Đồng nhất thức lượng giác
Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin
Ta có công thức Euler e iα =cosα+isinα,α ∈R.
Từ đó, ta suy racos(iα) = e α +e −α
2 Như vậy hàm sốcost vớit=iα là biểu thức có dạng 1
, trong đó a =e α , cho nên, về mặt hình thức ta sẽ có nhiều biến đổi thu được từ các công thức liên quan đến biến x∈/ [−1; 1]giống như hàm sốcost.
Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t =2 cos 2 t−1, chính là công thức
Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t=4 cos 3 t−3 cost, chính là công thức
Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t cos 5 t−20 cos 3 t+5 cost, chính là công thức
Ví dụ 1.4 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t+cost =2 cos 3tcos 2t, chính là công thức
Từ đó, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giáccos 3t và cos 2t ta thu được đồng nhất thức đại số sau
Ví dụ 1.5 Cho số thựcm với|m|>1.Tính giá trị của biểu thức
Lời giải Vì|m|>1 nên tồn tại số thựcqđể có hệ thức m= 1 2 q 3 + 1 q 3
Đặtt =q 3 ta được phương trìnht 2 −2mt+1=0, từ đó suy rat =m±√ m 2 −1hayq 3 =m±√ m 2 −1.
Theo ví dụ 1.2 thì4x 3 −3x=mnên M =2m.
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá một số đồng nhất thức nổi bật liên quan đến hàm số sin Bằng cách sử dụng công thức Euler, ta có thể rút ra hệ thức isint = e^(it) − e^(−it).
Biểu thức isin(it) nhận giá trị thực, điều này gợi ý cho chúng ta phương pháp chuyển đổi các đồng nhất thức liên quan đến hàm số sin sang các đồng nhất thức đại số.
Ví dụ 1.6 Xét công thức khai triển sin 3t =3 sint−4 sin 3 t,
Từ đây ta thu được công thức isin(3it) =3(isinit) +4(isinit) 3
Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức
Ví dụ 1.7 Xét công thức biến đổi sin 5t+sint =2 sin 3t 1−2 sin 2 t
Ta viết lại công thức dưới dạng isini(5t) +isin(it) =2isini(3t)h
Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức
Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển hàm lượng giácsin 3t ta thu được đồng nhất thức đại số sau
Ví dụ 1.8 Cho số thựcm Tính giá trị của biểu thức
Lời giải Với∀m∈Rluôn tồn tại số thựcq để có hệ thức m= 1 2 q 3 − 1 q 3
Đặtt =q 3 ta được phương trìnht 2 −2mt−1=0, từ đó suy rat =m±√ m 2 +1hayq 3 =m±√ m 2 +1.
Theo ví dụ1.6thì 4x 3 +3x=m nênM = m
Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang 5
Theo công thức lượng giác cơ bản ta có tant = sint cost,t 6= π
Từ công thức Euler, ta thu được hệ thức itant = e iα −e −iα e iα +e −iα ,
Từ đây suy ra itan(it) = e −α −e α e −α +e α , hay itan(it) = a 2 −1 a 2 +1.
Biểu thức itan(it) cho thấy giá trị thực, từ đó gợi ý phương pháp chuyển đổi các đồng nhất thức của hàm số tant sang các đồng nhất thức đại số.
Ví dụ 1.9 Xét công thức khai triển tan 2t = 2 tant
Từ đây ta thu được công thức (hình thức) itani(2t) = 2itan(it)
Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức a 4 −1 a 4 +1 2a 2 −1 a 2 +1
Ví dụ 1.10 Xét công thức khai triển tan 3t= 3 tant−tan 3 t
Từ đây ta thu được công thức (hình thức) itani(3t) = 3itan(it) + (itanit) 3
Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức a 6 −1 a 6 +1 3a 2 −1 a 2 +1 + a 2 −1 a 2 +1
Ví dụ 1.11 Xét công thức khai triển tan 4t= 2 tan 2t
Từ đây ta thu được công thức (hình thức) itani(4t) = 2itani(2t)
Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức a 8 −1 a 8 +1 2a 4 −1 a 4 +1
Từ ví dụ trên, sử dụng kết quả khai triển hàm lượng giác tan 2t, ta thu được đồng nhất thức đại số sau: a 8 −1 a 8 +1 4x
Ví dụ 1.12 Hệ thức đại số ứng với công thức cot 2t = 1 tan 2t,
2,k∈Z chính là đồng nhất thức dưới đây a 4 +1 a 4 −1 = 1+x 2
Ví dụ 1.13 Hệ thức đại số ứng với công thức cot 3t = 1 tan 3t,
2,k∈Z chính là đồng nhất thức dưới đây a 6 +1 a 6 −1 = 1+3x 2
Ví dụ 1.14 Hệ thức đại số ứng với công thức cot 4t = 1 tan 4t,
2,k∈Z chính là đồng nhất thức dưới đây a 8 +1 a 8 −1 1+
Ví dụ 1.15 Xét đồng nhất thức
Ta viết lại đồng nhất thức đã cho dưới dạng
[itan(it) +icot(it)] 2 −[itan(it)−icot(it)] 2 =−4,
Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức với a 2 −1 a 2 +1 −a 2 +1 a 2 −1
Tính chất của các hàm lượng giác ngược
Hàm số song ánh được định nghĩa là hàm số f :X →Y, trong đó X và Y là các tập hợp số Mỗi phần tử y = f(x) thuộc Y tương ứng với một và chỉ một phần tử x trong X, cho phép thiết lập mối quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp này Mối quan hệ này xác định hàm số ngược của f, ký hiệu là f −1, với quy tắc ánh xạ từ Y sang X, cụ thể là f −1 :y7→x= f −1 (y).
Hàm số f(x) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm ngược f −1 Tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, nghĩa là nếu f(x) là song ánh thì hàm ngược f −1 cũng tồn tại và ngược lại.
Để hàm số đã cho có hàm số ngược, cần thỏa mãn điều kiện sau: Nếu hàm y = f(x) xác định và đồng biến (đơn điệu tăng thực sự) hoặc nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) và liên tục trong một khoảng X nào đó, thì trong khoảng tập các giá trị Y tương ứng, sẽ tồn tại hàm ngược (đơn trị) x = g(y), và hàm này cũng đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó.
Các hàm lượng giác cơ bản như y = sinx, y = cosx, y = tanx và y = cotx có các hàm lượng giác ngược tương ứng, được xác định theo định lý về khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của chúng.
) hàm sốy=sinx(hayy=tanx) là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngượcy=arcsinx
•Trong[0;π](hay trong(0;π)) hàm sốy=cosx(hayy=cotx) là hàm nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngượcy=arccosx
Đối với hàm arccot, ta có công thức arccot(−x) = −arccot(x) Để khảo sát các hàm lượng giác ngược, việc tính đạo hàm của chúng là cần thiết Theo Định lý 1.2 (tham khảo [1]-[3]), nếu hàm y = f(x) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1 về sự tồn tại của hàm ngược, và tại điểm x = x₀, hàm số có đạo hàm f'(x₀) hữu hạn và khác 0, thì ta có thể tiến hành phân tích sâu hơn.
Khi đó đối với hàm ngượcx=g(y)tại điểm tương ứng y 0 = f (x 0 )cũng tồn tại đạo hàm và có giá trị bằng
Công thức đơn giản cho đạo hàm của hàm lượng giác ngược được biểu diễn là x'0y = 1y'0x Để dễ dàng trong việc tính toán, chúng ta sẽ đổi vai trò của các biến x và y, từ đó viết lại công thức dưới dạng y'0 = 1.
(hàm ngược của hàmx=siny) 2
Khi đó, ta cóx 0 y =cosy>0với −π
2. Theo công thức trên ta có y 0 x = 1 x 0 y = 1 cosy = 1 p1−sin 2 y
(Ta bỏ đi các giá trịx= ±1 bởi vì đối với các giá trị tương ứng y =±π
2, thì đạo hàmx 0 y =cosy=0) Vậy hàmy=arcsinx là hàm đồng biến.
Suy ra hàmy=arcsinx lõm với0 psinA sinB+qsinC sinB ;MC = QR sinC >qsinB sinC+rsinA sinC. Suy ra MA+MB+MC>
Vậy ta có MA+MB+MC >2(MP+MQ+MR) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giácABC là tam giác đều.
Bài toán 3.27 Cho tam giácABC vớiAB0 và ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=R=OI tứcM ≡I.
MC đạt giá trị nhỏ nhất khiM ≡I. b) Nếu OM= x60 (M thuộc tia OJ), thì theo Định lí cosin trong tam giác, ta có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix=−R 0 =OJ tức M ≡J.
MC đạt giá trị lớn nhất khi M ≡J.
Bài toán 3.28 Chứng minh rằng trong mọi tam giácABC, ta đều có a) 1 l a + 1 l b + 1 l c > 1 a+1 b+1 c. b) ma+m b +mc6 9
Cộng từng vế của(3.20),(3.21) và(3.23) ta suy ra điều phải chứng minh. b) Ta có m 2 a = 1
Cộng từng vế của (3.24), (3.25) và (3.25) và áp dụng Định lí sin, ta suy ra m 2 a +m 2 b +m 2 c = 3
Ta cũng có sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C = 1
2[3−(cos 2A+cos 2B+cos 2C)] (3.28) và cos 2A+cos 2B+cos 2C=2 cos(A+B)cos(A−B) +2 cos 2 C−1
Từ (3.28) và (3.29), ta có sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C=2+2 cosAcosBcosC62+2.1
Từ đó, ta thu được điều phải chứng minh m a +m b +m c 6 9
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giácABC là tam giác đều.
Bài toán 3.29 Cho tam giácABC Xét các số thực m,n,p sao chom+n, n+p, p+mvàmn+np+pmlà các số dương Chứng minh rằng ma 2 +nb 2 +pc 2 >4√ mn+np+pmS (3.31)
Lời giải Ta có 4S sinC và c 2 =a 2 +b 2 −2abcosC, nên có thể viết (3.31) dưới dạng ma 2 +nb 2 +p(a 2 +b 2 −2abcosC)>2absinC√ mn+np+pm, hay
Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta được
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì pcosC+√ mn+np+pmsinC
6(p 2 +mn+np+pm)(cos 2 C+sin 2 C) = (m+p)(p+n) (3.34)
Từ (3.33) và (3.34) suy ra (3.32) Vậy (3.31) được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
√m+p cos 2 C p 2 = sin 2 C mn+np+pm = 1
(p+m)(p+n). Tiếp theo, thay các giá trịb vàcosC theoa,m,n,p vào hệ thức c 2 =a 2 +b 2 −2abcosC, ta nhận được c 2 =a 2 +a 2 m+p n+p −2a 2
√m+n. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số dạng đẳng thức và bất đẳng thức liên quan đến tứ giác và đa giác, đồng thời áp dụng các công thức lượng giác như một công cụ giải quyết hiệu quả.
Bài toán 3.30 Chứng minh rằng
1) Để bốn số dươnga,b,c,d là độ dài bốn cạnh của một tứ giác, điều kiện cần và đủ là mỗi số phải nhỏ hơn tổng của ba số kia.
2) Với điều kiện 1), tồn tại một tứ giác nội tiếp nhậna,b,c,d làm độ dài bốn cạnh.
Để chứng minh điều kiện đủ và phần 2, ta xây dựng một tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d Theo điều kiện cần, ta có a−b
