HÀM SỐ VÀ CÁC MÔ HÌNH
Các cách biểu diễn hàm số
1.1.1.1 Khái niệm hàm số một biến
Trong thực tế, giá trị của đại lượng này phụ thuộc giá trị của đại lượng kia Chẳng hạn
Diện tích của hình tròn được xác định bởi bán kính, với công thức A = πr² Mỗi giá trị bán kính dương r tương ứng với một diện tích A, và A được xem như một hàm số phụ thuộc vào r.
(b) Số dân của thế giới P phụ thuộc vào thời gian t Ứng với mỗi thời điểm t, số dân thế giới ước tínhP(t) vàP là hàm theot.
(c) Lượng khí thải trong không khí của một đô thị phụ thuộc số ôtô lưu hành trong đô thị đó.
Một hàm có thể được hiểu đơn giản là một mối quan hệ giữa hai tập hợp, trong đó mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập hợp thứ hai.
Hàm f là quy tắc liên kết mỗi phần tử trong tập A với một phần tử duy nhất f(x) trong tập B, trong đó A và B là các tập số thực Miền xác định của hàm f là tập hợp A, và giá trị f(x) là giá trị của hàm tại x Miền giá trị của f là tập hợp tất cả các giá trị f(x) khi x thay đổi trong miền xác định Trong đó, biến độc lập là số trong miền xác định của f, còn biến phụ thuộc là số trong miền giá trị của f.
Hàm số có thể được hình dung như một "cái máy" chuyển đổi các phần tử từ tập A sang tập B dựa trên quy tắc của hàm Tại Đại học Duy Tân, Khoa Khoa học Tự nhiên, sinh viên sẽ được tìm hiểu sâu về các khái niệm và ứng dụng của hàm số trong toán học.
Một cách để hình dung hàm số là thông qua đồ thị của nó Đối với một hàm số f với tập xác định A, đồ thị của hàm số này được biểu diễn bởi tập hợp các điểm {(x, f(x))|x∈A}.
Ví dụ 1.1 Đồ thị của hàm sốf được thể hiện trong hình sau.
(a) Tìm các giá trị của f(0)và f(2).
(b) Tìm tập xác định và tập giá trị củaf. giải (a) Từ hình trên, ta thấy điểm(0,1) nằm trên đồ thị của f, vì vậy giá trị củaf tại 0 là f(0) = 1.
Khix= 2, đồ thị này nằm trên trục hoành và chiếu vào trục tung tại giá trị4đơn vị, vì vậy ta biết rằngf(2) = 4.
(b) Ta thấy rằng f được xác định khi0 ≤x ≤7, vì vậy tập xác định của f là đoạn [0,7] Tập giá trị củaf là
Ví dụ 1.2 Vẽ đồ thị của hàm số f, tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm sau. a) f(x) = 2x−1 b) g(x) =x 2 giải.
Bài giảng Toán Cao Cấp A1 của ThS Nguyễn Bảo Việt trình bày về phương trình đồ thị y = 2x - 1, trong đó hệ số góc là 2 và tung độ góc là 1, cho phép vẽ đồ thị với tập xác định là R và tập giá trị cũng là R Đối với hàm g(x) = x^2, ta tính g(2) = 4 và g(-1) = 1, từ đó vẽ được các điểm (2, 4) và (-1, 1), tạo thành đồ thị parabol với tập xác định là R và tập giá trị là {y | y ≥ 0} = [0, +∞) Cuối cùng, biểu thức f(a+h) - f(a) được đơn giản hóa thành 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1.
1.1.1.2 Một số phương pháp biểu diễn hàm số
Có 4phương pháp biểu diễn hàm số:
• Lời nói (mô tả bằng ngôn ngữ).
• Số trị (mô tả bằng bảng giá trị).
• Hình ảnh (bằng đồ thị).
• Phương pháp đại số (bằng công thức chi tiết) Đây là phương pháp thông dụng nhất.
Một kho chứa hình chữ nhật có thể tích 10m³, với chiều dài đáy gấp đôi chiều rộng Chi phí nguyên liệu cho mặt đáy là 10 đô la/m² và cho các mặt bên là 6 đô la/m² Cần xác định hàm chi phí nguyên liệu dựa trên chiều rộng của đáy.
Ta vẽ một sơ đồ như trong hình sau và ký hiệu wvà2wlần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy vàh là chiều cao.
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức (2w)w = 2w², dẫn đến chi phí nguyên liệu cho mặt đáy là 10.(2w²) đô la Các mặt bên có diện tích wh và 2 mặt bên khác có diện tích 2wh, do đó chi phí nguyên liệu cho các mặt bên là 6[2(wh) + 2(2wh)] Tổng chi phí nguyên liệu cho toàn bộ hình hộp được tính bằng tổng chi phí của mặt đáy và các mặt bên.
C = 10(2w² + 6[2(wh) + 2(2wh)]) = 20w² + 36wh Để biểu diễn C như một hàm theo w và h, chúng ta cần khử h Sử dụng thể tích 10m³, ta có w(2w)h = 10 Thay h vào biểu thức C, ta sẽ có kết quả cuối cùng cho hàm C.
C = 20w 2 +180 w , w >0 biểu diễn C là một hàm theo w.
Ví dụ 1.5 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau
Căn bậc hai của một số âm không xác định, do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các giá trị của x thỏa mãn điều kiện x−2≥0, tương đương với x≥2 Vì vậy, tập xác định được biểu diễn dưới dạng khoảng.
(b) Từ g(x) = 1 x 2 −4x = 1 x(x−4) và phép chia cho 0 là không được phép nêng(x) không xác định khi x6= 0 vàx 6= 4, do đó tập xác định của g là{x|x6= 0, x6= 4}, có thể viết dưới dạng (−∞,0)∪(0,4)∪(4,+∞)
Tiêu chuẩn đường thẳng đứng xác định rằng một đường cong trong mặt phẳng Oxy được coi là đồ thị của hàm số nếu không có đường thẳng đứng nào cắt đường cong đó quá một lần.
1.1.1.3 Hàm số được xác định bởi nhiều công thức
Các hàm số trong các ví dụ sau đây xác định các công thức khác nhau trên các tập xác định khác nhau:
Hàm số f(x) được định nghĩa bởi hai trường hợp: f(x) = 1 - x khi x ≤ 1 và f(x) = x² khi x > 1 Để tính giá trị của hàm số, ta có f(0) = 1 - 0 = 1, f(1) = 1 - 1 = 0, và f(2) = 2² = 4 Đồ thị của hàm số f(x) sẽ có hai đoạn: một đoạn thẳng từ điểm (0, 1) đến (1, 0) và một đoạn parabol bắt đầu từ điểm (1, 0) với đỉnh ở (1, 0) và đi lên.
Để vẽ đồ thị hàm số f, ta phân tích theo các khoảng giá trị của x Nếu x ≤ 1, giá trị của f(x) = 1 - x, nghĩa là phần đồ thị sẽ nằm bên trái đường thẳng x = 1 và trùng với đồ thị y = 1 - x, có hệ số góc -1 và tung độ góc 1 Ngược lại, nếu x > 1, giá trị của f(x) = x², phần đồ thị sẽ nằm bên phải đường thẳng x = 1 và trùng với parabol y = x² Từ đó, ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số f một cách chính xác.
Ví dụ 1.8 Vẽ đồ thị của hàm chứa trị tuyệt đốif(x) =|x|.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 12 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt giải Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có, f(x) x nếu x≥0
Hàm số f có đồ thị trùng với đường thẳng y=x, nằm bên phải đường thẳng x=0, trong khi đường thẳng y=-x nằm bên trái của đường thẳng x=0.
Để tìm công thức cho hàm số f với đồ thị đã cho, chúng ta bắt đầu với đoạn thẳng nối hai điểm (0,0) và (1,1), có hệ số góc m = 1 và tung độ góc b = 0, dẫn đến phương trình y = x Do đó, phần đồ thị của f từ (0,0) đến (1,1) được xác định bởi f(x) = x với điều kiện 0 ≤ x ≤ 1 Tiếp theo, đoạn thẳng nối (1,1) và (2,0) có hệ số góc m = -1 và tung độ góc b = 2, cho ra phương trình y = -x + 2 Vì vậy, phần đồ thị của f từ (1,1) đến (2,0) được mô tả bởi f(x) = 2 - x với điều kiện 1 < x ≤ 2.
Phần đồ thị củaf trùng với trục Oxvới x >2 Do đó phần đồ thị x >2 củaf lày= 0 Vậy công thức của hàm số f là
x nếu 0≤x≤1 Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Chẳng hạn, hàm số f(x) =x 2 là chẵn vì f(−x) = (−x) 2 =x 2 =f(x),∀x Ý nghĩa hình học của hàm số chẵn là đồ thị của nó đối xứng qua trục tung oy.
Nếu một hàm số f thỏa mãn điều kiện f(−x) =−f(x),∀ −x, x ∈ D, với D là tập xác định của hàm số được gọi là hàm số lẻ.
Chẳng hạn, hàm số f(x) =x 3 là lẻ vì f(−x) = (−x) 3 =−x 3 =−f(x),∀x Ý nghĩa hình học của hàm số lẻ là đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ O.
Ví dụ 1.10 Mỗi hàm số sau, hàm nào hàm số chẵn, lẻ hoặc không chẵn cũng không lẻ
(a) f(−x) = (−x) 5 + (−x) =−x 5 −x=−(x 5 +x) =−f(x),∀x∈R Vậyf(x) là hàm số lẻ. (b) g(−x) = 1 + (−x) 4 = 1 +x 4 =g(x),∀x∈R Vậyg(x) là hàm số chẵn.
(c) h(−x) = 2(−x)−(−x) 2 =−2x−x 2 Vì h(−x) 6= h(x) và h(x) 6=−h(x) Vậy h(x) là hàm không chẵn cũng không lẻ.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 14 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
1.1.1.5 Sự tăng giảm của hàm số
Một số mô hình toán học thường gặp
Mô hình toán học là biểu diễn toán học, thường dưới dạng hàm số hoặc phương trình, nhằm mô phỏng các hiện tượng thực tế như số dân, nhu cầu sản phẩm, tốc độ rơi của vật, và tuổi thọ con người Mục tiêu của các mô hình này là giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng thực tế và dự đoán các hành động trong tương lai.
Khi gặp một vấn đề thực tiễn, bước đầu tiên là xây dựng công thức cho mô hình toán học bằng cách xác định và đặt tên cho các biến độc lập và phụ thuộc, đồng thời đưa ra giả thuyết để đơn giản hóa hiện tượng Tiếp theo, cần áp dụng kiến thức tự nhiên và kỹ năng toán học để tìm ra phương trình liên hệ giữa các biến Trong trường hợp không có quy luật rõ ràng, việc thu thập dữ liệu và quan sát bảng dữ liệu trở nên cần thiết để phân tích vấn đề một cách hiệu quả.
Bước hai là áp dụng kiến thức toán học vào mô hình để phát triển công thức Tiếp theo, chúng ta làm rõ công thức này bằng cách sử dụng thông tin đã có thông qua các phương pháp giải thích hoặc dự đoán Cuối cùng, chúng ta cần kiểm tra lại dự đoán bằng cách so sánh với dữ liệu mới.
Mô hình toán học là sự lý tưởng hóa các hiện tượng tự nhiên và không bao giờ hoàn toàn chính xác Việc đơn giản hóa các mô hình thực tế giúp dễ dàng tính toán bằng toán học, đồng thời đảm bảo độ chính xác tương đối trong việc đưa ra kết quả.
Có nhiều kiểu khác nhau của hàm số được sử dụng để mô hình hoá quan hệ giữa các đại lượng trong thực tế.
Hàm tuyến tính là loại hàm mà giá trị của nó thay đổi với tốc độ không đổi theo biến độc lập Đồ thị của hàm tuyến tính là một đường thẳng, được biểu diễn bởi phương trình y = f(x) = mx + b, trong đó m là hệ số góc và b là tung độ góc.
Chẳng hạn, f(x) = 3x−2 là một hàm tuyến tính Hệ số góc của đường thẳngy= 3x−2là 3, tung độ góc là −2.
Khi không khí khô di chuyển lên cao, nó sẽ giãn nở và trở nên mát hơn Ví dụ, nếu nhiệt độ mặt đất là 20°C và ở độ cao 1 km là 10°C, chúng ta có thể biểu diễn hàm nhiệt độ theo độ cao.
T 0 C theo độ cao h(km), giả sử đây là mô hình tuyến tính.
(b) Vẽ đồ thị của hàm trong phần (a) Hệ số góc diễn tả điều gì?
(c) Nhiệt độ ở độ cao 2,5 km là bao nhiêu? giải.
(a) Bởi vì theo giả sửT là một hàm tuyến tính củah, ta có thể viết
Ta cũng cóT = 10khi h= 1 nên
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 16 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
(b) Đồ thị được vẽ trong hình sau.
Hệ số góc là −10, nó diễn tả tốc độ thay đổi của nhiệt độ theo chiều cao.
(c) Khih= 2,5km, nhiệt độ là T =−10(2,5) + 20 =−5 0 C
Mộtđa thức là một hàm số có dạng
Đa thức P(x) được định nghĩa dưới dạng P(x) = anx^n + an−1x^(n−1) + + a1x + a0, trong đó n là một số nguyên dương và các hằng số an, an−1, , a0 được gọi là hệ số của đa thức Tập xác định của đa thức là R = (−∞, +∞) Nếu a n khác 0, thì bậc của đa thức được xác định là n.
3 là một đa thức bậc 11.
Một hàm số có dạngy=x a , với alà hằng số, được gọi là hàm lũy thừa.
Ta xét các trường hợp sau :
(i) a=n, vớinlà một số nguyên dương Đồ thị của các hàm số y=x n vớin= 1,2,3,4,5được biểu diễn hình dưới đây Đại học Duy Tân Khoa KHTN
(ii) a= 1 n, vớinlà một số nguyên dương.
Hàmf(x) =x n 1 = √ n xlà được gọi là hàm căn thức.
Nếun= 2, f(x) =√ x có tập xác định là[0,+∞) và có đồ thị là một nửa đồ thị của hàm số x=y 2
Nếun= 3, f(x) =√ 3 x có tập xác định làR và có đồ thị như hình dưới đây.
(iii) a=−1 Đồ thị của hàm đối xứng f(x) =x −1 = 1 x được biểu diễn ở hình sau.
Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức Khi ấy hàm số có dạng f(x) = P(x)
Q(x) được gọi làhàm hữu tỉ Tập xác địnhD={x|Q(x)6= 0}.
Hàm f được gọi là hàm đại số khi nó được tạo ra từ các phép toán đại số như cộng, trừ, nhân, chia và nâng lũy thừa trên các đa thức Tất cả các hàm hữu tỉ đều được xem là hàm đại số Ví dụ, hàm a.f(x) = √(x^2 + 1) và hàm b.g(x) = x^4 - 16x^4 + x + √(x) + (x - 2)√(3x + 1) đều thuộc loại hàm đại số.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 18 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
Một số hàm lượng giác cơ bản gồm có hàmsin,cos,tan,cot.
Hàmy= sinx và y= cosxcó cùng tập xác định là Rvà có tập giá trị là [−1,1].
Hàm y= tanx tanx= sinx cosx
2 +kπ o, k∈Zvà tập giá trị là R.
Xây dựng hàm mới dựa trên hàm đã có
thị của chúng Ta cũng chỉ ra làm thế nào để liên kết các cặp hàm bằng các phép toán số học và phép lấy hàm hợp.
Bằng cách áp dụng các phép biến đổi cụ thể trên đồ thị của hàm đã cho, chúng ta có thể tạo ra đồ thị của những hàm liên quan Dưới đây là những phép biến đổi cần xem xét.
Khi c là một số dương, đồ thị của hàm số y = f(x) sẽ được tịnh tiến lên trên một khoảng cách c đơn vị với y = f(x) + c Ngược lại, với y = f(x) − c, đồ thị sẽ tịnh tiến xuống dưới cùng khoảng cách c Đối với y = f(x − c), đồ thị sẽ di chuyển về phía bên phải với khoảng cách c đơn vị, trong khi y = f(x + c) sẽ tịnh tiến về bên trái với khoảng cách c đơn vị.
Bây giờ, ta xétphép co giãn vàđối xứng của đồ thị hàm số.
Nếu c > 1, đồ thị của hàm số y = f(x) sẽ được kéo giãn theo hướng thẳng đứng với thừa số c Ngược lại, nếu c < 1, đồ thị sẽ bị nén theo hướng thẳng đứng Khi y = f(cx), đồ thị sẽ bị nén theo hướng nằm ngang, trong khi y = f(1/c * x) sẽ kéo giãn theo hướng nằm ngang Để lấy đối xứng qua trục Ox, ta sử dụng y = -f(x), và để lấy đối xứng qua trục Oy, ta áp dụng y = f(-x).
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 20 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
Ví dụ 1.12 Cho đồ thị hàm số y = cosx Dùng phép biến đổi đồ thị, hãy vẽ đồ thị các hàm số y= 2 cosx, y= 1
Ví dụ 1.13 Cho đồ thị của hàm số y = √ x, sử dụng phép biến đổi đồ thị để vẽ đồ thị của y=√ x−2, y=√ x−2, y=−√ x, y= 2√ x, y=√
−x. giải. Đại học Duy Tân Khoa KHTN giải Ta cóy=x 2 + 6x+ 10 = (x+ 3) 2 + 1
Từ đó, ta vẽ đồ thị của y =x 2 , sau đó tịnh tiến về phía trái 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến lên phía trên 1 đơn vị.
Để vẽ đồ thị của các hàm số y = sin 2x và y = 1 - sin x, trước tiên, chúng ta cần vẽ đồ thị của hàm số y = sin x Từ đồ thị này, chúng ta có thể suy ra các đồ thị của các hàm số tương ứng.
1.1.3.2 Các phép toán trên hàm
Từ hai hàm sốf(x), g(x) ta có thể xây dựng những hàm số mới f+g, f−g, f g, f /g Hàm tổng và hiệu được xác định như sau
Nếuf có tập xác định làA,gcó tập xác định làB thì tập xác định củaf +g làA∩B
Ví dụ: f(x) =√ x có tập xác định là A= [0,∞],g(x) =√
2−x có tập xác định là B = [−∞,2].Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 22 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
2−x có tập xác định làA∩B= [0,2].
Tương tự, phép nhân và phép chia các hàm số được xác định như sau:
(f g)(x) = f(x) g(x) Nếuf có tập xác định là A,g có tập xác định là B thì tập xác định củaf g làA∩B và f g
(x) có tập xác định làD={x∈A∩B|g(x)6= 0}
1.1.3.3 Hàm hợp Định nghĩa 1.1 Cho hai hàm bất kỳf và g, hàm hợpcủa f vàg được xác định bởi
Tập xác định của hàm f ◦g là tập tất cả x thuộc tập xác định của g và g(x) thuộc tập xác định của f
Ví dụ 1.16 Cho f(x) =x 2 , g(x) =x−3, tìm hàm hợp f◦g và g◦f giải.
(ii) f ◦g nghĩa làf áp dụng trước, g áp dụng sau.
2−x, tìm mỗi hàm sau tập xác định của nó a) f ◦g b) g◦f c) f◦f d) g◦g. giải. Đại học Duy Tân Khoa KHTN
2−x Tập xác định của hàm số là x|2−x≥0,2−√
Hàm hợp có thể được tạo ra từ ba hàm số hoặc nhiều hơn, ví dụ như hàm hợp f ◦ g ◦ h Để xây dựng hàm hợp này, trước tiên bạn áp dụng hàm h, sau đó là hàm g, và cuối cùng là hàm f.
Ví dụ 1.18 Tìm f◦g◦h biết f(x) = x x+ 1, g(x) =x 10 , h(x) =x+ 3. giải Ta có g(h(x)) =g(x+ 3) = (x+ 3) 10 f(g(h(x))) =f((x+ 3) 10 ) = (x+ 3) 10
Hàm hợp cho phép chúng ta xây dựng các hàm phức tạp từ những hàm đơn giản và cũng có thể phân tích các hàm phức tạp thành các hàm đơn giản hơn Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho quá trình này.
Để tìm các hàm số f, g, h sao cho F(x) = cos²(x + 9), ta có thể phân tích hàm F thành các bước thực hiện Đầu tiên, ta cộng 9 vào x, sau đó tính cosin của kết quả, và cuối cùng là lấy bình phương của giá trị đó Do đó, ta có h(x) = x + 9, g(x) = cos x và f(x) = x².
Hàm mũ
Hàm mũ là hàm số có dạng y=a x , vớialà một số dương.
Nếux=nlà một số nguyờn dương thỡ a n =aãaã ã ã ã ãa
Nếux=−n, với nlà một số nguyên dương thì a −n = 1 a n Nếux= p q là một số hữu tỉ, với p, q là các số nguyên vàq >0thì a p q =√ q a p = (√ q a) p Đồ thị của một số hàm số y=a x
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 24 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
Nếua6= 1 thì tập xác định của hàm số là R, tập giá trị là(0,+∞).
Một số phép biến đổi liên quan đến hàm mũ
1)a x+y =a x a y 2)a x−y = a x a y 3)(a x ) y =a xy 4)(ab) x =a x b x Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Nhà sinh vật học có thể thay đổi quan điểm để xem xét thời gian cần thiết cho vi khuẩn đạt các mức độ khác nhau, tức là suy nghĩ như một hàm số theo N Hàm số này được gọi là hàm ngược f, ký hiệu là f −1, và được đọc là khả nghịch Do đó, t = f −1 (N) biểu thị thời gian cần thiết để vi khuẩn đạt mức N Các giá trị của f −1 có thể được tìm thấy trong bảng 1 từ phải sang trái hoặc tra cứu trong bảng 2; ví dụ, f −1 (550) = 6 vì f(6) = 550.
Không phải tất cả các hàm đều có hàm ngược Ta so sánh hai hàm số f và g trong biểu đồ mũi tên dưới đây
Hàm số f được định nghĩa là hàm một-một nếu không có hai giá trị nào giống nhau, tức là với bất kỳ hai giá trị x1 và x2 khác nhau, hàm f luôn cho ra hai giá trị khác nhau: f(x1) ≠ f(x2) Ngược lại, hàm g lại có thể cho ra cùng một giá trị cho hai đầu vào khác nhau, ví dụ như g(2) = g(3) = 4.
Nếu đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị f nhiều hơn một điểm thì từ hình sau
Bài giảng Toán Cao Cấp A1 26 của ThS Nguyễn Bảo Việt chỉ ra rằng nếu tồn tại các số x1 và x2 sao cho f(x1) = f(x2), thì hàm f không phải là hàm một-một Điều này dẫn đến việc áp dụng phương pháp hình học để xác định một hàm một-một.
Tiêu chuẩn đường thẳng nằm ngang
Một hàm sốy=f(x) là hàmmột-một nếu và chỉ nếu đường thẳng nằm ngang không cắt đồ thị của nó hơn một lần.
Hàm số f(x) = x³ có phải là hàm một-một không? Qua phân tích đồ thị, ta nhận thấy không tồn tại đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị hàm số f(x) = x³ nhiều hơn một lần Do đó, theo tiêu chuẩn đường nằm ngang, hàm f là một hàm một-một.
Một cách khác để xét hàm f(x) = x 3 là hàm một-một Nếu x 1 6= x 2 thì f(x 1 ) 6= f(x 2 ) nên theo định nghĩaf là hàm một-một.
Hàm số g(x) = x² không phải là hàm một-một, vì từ đồ thị của nó, có thể thấy rằng các đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị tại nhiều điểm khác nhau Điều này chứng tỏ rằng với một giá trị đầu vào x, có thể có nhiều giá trị đầu ra tương ứng, vi phạm tiêu chuẩn của hàm một-một.
Một cách khác để xét hàm g(x) =x 2 là hàm một-một Ta có g(1) =g(−1) = 1nên theo định nghĩa gkhông là hàm một-một.
Các hàm một-một rất quan trọng vì chúng có hàm ngược Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng, với hàm một-một f có tập xác định là A và tập giá trị B, hàm ngược f −1 có tập xác định là B và tập giá trị là A Cụ thể, f −1 (y) = x nếu và chỉ nếu f(x) = y, với mọi y thuộc B.
Ví dụ 1.22 Hàm f(x) =x 3 có hàm ngược làf −1 (x) =x 1 3 vì nếu y=x 3 thì f −1 (y) =f −1 (x 3 ) = (x 3 ) 1 3 =x
Ví dụ 1.23 Cho hàm số f thoảf(1) = 5, f(3) = 7, f(8) =−10 tìmf −1 (7), f −1 (5) , f −1 (−10). giải Từ định nghĩaf −1 ta có f −1 (7) = 3bởi vìf(1) = 5 f −1 (5) = 1bởi vìf(3) = 7 f −1 (−10) = 8bởi vìf(8) =−10
Trong bài viết này, chữ cái x được sử dụng như một biến độc lập, do đó chúng ta chú trọng vào hàm nghịch đảo f −1 hơn là vào x Theo Định nghĩa 1.3, chúng ta thường đảo ngược vai trò của x và y, và có thể viết lại như sau: f −1 (x) = y nếu và chỉ nếu f(y) = x.
Thế y trong Định nghĩa 1.3 và thếx vào 2.1ta được f −1 (f(x)) =x với mỗix trong A f(f −1 (x)) =x với mỗix trong B
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 28 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
SƠ ĐỒ TÌM HÀM NGƯỢC CỦA HÀM f
Bước 2: Giải phương trình xtheo y (nếu có)
Bước 3: Để biểu diễnf −1 bằng một hàm theo x, ta đổi vai trò củax và y.
Phương trình kết quả là y=f −1 (x).
Ví dụ 1.24 Tìm hàm ngược của hàm số f(x) =x 3 + 2 giải Ta thực hiện theo sơ đồ tìm hàm ngược:
Giải phương trìnhx theoy ta đượcx=√ 3 y−2 Đổi vai trò củaxvà y ta đượcy =√ 3 x−2 Do đó hàm ngược là f −1 (x) =√ 3 x−2.
Nguyên tắc thay đổi vị trí để tìm hàm ngược giúp chúng ta vẽ đồ thị của hàm ngược f −1 từ đồ thị của hàm f Cụ thể, nếu f(a) = b thì b = f −1(a), nghĩa là điểm (a, b) trên đồ thị của f tương ứng với điểm (b, a) trên đồ thị của f −1 Hai điểm này đối xứng qua đường thẳng y = x, do đó, đồ thị của hàm f −1 có thể được tạo ra bằng cách phản chiếu đồ thị của hàm f qua đường thẳng y = x.
Hàm mũ f(x) = a^x (với a > 0, a ≠ 1) là hàm tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1, do đó hàm mũ là hàm một-một và tồn tại hàm ngược Hàm ngược của hàm mũ f(x) = a^x được gọi là hàm logarit với cơ số a, ký hiệu là log_a x, và có mối quan hệ log_a x = y ⇔ a^y = x Hàm logarit có tập xác định là (0, +∞), tập giá trị là R, và đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm y = a^x qua đường thẳng y = x.
Hàm số logarit tăng khia >1 và giảm khia 0 a, blà các hằng số dương và khác 1.
1) log a (xy) = log a x+ log a y 2) log a (x y) = log a x−log a y
3) log a β (x α ) = α β log a x 4) log a x= log b x log b a = log b xlog a b
Trong trường hợp cơ số a =eta gọi là logarit cơ số tự nhiên, kí hiệu ln và a= 10ta nói logarit thập phân, kí hiệulog hoặclg.
Hàm số lượng giác như hàm f(x) = sinx không phải là hàm một-một trên toàn bộ tập xác định Tuy nhiên, nếu giới hạn tập xác định của hàm này trên một khoảng cụ thể, nó có thể trở thành hàm một-một Ví dụ, khi hạn chế x trong khoảng từ −π đến π, hàm sinx sẽ là hàm một-một.
2 thì hàm một-một Khi đó hàm ngược của nó tồn tại và kí hiệu làsin −1 hoặcarcsin.
2 là hàm một-một Khi đó hàm ngược của nó tồn tại và kí hiệu là cos −1 hoặcarccos.
2 là hàm một-một Khi đó hàm ngược của nó tồn tại và kí hiệu là tan −1 hoặcarctan.
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 30 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
1.1.6 Đường cong cho bởi phương trình tham số
1.1.6.1 Phương trình tham số của đường cong
Xét một vật chuyển động trong mặt phẳng toạ độOxy, khi đó tại mỗi thời điểmtluôn có một toạ độ x, y tương ứng (xem Hình vẽ)
Do vậy x, y là các hàm theo thời giant, ta có thể viếtx=f(t), y=g(t)
Hệ phương trình tham số được định nghĩa dưới dạng x = f(t) và y = g(t), trong đó t là tham số thuộc miền D⊂R Mỗi giá trị t tương ứng với một cặp giá trị (x, y) = (f(t), g(t)), từ đó xác định mối quan hệ giữa x và y Tập hợp các điểm (x, y) tạo thành một đường cong trong không gian.
M(f(t), g(t))vạch nên một đường cong trong mặt phẳngOxy Tương tự việc khảo sát đường cong y=f(x), ta khảo sát đường cong dưới dạng tham số.
Để vẽ đường cong tham số với công thức x = t² - 2t và y = t + 1, mỗi giá trị t sẽ tương ứng với một điểm trên đường cong Ví dụ, khi t = 0, ta có điểm (0, 1) Các giá trị t khác cũng sẽ tạo ra những điểm tương ứng, được trình bày trong bảng dưới đây.
Ta nối các điểm lại và được đường cong. Đại học Duy Tân Khoa KHTN giải Ta cóx 2 +y 2 = cos 2 t+ sin 2 t= 1 đây là phương trình đường tròn tâm O, bán kínhr = 1.
Vì0≤t≤2π nên(x, y) di chuyển từ(1,0)đến (1,0)theo quỹ đạo đường tròn.
Ví dụ 1.27 Vẽ đường cong tham số x= sint, y= sin 2 t giải Ta cóy = (sint) 2 =x 2 vì vậy điểm (x, y) di chuyển trên parabol y =x 2 Vì x = sint, y sin 2 tnên −1≤x≤1
Để tìm phương trình đường cong tham số của đường tròn có tâm tại điểm (h, k) và bán kính r, ta có thể sử dụng phương trình đường tròn đơn vị Cụ thể, nếu lấy phương trình đường tròn đơn vị từ ví dụ 1.26 và nhân với bán kính r, ta có các tham số x và y được biểu diễn dưới dạng x = h + r * cos(t) và y = k + r * sin(t).
Khi dịch chuyển một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, nếu ta di chuyển nó k đơn vị theo trục tung và h đơn vị theo trục hoành, tâm của đường tròn mới sẽ là (h, k) với bán kính r Do đó, tọa độ của các điểm trên đường tròn được xác định bằng công thức x = h + r*cos(t) và y = k + r*sin(t).
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 32 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
Đường cong cho bởi phương trình tham số
1.1.6.1 Phương trình tham số của đường cong
Xét một vật chuyển động trong mặt phẳng toạ độOxy, khi đó tại mỗi thời điểmtluôn có một toạ độ x, y tương ứng (xem Hình vẽ)
Do vậy x, y là các hàm theo thời giant, ta có thể viếtx=f(t), y=g(t)
Hệ số x = f(t) và y = g(t) được gọi là phương trình tham số, trong đó t là tham số thuộc tập D trong R Mỗi giá trị t tương ứng với một cặp giá trị (x, y) = (f(t), g(t)), xác định mối quan hệ giữa x và y Tập hợp các điểm này tạo thành một đường cong trong không gian tọa độ.
M(f(t), g(t))vạch nên một đường cong trong mặt phẳngOxy Tương tự việc khảo sát đường cong y=f(x), ta khảo sát đường cong dưới dạng tham số.
Đường cong tham số được xác định bởi các phương trình x = t² - 2t và y = t + 1, trong đó mỗi giá trị của t tương ứng với một điểm trên đường cong Ví dụ, khi t = 0, điểm thu được là (0, 1) Bảng dưới đây trình bày các điểm khác nhau tương ứng với các giá trị t khác nhau.
Ta nối các điểm lại và được đường cong. Đại học Duy Tân Khoa KHTN giải Ta cóx 2 +y 2 = cos 2 t+ sin 2 t= 1 đây là phương trình đường tròn tâm O, bán kínhr = 1.
Vì0≤t≤2π nên(x, y) di chuyển từ(1,0)đến (1,0)theo quỹ đạo đường tròn.
Ví dụ 1.27 Vẽ đường cong tham số x= sint, y= sin 2 t giải Ta cóy = (sint) 2 =x 2 vì vậy điểm (x, y) di chuyển trên parabol y =x 2 Vì x = sint, y sin 2 tnên −1≤x≤1
Để tìm phương trình đường cong tham số của đường tròn có tâm tại điểm (h, k) và bán kính r, ta có thể bắt đầu từ phương trình đường tròn đơn vị Cụ thể, nếu nhân các tọa độ x và y của đường tròn đơn vị với bán kính r, ta sẽ có công thức tham số như sau: x = h + r * cos(t) và y = k + r * sin(t), trong đó t là tham số biểu diễn góc.
Khi dịch chuyển một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, ta có thể thay đổi vị trí của nó bằng cách dịch chuyển theo trục hoành và trục tung Cụ thể, nếu dịch chuyển đường tròn đó h đơn vị theo trục hoành và k đơn vị theo trục tung theo hướng dương, tâm của đường tròn mới sẽ là (h, k) với bán kính r Do đó, tọa độ của các điểm trên đường tròn được xác định bởi công thức x = h + r*cos(t) và y = k + r*sin(t).
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 32 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
Giới hạn của hàm số
1.2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4 Nếu f(x) tiến tớiL khi x tiến tới atừ hai phía thì L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, kí hiệu x→alimf(x) =L
Trong định nghĩa giới hạn, x tiến tới a nhưng x không bằng a, cho thấy rằng khi tính giới hạn, chúng ta không cần quan tâm đến việc hàm số có xác định tại a hay không, mà chỉ cần xem xét sự xác định của hàm số tại các điểm lân cận trái và phải của a Kí hiệu f(x) → L khi x → a có nghĩa là f(x tiến tới L khi x tiến tới a.
1.2.1.2 Tính chất và các quy tắc tính giới hạn
CÁC QUY TẮC TÍNH GIỚI HẠN
Giả sửclà hằng số, nlà số nguyên dương, các giới hạn lim x→af(x) và lim x→ag(x) tồn tại Khi đó Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Giả sửc là hằng số, nlà số nguyên dương, các giới hạn lim x→af(x) và lim x→ag(x)tồn tại Khi đó
11.lim x→a pn f(x) = q n x→alimf(x) (Nếunchẵn, giả sử lim x→af(x)>0) Nếu f là hàm đa thức hoặc phân thức vàathuộc tập xác định củaf thì lim x→af(x) =f(a)
Ví dụ 1.29 Sử dụng các quy tắc tính giới hạn và đồ thị của hàm f và g, hãy tìm các giới hạn sau: a) lim x→−2[f(x) + 5g(x)] b) lim x→−2[f(x)g(x)] c) lim x→−2 h f (x) g(x) i
Ví dụ 1.30 Tính giới hạn và chỉ ra các bước cụ thể a) lim x→5(2x 2 −3x+ 4) b) lim x→−2 x 3 + 2x 2 −1
5−3x giải a) x→5lim(2x 2 −3x+ 4) = lim x→52x 2 −lim x→53x+ lim x→54 Quy tắc 1 và 2
= 2 lim x→5x 2 −3 lim x→5x+ lim x→54 Quy tắc 3
= 39Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 34 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt b) x→−2lim x 3 + 2x 2 −1
5−3x x→−2lim (x 3 + 2x 2 −1) x→−2lim (5−3x) Quy tắc 5 x→−2lim x 3 + 2 lim x→−2x 2 − lim x→−21 x→−2lim 5−3 lim x→−2x Quy tắc 1, 2, 3
Ví dụ 1.31 Tìm lim x→1 x−1 x 2 −1 giải Ta có lim x→1 x−1 x 2 −1 = lim x→1 x−1 (x−1)(x+ 1) = lim x→1
Trong một số trường hợp, việc xác định giới hạn của hàm số có thể chỉ cần xem xét từ một phía Một ví dụ điển hình là hàm Heaviside, thường được sử dụng trong vật lý để mô tả dòng điện.
Giới hạn trái và phải của hàm số f(x) được định nghĩa như sau: nếu f(x tiến về L khi x tiến về a từ bên trái (x < a), thì giới hạn trái của f(x) tại a được ký hiệu là lim x→a⁻ f(x) = L Ngược lại, nếu f(x tiến về L khi x tiến về a từ bên phải (x > a), thì giới hạn phải của f(x) tại a được ký hiệu là lim x→a⁺ f(x) = L Ví dụ, tại x = 2, ta có lim x→2⁻ f(x) = lim x→2⁻ (1 - x²) = 1 - 2² = -3 và lim x→2⁺ f(x) = lim x→2⁺ (2x + 1) = 2.2 + 1 = 5 Điều kiện để tồn tại giới hạn x→a f(x) = L là lim x→a⁻ f(x) = lim x→a⁺ f(x) = L.
Ví dụ 1.33 Sử dụng đồ thị hàm g được biểu diễn trong hình bên để tính các giới hạn sau
(d) lim x→5 − g(x) (e) lim x→5 + g(x) (f) lim x→5g(x) giải Từ đồ thị ta thấy rằng
(a) lim x→2 − g(x) = 3 (b) lim x→2 + g(x) = 1 (c) lim x→2g(x) không tồn tại (d) lim x→5 − g(x) = 2 (e) lim x→5 + g(x) = 2 (f) lim x→5g(x) = 2
Ví dụ 1.34 Chứng minh lim x→0|x|= 0 giải Ta có
Do vậy x→0lim + |x|= lim x→0 + x= 0 và lim x→0 − |x|= lim x→0 − (−x) = 0
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 36 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
Ví dụ 1.35 Chứng minh lim x→0
Ví dụ 1.36 Cho hàm số f(x) √ x−4 nếux >4
8−2x nếux 0 là một số hữu tỷ, thì lim f(x) khi x → +∞ cũng được xác định.
1 x r = 0 Nếu r >0 là một số hữu tỷ và x r xác định với mọi x thì x→−∞lim
Ví dụ 1.41 Tìm giới hạn của f(x) = 3x 2 −x−2
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 42 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
♦ Giới hạn vô cùng tại vô cùng
Ký hiệu x→+∞lim f(x) = +∞ được sử dụng để diễn tả rằng giá trị của hàm f(x) tiến tới dương vô cực khi x tiến tới dương vô cực Tương tự, chúng ta có các ký hiệu khác như x→−∞lim f(x) = +∞, lim x→+∞f(x) =−∞ và lim x→−∞f(x) =−∞ để mô tả các xu hướng khác của hàm số khi x tiến tới âm vô cực và dương vô cực.
Ví dụ 1.42 Tìm lim x→+∞x 3 và lim x→−∞x 3 GIẢI.
Khix càng lớn thì x 3 càng lớn Chẳng hạn
Như vậy x 3 lớn tuỳ ý khix đủ lớn Do vậy lim x→+∞x 3 = +∞
Sự liên tục của hàm số
Định nghĩa 1.13 Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại a nếu x→alimf(x) =f(a) Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Hàm số f(x) được gọi làgián đoạn tại anếu nó không liên tục tại a.
Ví dụ 1.43 Từ hình sau, tìm các điểm gián đoạn của hàm f(x) ?, giải thích tại sao? giải.
1 Tại a= 1,f(1)không tồn tại nênf(x) gián đoạn tại1.
2 Tại a= 3, lim x→3f(x)không tồn tại nên f gián đoạn tạia= 3.
3 Tại a= 5, lim x→5f(x)tồn tại nhưng lim x→5f(x)6=f(5) nên f gián đoạn tại5.
Ví dụ 1.44 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau. a)f(x) = x 2 −x−2 x−2 b)f(x) ( 1 x 2 nếux6= 0
1 nếu x= 2 d)f(x) = [|x|] giải. a) Vìf(2)không tồn tại nênf(x) gián đoạn tạix= 2. b) lim x→0
1 x 2 không tồn tại nênf(x) gián đoạn tạix= 0.
Bài giảng Toán Cao Cấp A1 44 của ThS Nguyễn Bảo Việt đề cập đến giới hạn hàm số khi x tiến đến 2, trong đó lim x→2 (x² - x - 2)/(x - 2) = 3 và f(2) = 1, dẫn đến việc hàm f(x) gián đoạn tại x = 2 Đồng thời, hàm phần nguyên lớn nhất cũng gián đoạn tại các điểm nguyên do giới hạn lim x→n f(x) không tồn tại Định nghĩa 1.14 nêu rõ rằng hàm số f(x) được coi là liên tục bên phải tại a nếu lim x→a⁺ f(x) = f(a), và liên tục bên trái tại a nếu lim x→a⁻ f(x) = f(a).
Ví dụ 1.45 Hàm số f(x) = [|x|]liên tục từ bên phải tại a nhưng gián đoạn từ bên trái tại avì lim x→n +
Hàm số f(x) được định nghĩa là liên tục trên một khoảng khi nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó Cụ thể, f(x) được coi là liên tục trên một đoạn nếu nó liên tục trong khoảng chứa trong đoạn, đồng thời liên tục bên phải tại đầu mút bên trái và liên tục bên trái tại đầu mút bên phải Theo định nghĩa 1.15, giới hạn của hàm số f(n) khi x tiến gần đến n từ phía trái là n - 16.
1−x 2 liên tục trên đoạn [−1; 1]. giải Nếu−1< a 0, và tan^(-1)x liên tục trên R Hàm y = x^2 - 1 cũng liên tục trên R, do đó f(x) sẽ liên tục với mọi x > 0, ngoại trừ tại điểm x^2 - 1 = 0.
Ví dụ 1.49 Tìm lim x→π sinx
2 + cosx liên tục với mọix nên lim x→π sinx
2 + cosx =f(π) = 0 Định lý 1.6 Nếu f liên tục tại b và lim x→ag(x) =bthì lim x→af(g(x)) =f(b) Nói cách khác x→alimf(g(x)) =f( lim x→ag(x)).
Ví dụ 1.50 Tính lim x→1arcsin
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 46 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt giải Vìarcsin là hàm liên tục nên áp dụng Định lý1.6, ta có x→1limarcsin
2 = π 6 Định lý 1.7 Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp f ◦g được cho bởi (f◦g)(x) =f(g(x))liên tục tại a. chứng minh.
Vì glà liên tục tại anên x→alimg(x) =g(a) f liên tục tại b=g(a) nên x→alimf(g(x)) =f(g(a)) do đó h(x) =f(g(x))liên tục tại avì vậyf ◦gliên tục tại a.
Các hàm số h(x) = sin(x²) và F(x) = ln(1 + cosx) có tính liên tục khác nhau Cụ thể, h(x) liên tục trên R vì được xác định bởi hàm liên tục f(g(x)), trong đó g(x) = x² liên tục trên R và f(x) = sinx cũng liên tục trên R Ngược lại, F(x) gián đoạn tại những điểm mà 1 + cosx = 0 (tức là x = (2k + 1)π, k ∈ Z) và liên tục trên các khoảng giữa những điểm đó, vì F(x) được xác định bởi f(g(x)), với g(x) = 1 + cosx liên tục trên R và f(x) = lnx liên tục tại x > 0 Theo định lý giá trị trung gian, nếu f liên tục trên đoạn [a, b] và N nằm giữa f(a) và f(b) với f(a) ≠ f(b), thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = N.
Ví dụ 1.52 Chứng minh của phương trình
4x 3 −6x 2 + 3x−2 = 0 có nghiệm nằm giữa 1 và 2. giải Đặt f(x) = 4x 3 −6x 2 + 3x−2, ta tìm sốc giữa1 và2 sao cho f(c) = 0 Ta có f(1) =−10
Dof(1)0 giải Ta cóa x =e ln a x =e x ln a Do đó dy dx = d dx(e x lna )
=a x lna Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Chú ý Nếu y=f(u),u=g(x) và x=h(t) là các hàm khả vi thì dy dt = dy du du dx dx dt
Ví dụ 2.23. f 0 (x) = cos (cos (tanx)) d dx(cos (tanx))
= cos (cos (tanx))[−sin (tanx)] d dx((tanx))
=−cos (cos (tanx)) sin (tanx) 1 cos 2 x
Công thức vi phân
Cho hàm số f(x) khả vi tại x, ta có công thức f(x + ∆x) − f(x) = f'(x)∆x + α(∆x) Vi phân của hàm số f, ký hiệu là df, được định nghĩa là tích của đạo hàm với số gia của biến số, tức là df = f'(x)∆x hoặc df = f'(x)dx, và có thể viết lại là f'(x) = df/dx.
Ví dụ 2.24 Tính vi phân của hàm số y= 2x 2 −3x+ 1 giải Ta cóf 0 (x) = 4x−3nên df = (4x−3)dx
2.1.6.2 Các quy tắc tính vi phân d(f +g) dg d(f −g) dg d(f.g) =f.dg+g.df d(f g) = f dg−gdf g 2
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 68 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt
Đạo hàm của hàm ẩn
Các hàm số thường gặp được biểu diễn dưới dạng y = f(x) và được gọi là hàm hiện Ví dụ, các hàm như y = px³ - 1 hoặc y = x sin x là những biểu thức điển hình của loại hàm này.
Tuy nhiên, một số hàm số mà ta không thể viết tường minh theo biến độc lậpx hoặc khó có thể biểu diễn biến y theox Chẳng hạn x 2 +y 2 = 25 hay x 3 +y 3 = 6xy
Một phương trình xác định y là một hàm theo biến x được gọi là hàm ẩn Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta cần lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo biến x và sau đó giải phương trình để tìm y'.
Trong bài tập và ví dụ phần này, ta luôn giả sửy là hàm khả vi theo biếnx.
Để tìm đạo hàm của phương trình x² + y² = 25, ta thực hiện lấy đạo hàm hai vế, dẫn đến d/dx(x² + y²) = d/dx(25) Kết quả là d/dx(x²) + d/dx(y²) = 0 Tiếp theo, để xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm P(3,4), ta cần sử dụng kết quả từ đạo hàm đã tính.
Doy là một hàm theo biếnx nên ta sử dụng đạo hàm hàm hợp, ta có d dx(y 2 ) = d y(y 2 )dy dx = 2ydy dx
Nên d dx =−x y Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Ví dụ 2.26 (a) Cho x 3 +y 3 = 6xy, tìm y 0
(b) Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong tại P(3,3).
(c) Tại điểm nào của góc phần tư thứ nhất thì tiếp tuyến là đường thẳng nằm ngang. giải. a) Sử dụng đạo hàm hàm hợp ta có
3x 2 + 3y 2 y 0 = 6xy 0 + 6y hay x 2 +y 2 y 0 = 2xy 0 + 2y Giải tìmy 0
(y 2 −2x)y 0 = 2y−x 2 y 0 = 2y−x 2 y 2 −2x b) Khi x=y= 3, ta có y 0 = 1 Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại P(3,3)là y−3 =−1(x−3)hoặcx+y = 6 c) Tiếp tuyến nằm ngang nêny 0 = 0 Khi đó y= 1 2 x 2 vàx 3 + (1
2x 2 )⇔x 3 = 16⇔ x= 2 4 3 hoặcx= 0 Vì tiếp tuyến tại điểm ở góc phần tư thứ nhất nênx6= 0 Vậy điểm mà tiếp tuyến nằm ngang là (2 4/3 ,2 5/3 )
Ví dụ 2.27 Tìm y 0 biếtsin (x+y) =y 2 cosx
Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 70 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt giải Sử dụng đạo hàm hàm hợp, ta có cos (x+y).(1 +y 0 ) =−sinx.y 2 + 2yy 0 cosx
Ví dụ 2.28 Tìm y 00 biếtx 4 +y 4 = 16 giải Sử dụng đạo hàm hàm hợp
4x 3 + 4y 3 y 0 ⇔y 0 =−x 3 y 3 Tiếp tục lấy đạo hàm ta được y 00 =− y 3 d dx(x 3 )−x 3 d dy(y 3 ) (y 3 ) 2
Đạo hàm của hàm ngược
2.1.8.1 Đạo hàm của hàm lượng giác ngược d dx(sin −1 x) = 1
1 +x 2 d dx(csc −1 x) =− 1 x√ x 2 −1 d 1 d 1 Đại học Duy Tân Khoa KHTN d dx(log a x) = 1 xlna
Chứng minh. Đặt y= log a x, khi đó a y =x Lấy đạo hàm theo biến x hai vế, ta có a y (lna)dy dx = 1
Vì vậy dy dx = 1 a y lna = 1 xlna
Nếu đặt a=e, ta có d dx(lnx) = 1 x
Ví dụ 2.29 Tính đạo hàm y= ln(x 3 + 1) giải Sử dụng đạo hàm hàm hợp với u=x 3 + 1,y = lnu ta có dy dx = dy du du dx = 1 u.du dx = 1 x 3 + 1(3x 2 ) = 3x 2 x 3 + 1
Tổng quát ta có d dx(lnu) = 1 u du dx d dx[lng(x)] = g 0 (x) g(x)
Để tính đạo hàm của hàm số ln(sinx), ta áp dụng quy tắc đạo hàm Cụ thể, ta có:\[\frac{dy}{dx}(\ln(\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x.\]Bài giảng này được biên soạn bởi ThS Nguyễn Bảo Việt trong chương trình Toán Cao Cấp A1.
Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng(a, b) làf 0 (x) Khi đó f 0 (x) là một hàm số xác định trong (a, b) và gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm sốy=f(x).
Nếu hàm số f 0 (x) có đạo hàm đối với x ∈ (a, b) thì đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x), ký hiệu làf 00 (x).
Tổng quát, đạo hàm của hàm đạo hàm cấp(n−1)được gọi là đạo hàm cấp n Đạo hàm cấp n củaf(x) được ký hiệu là f (n) (x), vậy f (n) (x) = f (n−1) (x) 0
Ví dụ 2.31 Cho f(x) =e x Tìm f n (x) giải f 0 (x) =e x , f 00 (x) =e x ,
Bằng phương pháp quy nạp, ta có f (n) (x) =e x
Ví dụ 2.32 Tính y (n) với y= sinx y 0 = cosx= sin(x+π
Sử dụng phương pháp quy nạp y (n) = sin(x+n.π
2) CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP n
Giả sửf(x), g(x) có đạo hàm đến cấpn đối vớix Khi đó ta có n Đại học Duy Tân Khoa KHTN giải Ta có(e x ) (n) =e x và(3 sinx) (n) = 3 sin(x+nπ
Ví dụ 2.34 Cho f(x) =x 2 e x Tính f (n) (x). giải Ta có(e x ) (n) =e x và(x 2 ) (n) = 0 nếu n≥3 Áp dụng công thức Leibnitz ta có f (n) (x) = (e x ) (n) x 2 +n(e x ) (n−1) (x 2 ) 0 +n(n−1)
Cực trị của hàm số
Một trong những ứng dụng quan trọng của phép tính vi phân là tối ưu hóa, giúp tìm ra phương án tốt nhất cho các vấn đề thực tiễn.
• Mô hình nào có thể cho giá thành sản xuất tốt nhất
• Gia tốc cực đại cho tàu con thoi.
Hàm số f(x) được xem là đạt giá trị lớn nhất tại điểm c nếu f(c) lớn hơn hoặc bằng f(x) với mọi x thuộc miền xác định D Giá trị f(c) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm f trên miền D.
Hàm số f(x) được xem là đạt giá trị nhỏ nhất tại c nếu f(c) ≤ f(x) với mọi x thuộc miền xác định D Giá trị f(c) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên miền D.
Hàm số f(x) được gọi là đạt cực đại địa phương tại điểm c nếu giá trị f(c) lớn hơn hoặc bằng f(x) đối với mọi x trong lân cận của c Ngược lại, hàm số f(x) đạt cực tiểu địa phương tại điểm c khi f(c) nhỏ hơn hoặc bằng f(x) cho mọi x trong khu vực xung quanh c.
Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Ví dụ 2.35 Cho f(x) = x 3 , f 0 (x) = 3x 2 Tại x = 0, f 0 (0) = 0, nhưng f không đạt cực trị tại x= 0.
Hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x = 0, nhưng lại đạt cực trị tại điểm này Theo Định lý 2.3 (Fermat), nếu hàm f(x) có cực trị địa phương tại c ∈ (a, b) và đạo hàm f'(c) tồn tại, thì f'(c) phải bằng 0 Điều này thể hiện ý nghĩa hình học rằng tại điểm cực trị, độ dốc của đồ thị hàm số bằng 0.
Nếu hàm số f(x) khả vi tại điểm cực trị x0 thì tiếp tuyến với đường cong y =f(x) tại điểm
Chú ý Điều ngược lại của Định lý Fermat là không đúng.
Ví dụ 2.37 Cho đồ thị của hàm số y= 3x 4 −16x 3 + 18x 2 với −1≤x≤4 Xác định giá trị cực đại, cực tiểu địa phương, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Trong bài giảng Toán Cao Cấp A1 76, biên soạn bởi ThS Nguyễn Bảo Việt, chúng ta phân tích các điểm cực trị của hàm số f Cụ thể, f(0) = 0 và f(3) = -27 là các cực tiểu địa phương, trong khi f(1) = 5 là cực đại địa phương Giá trị lớn nhất của hàm là f(-1) = 37 và giá trị nhỏ nhất là f(3) = -27 Theo định nghĩa 2.7, số c được gọi là điểm tới hạn của hàm số f nếu c thuộc miền xác định của f và thỏa mãn điều kiện f'(c) = 0 hoặc f'(c) không tồn tại.
Ví dụ 2.38 Tìm các điểm tới hạn của hàm số f(x) =x 3/5 (4−x) giải Ta có f 0 (x) = 12−8x
5x 2/5 , f 0 (x) = 0⇔12−8x= 0⇔x= 3/2 f 0 (x) không tồn tại khix= 0 Do đó các điểm tới hạn của hàm số làx= 3/2, x= 0
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn [a, b]
(i) Tìm giá trị củaf tại các điểm tới hạn trên đoạn [a, b]
(iii) Số lớn nhất trong các số vừa tính là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất. Đại học Duy Tân Khoa KHTN
Giá trị của f tại các điểm tới hạn là f(0) = 1, f(2) =−3 Giá trị của f tại các điểm đầu mút là f(−1
So sánh4 số trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất làf(2) =−3, giá trị lớn nhấtf(4) = 17
TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA HÀM SỐ
(a) Nếuf 0 (x)>0 trên khoảng(a, b) thì ta nói f đồng biến(tăng) trên khoảng (a, b) (b) Nếuf 0 (x)
