Hàm số
Hàm số được định nghĩa là một biểu diễn toán học mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên và xã hội Việc nhận biết mối quan hệ này giúp đơn giản hóa và chính xác hóa việc mô tả các yếu tố liên quan đến đối tượng đang xét, trong đó một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác.
Ví dụ 1: a Diện tích A của một hình tròn phụ thuộc vào bán kính r của nó theo công thức Ar 2 Với mỗi số dương r sẽ cho duy nhất một giá trị
Giá tiền C để chuyển phát nhanh một lá thư phụ thuộc vào cân nặng w của nó Cụ thể, cước phí tại bưu điện được quy định như sau: đối với lá thư có cân nặng đến 1 ounce, cước phí là 0.88 đô la; còn đối với lá thư nặng từ hơn 1 ounce đến 2 ounce, mức cước phí sẽ được xác định theo bảng giá tương ứng.
Với mỗi giá trị của w cho tương ứng một giá trị của C Ta gọi C là một hàm theo w. w (ounce) C w ( ) (dollar)
1.56 2.92 ĐỊNH NGHĨA: Cho D và E là các tập con của tập số thực (real) Hàm số
Hàm số f là quy tắc tương ứng mỗi phần tử x trong tập D với một phần tử duy nhất f(x) trong tập E Trong lĩnh vực kinh tế học, lượng cầu (quantity demanded) của một hàng hóa hoặc dịch vụ tại một thời điểm nhất định được xác định là số lượng mà người tiêu dùng mong muốn và có khả năng mua với một mức giá cụ thể.
(giả sử các nhân tố khác không thay đổi) Với mỗi mức giá P cho tương ứng một giá trị của lượng cầu Q d , ta gọi Q d là một hàm theo P.
Dgọi là miền xác định (domain),
Egọi là miền giá trị (range), x gọi là biến độc lập (independent variable),
( ) y f x gọi là biến phụ thuộc (dependent variable)
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số như hình bên: a Tính các giá trị (1)f , f(5) và (7)f b Cho biết miền xác định và miền giá trị của
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị, tìm miền xác định và miền giá trị của mỗi hàm số sau: a f x( )2x1 b g x( )x 2
Giải: a Đây là phương trình đường thẳng có hệ số góc là 2
Miền giá trị: E b Đây là phương trình của parabol, đỉnh (0, 0)A
Miền giá trị: E[0, ). Đồ thị ( graph ) của hàm f là tập hợp tất cả các điểm ( , )x y thỏa
Ví dụ 4: Tìm miền xác định của các hàm số sau: a f x( ) x2 b 2 1
Giải: a Căn bậc hai của một số thực âm không được định nghĩa, miền xác định của f là tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn x 2 0
x Vậy miền xác định của f là D [ 2, ). b Hàm ( )g x xác định khi mẫu số khác 0 Miền xác định của g:
Parabol trong hình vẽ (a) không phải là đồ thị của hàm theo x do có đường thẳng đứng cắt đồ thị tại hai điểm Tuy nhiên, nếu xem x như một hàm theo y, thì (a) trở thành đồ thị của hàm x = y² - 2.
2 2 2 x y y x y x nên (b) là đồ thị của hàm
2 y x , (c) là đồ thị của hàm y x2
HÀM ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA TỪNG MIỀN (PIECEWISE DEFINED FUNCTIONS)
Các hàm sau đây được định nghĩa bởi các công thức khác nhau trên mỗi tập con khác nhau của miền xác định
Tiêu chuẩn đường thẳng đứng cho một đường cong trong mặt phẳng Oxy xác định rằng đồ thị của hàm f chỉ được coi là hợp lệ khi không có đường thẳng đứng nào cắt đường cong tại nhiều hơn một điểm.
Ví dụ 5: Hàm giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 6: Cho hàm số f xác định bởi
Tính f(0), f(1), f(2) và vẽ đồ thị hàm số đã cho
Với hàm f đã cho, nhận xét:
Nếu x1, giá trị ( )f x là1x: một phần đồ thị của hàm f là đường thẳng y 1 x nằm phía bên trái đường thẳng x1
Nếu x1, giá trị f x( ) là x 2 : phần còn lại của đồ thị hàm f là parabol yx 2 nằm phía bên phải đường thẳng x1
Ví dụ 7: Tìm công thức biểu diễn hàm số f có đồ thị như hình sau
Giải: Bằng cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, công thức cần tìm của đồ thị hàm f đã cho là:
Chi phí phân phát C(w) của một lá thư chuyển phát nhanh có trọng lượng w được xác định theo từng miền dựa trên bảng giá trong Ví dụ 1c ở đầu mục này.
Hàm có dạng trên gọi là hàm bước nhảy
f là hàm số chẵn ( even function ) trên miền D nếu: x D
f là hàm số lẻ ( odd function ) trên miền
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
Ví dụ 9: Các hàm số sau là chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ? a f x( )x 5 x b g x( ) 1 x 4 c h x( )2xx 2
Giải: a f ( x ) ( x ) 5 ( x ) x 5 x f x ( ) Vậy f là hàm lẻ b g( x) 1 ( x) 4 1 x 4 g x( ) Vậy g là hàm chẵn c h( x) 2( x) ( x) 2 2x x 2 Ta có h( x) h x( ) và
( ) ( ) h x h x nên hàm h không chẵn cũng không lẻ Đồ thị của các hàm trên:
HÀM SỐ TĂNG, GIẢM (INCREASING AND DECREASING
Hàm số f tăng trên khoảng I nếu
Hàm số f giảm trên khoảng I nếu
Đồ thị hàm số tăng có dáng điệu đi lên kể từ trái sang phải
Đồ thị hàm số giảm có dáng điệu đi xuống kể từ trái sang phải
Hàm f trong hình vẽ: tăng trên đoạn [ , ]a b và [ , ]c d , giảm trên đoạn
Ví dụ 10: Hàm số yx 2 giảm trong khoảng
KẾT HỢP CÁC HÀM (COMBINATIONS OF FUNCTIONS)
Cho 2 hàm ,f g có miền xác định lần lượt là A và B Khi đó:
Tổng ( sum ) và hiệu ( difference ) của f và g:
Tích ( product ) của hai hàm f và g:
(fg x)( ) f x g x( ) ( ) có miền xác định: AB.
Thương ( quotient ) của hai hàm f và g:
Hàm hợp ( composition ) của hai hàm f và g:
(f g x)( ) được xác định khi g x( ) và
Ví dụ 11: Cho f x( ) x và g x( ) 2xtìm các hàm sau đây và chỉ ra miền xác định:
Giải: f x( ) x có miền xác định A[0,), g x( ) 2x có miền xác định B ( , 2], do đó :
(fg x)( ) x 2x có miền xác định: A B [0, 2].
Tìm các hàm f, g và h sao cho F f g h
Giải: Ta có thể viết: F x ( ) cos( x 9) 2 Đặt: h x( ) x 9, ( )g x cos , ( )x f x x 2
Hàm số ngược (inverse functions) cho phép ta xem xét vấn đề từ một góc nhìn khác, giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến Ví dụ, khi phân tích thị trường vàng tại một quận, việc áp dụng hàm số ngược có thể cung cấp thông tin bổ ích về biến động giá và xu hướng mua bán.
Hà Nội vào một thời điểm nào đó người ta ghi nhận được lượng cầu Q d ứng với từng mức giá một chỉ vàng ,P tức là xem Q d là hàm theo P: d ( ).
Khi nhà kinh doanh quan tâm đến mối quan hệ giữa giá cả (P) và lượng cầu (Q d), họ sẽ xem xét P như một hàm phụ thuộc vào Q d, được biểu diễn dưới dạng P = g(Q d) Hàm này được gọi là hàm ngược của hàm f, ký hiệu là f⁻¹.
P (triệu đồng) Q d (kg) Q d (kg) P (triệu đồng)
Lượng cầu là hàm của giá cả Giá cả là hàm của lượng cầu
Ví dụ 13: f là hàm 1-1, g không phải hàm 1-1 vì g nhận giá trị 4 hai lần: (2)g g(3)4.
TIÊU CHUẨN ĐƯỜNG NẰM NGANG:
Hàm f là 1-1 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một điểm
Ví dụ 14: Hàm số f x( )x 3 có là hàm 1-1 không?
Theo định nghĩa, f là hàm 1-1
Cách 2: Từ hình vẽ ta thấy không có đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị hàm f x( )x 3 nhiều hơn 1 điểm Theo Tiêu chuẩn đường nằm ngang, f là hàm 1-1
Ví dụ 15: Hàm số g x( )x 2 có là hàm 1-1 không?
Giải: Hàm g x( )x 2 không phải hàm 1-1 vì:
Hàm f được gọi là hàm một-một (1-1) nếu không có hai giá trị đầu vào khác nhau cho cùng một giá trị đầu ra, tức là nếu f(x₁) ≠ f(x₂) với mọi x₁ khác x₂ Đối với hàm 1-1, miền xác định A và miền giá trị của nó cũng cần được xác định rõ ràng.
B Hàm ngược của f là f 1 có miền xác định B, miền giá trị A và được xác định:
Ví dụ 16: Biết f là hàm 1-1 và (1)f 5, f(3)7, f(8) 10 Tính
Ta thường ký hiệu x là biến độc lập, y là biến phụ thuộc nên sẽ viết hàm số ngược là:
Ví dụ, hàm ngược của hàm f x( )x 3 là
Từ định nghĩa hàm ngược ta có kết quả:
Ví dụ, hàm ngược của hàm f x( )x 3 là
Ví dụ 17: Tìm hàm ngược của hàm f x( ) x 3 2
Giải: y x 3 2 x 3 y 2 x 3 y2 miền xác định của f 1 = miền giá trị của f miền giá trị của f 1 = miền xác định của f
CÁCH TÌM HÀM NGƯỢC CỦA HÀM f 1-1
Bước 2: Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu có thể)
Bước 3: Hoán đổi x và y, kết quả là y f 1 ( )x
Hàm ngược là y f 1 ( )x 3 x2 Đồ thị hàm ngược f 1 có được bằng phép lấy đối xứng đồ thị hàm f qua đường thẳng yx
Ví dụ 18: Vẽ đồ thị hàm số ( )f x 1 x và đồ thị hàm ngược của nó trên cùng hệ trục tọa độ
Giải: Trước hết vẽ đường cong y 1 x
(là nửa trên của parabol y 2 1 x hay
2 1 x y ) rồi lấy đối xứng qua đường thẳng yx ta có đồ thị hàm f 1
CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN (ESSENTIAL FUNCTIONS)
Mô hình toán học là một công cụ mô tả các hiện tượng tự nhiên và xã hội thông qua hàm hoặc phương trình, như độ tăng dân số, tuổi thọ trung bình, tốc độ rơi của vật, biến động giá cổ phiếu và lợi nhuận đầu tư Mục tiêu của mô hình này là nâng cao hiểu biết về các hiện tượng và đưa ra dự đoán cho tương lai.
Tiến trình xây dựng mô hình toán học là một vòng khép kín, bắt đầu từ việc xác định vấn đề thực tế và phát triển mô hình toán học tương ứng Sau đó, các công cụ toán học được sử dụng để giải quyết vấn đề và rút ra kết luận, giúp làm sáng tỏ hoặc đưa ra dự đoán Những dự đoán này sẽ được đối chiếu với dữ liệu thực tế mới; nếu không chính xác, mô hình ban đầu cần được xem xét lại và có thể cần xây dựng một mô hình mới Quá trình này liên tục diễn ra nhằm cải thiện và tối ưu hóa các mô hình toán học.
Một mô hình toán học không thể hoàn toàn phản ánh chính xác các hiện tượng tự nhiên xã hội, điều này chỉ là lý tưởng Thay vào đó, chúng ta thường phải điều chỉnh một số điều kiện ràng buộc Một mô hình tốt là mô hình có khả năng thực hiện các phép toán toán học và đồng thời cung cấp kết quả với độ chính xác đủ để có giá trị thực tiễn.
Có nhiều loại hàm số được dùng để mô hình hóa các mối quan hệ trong thực tế Dưới đây giới thiệu một số hàm số cơ bản
HÀM TUYẾN TÍNH (LINEAR FUNCTIONS)
Hàm y được gọi là hàm tuyến tính của x nếu nó có dạng y = mx + b, trong đó m là hệ số góc và b là tung độ của điểm cắt trục tung Đồ thị của hàm này sẽ là một đường thẳng, thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa x và y.
Nét đặc trưng của hàm tuyến tính là nó thay đổi theo tốc độ hằng Hằng số đó chính là hệ số góc m
( ) 3 2 f x x xem bảng tính các giá trị của y ta có nhận thấy khi x tăng 0.1 thì ( )f x tăng 0.3, tức ( )f x tăng nhanh gấp 3 lần x.
Ví dụ 19: Đài thiên văn Mauna
Loa thống kê lượng carbon dioxide trung bình trong khí quyển, theo đơn vị phần triệu, từ năm 1980 đến 2008 (bảng bên)
Sử dụng dữ liệu đã cho để tìm mô hình toán học cho mức carbon dioxide
(in ppm) Year CO 2 level
Dữ liệu trong bảng được minh họa bằng hình vẽ cho thấy các điểm gần như nằm trên một đường thẳng, gợi ý đến mô hình tuyến tính Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là nên chọn đường thẳng nào để đạt được sự xấp xỉ tốt nhất? Một trong những lựa chọn là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của dữ liệu, với hệ số góc của đường thẳng này.
Phương trình của đường thẳng là:
Ví dụ 20: Trong kinh tế vĩ mô, hàm đầu tư (investment function) tuyến tính có dạng:
Đầu tư không phụ thuộc vào lãi suất được biểu diễn bằng công thức I = -c d r, trong đó c và d là các hằng số dương Đường dốc xuống cho thấy rằng khi lãi suất giảm, người dân có xu hướng đầu tư nhiều hơn thay vì chi tiêu Ngược lại, khi lãi suất tăng, họ sẽ giảm đầu tư và chuyển sang chi tiêu để tránh tổn hại do sức mua của đồng tiền giảm sút.
Hàm P gọi là một đa thức nếu:
0, 1, , n a a a : hệ số (coefficient) của đa thức, n: bậc (degree) của đa thức
Miền xác định của đa thức: D Đa thức bậc 1 có dạng P x( )mx b (m0), đây là hàm tuyến tính Đa thức bậc 2 có dạng P x( )ax 2 bxc a( 0), gọi là hàm bậc hai
Giới hạn của hàm số
BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (THE TANGENT PROBLEM) Để tìm phương trình tiếp tuyến t với parabol yx 2 tại điểm P(1, 1), ta cần biết hệ số góc
(slope) m của t Công việc đó được thực hiện như thế nào? Trước tiên, ta lấy điểm Q x x , 2 thuộc parabol đã cho thì hệ số góc của cát tuyến
CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ: Với b0, b1 ta có: log log log b a b x x
Xem bảng tính giá trị của m PQ tại các điểm x nhận giá trị gần với giá trị x1 ta thấy khi
1 x (khi đó Q P hay cát tuyến PQ vị trí của tiếp tuyến t) thì m PQ m( 2).
Hệ số góc của tiếp tuyến được xác định là giới hạn của hệ số góc của các tiếp tuyến Để hiểu rõ hơn về giới hạn hàm số, chúng ta có thể xem xét một ví dụ cụ thể.
Cho hàm số f x( )x 2 x 2 Tính giá trị của ( )f x khi x gần 2 nhưng x không bằng 2:
Khi x tiến gần đến 2 từ cả hai phía, giá trị của hàm số f(x) cũng tiến gần đến 4 Điều này có nghĩa là ta có thể chọn giá trị x đủ gần 2 để f(x) đạt gần 4 một cách tùy ý Do đó, ta có thể khẳng định rằng giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến 2 là 4.
Giới hạn của hàm số f(x) = x² - x + x khi x tiến gần đến 2 là 4, được biểu diễn dưới dạng: lim x → 2 (x² - x + x²) = 4 Định nghĩa giới hạn cho biết rằng giá trị của f(x) có thể tiến gần đến L một cách tùy ý khi giá trị của x đủ gần a, với điều kiện x không bằng a.
Trong định nghĩa trên, chúng ta chỉ xem xét giá trị của hàm số f(x) khi x tiến gần đến a, với điều kiện x không bằng a Do đó, việc hàm số có xác định tại a hay không không phải là yếu tố quan trọng.
Ví dụ 1: Dự đoán giá trị của 2
không xác định khi x1, tuy nhiên ta chỉ quan tâm đến giá trị của ( )f x khi x gần 1 và x1 Dựa vào bảng giá trị của ( )f x ta dự đoán được lim ( )1 0.5 x f x
Nếu thay đổi hàm f bởi hàm g như sau:
Hàm g vẫn có giới hạn bằng 0.5 khi x dần đến 1
Một lần nữa ta thấy không cần quan tâm đến giá trị của hàm số tại điểm cần tính giới hạn
Ví dụ 2: Dự đoán giá trị của
Bảng bên đưa ra các giá trị của f đúng đến tám chữ số thập phân Dựa vào bảng ta dự đoán
không xác định tại x0 Tính các giá trị của f x( ) khi x gần 0:
Dựa vào các tính toán trên có thể dự đoán
Tuy nhiên, dự đoán này không đúng vì ta chọn tính các giá trị của hàm f không bao quát
Quan sát đồ thị của hàm số f, ta nhận thấy có những đường gần như thẳng đứng và dày đặc gần trục tung, điều này cho thấy các giá trị của sin x có sự tập trung cao.
dao động giữa 1 và 1 vô hạn lần khi x dần đến 0
Vì giá trị của f x( ) không dần đến một số cố định khi x dần đến 0 nên
GIỚI HẠN MỘT PHÍA (ONE-SIDED LIMITS)
Từ các định nghĩa trên suy ra: lim ( ) x a f x L
khi và chỉ khi lim ( ) x a f x L
ĐỊNH NGHĨA: Giới hạn của f x( ) khi x dần đến a từ bên trái bằng
L nếu giá trị của hàm số f x( ) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a và x nhỏ hơn a
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến gần đến a từ phía bên phải được định nghĩa là L, nếu giá trị của f(x) có thể đạt gần L một cách tùy ý khi x đủ gần a và lớn hơn a.
Ví dụ 4: Dựa vào đồ thị, tính các giới hạn sau (nếu tồn tại): a
Giải: Dựa vào đồ thị ta có: a
nên ( )g x không có giới hạn khi x dần đến 2 d
Ví dụ 5: Chứng minh lim0 0 x x
GIỚI HẠN VÔ CÙNG (INFINITE LIMITS)
Nhìn vào bảng giá trị hàm số 1 2
( ) , f x x ta thấy khi x dần đến 0 thì x 2 cũng dần đến 0 và 1 2 x trở nên rất lớn
Quan sát đồ thị, ta nhận thấy rằng giá trị của hàm số f(x) có thể trở nên lớn một cách tùy ý khi x tiến gần đến 0, nhưng f(x) không hội tụ về một giá trị cụ thể nào Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng hàm số này không có giới hạn khi x tiến đến 0.
0 lim 1 x x không tồn tại và viết
Lưu ý rằng đẳng thức này chỉ mang tính hình thức và không phải là một số cụ thể, vì giới hạn không tồn tại và giá trị của 1/2x có thể trở nên lớn tùy ý khi x tiến gần 0 Định nghĩa giới hạn vô cùng tại một điểm được đưa ra như sau: cho hàm f xác định từ hai phía của điểm a, ngoại trừ chính điểm a.
nếu giá trị của f x( ) có thể lớn tùy ý khi x đủ gần
nếu giá trị của f x( ) có thể âm, lớn tùy ý khi x đủ gần a x, a
Một cách tương tự, ta có thể định nghĩa các giới hạn một phía: lim lim ( ) , lim ( ) , ( ) , lim ( ) x a f x x a f x x a f x x a f x
Các hình sau minh họa thêm cho các giới hạn trên:
Giải: Khi x3 thì x 3 0 và 2x dần về 6
LUẬT TÍNH GIỚI HẠN (CALCULATING LIMITS USING THE
LUẬT TÍNH GIỚI HẠN: Giả sử tồn tại các giới hạn lim ( ), lim ( ) x a f x x a g x
và c là một hằng số thì:
(Nếu n chẵn, giả sử lim ( ) 0 x a f x
Lưu ý: Các luật trên cũng đúng cho giới hạn một phía
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau a lim 2 x 5 x 2 3 x 4 b lim 2 3 2 2 1
Giải: a lim 2 5 2 3 4 lim 2 5 2 lim(3 ) lim 4 5 5 x x x x x x x x
2 2 lim 2 lim lim1 lim 5 3 lim x x x x x x x x
x Đặt 7x, ta có 0 khi x0 Vậy:
0 0 0 sin 7 7 sin 7 7 sin 7 7 lim lim lim 1
TÍNH CHẤT THAY THẾ TRỰC TIẾP: Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và a thuộc miền xác định của f thì lim ( ) ( ). x a f x f a
Nếu f x( )g x( ), x a và các giới hạn lim ( ) x a f x
tồn tại thì lim ( ) lim ( ). x a f x x a g x
Ví dụ 13: Chứng minh lim0 x x
Có tồn tại hay không lim ( )4 x f x
Ví dụ 15: Hàm phần nguyên, kí hiệu x , là hàm có giá trị là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x (ví dụ, 4 4, 4.8 4, 3,
) Chứng tỏ rằng lim3 x x không tồn tại.
Vậy, lim3 x x không tồn tại ĐỊNH LÍ: Nếu f x( )g x( ) khi x gần a (có thể trừ điểm a) và lim ( ), lim ( ) x a f x x a g x
đều tồn tại thì lim ( ) lim ( ) x a f x x a g x
ĐỊNH LÍ KẸP (THE SQUEEZE THEOREM): Nếu f x( ) g x( )h x( ) khi x đủ gần a (có thể trừ điểm a) và lim ( ) lim ( ) x a f x x a h x L
Giải: Ta không thể viết 2 2
0 lim sin1 x x không tồn tại Giới hạn này được tính như sau:
Mặt khác, lim x 0 x 2 lim x 0 x 2 0. Áp dụng Định lý kẹp ta suy ra:
x ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC CỦA GIỚI HẠN (THE PRECISE
DEFINITION OF A LIMIT) Định nghĩa giới hạn hàm số ở trang 22 là rất mơ hồ ở các thuật ngữ “ ( )f x gần L một cách tùy ý” và “x đủ gần a” Chẳng hạn, khi xét hàm:
Một cách trực giác ta hình dung khi x dần đến 3 và x3 thì f x( ) dần đến 5 nên lim ( )3 5 x f x
Để tìm hiểu cách hàm số f(x) thay đổi khi x tiến gần đến 3, chúng ta cần xác định giá trị của x sao cho sự sai khác giữa f(x) và 5 nhỏ hơn 0.1.
Khoảng cách từ x đến 3 là x3, khoảng cách từ f x( ) đến 5 là
( ) 5 , f x vậy vấn đề của chúng ta là tìm số sao cho:
Nếu khoảng cách từ x đến 3 nhỏ hơn 0.05, thì khoảng cách từ f(x) đến 5 sẽ nhỏ hơn 0.1, với số δ cần tìm là 0.05 Tương tự, nếu khoảng cách từ f(x) đến 5 nhỏ hơn 0.01, ta có thể áp dụng lập luận tương tự.
Các sai số 0.1, 0.01, và 0.001 giữa \( f(x) \) và 5 cho thấy mức độ gần gũi của \( f(x) \) với 5 Tuy nhiên, để khẳng định rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến gần đến 3 là 5, cần xem xét thêm các yếu tố khác ngoài khoảng cách giữa \( f(x) \) và 5.
5 nhỏ hơn vài con số nhỏ nào đó mà ta phải xét trên một khoảng cách nhỏ bất kỳ Nếu viết
(epsilon) là số dương nhỏ tùy ý, với cách tìm như trên ta có:
Cách chính xác để diễn đạt rằng ( )f x tiến gần đến 5 khi x tiến gần đến 3 là việc chúng ta có thể làm cho giá trị của ( )f x gần 5 trong một khoảng cách nhỏ tùy ý bằng cách chọn các giá trị của x gần 3.
(x3) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim ( ) x a f x L
nếu với mỗi số 0, tồn tại số 0 thỏa: nếu 0 x a thì f x( ) L
Vậy, ta có thể phát biểu lại định nghĩa giới hạn như sau: lim ( ) x a f x L
nếu với mỗi số 0, có thể tìm số 0 để với x thuộc khoảng ( a , a ) thì ( )f x thuộc khoảng (L, L)
Ví dụ 17: Chứng minh lim(43 5) 7. x x
Phân tích để dự đoán : Với mọi 0, ta cần tìm số thỏa mãn: nếu
Vì (4x 5) 7 4x12 4(x3) khi 3 x 4 nên ta dự đoán
Chứng minh: Với mọi 0, chọn
Vậy, theo định nghĩa giới hạn: lim(43 5) 7 x x
Tương tự, ta chính xác các định nghĩa giới hạn một phía như sau: lim ( ) x a f x L
nếu với mọi 0, tồn tại 0 thỏa: nếu a x a thì f x( ) L . lim ( ) x a f x L
nếu với mọi 0, tồn tại 0 thỏa: nếu a x a thì f x( ) L .
Phân tích để dự đoán : 0, ta tìm số thỏa mãn: nếu 0 x thì x 0 .
Tương tự, ta chính xác các định nghĩa giới hạn vô cùng như sau:
0 lim 1 x x ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim ( ) x a f x
nếu với mỗi số M 0, tồn tại số 0 sao cho: nếu 0 x a thì
Giải: Với mọi M 0, ta tìm số thỏa mãn: nếu 0 x thì 1 2
. x M Điều này cho thấy 1 2 x khi 0. x ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim ( ) x a f x
nếu với mỗi số N 0, tồn tại số 0 sao cho: nếu 0 x a thì
Một cách tương tự, ta có thể định nghĩa các giới hạn một phía: lim lim ( ) , lim ( ) , ( ) , lim ( ) x a f x x a f x x a f x x a f x
GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG (LIMITS AT INFINITY)
Quan sát hình vẽ và bảng giá trị của hàm
Khi x tăng lên, giá trị của hàm f tiến gần đến 1, điều này có nghĩa là với x đủ lớn, giá trị f(x) có thể gần 1 tùy ý Ta nói rằng hàm f có giới hạn là 1 khi x tiến ra vô cùng Định nghĩa: Cho hàm f xác định trên (a, ∞), lim (x → ∞) f(x) = L.
nếu với mỗi số 0, tồn tại số N thỏa: nếu xN thì
( ) f x L ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm f xác định trên (, ).a lim ( ) x f x L
nếu với mỗi số 0, tồn tại số N thỏa: nếu xN thì
Ví dụ 20: Tìm các giới hạn vô cùng, giới hạn tại vô cùng của hàm số có đồ thị như trong hình
Giải: Các giới hạn vô cùng:
Các giới hạn tại vô cùng: lim ( ) 2, lim ( ) 4. x f x x f x
Ví dụ 21: Chứng minh 1 lim 0. x x
Giải: Với mọi 0, cần tìm N thỏa: nếu xN thì 1
thì 1 1 x 0 x Theo định nghĩa ta được 1 lim 0. x x ĐỊNH LÍ:
Nếu r là số hữu tỷ dương thì 1 lim r 0. x x
Nếu r là số hữu tỷ dương và x r xác định với mọi x thì lim 1 r 0. x x
Quan sát đồ thị của hàm số mũ ye x ta có: lim x 0 x e
(điều này cũng đúng cho mọi hàm số mũ có cơ số
Giải: Khi x tăng, các giá trị của sinx dao động giữa 1 và 1, chúng không dần về một giá trị xác định Do đó, không tồn tại giới hạn limsin x x
GIỚI HẠN VÔ CÙNG TẠI VÔ CÙNG (INFINITE LIMITS AT
có nghĩa giá trị của f x( ) càng lớn khi x càng lớn Các ký hiệu sau có nghĩa tương tự: lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x f x x f x x f x
ĐỊNH NGHĨA: Cho f xác định trên ( ,a ).
nếu với mỗi M 0, tồn tại số N 0 sao cho: nếu xN thì
Các hàm y x 3 và ye x dần ra vô cùng khi x dần ra vô cùng, nhưng hàm ye x dần ra vô cùng nhanh hơn khi x càng lớn
Giải: Ta không được viết
vì các luật giới hạn không áp dụng cho các giới hạn vô cùng và cũng không được định nghĩa Tuy nhiên, ta có thể viết
vì khi x và x1 lớn tùy ý thì tích (x x1) cũng vậy lim x x e
Giới hạn của dãy số
ĐỊNH NGHĨA: Dãy số vô hạn ( infinite sequence ) là tập hợp vô hạn các số sắp xếp theo một trật tự nhất định
Dãy số a a a 1, 2, 3, còn được ký hiệu là a n hoặc a n n 1
Trong dãy số, mỗi vị trí n (n = 1, 2, 3, ) chỉ có duy nhất một số a_n, do đó có thể coi dãy số này như một hàm số f với tập xác định là tập các số nguyên dương Điều này có nghĩa là a_n có thể được biểu diễn dưới dạng f(n).
Tổng quát, dãy số a n có thể được cho dưới dạng a n f n( ) với n không nhất thiết bắt đầu từ 1
Ví dụ 1: Liệt kê 4 số đầu tiên của các dãy số sau: a
2 2 ĐỊNH NGHĨA: Dãy số a n có giới hạn L nếu giá trị của a n có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của n đủ lớn
(hay a n L khi n ) Định nghĩa chính xác như sau: ĐỊNH NGHĨA: lim n n a L
nếu với mỗi số 0, tồn tại số nguyên N thỏa: nếu nN thì a n L
tồn tại, ta nói dãy a n hội tụ ( convergent ); ngược lại, dãy a n được gọi là phân kỳ ( divergent )
Nếu a n càng lớn khi n lớn, ta viết lim n n a
Định nghĩa chính xác như sau: ĐỊNH NGHĨA: lim n n a
nếu với mỗi số M 0, tồn tại số nguyên N thỏa: nếu nN thì a n M
So sánh định nghĩa giới hạn hàm số tại dương vô cùng, tức lim ( ) x f x L
, và giới hạn dãy số, tức lim n n a L
, ta thấy nếu xem a n f n( ) thì điểm khác biệt duy nhất giữa 2 định nghĩa này là yêu cầu n phải là số nguyên
Do đó, ta có định lí sau đây: ĐỊNH NGHĨA: Nếu lim ( ) x f x L
và f n( )a n với n là số nguyên thì lim n n a L
Dựa vào định lý đã nêu, chúng ta có thể diễn đạt lại các quy tắc và công thức liên quan đến giới hạn của hàm số, từ đó áp dụng cho giới hạn của dãy số một cách tương tự.
LUẬT TÍNH GIỚI HẠN: Cho các dãy số hội tụ a n , b n và c là một hằng số thì:
ĐỊNH LÍ KẸP (THE SQUEEZE THEOREM): Nếu a n b n c n với mọi nN và lim n lim n n a n c L
Ví dụ 2: Dãy số a n hội tụ hay phân kỳ, biết: a n 1 a n
Giải: a Chia tử và mẫu của a n cho n, ta được: lim lim 1 1
Vậy, dãy a n hội tụ b Chia tử và mẫu của a n cho n, ta được:
(vì tử là hằng số và mẫu dần về 0 ) Vậy, dãy a n phân kỳ c Ta đã biết
x , do đó chia tử và mẫu của a n cho n, ta được: sin1 lim sin1 lim 1
Vậy, dãy a n hội tụ d Vì ( 1) 1 lim lim 0 n n n n n
, theo định lí trên, suy ra: ( 1) lim 0 n n n
Ngoài ra, theo tính chất của hàm số mũ, ta có lim x x a
khi 0 a 1 Do đó, kết hợp với định lí trên ta được: ĐỊNH LÍ: Dãy q n hội tụ khi và chỉ khi 1 q 1, cụ thể:
Ví dụ 3: Với q 1, tính tổng sau: S 1 q q 2 q n
Nhân 2 vế cho 1q ta được:
Vì q 1, cho n , ta được lim 1 n 1 n S
Liên tục
Lưu ý: Từ định nghĩa suy ra có 3 điều kiện để hàm f liên tục tại :a ĐỊNH NGHĨA: Hàm f liên tục tại điểm a
( continuous at a number a ) nếu lim ( ) ( ) x a f x f a
f a( ) được xác định (a thuộc miền xác định của f );
Đồ thị của hàm số liên tục tại một điểm không bị đứt tại điểm đó.
Các hiện tượng trong đời sống thường diễn ra liên tục theo thời gian, chẳng hạn như sự biến đổi của nhiệt độ tại một địa điểm, chiều cao của một cá nhân, hay vận tốc của một chiếc ô tô.
Nếu f không liên tục tại ,a ta nói f gián đoạn ( discontinuous ) tại a.
Ví dụ 1: Cho hàm f có đồ thị như hình bên f gián đoạn tại điểm nào? Giải thích
Hàm f gián đoạn tại x1 vì f(1) không xác định
Hàm f gián đoạn tại x3 vì không tồn tại lim ( )3 x f x
Hàm f gián đoạn tại x5 vì lim ( )5 (5) x f x f
Ví dụ 2: Tìm điểm gián đoạn của các hàm số sau: a
Giải: a Hàm f không xác định tại x2 Vậy, f không liên tục tại x2. b Ta có f(0)1 nhưng 2
0 lim 1 x x Vậy, f không liên tục tại x0. c Ta có f(2) 1 và
do đó f không liên tục tại x2. d Hàm f x( ) x không liên tục tại mọi điểm n vì lim x n x không tồn tại
Khi xem xét đồ thị của các hàm trong ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rằng các đường biểu diễn không liên tục, thể hiện qua sự xuất hiện của lỗ (hole), đoạn đứt (break) hoặc bước nhảy (jump).
Điểm gián đoạn trong hình (a) và (c) gọi là gián đoạn bỏ được
( removable ) vì ta có thể bỏ nó bằng cách xây dựng lại hàm f
Gián đoạn trong hình (b) gọi là gián đoạn vô hạn ( infinite discontinuity )
Gián đoạn trong hình (d) gọi là gián đoạn có bước nhảy ( jump discontinuity ) vì hàm nhảy từ giá trị này sang giá trị khác
Một bãi đậu xe tính phí 3 đô la cho giờ đầu tiên và 2 đô la cho mỗi giờ tiếp theo, với mức tối đa là 10 đô la trong một ngày Đồ thị biểu diễn chi phí đậu xe theo thời gian sẽ có hình dạng bậc thang, bắt đầu từ 3 đô la và tăng dần cho đến khi đạt 10 đô la Sự gián đoạn của hàm số này thể hiện rõ ràng các khoảng thời gian mà người dùng cần lưu ý, giúp họ quản lý chi phí hiệu quả hơn khi đậu xe Việc hiểu rõ cấu trúc phí này là rất quan trọng đối với người đậu xe, vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến quyết định thời gian lưu trú của họ.
Hàm số gián đoạn tại các thời điểm t = 1, 2, 3, 4, và người đậu xe cần lưu ý rằng chi phí đậu sẽ tăng lên vào đầu mỗi giờ gửi Định nghĩa hàm f liên tục bên phải điểm a là lim (x → a+) f(x) = f(a).
, liên tục bên trái điểm a nếu lim ( ) ( ). x a f x f a
ĐỊNH NGHĨA: Hàm f liên tục trong một khoảng ( interval ) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng
Nếu hàm số f chỉ được xác định ở một phía của điểm đầu hoặc điểm cuối của khoảng, thì ta hiểu tính liên tục tại các điểm đó theo nghĩa liên tục bên phải hoặc bên trái.
Ví dụ 4: Chứng minh hàm số f x( ) 1 1x 2 liên tục trên khoảng
Giải: Với mọi a ( 1, 1), ta có:
Vậy, f liên tục tại ,a với mọi a ( 1, 1) Do đó f liên tục trên ( 1, 1)
Ví dụ 5: Chứng minh hàm số f x( ) 1 1x 2 liên tục trên đoạn [ 1, 1]
Giải: Ở Ví dụ 4 ta đã biết f liên tục trên khoảng ( 1, 1)
Ngoài ra, f liên tục bên phải điểm 1, bên trái điểm 1 vì
Vậy, f liên tục trên đoạn [ 1, 1] ĐỊNH LÍ: Nếu f và g là các hàm liên tục tại a, và c là một hằng số thì các hàm sau cũng liên tục tại a:
Chứng minh: Ta chứng minh kết luận 1, các kết luận khác chứng minh tương tự
Vì f g, liên tục tại ,a ta có: lim ( ) ( ), lim ( ) ( ). x a f x f a x a g x g a
Hàm f + g liên tục tại điểm a Các loại hàm sau đây đều liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của chúng: hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm căn thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và hàm lượng giác ngược.
Giải: Xét hàm hữu tỷ
có miền xác định là 5
Vậy, f liên tục tại điểm 2, do đó
liên tục trên khoảng nào?
Giải: f xác định khi và chỉ khi 2 0 0
Vậy, f liên tục trên (0, 1) và (1, )
Ví dụ 8: Tính sin lim x 2 cos x
xác định với mọi x nên liên tục trên
ĐỊNH LÍ: Nếu f liên tục tại b và lim ( ) x a g x b
Giải: Vì arcsin là hàm liên tục, do đó:
ĐỊNH LÍ: Nếu f liên tục tại b và lim n n a b
Ví dụ 10: Tính lim sin n n
Giải: Vì sin là hàm liên tục, do đó: limsin sin lim sin 0 0. n n n n
ĐỊNH LÍ: Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g a( ) thì hàm hợp f g liên tục tại a.
Chứng minh: g liên tục tại :a lim ( ) ( ). x a g x g a
Vậy, hàm hợp f g liên tục tại a
Ví dụ 11: Tìm khoảng liên tục của các hàm số sau: a h x ( ) sin x 2 b F x ( ) ln(1 cos ) x
Giải: a Ta có h x ( ) f g x ( ) , trong đó g x( )x 2 và f x( )sin x
Vì ( )g x và ( )f x liên tục trên nên ( )h x liên tục trên b ln(1 cos ) x xác định khi 1 cos x0
Suy ra hàm số không xác định khi cosx 1 x k,k
(k ) và liên tục trên các khoảng nằm giữa các giá trị này ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN (INTERMEDIATE VALUE
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ , ]a b và f a( )N f b( ) (hoặc
( ) ( ) f b N f a ) Khi đó tồn tại c( , )a b thỏa f c( ) N.
Định lý giá trị trung gian được minh họa qua các hình ảnh, cho thấy rằng đồ thị của hàm số liên tục không có lỗ và không bị đứt Điều này đồng nghĩa với việc bất kỳ đường thẳng nằm ngang y = N nào nằm giữa hai đường y = f(a) và y = f(b) đều sẽ cắt đồ thị của hàm số.
Tính chất liên tục là cần thiết trong định lí trên, đối với hàm gián đoạn, Định lí giá trị trung gian nói chung không đúng.
Ví dụ 12: Chứng minh phương trình 4x 3 6x 2 3x 2 0 có nghiệm trong khoảng (1, 2)
Hàm số f có miền xác định là nên liên tục trên đoạn [1, 2]
Do đó, theo Định lí giá trị trung gian, tồn tại c(1, 2) để f c( )0 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (1, 2).
Để phân tích đồ thị hàm số f và g, chúng ta thực hiện các bước sau: đầu tiên, tính giá trị của f tại 4 và g tại 3; tiếp theo, tìm giá trị x sao cho f(x) = g(x); sau đó, ước lượng nghiệm của phương trình f(x) = -1; tiếp theo, xác định khoảng mà hàm f tăng; cuối cùng, xác định miền xác định và miền giá trị của cả hai hàm f và g.
2 Cho biết đường cong nào sau đây là đồ thị của một hàm số theo biến
. x Nếu đúng hãy tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số đó
Đồ thị thể hiện sự thay đổi cân nặng của một người theo độ tuổi, cho thấy mối liên hệ giữa trọng lượng và thời gian Theo thời gian, cân nặng của người này có xu hướng tăng lên trong giai đoạn trưởng thành, sau đó có thể giảm nhẹ khi đến tuổi trung niên Sự biến động này phản ánh ảnh hưởng của các yếu tố sinh lý và lối sống trong từng giai đoạn phát triển.
Theo bạn điều gì đã xảy ra khi người đó 30 tuổi?
4 Có 3 thí sinh trong cuộc thi chạy
Cuộc đua 100 mét được thể hiện qua đồ thị, cho thấy quãng đường chạy của từng người theo thời gian Mỗi vận động viên có một tốc độ khác nhau, và điều này ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng Theo phân tích, người chiến thắng là người có thời gian hoàn thành ngắn nhất Tuy nhiên, không phải tất cả các vận động viên đều hoàn thành cuộc đua, điều này cho thấy sự khác biệt trong khả năng và sức bền của từng người.
5 Tìm miền xác định của các hàm số sau: a
6 Tìm miền xác định và phác họa đồ thị hàm số: a 3
7 Tìm công thức biểu diễn của các hàm số có đồ thị là: a Đoạn thẳng nối các điểm (1, 3) và (5, 7) b Nửa phần bên dưới của parabol x(y1) 2 0. c d
Cửa sổ kiểu Norman có hình dạng chữ nhật với phần trên là nửa vòng tròn và có chu vi tổng cộng là 30 feet Để tìm hàm diện tích của cửa sổ theo chiều rộng x, ta cần xác định các thông số liên quan đến chiều cao và bán kính của nửa vòng tròn Diện tích cửa sổ sẽ được tính bằng tổng diện tích hình chữ nhật và diện tích nửa vòng tròn, từ đó tạo ra một hàm số biểu diễn diện tích theo chiều rộng x.
9 Biểu giá bán điện thực hiện từ ngày 01/07/2012 được cho bởi:
STT Mức sử dụng của một hộ gia đình trong một tháng
Để tính tổng số tiền phải trả E cho mức sử dụng điện từ 401 kWh trở lên, ta cần xây dựng công thức E = 2192 * (x - 400) + 2192, trong đó x là mức sử dụng điện Đồ thị biểu diễn tổng số tiền E theo mức sử dụng x sẽ có dạng đường thẳng, bắt đầu từ điểm (400, 2192) và tăng dần theo mức sử dụng Từ ngày 01 tháng 08 năm 2013, theo thông tư số 19/2013/TT-BCT, quy định về biểu giá bán lẻ điện sinh hoạt cho hộ gia đình đã có sự thay đổi, do đó cần nghiên cứu thông tư này để điều chỉnh công thức và tính toán lại tổng số tiền phải trả cho phù hợp với quy định hiện hành.
Từ ngày 01/01/2009, cách tính thuế thu nhập cá nhân tại Việt Nam quy định rằng nếu một người không được giảm trừ gia cảnh, sau khi trừ các khoản phí bắt buộc như bảo hiểm và các quỹ đóng góp, thu nhập từ 4 triệu đồng trở xuống sẽ không phải chịu thuế Phần thu nhập vượt quá 4 triệu đồng sẽ bị đánh thuế theo hình thức lũy tiến.
Nếu một người có thu nhập 20 triệu đồng mỗi tháng sau khi đã trừ hết các khoản chi phí, thì số thuế thu nhập cá nhân mà họ phải nộp hàng tháng sẽ được tính toán dựa trên mức thu nhập này.
Gọi I là thu nhập thực sự của một người sau khi đã trừ hết các khoản phí phải đóng Đầu tiên, phác họa đồ thị thể hiện phần trăm thuế phải đóng R dưới dạng hàm theo thu nhập I Tiếp theo, phác họa đồ thị tổng số tiền thuế T phải đóng cũng dưới dạng hàm theo thu nhập I Cần lưu ý rằng từ ngày 01 tháng 07 năm 2013, quy định về cách tính thuế thu nhập cá nhân đã có sự thay đổi theo nghị định số 65/2013/NĐ-CP Do đó, hãy tìm hiểu nghị định này và điều chỉnh lại bài toán trên cho phù hợp với quy định hiện hành.
11 Bảng sau thống kê lượng carbon dioxide trung bình trong khí quyển, theo đơn vị phần triệu do đài thiên văn Mauna Loa đo đạc từ 1980 đến
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
Đạo hàm và tốc độ biến thiên
Bài toán tiếp tuyến, được thảo luận trong Chương 1, cùng với các bài toán mô tả tốc độ thay đổi trong khoa học và kỹ thuật, đều dẫn đến việc xác định một giới hạn chung, được gọi là đạo hàm.
TIẾP TUYẾN (TANGENT LINE) ĐỊNH NGHĨA: Tiếp tuyến với đường cong
( ) y f x tại điểm P a f a , ( ) là đường thẳng đi qua điểm P với hệ số góc ( ) ( ) lim x a f x f a m x a
nếu giới hạn này tồn tại Đặt h x a x a h thì
ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM ĐỊNH NGHĨA: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f a( ) là:
, nếu giới hạn này tồn tại
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số f x( ) x 2 8x9 tại điểm a
Giải: Theo định nghĩa ta có:
Tiếp tuyến với đường cong y f x( ) tại điểm a f a , ( ) là đường thẳng đi qua a f a , ( ) , có hệ số góc f a( ) và có phương trình:
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với parabol yx 2 8x9 tại điểm
Giải: Từ Ví dụ 1 ta có: y a( )2a8
Hệ số góc của tiếp tuyến tại (3,6) là:
Phương trình của tiếp tuyến tại điểm (3,6) :
TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN (RATES OF CHANGE)
Giả sử y là một hàm theo x: y f x( )
Khi x thay đổi từ x 1 sang x 2 thì độ thay đổi
(còn gọi là số gia (increment)) của x là:
là tốc độ biến thiên trung bình của y tương ứng với x trên đoạn [ ,x x 1 2 ] và có thể hiểu như là hệ số góc của cát tuyến PQ trong hình ở trên
Khi thu nhỏ đoạn đang xét bằng cách cho x 2 x 1 thì x 0 và QP.
Giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình y x
Tốc độ biến thiên tức thời của y đối với x tại x = x₁ được định nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm P(x₁, f(x₁)).
Tốc độ biến thiên tức thời 2 1
Giới hạn trên chính là đạo hàm f x( ) 1 , vậy: Đạo hàm f a( ) là tốc độ biến thiên tức thời của y f x( ) khi xa.
Đạo hàm f a( ) tại điểm a thể hiện tốc độ biến thiên tức thời và là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại a Khi đạo hàm lớn, đường cong trở nên dốc, cho thấy giá trị y thay đổi nhanh chóng (như tại điểm P) Ngược lại, khi đạo hàm nhỏ, đường cong phẳng, dẫn đến sự thay đổi chậm của giá trị y (như tại điểm Q).
Một hãng sản xuất vải có chiều rộng cố định cho mỗi cây vải, với chi phí sản xuất x yard vải đầu tiên được biểu diễn bằng hàm C = f(x) dollar Đạo hàm f'(x) đại diện cho chi phí sản xuất thêm một yard vải, và đơn vị của f'(x) là dollar/yard Trong thực tế, đẳng thức f'(1000) = 9 cho thấy rằng khi sản xuất đến 1000 yard vải, chi phí để sản xuất thêm một yard vải là 9 dollar.
Tốc độ biến thiên tức thời của chi phí sản xuất C đối với số yard vải sản xuất được thể hiện qua đạo hàm f'(x), cho thấy sự thay đổi chi phí sản xuất theo từng đơn vị vải.
Đơn vị của độ thay đổi chi phí (ΔC) là dollar và đơn vị của độ thay đổi sản lượng (Δx) là yard, do đó đơn vị của đạo hàm f'(x) là dollar/yard Đẳng thức f'(1000) = 9 cho thấy khi x = 1000, độ thay đổi của chi phí gấp 9 lần độ thay đổi của sản lượng Điều này có nghĩa là khi sản xuất 1000 yard vải, tốc độ tăng chi phí sản xuất là 9 dollar/yard Nếu chọn Δx = 1, ta có thể phân tích sâu hơn về sự thay đổi này.
x rất nhỏ so với x1000 nên ta có xấp xỉ sau :
Vậy, (1001)f f(1000) 9 nên có thể nói chi phí sản xuất yard vải thứ 1001 vào khoảng 9 dollar
Tại thời điểm t, công nợ của Mỹ được ký hiệu là D(t), với các giá trị ước tính theo đơn vị triệu đô la từ năm 1980 đến 2005 Bảng dưới đây cung cấp số liệu gần đúng về giá trị của hàm này vào cuối mỗi năm Đặc biệt, cần ước lượng giá trị D'(1990) và giải thích ý nghĩa của nó trong bối cảnh kinh tế.
Giải: Đạo hàm D(1990) cho biết tốc độ gia tăng công nợ của Mĩ vào năm 1990 Theo định nghĩa đạo hàm:
Dựa trên dữ liệu hiện có, chúng ta có thể xây dựng bảng tỷ số sai phân (tốc độ biến thiên trung bình) Qua bảng này, có thể nhận thấy rằng tiền nợ không có sự dao động lớn trong khoảng thời gian từ 1980 đến nay.
2005 Hơn nữa D(1990) trong khoảng từ
257.48 đến 348.14 triệu dollar/năm nên có thể dùng trung bình của hai con số này để ước lượng D(1990)
230.31 257.48 348.14 244.09 313.29 ĐẠO HÀM LÀ MỘT HÀM SỐ (THE DERIVATIVE AS A
Với một điểm a cố định, đạo hàm của hàm f tại a:
Đạo hàm của hàm f, ký hiệu là f'(x), được tính dựa trên từng giá trị của x, miễn là giới hạn tồn tại Điều này cho thấy rằng giá trị của f'(x) phụ thuộc vào biến độc lập x, và do đó, f' có thể được xem như một hàm của x Miền xác định của hàm f' là tập hợp các giá trị x mà tại đó f'(x) tồn tại, có thể nhỏ hơn miền xác định của hàm f.
Nếu đặt y f x( ) thì fcòn được gọi là đạo hàm của y theo x và được ký hiệu bằng nhiều cách khác nhau như sau:
( ) dy df d ( ) ( ) x ( ). f x y f x Df x D f x dx dx dx
Để ký hiệu giá trị của đạo hàm dy dx tại xa, ta có thể viết x a dy dx
Ví dụ 5: Cho f x( )x 3 x, tìm công thức của f x( )
Quan sát đồ thị ta thấy
( ) 0 f x khi f có tiếp tuyến nằm ngang, và
( ) 0 f x khi tiếp tuyến có hệ số góc dương
Ví dụ 6: Cho f x( ) x, tìm đạo hàm của f Tìm miền xác định của f
Hàm số f được xác định khả vi khi x > 0, do đó miền xác định của f' là (0, ∞) Hàm f được gọi là khả vi tại điểm a nếu f'(a) tồn tại Hàm f khả vi trong khoảng (a, b), (a, ∞), (-∞, a) hoặc (-∞, ∞) nếu nó khả vi tại mọi số thuộc khoảng đó Định lý cho biết nếu f khả vi tại a thì f cũng liên tục tại a.
Chứng minh: Vì f khả vi tại a nên tồn tại ( ) ( )
Hàm số liên tục tại điểm a không nhất thiết phải khả vi tại điểm đó Một hàm số sẽ không khả vi tại a nếu xảy ra một trong các trường hợp sau: đồ thị của hàm số có góc (corner) tại a, hàm số không liên tục tại a, hoặc đồ thị hàm số có tiếp tuyến đứng tại a.
Ví dụ 7: Dựa vào đồ thị cho biết hàm ( )f x x liên tục trên khoảng nào, khả vi trên khoảng nào?
Giải: Vì đồ thị hàm liên tục là một đường liền nét nên hàm số f x( ) x liên tục trên
Vậy, f khả vi trên các khoảng (, 0) và (0,) ĐẠO HÀM CẤP CAO (HIGHER DERIVATIVES)
Cho f là hàm khả vi Đạo hàm của f (nếu có) gọi là đạo hàm cấp 2 (the second derivative) của hàm f , ký hiệu: f f d dy d y 2 2 dx dx dx
Ví dụ 8: Cho f x( )x 3 x Tìm và cho biết ý nghĩa của ( )f x
Giải: Từ Ví dụ 5, ta đã biết f x( )3x 2 1
( ) f x là hệ số góc của đường cong
( ) y f x tại điểm x f , ( ) x Nói cách khác, f( )x là tốc độ biến thiên tức thời của hệ số góc của đường cong
( ) y f x : f( )x 0 khi y f x( ) có hệ số góc âm, f( )x 0 khi y f x( ) có hệ số góc dương Đạo hàm cấp 3 (the third derivative) của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2:
Đạo hàm cấp n (the n th derivative) của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp n1:
Ví dụ 9: Cho f x( )x 3 x Tìm f( )x và f (4) ( )x
Giải: Trong Ví dụ 8 ta đã có: ( ) 6f x x Đồ thị của đạo hàm cấp hai có phương trình y6x, đây là phương trình của đường thẳng có hệ số góc là
Do đó đạo hàm cấp ba f( )x 6 Đồ thị của f là một đường thẳng nằm ngang nên đạo hàm cấp bốn f (4) ( )x 0.
Các quy tắc tính đạo hàm
Xét hàm f x( )c, với c là hằng số Ta có:
Sử dụng ký hiệu Leibniz ta viết lại kết quả này như sau: ĐẠO HÀM CỦA HÀM HẰNG
HÀM LŨY THỪA (POWER FUNCTIONS)
Xét hàm số f x( ) x n , với n nguyên dương Ta có:
Với n là số thực, ta cũng có kết quả tương tự.
QUY TẮC LŨY THỪA (THE POWER RULE):
Với n là số thực bất kỳ, ta có:
Các trường hợp đặc biệt:
Ví dụ 1: a Nếu f x( ) x 6 thì f x( )6x 5 b Nếu y x 2014 thì y 2014x 2013 c Nếu yt 4 thì dy 4 3 dt t d d r 3 3 r 2 dr
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a 2
Giải: a Ta có f x( ) x 2 suy ra 2 3 3
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến (normal line) với đường cong yx x tại điểm (1, 1)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (1, 1)là:
Pháp tuyến vuông góc với tiếp tuyến nên có hệ số góc là 2
Vậy phương trình pháp tuyến là: 2
HÀM SỐ MŨ (EXPONENTIAL FUNCTIONS)
Vậy, nếu hàm số ( )f x a x có đạo hàm tại điểm x0 thì nó có đạo hàm tại mọi điểm và f x( ) f(0)a x ĐỊNH NGHĨA SỐ e: e là một số thoả mãn
ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ TỰ NHIÊN:
Tính chất của hàm số f x( )e x : Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số bằng tung độ của tiếp điểm
Ví dụ 4: Tìm điểm thuộc đường cong ye x sao cho tiếp tuyến tại điểm này song song với đường thẳng y 2x
Giải: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số ye x tại điểm có hoành độ bằng a có hệ số góc là
( ) a y a e Để tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
2 y x thì hệ số góc của hai đường thẳng này phải bằng nhau: e a 2 hay aln 2
Do đó, điểm cần tìm là ( ,a e a )(ln 2, 2)
QUY TẮC TỔNG, HIỆU, TÍCH VÀ THƯƠNG
QUY TẮC NHÂN VỚI HẰNG SỐ (THE CONSTANT MULTIPLE
Nếu c là một hằng số và f là một hàm khả vi thì:
Chứng minh: Đặt ( )g x cf x( ), khi đó:
Ví dụ 5: a d 3 x 4 3 d x 4 3 4 x 3 12 x 3 dx dx b d ( x ) d ( 1) x ( 1) d ( ) x 1(1) 1. dx dx dx
QUY TẮC TỔNG (THE SUM RULE):
Nếu f và g là hai hàm khả vi, khi đó:
Chứng minh: Đặt F x( ) f x( )g x( ), khi đó:
QUY TẮC HIỆU (THE DIFFERENCE RULE):
Nếu f và g là hai hàm khả vi, khi đó:
8 12 5 4 4 10 3 (6 ) (5) d d d d d d x x x x x dx dx dx dx dx dx
Ví dụ 7: Cho ( )f x e x x, tìm f và f
Ví dụ 8: Tìm điểm trên đường cong
6 4 y x x sao cho tiếp tuyến tại điểm này là đường nằm ngang
Giải: Tiếp tuyến nằm ngang có hệ số góc bằng 0 , tức đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm bằng 0
Vậy dy 0 dx khi và chỉ khi x0 hoặc x 3
Các điểm trên đường cong có tiếp tuyến nằm ngang là: (0, 4) ; 3, 5 ;
QUY TẮC TÍCH (THE PRODUCT RULE):
Nếu f và g là các hàm khả vi thì:
Ví dụ 9: Cho ( )f x xe x a Tìm f x( ). b Tìm công thức đạo hàm tổng quát f ( ) n ( ).x
Giải: a f x ( ) d xe x x d e x e x d ( ) x xe x e x 1 ( x 1) e x dx dx dx
Ví dụ 10: Tìm đạo hàm của hàm số ( )f t t a( bt)
Cách 1: f t ( ) t dt d ( a bt ) ( a bt ) dt d t t b ( a bt ) 1 2 t 1 2
Một hãng sản xuất vải có chiều rộng cây vải cố định, và số lượng vải bán ra Q (đơn vị: yard) phụ thuộc vào giá bán P (đơn vị: dollar/yard), tức là Q = f(P) Do đó, số tiền thu được từ việc bán vải sẽ tính theo giá bán.
P là ( )R P Pf P( ) Biết (20) 10000f và (20)f 350, tính R(20).
Giải: Ta có R P ( ) P d f P ( ) f P ( ) d P Pf P ( ) f P ( ). dP dP
QUY TẮC THƯƠNG (THE QUOTIENT RULE):
Nếu f và g là các hàm khả vi thì:
Ví dụ 13: Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong 2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm 1
0. x dy dx Vậy, tiếp tuyến tại điểm 1
là đường nằm ngang, có phương trình
Bảng tổng kết một số quy tắc tính đạo hàm: c 0 x n nx n 1 e x e x
(fg) fggf f gf 2 fg g g
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC (DERIVATIVES OF
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS) ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC:
(sin ) cos d x x dx d (cos ) sin x x dx
(csc ) csc cot d x x x dx d (sec ) sec tan x x x dx
(tan ) sec2 d x x dx d (cot ) csc 2 x x dx
Xét hàm số lượng giác: f x( )sinx, ta có:
2 2 2 lim lim cos lim cos
Ví dụ 14: Tìm đạo hàm của hàm số
Giải: dy x 2 d (sin ) x sin x d x 2 dx dx dx
Ví dụ 15: Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số ( )
có tiếp tuyến nằm ngang?
(1 tan )sec tan sec sec
2 2 sec (tan tan sec ) sec (tan 1)
Ta có: f x( )0 tan 1 x x 4 n (n là số nguyên)
Ví dụ 16: Tìm đạo hàm cấp 27 của cosx
Vậy: khi n là bội số của 4 thì f ( ) n ( )x cosx, do đó f (24) ( )x cosx
Tính đạo hàm thêm 3 lần nữa ta có f (27) ( )x sin x
QUY TẮC DÂY CHUYỀN (THE CHAIN RULE)
Dưới đây là quy tắc để tìm đạo hàm của hàm hợp.
Nếu g khả vi tại x và f khả vi tại g x( ) thì hàm hợp F f g khả vi tại x và F x ( ) f g ( ) x f g x g x ( ) ( ) , hay: dF dF du. dx du dx, với ug x( ).
Lưu ý: Quy tắc trên có thể được hiểu: lấy đạo hàm hàm ngoài f tại hàm trong g x( ) nhân với đạo hàm của hàm trong
F x u x x dx du dx du dx u x
Ví dụ 18: Tìm đạo hàm của hàm số: a y sin x 2 b y sin 2 x
Giải: a dy d sin x 2 cos x 2 2 x 2 cos x x 2 dx dx b dy d (sin ) 2 2 (sin ) cos sin 2 x x x x dx dx
QUY TẮC LŨY THỪA KẾT HỢP QUY TẮC DÂY CHUYỀN:
Nếu n là một số thực tùy ý và ug x( ) khả vi, khi đó: d u n nu n 1 du dx dx
Ví dụ 19: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a y x 3 1 100 b ( ) 3 2 1
Giải: a Đặt ux 3 1 và n100, ta có:
e Hàm trong là ( )g x sinx và hàm ngoài là hàm mũ f x( )e x Vậy:
e sin x e sin x cos x dx dx
Có thể sử dụng Quy tắc dây chuyền để tính đạo hàm của hàm mũ với cơ số 0 a
Thật vậy, vì ae ln a nên a x e ln a x e (ln ) a x
x (ln ) a x (ln ) a x ln d d a e e a dx dx
Nếu y f u( ), ug x( ) và xh t( ), trong đó ,f g và h là các hàm số khả vi, thì: dy dy dx dy du dx dt dx dt du dx dt
Ví dụ 20: Tìm đạo hàm của hàm số y x ( )sin cos(tan ) x
Giải: cos cos(tan ) d cos(tan ) y x x
cos cos(tan ) sin(tan ) d (tan ) x x x
2 cos cos(tan ) sin(tan )secx x x.
Ví dụ 21: Tìm đạo hàm của hàm số y( ) e sec 3
(sec3 ) sec3 tan 3 (3 ) 3 sec3 tan 3 dy d d e e e d d d
Đạo hàm hàm ẩn
PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐẠO HÀM HÀM ẨN (THE METHOD OF IMPLICIT DIFFERENTIATION)
Trong mục này ta quy ước y là hàm theo biến x Khi đó, dạng tường minh của hàm số là y f x( ), ví dụ: y x 3 1 hay yxsinx
Hàm ẩn được xác định bởi một biểu thức thể hiện mối quan hệ giữa x và y, chẳng hạn như x² + y² = 25.
6 (2) x y xy , ở đây y là hàm ẩn
Từ (1) ta có thể viết y dưới dạng tường minh: y 25x 2 , nhưng từ (2) thì không dễ dàng viết công thức tường minh của y theo x
Phương pháp sau dùng để tìm đạo hàm hàm ẩn:
Bước 1: lấy đạo hàm 2 vế của phương trình theo x
Bước 2: từ kết quả có được, giải phương trình để tìm y
Ví dụ 1: Tìm y biết sin(xy) y 2 cosx
Giải: Đạo hàm hai vế của phương trình theo x, ta được: cos(x y).(1 y) y 2( sin ) x (cos )(2x yy) cos(x y) y 2sinx (2 cos )y x y cos(x y y)
Ví dụ 2: a Biết x 2 y 2 25, tìm dy dx b Tìm phương trình tiếp tuyến với đường tròn x 2 y 2 25 tại điểm
(3, 4) y 4, suy ra phương trình tiếp tuyến:
Trong bài toán này, chúng ta có ba yêu cầu: Thứ nhất, từ phương trình \( x^3 + y^3 = 6xy \), chúng ta cần tìm đạo hàm \( y' \) Thứ hai, chúng ta sẽ xác định phương trình tiếp tuyến với đường cong Descartes tại điểm (3, 3) Cuối cùng, chúng ta cần tìm điểm trên đường cong Descartes trong góc phần tư thứ nhất mà tiếp tuyến là đường nằm ngang.
Giải: a x 3 y 3 6 xy d x 3 y 3 d (6 xy ) dx dx
3 1( 3) 6. y x x y c Để ý rằng x0, y0 trong góc phần tư thứ nhất
Tiếp tuyến nằm ngang tại x thỏa:
Thay y vào phương trình của đường cong:
Vậy, trong góc phần tư thứ nhất, lá Descartes có tiếp tuyến nằm ngang tại điểm
Ví dụ 4: Biết x 4 y 4 16 Chứng minh
Giải: Đạo hàm hai vế của phương trình theo x:
Thay y vào biểu thức của y với chú ý x 4 y 4 16, ta được:
y ĐẠO HÀM CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC (DERIVATIVES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS) ĐẠO HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC:
Xét hàm yarcsinxsin 1 x sinyx,
Đạo hàm hai vế của phương trình sinyx theo x, ta được:
(sin ) ( ) cos 1 cos 1 d d dy dy y x y dx dx dx dx y x
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số: a 1 1 y sin
1 1 sin sin sin 1 dy x dx x x x
ĐẠO HÀM HÀM LOGARIT (DERIVATIVES OF LOGARITHMIC FUNCTIONS)
Xét hàm số y log a x (với 0 a 1) Khi đó a y x.
Lấy đạo hàm hai vế theo biến x:
(ln ) 1 ln ln y y dy dy a a dx dx a a x a
log 1 , (ln ) 1 a ln d d x x dx x a dx x
Ví dụ 6: Tìm đạo hàm của hàm số y ln x 3 1
1 1 dy dy du du x dx du dx u dx x x x
Ví dụ 7: Tính d ln(sin ) dx x
Giải: 1 1 ln(sin ) (sin ) cos cot sin sin d d x x x x dx x dx x
Ví dụ 8: Tìm đạo hàm của hàm số ( )f x lnx
Ví dụ 9: Tìm đạo hàm của hàm số f x( )log (2 sin ) 10 x
Ví dụ 11: Tìm f x( ) với ( )f x ln x
Nhận xét: Từ kết quả về đạo hàm hàm ylnx ta có thể đưa ra công thức định nghĩa số e dưới dạng một giới hạn như sau:
Bảng bên cho ta số e được làm tròn đến bảy chữ số thập phân: e2.7182818.
TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẤY LOGARIT
Việc tính đạo hàm các hàm số phức tạp liên quan đến tích, thương, hoặc mũ có thể đơn giản hóa bằng cách lấy logarit trước
Ví dụ 12: Tìm đạo hàm của hàm số
Giải: Nhận xét: hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi x0, khi đó các biểu thức
4, 1,(3 2) x x x đều không âm nên y0 Do đó, lấy logarit hai vế của phương trình
Lấy đạo hàm hai vế đối với x: 1 3 1 1 2 1 1
CÁCH TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẤY LOGARIT:
Bước 1: Lấy ln hai vế của phương trình y f x( ) rồi dùng Quy tắc logarit để đơn giản
Bước 2: Tính đạo hàm hàm ẩn theo x
Bước 3: Giải phương trình kết quả tìm y.
Ví dụ 13: Tìm đạo hàm của hàm số y x 3 x
Giải: Hàm số đã cho không phải hàm lũy thừa và cũng không phải hàm mũ
Lấy ln của trị tuyệt đối hai vế: 3
Vi phân
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH (LINEAR APPROXIMATIONS)
Xét đường cong y f x( ) và tiếp tuyến với đường cong tại điểm
Khi x gần a, đường cong và tiếp tuyến trở nên rất gần nhau, cho phép chúng ta sử dụng tiếp tuyến để xấp xỉ đường cong Phương trình của tiếp tuyến được biểu diễn là y = f(a) + f'(a)(x - a), từ đó ta có thể xấp xỉ giá trị của hàm số f(x) khi x gần a.
( ) ( )( ) ( ) f x f a x a f a gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại a
Ví dụ 1: Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm số ( )f x x3 tại a1 và từ đó tính gần đúng giá trị của các số 3.98, 4.05
Từ biểu thức xấp xỉ tuyến tính ta suy ra f x( ) f a( ) f a x a( )( ) hay
Để ước lượng số gia của hàm số, vi phân được định nghĩa như sau: Cho y = f(x), trong đó f là hàm khả vi Vi phân dx là biến độc lập có thể nhận giá trị tùy ý Với mỗi giá trị thực của vi phân dx, vi phân dy được xác định theo công thức cụ thể.
Như vậy, dy là biến phụ thuộc, giá trị của nó phụ thuộc vào giá trị của x và dx Ý nghĩa hình học của vi phân:
Giả sử P x f x , ( ) và Q x x f x , ( x ) là các điểm trên đồ thị hàm f Đặt y f x( x) f x( ) và dx x
Vì hệ số góc của đường tiếp tuyến PR là
( ) f x nên ta có RS f x dx( ) dy
Vậy, khi x thay đổi một lượng dx thì dy biểu diễn sự thay đổi của đường tiếp tuyến, còn y biểu diễn sự thay đổi của đường cong y f x( )
Khi dx rất nhỏ thì
Ví dụ 2: So sánh giá trị của y và dy khi
( ) 2 1 y f x x x x và x thay đổi: a từ 2 đến 2.05 b từ 2 đến 2.01
( ) 3 2 2 3 2 2(2) 2 0.05 0.7. dy f x dx x x dx b Tương tự khi x2, dx x 0.01 thì y 0.140701 và dy0.14
Khi làm việc với các hàm phức tạp, việc tính toán dy thường dễ dàng hơn so với việc tính toán Δy Đặc biệt, Δy sẽ chính xác hơn khi Δx (hay dx) có giá trị nhỏ Do đó, việc sử dụng dy là một lựa chọn hợp lý để đơn giản hóa các phép tính trong trường hợp này.
Các ứng dụng của đạo hàm
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm y f x( ) có miền xác định D
Hàm f có một cực đại tuyệt đối/toàn cục (absolute/global maximum) tại c nếu:
Khi đó, f c( ) gọi là giá trị lớn nhất (maximum value) của f trên D
Hàm f có một cực tiểu tuyệt đối/toàn cục (absolute/global minimum) tại c nếu:
Khi đó, f c( ) gọi là giá trị nhỏ nhất (minimum value) của f trên D ĐỊNH NGHĨA:
Hàm f có một cực đại địa phương (local maximum) tại c nếu:
Hàm f có một cực tiểu địa phương (local minimum) tại c nếu:
Các giá trị cực đại và cực tiểu của f gọi chung là các giá trị cực trị
Lưu ý: Cụm từ “với mọi x gần c” có nghĩa “với mọi x thuộc khoảng mở chứa c”.
Trong hình bên, f có cực đại tuyệt đối tại d
Điểm \(d\) là điểm cao nhất trong đồ thị hàm số \(f\), trong khi \(f\) có cực tiểu tuyệt đối tại \(a\), là điểm thấp nhất trong đồ thị Khi chỉ xem xét các giá trị của \(x\) gần \(b\), chẳng hạn như \(x \in (a, c)\), thì \(f(b)\) là giá trị lớn nhất trong tất cả các giá trị của \(f\).
( ) f x trên ( , )a c Khi đó f b( ) gọi là giá trị cực đại địa phương Tương tự, f có cực tiểu địa phương tại c nếu ta xét giá trị của f tại những điểm thuộc ( , )b d
Ví dụ 1: Xét hàm y x 2 Vì x 2 0, x do đó
(0) 0 f là giá trị nhỏ nhất (và cũng là giá trị cực tiểu địa phương) của f
Hàm không có giá trị lớn nhất (hình vẽ)
Ví dụ 2: Xét đồ thị hàm yx 3 , hàm không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (hàm cũng không có các giá trị cực trị địa phương).
Ví dụ 3: Hàm số ( ) cosf x x nhận 1 là giá trị cực đại (địa phương và tuyệt đối) vô hạn lần vì cos2n 1 với mọi số nguyên n và 1 cos x1,
x Tương tự cos(2n1) 1 là giá trị cực tiểu với n là số nguyên.
Ví dụ 4: Xét đồ thị của hàm số: f x( )3x 4 16x 3 18x 2 , 1 x 4
Giá trị cực đại địa phương: (1) 5.f
Giá trị cực đại tuyệt đối: ( 1) 37.f
Hơn nữa, (0) 0f là giá trị cực tiểu địa phương và (3)f 27 vừa là giá trị cực tiểu địa phương vừa là giá trị cực tiểu tuyệt đối
Hàm f không có cực đại địa phương và cực đại tuyệt đối tại x = 4 Theo định lý giá trị cực trị, nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì f sẽ đạt giá trị cực đại tuyệt đối f(c) và cực tiểu tuyệt đối f(d) tại các điểm c, d thuộc đoạn [a, b].
Định lý giá trị cực trị được minh họa qua hình bên dưới, với lưu ý rằng giá trị cực trị có thể xuất hiện nhiều lần Đồ thị của hai hàm dưới đây không đáp ứng các điều kiện của định lý, do đó chúng ta không thể rút ra kết luận như mong đợi Định lý Fermat (Fermat’s Theorem) là một phần quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các giá trị cực trị này.
Nếu f có một cực đại hay cực tiểu địa phương tại c và nếu f c( ) tồn tại thì f c( )0.
Lưu ý: Chiều ngược lại của định lí nói chung không đúng: xem ví dụ sau.
Ví dụ 5: Xét hàm yx 3 , ta có:
3 , 0 3 0 0 y x y x x , nhưng y không đạt cực đại hay cực tiểu tại x = 0
Ví dụ 6: Hàm y x có giá trị cực tiểu tại 0 nhưng
(0) f không tồn tại ĐỊNH NGHĨA: Một số tới hạn (critical number) của hàm f là một số c thuộc miền xác định của hàm f thỏa f c( )0 hoặc f c( ) không tồn tại
Ví dụ 7: Tìm các số tới hạn của ( )f x x(4x)
Giải: Miền xác định: x x | 0 Đạo hàm: 1 3 4
Vậy, f có 2 số tới hạn là 4
Để xác định giá trị cực trị tuyệt đối của hàm số f liên tục trên đoạn [a, b], ta thực hiện các bước sau: đầu tiên, tìm các điểm cực trị của hàm bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 Sau đó, đánh giá giá trị của hàm tại các điểm cực trị và tại hai đầu đoạn a và b Cuối cùng, so sánh các giá trị này để xác định giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối.
1 Tìm giá trị của f tại các số tới hạn của f trên khoảng ( , ).a b
3 Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của f tìm được trong 2 bước trên là giá trị cực đại/cực tiểu tuyệt đối của f trên đoạn [ , ]a b
Ví dụ 8: Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của hàm sau:
Giải: Vì f liên tục trên đoạn 1
, sử dụng phương pháp trên:
, f có 2 điểm tới hạn là x0 và x2
So sánh 4 giá trị này của f , ta có giá trị cực đại tuyệt đối: (4) 17f , giá trị cực tiểu tuyệt đối: (2)f 3.
Ví dụ 9: Mức giá trung bình của một pound đường cát trắng tại Mĩ từ năm
1993 đến năm 2003 cho bởi hàm số:
0.04458 t0.4074 trong đó đơn vị của t là năm và mốc thời gian t0 ứng với năm 1993 Cho biết giá đường rẻ nhất, mắc nhất lúc nào trong suốt thập kỷ đó
Vậy giá đường thấp nhất khi t0.9, tức khoảng cuối năm 1993 đầu năm
1994 và lên cao nhất khi t4.6, tức nửa cuối năm 1997 ẢNH HƯỞNG CỦA ĐẠO HÀM ĐẾN HÌNH DÁNG CỦA ĐỒ THỊ
(HOW DERIVATIVES AFFECT THE SHAPE OF A GRAPH) f CHO BIẾT ĐIỀU GÌ VỀ f ?
Hàm số có đồ thị như hình bên cho thấy rằng trên đoạn giữa A và B cùng với đoạn giữa C và D, các tiếp tuyến có hệ số góc dương (f'(x) > 0), cho thấy hàm số f đang tăng dần từ trái sang phải Ngược lại, trên đoạn giữa B và C, các tiếp tuyến có hệ số góc âm, biểu thị rằng hàm số f đang giảm.
( ) 0 f x , nên đồ thị hàm số có dáng điệu đi giảm)
TIÊU CHUẨN TĂNG/GIẢM (INCREASING/DECREASING TEST): a Nếu f x( )0 trên một khoảng thì f tăng trên khoảng đó b Nếu f x( )0 trên một khoảng thì f giảm trên khoảng đó
Ví dụ 10: Tìm khoảng tăng, giảm của hàm số f x( )3x 4 4x 3 12x 2 5.
Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một (First Derivative Test) giúp xác định các cực trị của hàm số liên tục f tại điểm tới hạn c Cụ thể, nếu đạo hàm f'(x) chuyển từ dương sang âm tại c, thì hàm f có một cực đại địa phương tại điểm này Ngược lại, nếu đạo hàm f'(x) chuyển từ âm sang dương qua c, hàm f sẽ có một cực tiểu địa phương tại c Tuy nhiên, nếu đạo hàm f'(x) không thay đổi dấu khi qua c, thì hàm f không có cực đại hay cực tiểu địa phương tại điểm đó.
Ví dụ 11: Tìm các giá trị cực đại và cực tiểu địa phương của hàm số:
Giải: Hàm ( )f x có 3 điểm tới hạn: x0, x 1, x2
Xem lại bảng xét dấu của Ví dụ 10:
( ) f x đổi dấu từ âm sang dương tại các giá trị x 1 và x2 Do vậy
( 1) 0 f và (2)f 27 là 2 giá trị cực tiểu địa phương của f
( ) f x đổi dấu từ dương sang âm tại giá trị x0 Do vậy (0) 5f là giá trị cực đại địa phương của f
Ví dụ 12: Tìm các giá trị cực trị địa phương của hàm số ( )g x x 2sinx,
Giải: g x( ) 1 2cos x, phương trình ( ) 0g x có các nghiệm trong đoạn
, g x( ) đổi dấu từ dương sang âm nên g x( ) đạt cực đại địa phương tại điểm này và giá trị cực đại là:
, g x( ) đổi dấu từ âm sang dương nên ( )g x đạt cực tiểu địa phương tại điểm này và giá trị cực tiểu là:
3 3 3 g f CHO BIẾT ĐIỀU GÌ VỀ f ?
Cho hai hàm f và g đều tăng trên khoảng (a, b), với đồ thị nối A và B nhưng có hình dạng uốn cong khác nhau Đồ thị của hàm f luôn nằm trên tất cả các tiếp tuyến của nó trong khoảng (a, b), trong khi đồ thị của hàm g lại nằm dưới tất cả các tiếp tuyến của nó trong cùng khoảng.
Nếu đồ thị hàm f nằm trên tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì f được gọi là lõm lên (concave upward) trên I
Nếu đồ thị hàm f nằm dưới tất cả các tiếp tuyến của nó trên khoảng I thì f được gọi là lõm xuống (concave downward) trên
I Đồ thị của hàm như hình vẽ dưới đây lõm lên (CU) trên các khoảng: ( , ),b c
( , )d e , ( ,e p) và hàm lõm xuống (CD) trên các khoảng: ( , ),a b ( ,c d), ( , )p q
TIÊU CHUẨN VỀ TÍNH LÕM (CONCAVITY TEST): a Nếu f( )x 0 x I thì đồ thị hàm f lõm lên trên I b Nếu f( )x 0 x I thì đồ thị hàm f lõm xuống trên I
TIÊU CHUẨN ĐẠO HÀM CẤP HAI
Giả sử f liên tục trong khoảng mở chứa c a Nếu f c( )0 và f( )c 0 thì f có cực tiểu địa phương tại c b Nếu f c( )0 và f( )c 0 thì f có cực đại địa phương tại c
Ví dụ 13: Tìm giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của đường cong y x 4 4x 2
Vậy, (0) 0f là giá trị cực đại địa phương và f 2 4 là giá trị cực tiểu địa phương
BÀI TOÁN TỐI ƯU (OPTIMIZATION PROBLEMS)
Bài toán tìm cực trị có nhiều ứng dụng thực tế, như tối thiểu hóa chi phí và tối đa hóa lợi nhuận trong kinh doanh, cũng như tối thiểu hóa thời gian vận chuyển trong logistics Thách thức lớn nhất trong việc giải quyết các vấn đề này là chuyển đổi chúng từ ngôn ngữ tự nhiên sang bài toán tối ưu hóa trong toán học, thông qua việc thiết lập các hàm số để xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU:
1 Hiểu vấn đề: Đầu tiên là đọc kỹ bài toán thực tế cho đến khi hiểu rõ Bạn tự hỏi rằng: Cái gì chưa biết? Các giá trị đã cho? Các điều kiện đặt ra?
2 Vẽ biểu đồ/đồ thị: Trong hầu hết các bài toán thực tế, ta nên vẽ đồ thị và dựa vào đó xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng cần tìm
3 Kí hiệu: Gán một kí hiệu (chẳng hạn là Q) cho đại lượng cần được tối đa hoặc tối thiểu Đồng thời chọn các kí hiệu ( , , , , , )a b c x y cho các đại lượng chưa biết khác và kí hiệu chúng trên biểu đồ Nên kí hiệu bằng chữ cái đầu để dễ nhớ – ví dụ như A cho diện tích (area), h cho chiều cao (height), t cho thời gian (time)
4 Biểu diễn Q theo các kí hiệu khác trong bước 3
5 Nếu Qđược biểu diễn như là một hàm theo nhiều hơn một biến, dùng thông tin đã biết để tìm mối quan hệ (theo dạng các phương trình) giữa các biến đó Rồi dùng các phương trình này khử bớt biến để chỉ còn lại một biến trong biểu thức của Q Viết ra miền xác định của hàm số
6 Sử dụng các phương pháp đã học để tìm giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của hàm số vừa tìm được
Một người nông dân sở hữu một hàng rào dài 2400 feet và muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật, trong đó một biên của mảnh đất tiếp giáp với một con sông thẳng, do đó không cần rào dọc theo con sông Để tối ưu hóa diện tích mảnh đất, người nông dân cần xác định kích thước phù hợp cho phần còn lại của hàng rào.
Hình sau đưa ra một số trường hợp khi sử dụng 2400 feet hàng rào
Gọi A là diện tích hình chữ nhật với các cạnh có độ dài là x, y (đơn vị: feet) Khi đó Axy
Vì tổng chiều dài của hàng rào là 2400 feet nên
Bây giờ chuyển A thành hàm theo một biến x:
Bài toán trở thành: tìm giá trị cực đại tuyệt đối của:
Vì x[0, 1200] và A liên tục trên đoạn này nên ta áp dụng phương pháp tìm cực trị tuyệt đối của hàm số trên một đoạn:
So sánh các giá trị: A(0)0, (600)A 720000, (1200)A 0 ta nhận được giá trị cực đại tuyệt đối của A là A(600)720000.
Vậy để diện tích rào được lớn nhất ta phải rào chiều sâu 600 feet và chiều ngang 1200 feet
Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một chỉ áp dụng cho việc xác định cực đại và cực tiểu địa phương Định lý mở rộng này sẽ được sử dụng trong các phân tích sau.
TIÊU CHUẨN ĐẠO HÀM CẤP MỘT CHO GIÁ TRỊ CỰC TRỊ
TUYỆT ĐỐI (FIRST DERIVATIVE TEST FOR ABSOLUTE
Giả sử c là một số tới hạn của hàm liên tục f xác định trên một khoảng Nếu đạo hàm f'(x) > 0 cho mọi x < c và f'(x) < 0 cho mọi x > c, thì f(c) là giá trị cực đại tuyệt đối của f Ngược lại, nếu f'(x) < 0 cho mọi x < c và f'(x) > 0 cho mọi x > c, thì f(c) là giá trị cực tiểu tuyệt đối của f.