Không gian Sobolev
Không gian L 2 (Ω)
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R n , x= (x 1 ,x 2 , ,xn) ∈ Ω với tích vô hướng
Ω f(x)g(x)dx. và chuẩn tương ứng kfk L
Không gian W 2 m (Ω)
Giả sử \( \Omega \) là một miền trong không gian tự nhiên, không gian Sobolev \( W^{2}_{m}(\Omega) \) bao gồm tất cả các hàm \( u(x) \in L^{2}(\Omega) \) mà tất cả các đạo hàm suy rộng theo \( x \) đến cấp \( m \) đều thuộc \( L^{2}(\Omega) \) Không gian \( W^{2}_{m}(\Omega) \) được xem là một không gian Banach với chuẩn được định nghĩa bởi \( \|u\|_{W^{2}_{m}} \).
|D α u| 2 dx (1.1) trong đó α = (α 1 ,α 2 , ,αn)∈N n là đa chỉ số;
Không khó khăn khi có thể kiểm traW 2 m (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
Không gian W m,` (Q T )
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n với biên ∂Ω và T =const>0.
Q T =Ω×(0,T) ={(x,t):x∈Ω,t ∈(0;T)} và được gọi là miền trụ đáyΩ.
Giả sử \(W^{m,\ell}(Q_T)\) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm \(u(x,t) \in L^2(Q_T)\), trong đó tất cả các đạo hàm suy rộng theo \(x\) đến cấp \(m\) và theo \(t\) đến cấp \(\ell\) đều thuộc \(L^2(Q_T)\) Không gian \(W^{m,\ell}(Q_T)\) là một không gian Banach với chuẩn \(||\cdot||_{W^{m,\ell}(Q_T)}\).
Trong trường hợp số hạng thứ hai trong vế phải của (1.2) bằng 0, ta coi như nó không tồn tại Việc kiểm tra W 2 m,` (Q T ) là một không gian Hilbert với tích vô hướng không gặp khó khăn.
Bất đẳng thức tích phân
Giả sử y(t) là hàm không âm và hoàn toàn liên tục trên khoảng [0,T], với hầu hết các t trong [0,T] thỏa mãn bất đẳng thức dy(t)/dt ≤ c1(t)y(t) + c2(t), trong đó ci(t) là khả tích không âm trên [0,T] Khi đó, với mọi t trong khoảng 0 ≤ t ≤ T, ta có thể đánh giá y(t) bằng bất đẳng thức y(t) ≤ exp.
Thật vậy, nếu ta nhân (1.3) vớiexp
− R 0 t c 1 (t)dt , ta có thể viết kết quả dưới dạng d dt y(t)exp
(1.5) và nếu ta tích phân hai vế của (1.5) từ0đếnt thì sẽ suy ra (1.4).
Nếuc 1 (t) =c 1 =const>0vàc 2 (ã) là một hàm số khụng giảm trờnt thỡ từ (1.2) và (1.4) ta có các bất đẳng thức sau y 0 (t)≤e c 1 1 t [c 1 y(0) +c 2 (t)] y(t)≤e c 1 1 t y(0) +c − 1 1 c 2 (t)[e c 1 t −1] (1.6)
Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic
Phương trình truyền nhiệt
Khái niệm phương trình parabolic
Giả sửΩlà một miền bị chặn trongR n+1 ,x= (x 1 ,x 2 , ,xn,xn+1)∈Ω. Như chúng ta đã biết, phương trình
Phương trình (2.1) được gọi là parabolic tại điểm x₀ nếu trong tọa độ mới yᵢ, với i=1,2, ,n,n+1, có thể chuyển đổi về dạng (2.2), trong đó một trong các hệ số λₖ(x₀) bằng 0, và các hệ số còn lại khác không có dấu giống nhau, đồng thời bₙ₊₁(x₀) khác không Khi chia (2.2) cho bₙ₊₁(x₀), ta thu được phương trình dạng (2.3), thể hiện mối quan hệ giữa các biến số u và f.
Nếu \( a_k(x_0) < 0 \) với \( k = 1, \ldots, n \), thì phương trình (2.3) được gọi là dạng chuẩn parabolic Ngược lại, nếu \( a_k(x_0) > 0 \), ta có thể đổi hướng của \( y_{n+1} \) và nhân (2.3) với \((-1)\) để nhận được một phương trình parabolic dạng chuẩn Khi (2.1) là parabolic tại tất cả các điểm \( x \in \Omega \), ta nói rằng phương trình này là parabolic trong miền đó Nếu các hệ số của \( M \) là hàm số trơn và (2.1) là parabolic, thì trong một miền nhỏ xung quanh bất kỳ điểm nào, phương trình có thể được đưa về dạng \( u_{y_{n+1}} - n \).
Trong phương trình (2.4), biến số y n+1 được coi là ngoại lệ trong việc mô tả hiện tượng truyền nhiệt, với y n+1 tương ứng với thời gian t Các biến số còn lại y 1, , y n thể hiện vị trí của điểm trong miền của bài toán vật lý Ngoài ra, dạng tổng ∑ n i, j=1 bi jξiξj là xác định dương, cho thấy tính chất tích cực của các biến số trong mô hình Chúng ta sẽ xem xét phương trình parabolic đã được đưa về dạng (2.4) để phân tích sâu hơn.
Trong luận văn ta xét phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn sau
Nếu các hàm j và a là khả vi, thì phương trình (2.5) có thể chuyển đổi thành dạng (2.4) Ngược lại, nếu các hàm bi là khả vi, thì (2.4) cũng có thể được viết lại dưới dạng (2.5).
Dạng của phương trình truyền nhiệt
Giả sửΩlà miền giới nội trongR n với biênS=∂Ω Với T >0ta đặt
Một trường hợp đặc biệt của (2.5) là phương trình truyền nhiệt u t − n
Phương trình (2.6) khi xét dưới dạng bảo toàn (2.5) vì ta có thể viết lại nó dưới dạng u t − n i=1 ∑
Phương trình f(x,t) (2.7) với ai = 0, bi = 0, a = 0 và fi = 0, trong đó δij là ký hiệu Kronecker, mô tả quá trình truyền nhiệt trong miền Ω trong Rn Các bài toán liên quan đến phương trình (2.5) là những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu này.
(1) Bài toán Cauchy: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn (2.5) với x ∈ R n và t >0và thỏa mãn khit =0điều kiện ban đầu u| t=0 =ϕ(x) (2.8)
(2) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn (2.5) trong Q T với điều kiện ban đầu u| t=0 =ϕ(x), x∈Ω (2.9) và đối với tất cảt ∈[0,T], điều kiện biên u| S T =ψ(x,t) (2.10)
Miền Q T được gọi một cách tự nhiên là hình trụ, mặt xung quanh của nóS T =S×[0,T]và đáy dưới của nó là tập hợp{(x,t):x∈Ω,t =0}.
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất yêu cầu tìm nghiệm của phương trình (2.5) trong hình trụ QT, đồng thời đảm bảo nghiệm này phù hợp với các hàm số đã cho ϕ và ψ trên đáy dưới của QT và trên mặt bên ST.
Nghiệm suy rộng thuộc W 2,0 ∆,1 (Q T ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất
trị ban đầu thứ nhất
Với kí hiệu∆u≡∑ n j=1 ux j x i , ta xét phương trình truyền nhiệt
Bài toán biên-giá trị ban đầu bao gồm tìm nghiệmu(x,t) trong miền bị chặn
Q T =Ω×(0,T) thỏa mãn điều kiện ban đầu u| t=0 =ϕ(x) (2.12) và điều kiện biên: u| S T =0 (2.13)
Dựa vào tài liệu [1] luận văn sẽ trình bày ba loại nghiệm suy rộng cho bài toán (2.11)-(2.13) Ta bắt đầu với nghiệm suy rộng thuộc không gian
Ta đưa vào không gian HilbertW 2 ∆,1 (Q T ) mà các phần tử u(x,t) của nó thuộc L 2 (Q T ) cùng với u t và u x , và có trong Q T các đạo hàm suy rộng u xx và chuẩn hữu hạn
Tích vô hướng trongW 2 ∆,1 (Q T ) được xác định bởi
Trước hết ta viết số hạng tự do f+∂f i
Nghiệm suy rộng của bài toán (2.11)-(2.13) trong không gian W 2 ∆,1 (Q T ) là hàm số u(x,t) thuộc W 2,0 ∆,1 (Q T ) thỏa mãn điều kiện (2.11) hầu khắp trong Q T và bằng ϕ(x) khi t = 0 Điều này có thể hiểu là khoảng cách giữa ku(ã,t)−ϕ(ã)k 2,Ω sẽ tiến gần về 0 khi t tiến về 0 Hơn nữa, các hàm trong W 2,0 ∆,1 (Q T ) được xác định cho tất cả t ∈ [0,T] cũng thuộc L 2 (Q T ) và thậm chí thuộc W 2 1 (Q T ), đồng thời liên tục theo t trong chuẩn của L 2 (Ω) và W 2 1 (Q T ).
Chúng ta phát biểu lại bài toán (2.11)-(2.13) với f +∂f i
≡F khi xét bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử
Au={F;ϕ} (2.16) ở đóA là toán tử sau đây
Ta xem xét toán tử không bị chặn từ không gian L²(QT) đến không gian Hilbert W, được xác định như là tích của L²(QT) và W²₁(Ω) Các phần tử trong W là các cặp {f, ψ} với f thuộc L²(QT) và ψ thuộc W²₁(Ω), trong đó tích vô hướng được xác định bởi f₀; ψ₀ và f₀₀; ψ₀₀ trong không gian W.
Ω ψ 0 x ψ 00 x dx (2.18) Đối với miền xác định D(A) của A, ta lấy các phần tử của dạng ψ(x) +
0X(x,t)dt, ở đú ψ ∈ D(∆), X(ã,t) ∈ D(∆) đối với hầu hết tất cả t trong
[0,T]và∆X ∈L 2 (Q T ) Ở đây, bởiD(∆)ta muốn nói tập hợp các nghiệm suy rộng trongW 2 1 (Ω) của bài toán
Nếu f(x) = fˆ(x,t), fˆ ∈ L 2 (Q T ), thì nghiệm u(x,ˆ t) của (2.19) là ở trong
L 2 (Q T ) đi cùng với uˆ x , đạo hàm uˆ xx tồn tại và là bình phương khả tích trên
Q 0 T =Q 0 (0,T)đối với tất cả Ω 0 ⊂Ω, đối với uˆ và tất cảv∈W 2 1,0 (Q T )ta có
Q T uvb x dxdt, (2.20) và phương trình ∆ub=∑ n n=1 ubx j x j = bf thỏa mãn với tất cả (x,t) ∈ QT Hơn nữa nếu f = R 0 t fb(x,t)dt thì lời giải u(x,t) của (2.19) là tương đương với
0 ∆u(x,b t)dt Z t 0 fb(x,t)dt, vàu(ã,t) sẽ là một phần tử củaW 2 1 (Q T ) mà liờn tục trongt (trong chuẩn của không gian này).
Theo quan điểm này, các phần tử v(x,t) = ψ(x) + ∫₀¹ X(x,t)dt nằm trong D(∆) cho mọi t ∈ [0,T] Đạo hàm ∆v được xác định là ∆ψ + ∫₀ᵗ X(x)dt, và các phần tử này thuộc không gian C([0,T],L²(Ω)) Hơn nữa, v_xt cũng thuộc L²(Q_T) Toán tử A trên v(x,t) có thể được biểu diễn như sau:
Rất dễ để thấy rằng tập D(A) trù mật trongL 2 (Q T ).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng toán tử A là mở rộng được bằng cách chỉ ra rằng nó được thực hiện từ một định lý trong lý thuyết toán tử không bị chặn Toán tử mở rộng A ∗ của A được xác định trên tập hợp trù mật Để kiểm tra khẳng định này, nếu v m ≡ D(A) với m = 1, 2, , và v m → 0 trong chuẩn của L 2(Q T), đồng thời Av m ≡ {f m, ϕm} → {f, ϕ} trong chuẩn của W, thì f ≡ ϕ ≡ 0 Để chứng minh điều này, ta lấy hàm số phẳng đầy đủ η(x,t) bằng 0 trên S T và xét tích phân R Q T M 0(v m)η dx dt, sau đó tính tích phân từng phần.
Ta có thể có được giới hạn khim→∞ để có
Đối với hàm η(x,t) với các đặc tính đã chỉ ra, ta có thể kết luận rằng f và ϕ đều bằng 0, từ đó toán tử A được mở rộng thành A Để mô tả miền xác định D(A) và tính toán A trên các phần tử của D(A), ta sẽ chứng minh đẳng thức sau đối với M 0: kv x (ã,t)k 2 2,Ω +.
(2.22) là đúng Ở đâyv(x,t)là một phần tử bất kỳ củaD(A) vàt là số nào đó trong
[0,T]. Đẳng thức (2.24) được suy ra từ hệ thức sau
Từ (2.22) suy ra rằng sự hội tụ của Av m và v m trong miền D(A) trong không gian W dẫn đến sự hội tụ của vn theo chuẩn của W 2 ∆,1 (Q T) và trong chuẩn sup 0≤t≤T kã k (1) 2,Ω Điều này chứng minh rằng các phần tử trong miền xác định mới không kém hơn nhiều so với các phần tử trong miền xác định cũ thuộc W 2,0 ∆,1 (Q T) và phụ thuộc liên tục vào chuẩn của W ◦ 1 2 (Ω) Định lý 2.1 cho thấy rằng nếu Ω là miền bị chặn, thì bài toán (2.11)-(2.13) có duy nhất nghiệm u(x,t) trong W 2,0 ∆,1 (Q T) khi F = f + ∂ f i.
W 1 2 (Ω) Hơn nữa, nghiệm u(x,t) là phụ thuộc liên tục vàot theo chuẩn của
Chứng minh Ta sẽ chứng minh R(A) không có phần bù trực giao trongW, tức là từ đồng nhất thức:
Q T ψxvx(x,0)dx =0, (2.23) suy raw ≡0vàψ ≡0, ở đó vbất kỳ,v∈D(A)và {w;ψ} ∈W Lấy v(x,t) Z t t 1 ∆ −1 (x,t)dxdt, t ∈[0,T].
(∆v) 2 dx t=T t=t 1 =0 (2.24) Khi∆v| t=t 1 =0vàt 1 bất kỳ, vxt =0trongQT Vì vậy đồng nhất thức có dạng
Ω ψxv x (x,0)dx=0, với mọiv(x,0) trong D(∆) (2.25)
Vì ψ ∈W 2 1 (Ω) và D(∆)| t=0 là trù mật trong W 2 1 (Ω) nên suy ra ψ ≡ 0 và R(A) =W Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.1 Giả sửΩlà hình cầu đơn vị Để thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1 ta có thể chọn các hàm như sau f(x) = 1 p4
Nghiệm suy rộng thuộc L 2 (Q T ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất
Trong phần này, luận văn giới thiệu loại nghiệm suy rộng thứ hai của bài toán (2.11)-(2.13) Theo Định nghĩa 2.1, nghiệm suy rộng thuộc L²(Q_T) của bài toán này là hàm số u(x,t)∈L²(Q_T) và phải thỏa mãn một đồng nhất thức nhất định.
(−fη+ f i ηxi)dxdt (2.26) với mọiη ∈W 2,0 ∆,1 (Q T ) thỏa mãn η(x,T) =0.
Từ đây về sau nếu trong một biểu thức ta gặp chỉ số lặp thì cần lấy tổng theo chỉ số lặp đó từ1đến n.
Nếu u là một nghiệm suy rộng trong L²(Q_T) của bài toán (2.11)-(2.13) với f = fi = ϕ = 0, thì từ đồng nhất thức (2.26) suy ra u ≡ 0 Khi thay t bằng -t, đồng nhất thức trở thành dạng (2.25) với ϕ ≡ 0 Ở đây, u đóng vai trò của v và η của v, với tập hợp η trong (2.21) lớn hơn số v trong (2.25) Từ đó, kết hợp với (2.25), w triệt tiêu cho phép u ≡ 0 nếu ϕ, f và fi bằng 0 trong (2.26) Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng bài toán (2.11)-(2.13) không thể có hơn một nghiệm suy rộng trong L²(Q_T).
Mọi phần tử u thuộc W²₀(Δ,₁(Qₜ)) đều thuộc W²₁(Ω) Hơn nữa, hàm u(x,t) là một hàm liên tục tuyệt đối theo chuẩn của W²₁(Qₜ), và ta có ku_x(ã,t)k²₂,Ω = ku_x(ã,0)k²₂,Ω - 2.
Các thuộc tính của các phần tử trong không gian W 2,0 ∆,1 (Q T ) với đạo hàm tx ∈ L 2 (Q T ) và toàn bộ M của tất cả đạo hàm như vậy là trù mật trong W 2,0 ∆,1 (Q T ) Những thuộc tính này vẫn được duy trì trong kết luận của M trong không gian Banach.
Cỏc chuẩn này tương đương trờn M với chuẩn k ã k (∆,1) 2,Q
T khi đối với tất cả u∈M và đối với bất kỳ hàm số trơn nào trênζ(t) ku x (ã,t)ζ(t)k 2 2,Ω − ku x (ã,t)ζ(t 1 )k 2 2,Ω
Do đó ta suy ra sup
Nghiệm suy rộng thuộc V 2 1,0 (Q T ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất
trị ban đầu thứ nhất
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày loại nghiệm suy rộng thứ ba Bây giờ chúng ta xét bài toán (2.11) - (2.13) với ϕ ∈L 2 (Ω), fi∈ L 2 (Q T ) và f ∈
L 2,1 (Q T ) Trong đó, không gian L q,r (Q T ) bao gồm các hàm thuộc L 2 (Q T ) với chuẩn xác định kuk q,r,Q T Z T 0
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp này nghiệm thuộc W 2 1,0 (Q T ) và thỏa mãn quan hệ năng lượng (phương trình cân bằng năng lượng) sau đây
Nghiệm suy rộng của bài toán (2.11)-(2.13) trong không gian V 2 1,0 (Q T ) được định nghĩa cho tất cả t ∈ [0,T] và được gọi là nghiệm suy rộng năng lượng Những nghiệm này không chỉ thỏa mãn phương trình (2.11) mà còn đáp ứng điều kiện ban đầu của (2.12) theo nghĩa của đồng nhất thức tích phân.
(fη− f i η xi )dxdt, (2.28) mà được thỏa mãn với tất cả t ∈ [0,T] và tất cả η ∈W 2,0 1 (Q T ) Thực tế là đối với u∈V 2 1,0 (Q T ) thì điều kiện biên (2.13) được thỏa mãn Ta nhắc lại
W 2,0 1 (Q T )bao gồm tất cả các phần tửv∈W 2 1,0 (Q T )vt trongL 2 (Q T ) Tích vô hướng trongW 2,0 1 (Q T )
(uv+u t v t +u x v x )dxdt và chuẩn đó được bao hàm k ã k (1,1) 2,Q
T Đồng nhất thức (2.28) có thể viết dưới dạng
∂x i ηdxdt (2.29) với mọi η ở trong W 2,0 1 (Q T ) Phương trình năng lượng có thể đạt được từ đẳng thức
Bằng cách hợp nhất các phần tử và sử dụng cơ sở lập luận rằngutriệt tiêu trên
Định nghĩa về nghiệm suy rộng của (2.11)-(2.13) trong V 2 1,0 (Q T ) tồn tại trong W 2,0 ∆,1 (Q T ), với sự khác biệt rõ ràng giữa khái niệm nghiệm suy rộng và định nghĩa trong chương 2 Nghiệm suy rộng tương đương với các biểu thức ϕ = ϕ 0 + ϕ 00, f = f 0 + f 00 và f i = f 0 i + f 00 i Tuy nhiên, không gian véc tơ liên quan (2.28) không chỉ ra rằng u 0 + u 00 chứa bất kỳ khi nào có u 0 và u 00 Lý luận từ Định lý 2.2 sẽ giúp chúng ta chứng minh rằng (2.28) thực sự chứa u 0 + u 00, và công việc này sẽ được làm rõ trong phần tiếp theo khi nghiên cứu phương trình với hệ số biến số, trong đó (2.30) sẽ được áp dụng một cách thực chất.
Từ phương trình (2.30), chúng ta có thể xác định phương trình cân bằng năng lượng cho nghiệm tương ứng với chuẩn |u| Q T Để thực hiện điều này, cần đánh giá chặn trên cho vế phải của phương trình (2.30) bằng đại lượng thích hợp.
!1/2 và nhận được từ (2.30) hai đánh giá sau:
0≤t≤Tmax kuk 2 2,Ω ≤2 maxkuk 2,1,Q t +2kFk 2,Q t ku x k 2,Q t +ku(ã,0)k 2 2,Ω , (2.31) ku x k 2 2,Q t ≤ max
(2.32) Chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế (2.31) và (2.32) Sau đó ở vế phải, chỳng ta thay thế max 0≤t≤T kuk 2,Ω , ku x k 2,Q t và ku(ã,0)k 2,Ω bằng số lớn
T từ bất đẳng thức có được:
(2.33) Định lí 2.3 Bài toán (2.11)-(2.13) có một nghiệm suy rộng duy nhất trong
Sự duy nhất trong V 2 1,0 (Q T ) được chứng minh là hệ quả của Định lý 2.3 Để chứng minh sự tồn tại, chúng ta ước lượng hàm số ϕ trong chuẩn của L 2 (Ω) bằng hàm số ϕm, với m = 1, 2, từ W 2 1 (Ω) Đồng thời, hàm số f trong chuẩn của L 2,1 (Q T ) cũng được ước lượng bằng hàm số f m, với m = 1, 2, từ L 2 (Q T ) Cuối cùng, hàm số f i trong chuẩn L 2 (Q T ) được ước lượng bởi hàm số f im, với m = 1, 2, từ W 2 1,0 (Q T ).
Từ Định lý 2.2 bài toán (2.11)-(2.13) có nghiệm u m trong W 2,0 ∆,1 (Q T ) tương ứng với ϕm và F m = f m +∂f im /∂x i Các hiệu u m −u p và F m −F p sẽ thỏa mãn bất đẳng thức sau:
. Điều này chứng tỏ rằng{u m }hội tụ theo chuẩn củaV 2 1,0 (Q T ) DoV 2 1,0 (Q T ) là đầy đủ, tồn tại hàm số giới hạn u của {u m } ở trong V 2 1,0 (Q T ) Hơn nữa
(2.29)-(2.30) chứa u, một cơ sở lí luận mà được giới hạn khi m→∞ Điều này chứng minh Định lý 2.3.
Nhận xét 2.2 Nghiệm suy rộng mà được đảm bảo bởi Định lý 2.3 có đạo hàm cấp 1/2đối với biếnt.
Nhận xét 2.3 Tử toánBmà tác động hàm số vectơ {f, f i ,ϕ}từL 2,1 (Q T )×
Nghiệm suy rộng u(x,t) của hệ phương trình (2.11)-(2.13) trong không gian V 2 1,0 (Q T ) là tuyến tính Nếu u 0 = B({f 0 ,f 0 i ,ϕ 0 }) và u 00 = B({f 0 ,f 00 i ,ϕ 00 }), thì tổng hợp u = u 0 + u 00 cũng là nghiệm suy rộng trong L 2 (Q T ) tương ứng với {f 0 + f 00 ,f 0 i + f 00 i ,ϕ 0 +ϕ 00 } Theo định lý 2.3, nghiệm v trong V 2 1,0 (Q T ) phải trùng với u, tức là u = v = B({f 0 + f 00 , f 0 i + f 00 i ,ϕ 0 +ϕ 00 }) Chúng ta đã chứng minh rằng tập hợp các nghiệm suy rộng có những đặc điểm tương tự.
(2.11)-(2.13) trongV 2 1,0 (Q T )tương ứng với tất cả các dữ kiện{f,fi,ϕ}trong
Ví dụ 2.2 Để thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3 ta có thể chọn các hàm số như sau: ϕ(x) =ln|x|, f(x) = 1 p4 t|x|, f 1 = f 2 = .= fn =0.
Phương trình parabolic dạng tổng quát
Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn
Trong phần nay chúng ta nghiên cứu bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn sau đây:
(2.34) u| t=0 =ϕ(x), u| S T =0, (2.35) với các điều kiệnai j=aji, s n 1=1 ∑ a 2 i , s n i=1 ∑ b 2 i , |a| ≤ à; (2.36) ϕ ∈L 2 (Ω), f ∈L 2,1 (Q T ),f i ∈L 2 (Q T ) (2.37) và điều kiện parabolic v|ξ| 2 ≤a i j (x,t)ξ i ξ j ≤à|ξ| 2 , v,à =const>0 (2.38) Định nghĩa 2.2 Nghiệm suy rộng u(x,t) của bài toán (2.34)-(2.35) là hàm u(x,t)∈W 2 1,0 (Q T ) thỏa mãn đẳng thức
(−uη t +ai jux juxi+aiuηxi+biuxiη+auη)dxdt
(fη− f i ηxi)dxdt (2.39) đối với tất cảη ∈W 2 1,0 (Q T ) mà triệt tiêu đối vớit =T. Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh bài toán này có nghiệm suy rộng trong
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp Galerkin để chứng minh rằng mỗi lời giải trong không gian W 2 1,0 (Q T ) không chỉ thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng mà còn tồn tại nghiệm suy rộng cho bài toán (2.34)-(2.35) Sử dụng Định lý 2.3, chúng ta có thể khẳng định rằng các lời giải này nằm trong V 2 1,0 (Q T ).
Phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (2.34) có dạng:
Phương trình này có thể suy ra từ đẳng thức tích phân
)udxdt (2.41) và sử dụng điều kiện giới hạn u| S T =0.
Chúng ta có thể thu được một đánh giá cho |u| Q T từ (2.41) bằng nhiều phương pháp tương tự như đánh giá (2.28) được lấy từ (2.22) Cụ thể, dựa trên (2.36)-(2.37), chúng ta có thể suy ra kết quả này.
0≤t≤Tku(ã,t)k+kFk 2,Q t ku x k 2,Q t (2.42) Chúng ta kết hợp số hạng đồng hạng sau đó nhân cả hai vế với 2 và thay kuk 2 2,Q
T bằng ty 2 (t), ở đú y(t) ≡max 0 ≤t≤T ku(ã,t)k 2,Ω và ku(ã,0)k 2 2,Ω bởi y(t)ku(ã,0)k 2 2,Ω +vku x k 2,Ω Điều này cho chỳng ta một bất đẳng thức: ku(ã,t)k 2 2,Ω +vku x k 2 2,Q t ≤y(t)ku(ã,0)k 2,Ω +cty 2 (t) +2ykfk 2,1,Q t ku x k 2,Q t
Từ công thức j(t) = 2(2à 2 /v+à), chúng ta có hai bất đẳng thức quan trọng: y²(t) ≤ j(t) và ku x k² 2,Q t ≤ v − 1 j(t) Bằng cách bình phương hai vế của bất đẳng thức (2.45) và (2.46), chúng ta có thể cộng các kết quả lại với nhau và xử lý vế phải theo cách thích hợp.
(2.46) Chúng ta nhận được đánh giá sau:
|u| Q T ≤[1−(1+v−1/2)√ ct] −2 (1+v−1/2) 2 ì[ku(ã,0)k 2,Ω +2kfk 2,1,Q t +2kFk 2,Q t ] (2.47) Chúng ta chia nhỏ khoảng[0,T]thành khoảng nhỏ
, , ∆n và ∆n cuối cùng của chiều dài không vượt quá 1 2 t 1 Đối với mỗi trong số chỳng, chỳng ta cú giới hạn dạng (2.47) Nếu chỳng ta tớnh đếnku(ã,t)k 2,Ω ≤
|u| Q T , thì chúng ta có bất đẳng thức năng lượng:
|u| Q T ≤c(t)[ku(ã,0)k 2,Q t +2kfk 2,Q t +2kFk 2,Q t ]≡c(t)F(t), (2.48) mà chứa bất cứ t nào trong [0,T] Hàm số c(t) được xác định bởi t và bởi hằng số vvàà trong (2.38) và (2.40).
Bất đẳng thức (2.48) được gọi là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất.
Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.34)-(2.35) trong W 2 1,0 (QT), chúng ta sử dụng hệ cơ sở {ϕ k (x)} trong W 2 1 (Ω), đã được chuẩn hóa trong L 2 (Ω) để thuận tiện Chúng ta tìm nghiệm gần đúng u N (x,t) thông qua chuỗi u N (x,t) = ∑ N k=1 c N k (t)ϕ k (x) từ hệ thống quan hệ.
Quan hệ (2.49) là một hệ thống các phương trình tuyến tính với N ẩn số c l (t)≡c N l (t), t = 1, , N, trong đó số hạng nguyên tắc có dạng dc 1 (t)/dt, và hệ số k (t)l là hàm số giới hạn của t Theo một định lý nổi tiếng, (2.49) và (2.50) xác định duy nhất hoàn toàn dựa vào hàm số liên tục c N l (t) trên khoảng [0,T] Để đặt giới hạn cho u N mà không phụ thuộc vào N, chúng ta nhân mỗi phương trình của (2.49) với c N l thích hợp, cộng từ 1 đến N, và sau đó hợp nhất từ 0 đến t ≤ T, dẫn đến (2.49) với u = u N Như đã chỉ ra, (2.49) ám chỉ đến (2.50).
F(t) =2kfk 2,1,Q l +2kFk 2,Q t +ku N (ã,0)k 2,Ω Nhưngku N (ã,0)k 2,Ω ≤ kϕk 2,Ω , do đú chỳng ta cú giới hạn
|u N | Q T ≤c 1 (2.51) với c 1 không đổi không phụ thuộc vàoN vì (2.64) chúng ta có thể lựa chọn dãy phụ u N k , k= 1,2, từ dãy u N , N =1,2, mà bởi hội tụ trong
L 2 (Q T) và đạo hàm u N x k k liên quan đến một số phần tử u ∈ W 2 1,0 (Q T) Phần tử u(x,t) được xem là nghiệm suy rộng lý tưởng cho bài toán (2.38)-(2.39) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân (2.49) với một hàm số liên tiếp bất kỳ d l (t) sao cho dd l /dt ∈.
Hợp nhất các số hạng từ 1 đến N vào phương trình L 2 (0,T), d l (T) và sau đó kết hợp kết quả từ 0 đến T, sẽ cho ra đồng nhất thức khi chúng ta hợp nhất số hạng đầu tiên theo các phần vớit.
(fΦ− f i Φx i )dxdt, (2.52) quan hệ không là gì khác ngoài đẳng thức:
=0, l =1, ,N chuyển thành dạng tương ứng với sự lựa chọn khoảng của ta.
Kết quả lý luận cho thấy dãy con trong u N hội tụ tới u Trong (2.50), chúng ta xét η = ∑ N t=1 d ` (t)ϕ ` (x), tạo thành tập hợp tất cả các hàm số η với d ` (t) có đặc tính đã nêu Tổng S ∞ p=1 Mp là trù mật trong không gian con Wb 2,0 1 (Q T ) của W 2,0 1 (Q T ), bao gồm tất cả các phần tử của W 2,0 1 (Q T ) triệt tiêu khi t = T Đối với η ∈ M p trong (2.54), chúng ta có thể xác định giới hạn của dãy phụ u N k được chọn.
N k ≥ p Kết quả là chúng ta có được (2.50) đối với u , với η ∈ M p Nhưng
∪ ∞ p=1 M p trù mật trongWb 2,0 1 (Q T ) không khó để kiểm tra (2.50) chứa tất cả η ∈Wb 2,0 1 (Q T ); đó là u(x,t) thực sự là một nghiệm suy rộng trongWb 2,0 1 (Q T ) của (2.36)-(2.37).
Như vậy chúng ta đã chứng minh. Định lí 2.4 Nếu các giả thiết (2.36)-(2.48) được thỏa mãn, thì bài toán
(2.34)-(2.35) có ít nhất một nghiệm suy rộng trongWb 2,0 1 (Q T ).
Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Chúng ta nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm u(x,t) bằng cách xem nó như một nghiệm suy rộng trong L²(QT) của các phương trình (2.1)-(2.3) Trong đó, hàm f trong (2.36) được thay thế bởi f - biuui - au ≡ f, và fi được thay thế bởi fi + aijuxj + aiuxi ≡ fi Điều này khả thi vì f ∈ L²,1(QT) và fi ∈ L²(QT) Ngoài ra, (2.50) có thể chuyển thành dạng (2.21) nhờ vào η ∈ W²,1δ,1(QT) và η(x,t) = 0 Theo Định lý 2.3, u(x,t) là một nghiệm suy rộng của (2.1)-(2.3) trong V²₁,₀(QT), và do đó nó thuộc V²₁,₀(QT) Điều này dẫn đến việc (2.22) và (2.23) chứa nó, với f được thay thế bởi f và fi bởi bfi.
Quan hệ (2.22) có thể được viết dưới dạng (2.41) và đồng nhất thức (2.23) dưới dạng:
Chúng ta đã chứng minh rằng tất cả các nghiệm suy rộng W 2,0 1 (Q T ) của phương trình (2.36)-(2.37) đều là nghiệm suy rộng trong không gian V 2 1,0 (Q T ) Những nghiệm này được xác định là phần tử của V 2 1,0 (Q T ) và thỏa mãn đồng nhất thức (2.54) cũng như quan hệ năng lượng (2.41) Hơn nữa, chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương trình (2.36)-(2.37) không thể có hai nghiệm khác nhau.
W 2,0 1 (Q T ) Nếu bài toán có hai nghiệmu 0 và u 00 như vậy thì hiệu của chúng u=u 00 −u 00 sẽ là một nghiệm suy rộng của (2.36)-(2.37) trong không gian
W 2,0 1 (Q T) tương ứng với điều kiện ban đầu là 0 và số hạng tự do 0 Qua những chứng minh đã thực hiện, u thực sự là một nghiệm suy rộng của bài toán trong không gian V 2 1,0 (Q T), vì (2.41) có vế phải là 0 Tuy nhiên, từ đó, nó dẫn đến (2.49) với vế phải cũng là 0 Do đó, u(x,t) phải bằng 0, điều này đã được chứng minh rằng u 0 và u 00 trùng nhau.
Từ những lập luận này liên quan đến hai nghiệm suy rộng u 0 và u 00 của (2.36)-(2.37) trong V 2 1,0 (Q T ) với f, f i và ϕ riêng biệt, nó theo sau tử toán
B chia {f, f i ,ϕ} thành một nghiệm suy rộng trong V 2 1,0 (Q T ) là không gian véctơ, và phương trình cân bằng năng lượng (2.41) được xác định là một dãy của (2.41) với các hệ số của a và hàm f, f i ,ϕ được nêu trong Định lý 2.5 Định lý 2.5 khẳng định rằng nếu các giả thuyết (2.36)-(2.38) được thỏa mãn, thì bất kỳ nghiệm suy rộng nào của (2.34)-(2.35) thuộc W 2 1,0 (Q T ) cũng sẽ là nghiệm suy rộng trong V 2 1,0 (Q T ) và là duy nhất trong W 2 1,0 (Q T ).
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba
Phát biểu bài toán
a) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai: Tìm nghiệm u(x,t) của (2.54) sao cho thỏa mãn các điều kiện sau: u| t=0 =ϕ(x), ∂u
Các thành phần của véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị được ký hiệu là ν = (ν1, ν2, ν3, , νn) tại điểm x thuộc tập S Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ ba yêu cầu tìm nghiệm u(x,t) của phương trình (2.54) sao cho nó thỏa mãn điều kiện u|t=0 = ϕ(x) và ∂u.
Khi δ(x,t)≡0,, thì bài toán biên -giá trị ban đầu thứ ba sẽ là bài toán thứ hai.
Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba
đầu thứ hai và thứ ba
Nghiệm suy rộng của bài toán (2.54)-(2.56) trong không gianW 2 1,0 (Q T ) được định nghĩa là hàm số u(x,t)∈W 2 1,0 (Q T )thỏa mãn đồng nhất thức sau: Mu(u,b η)≡
Q T fηdxdt (2.57) với η ∈W 2 1 (Q T ) với η(x,t) =0, trong đó δ là hàm số được cho trong điều kiện (2.56).
Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.54)-(2.56) trong không gian W²₁,₀(Q_T), chúng ta có thể áp dụng định lý duy nhất cho nghiệm suy rộng bằng cách chứng minh định lý này cho bài toán chuyển động Giả thiết rằng các hàm a_{ij} và b_i là bị chặn Điều này cho phép chúng ta khẳng định rằng bài toán (2.54)-(2.56) có nghiệm suy rộng u(x,t) thuộc W²₁,₀(Q_T), với điều kiện u|_{t=0} = 0.
M(u,b η) =0 (2.58) vớiη ∈W 2 1 (Q T ) vàη(x,T) =0 Chúng ta xét hàm số η(x,t)
(2.59) trong đó blà cố định trên[0,T].
Không khó để chứng minh hàm số này thỏa mãn (2.58) chúng ta thay (2.59) vào (2.58) và viết kết quả dưới dạng
S b δ ηtηdsdt =0 (2.60) khiu=ηt chot ∈(0,b) Chúng ta viếta i j ηtx jηx i dưới dạng
2(∂ δ/∂ t )η 2 và thực hiện tìm số hạng thứ hai và thứ ba của tích phân (2.60) với các dạng sau
Chúng ta sẽ áp dụng giả thiết về hệ số Mb và δ, với cơ sở lập luận là tích phân R Ω ã ã ãdx trong (2.63) triệt tiêu đối với t = b bởi hàm số η.
(2.59), sau đó chúng ta rút gọn (2.61), sau nữa đổi dấu bất đẳng thức:
(2.62) trong đó εilà số dương bất kỳ với hằng số cđược xác định bởi các hệ số của
Mb, δ và đạo hàm của chúng đối vớit Chúng ta có thể xét các tích phân trên
Hơn nữa (2.59) tương tự là sự biểu diễn của η(x,t) Z t b ηt(x,t)dt, t ∈[0,b] chúng ta có bất đẳng thức: η 2 (x,t)≤b
Chúng ta thay thế các biểu thức (2.63) và (2.64) vào (2.62), sau đó kết hợp các số hạng tương tự Đặt η x 2 (x,0) và η t 2 lên vế trái, và chọn ε nhỏ đến độ hệ số η x 2 (x,0) và η 2 bằng với v/4 và 1.
Chúng ta sẽ tách biệt hai thành phần và áp dụng bất phương trình (2.65) để xác định dạng η 2 (x,0) và η 2 từ vế phải của bất đẳng thức đã thu được Kết quả cuối cùng sẽ được trình bày như sau:
(η x 2 +bη t 2 )dxdt (2.66) chúng ta cho bnhỏ đến mức c 2 b≤ 1
Chúng ta sẽ sử dụng một cơ sở lập luận đã chọn để chứng minh rằng hàm số η(x,t) mà chúng ta đã xác định phụ thuộc vào biến b Để thực hiện điều này, chúng ta cần giới thiệu khái niệm mới liên quan đến vấn đề này.
Z t 0 u(x,t)dt =y(x,t) tiếp theoη(x,t) lày(x,t)−y(x,b)chot ∈ [0,t] Chúng ta thay thế biểu thức này choη vào (2.68) và sau đó nhân vế phải của bất đẳng thức và được như sau:
4c 3 (2.70) chúng ta thu được (2.69) bất đẳng thức:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình Q b y 2 x (x,t)dxdt (2.71) với b∈[0,b 1 ], trong đó b 1 =min{1/(4c 2 ); 1/(4c 3 )} Do y(x,0) =0 và y x (x,0) = 0 theo (2.71), điều này dẫn đến y x (x,b) ≡ 0 cho b ∈ [0,b 1 ] Tiếp theo, ηx(x,t) =y x (x,t)−y x (x,b) ≡0 với t ∈ [0,b 1 ], từ đó suy ra ηt(x,t) =u(x,t) ≡0 cũng trong khoảng thời gian này Kết quả là chúng ta chứng minh được rằng hai nghiệm u’ và u” trùng nhau Hình trụ Q b 1 =Ω×[0,b 1 ] được sử dụng để phát triển thêm chứng minh cho các hình trụ Ω×[b 1 ,2b 1 ], Ω×[2b 1 ,3b 1 ] và tiếp tục, nhằm chứng minh định lý duy nhất Theo định lý 2.6, nếu các hệ số của (2.54) thỏa mãn điều kiện v|ξ| 2 ≤a i j (x,t)ξ i ξj≤ à|ξ| 2 với v=const>0, thì kết quả có thể được khẳng định.
|b i |,|a| ≤à 1 (2.72) và |δ| ≤ à 1 Bài toỏn (2.54)-(2.55) cú duy nhất nghiệm suy rộng trong
Bất đẳng thức cơ bản thứ hai
Xét toán tử parabolicM được viết dưới dạng bảo toàn:
∂x i Chúng ta sẽ nghiên cứu bất đẳng thức cơ bản thứ hai Nếu trị tuyệt đối Scủa
Ωvà hệ số của M có độ trơn nào đó Thêm vào s n 1=1 ∑ a 2 i , s n i=1 ∑ b 2 i ,|a| ≤ à (2.73) ϕ ∈L 2 (Ω), f ∈L 2,1 (Q T ), fi∈ L 2 (Q T ) (2.74) và dưới điều kiện của parabol không thay đổi v|ξ| 2 ≤a i j (x,t)ξ i ξj ≤à|ξ| 2 , v,à =const>0, (2.75) hệ số của M thỏa mãn điều kiện:
≤à 1 (2.76) và |∂a i /∂x i | ≤ à 1 với bất đẳng thức cuối này, Mu cú thể viết dưới dạng rỳt gọn:
Chúng ta xét tích phân R Q T (Mu) 2 dxdt đối với hàm số bất kỳ u(x,t) và triệt tiêu trênSvà biến đổi như sau
[u 2 t −2ai jutx i ux j +2ut(aub x i +au) + (Lu)b 2 ]dxdt
Do đó, với các giả thiết về hệ số của Lta nhận được
Để thực hiện phép thay thế trong biểu thức R Q T (Lu) 2 dxdt và R Ω a i j u x i u x j dx| t=t, chúng ta cần chọn các con số nhỏ hơn cho tất cả ε > 0 Sau đó, chúng ta sẽ lựa chọn số hạng tương tự, với ε được đặt bằng 1/(2c 2).
Chúng ta có đánh giá:
Nếu chúng ta thay thế giới hạn này vào (2.61), chúng ta có bất đẳng thức: v Z
(2.82) ở đóc 6 (t) =1+c 4 R 0 1 c 5 (t)dt Từ đó suy ra v
, (2.84) màc 7 (t)có độ tăng tương tự trongt nhưc 6 (t) Chúng ta gọi là bất đẳng thức (2.84) làbất đẳng thức cơ bản thứ hai.
Bất đẳng thức này áp dụng cho mọi u thuộc không gian W 2,0 2,1 (Q T ) Sử dụng bất đẳng thức cơ bản thứ hai, có thể chứng minh rằng nghiệm của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất sẽ nằm trong không gian W 2,0 2,1 (Q T ) nếu S thuộc c 2 và ϕ thuộc không gian tương ứng.
W 2 1 (Ω),F ≡ f+∂f i /∂x i ∈L 2 (Q T ), vàa i j thỏa mãn điều kiện
Luận văn trình bày các vấn đề sau:
– Mô tả một số không gian Sobolev thích hợp đối với nghiệm của phương trình parabolic.
– Trình bày khái niệm dạng phương trình parabolic nói chung và phương trình truyền nhiệt nói riêng Phát biểu bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất.
– Đưa vào xét một số loại nghiệm của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt.
Bài viết trình bày các định lý quan trọng về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho bài toán biên-giá trị ban đầu, bao gồm ba loại: thứ nhất, thứ hai và thứ ba, áp dụng cho phương trình parabolic tổng quát dưới dạng bảo toàn Những định lý này không chỉ khẳng định tính khả thi của các nghiệm mà còn đảm bảo rằng chúng là duy nhất, góp phần vào sự hiểu biết sâu sắc hơn về các phương trình parabolic trong các ứng dụng thực tiễn.
– Trình bày bất đẳng thức cơ bản thứ hai đối với phương trình parabolic.