Một số bất đẳng thức cơ bản
Định lí 1.1.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Cho a 1 , a 2 , , a n là các số không âm.
Khi đó a 1 + a 2 + + a n n ≥ √ n a 1 a 2 a n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 =a 2 = =a n
Hệ quả 1.1.1 Với a, b, c là các số không âm ta có a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ca ⇔ a 2 +b 2 +c 2 ≥ (a+b+c) 2
3 ≥ab+bc+ca Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Hệ quả 1.1.2 Với a 1 , a 2 , a 3 , , a n là các số dương ta có
≥ n 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 =a 2 =a 3 = =a n
Ví dụ 1.1.1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng a) 1 a+b−c + 1 b+c−a + 1 c+a−b ≥ 1 a + 1 b + 1 c. b) (a+b−c) (b+c−a) (c+a−b) ≤abc.
Chứng minh. a) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM với x, y > 0ta có
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
⇔ a=b =c. b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với mọi a, b >0 ta có (a+b) 2 ≥ 4ab. Khi đó
⇔ b 2 ≥ (a+b−c) (b+c−a) Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được a 2 ≥(a+b−c) (c+a−b) c 2 ≥(b+c−a) (c+a−b).
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được
Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
⇔ a=b =c. Định lí 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thựca 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n Khi đó
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b1
. Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương, ta có a b+c + b a+c + c a+b ≥ 3
2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b= c.
Trong tam giác ABC với các đường phân giác AA', BB', CC', ta định nghĩa khoảng cách từ A' đến AB là a1, từ B' đến BC là b1, và từ C' đến AC là c1 Cần chứng minh rằng a1 * ha + b1 * hb + c1 * hc ≥ 3, trong đó ha, hb, hc lần lượt là chiều cao từ các đỉnh A, B, C.
GọiH là chân đường vuông góc hạ từA xuống BC và K là chân đường vuông góc hạ từ A 0 xuống AB Ta có
AB+CA = a b+c. Tương tự ta có b 1 h b = b c+a; c 1 h c = c a+b.
2.Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố trong
Một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 12
tam giác Định lí 1.2.1 (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác ABC ta có
Trong tam giác ABC, các cạnh và độ dài của các đoạn thẳng có mối liên hệ chặt chẽ, cụ thể là |b−c| < a < b+c, |c−a| < b < c+a, và |a−b| < c < a+b Định lý 1.2.2 chỉ ra rằng trong tam giác, cạnh dài hơn tương ứng với đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác sẽ ngắn hơn Định lý 1.2.3 khẳng định rằng với ký hiệu h a là độ dài đường cao, l a là độ dài đường phân giác trong, và m a là độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A, ta có bất đẳng thức m a ≥ l a ≥ h a Định lý 1.2.4, hay định lý hàm số sin, cho biết rằng trong tam giác ABC, a sinA = b sinB = c sinC = 2R Cuối cùng, định lý 1.2.5, hay định lý hàm số côsin, mô tả mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác qua các công thức a² = b² + c² − 2bc cosA, b² = c² + a² − 2ca cosB, và c² = a² + b² − 2ab cosC Diện tích của tam giác ABC có thể được tính theo nhiều công thức khác nhau, như đã nêu trong định lý 1.2.6.
= pr. Định lí 1.2.7 Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp r = (p−a) tan A
2 Định lí 1.2.8 Công thức tính độ dài đường trung tuyến m 2 a = 2 b 2 +c 2
−a 2 4 Định lí 1.2.9 Công thức tính độ dài đường phân giác trong l 2 a = 4bc(b+c) 2 p(p−a)
Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài của các yếu tố
các yếu tố trong tam giác
Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta luôn có a 2 +b 2 +c 2 < 2 (ab+bc+ca).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
|c−a| < b ⇔ (c−a) 2 < b 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Ví dụ 1.2.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có a−b a+b + b−c b+c + c−a c+a
Ta chứng minh được đẳng thức a−b a+b + b−c b+c + c−a c+a = (a−b) (b−c) (c−a)
. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a−b a+b + b−c b+c + c−a c+a
(a+b) (b+c) (c+a). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được abc (a+b) (b+c) (c+a) ≤ 1
8. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Cho tam giác ABC với các cạnh a, b, c và độ dài các đường cao h_a, h_b, h_c từ các đỉnh A, B, C Đặt R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và S là diện tích của tam giác ABC Ta cần chứng minh rằng: \( a^6 h_b^3 + b^6 h_c^3 + c^6 h_a^3 \geq 96RS^4 \).
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có a 6 h 3 b +b 6 h 3 c +c 6 h 3 a ≥3a 2 h b b 2 h c c 2 h a = 3abc.ah a bh b ch c
Lại có ah a bh b ch c = 2S.2S.2S = 8S 3 ;abc = 4RS.
Suy ra a 6 h 3 b +b 6 h 3 c +c 6 h 3 a ≥ 96RS 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong tam giác ABC, với các cạnh a, b, c và độ dài các đường cao tương ứng h_a, h_b, h_c, ta có thể chứng minh rằng a h^2_b + b h^2_c + c h^2_a ≥ 3R, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điều này thể hiện mối quan hệ giữa các cạnh, đường cao và bán kính ngoại tiếp trong hình học tam giác.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có a h 2 b + b h 2 c + c h 2 a ≥3 3 s abc h 2 a h 2 b h 2 c = 3abc
Lại có a.h a b.h b c.h c = 8S 3 ; abc= 4RS ⇒ a h 2 b + b h 2 c + c h 2 a ≥ 3.4.RS
S Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.5 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, S là diện tích. Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 ≥ 4√
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với xy+yz+zx≥p
⇔x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥ xyz(x+y+z) Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có x 2 y 2 +y 2 z 2 ≥2xy 2 z, y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥2xyz 2 , z 2 x 2 +x 2 y 2 ≥ 2x 2 yz.
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 ≥xyz(x+y+z).
Dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c S là diện tích. Chứng minh rằng ab+bc+ca≥ 4√
Từ bất đẳng thức Ví dụ 1.2.5 ta có a 2 +b 2 +c 2 ≥4√
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA = sinB = sinC ⇔A =B =C.
Nhận xét 1.2.1 Từ bất đẳng thức Ví dụ 1.2.6 ta suy ra được một số bất đẳng thức sau
Khi đó, từ bất đẳng thức Ví dụ 1.2.6 ta suy ra
Ví dụ 1.2.7 Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c Gọi p là nửa chu vi, S là diện tích Chứng minh rằng p≥ √ 4
2 >0. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có p−a+p−b+p−c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p−a=p−b=p−c⇔ a =b=c.
Trong tam giác ABC với các cạnh a, b, c, ta có nửa chu vi p, diện tích S và bán kính đường tròn nội tiếp r Cần chứng minh mối quan hệ giữa các yếu tố này trong tam giác.
Ta có p−a > 0; p−b >0; p−c > 0. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có
S 2 Theo Ví dụ 1.2.7 ta có p≥ √ 4
S Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3r 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p−a=p−b=p−c⇔ a =b=c.
Ví dụ 1.2.9 Những tam giác nào thoả mãn điều kiện
R trong đó a, b, c là độ dài các cạnh; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.
16abc ≥ 2√ ab.2√ bc.2√ ca 16.abc = 1
2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
⇔ 2R.sinA.sinB.sinC = (sinA+ sinB + sinC).r.
⇔ 2R r = 1 sinB.sinC + 1 sinC.sinA + 1 sinA.sinB. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có
1 sinB.sinC + 1 sinC.sinA + 1 sinA.sinB ≥ 3
2R r = 1 sinB.sinC + 1 sinC.sinA + 1 sinA.sinB ≥4⇔ r
2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 sinB.sinC = 1 sinC.sinA = 1 sinA.sinB
Như vậy dấu đẳng thức của bài toán xảy ra khi và chỉ khi
Nhận xét 1.2.2 Ngoài cách chứng minh R ≥ 2r ở trên ta có thể chứng minh theo cách sau
Nhận xét 1.2.3 Từ công thức diện tích S =p.r = abc
2 (1.5) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinA = sinB = sinC √3
2 hay tam giác ABC đều.
Ta cũng có a 2 +b 2 +c 2 = sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C
Từ (1.2), (1.4) và (1.6) ta có các kết quả sau
Ví dụ 1.2.10 Chứng minh rằng
Theo công thức diện tích tam giác, ta có
2.S =a.h a =b.h b =c.h c Khi đó theo bất đẳng thức (1.8) ta có
2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có
Nhân từ vế các bất đẳng thức (1.8) và (1.10) ta được abc.pRr ≥ 16S 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.11 Cho tam giác ABC Gọi a, b, c là các cạnh ứng với các đỉnh
A, B, C, h a , h b , h c và l a , l b , l c lần lượt là độ dài các đường cao và độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C, plà độ dài nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng m a l a +m b l b +m c l c ≥ p 2
Xuất phát từ bất đẳng thức vectơ
(với −→u −→v là tích vô hướng của hai vectơ −→u và −→v) Gọi M là trung điểm của
BC, D là chân đường phân giác trong của góc A Ta có m a l a
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được m a l a +m b l b +m c l c ≥ p(p−a) +p(p−b) +p(p−c) =p 2
Ví dụ 1.2.12 Cho tam giácABC Gọi l a , l b , l c lần lượt là độ dài của các đường phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng
1) Từ công thức đường phân giác trong, ta suy ra l a = 2bc b+c.cosA
2 rp(p−a) bc hay l a ≤√ bc. rp(p−a) bc =p p(p−a).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=c.
Tương tự, ta có l b ≤p p(p−b) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c. l c ≤p p(p−c) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
3(p−a). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương ta có rp
3 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được l a +l b +l c ≤
2 (a+b+c).Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Ví dụ 1.2.13 Cho tam giác ABC Gọi l a , l b , l c lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng a 2 l 2 b + b 2 l 2 c + c 2 l 2 a ≥4.
Theo công thức đường phân giác trong ta có l a = 2bc b+c.cos A
2. Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được l a l b l c ≤abc.cosA
3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có a 2 l b 2 + b 2 l c 2 + c 2 l a 2 ≥3 abc l a l b l c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.14 Trong tam giác ABC bất kì, ta có h a ≤l a , h b ≤l b , h c ≤ l c nên abc l a l b l c ≥ 8
Nhân từng vế của các đẳng thức trên ta được, ta được h a h b h c abc.sinA.sinB.sinC ≤abc3√
Ví dụ 1.2.15 Cho tam giácABC Gọim a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến của các góc A, B, C Chứng minh rằng a m a + b m b + c m c ≥ 2√
Theo công thức đường trung tuyến, ta có
3c 2 a 2 +b 2 +c 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được a m a + b m b + c m c ≥ 2√
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.16 Cho tam giácABC Gọima, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến ứng với các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng m a a + m b b + m c c ≥ 3√
Theo Ví dụ 1.2.15 ta có am a ≤ a 2 +b 2 +c 2
3m 2 c a 2 +b 2 +c 2 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được m a a + m b b + m c c ≥ 2√
2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.17 Cho tam giác ABC Gọi m a , m b , m c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến của các góc A, B, C Chứng minh rằng m 2 a −m 2 b b−a + m 2 b −m 2 c c−b + m 2 c −m 2 a a−c >3.√ 4
Từ kết luận của bài toán ta suy ra a6= b, b6= c, c6= a Từ các công thức đường trung tuyến ta suy ra
4(a+c) Cộng từng vế của hệ trên trên ta được m 2 a −m 2 b b−a + m 2 b −m 2 c c−b +m 2 c −m 2 a a−c = 3
Kết hợp các bất đẳng thức a+b+c ≥3√ 3 abc và abc≥ 8S√
Ví dụ 1.2.18 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m 2 a h 2 a +m 2 b h 2 b +m 2 c h 2 c ≥ 9S 2
Theo công thức đường trung tuyến, ta có
2m 2 a h a 2 =b 2 h 2 a +c 2 h 2 a −2S 2 2m 2 b h 2 b =c 2 h 2 b +a 2 h 2 b −2S 2 2m 2 c h 2 c =a 2 h 2 c +b 2 h 2 c −2S 2 Cộng từng vế các đẳng thức của hệ trên ta được
=b 2 h 2 a +c 2 h 2 a +c 2 h 2 b +a 2 h 2 b +a 2 h 2 c +b 2 h 2 c −6S 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho sáu số dương, ta có b 2 h 2 a +c 2 h 2 a +c 2 h 2 b +a 2 h 2 b +a 2 h 2 c +b 2 h 2 c ≥ 6(ah a bh b ch c ) 4 6 = 24S 2
≥ 24S 2 −6S 2 = 18S 2 hay m 2 a h 2 a +m 2 b h 2 b +m 2 c h 2 c ≥ 9S 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 2 h 2 a =c 2 h 2 a = c 2 h 2 b =a 2 h 2 b =a 2 h 2 c =b 2 h 2 c
Ví dụ 1.2.19 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m 3 a h b +m 3 b h c +m 3 c h a ≥9S 2
Theo công thức đường trung tuyến, ta có m 2 a = 2b 2 + 2c 2 −a 2
Tương tự ta có m 2 b ≥ p(p−b), m 2 c ≥ p(p−c). Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được
(ma.mb.mc) 2 ≥p 3 (p−a) (p−b) (p−c) = (p.S) 2 Khi đó, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có m a m b m c ≥p.S ≥ 3
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có m 3 a h b + m 3 b h c + m 3 c h a ≥ 3m a m b m c (h a h b h c ) 1 3 ≥ 9S 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 3 a h b = m 3 b h c = m 3 c h a, tức là a = b = c.
Ví dụ 1.2.20 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng a 2 m b h c +b 2 m c h a +c 2 m a h b ≥ 12S 2
Theo Ví dụ 1.2.19 ta có m a m b m c ≥p.S ≥ 3
Kết hợp với bất đẳng thức abc ≥ 8S√
Mặt khác ta có aha.bhb.chc = 8S 3 , abc ≥ 8S√
27 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương và kết hợp các bất đẳng thức trên ta được a 2 m b h c +b 2 m c h a +c 2 m a h b ≥3.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.2.21 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
3r 2 Mặt khác theo công thức đường trung tuyến, ta có m 2 a = 2b 2 + 2c 2 −a 2
Tương tự ta có m 2 b ≥p(p−b) và m 2 c ≥ p(p−c).
1 r a 2 + 1 r b 2 + 1 r c 2 ≥ 1 m 2 a + 1 m 2 b + 1 m 2 c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Một số kiến thức sử dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học
Khái niệm hàm lồi
Ký hiệu I(a, b) đại diện cho một trong bốn tập hợp trên đường thẳng thực, bao gồm (a, b), (a, b], [a, b), và [a, b] Hàm số f: I(a, b) → R được xem là hàm lồi nếu với mọi x1, x2 thuộc I(a, b) và mọi số thực α1, α2 không âm thỏa mãn α1 + α2 = 1, có điều kiện: α1 f(x1) + α2 f(x2) ≥ f(α1 x1 + α2 x2) Nếu hàm f là hàm lồi trên I(a, b), thì hàm g = -f sẽ được gọi là hàm lõm trên cùng tập hợp I(a, b).
Các ví dụ về hàm lồi
a) Hàm y =f(x) =c (c= const) là lồi trên toàn bộ trục số R. b) Hàm y =f(x) =x 2 là lồi trên toàn bộ R.
Thật vậy ∀x 1 , x 2 ∈R và mọi cặp số thực α 1 , α 2 ≥0, α 1 +α 2 = 1 ta đều có
Một số tính chất cơ bản của hàm lồi
Tính chất 1.3.1 Giả sử f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) là các hàm lồi xác định trên
I(a, b).Cho λ i >0 ∀i = 1, n Khi đó hàm số λ1f1(x) +λ2f2(x) +ã ã ã+λnfn(x) cũng là hàm số lồi trên I(a, b).
Nếu f(x) là hàm số liên tục và lồi trên khoảng I(a, b), thì có hai tính chất quan trọng: Thứ nhất, nếu g(x) là hàm lồi và đồng biến trên tập giá trị của f(x), thì g(f(x)) cũng sẽ là hàm lồi trên I(a, b) Thứ hai, nếu g(x) là hàm lõm và nghịch biến trên tập giá trị của f(x), thì g(f(x)) sẽ trở thành hàm lõm trên I(a, b).
Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 34
Lịch sử vấn đề
2.1.1 Lịch sử ra đời của bất đẳng thức hình học Jack
Vào năm 1966, nhà toán học Jack Garfunkel đã thực hiện một thí nghiệm thú vị với 500 tam giác để tìm ra quy luật chung giữa các yếu tố của tam giác như cạnh, trung tuyến, phân giác và đường cao Sử dụng máy tính điện tử, ông đã phát hiện ra một mối liên hệ quan trọng giữa các cạnh và các đường đặc biệt trong tam giác Cụ thể, với các cạnh a, b, c của tam giác ∆ABC và các đường cao h a, trung tuyến m b, phân giác l c, ông đã đưa ra quy luật rằng ha + mb + lc ≤ một giá trị nhất định.
Vấn đề cần xem xét là tính đúng đắn của giả thuyết Jack Garfunkel Sau gần mười năm, vào năm 1975, nhà toán học C.S Gardner từ Mỹ đã chứng minh rằng khẳng định của Jack Garfunkel là chính xác.
Hiện nay có nhiều bất đẳng thức liên quan đến nhà toán học Jack Garfunkel. Luận văn chỉ đề cập đến một bất đẳng thức là h a +m b +l c ≤
2 (a+b+c) nên luận văn xin được phép gọi bất đẳng thức này là “Bất đẳng thức hình họcJack Garfunkel”
2.1.2 Mô tả thí nghiệm của Jack Garfunkel
Tác giả đã áp dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad để mô phỏng thí nghiệm của Jack Garfunkel, với dữ liệu đầu vào là độ dài ba cạnh của tam giác Kết quả đầu ra bao gồm tổng độ dài ba cạnh, cũng như tổng độ dài của các đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến từ ba đỉnh của tam giác ban đầu, nhằm so sánh các kết quả này.
Kết quả thí nghiệm cho thấy khi thay đổi vị trí các đỉnh tương ứng với các tam giác có độ dài cạnh khác nhau, chúng ta luôn thu được bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Hàm dấu trong hình minh họa rằng nếu bất đẳng thức đúng, kết quả sẽ trả về 1; nếu dấu bằng xảy ra, kết quả sẽ là 0; và nếu bất đẳng thức sai, kết quả sẽ trả về -1.
Hình 2.1: Trường hợp tam giác đều
Hình 2.2: Trường hợp tam giác vuông cân
Hình 2.3: Trường hợp tam giác cân
Hình 2.4: Trường hợp tam giác vuông
Hình 2.5: Trường hợp tam giác thường
Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel và cách chứng minh
Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel phát biểu như sau:
Trong tam giác ABC, giả sử b, c là các cạnh, h_a là chiều cao hạ xuống cạnh a, m_b là trung tuyến ứng với cạnh b, và l_c là phân giác trong của góc C Ta có mối quan hệ quan trọng giữa các yếu tố này: h_a + m_b + l_c ≤.
2.2.1 Cách chứng minh của C.S Gardner Đặt a =u+x, b=u−x, c= 2v, trong đó u 6= 0, |x| < v.
Từ công thức đường phân giác trong tam giác l c = 2 a+b pabp(p−c) suy ra l 2 c = 4
= u 2 −v 2 + v 2 u 2 −1 x 2 ≤ u 2 −v 2 Đẳng thức xảy ra khi x= 0 (tức là a=b).
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có m 2 a = 2 b 2 +c 2
Khi đó f (x) là hàm lồi Áp dụng bất đẳng thức hàm lồi ta được m a +m b = 1
Bổ đề 2.2.1 Giả sử a+b ≤2c Khi đó ta có m a +m b +l c ≤
2 (a+b+c) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
Chứng minh. Để chứng minh Bổ đề ta phải chứng minh rằng
3 (u+v) (2.3) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u = 2v.
Thật vậy bình phương hai vế của (2.3) ta được
Vì u > v và u≤ 2v hay 1< y ≤ 2nên bất đẳng thức sau tương đương với
≤ y 2 + 6y −4 2 hay là (2−y) 3 (2 +y) ≥0. Điều này là hiển nhiên do 1< y ≤2 Vậy bổ đề được chứng minh.
Có thể kiểm tra được rằng với giả thiết a+b ≤ 2c ta có h a ≤ l a ≤ m a nên từ
Bổ đề ta suy ra được rằng h a +m b +l c ≤
Để chứng minh tính đúng đắn của bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel trong trường hợp tổng quát, chúng ta cần xác nhận rằng điều kiện 2(a+b+c) nếu a+b ≤ 2c hoặc b+c ≤ 2a cũng áp dụng khi a+b ≥ 2c và b+c ≥ 2a.
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức đó lại ta nhận được a+c ≤2b, từ đó suy ra
4a+ 2c ≤2 (b+c) + (a+b) =a+ 3b+ 2c 2a+ 4c ≤(b+c) + 2 (a+b) = 2a+ 3b+c và ta thu được a ≤b và c ≤b Sử dụng kết quả đó ta suy ra b≤ 2a+ 2c−b≤ 2a+ (a+b) +b= 3a và tương tự là b ≤3c.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng h a −h b ≤ m a −m b (2.5)
(Vì rằng, từ (2.5) và Bổ đề trên ta nhận được h a +m b +l c ≤m a +h b +l c ≤m a +m b +l c ≤
2 (a+b+c) và đó chính là điều mà ta cần phải chứng minh Do vậy bài toán được giải quyết).
Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết b = 1.
Khi đó ta sẽ có
Nếu ta gọi S là diện tích của tam giác thì
. và biểu thức vế phải là một hàm tăng ngặt đối với biến c được xác định trong đoạn 1
3 ≤c ≤1 Bởi vậy nếu ta thay c bởi 1 +a
2 vào hàm đó ta sẽ có
2 vào vế phải của bất đẳng thức trên ta nhận được (do2c ≤ 1+a) m a −m b ≥ 3
Nhận xét rằng với mọi a ta có (1−a) 2 3a 2 −a+ 3
≥ 0 và bất đẳng thức này là tương đương với bất đẳng thức sau
Và rõ ràng từ các bất đẳng thức (2.6), (2.7) và (2.8) ta suy ra được bất đẳng thức (2.5).
Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh (2.5) đối với a+b ≥ 2c và b+c ≥ 2a (và do vậy cũng đúng với (2.4)).
Do đó điều khẳng định của Jack Garfunkel là đúng đắn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b =c.
2.2.2 Một hướng chứng minh bất đẳng thức Jack Gar- funkel khác
Hướng chứng minh này do tác giả dựa trên lời giải của thầy Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh. Đặt
Từ công thức diện tích tam giác S = 1
(x+y+z)x. Theo công thức đường trung tuyến, ta có m b = 1
Từ công thức tính độ dài đường phân giác trong và theo bất đẳng thức AM -
GM ta suy ra l c = 2ab a+b.cosC
2(1 + cosC) và theo định lý côsin ta có cos 2 C
2 rp(p−c) ab Suy ra l c ≤√ ab rp(p−c) ab =p p(p−c) =p
2 (a+b+c).Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b=c.
Một số bài toán liên quan
Bài toán 2.3.1 Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có
Vế phải của (2.14) được suy ra từ một kết quả quen biết:
Trong một tam giác bất kì độ dài đường trung tuyến luôn nhỏ một nửa tổng của hai cạnh kề m a ≤ b+c
Vế phải của (2.11) và (2.13) được suy ra từ vế phải của (2.14) và từ nhận xét h a ≤ l a ≤ m a Đẳng thức xảy ra ở vế phải của (2.11), (2.13), (2.14) khiA = 0, B =C = π
2(tam giác cân suy biến).
Vế trái của (2.14) được suy ra từ vế phải và từ kết quả sau đây:
Ba đường trung tuyến của tam giác ABC lập thành một tam giác mà các đường trung tuyến của tam giác ấy có độ dài là 3a
4 Đẳng thức xảy ra ở vế phải của (2.14) khi A =π, B =C = 0 (tam giác cân suy biến).
Từ nay, giả sử rằng 2không đổi và b+c = 2v với v ≥ 1 Lưu ý rằng trường hợp v = 1 chỉ xảy ra khi a = b+c, tức là khi điểm A nằm trên cạnh BC Để chứng minh các bất đẳng thức còn lại, chúng ta cần sử dụng Bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1 Với a = 2 , b+c = 2v, ta có α) v − 1 v ≤t a ≤√ v 2 −1 (2.15) β) max{3, v} ≤ m b +m c ≤ √ v 2 + 8 (2.16) γ) m b ≥ |3−v|
Đẳng thức trong (2.15) và (2.16) xảy ra khi điểm A nằm trên đường thẳng BC Trong trường hợp tam giác ABC là tam giác cân tại A, đẳng thức sẽ xuất hiện ở vế phải của (2.15) và (2.16) Ngoài ra, đẳng thức trong (2.17) chỉ xảy ra khi c = v + 1 và b = v - 1.
Chứng minh. α) Vì |b−c| ≤a = 2 và 4bc = (b+c) 2 −(b−c) 2 nên v 2 −1≤ bc≤ v 2
Thay v 2 −1≤bc ≤v 2 vào đẳng thức trên, suy ra (2.15). β) Để chứng minh (2.16) và (2.17) ta xét mặt phẳng tọa độ Oxy và cố định
B(−1; 0), C(1; 0), còn điểm A(x, y) thì di động sao cho AB+AC = 2v (hình vẽ) Dễ dàng chứng minh được rằng điều này tương đương với x 2 v 2 + y 2 v 2 −1 = 1 (2.18)
Dùng công thức về đường trung tuyến trong tam giác, ta tính được
Để chứng minh khẳng định (2.16), ta cần chỉ ra rằng tổng m b + m c đạt giá trị nhỏ nhất khi y = 0 và x = ±v, đồng thời đạt giá trị lớn nhất khi y = ±√(v² − 1) và x = 0 Đặt T = 2(m b + m c)² = x² + y² + 9 + q, ta có (x² + y² + 9)² − (6x)² Từ công thức (2.18), ta nhận thấy rằng x² + y² = v² − 1 + x²v².
Với chú ý là v ≥ 1 và |x| ≤v dễ dàng chứng minh được rằng T(x)−18v 2 max{3, v}
8. Đẳng thức xảy ra khi v = 3, b = 2, c = 4 Vế trái của (2.11) được chứng minh. Xét vế trái của (2.13) Theo (2.15) và (2.16) ta có l a +m b +m c a+b+c ≥ 1
3. Đẳng thức xảy ra khi v = 3, b = 2, c = 4 Vế trái của (2.13) được chứng minh. Tiếp theo để chứng minh vế phải của các bất đẳng thức (2.9), (2.10), (2.12), ta cần đến Bổ đề sau
Bổ đề 2.3.3 Giả sử 2a≥ b+c, khi đó ta có l a +m b +m c a+b+c ≤
2 Bất đẳng thức ở vế phải tương đương với
Bất đẳng thức này đúng do v ≤2 theo điều kiện của Bổ đề. Đẳng thức xảy ra khi v = 2, a =b=c = 2.
Nếu 2a≥b+c thì theo Bổ đề 2.4.3 có l a +m b +m c a+b+c ≤
2 Nếu 2b≥ a+c thì hoán vị a với b ở Bổ đề 2.3.3 có m a +l b +m c a+b+c ≤
2 Tương tự nếu 2c≤ a+cvà 2c≤ a+b thì 2a≥ b+c, trở về trường hợp trên.
Từ đó suy ra vế phải của (2.9) là đúng.
Hệ quả của các bất đẳng thức đã nêu được thể hiện ở vế phải của (2.10) và (2.12) Như vậy, tất cả các bất đẳng thức này đã được chứng minh.
Bài toán 2.3.2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m a +l b +l c ≤
Dễ thấy x, y, z đều dương và x+ y = c, x+ z = b, y +z = a, a+ b+ c 2 (x+y+z) Ta có
Ta đã biết l b = 2√ ac a+c pp(p−b) ≤p p(p−b) =p
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Nhận xét 2.3.1 Vì l a ≤m a nên từ bất đẳng thức m a +l b +l c ≤
2 (a+b+c) ta có ngay bất đẳng thức sau l a +l b +l c ≤
2 (a+b+c) (đã chứng minh trong Ví dụ 1.2.12).
Nhận xét 2.3.2 Hiển nhiên h c ≤l c từ bất đẳng thức m a +l b +l c ≤
2 (a+b+c) ta cũng suy ra được bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel.
Một cách tự nhiên, người ta hi vọng rằng bất đẳng thức sau đúng m a +m b +m c ≤
Rất tiếc bất đẳng thức trên không đúng Tuy nhiên ta có thể "bù đắp" thêm một lượng để được bất đẳng thức đúng như sau
Bài toán 2.3.3 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng m a +m b +m c ≤
Trong tam giác với điều kiện a ≥ b ≥ c, ta xét các đường trung tuyến AM và AD xuất phát từ đỉnh A, cùng với các đường trung tuyến CN và CE xuất phát từ đỉnh C Các đường này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích tính chất hình học của tam giác.
4((b−c) + (a−c) + (a−b)). Với tam giác ABC bất kì ta có m a +m b +m c ≤
4(|b−c|+|c−a|+|a−b|).Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Nhằm hệ thống hóa lịch sử và các phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel, đồng thời giới thiệu một số ứng dụng của nó, luận văn đã hoàn thành các nhiệm vụ thiết yếu để tạo ra tài liệu chuyên đề phục vụ việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
Bài viết này sẽ giới thiệu về các bất đẳng thức hình học, đặc biệt là những bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh và đường trong tam giác, nhằm tạo nền tảng cho việc tìm hiểu chứng minh bất đẳng thức hình học của Jack Garfunkel Đồng thời, chúng tôi sẽ mô phỏng lịch sử dự đoán bất đẳng thức của nhà toán học Jack Garfunkel thông qua việc sử dụng phần mềm hình học động trên máy tính.
Bài viết này trình bày chi tiết việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel và giới thiệu một số ứng dụng thực tiễn của nó Tác giả chú trọng vào việc cung cấp các bước trung gian, nhằm giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và hiểu rõ hơn về vấn đề, điều mà tài liệu tham khảo thường chỉ đề cập một cách vắn tắt.
Mặc dù luận văn chỉ đề cập một phần các bài toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Jack Garfunkel, nhưng nó đã chỉ ra hướng nghiên cứu tiếp theo đầy hứa hẹn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi có đam mê khám phá các bài toán bất đẳng thức liên quan đến tam giác Tác giả hy vọng nhận được sự hỗ trợ và góp ý từ các Thầy, Cô giáo để hoàn thiện luận văn và tiếp tục nghiên cứu sau khi trở về giảng dạy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
