parabol.
Thiết diện của hình trụ tròn xoay
Thiết diện của hình trụ tròn xoay có bán kính r, khi bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với trục hình trụ, tạo thành một hình tròn Hình tròn này có tâm nằm trên trục của hình trụ và bán kính cũng bằng r.
Khi mặt phẳng cắt một hình trụ tròn xoay với bán kính r và tạo với trục hình trụ một góc α (0 < α < 90 độ), hình cắt thu được là một hình elip Trong đó, trục nhỏ của elip có độ dài bằng 2r và trục lớn có độ dài bằng 2r sin α.
Thiết diện của hình trụ tròn xoay có bán kính r, khi bị cắt bởi mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng k (0 ≤ k < r), sẽ tạo thành một hình chữ nhật Hình chữ nhật này có hai cạnh dài bằng chiều cao của hình trụ, trong khi hai cạnh còn lại có độ dài bằng 2√(r² - k²).
Thiết diện của hình đa diện lồi
Để xác định thiết diện của khối đa diện lồi T (gọi tắt là hình T) cắt bởi mặt phẳng (P ) ta thường thực hiện qua các bước sau:
Bước đầu tiên là xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với một mặt của hình T, được gọi là giao tuyến gốc Giao tuyến này thường dễ dàng xác định dựa vào giả thiết của đề bài.
Bước 2 Xác định giao điểm của giao tuyến gốc với các cạnh của hình T.
Bước 3 Từ các giao điểm trên, xác định các giao tuyến còn lại của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình T.
Bước 4 Chỉ ra phần hình phẳng trong mặt phẳng (P ) giới hạn bởi các giao tuyến trên là thiết diện cần xác định.
Thực chất quy trình trên là tìm giao của mặt phẳng(P )với các mặt của hình
T (Mặt phẳng (P ) có thể không cắt hết các mặt của hình T).
Hình dạng của thiết diện là đa giác lồi có các đỉnh là giao điểm của mặt phẳng (P ) với các cạnh của hình T.
Các định lý, tính chất thường dùng
Trong không gian, nếu có một đường thẳng d và một điểm A nằm ngoài đường thẳng đó, thì tồn tại duy nhất một đường thẳng a đi qua điểm A và song song với đường thẳng d.
Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau theo một đường thẳng, thì đường thẳng cắt này sẽ song song với cả hai đường thẳng hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba sẽ song song với nhau Định lý này khẳng định rằng trong mặt phẳng (α) và đường thẳng d không thuộc (α), d và (α) sẽ song song khi và chỉ khi có một đường thẳng a thuộc (α) sao cho d và a cũng song song.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc chứa một đường thẳng và cắt nhau tại một đường thẳng, thì đường thẳng này sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng đó Định lý cho biết, với một điểm P và hai đường thẳng a, b chéo nhau, sẽ có duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm P sao cho mặt phẳng này song song hoặc chứa a và song song hoặc chứa b.
Cho điểm P và hai đường thẳng a, b chéo nhau, với điều kiện P không thuộc a và b Nếu đường thẳng a không song song với mặt phẳng (P; b) và đường thẳng b không song song với mặt phẳng (P; a), thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua P, sao cho (α) song song với cả hai đường thẳng a và b.
Hệ quả 1.1.[9]Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b.
Mệnh đề 1.5.[9] Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì b song song hoặc thuộc (α).
Khi một đường thẳng đi qua một điểm thuộc mặt phẳng và song song với một đường thẳng đã cho, thì đường thẳng đó phải nằm trong mặt phẳng đó Hai mặt phẳng (α) và (β) được coi là song song khi trong mặt phẳng (β) có hai đường thẳng a1 và a2 cắt nhau và đều song song với (α) Ngoài ra, nếu có một điểm P nằm ngoài mặt phẳng (α), thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua P và song song với (α), đồng thời mặt phẳng (α) chứa tất cả các đường thẳng đi qua P và song song với (α).
Mệnh đề 1.6 [9] Cho một đường thẳng d song song với (α) Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua d và song song với (α).
Hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau Khi mặt phẳng (γ) cắt mặt phẳng (α) theo một đường thẳng, thì mặt phẳng (γ) cũng cắt mặt phẳng (β) theo một đường thẳng, và hai đường thẳng này sẽ song song với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt, nếu cùng song song với một mặt phẳng thứ ba, thì chúng cũng sẽ song song với nhau Ngoài ra, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong cùng một mặt phẳng, thì đường thẳng đó cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng này.
- Mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau.
- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng đó cũng vuông góc với đường thẳng a.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng đều vuông góc với một đường thẳng khác, thì chúng sẽ song song với nhau hoặc đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng.
- Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
- Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc trùng nhau. Định lí 1.7 [9]
- Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Có một đường thẳng duy nhất ∆ đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (P) Định lý 1.8 chỉ ra rằng, với đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P), điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b phải vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
Định lý Ta-lét là một trong những định lý quan trọng trong hình học Định lý 1.9 khẳng định rằng nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại, thì nó tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trên hai cạnh đó Định lý 1.10, ngược lại, chỉ ra rằng nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, thì đường thẳng đó sẽ song song với cạnh còn lại Trong không gian, Định lý 1.11 cho biết ba mặt phẳng song song sẽ chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Cuối cùng, Định lý 1.12 đề cập đến hai đường thẳng chéo nhau và các điểm trên chúng, tạo ra các tỉ lệ tương ứng.
B 1 C 2 Khi đó, các đường thẳng A 1 A 2 , B 1 B 2 , C 1 C 2 cùng song song với một mặt phẳng.
Một số bài toán cơ bản về xác định thiết diện
Mặt phẳng cắt qua ba điểm cho trước
Phương pháp Trong trường hợp này ta đã xác định được mặt phẳng(P ) qua
3 điểm cho trước Ta chỉ cần dựa vào giả thiết để tìm giao tuyến gốc từ đó xác định giao của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình khối.
Ví dụ 1.4.1 [13] Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N và
P lần lượt là trung điểm của AB và AD Tìm thiết diện của mặt phẳng (M N P ) với hình chóp đã cho.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E,
F lần lượt là giao của N P với EF Ta có M E, M F lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (M N P ) với các mặt phẳng
(SBC) và (SCD), gọi I, J lần lượt là giao của M F, M E với SD và SB.
Ta được thiết diện của mặt phẳng(M N P )với hình chóp là ngũ giácJ M IP N(Hình 1.10).
Trong hình chóp S.ABCD, xét điểm M nằm trong tam giác SBC và điểm N nằm trong tam giác SCD Cần xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp này.
Gọi E và F lần lượt là điểm giao nhau của các đoạn thẳng SM với BC và SN với DC Điểm O được xác định là giao điểm của EF với AC, trong khi I là giao điểm của MN với SO Cuối cùng, H là giao điểm của AI với SC.
Dựng các đường thẳng HM và HN.
Có 4 trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1 HM cắt cạnh SB tại P, HN cắt cạnh SD tại Q Nối QA, P A ta được thiết diện là tứ giác AP HQ (Hình 1.12).
- Trường hợp 2 HM cắt cạnh CB tại P, HN cắt cạnh SD tại Q Nối QA, P A ta được thiết diện là tứ giác AP HQ (Hình 1.13).
Các trường hợp còn lại được xét tương tự:
- Trường hợp 3 HM cắt cạnh SB tại P, HN cắt cạnh CD tại Q.
- Trường hợp 4 HM cắt BC tại P, HN cắt CD tại
Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với một mặt phẳng (hoặc hai đường thẳng cắt nhau)
(hoặc hai đường thẳng cắt nhau)
Áp dụng các Định lý 1.1, 1.2, Mệnh đề 1.3 và Định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, chúng ta có thể xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình khối Cụ thể, nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), thì mọi mặt phẳng chứa d và cắt (P) sẽ tạo ra giao tuyến song song với d.
Ví dụ 1.4.3 [13] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có các cạnh đáy
Trong không gian hình học, với AB, CD và CD < AB, ta có mặt phẳng α đi qua điểm M trên cạnh AD và song song với mặt phẳng (SAB) Khi xác định thiết diện của khối S.ABCD cắt bởi mặt phẳng α, ta chứng minh rằng thiết diện này có hình dạng là một hình thang.
Vì (α) song song với SAB nên (α) song song với các cạnh AB, BS và SA.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao của (α) với BC, SC,
SD Ta có M N//AB, N P//SB, M Q//SA và QP//DC.
Ta thực hiện vẽ lần lượt M N//AB, N P//SB,
M Q//SA, nối P Q ta được thiết diện là tứ giác M N P Q
ABCD là hình thang nên CD//AB nên DC// (α)
⇒ P Q//M N suy ra M N P Q là hình thang.
Hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD, với mặt bên SBC là tam giác đều Điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, trong khi SD vuông góc với mặt phẳng đáy.
AC Gọi (α) là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh BD (M không trùng với B, D) và song song với SD, AC Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi (α).
Nếu điểm M trùng với điểm O, thiết diện sẽ là tam giác SAC Ngược lại, khi M khác O, các giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt bên sẽ thay đổi, dẫn đến hình dạng thiết diện cũng thay đổi theo.
* Trường hợp 1 M thuộc đoạn BO, M khác B.
Ta có M ∈ (α) ∩ (ABCD) và (α) //AC suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD) là đường thẳng qua M song song với AC, giao tuyến này cắt các cạnh BA và
BC của hình chóp Gọi Q là giao của (α) với SB (α) //SD ⇒ M Q//SD.
Ta vẽ một đường thẳng qua điểm M song song với AC, cắt các đoạn AB và BC tại các điểm N và P Tiếp theo, dựng một đường thẳng qua M song song với SD, cắt đoạn SB tại điểm Q Kết nối các điểm P và Q, N và Q để tạo thành tam giác N PQ (Hình 1.15), là thiết diện của khối S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α).
* Trường hợp 2 M thuộc đoạn DO, M khác O và D.
Khi đó giao tuyến của (α)với (ABCD)song song với AC và cắt các cạnh AD và DC của hình chóp.
Gọi E, F, H, Q, K lần lượt là giao của (α) với AD, CD, SC, SB và SA.
Ta có EK//SD, F H//SD, M Q//SD (vì(α) //SD) Dựng các đường thẳng qua
Trong hình chóp M, các đường thẳng AC cắt AD và DC tại các điểm E và C Từ điểm E và F, ta dựng các đường thẳng song song với SD, cắt các cạnh SA và SC tại K và H Đường thẳng đi qua M song song với SD cắt SB tại điểm Q Nối KQ và QH, ta thu được thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α), tạo thành ngũ giác EF HQK.
Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và song song với một đường thẳng
và song song với một đường thẳng
Giả sử mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d0 Để xác định mặt phẳng (P), ta dựng đường thẳng a cắt đường thẳng d và song song với d0 Áp dụng Mệnh đề 1.1 cùng với các quan hệ song song và vuông góc trong không gian, ta có thể tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình khối.
Ví dụ 1.4.5 [11] Cho hình chóp S.ABCD và ABCD là hình bình hành Gọi
M là trung điểm của SC, (P ) là mặt phẳng qua AM và song song với BD Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P ).
Gọi O là giao của AC và BD; I là giao của AM và SO.
Vì (P )//DB suy ra giao tuyến của(P ) với (SDB) song song với DB.
Qua I dựng đường thẳng song song với DB, cắt SD và SB lần lượt tại F và
E Nối M E, M F, AE, AF ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ giác AEM F (Hình 1.17).
Hình chóp S.ABCD có trọng tâm tam giác ABC là G Các điểm N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn SC, CB, và BA Trọng tâm của tam giác SBC được ký hiệu là G0 Mục tiêu là xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi bị cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua đường thẳng GG0 và song song với cạnh BC.
Vì (α) //BC nên (α) cắt (ABCD) và (SBC) theo các giao tuyến qua G, qua G 0 và song song với BC.
Dựng đường thẳng qua G song song với BC, cắt
AB và AD lần lượt tại F và L Dựng đường thẳng qua G 0 song song với BC, cắt SB và SC lần lượt tại
Trong tam giác SAP có
3 (vì Gvà G 0 là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác SBC) Suy ra GG 0 //SA, GG 0 ∈ (α) ⇒ SA// (α).
Gọi K là giao của (α) với SD suy ra KL//SA (vì trong tam giác SAP có
GG 0 //SA) Dựng LK//SA, K thuộc SD và nối T F, IK ta được thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (α) là ngũ giác F LKST (Hình 1.18).
Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp Áp dụng Định lí 1.3, các Mệnh đề 1.4, 1.5 và các Hệ quả 1.1, 1.2 để xác định giao tuyến của (P ) với các mặt của hình khối.
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có mặt phẳng (α) đi qua tâm O của mặt ABCD, đồng thời song song với các cạnh B'D và BC Để xác định thiết diện của hình lập phương khi bị cắt bởi mặt phẳng (α), cần phân tích vị trí và hướng của mặt phẳng này trong không gian hình học.
Gọi R là giao của (α) với BB 0 , (α) //B 0 D nên
OR//B 0 D Gọi Q là giao của (α) với B 0 C 0 Vì
Dựng các đường thẳng qua điểm O song song với B0D để cắt B0B tại điểm R Từ R, vẽ đường thẳng song song với BC0, cắt các đoạn B0C0, BC, và CC0 lần lượt tại các điểm Q, I, K Tiếp theo, đường thẳng IO cắt AB và DC tại các điểm M và N Cuối cùng, đường thẳng KN cắt đoạn D0C0 tại điểm P.
Ta được thiết diện của hình lập phương cắt bởi
(α) là ngũ giác M N P QR (Hình 1.19).
Hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có trung điểm M của trung tuyến AI của đáy BC Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với AC 0 và B 0 C Cần xác định thiết diện của lăng trụ khi bị cắt bởi mặt phẳng (α).
Gọi M N là giao tuyến của (α) với (AIC 0 ), N thuộc IC 0 suy ra M N//AC 0 (vì (α) //AC 0 ) M là trung điểm của AI nên N là trung điểm của IC 0
Gọi K, H lần lượt là giao của (α) với B 0 C 0 và CC 0 , suy ra KH qua N và KH//CB 0 (vì KH thuộc (BCC 0 B 0 ) và (α) //CB 0 ).
Gọi R là giao của (α) với AC suy ra trong mặt phẳng (ACC’) có RH//AC’(vì (α)//AC’).
Gọi Q là giao của (α) với AB, suy ra Q thuộc đường thẳng M R (Đường thẳng M R là giao tuyến của (α) với (ABC )).
Gọi P là giao của (α) với A 0 B 0 suy ra P K//QR.
P Q là giao của (α) với (ABB 0 A 0 ).
Dựng đường thẳng qua M song song với AC 0 , cắt
C 0 I tại N Qua N dựng đường thẳng song song với
B 0 C cắt B 0 C 0 tại K và H, từ H dựng đường thẳng song song với AC 0 cắt AC tại R Đường thẳng RM cắt AB tại Q, và từ K, dựng đường thẳng song song với QR, cắt A 0 B 0 tại P Nối P và Q tạo thành thiết diện của (α) với lăng trụ ngũ giác P QRHK (Hình 1.20).
Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và vuông góc với một mặt phẳng
và vuông góc với một mặt phẳng
Phương pháp xác định mặt phẳng (P) dựa trên tính chất "Nếu đường thẳng d vuông góc với (P) thì d cũng vuông góc với mọi đường thẳng trong (P)" Đầu tiên, xác định đường thẳng d0 cắt d và nằm trong (P) Sau đó, áp dụng các quan hệ song song và vuông góc trong không gian để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình khối.
Để xác định thiết diện cần tìm, trước tiên ta cần xác định đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng đã cho Sau đó, áp dụng các phương pháp xác định thiết diện qua hai điểm, trong đó một điểm chứa một đường thẳng cho trước và điểm còn lại song song với đường thẳng a.
Ví dụ 1.4.9 [13] Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B;
Trong hình chóp S.ABC, mặt phẳng (P) chứa đoạn EM và vuông góc với mặt phẳng (SAB) sẽ tạo ra một thiết diện khi cắt qua hình chóp Gọi E là trung điểm của cạnh SC và M là một điểm thuộc cạnh AB Thiết diện này có thể được xác định bằng cách xem xét vị trí của các điểm và các mặt phẳng liên quan trong không gian.
Ta có SA⊥ (ABC ) ⇒ BC ⊥SA; BC⊥AB (theo đề bài) suy ra BC⊥ (SAB); BC và M E chéo nhau nên BC//(P ).
Gọi F là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng SB, từ đó suy ra F thuộc đường thẳng BC Vì E là trung điểm của đoạn SC, nên F cũng là trung điểm của đoạn SB Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng AC, do đó suy ra MN song song với BC.
Dựng đường thẳng qua M song song vớiBC, cắt
AC tại N Nối N E, M F, EF (F là trung điểm của
SB) ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ giác M N EF (Hình 1.21).
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Khi mặt phẳng (P) cắt hình chóp này qua tâm O của đáy ABCD và trung điểm của các cạnh, ta cần xác định thiết diện tạo thành từ phép cắt này.
M của SD và vuông góc với (ABCD).
Gọi E là giao của (P ) với AD suy ra EM//SA (vì
Trong hình vuông ABCD, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và M là trung điểm của đoạn SD, dẫn đến E cũng là trung điểm của đoạn AD Điểm O là tâm của hình vuông ABCD, do đó O cũng là trung điểm của đoạn AC, từ đó suy ra rằng đường thẳng EO đi qua trung điểm F của đoạn BC.
Gọi I là giao điểm của (P ) với SC suy ra OI//SA
(vì (P ) ⊥ (ABCD) và SA⊥ (ABCD)).
Trong tam giác SAC, OI//AS, O là trung điểm của AC nên I là trung điểm của SC.
Ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ giác M IF E (Hình 1.22), trong đó M, I, F, E lần lượt là trung điểm của SD, SC, BC, AD.
Mặt phẳng cắt qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng
Để xác định thiết diện cần tìm, chúng ta bắt đầu bằng cách xác định hai đường thẳng a và a 0 song song với đường thẳng đã cho Sau đó, chúng ta áp dụng phương pháp xác định thiết diện qua một điểm, song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song với một mặt phẳng.
Trong hình tứ diện SABC, với tam giác ABC là tam giác đều và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ta cần xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua trung điểm M của đoạn SC và vuông góc với đoạn AB.
Ta có SA⊥ (ABC ) ⇒ SA⊥AB (α) ⊥AB ⇒ (α) //SA.
Gọi K là trung điểm của AB Tam giác ABC đều nên CK vuông góc với AB suy ra (α) //CK.
Như vậy, bài toán trở thành xác định thiết diện của hình tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao của (α) với AC, AB, SB suy ra MN//SA, NP//CK, PQ//SA MQ là giao của (α) với (SBC).
Dựng đường thẳng qua M song song với SA, cắt AC tại
N; Đường thẳng qua N song song với CK, cắt AB tại P; Đường thẳng qua P song song với SA, cắt SB tại Q Nối
MQ ta được thiết diện là tứ giác M N P Q (Hình 1.23).
Trong hình tứ diện S.ABC với AB là tam giác đều và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), khi chọn một điểm M bất kỳ trên cạnh AC (với M khác A và C), mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với AC sẽ tạo ra thiết diện khác nhau Thiết diện này phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên AC.
Ta có SA⊥ (ABC ) ⇒ SA⊥AC⇒ (α) //SA Gọi I là trung điểm của AC, vì tam giác ABC đều nên BI ⊥AC mà (α) ⊥AC suy ra SA⊥AC.
Như vậy, bài toán trở thành xác định thiết diện của hình tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau.
* Trường hợp 1 M thuộc đoạn AI, (M 6= A, M 6= I) (Hình 1.24).
Khi đó, (α) cắt cạnh AB tại điểm N Ta có M N//IB (vì BI// (α)).
Gọi P, Q lần lượt là giao của (α) với SB và SC.Ta có N P//SA, M Q//SA (vì (α) //SA).
Dựng đường thẳng qua điểm M song song với BI, cắt AB tại điểm N Từ điểm M và N, dựng các đường thẳng song song với SA, cắt SC và SB tại các điểm Q và P Nối P và Q, ta thu được thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng (α), tạo thành tứ giác MNPQ.
Nhận xét: Vì M Q//N P (cùng song song với SA), M Q⊥ (ABC) ⇒ M Q⊥M N suy ra thiết diện M N P Q là hình thang vuông tại M và N.
* Trường hợp 2 M thuộc đoạn IC, M khác C (Hình 1.25).
Khi đó (α) cắt cạnh BC tại K Thực hiện tương tự như trong trường hợp
1, xác định được thiết diện là tam giác QM K Trong đó K thuộc cạnh BC, KM//BI, M Q//SA.
Nhận xét: Vì M Q⊥ (ABC) ⇒ M Q⊥KM suy ra thiết diện QM K là tam giác vuông tại M.
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ
Thống nhất một số ký hiệu thường dùng trong chương này:
- Ký hiệu diện tích là S (S ABCD là diện tích của đa giác ABCD).
- Ký hiệu thể tích là V (V ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 là thể tích của hình ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 ).
- Giá trị lớn nhất là max (max S ABCD là giá trị lớn nhất của diện tích hình ABCD).
- Giá trị nhỏ nhất là min (min S ABCD là giá trị nhỏ nhất của diện tích hìnhABCD).
Dạng bài tập liên quan đến diện tích của thiết diện
Tính diện tích thiết diện
Bài tập 2.1.1 yêu cầu xác định thiết diện của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh a, khi mặt phẳng (α) đi qua tâm O của mặt ABCD và song song với các cạnh B'D và BC Đầu tiên, cần xác định hình dạng của thiết diện mà mặt phẳng (α) cắt qua hình lập phương Sau đó, tính diện tích thiết diện này dựa trên độ dài cạnh a.
Lời giải. a) Xác định thiết diện
Theo ví dụ 1.4.7 (Mục 1.4.4), ta có thiết diện của hình lập phương cắt bởi (α) là ngũ giác M N P QR. b) Tính diện tích thiết diện
Ta có B 0 Q//BI nên tam giác B 0 QR đồng dạng với tam giác BIR suy ra
Trong tam giác BB 0 D có OR//B 0 D, O là trung điểm của BD nên R là trung điểm của BB 0
RB 0 = 1 ⇒IR= RQ, IB = B 0 Q, RB = RB 0 (1)
Xét tương tự có tam giác B 0 QR đồng dạng với tam giác C 0 QK suy ra
Trong tam giácIN K cóM R//KN (vì(ABB 0 A 0 ) // CDD 0 C 0
IM R đồng dạng với tam giác IN K với tỷ số
9 S IN K suy ra diện tích thiết diện M N P QK
Hai tam giác vuông ICN và KCN bằng nhau (c.g.c) suy ra N I = N K, suy ra tam giác IN K cân tại K.
O là tâm của hình vuông ABCD nên OM = ON, OB = OD, M OB\ = N OD[ (đối đỉnh) suy ra ∆M BO = ∆N DO (c.g.c) ⇒ M B = N D.
4 a. Trong tam giác vuông ICN có
Trong tam giác vuông BB 0 C 0 có BB 0 = B 0 C 0 = 1 và RQ là đường trung bình nên
2 Gọi H là trung điểm của IK suy ra
Bài tập 2.1.2 yêu cầu chứng minh rằng bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCD, và S.HDA tạo thành một hình chữ nhật Để thực hiện điều này, chúng ta cần lưu ý rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD với hai đường chéo vuông góc tại điểm H và SH vuông góc với đáy Việc chứng minh sẽ dựa trên tính chất hình học của các hình chóp và mối quan hệ giữa các tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Gọi H 1 , H 2 , H 3 , H 4 là hình chiếu vuông góc của H lần lượt trên AB, BC, CD,
Để chứng minh rằng hình chóp S.H1H2H3H4 có mặt cầu ngoại tiếp, ta cần xác định các điểm H1, H2, H3, H4 và đỉnh S Diện tích thiết diện của mặt cầu ngoại tiếp khi cắt bởi mặt phẳng (ABCD) có thể được tính dựa trên các thông số H1H3 = a, góc BAC = α, và góc BDC = β Việc tính toán này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình học không gian liên quan đến hình chóp và mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải (Hình 2.2) a) Gọi I 1 là trung điểm của AB và O 1 là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABH thì I 1 O 1 //SH và
Gọi I 2 , I 3 , I 4 theo thứ tự là trung điểm của BC,
CD,DAvàO 2 , O 3 , O 4 theo thứ tự là tâm các mặt cầu ngoại tiếp các hình chópS.HBC,S.HCD,S.HDAthì tương tự trên ta có I 2 O 2 , I 3 O 3 , I 4 O 4 cùng song song với SH và
Suy ra O 1 O 2 I 2 I 1 , O 3 O 4 I 4 I 3 , O 1 O 4 I 4 I 1 , O 2 O 3 I 3 I 2 là các hình bình hành do đó
Lại có I 1 I 2 //AC, I 2 I 3 //DB và AC⊥DB suy raO 1 O 2 ⊥O 2 O 3 Do vậy O 1 O 2 O 3 O 4 là hình chữ nhật. b) Vì H 1 , H 2 , H 3 , H 4 là hình chiếu vuông góc của H lần lượt trên AB, BC,
Trong hình học, khi có các tứ giác nội tiếp như HH 1 BH 2, HH 1 AH 4, HH 3 CH 2 và HH 3 DH 4, thì các góc nội tiếp chắn cùng một cung sẽ bằng nhau Điều này cho thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các tứ giác và các góc nội tiếp trong hình tròn.
HH 1 H 2 + HH\ 1 H 4 + HH\ 3 H 2 + HH\ 3 H 4 = HBC[ + HCB[ + HAD[ + HAD[ = 180 0
Suy ra H 1 H 2 H 3 H 4 là tứ giác nội tiếp nên hình chóp S.H 1 H 2 H 3 H 4 có mặt cầu ngoại tiếp.
Do đó thiết diện của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.H 1 H 2 H 3 H 4 cắt bởi mặt phẳng (ABCD) là hình tròn ngoại tiếp tứ giác H 1 H 2 H 3 H 4.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác H 1 H 2 H 3 H 4 , khi đó
2 sin (α + β) Vậy diện tích thiết diện cần tìm là
Bài tập 2.1.3 yêu cầu tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Có hai trường hợp cần tính diện tích thiết diện: trường hợp a) mặt phẳng (P) cắt qua SB và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 45 độ; trường hợp b) mặt phẳng (P) cắt qua AC và tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30 độ.
Hình 2.3. a) (P ) qua SB và hợp với (SAB ) một góc bằng 45 0 Để xác định mặt phẳng (P ) ta dựng mặt phẳng vuông góc với SB (Hình 2.3).
Ta có SA⊥ (ABCD) ⇒ SA⊥AD ABCD là hình vuông suy ra AD⊥AB ⇒ AD⊥ (ABS) ⇒ AD⊥SB.
SA = AB = a suy ra tam giác ABS cân tại A.
Gọi E là trung điểm củaSB suy ra AE⊥SB AE và
AD giao nhau tại A suy ra (ADE) ⊥SB.
Gọi F là trung điểm của SC suy ra
EF//BC//AD ⇒ EF ⊥ (ABS) ⇒ AEF[ = 90 0
Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng AD, từ đó suy ra rằng góc AEK bằng 45 độ do (P) hợp với (SAB) một góc 45 độ và (ADE) vuông góc với SB Kết quả là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) tạo thành một tam giác SBK.
Tam giác AEK vuông tại A suy ra tam giác AEK vuông cân tại A suy ra
Trong tam giác vuông ABS có
∆SAK = ∆BAK (c.g.c) ⇒ SK = BK suy ra tam giác SBK ⇒ KE ⊥SB.
Trong tam giác AEK có
Vậy diện tích thiết diện SBK là
2 b) (P ) qua AC và hợp với (ABCD) một góc 30 0 Để xác định mặt phẳng (P ) ta dựng mặt phẳng qua
O vuông góc với AC (Hình 2.4).
Vì ABCD là hình vuông nên ta có AC⊥BD.
Trong mặt phẳng (SAC), nếu SA⊥ (ABCD) thì AC⊥SA Từ đó, ta có thể suy ra rằng đường thẳng d vuông góc với AC tại điểm O sẽ song song với SA Khi O là trung điểm của AC, điều này dẫn đến việc d giao với SC tại điểm I, là trung điểm của SC Do đó, ta kết luận rằng (IOD) vuông góc với AC.
- Trường hợp 1 (P ) cắt đoạn ID tại H.
Vì mặt phẳng (P) qua điểm A và hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 30 độ, nên suy ra rằng [IOD = 30 độ, điều này cho thấy (P) trùng với mặt phẳng (ACH) Đường thẳng CH cắt SD tại điểm L, từ đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là tam giác ACL.
* Tính diện tích thiết diện:
Dựng GL//SA, G thuộc AD GQ//OD, Q thuộc AC.
Khi đó, GL//OI, GQ//OD⇒ (GQL) ⊥AC ⇒ LQ⊥AC ⇒ LQG[ = 30 0
Ta có SA = AD = a nên tam giácASD vuông cân tại A suy ra tam giác LGD vuông cân tại G.
ABCD là hình vuông nên tam giác AODvuông cân tại O, suy ra∆ODA đồng dạng với ∆GDL, do đó:
Trong tam giác vuông QGL có LQG[ = 30 0 suy ra
Trong tam giác vuông cân ABC, AB = a suy ra AC = a √
2 2 Suy ra diện tích thiết diện ACL là:
- Trường hợp 2 (P ) cắt đoạn IB tại H.
Khi đó L thuộc SB Thiết diện ACL chỉ thay đổi vị trí, diện tích thiết diện xác định như trong trường hợp 1 là
Bài tập 2.1.4 yêu cầu tính toán liên quan đến hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông Đầu tiên, cần xác định diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ Tiếp theo, xét mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy Cuối cùng, tính diện tích thiết diện của cả hình trụ và hình cầu ngoại tiếp khi bị cắt bởi mặt phẳng (P).
Lời giải (Hình 2.5) a) Giả sử thiết diện qua trục OO 0 của hình trụ là hình vuông ABCD Khi đó AB = AD = 2R.
Gọi O 1 là trung điểm của OO 0 thì mặt cầu tâm O 1 bán kính O 1 B là mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Xét tam giác vuông AO 1 B ta có O 1 B = R √
Suy ra diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ lần lượt là
2. b) Mặt phẳng (P ) song song vớiOO 0 nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằngAD, cạnh còn lại bằngR (theo giả thiết) Suy ra diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P ) là S 1 = AD.R = 2R.R = 2R 2
Khoảng cách từ tâm O1 của hình cầu ngoại tiếp hình trụ đến điểm P bằng khoảng cách từ O0 đến P, và cũng bằng O0I, trong đó I là trung điểm của dây cung theo giả thiết.
2 Thiết diện của mặt cầu ngoại tiếp hình trụ cắt bởi (P )là hình tròn ngoại tiếp thiết diện của hình trụ cắt bởi (P ) có bán kính là r. r 2 = O 1 B 2 − O 0 I 2 = 2R 2 − 3
Do đó thiết diện của mặt cầu ngoại tiếp hình trụ cắt vởi (P ) là
4 Bài tập 2.1.5 [13] Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 , đáy là tam giác đều cạnh bằng a; AA 0 vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA 0 = a √
2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A 0 C 0 Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 với mặt phẳng (P) qua M, N và vuông góc với mặt phẳng (BCC 0 B 0 ). Tính diện tích thiết diện.
* Xác định thiết diện của (P ) cắt lăng trụ:
Nhận xét: Để xác định (P ) vuông góc với (BCC 0 B ), trước hết ta tìm đường thẳng vuông góc với (BCC 0 B ).
Gọi I là điểm thuộc cạnh BC sao cho AI⊥BC suy ra I là trung điểm của BC (vì đáy ABC là tam giác đều), mà (ABC) ⊥ (BCC 0 B) ⇒ AI⊥ (BCC 0 B).
Gọi E thuộc BC sao cho M E//AI suy ra (M N I)trùng với (P ) (vì M N thuộc (M N I), (M N I)//AI ⊥ (BCC 0 B 0 )).
GọiJ là trung điểm củaB 0 C 0 , cũng có lập luận tương tự ta cóA 0 J⊥ (BCC 0 B).
QuaM dựng đường thẳng song song vớiAI, cắtBC tại
E; Qua N dựng đường thẳng song song với A 0 J, cắt B 0 C 0 tại F; Dựng đường thẳng EF cắt đường thẳngBB 0 tại H;
Dựng đường thẳng M H cắt AA 0 tại K; nối M E, KN ta được thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi (P ) là ngũ giác ngũ giác M EF N K.
* Tính diện tích thiết diện M EF N K:
Gọi D và O lần lượt là hình chiếu của N lên AC và củaF trênBC, ta có ngũ giác M EODA là hình chiếu của thiết diện M EF N K trên mặt đáy ABC.
Suy ra diện tích thiết diện M EF N K là
Ta có EM⊥ (BCC 0 B 0 ) ⇒ EM vuông góc với EF và EO Suy ra
Trong tam giác A0CJ, N là trung điểm của A0C0 và F là trung điểm của C0J do NF // A0J Đồng thời, D là trung điểm của AC và O là trung điểm của CI Trong tam giác ABI, M là trung điểm của AB và E là trung điểm của AI khi ME // AI.
BI I là trung điểm của BC nên
Tam giác F EO vuông tại O, OE = a
Ta có: S M EODA = S ABC − (S M BE + S ODC ), Trong đó:
Từ (1) và (2) suy ra suy ra diện tích thiết diện M EF N K là
Tính diện tích thiết diện thông qua diện tích hình chiếu trên đáy của lăng trụ giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả Dưới đây là một bài toán áp dụng phương pháp tương tự.
Bài tập 2.1.6 [13] Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a Gọi
M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và gọi P là điểm nằm trên cạnh
BB 0 sao cho BP = 3P B 0 Xác định và tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương.
Gọi I và J lần lượt là giao điểm của đường thẳng M N với các đường thẳng BA và BC. Đường thẳng P I cắt AA 0 tại K, đường thẳng
P J cắt CC 0 tại H Nối KM, HN ta được thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi (M N P ) là ngũ giác M N HP K (Hình 2.7).
Hình chiếu của thiết diệnM N HP K trên mặt phẳng (ABCD) chính là ngũ giác M N CBA Ta có diện tích thiết diện M N HP K là
Vì M N là giao tuyến của (M N HP K ) với (ABCD), M N//AC (M N là đường trung bình trong tam giác ACD) nên M N ⊥BD (ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC)
Lại có M N vuông góc với DD 0 suy ra M N ⊥ (M DD 0 B 0 ) ⇒ M N ⊥P E Suy ra
Trong tam giác vuông P BE có P E 2 = BP 2 + BE 2 , trong đó:
4 a, và BE = BD − DE = BD − 1
4 (vì M N là đường trung bình trong tam giác ACD) suy ra
Ta có S M N CBA = S ABCD − S DM N = a 2 − 1
8 Suy ra suy ra diện tích thiết diện M N HP K là
Bài tập 2.1.7 yêu cầu tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 với cạnh đáy a và chiều cao h khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong hai trường hợp Trường hợp đầu tiên, mặt phẳng (P) đi qua điểm A0 và trung điểm I của đoạn AB, đồng thời vuông góc với mặt phẳng (BCC0B0) Trường hợp thứ hai, mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với cạnh BC và vuông góc với mặt phẳng (A0BC).
Lời giải. a)(P )quaA 0 , trung điểmI củaABvà(P )vuông góc với mặt phẳng(BCC 0 B 0 ).
Nhận xét: Để xác định (P ) vuông góc với (BCC 0 B ), trước hết ta tìm đường thẳng vuông góc với (BCC 0 B ).
Dựng đường thẳng AE vuông góc với BC tại E suy ra E là trung điểm của
BC (vì ABC là tam giác đều) AE⊥ (BCC 0 B 0 ) vì (BCC 0 B 0 ) ⊥ (ABC ).
Qua I dựng đường thẳng song song với AE, cắt
BC tại J suy ra IJ ⊥ (BCC 0 B 0 ).
Suy ra (P )trùng với (A 0 IJ ) Gọi E 0 là trung điểm của B 0 C 0 , lập luận tương tự ta có A 0 E 0 ⊥ (BCC 0 B 0 )
Nối IA 0 , J E 0 ta được thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi (P ) là tứ giác A 0 E 0 J I (Hình 2.8).
Vì (P ) ⊥ (BCC 0 B 0 ) suy ra IJ và A 0 E 0 cùng vuông góc với E 0 J nên thiết diện A 0 E 0 J I là hình thang vuông tại E 0 và J.
Trong hai đáy là tam giác đều cạnh a ta có
Suy ra diện tích thiết diện A 0 E 0 J I là
32 b) (P ) qua A, song song với BC và vuông góc với (A 0 BC).
Gọi I là giao của(P )với đường thẳng EE 0 (E và E 0 là trung điểm của BC và
Nhận xét: Nếu EI ≤ EE 0 thì (P ) cắt đoạn EE 0 , nếu EI > EE 0 thì (P ) không cắt đoạn EE 0
Hình lăng trụ có hai đáy là tam giác đều nên A 0 B = A 0 C do đó A 0 BC là tam giác cân.
(P ) ⊥ (A 0 BC) , (P ) //BC ⇒ A 0 E⊥AI ⇒ IAEd = EA[ 0 A (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) suy ra
EI = AE tan IAEd = AE tan EA[ 0 A = AE AE
* Trường hợp 1 (P ) cắt đoạn EE 0 , h ≥ a √
Tìm điều kiện để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài tập 2.1.14 [13] Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a √
3 M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB, cắt AB tại M Tính diện tích của thiết diện của tứ diện cắt bởi (α) theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất.
SA⊥ (ABC) ⇒ SA⊥AB; (α) ⊥AB ⇒ (α) //SA.
Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên BC⊥AB suy ra (α) //BC.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của(α)với AC,
M N//BC, M Q//SA, QP//BC, P N//SA(Hình 2.17).
Suy ra thiết diện S.ABC cắt bởi (α) là hình bình hành M N P Q.
Vì M Q//SA⊥M N ⇒ M Q⊥M N ⇒ QM N\ = 90 0 , suy ra thiết diện M N P Q là hình chữ nhật.
Trong tam giác ABS có
Trong tam giác ABC có
Suy ra diện tích thiết diện M N P Q là: S M N P Q = M N.M Q = √
Vì 0 < x < a ⇒ a − x > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x (a − x) ≤ x + a − x
4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = a − x ⇒ x = a
Vậy diện tích thiết diện M N P Q là S M N P Q = √
3.x (a − x); Thiết diện có diện tích lớn nhất bằng √ 3 a 2
4 , khi đó M là trung điểm của AB.
Trong bài tập 2.1.15, chúng ta có một hình nón với bán kính đáy R và chiều cao h Nhiệm vụ là xác định mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón, cắt hình nón tạo thành một thiết diện có diện tích lớn nhất Cuối cùng, cần tính toán diện tích lớn nhất của thiết diện này.
Gọi AB là một đường kính đáy hình nón O là tâm của đáy hình nón.
Mặt phẳng qua đỉnh cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân SAM có SA = SM = √ h 2 + R 2 (không đổi).
Ta có diện tích thiết diện SAM là
Do đó diện tích thiết diện lớn nhất khi và chỉ khi sin ASM[ lớn nhất.
- Nếu ASB b > c, một mặt phẳng (α) song song với hai cạnh đối sẽ cắt tứ diện tạo thành một thiết diện có chu vi p và diện tích S Để tìm p và định hướng của mặt phẳng (α) sao cho diện tích S đạt giá trị lớn nhất, ta cần thực hiện các tính toán phù hợp để xác định diện tích lớn nhất này.
Nhận xét: Vì tứ diện có 3 cặp cạnh đối nên có 3 trường hợp.
* Trường hợp 1 (α) song song với AB và CD.
(α) song song với hai cạnh đối AB, CD và cắt tứ diện nên sẽ cắt các cạnh BC, BD, AD, AC của tứ diện.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao của (α) với các cạnh BC, BD, AD, AC ta có thiết diện của tứ diện cắt bởi (α) là tứ giác M N P Q (Hình 2.24).
Suy ra M N, N P, P Q, QM lần lượt là các giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (BCD), (ABD),
Vì M N song song với P Q và A B song song với N P, suy ra M N P Q là hình bình hành Đặt BM = x (0 < x < b) và áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác BCD và tam giác ABC, ta có kết quả tương ứng.
CB = a (b − x) b Suy ra chu vi của thiết diện M N P Q là p = 2 (M N + M Q) = 2 ax b + a (b − x) b
Diện tích thiết diện M N P Q là
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, AD.
EF//AB, EG//CD ⇒ (AB, CD) = (EF, EG) ⇒ cos (AB, CD) = | cos F EG|.[ Để xác định cos F EG[, ta tính độ dài các cạnh của tam giác F EG.
Vì E, F, G là trung điểm của các cạnh AC, BC, AD, nên các đoạn thẳng FE và EG là các đường trung bình trong tam giác ABC và tam giác ACD.
Ta có hai tam giác ABC và DBC bằng nhau (c.c.c) suy ra AF = DF suy ra
Trong tam giác cân FAD, GF là đường trung tuyến và AD là đường cao, từ đó suy ra F G^2 = AF^2 - AG^2 Áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác ABC, chúng ta có thể rút ra các mối quan hệ quan trọng giữa các cạnh và đường trung tuyến.
Suy ra trong tam giác F EG ta có cos F EG[ = F E 2 + EG 2 − F G 2
⇒ cos (AB, CD) = | cos F EG|[ = b 2 − c 2 a 2
Thực hiện tương tự ta có:
* Trường hợp 2 (α) song song với AD và BC: p = 2b.
* Trường hợp 3 (α) song song với AC và BD: p = 2c.
Vì a > b > c nên S 1 > S 2 và S 1 > S 3 suy ra S lớn nhất khi S = S 1 , khi đó
2 Vậy, diện tích thiết diện M N P Q lớn nhất khi (α) song song với AB, CD và đi qua trung điểm của BC Khi đó
Bài tập 2.1.21 [Thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thành phố Đà Nẵng năm học 2010 - 2011]
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0, với điểm M nằm trên cạnh AB và khác A, B Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD0) Để dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P), cần xác định giao điểm giữa mặt phẳng (P) và các cạnh của hình hộp Để thiết diện này có diện tích lớn nhất, vị trí của điểm M cần được xác định sao cho khoảng cách từ M đến các cạnh của hình hộp là tối ưu, từ đó tạo ra một hình dạng thiết diện có diện tích tối đa.
Hình 2.25. a) Vì(P )qua M và(P )//(ACD 0 )nên ta dễ dàng xác định được thiết diện của hình hộp cắt bởi (P ) như sau:
QuaM dựng đường thẳng song song với
AC, cắt các đường thẳng BC, AD và DC lần lượt tại N, J và K.
Qua J dựng đường thẳng song song với
AD 0 , cắt các đường thẳng AA 0 , A 0 D 0 và
DD 0 lần lượt tại S, R và I.
Dựng đường thẳng IK cắt CC 0 và D 0 C 0 lần lượt tại P và Q.
Nối N P, QR, SM ta được thiết diện là lục giác M N P QRS. b) Ta có:
Lại có các tam giác IRQ, SJ M, P N K đồng dạng (vì có các cạnh tương ứng song song).
Suy ra ∆IRQ = ∆SJ M = ∆P N K ⇒ S ∆IRQ = S ∆SJ M = S ∆P N K = S 1
Gọi diện tích các tam giác J KI, ACD 0 lần lượt là S 2 , S.
∆J SM đồng dạng với ∆AD 0 C nên
∆J AM đồng dạng với ∆ADC suy ra
∆J IK đồng dạng với ∆AD 0 C nên
Ta có diện tích thiết diện S M N P QRS = S 2 − 3S 1
(dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi k = 1
Vậy thiết diệnM N P QRS có diện tíchS M N P QRS lớn nhất khi và chỉ khik = 1
2,khi đó M là trung điểm của AB.
Bài tập 2.1.22 đề cập đến hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang cân, trong đó AD song song với BC và BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC là tam giác đều, và O là giao điểm của AC và BD, với SD vuông góc với AC Câu a yêu cầu tính giá trị của SD Câu b yêu cầu xác định mặt phẳng (α) đi qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D; M D = x) và song song với hai đường thẳng SD và AC, đồng thời tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) và giá trị x để diện tích thiết diện đạt cực đại.
Hình 2.26. a) Dễ thấy đáy ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh a, do đó ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra BAC[ = 90 0 (góc nội tiếp, chắn nửa đường tròn), ta có
Kẻ DT //AC (T thuộc BC), ta có
CT = AD = a và DT ⊥SD vuông góc SD
Xét tam giác SCT có SC = 2a, CT = a, SCT[ = 120 0 (góc ngoài tam giác đều SBC) có
CT 2 + SC 2 − 2CT.SC cos SCT[= a √
Xét tam giác vuông SDT có
ST 2 − DT 2 = 2a. b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N, P.
Qua M, N, P, ta kẻ các đường thẳng song song với SD, cắt SB, SA, SC tại các điểm K, J, Q Nối J K và K Q, ta nhận được thiết diện của hình chóp S.ABCD khi bị mặt phẳng (α) cắt, tạo thành ngũ giác N P Q K J.
Vì N J, M K, P Q cùng vuông góc với N P nên M N KJ và M P QK là các hình thang vuông tại M, N, P.
Ta có diện tích thiết diện S N P QKJ = S N M KJ + S M P QK
Vì tam giác ADC cân tại D, N P//AC nên AN = P C N J//SD và P Q//SD nên
Vì ABCD là nửa lục giác đều nên
6 = 30 0 Suy ra trong tam giác vuông ODC có
Vì N P//AC, N J//SD và KM//SD nên ta có:
Do đó diện tích thiết diện N P QKJ lớn nhất bằng 3