Hàm số lượng giác-Hàm hyperbolic
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin :R → R x 7→ y = sinx được gọi là hàm số sin Kí hiệu là y = sinx.
Hàm số y = sinx có các tính chất sau
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
- Đồng biến trên mỗi khoảng
2 +k2π;π.2 +k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng π
Quy tắc đặt tương mỗi số thực x với số thực cosx cos :R →R x7→ y = cosx được gọi là hàm số cosin Kí hiệu là y = cosx.
Hàm số y = cosx có các tính chất sau:
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
- Đồng biến trên mỗi khoảng (−π +k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng(k2π;π+k2π), k ∈ Z.
Hàm số tang được xác định bởi công thức y = sinx cosx (cosx6= 0).
Hàm số y = tanx có tập xác định là D = R\ π
Hàm số y = tanx có các tính chất sau:
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.
- Đồng biến trên mỗi khoảng (−π
- (tanx) 0 = 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x. Định nghĩa 1.1.4.
Hàm số cotang được xác định bởi công thức y = cosx sinx (sinx 6= 0).
Hàm số y = tanx có tập xác định là D = R\ {kπ, k ∈ Z}.
Hàm số y = cotx có các tính chất sau
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.
- Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ;π +kπ), k ∈ Z.
Hàm số cotx có giá trị tại 0 là -1, và sin^2 x có thể được biểu diễn dưới dạng - (1 + cot^2 x) Theo định lý 1.1.5, nếu hàm số y = f(x) xác định, đồng biện hoặc nghịch biến và liên tục trên một khoảng X, thì trong khoảng Y của các giá trị tương đương, tồn tại hàm ngược x = g(y) cũng sẽ đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó.
Theo Định lý 1.1.5, ta định nghĩa các hàm lượng giác ngược của các hàm lượng giác y = sinx; y = cosx; y = tanx; y = cotx như sau Định nghĩa 1.1.6 [4]
Hàm số y = sinx là hàm đồng biến, liên tục trên
Khi đó tồn tại hàm ngược y = arcsinx được xác định như sau y = arcsinx ⇔x = siny,|x| ≤ 1,|y| ≤ π
Hàm số y = cosx là hàm nghịch biến, liên tục trên [0;π] Khi đó tồn tại hàm ngược y = arccosx được xác định như sau y = arccosx ⇔x = cosy,|x| ≤1,|y| ≤ π
Hàm số y = tanx là hàm đồng biến, liên tục trên
Khi đó tồn tại hàm ngược y = arctanx được xác định như sau y = arctanx ⇔ x = tany,−∞ < x 1 Khi đó
Bất đẳng thức hình học-số học có trọng số khẳng định rằng \( a^t(1-t)b > a^tb^{1-t} \) với \( a, b > 0 \), \( a \neq b \), và \( 0 < t < 1 \) Đặt \( t = \frac{p+1}{p+2} \), \( a = \frac{\sin p(x)}{x} \), và \( b = \frac{1}{\cos p(x)} \), ta có thể áp dụng bất đẳng thức này vào bên trái của (3.1).
Tương tự, bất đẳng thức (3.4) suy ra từ bất đẳng thức bên trái của (3.2). Định lý 3.1.8 [6]Với p > 1, ta có psin p (x) x + tan p (x) x > 1 +p, 0 < x < π p
Để chứng minh bất thức (3.5) và psinhp(x) x + tanhp(x) x > 1 + p với x > 0, ta định nghĩa hàm f(x) = psin p (x) + tan p (x) - (1 + p)x Tính đạo hàm f'(x) cho thấy f'(x) = pcosp(x) + tanp(x)p - p, và đạo hàm bậc hai f''(x) = ptan p (x) p - 1 (1 - cos p (x)) + tan p (x) p > 0 Điều này chứng tỏ rằng f'(x) > 0, tức là hàm f(x) tăng chặt Do đó, ta có f(x) > 0, dẫn đến kết luận cho bất thức (3.5).
Tương tự, đặt g(x) ≡ psinh p (x) + tanh p (x)−(1 +p)x.
Ta có g 0 (x) =pcoshp(x)−tanhp(x) p −p và g 00 (x) =ptanh p (x) p−1 tanh p (x) p + cosh p (x)−1 > 0
Từ g 0 (x) > 0, suy ra g(x) > 0, chứng minh đã hoàn tất Bài viết này sẽ giới thiệu các bất đẳng thức Cusa-Huygen nổi tiếng áp dụng cho các hàm lượng giác tổng quát cũng như hàm hyperbol Định lý 3.1.9 khẳng định rằng với p ∈ (1,2], ta có bất đẳng thức sin p (x) x < cos p (x) + p.
Chứng minh Đặt f(x) ≡ xcos p (x) +px−(1 +p) sin p (x).
Ta có f 0 (x) =−cos p (x) xtan p (x) p−1 +p +p≡ −g(x) +p vàg 0 (x) = cos p (x) tan p (x) p−2 (p−1) x−tan p (x) + (p−2)xtan p (x) p 0 Do đó f(x) tăng chặt và f(x) > f(0) = 0 Từ đó suy ra ( 3.7 ) Bất đẳng thức thứ 2 trong (3.7) là hiển nhiên vì cosp(x) ≤ 1. Định lý 3.1.10 [6]Với mọi x > 0, sinhp(x) x < coshp(x) +p
3 , nếup∈ [2,∞) (3.9) Chứng minh Đặt f(x) ≡ xcosh p (x) + px−(1 +p) sinh p (x).
Do đó f(x) tăng chặt, và f(x) > f(0) = 0.
Từ đó suy ra bất đẳng thức ( 3.8 ).
Với bất đẳng thức (3.9), đặt h(x) ≡xcoshp(x) + 2x−3 sinhp(x) Ta được h 0 (x) = coshp(x) xtanhp(x) p−1 −2
+ 2 và h 00 (x) = cosh p (x) tanh p (x) p−2 xtanh p (x) p −tanh p (x)
≥ cosh p (x) tanh p (x) p−2 xtanh p (x) p −tanh p (x) +x 1−tanh p (x) p
Do đó h 0 (x) > h 0 (0) = 0, và vì vậy h(x) tăng chặt và h(x) > h(0) = 0.
Từ đó suy ra bất đẳng thức (3.9). Định lý 3.1.11 [6]Với p∈ [2,∞) và x∈ 0, π p /2 , sinh p (x) x < 3
2 + cos p (x) Chứng minh Đặt f(x) ≡ 3x−2 sinh p (x)−sinh p (x) cos p (x)
Ta có f 0 (x) = 3−2 cosh p (x)−cosh p (x) cos p (x) + sinh p (x) sin p (x) p−1 cos p (x) 2−p
≥3−2 coshp(x)−coshp(x) cosp(x) + sinhp(x) sinp(x) p−1
≡g(x) và g 0 (x) =−2 cosh p (x) tanh p (x) p−1 −sinh p (x) cos p (x) tanh p (x) p−2
+ cosh p (x) sin p (x) p−1 cos p (x) 2−p + cosh p (x) sin p (x) p−1 + (p−1) sinh p (x) cos p (x) sin p (x) p−2
Suy ra f(x) > f(0) = 0 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.1.12 [6] Cho p ∈ [2,∞) và x ∈ 0, πp/2 , sin p (x) x > p−1 + cos p (x) p ≥ 1 + cos p (x)
2 Chứng minh Bất đẳng thức thứ hai hiển nhiên.
Ta chứng minh bất đẳng thức thứ nhất, đặt f(x) ≡ psinp(x)−xcosp(x)−
Ta có f 0 (x) = (p−1) cosp(x) +xcosp(x) tanp(x) p−1 −(p−1) và f 00 (x) = cos p (x) tan p (x) p−2 g(x)
Trong đó g(x) = (p− 2)xtan p (x) p −(p− 2) tan p (x) + (p− 1)x Ta có g(x) > 0 vì g 0 (x) =p(p−2)xtanp(x) p−1 1 + tanp(x) p + 1 > 0.
Áp dụng
Ở phần này, chúng tôi đưa ra một số bài toán để áp dụng các kiến thức ở mục 3.1 như sau:
Bài toán 3.2.1 Với mọi p ∈ (1,∞) và x ∈
Theo Định lý 3.1.5 ta có với mọi p∈ (1,∞) và x ∈ 0, πp/2 , cos p (x) 1/(1+p) < sin p (x) x Lấy mũ 1 +p hai vế ta được điều phải chứng minh.
Bài toán 3.2.2 ([6])Với p > 1 và x > 0, chứng minh sinh p (x) x
(1 +t) a > 1 +at (Bất đẳng thức Bernoulli) (3.11) Đặt t= sinh p (x)/x−1 và a = p trong (3.11), và sau đó kết hợp bất đẳng thức (3.6), ta có sinh p (x) x
> 2− tanh p (x) x Suy ra bất đẳng thức (3.10).
Bài toán 3.2.3 ([6]) Với mọi p ∈ [2,∞) và x ∈ 0, πp/2 Chứng minh x sinh p (x)
< 1 cosh p (x) được suy ra từ bất đẳng thức cosh p (x) α < sinh p (x) x của (3.2).
Bài toán 3.2.4 ([6]) Với mọi p ∈ [2,∞) và x ∈ 0, πp/2 Chứng minh
Xét f(x) = sinh p x−x Ta có f 0 (x) = cosh p x−1> 0, ∀x ∈ 0, π p /2
Do đó f(x) tăng chặt trên 0, πp/2
Từ đó suy ra f(x) > f(0) Suy ra sinh p x x > 1.
Chia hai vế của bất phương trình sinh p x x > 1 cho coshpx, khi đó ta có được điều phải chứng minh.
Bài toán 3.2.5 ([6]) Với mọi p ∈ [2,∞) và x ∈ 0, π p /2 Chứng minh tanh p (x) x < sin p (x) x Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh suy ra từ sinpx > tanhpx.
Bài toán 3.2.6 ([6]) Với mọi p ∈ [2,∞) và x ∈ 0, π p /2 Chứng minh sinh p (x) x < p+ 1 p+ cos p (x)
Chứng minh tương tự như Định lý 3.1.11.
Bài toán 3.2.7 Cho Với mọi p > 1) và x∈ 0, πp/2 Chứng minh pcos p x+ cos p 1+p p x+ 1 p+ 2 > x tan p x.
Theo Định lý 3.1.8, ta có psinpx x + tanpx x > 1 +p.
Theo Định lý 3.1.5, ta có
Từ (∗)(∗∗) suy ra p+ 1 cos p x + 1 cos 1/2+p > (p+ 2) x sin p x. Tiếp theo nhân 2 vế bất đẳng thức trên cho cos p x ta được pcos p x+ cos p 1+p p x+ 1 p+ 2 > x tan p x.
Trong Chương 3, chúng tôi đã trình bày một số bất đẳng thức cổ điển liên quan đến hàm lượng giác và hyperbolic, bao gồm bất đẳng thức Mitrinovi´c-Adamovi´c, Lazarevi´c và kiểu Huygens Ngoài ra, chúng tôi cũng đã tổng quát hóa các bất đẳng thức kiểu Wilker và Cusa-Huygens cho mọi trường hợp Đồng thời, chúng tôi đã đưa ra các bài toán ứng dụng trong mục 3.2.