Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
Định nghĩa 1.1 [6] Hệ phương trình có dạng x i ∞
X k=1 c i,k x k +b i (i = 1,2, ), (1.1) trong đó các số x i là xác định trước, được gọi là hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính.
Khi thay x_i, với i = 1, 2, vào vế phải của hệ phương trình (1.1), nếu các chuỗi hội tụ đồng thời và thỏa mãn các đẳng thức, thì x_i được gọi là nghiệm của hệ (1.1) Định nghĩa 1.2: Hệ vô hạn (1.1) được coi là chính quy nếu.
|c i,k | < 1 (i = 1,2, ), (1.2) được gọi là hoàn toàn chính quy nếu
|c i,k | 6 1−θ < 1, 0< θ < 1, (i = 1,2, ) (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.2) (hoặc (1.3)) đúng với i = N + 1, N + 2, , thì hệ (1.1) được gọi là tựa tựa chính quy (hoặc tựa hoàn toàn chính quy).
Biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.3 [4],[5] Kí hiệu S = S(R) là không gian các hàm cơ bản,
F là phép biến đổi Fourier được xác định bởi g(ζb ) = F[g](ζ) ∞
−∞ g(x)e ixζ dx, Định nghĩa 1.4 [4],[5] Kí hiệuS 0 = S(R) là không gian các hàm suy rộng,
F −1 là phép biến đổi Fourier ngược được xác định bởi ˘ g(ζ) = F −1 [g](ζ) = 1
Ký hiệu < g, ψ > là giá trị của hàm suy rộng g ∈ S 0 trên hàm cơ bản ψ ∈ S, ngoài ra (g, ψ) :=< g, ψ >
Không gian hàm
Không gian H s ( R ), H s (Ω), H o s (Ω)
Định nghĩa 1.5 [5] Cho H s := H s (R)(s ∈ R) trong không gian Sobolev - Slobodeskii được định nghĩa như bao đóng của tập hợp C o ∞ (R) của hàm vi phân vô hạn với chuẩn được xác định
Không gian H s là không gian Hilbert với tích vô hướng sau
Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng nếu Ω là một khoảng hoặc một hệ các khoảng không giao nhau trong R, thì không gian con của H s (R) gồm các hàm v(x) với giá trị trong Ω được ký hiệu là H o s (Ω), và được định nghĩa theo chuẩn của C 0 ∞ (Ω) Định nghĩa 1.7 cho biết rằng nếu h thuộc H s (R), thì hạn chế của h trên Ω được ký hiệu là h Ω, và ta có hh Ω , λi = hh, λi với mọi λ thuộc C 0 ∞ (Ω).
Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc H s (R) trên Ω kí hiệu là H s (Ω). Chuẩn trong H s (Ω) được xác định bởi công thức
||h|| H s (Ω) = inf l ||lh|| s , trong đó cận dưới đúng có thể lấy theo các thác triển lh ∈ H s (R), h ∈
Các không gian Sobolev véc tơ
Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính, và ký hiệu X và X² là tích trực tiếp của hai không gian Tôpô trong X² được xác định theo tôpô thông thường của tích trực tiếp Các hàm véc tơ và ma trận sẽ được biểu thị bằng chữ in đậm.
Kí hiệu véc tơ v = (v 1 , v 2 ), và
Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của véc tơ v ∈ (S 0 ) 2 là véc tơ bv = F ±1 [v] = (F ±1 [v 1 ], F ±1 [v 2 ]) T , xác định bởi đẳng thức
2π < v, F[ψ](−x) >,ψ ∈ S 2 (1.6) Giả sử H s i , H o s i (Ω), H s i (Ω) là những không gian Sobolev, trong đó i = 1,2, Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R Ta đặt
Tích vô hướng và chuẩn trong H ~ s và H o ~ s (Ω) được xác định bởi công thức
, trong đó ||v i || s i và (u i , v i ) s i lần lượt được xác định bởi công thức (1.4) và (1.5) Chuẩn trong H ~ s (Ω) được định nghĩa bởi công thức
||l i v i || 2 s i 1/2 , trong đó l i là toán tử suy rộng của v i ∈ H s i (Ω) từ Ω vào R. Định lý 1.1 [1] Giả sử Ω ⊂ R,v = (v1, v2) T ∈ H ~ s (Ω),g ∈ H −~ s (Ω) và lg = (l 1 g 1 , l 2 g 2 ) T là một thác triển của g từ Ω đến R thuộc vào H −~ s (R) Khi đó tích phân
Công thức −∞ lc i g i (ζ)v[ i (ζ)dζ, (1.7) không phụ thuộc vào việc chọn thác triển lg, xác định hàm tuyến tính trên H ~ s o(Ω) Ngược lại, mỗi hàm tuyến tính Ψ(v) liên tục trên H ~ s o(Ω) đều tồn tại g ∈ H −~ s (Ω) sao cho Ψ(v) = [v,g] và ||Ψ|| = ||g|| H −~ s (Ω).
Chứng minh Lấy l’g là một thác triển khác của hàm g Khi đó ta có lg - lg’ = 0 trên Ω, tức là
Do (C o ∞ (Ω)) 2 là tập trù mật trong H ~ s o(Ω), nên từ (1.8) ta có
Tức là (l’g,v) o = (lg,v) o Do đó, tích phân trong (1.7) không phụ thuộc vào cách chọn mở rộng lg Từ đó, chúng ta được
Từ (lg,v) không phụ thuộc vào cách chọn của lg, chúng ta có
Do đó, mỗi g ∈ H −~ s (Ω) ứng với một phiếm hàm liên tục trên H ~ s o(Ω) xác định bởi công thức (1.7).
Phần thứ hai của Định lý 1.1 có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Riesz.
Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải 11
Đặt bài toán
Ta nghiên cứu nghiệm Φ = Φ(x, y) của bài toán biên cho phương trình song điều hoà [3]
Gọi R là trục thực, (−a, a) là khoảng bị chặn.
Xét bài toán biên sau đây:
Tìm nghiệm Φ(x, y) của phương trình (2.1) trong miền hình dải Π thoả mãn điều kiện biên Φ| y=0 = p 1 (x), x ∈ R, (2.2) Φ| y=h = p2(x), x ∈ R, (2.3)
∂x 2 , 0 < θ < 1 (2.6) Bài toán biên trên miền hình dải với giả thiết y = 0, y = h với điều kiện ngàm được cho trên khoảng |x| 6 avà điều kiện gối tựa |x| > a.Hiển nhiên,
M[Φ] là mômen lực uốn với trục Oy.
Sử dụng biến đổi Fourier với biến số x trong phương trình song điều hoà, ta có phương trình vi phân (2.7) với dạng d^4Φ(ζ, y)b/dy^4 − 2ζ^2 d^2Φ(ζ, y)b/dy^2 + ζ^4Φ(ζ, y) = 0 Trong đó, Φ(ζ, y) = bFx[Φ(x, y)](ζ) là biến đổi Fourier đối với x của hàm Φ(x, y) Giải tổng quát của phương trình vi phân này với ζ khác 0 được biểu diễn dưới dạng Φ(ζ, y) = bG1(ζ)cosh(|ζ|y) + G2(ζ)ycosh(|ζ|y) + G3(ζ)sinh(|ζ|y).
+ G 4 (ζ)ysinh(|ζ|y), (2.8) trong đó G 1 (ζ), G 2 (ζ), G 3 (ζ), G 4 (ζ) là hàm tuỳ ý với biến số ζ Giá trị Φ(0, y)b được biểu diễn Φ(0, y) = limb ζ→0Φ(ζ, y).b (2.9)
Sử dụng đổi Fourier đối với điều kiện (2.9), (2.2) và (2.8) ta có Φ(ζ,b 0) = G 1 (ζ) = pb 1 (ζ), (2.10) Φ(ζ, h) =b G 1 (ζ) cosh(|ζ|h) +G 2 (ζ)hcosh(|ζ|h) +G 3 (ζ) sinh(|ζ|h)
Tức là bv 1 (ζ) = Mc[Φ](ζ,0) = Φb yy (ζ,0)−θζ 2 Φ(ζ,b 0) = (1−θ)ζ 2 G 1 (ζ) + 2|ζ|G 4 (ζ),
(2.11) bv2(ζ) = Mc[Φ](ζ, h) = Φb yy(ζ, h)−θζ 2 Φ(ζ, h) = (1b −θ)ζ 2 cosh(|ζ|h)G 1 (ζ) + [2|ζ|sinh(|ζ|h) + (1−θ)ζ 2 hcosh(|ζ|h)]G 2 (ζ) + (1−θ)ζ 2 sinh(|ζ|h)G 3 (ζ) + [2|ζ|cosh(|ζ|h) + (1−θ)ζ 2 hsinh(|ζ|h)]G 4 (ζ) (2.12)
Từ những biểu thức (2.10) - (2.12) ta biểu diễn các hàm chưa biết
G 1 (ζ), G 2 (ζ), G 3 (ζ), G 4 (ζ) theo các giới hạn ub 1 (ζ),ub 2 (ζ),pb 1 (ζ),pb 2 (ζ) Với ζ 6= 0, sau một số bước biến đổi, ta có
(2.16) Thế (2.13) - (2.16) vào (2.8) ta đạt được Φ(ζ, y) =b bv 1 (ζ) hsinh(|ζ|y)−ysinh(|ζ|h) cosh(|ζ|(h−y))
+vb 2 (ζ) ycosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h)−hsinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h)
O(|ζ|e −|ζ|(h−y) ), |ζ| → ∞, (2.18) hơn nữa, từ (2.9) ta có Φ(0, y) =b α 1 (y) lim ζ→0vb 1 (ζ) +α 2 (y) lim ζ→0bv 2 (ζ) +α 3 (y) lim ζ→0pb 1 (ζ) +α 4 (y) lim ζ→0pb 2 (ζ), trong đó α 1 (y) =−y(h 2 −y 2 ) + 3y(h−y) 2
6h , α 3 (y) = h−y h , α4(y) = y h. Thế (2.13) - (2.16) vào quan hệ sau dΦ(ζ,b 0) dy = |ζ|G 3 (ζ) +G 2 (ζ), dΦ(ζ, h)b dy = [G 1 (ζ)|ζ|+G 4 (ζ)] sinh(|ζ|h) + [G 3 (ζ)|ζ|+G 2 (ζ)] cosh(|ζ|h)+G 2 (ζ)|ζ|ysinh(|ζ|h) + G 4 (ζ)|ζ|hcosh(|ζ|h), ta được dΦ(ζ,b 0) dy = −a 11 (ζ)vb 1 (ζ)−a 12 (ζ)vb 2 (ζ)−a 1 (ζ)pb 1 (ζ) +a 2 (ζ)pb 2 (ζ), (2.19) dΦ(ζ, h)b dy = −a 21 (ζ)bv 1 (ζ)−a 22 (ζ)bv 2 (ζ)−a 2 (ζpb 1 (ζ) +a 1 (ζ)pb 2 (ζ), (2.20) trong đó a 1 (ζ) = |ζ|[(1 +θ) sinh(|ζ|h) cosh(|ζ|h) + (1−θ)|ζ|h]
Để xác định hai hàm chưa biết bv 1 (ζ) và bv 2 (ζ), chúng ta áp dụng đồng thời các điều kiện (2.4) và (2.5) Việc thỏa mãn các điều kiện từ (2.11), (2.12), (2.19) và (2.20) dẫn đến việc hình thành một hệ phương trình tích phân cho bv 1 (ζ) và bv 2 (ζ).
F −1 [vb(ζ)](x) = 0, x ∈ R\(−a, a), (2.25) trong đó v 1 (x) =M[Φ](x,0), v 2 (x) =M[Φ](x, h),v(x) = (v 1 (x), v 2 (x)) T , (2.26) vb(ζ) =F[v(x)](ζ),eg(x) = (eg 1 (x),eg 2 (x)) T , (2.27) ge1(x) =−g 1 (x)−F −1 [a1(ζ)pb 1(ζ)](x) +F −1 [a2(ζ)pb 2(ζ)](x), (2.28) ge 2 (x) =g 2 (x) +F −1 [a 2 (ζ)pb 1 (ζ)](x)−F −1 [a 1 (ζ)pb 2 (ζ)](x), (2.29)
Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân
Hệ (2.25) [3] được viết lại dưới dạng
(rF −1 [A(ζ)bv(ζ)](x) =eg(x), x ∈ (−a, a), r 0 v := r 0 F −1 [vb(ζ)](x) = 0, x ∈ R\(−a, a), (2.31) trong đó toán tử F −1 được hiểu eg(x) = (g 1 (x), g 2 (x)) T ,bv(ζ) = F[v](ζ) (vb 1 (ζ),vb 2 (ζ)) T , Khi đó, ta có
Bổ đề 2.1 [3] Ma trận A(ζ) được định nghĩa bởi công thức (2.23), (2.24) , (2.30) được gọi là xác định dương, với mọi ζ 6= 0.
Bổ đề 2.2 [3]Giả sử a 1 (ζ), a 2 (ζ), a 11 (ζ) và a 12 (ζ) được xác định bởi công thức (2.21) (2.22) (2.23), (2.24) Khi đó a 11 (−ζ) = a 11 (ζ) > 0, a 12 (−ζ) = a 12 (ζ) > 0, ∀ζ 6= 0, (i) a 1 (−ζ) =a 1 (ζ) > 0, a 2 (−ζ) = a 2 (ζ) > 0, ∀ζ 6= 0. a 11 (0) = lim ζ→0a 11 (ζ) = h
Từ các kết quả của Bổ đề 1.1 và Bổ đề 2 , kết hợp các biểu thức từ (2.21) đến (2.24) ta có biểu thức sau a 11 (ζ) =a 22 (ζ) ∈ σ + −1 ∩C(R), a 1 (ζ) ∈ σ 1 + ∩C(R), (2.32) a 12 (ζ) =a 21 (ζ) và a 2 (ζ) ∈ σ −β ∩C(R), ∀β > 1 (2.33)
Chúng ta đưa các kết quả sau cho vết Φ(x, y) trên biên y = 0 và y = h của hình dải Π : p 1 (x) := Φ(x,0) và p 2 (x) := Φ(x, h) ∈ H 3 2 (R), (2.34) v 1 (x) := M[Φ](x,0) và v 2 (x) := M[Φ](x, h) ∈ H − 1 2 (R) (2.35)
Từ (2.32) và Bổ đề 1.2 nên ta có điều sau Định lý 2.1 [3] Với các điều kiện (2.34) và (2.35) thỏa mãn, nên ta có
Từ Định lý 2.1, ta giả sử có những điều kiện sau p 1 (x) và p 2 (x) ∈ H 3 2 (R), (2.36) g 1 (x) và g 2 (x) ∈ H 1 2 (−a, a) (2.37)
Do đó, chúng ta có eg(x) ∈ H α/2 ~ (−a, a), α~ = (1,1) T (2.38) Định lý 2.2 [3](Tính duy nhất) Với điều kiện (2.38) thỏa mãn Khi đó, hệ phương trình cặp (2.31) có nhiều nhất một nghiệm v ∈ H −~ o α/2 (−a, a).
Chứng minh Giả sử v ∈ H ~ α/2 (−a, a) là nghiệm thuần nhất của hệ (2.31).
Sử dụng công thức từ (1.7)-(1.11) và Định lý 1.1, ta được
(Av)(x) =pF −1 [A(ζ)vb(ζ)](x), x ∈ (−a, a) ta viết lại (2.31) thành
Bây giờ, chúng ta xác định sự tồn tại nghiệm của hệ (2.39) trong không gian H −~ o α/2 (−a, a), ~α = (1,1) T
Bổ đề 2.3 [3] Chúng ta có A + (ζ) ∈ P −~ + α , ~α = (1,1) T
Chứng minh Giả sử bv 1 = a 1 +jb 1 , bv 2 = a 2 +jb 2 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ R.
Ta có bv T A + vb = tanh(|ζ|h)
Do đó vb T A + vb = tanh(|ζ|h)
Sử dụng Bổ đề 1.1, ta có tanh(|ζ|h)
|ζ| ∈ σ + −1 (R), nghĩa là tồn tại một hằng số dương D, sao cho tanh(|ζ|h)
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.4 [6]Tích vô hướng và chuẩn trong H −~ o α/2 (R)(~α = (1,1) T ) được xác định như sau
Giả sử các biểu thức (2.36) và (2.37) đúng, thì hệ phương trình cặp tích phân (2.31) có nghiệm duy nhất v = F −1 [bv] ∈ Ma trận A + (ζ) được xác định theo công thức (2.40) trong Định lý 2.3.
Chứng minh Từ giả thiết (2.36) và (2.37) đúng, do (2.28) và (2.29) và Định lý 2.1, ta sẽ có eg(x) ∈ H ~ α/2 (−a.a), α~ = (1,1) T
Chúng ta biểu diễn toán tửAbằng công thức (2.39) theo dạngA = A + +B, trong đó
A + v = rF −1 [A + vb], Bv = rF −1 [Bvb], v = F[v] (2.46) Trước hết, ta xét hệ phương trình
A+v(x) =f(x), v(x) ∈ H −~ o α/2 (−a, a), (2.47) trong đó, g(x) ∈ H ~ α/2 (−a, a) là một hàm véc tơ đã biết Từ (1.7), (1.10), (2.44) chúng ta có
F[u T ](ζ)A + (ζ)F[v](ζ)dζ = (u,v) A +,−~ α/2 , với các hàm véc tơ tùy ý u và v thuộc H −~ o α/2 (−a, a).
Do đó, nếu v ∈ H ~ α/2 o (−a.a) thỏa mãn (2.47), ta có
Với[f,v]là một hàm tuyến tính liên tục trong không gian HilbertH −~ o α/2 (−a, a), từ định lý Riesz, tồn tại duy nhất v o ∈ H −~ o α/2 (−a, a) sao cho
Từ (2.48) và (2.49) chúng ta được v = v o Hơn nữa, ta lại có
||v o || A +,~ α/2 = ||A −1 f|| A +,~ α/2 6 D||f|| H ~ α/2 (−a,a), (2.50) đúng, trong đó D là một hằng số dương Sau đó, ta biến đổi hệ (2.31) thành
Từ đó ta có v +A −1 + Bv = A −1 + eg (2.51)
Theo Định lý 1.3, toán tử Bv được xác định bởi (2.46) là đầy đủ và liên tục từ H −~ o α/2 (−a, a) vào H ~ α/2 (−a, a), do đó toán tử A −1 + B hoàn toàn bị chặn Hệ phương trình (2.51) là Fredholm Với tính duy nhất nghiệm theo Định lý 2.2, hệ này cũng có nghiệm duy nhất v ∈ H −~ o α/2 (−a, a) Định lý 2.4 khẳng định rằng nếu (2.36) và (2.37) đúng, thì có nghiệm duy nhất Φ của Bài toán (2.1) - (2.5) thuộc không gian Sobolev H 1 (Π), H n (Π) với ∀n > 0.
Chứng minh Biểu diễn Φ(x, y) := F −1 [Φ(ζ, y)](x)b trong đó Φ(x, y)b xác định bởi (2.17) Đầu tiên, ta chứng minh hàm Φ(x, y) thỏa mãn phương trình (2.1) trong miền hình dải Π.
Thật vậy, trong (2.17) hàm bv1(ζ),bv2(ζ),pb 1(ζ),và pb2(ζ) là các hàm xác định, do (2.18) và (2.7) cùng với điều kiện |x| < ∞,0 < y < h chúng ta được
Dễ kiểm tra được điều kiện biên (2.2) và (2.3) thỏa mãn, và
M[Φ](x,0) = v1(x) và M[Φ](x,h) = v2(x) với x ∈ R, trong đó M[Φ] được xác định theo (2.6) Các hàm v1(x) và v2(x) được xác định dựa trên điều kiện biên (2.4) và (2.5), tương đương với hệ phương trình tích phân (2.25) Theo Định lý 2.3, nếu thỏa mãn điều kiện (2.36) và (2.37), thì hệ phương trình (2.25) sẽ có nghiệm duy nhất v = (v1, v2) thuộc Ho −1/2 (−a, a)×.
Ho −1/2 (−a, a) Từ đó, nếu điều kiện (2.36) và (2.37) thỏa mãn, thì nghiệm duy nhất Φ(x, y) = F −1 [Φ(ζ, y)](x)b của bài toán (2.1) - (2.5), là Φ(x, y)b được tính bằng (2.17).
Bây giờ, ta chứng minh Φ ∈ H 1 (Π) Trước hết, ta chứng minh Φ x = ∂Φ
∂x ∈ L 2 (Π) Sử dụng đẳng thức Parseval ta có
Thay Φ(ξ, y)b từ (2.17) vào vế phải của (2.52) và áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được
−∞ ζ 2 |bv2(ζ)| 2 ycosh(|ζ|y) sinh(|ζ|h)−hsinh(|ζ|y) cosh(|ζ|h)
Từ (2.53), để chứng minh ||Φ x || L 2 (Π) < +∞, ta có
Trong phương trình (2.54), với D là hằng số dương, ta có v 1 (x) ∈ Ho −1/2 (−a, a) ⊂ H −1/2 (R), điều này cho thấy tích phân ở vế phải của (2.54) là hữu hạn Cụ thể, giá trị của I 1 < +∞ và tương tự, ta cũng chứng minh được I 2 < +∞.
Để chứng minh định lý, ta có điều kiện (1 +|ζ|) 3 |pb 1 (ζ)| 2 dζ < +∞, dẫn đến p1(x) ∈ H 3/2 (R) Tương tự, ta cũng có I4 < +∞ Từ đó, suy ra Φ x ∈ L 2 (Π) và cả Φ, Φ y ∈ L 2 (Π) Do vậy, ta kết luận rằng Φ ∈ H n (Π) với mọi n > 2 và ∀ > 0, trong đó Π được định nghĩa là {(x, y) : −∞ < x < ∞, < y < h−}.
Biến đổi về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính 23 1 Biến đổi về hệ phương trình tích phân với hạch logarit 24 2 Biến đổi về hệ phương trình vô hạn đại số tuyến tính 26
tuyến tính Định nghĩa 2.1 [2] Giả sử ρ(x) = √ a 2 −x 2 (−a < x < a) Ta gọi
L 2 ρ ± 1(−a, a) là không gian Hilbert của hàm đối với tích vô hướng và chuẩn sau
Bổ đề 2.5 [2] Giả sử ϕ ∈ L 2 ρ (−a, a) Ta đặt ϕ o là thác triển - không của hàm ϕ trên R Khi đó ϕ o ∈ Ho −1/2 (−a, a).
Giả sử T_k(x) và U_k(x) là các đa thức Chebyshev loại một và loại hai Có một số biểu thức liên hệ giữa các đa thức Chebyshev này mà chúng ta có thể xem xét.
T j (η(y)) ρ(y) = βjTj[η(x)], (j = 0,1,2 ), (2.57) trong đó δ ji là kí hiệu Kronecker αj
2.3.1 Biến đổi về hệ phương trình tích phân với hạch logarit
Bây giờ, ta biến đổi về hệ (2.25) và viết lại dưới dạng
2 sinh 2 (|ζ|h) Định lý 2.5 [3] Hệ phương trình cặp tích phân (2.59) đối với bv1(ζ),vb 2(ζ) tương đương với hệ phương trình tích phân trên (−a, a) :
Từ phương trình thứ hai trong (2.59), ta thu được (2.61) Bằng cách thay (2.59) vào phương trình đầu tiên trong (2.59) và áp dụng định lý phép nhân chập cho các biến đổi Fourier, chúng ta có thể thực hiện các biến đổi cần thiết.
−a v m (s)K nm (x−s)ds = eg n (x), x ∈ (−a, a), (2.64) trong đó
Ta biến đổi K nn (x) trở thành
2a ∗ nn (ζ)−tanh(ζh) =O(ζe −2ζh ), a ∗ nm (ζ) = O(ζe ζh )(n6= m), đúng Do đó, từ (2.62), (2.63) và các quan hệ trên ta có được k nn (x) và k nm (x) ∈ C ∞ [−a, a], (n, m = 1,2;n6= m).
2.3.2 Biến đổi về hệ phương trình vô hạn đại số tuyến tính
Chúng ta sẽ tìm nghiệm của hệ (2.60) trong lớp L²ρ(−a, a), được biểu diễn dưới dạng vn(x) = un(x)ρ(x), với n = 1, 2 Trong đó, un(x) thuộc L²ρ⁻¹(−a, a) Theo Bổ đề 2.5, hàm vn(x) sẽ thuộc không gian Ho⁻¹/₂(−a, a) Chúng ta giả sử eg n(x) thuộc H¹/₂(−a, a) ∩ L²ρ⁻¹(−a, a) với n = 1, 2.
Thế (2.67) vào (2.60), ta được hệ phương trình tích phân sau
(2.69) Ngoài ra, chúng ta mở rộng hàm u 1 (t) và u 2 (t) vào chuỗi u n (t) ∞
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình liên quan đến các hằng số chưa biết A(n)i, với n = 1, 2, và điều kiện {A(n)i} ∞ i=0 thuộc l2 (n = 1, 2) Bằng cách thế (2.70) vào (2.69) và thay đổi thứ tự giữa phép tích phân và phép tổng, áp dụng công thức (2.57), chúng ta có thể thiết lập một hệ phương trình mới.
T m [η(x)] ρ(x) eg2(x)dx. Định lý 2.6 [3]Hệ phương trình tích phân (2.69) với u 1 (t), u 2 (t) ∈ L 2 ρ −1(−a, a) tương đương với hệ phương trình đại số tuyến tính (2.71) với {A (n) i } ∞ i=0 ∈ l 2 ,(n = 1,2).
Từ biểu thức (2.71) ta có thể viết lại
Bổ đề 2.6 [3]Biểu thức sau đúng
|C m,i | 6 K mi 2 (m > 2, i > 2), (2.77) trong đó K là hằng số cho trước.
Chứng minh Đổi biến số ta đặt x = acosν, t= acosω, do (2.74) và (2.75), ta có
Có nghĩa là tích phân đầy đủ (2.78) bằng K ml,i (cosν) và lấy tích phân hai lần ta được
0 sini−1)ωsinωk nl 00 [a(cosν −cosω)]
0 sin(i+ 1)ωsinωk 00 nl [a(cosν −cosω)]dω (2.79)
Vì k nl (x) là hàm khả vi vô hạn, bị chặn trên [−a, a], thì khi đó từ (2.79) ta được
Bây giờ, ta xét tích phân sau
Tương tự như trên, ta được
Từ (2.78) - (2.80), và vì (2.58), ta được (2.77)
Bổ đề 2.7 [3] Nếu đạo hàm egn (k) (x), n = 1,2 là hàm liên tục trên [−a, a], thì bất đẳng thức sau đúng:
Định lý 2.7 chỉ ra rằng, nếu các hàm eg1(x) và eg2(x) thỏa mãn điều kiện (2.68) và tập hợp {Mm} ∞ m=1 thuộc l2, thì hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.76) sẽ có nghiệm duy nhất {Ym} ∞ m=1 ∈ l2 Điều này có nghĩa là, với các điều kiện nhất định, chúng ta có thể tìm được một tập hợp các giá trị Ym duy nhất để thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính.
Hệ vô hạn này được gọi là hệ tựa hoàn toàn chính quy.
Chứng minh rằng ma trận M chứa các hệ số vô hạn trong biểu thức (2.76) và theo (2.77), các cặp chuỗi trong thành phần của M đều hội tụ.
M là một toán tử hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert l², dẫn đến hệ vô hạn (2.76) trở thành Fredholm trong l² Tính duy nhất của hệ phương trình cặp tích phân (2.23) đảm bảo rằng hệ này có nghiệm duy nhất Do đó, hệ vô hạn (2.76) cũng có nghiệm duy nhất trong l² Với mỗi m = N đủ lớn, điều này được xác nhận.
Do đó, hệ vô hạn (2.76) là tựa hoàn toàn chính quy [4].
Trong luận văn này tôi đã trình bày được những kết quả sau:
1 Hệ thống các khái niệm cơ bản nhất về hệ phương trình cặp tích phân, khái niệm về không gian hàm,hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, toán tử giả vi phân.
2 Trình bày tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa trên miền hình dải.
3 Trình bày phương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
[1] Nguyen Van Ngoc, On the solvability of dual integral equations involving Fourier Transforms, Acta Math Vietnam 13(2) (1988), 21-30.
[2] Nguyen Van Ngoc, Dual integral equations involving Fourier transforms with increasing symbols, Acta Math Vietnam 34 (3) (2009), 305-318.
[3] Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan, Solvability of a system of dual intergal equations of a mixed boundary value problem for the biharmonic equation in a strip, Acta Mathematica Vietnamica 36 (2) (2011), 375- 396.
[4] V S Vladimirov, Generalized Functions in Mathematical Physics, Moscow, Mir, 1979 (in Russian).
[5] L R Volevich and B P Panekh,Some spaces of generalized functions and imbedding theorems, Uspekhii Math Nauk 20 (1) (1965), 3-74(in Russian).
[6] L V Kantorovich, Yu.A Krylov, Approximate Methods in Higher Anal- ysis, Fizmatgiz, Moscow, 1962 (in Russian).