(LUẬN văn THẠC sĩ) nghiệm yếu của bài toán biên dirichlet chứa toán tử laplace phân thứ

Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm

Xét không gian Schwartz S các hàm C ∞ (R n ) tăng chậm có tôpô xác định bởi {pj} j∈ N : pj(ϕ) := sup x∈ R n

|D α ϕ(x)|, trong đó ϕ ∈ S(R n ) Nghĩa là, S chứa các hàm ϕ thỏa mãn sup x∈ R n x α D β ϕ(x) < +∞, với mọi α, β ∈ N n 0

Tôpô lồi địa phương tự nhiên trên S có tính chất: dãy {ϕ} i∈ N hội tụ đến 0 trong S nếu và chỉ nếu lim j→+∞x α D β ϕ j (x) = 0 với mọi α, β ∈ N n 0

R n e −iξãx ϕ(ξ)dξ, là biến đổi Fourier của hàm ϕ ∈ S và biến đổi Fourier ngược xác định bởi

R n e ixãξã ϕ(ξ)dξ, (1.1) cả hai đều là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(R n ) vào chính nó Hơn nữa, vì

Phép biến đổi Fourier F là một phép đẳng cấu và phép đồng phôi từ không gian S(R^n) lên chính nó Đặt S^0 là tôpô đối ngẫu của S, nếu T thuộc S^0, thì định nghĩa hFT, ϕi := hT,Fϕi cho mọi ϕ thuộc S, trong đó h., i là tích đối ngẫu giữa S và S^0 Một hàm u thuộc L^2(R^n) nếu và chỉ nếu Fu cũng thuộc L^2(R^n), và công thức kuk L^2(R^n) = kFuk L^2(R^n) cho mọi u thuộc L^2(R^n) được gọi là công thức Paranchval-Plancherel.

Không gian Sobolev thứ

Tính chất phép nhúng

Một số kết quả cơ bản của phép nhúng được phát biểu như sau:

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử p ∈ [1,+∞) và tập mở Ω trong R n Khi đó, các khẳng định sau là đúng:

(a) Nếu 0 < s ≤ s 0 < 1, thì phép nhúng W s 0 ,p (Ω) ,→ W s,p (Ω) là liên tục.

Do đó, tồn tại hằng số C1(n, s, p) ≥1 sao cho kuk W s,p (Ω) ≤ C 1 (n, s, p)kuk W s 0 ,p (Ω),∀u ∈ W s 0 ,p (Ω).

(b) Nếu 0 < s < 1 và Ω là lớp C 0,1 và biên ∂Ω bị chặn, thì phép nhúng

W 1,p (Ω),→W s,p (Ω) là liên tục Do đó, tồn tại hằng số C 2 (n, s, p) ≥1 sao cho kuk W s,p (Ω) ≤ C 2 (n, s, p)kuk W 1,p (Ω) ,∀u ∈ W 1,p (Ω).

Nếu s 0 ≥ s > 1 và Ω là lớp C 0,1, thì phép nhúng W s 0 ,p (Ω) vào W s,p (Ω) là liên tục Đối với mọi s ∈ (0,1) và p ∈ [1,+∞), một tập mở Ω ⊂ R n được gọi là miền mở rộng cho W s,p nếu tồn tại một hằng số dương C = C(n, p, s, Ω) sao cho với mọi hàm u ∈ W s,p (Ω), tồn tại Eu ∈ W s,p (R n) với Eu(x) = u(x) và kE u k W s,p (R n) ≤ Ckuk W s,p (Ω) cho mọi x ∈ Ω.

Lưu ý mọi tập mở của lớp C 0,1 với biên bị chặn là miền mở rộng cho

W s,p (R n ). Định lý 1.2.3 Cho s ∈ (0,1) và p ∈ [1,+∞) sao cho sp < n Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s) sao cho kuk p

|x−y| n+ps dxdy,∀u ∈ W s,p (R n ), trong đó p ∗ s := pn n−sp là số mũ tới hạn phân thứ Vì vậy, không gian

W s,p (R n ) được nhúng liên tục trong L q (R n ) với mọi q ∈ [p, p ∗ s ] Hơn nữa, phép nhúng W s,p (R n ) ,→ L q loc (R n ) là compact với mọi q ∈ [p, p ∗ s ).

Trong miền mở rộng, định lý 1.2.4 khẳng định rằng với s ∈ (0,1) và p ∈ [1,+∞) thỏa mãn điều kiện sp < n, nếu Ω ⊂ R n là miền mở rộng cho W s,p, thì sẽ tồn tại một hằng số dương.

Không gian W s,p (Ω) được nhúng liên tục trong L q (Ω) với mọi q ∈ [p, p ∗ s ], và nếu Ω bị chặn, thì W s,p (Ω) cũng được nhúng compact trong L q (Ω) với mọi q ∈ [1, p ∗ s ) Định lý 1.2.5 chỉ ra rằng với s ∈ (0,1) và p ∈ [1,+∞) sao cho sp = n, tồn tại hằng số dương C = C(n, p, s) sao cho với mọi u ∈ W s,p (R n ), ta có kuk L q (R n ) ≤ Ckuk W s,p (R n ) với mọi q ∈ [p,+∞) Điều này chứng minh rằng W s,p (R n ) liên tục được nhúng trong L q (R n ) cho mọi q ∈ [p,+∞) Đối với miền mở rộng, Định lý 1.2.6 khẳng định rằng với s ∈ (0,1) và p ∈ [1,+∞) sao cho sp = n, tồn tại hằng số dương cho Ω ⊂ R n là miền mở rộng cho W s,p.

C := C(n, p, s,Ω) sao cho, với mọi u ∈ W s,p (Ω), kuk L q (Ω) ≤Ckuk W s,p (Ω) với mọi q ∈ [p,+∞); nghĩa là, không gian W s,p (Ω) liên tục được nhúng trong L q (R n ) với mọi q ∈ [p,+∞] Ngoài ra, nếu Ω bị chặn, thì không gian

W s,p (Ω) compact được nhúng trong L q (Ω) với mọi q ∈ [1,+∞).

Ký hiệu C 0,α (Ω) là không gian các hàm liên tục H¨older, với chuẩn kuk C 0,α (Ω) := kuk L ∞ (Ω) + sup x,y∈Ω x6=y

Định lý 1.2.7 khẳng định rằng, với s ∈ (0,1) và p ∈ [1,+∞) thỏa mãn điều kiện sp > n, tồn tại một hằng số dương C = C(n, p, s, Ω) cho miền C 0,1 của R n Điều này có nghĩa là đối với mọi hàm u thuộc không gian W s,p (Ω), chuẩn C 0,α (Ω) của u không vượt quá hằng số C nhân với chuẩn W s,p (Ω) của u, với α = (sp−n)/p Kết quả này chứng minh rằng không gian W s,p (Ω) được nhúng liên tục trong không gian C 0,α (Ω).

Hệ quả 1.2.8 Cho s(0,1) và p ∈ [1,+∞) sao cho sp > n Cho Ω là một

C 0,1 miền bị chặn của R n Khi đó phép nhúng

W s,p (Ω) ,→ C 0,β (Ω) compact với mọi β < α, với α := (sp −n)/p.

Chứng minh Cho {u j } j∈ N là dãy bị chặn trong W s,p Từ Định lý 1.2.7 suy ra {u j } j∈ N bị chặn trong C 0,α (Ω) Do đó, tồn tại C > 0 sao cho ku j k L ∞ (Ω) + sup x,y∈Ω x6=y

|x−y| α ≤ C,∀j ∈ N (1.6) Áp dụng (1.6) và Định lý Ascoli-Arzelà ta có u j →u ∞ đều trong Ω (1.7) khi j →+∞, với u ∞ ∈ C(Ω) Hơn nữa, từ (1.6) và (1.7) suy ra

|u ∞ (x)−u∞(y)| = lim j→+∞|u j (x)−uj(y)| ≤ C|x−y| α , (1.8) với mọi x, y ∈ Ω Do đó, hàm u ∞ thuộc C 0,α (Ω).

Chúng ta phải chứng minh u j →u ∞ trong C 0,β (Ω) khi j → +∞, với mọi β < α Từ (1.7), ta có sup x,y∈Ω x6=y

|x−y| β → 0 (1.9) khi j →+∞ Vì ku j −u ∞ k L ∞ (Ω) → 0 khi j →+∞, với mọi ε > 0, tồn tại j ε ∈ N sao cho ku j −u ∞ k L ∞ (Ω) ≤ ε

, ∀j ≥ jε (1.10) Vậy, từ (1.6) và (1.8) ta có

(1.11) Nếu 2C|x−y| α−β < ε, nên từ (1.11) cho ta

Hơn nữa, khi 2C|x−y| α−β ≥ε, áp dụng (1.10), với mỗi j ≥ j ε , có

Từ (1.12), (1.13), và (1.9) đi đến điều cần chứng minh.

Không gian Sobolev H s (Ω)

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét trường hợp Hilbert với p = 2 và phân tích mối liên hệ của nó với toán tử Laplacian phân thứ Giả sử Ω là một tập con mở trong R n.

H s (Ω) :=W s,2 (Ω), với mọi s ∈ (0,1) Không gian Sobolev thứ là không gian Hilbert Thật vậy, tích trong trên H s (Ω), xác định bởi hu, vi H s (Ω) :Z

|x+y| n+2s dxdy, với mọi u, v ∈ H s (Ω), trùng với chuẩn đã cho trong (1.4) khi p = 2.

Rõ ràng, với mỗi s ∈ (0,1), ta có

H s (R n ) := W s,2 (R n ) = {u ∈ L 2 (R n ) : [u] W s,2 ( R n ) < +∞}, (1.14) trong đú [ã] W s,2 ( R n ) đó định nghĩa trong (1.5).

Không gian H s (R n ) được định nghĩa theo cách khác thông qua biến đổi Fourier Thật vậy, ta định nghĩa

Không gian Hb s (R n ) được định nghĩa theo hai cách khác nhau: một là thông qua định nghĩa trong (1.15) và hai là thông qua chuẩn Gagliardo trong (1.14) Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng hai định nghĩa này tương đương với nhau cho mọi s ∈ (0,1) (xem Hệ quả 1.3.6).

Toán tử Laplace phân thứ

Hằng số C(n, s): Một vài tính chất

Ở phần này, ta nhắc lại một số tính chất của hằng số C(n, s).

Bổ đề 1.3.3 Cho s ∈ (0,1) và C(n, s) là hằng số được xác định trong (1.17) và cho A(n, s) và B(s) như sau:

Chứng minh Giả sử n ≥2 và ζ = (ζ 1 , ζ 0 ), với ζ 0 ∈ R n−1 Áp dụng đổi biến η 0 = ζ 0 /|ζ 1 |, ta có

Bổ đề được chứng minh.

Nhận xét 1.3.4 Lưu ý từ (1.17) và (1.24) suy ra

Với n ≥ 3, gọi S n−2 là độ đo Lebesgue của hình cầu đơn vị trong R n−1 , ta có

Vì vậy, dễ dàng thấy

Mệnh đề 1.3.5 Giả sử s ∈ (0,1) và hằng số C(n, s) như (1.17) Thì, với mọi ξ ∈ R n , ta có

|y| n+2s dy = C(n, s) −1 |ξ| 2s , (1.25) Chứng minh Trước tiên, với η = (η 1 , , η n ), ta có

|ζ| n+2s dζ là hữu hạn và dương, theo cách chọn s.

Bây giờ chúng ta định nghĩa ánh xạ J : R n → R như sau:

|y| n+2s dy, với mọi ξ ∈ R n Ta có J là phép quay bất biến, tức là

J(ξ) = J(|ξ|e 1 ), ξ ∈ R n , (1.26) trong đó e 1 là vectơ hướng đầu tiên trên không gian R n

Khi n = 1, (1.26) trở nên tầm thường do J là hàm lẻ Đối với n ≥ 2, chúng ta xem xét phép quay R với điều kiện R(|ξ|e1) = ξ và gọi R T là chuyển vị của nó Nhờ đó, bằng cách thế ye = R T y, chúng ta có thể tiếp tục phân tích.

Do đó, từ (1.26), thế ζ = |ξ|y, ta được

=C(n, s) −1 |ξ| 2s ,theo (1.17) Tóm lại, (1.25) được chứng minh.

Hệ quả 1.3.6 Giả sử s ∈ (0,1) và C(n, s) là hằng số như trong (1.17). Thì, với mọi u ∈ H s (R n ),

Chứng minh Cố định y ∈ R n Áp dụng đổi biến số z = x−y, và công thức Parseval-Plancherel đã cho trong (1.3), ta có

|z| n+2s |Fu(ξ)| 2 dzdξ, từ (1.25), chúng ta có thể viết

Vì thế, (1.27) kéo theo (1.28) và (1.29) Cuối cùng, sự tương đương giữa các không gian phân thứ H s (R n ) và Hb s (R n ) đến (1.2) và (1.27).

Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier

Ở đây, ta chứng minh các toán tử Laplace phân thứ (−∆) s là toán tử giải được kí hiệu |ξ| 2s

Mệnh đề 1.3.7 Cho s ∈ (0,1) Khi đó, với mọi u ∈ S,

(−∆) s u(x) = F −1 (|ξ| 2s (Fu)(ξ))(x), x ∈ R n , trong đó F −1 là biến đổi Fourier ngược được định nghĩa trong (1.1).

|y| n+2s dy, x ∈ R n , trong đó C(n, s) như trong (1.17) Chúng ta cần tìm hàm S : R n → R sao cho

Ta cần chứng minh rằng với mọi ξ ∈ R n ,

|y| n+2s ∈ L 1 (R n ×R n ), từ kết quả của Fubini, Tonelli ta đổi tích phân theo y với biến đổi Fourier theo x Áp dụng biến đổi Fourier theo biến x trong (1.30), chúng thu được S(ξ)(Fu)(ξ) =F(Lu)

Thế (1.25) vào (1.31), dễ thấy hàm S là dạng cần tìm Mệnh đề được chứng minh.

Các định nghĩa khác của toán tử Laplace phân thứ sử dụng các hằng số chuẩn hóa khác nhau, trong đó hằng số C(n, s) được chọn để đảm bảo tính tương đương giữa định nghĩa tích phân của (−∆) s và giá trị từ biến đổi Fourier Hằng số C(n, s) có các tính chất quan trọng: khi s tiến tới 1, lim − (−∆) s u = −∆u, và khi s tiến tới 0, lim + (−∆) s u = u (xem [83, mệnh đề 4.4]) Ở đây, −∆ đại diện cho các toán tử Laplace cổ điển.

Cuối cùng, chúng ta có thể chứng minh mối quan hệ giữa toán tử Laplace phân thứ (−∆) s và không gian Sobolev thứ H s (R n ).

Mệnh đề 1.3.8 Cho s ∈ (0,1) và C(n, s) là hàm hằng như trong (1.17). Khi đó, với mọi u ∈ H s (R n )

[u] 2 H s ( R n ) = 2C(n, s) −1 k(−∆) s/2 uk 2 L 2 ( R n ) (1.32) Chứng minh Từ (1.3) kéo theo k(−∆) s/2 uk 2 L 2 ( R n ) = kF(−∆) s/2 uk 2 L 2 ( R n ) (1.33) Mặt khác, từ Mệnh đề 1.3.7 ta có kF(−∆) s/2 uk 2 L 2 ( R n ) = k|ξ|Fuk 2 L 2 ( R n ) (1.34) Cuối cùng, từ Hệ quả 1.3.6 suy ra k|ξ|Fuk 2 L 2 ( R n ) = 1

Như hệ quả của công thức Paranchval-Plancherel, cũng như các Mệnh đề 1.3.7 và 1.3.8 và Hệ quả 1.3.6, các chuẩn trong H s (R n ) được cho bởi u 7→

,đều tương đương Điều này hữu ích cho việc nghiên cứu các phương trìnhSchr¨odinger phân thứ.

Nghiệm yếu của bài toán biên

Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ

Nghiệm Mountain pass cho bài toán biên Dirichlet chứa toán

let chứa toán Laplace phân thứ

Gần đây, phương trình vi tích phân với toán tử không địa phương đã thu hút sự chú ý trong nhiều nghiên cứu, từ toán học thuần túy đến các ứng dụng thực tiễn Trong bài viết này, tôi sẽ tập trung vào việc khảo sát sự tồn tại vô số nghiệm cho bài toán cụ thể này.

Trong bài viết này, Ω được định nghĩa là một tập con mở và bị chặn trong R^n với biên liên tục ∂Ω, trong đó n lớn hơn 2s và s nằm trong khoảng (0,1) Hàm f được yêu cầu phải thỏa mãn các điều kiện khác nhau, và L K là toán tử tích phân được xác định bởi các yếu tố liên quan.

(u(x+y) +u(x−y)−2u(x)K(y)dy, x ∈ R n , (2.2) trong đó hạt nhân K : R n \{0} → (0,+∞) sao cho mK ∈ L 1 (R n ), trong đó m(x) = min{|x| 2 ,1} (2.3) và tồn tại θ > 0 sao cho K(x) ≥ θ|x| −(n+2s) với mọi x ∈ R n \{0} (2.4)

Mô hình K cho bởi hạt nhân kỳ dị K(x) = |x| −(n+2s) , ta nhận lại toán tử Laplace phân thứ −(−∆) s , được định nghĩa

|y| n+2s dy, x ∈ R n Nghiệm yếu u của Bài toán (2.1) được xác định bởi

(2.5) nó là điểm tới hạn của phiếm hàm hàm năng lượng J K,λ : X 0 → R được xác định

Trong đó hàm F là nguyên hàm của f đối với biến thứ hai, nghĩa là

F(x, t) Z t 0 f(x, τ)dτ (2.7) Ở đây, không gian X 0 xác định X 0 := {g ∈ X : g = 0 a.e trong R n \Ω},trong đó không gian hàm X là không gian tuyến tính của các hàm đo được

Lebesgue từ R n đến R sao cho hạn chế của mọi hàm g trong X từ Ω đến

K(x−y) thuộc L 2 ((R n ×R n )\(CΩ× CΩ), dxdy), với CΩ := R n \Ω Không gian hàm

(2.8) và (X0,k ã k X 0 ) là khụng gian Hilbert, với tớch vụ hướng hu, vi X

Không gian Sobolev phân thứ thông thường H s (Ω) được trang bị chuẩn Gagliardo, xác định bởi kgk H s (Ω) := kgk L 2 (Ω) +

Lưu ý trong trường hợp K(x) = |x| −(n+2s) , các chuẩn (2.8) và (2.10) không giống nhau Điều này làm cho không gian X 0 không tương đương với không gian Sobolev phân thứ thông thường.

Không gian X 0 là khác rỗng, vì C 0 2 (Ω) ⊆X 0 và hạt nhân K thỏa mãn điều kiện (2.3) và (2.4), bao gồm:

X 0 ⊆ {g ∈ H s (R n ) : g = 0 a.e trong R n \Ω}, trong trường hợp K(x) = |x| −(n+2s) , ta có:

Cuối cùng, chúng ta nhớ lại bài toán giá trị riêng của −L K , cụ thể là

Trong không gian L2(Ω), tồn tại một dãy các giá trị riêng dương được ký hiệu là λ1 < λ2 ≤ ≤ λk ≤ λk+1 ≤ , với các hàm riêng tương ứng là ek Tập hợp {ek} k∈N tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong L2(Ω) và cơ sở trực giao trong không gian X0 Các tính chất phổ của toán tử được xác định dựa trên dãy giá trị riêng này.

Để chứng minh các kết quả trong phần này, chúng ta áp dụng Định lý Fountain-Bartsch Định lý này giả định điều kiện compact, cụ thể là điều kiện Palais-Smale Hàm L K,λ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale ở cấp c ∈ R nếu tồn tại một dãy {u j } j∈ N trong không gian X0.

J K,λ 0 (u j ) → c và sup{| hJ K,λ (u j ), ϕi | : ϕ ∈ X 0 ,kϕk X 0 = 1} → 0 khi j →+∞, có dãy con hội tụ mạnh trong X 0

Điều kiện Cerami được giới thiệu như một điều kiện yếu hơn so với điều kiện Palais-Smale Hàm J K,λ sẽ thỏa mãn các điều kiện chặt Cerami ở cấp c ∈ R nếu tồn tại một dãy {u j } j∈ N trong không gian X 0 sao cho.

J K,λ (u j ) → c và (1 +ku j k) sup{| J K,λ 0 (u j ), ϕ | : ϕ ∈ X 0 ,kϕk X 0 = 1} → 0 khi j →+∞, có dãy con hội tụ mạnh trong X 0

Khi vế phải của bài toán (2.1) thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm năng lượng J k,λ thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale Nếu loại bỏ điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (2.14) và thay thế bằng (2.44) hoặc (2.46) hoặc (2.83), chúng ta sẽ chứng minh rằng J K,λ thỏa mãn điều kiện Cerami.

Với mọi k ∈ N chúng tôi đặt

Yk := span{e 1 , , ek} và Zk := span{e k , ek+1, }.

Lưu ý, Y k là hữu hạn chiều nên các chuẩn trên Y k là tương đương Khi đó,các điều kiện hình học của Định lý Fountain như sau:

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh các kết quả chính dựa trên tài liệu [7] Giả sử hàm f : Ω×R → R thỏa mãn các điều kiện sau: f thuộc C(Ω ×R), tồn tại a1, a2 > 0 và q thuộc (2, 2∗), trong đó 2∗ = 2n/(n−2s).

|f(x, t)| ≤ a 1 +a 2 |t| q−1 với mọi x ∈ Ω, t ∈ R, (2.13) tồn tại à > 2 và r > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω, t ∈ R,|t| ≥r,

Điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz, được nêu trong (2.14), thường được áp dụng trong các bài toán giá trị biên elliptic siêu tuyến tính, nhằm đảm bảo tính bị chặn của dãy Palais-Smale cho hàm năng lượng liên quan Điều kiện này yêu cầu tồn tại các hằng số a3, a4 > 0 sao cho F(x, t) ≥ a3|t| - a4 với mọi (x, t) ∈ Ω × R, phản ánh tính siêu tuyến tính của phi tuyến tính f.

(2.15) Khi tìm vô số nghiệm, chúng ta cần điều kiện f lẻ theo t: f(x,−t) =−f(x, t) với mọi x ∈ Ω, t ∈ R (2.16)Hàm f(x, t) = a(x)|t| q−2 t, với a ∈ C(Ω) và q ∈ (2,2 ∗ ). Định lý 2.1.1 Cho s ∈ (0,1), n > 2s và Ω là tập con mở, bị chặn của

Giả sử K : R n \{0} → (0,+∞) là một hàm thỏa mãn các điều kiện (2.3) và (2.4), cùng với hàm f : Ω×R → R thỏa mãn các điều kiện (2.12)-(2.16) Khi đó, với mọi λ ∈ R, bài toán (2.1) sẽ có vô số nghiệm uj ∈ X0, j ∈ N, và năng lượng J K,λ (u j ) sẽ tiến tới +∞ khi j tiến tới +∞.

Chứng minh Để chứng minh Định lý 2.1.1, ta cần các kết quả sau đây.

Mệnh đề 2.1.2 Cho λ ∈ R và f : Ω ×R → R là hàm thỏa mãn (2.12)- (2.14) Khi đó J K,λ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale với mọi cấp c ∈ R.

Chứng minh Cho c ∈ R và {u j } j∈ N là dãy trong X 0 sao cho khi j →+∞, ta có

Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy {u j} j∈ N bị chặn trong không gian X0, với điều kiện sup{| hJ K,λ (uj), ϕi | :ϕ ∈ X0,kϕk X 0 = 1} → 0 Để chứng minh tính chất bị chặn của dãy này, chúng ta sẽ phân tích hai trường hợp: khi λ ≤ 0 và khi λ > 0 Qua đó, sẽ có một dãy con hội tụ mạnh trong không gian X0.

Bước 1 Dãy {u j } j∈ N bị chặn trong X 0

Với mọi j ∈ N, từ (2.17) và (2.18) suy ra tồn tại κ >0 sao cho

J K,λ 0 (u j ), u j ≤ κ(1 +ku j k X 0 ), (2.19) trong đú tham số à cho bởi (2.14).

Lấy tích phân (2.13) suy ra, với mọi x ∈ Ω và t∈ R, ta có

Do đó, từ (2.20) và (2.13), với mọi j ∈ N, ta có

Giả sử λ ≤ 0 Khi đó, từ (2.14) và (2.21), với mọi j ∈ N, ta có

(x, uj(x))− 1 àf(x, uj(x))uj(x) dx

Từ (2.19), (2.22) và à > 2 chỳng ta cú

2 − 1 à ku j k 2 X 0 ≤κ(1 +ku j k X 0 ) + ˜κ với mọi j ∈ N, nghĩa là {u j } j∈ N bị chặn trong X 0

Bây giờ, xét trường hợp λ > 0:

Cố định σ ∈ (2, à) với à > 2theo (2.14) Lập luận như trờn chỳng ta có với mọi j ∈ N,

≤κ˜ (2.24) với κ và κ˜ Khi đó, áp dụng (2.14), (2.15) và (2.24), suy ra với mọi j ∈ N, ta có

|Ω| − κ.˜ (2.25) Hơn nữa, với mọi ε > 0 bất đẳng thức Young (với số mũ liờn hợp à/2 > 1 và à/(à−2)) ta cú ku j k 2 L 2 (Ω) ≤ 2ε àku j k à L à (Ω) + à−2 à ε −2/(à−2) |Ω|, (2.26) do đó, theo (2.25) và (2.26), với mọi j ∈ N suy ra

(2.27) trong đú Cε là hằng số mà Cε → +∞ khi ε → 0, do à > σ > 2 Bõy giờ, chọn ε nhỏ tùy ý sao cho a 3 à σ −1 −λ

2ε à > 0, từ (2.27), với mọi j ∈ N ta có

2 − 1 σ ku j k 2 X 0 −C ε (2.28) Kết hợp (2.23) và (2.28), suy ra với mọi j ∈ N, ku j k 2 X 0 ≤ κ ∗ (1 +ku j k X 0 ) với hằng số dương κ ∗ Điều này chứng tỏ rằng dãy Palais-Smale {u j } j∈ N bị chặn trong X 0

Bước 2 Dãy con của {u j } j∈ N hội tụ mạnh trong X 0

Vì {u j } j∈ N bị chặn trong X 0 (theo Bước 1) và X 0 là không gian phản xạ, đến dãy con, vẫn ký hiệu bằng {u j } j∈ N , tồn tại u ∞ ∈ X 0 sao cho

(2.29) khi j →+∞ Hơn nữa dãy con, u j →u ∞ trong L 2 (R n ), u j →u ∞ trong L q (R n ), u j →u ∞ a.e trong R n ,

(2.30) khi j →+∞ và tồn tại ` ∈ L q (R n ) sao cho

Theo (2.13), (2.29)-(2.31), ỏnh xạ t 7→ f(ã, t) liờn tục với t ∈ R và Định lý Dominated Convergence, ta có

Ω f(x, u∞(x))u∞(x)dx (2.33) khi j →+∞ Hơn nữa, theo (2.18) và kết quả Bước 1, chúng ta có

Ω f(x, uj(x))uj(x)dx, do đó, từ (2.30) và (2.32), suy ra

Ω f(x, u ∞ (x))u ∞ (x)dx (2.34) khi j →+∞ Mặt khác, theo (2.18), ta có

(2.35) khi j →+∞ Từ (2.29) với ϕ = u ∞ (2.30), (2.33) và(2.35) ta được

Do đó từ (2.34) và (2.36) ta có ku j k X 0 → ku ∞ k X 0 (2.37) khi j → ∞ Cuối cùng, dễ thấy ku j −u ∞ k 2 X

|u ∞ (x)−u ∞ (y)| 2 K(x−y)dxdy = 0 khi j → +∞, theo (2.29) và (2.37) Bước 2 được chứng minh Do đó, Mệnh đề 2.1.2 hoàn toàn được chứng minh.

Chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.1.1 bằng cách áp dụng Định lý Fountain Theo Mệnh đề 2.1.2, J K,λ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale Từ (2.16), ta có J K,λ (−u) = J K,λ (u) với mọi u ∈ X 0 Chúng ta sẽ thực hiện chứng minh theo các bước cụ thể.

Bước 1 Với mọi k ∈ N tồn tại r k > 0 sao cho ak := max{J K,λ (u) : u ∈ Yk,kuk X 0 = rk} ≤ 0.

Theo (2.15), với mọi u ∈ Y k , ta có

(2.38) với hằng dương C k,λ phụ thuộc vào k và λ, và Cˆ k,à phụ thuộc vào k và à. Tất cả các chuẩn đều tương đương trong Y k

Theo (2.38), với mọi u ∈ Yk, kuk X 0 = rk, ta có

J K,λ (u) ≤ 0, điều kiện r k > 0 là đủ lớn, vỡ à > 2 Bước 1 được chứng minh.

Bước 2 Cho 1≤ q < 2 ∗ và với mọi k ∈ N, đặt β k := sup{kuk L q (Ω) : u ∈ Z k ,kuk X 0 = 1.

Theo định nghĩa Z k , ta có Z k+1 ⊂ Z k và 0 < β k+1 ≤ β k với mọi k ∈ N Do đó β k → β (2.39) khi k →+∞, với β ≥ 0 Mặt khác, theo định nghĩa của β k , với mọi k ∈ N tồn tại uk ∈ Zk sao cho ku k k X 0 = 1 và ku k k L q (Ω) > β k

Không gian X0 là không gian Hilbert và cũng là không gian Banach phản xạ Trong không gian này, tồn tại một phần tử u∞ ∈ X0 và một dãy con uk (ký hiệu là uk) sao cho dãy này hội tụ yếu về u∞ trong X0, tức là, hu k , ϕi X.

Vì dãy {e k } k∈ N của hàm riêng L K là cơ sở trực giao của X 0, nên u ∞ ≡ 0 Theo Định lý nhúng Sobolev, ta có u k → 0 trong L q (Ω) khi k → +∞ Từ (2.39), β là không âm, và kết hợp với (2.40) cùng (2.41), ta suy ra rằng β k → 0 khi k → +∞ Như vậy, Bước 2 đã được chứng minh.

Bước 3 Tồn tại γ k > 0 sao cho b k := inf{J k,λ (u) : u ∈ Z k ,kuk X 0 = γ k } → +∞. khi k → +∞.

Lấy tích phân (2.13), và (2.20) suy ra tồn tại hằng số C > 0 sao cho

|F(x, t)| ≤ C(1 +|t| q ) (2.42) với mọi x ∈ Ω và t ∈ R Khi đó, từ (2.42) với mọi u ∈ Zk\{0}, ta có

(2.43) trong đó β k được định nghĩa như trên và

1− λ λ k nếu λ k ≤ λ < λ k+1 γ k xác định như sau γ k 2C k,λ qCβ k q 1/(q−2)

, dễ thấy γ k → +∞ khi k → +∞, theo Bước 2, q > 2 và vì {λ k } k∈ N là dãy khác Theo (2.43), với mọi u ∈ Z k , kuk X 0 = γ k , ta có

C k,λ γ k −C|Ω| → +∞, khi k → +∞ Do đó Bước 3 được chứng minh.

Do đó các tính chất hình học của Định lý Fountain đều được thỏa mãn và Định lý 2.1.1 hoàn toàn được chứng minh.

Từ (2.15) và à > 2, ta cú lim

Điều kiện siêu tuyến tính (2.44) đối với hàm f ở vô cực yêu cầu rằng 2 = +∞ với mọi x ∈ Ω Hàm f(x, t) = tlog(1 +|t|) (2.45) dễ dàng chứng minh là thỏa mãn điều kiện này, tuy nhiên, nó không đáp ứng điều kiện (2.15) và do đó cũng không thỏa mãn điều kiện (2.14).

Gần đây, nhiều bài toán siêu tuyến tính không có điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz đã được nghiên cứu, đặc biệt là tương tự địa phương của bài toán (2.1), trong đó L K được thay thế bằng −(−∆) Trong bối cảnh này, Jeanjean đã giới thiệu một điều kiện mới cho hàm f: tồn tại γ ≥ 1 sao cho với mọi x ∈ Ω, F(x, t₀) ≤ γF(x, t) với mọi t, t₀ ∈ R.

Sự tồn tại nhiều nghiệm cho bài toán Laplace phân thứ với độ tăng tới hạn

phân thứ với độ tăng tới hạn

Phần này trình bày kết quả về đa bội và chia đôi trong bài toán phi tuyến tính liên quan đến toán tử Laplace phân thứ (−∆) s, đồng thời làm rõ mối liên hệ với không gian Sobolev tới hạn.

Các kết quả trong phần này được trình bày từ [5] Chúng ta xét

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một bài toán trong không gian Ω ⊂ R n, nơi Ω là tập mở bị chặn có biên liên tục với n > 2s và s ∈ (0,1) Chúng tôi xác định γ là tham số thực dương và 2 ∗ = 2n/(n−2s) là mũ phân thứ Sobolev tới hạn Đặc biệt, chúng tôi chứng minh hai kết quả khác nhau về sự tồn tại của nhiều nghiệm khi f là hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện cận dưới khác và là hàm lẻ Khi f không đối xứng, bao gồm cả trường hợp bội, bài toán này cũng cho thấy sự tồn tại ít nhất hai nghiệm khác nhau.

Trong đó s ∈ (0,1) cố định, n > 2s, Ω ⊂ R n là một tập mở và bị chặn với biên liên tục, 2 ∗ = 2n/(n−2s) và (−∆) s là toán tử Laplace phân thứ, xác định như sau

Liên quan đến hàm phi tuyến tính trong (2.85), giả sử f : Ω×R → R là hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện sup{|f(x, t)| :x ∈ Ω,|t| ≤ M} < +∞ với mọi M > 0 Để thiết lập kết quả cho (2.85), cần có f(x, t) là số lẻ trong t, tức là f(x, t) =−f(x,−t) với mọi t ∈ R và a.e.x ∈ Ω Điều này cho phép áp dụng Định lý Mountain Pass đối xứng của Ambrosetti và Rabinowitz Tuy nhiên, trong trường hợp cổ điển, điều kiện áp dụng yếu hơn so với điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz Do đó, giả sử f và F là nguyên hàm của nó.

|t| 2 ∗ −1 = 0 đều trong Ω; (2.90) tồn tại σ ∈ [0,2) và a 1 , a 2 > 0 sao cho

(2.91) tồn tại σ ∈ (2,2 ∗ )vb1, b2 > 0 sao cho

(2.92) tồn tại c 1 > 0, h 1 ∈ L 1 (Ω) và Ω 0 ⊂ Ω với |Ω 0 | > 0 sao cho

F(x, t) ≥ −h 1 (x)|t| 2 −c 1 với mọi t∈ R và x ∈ Ω và lim inf

(2.93) Định lý 2.2.1 Cho s ∈ (0,1), n > 2s, Ω là tập con mở bị chặn của R n với biên liên tục và f là hàm thỏa mãn (2.87), (2.88), (2.90), (2.91)-(2.93).

Khi đó, với mọi k ∈ N tồn tại γ k ∈ (0,+∞] sao cho (2.85) có ít nhất k cặp nghiệm không tầm thường với mọi γ ∈ (0, γ k ).

Sau đây, chúng ta chứng minh Định lý 2.2.1 Bài toán (2.85) có cấu trúc biến phân và không gian chứa nghiệm là không gian Sobolev phân thứ

H 0 s (Ω) Để nghiên cứu (2.85) với điều kiện biên u = 0 trong R n \Ω (trường hợp Laplace cổ điển, u = 0 trên ∂Ω), xét H 0 s (Ω) với chuẩn Gagliardo định nghĩa như sau kuk H s ( R n ) = kuk L 2 ( R n ) +

Nhắc lại rằng không gian hàm với điều kiện biên, ký hiệu là X 0 ( hay X 0 s (Ω)) và được định nghĩa

Khi ∂Ω liên tục, theo [13] không gian X 0 là đóng của C 0 ∞ (Ω) đối với chuẩn (2.94) Áp dụng để chứng minh điều kiện compact cho hàm năng lượng trong (2.85).

Trong X 0 , ta xét chuẩn kuk X 0 Z Z

, (2.96) tương đương với chuẩn thông thường được định nghĩa trong (2.94) ([14]). Chỳ ý rằng (X 0 ,k ã k X 0 ) là khụng gian Hilbert, với tớch vụ hướng hu, vi X

|x−y| n+2s dxdy (2.97) Để đơn giản húa, ta ký hiệu k ã k X 0 và hã,ãi X

0 bằng k ã k và hã,ãi tương ứng, và k ã k L q (Ω) bằng k ã k q với mọi q ∈ [1,+∞] Hàm u ∈ X 0 là một nghiệm (yếu) của bài toán (2.85) nếu u thỏa mãn các công thức sau hu, ϕi = γ

Ω f(x, u(x))ϕ(x)dx, (2.98) với mọi ϕ ∈ X 0 Khi đó (2.98) là phương trình Laguler Euler của hàm

Trong đó F trong (2.89) Dễ thấy J γ được xác định theo (2.87)- (2.90) và

[14] Hơn nữa, J γ ∈ C 1 (X 0 ), các điểm tới hạn của J γ là nghiệm của bài toán (2.98), và là nghiệm yếu của (2.85).

Chứng minh Định lý 2.2.1 sử dụng phương pháp biến phân và phương pháp tôpô, với sự chú trọng vào Định lý Mountain Pass đối xứng Định lý 2.2.2, được gọi là Định lý điểm tới hạn tổng quát, áp dụng cho không gian E = V ⊕ X, trong đó

E là không gian Banach thực và V là hữu hạn chiều Giả sử I ∈C 1 (E,R) là hàm thỏa mãn các điều kiện:

(I 2 ) tồn tại hằng số ρ > 0 sao cho I| ∂B ρ ∩X ≥ 0;

Tồn tại một không gian con W ⊂ E với dimV < dimW < +∞ và M > 0 sao cho max u∈W I(u) < M Xét M > 0 từ điều kiện trên, I(u) thỏa mãn điều kiện (P S) với 0 ≤ c ≤ M Do đó, có ít nhất dimW − codimV cặp điểm tới hạn không tầm thường của I.

Để chứng minh Định lý 2.2.1, trước tiên chúng ta cần chứng minh hàm J γ thỏa mãn điều kiện (P S)c Chúng ta sẽ áp dụng một số tính chất của hàm phi tuyến tính f và F là nguyên hàm của nó Dựa vào các công thức (2.87) và (2.90), với mọi ε > 0, tồn tại một hằng số C ε > 0 để hỗ trợ cho chứng minh này.

2 ∗ |t| 2 ∗ với mọi t∈ R và x ∈ Ω (2.101) Chúng ta nhớ lại rằng {u j } j∈ N ⊂ X 0 s (Ω) là dãy Palais-Smale của J γ cấp c ∈ R (trong dãy (P S) c ) nếu

Khi J γ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale cấp c, tồn tại một dãy Palais-Smale {u j} j∈ N cấp c có một dãy con hội tụ trong không gian X 0 s (Ω) Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy (P S) c bị chặn.

Bổ đề 2.2.3 Cho f thỏa mãn (2.87), (2.90) và (2.91) Với mọi γ > 0, cho c > 0 và {u j } j∈ N là dãy (P S) c của J γ

Khi đó, {u j } j∈ N bị chặn trong X 0 s (Ω).

Chứng minh Cố định γ > 0 Từ (2.102) tồn tại C > 0 sao cho

| ≤ C với mọi j ∈ N (2.103) Hơn nữa, từ (2.91) và bất đẳng thức H¨older, ta có

Từ bất đẳng thức Young với p= 2 ∗ /σ và q = 2 ∗ /(2 ∗ −σ), suy ra ku j k σ 2 ∗ ≤ δku j k 2 2 ∗ ∗ +C δ , với δ > 0, Cδ Bất đẳng thức cuối cùng kết hợp với (2.103) và (2.104) cho ta ku j k 2 2 ∗ ∗ ≤ C 0 (ku j k+ 1), (2.105) với hằng số dương C 0

Bây giờ, từ (2.101), (2.103) và (2.105) ta có

Bây giờ, chúng ta chứng minh tính compact tương đối của dãy (P S) c theo cấp a.

Bổ đề 2.2.4 Cho f thỏa mãn (2.87), (2.90) và (2.91) Khi đó, với mọi

M > 0 tồn tại γ ∗ > 0 sao cho J γ thỏa mãn (P S) c điều kiện với mọi c ≤ M, với 0< γ < γ ∗

Chứng minh Cố định M > 0 Đặt γ ∗ = min

A= a 1 |Ω|+a 2 |Ω| 2∗−σ 2 ∗ , (2.107) trong đó a1, a2, σ là các hằng số được cho trong (2.91), S(n, s) là hằng số của toán tử nhúng Sobolev phân thứ, được định nghĩa

Với điều kiện γ < γ ∗ và c < M, chúng ta xem xét dãy (P S) c, {u j } j∈ N của J γ Theo Bổ đề 2.2.3, dãy {u j } j∈ N bị chặn trong không gian X 0 s (Ω), dẫn đến sự tồn tại của u ∈ X 0 s (Ω) sao cho u j hội tụ yếu đến u trong X 0 s (Ω) và u j hội tụ đến u trong L q (Ω) với q ∈ [1,2 ∗ ) Hơn nữa, u j cũng hội tụ đến u trong miền Ω khi j tiến tới vô cùng Khi j → +∞, ta có ku j k 2 → kuk 2, cho thấy u j hội tụ đến u trong X 0 s (Ω) Cuối cùng, từ Định lý Phrokorov, có sự tồn tại của độ đo dương à và ν trên R n.

Khi j → +∞, điều kiện |(−∆) s/2 u j (x)| 2 dx trong M(R n) dẫn đến |u j (x)| 2 ∗ dx ∗ ν Các điều kiện trên ∂Ω cho thấy rằng không gian X 0 s (Ω) là đóng của C 0 ∞ (Ω) theo chuẩn (2.94) Do đó, tồn tại một tập hợp đếm được các điểm riêng biệt {x i} i∈J với các số khụng õm {ν i} i∈J và {à i} i∈J, cùng với độ do dương à˜, sao cho Supp ˜ à ⊂Ω Kết quả là ν = |u(x)| 2 ∗ dx + Σ i∈J νiδx i và à = |(−∆) s/2 u(x)| 2 dx + ˜à + Σ i∈J àiδx i, với ν i ≤ S(n, s) − 2.

2 ∗ 2 j (2.115) với mọi i ∈ J , trong đó S(n, s) là hằng số cho trong (2.108) Bây giờ, để chứng minh (2.112) chúng ta thực hiện các bước sau.

Bước 1 Cố định i 0 ∈ J Khi đó, ν i 0 = 0 hoặc ν i 0 ≥

Chứng minh Cho ψ ∈ C 0 ∞ (R n ,[0,1]) sao choψ ≡1 trongB(0,1)và ψ ≡0 trong R n \B(0,2) Với mọi δ ∈ (0,1), ta có ψ δ,i 0 (x) =ψ((x−x i 0 )/δ).

Rõ ràng dãy {ψ δ,i 0 uj} j∈ N bị chặn trong X 0 s (Ω) theo Bổ đề 2.2.3 và như vậy từ (2.102) suy ra

Theo định nghĩa của (−∆) s đã cho trong (2.86), với mọi v ∈ X 0 s (Ω), ta có

Bằng cách lấy đạo hàm đẳng thức trên, với mọi v, w ∈ X 0 s (Ω) chúng ta có

(2.118) Hơn nữa, với mọi v, w ∈ X 0 s (Ω) ta có

|x−y| n+s dy với mọix ∈ R n Do đó, theo (2.118) và (2.119) tích phân bên trái của (2.117) trở thành

Mặt khác ta có limδ→0 lim j→+∞

Khi đó, bằng cách kết hợp (2.120)-(2.122) và (2.113)-(2.114) suy ra δ→0lim lim j→+∞

Theo (2.100) và Định lý hội tụ chúng ta có

B(x i 0 ,2δ) f(x, u(x))u(x)ψ δ,i 0 (x)dx khi j →+∞, và do đó δ →0, dễ thấy limδ→0 lim j→+∞

Hơn nữa, từ (2.113) kéo theo

Kết hợp với (2.117), (2.123) và (2.124) chúng ta có ν i 0 ≥ à i 0 γ

Do đó, từ (2.115) với i = i 0 chúng ta có ν i 0 ≥ ν i 2/2 0 ∗ S(n, s) γ ,

Vậy ν i 0 = 0 hoặc ν i 0 thỏa mãn (2.116) Bước 1 được chứng minh.

Bước 2 (2.116) không thể xảy ra, do đó ν i 0 = 0.

Chúng ta xét hai trường hợp Trước hết, giả sử

Ω dν ≤ 1 (2.126) khi γ < γ ∗ và theo (2.106) (γ ∗ < S(n, s) ), chúng ta có

Ωdν > 1 Khi {u j } j∈ N là dãy (P S) c của J γ , lập luận như trong Bổ đề 2.2.3 (công thức (2.104)) chúng ta có

2J γ 0 (u j )(u j ) ≥ sγ n ku j k 2 2 ∗ ∗ −a 1 |Ω| − a 2 |Ω| 2∗−σ 2 ∗ ku j k σ 2 ∗ (2.127) khi j →+∞ trong (2.127) và áp dụng (2.102), (2.113) ta có sγ n

Vì c ≤ M và định nghĩa của A cho trong (2.107) Do đó ta có

Từ (2.106) và γ < γ ∗ , ta suy ra γ 0 sao cho với mọi j ∈ N, tồn tại u j ∈ P j+1 thỏa mãn ku j k r r > δku j k r Xét v j = u j /ku j k r, ta có v j ∈ P j+1, kv j k r = 1 và kv j k < 1/δ với mọi j ∈ N Do đó, dãy {v j } j∈ N bị chặn trong X 0 s (Ω), suy ra tồn tại v ∈ X 0 s (Ω) sao cho v j * v trong X 0 s (Ω) và v j → v trong L R (Ω) khi j → +∞ Từ đó, kết hợp với (2.134) và (2.135), ta suy ra kv k r = 1.

Hơn nữa, khi {e j } j∈ N là cơ sở trực giao của X 0 s (Ω), chúng ta có v ∞

Bổ đề 2.2.5 được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng với k ∈ N, ta có hv j , e k i = 0 cho mọi j ≥ k, vì v j thuộc P j+1 Điều này dẫn đến hv, e k i = 0 cho mọi k ∈ N, tức là v ≡ 0, điều này mâu thuẫn với (2.136).

Chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.2.1 bằng cách xác nhận rằng hàm năng lượng J γ đáp ứng các điều kiện (I 2) và (I 3) trong Định lý 2.2.2 Cụ thể, ta xét V = H j và X = P j+1, với j thuộc tập số tự nhiên N.

Bổ đề 2.2.6 Cho f thỏa mãn 2.92 Khi đó, tồn tại ˜γ > 0, j ∈ N và, ρ, α > 0 sao cho J γ (u) ≥α, với mọi u ∈ P j+1 với kuk = ρ và 0< γ < γ˜.

Chứng minh Lấy γ > 0 Theo (2.92) chúng ta có hằng số c > 0 sao cho

2kuk 2 −b 1 kuk θ θ −b 2 |Ω| − γckuk 2 ∗ , (2.137) với mọi u ∈ X 0 s (Ω) Cho δ > 0 đủ lớn Theo (2.137) và Bổ đề 2.2.5 suy ra tồn tại j ∈ N sao cho

Bây giờ, xét kuk = ρ = ρ(δ), với ρ sao cho b 1 δρ θ−2 = 1/4, do đó

Dễ thấy ρ(δ) → +∞ khi δ → 0, vì θ > 2 Do đó, chúng ta có thể chọn δ đủ nhỏ sao cho ρ 2 /4−b 2 |Ω| ≥ ρ 2 /8, trong đó

Cuối cùng, cho ˜γ > 0 sao cho 1 8 ρ 2 −γcρ˜ 2 ∗ = α > 0 Khi đó, ta có

J γ (u) ≥ J ˜ γ (u) ≥ α với mọi u ∈ P j+1 vớikuk= ρvà mọiγ ∈ (0,˜γ), Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.2.7 Cho f thỏa mãn (2.93) Và l ∈ N Khi đó, tồn tại không gian con W của X 0 s (Ω) và hằng số M l > 0, độc lập của γ, sao cho dimW = l và maxu∈W J 0 (u) < M l

Chứng minh Xét trường hợp toán tử Laplacian cổ điển Chúng ta sử dụng các tính chất của hàm riêng của (−∆) s

Theo Bổ đề 2.2.6, tồn tại j ∈ N và ˜γ > 0 sao cho J γ thỏa mãn điều kiện (I2) trong không gian X = P k+1 với mọi 0 < γ < γ˜ Bổ đề 2.2.7 chỉ ra rằng với mọi k ∈ N, có không gian con W ⊂ X 0 s (Ω) với dimW = k + j, và J γ thỏa mãn điều kiện (I3) với M = M j+k > 0 cho mọi γ > 0, vì J γ nhỏ hơn J 0.

Cuối cùng, từ Bổ đề 2.2.4, xét γ đủ nhỏ để J γ thỏa mãn (I 4 ) với mọi

0 < γ < γ˜ Do đó, áp dụng Định lý 2.2.2 suy ra J γ có k cặp điểm tới hạn không tầm thường với γ > 0 đủ bé Do đó, Định lý 2.2.1 được chứng minh.

Kết quả tiếp theo, tính kể cả bội của nghiệm cho (2.85) giả sử rằng