Lới giợi thiằu
Sau khi hoàn thành các kiến thức về hàm số, học sinh lớp 12 cần nắm vững cách giải các bài toán liên quan đến hàm số để chuẩn bị cho kỳ thi Việc sử dụng kiến thức đã học giúp học sinh nghiên cứu và hiểu rõ hơn về bản chất của hàm số, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cũng như các điểm cực trị Đây là những nội dung quan trọng mà học sinh lớp 12 thường gặp trong các đề thi, đặc biệt là các dạng bài tập liên quan đến hàm số và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Để làm tốt các bài thi, học sinh cần phải có kiến thức vững vàng và khả năng áp dụng linh hoạt các công thức toán học.
Với mong muốn giúp các em giải quyết các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, tôi sưu tầm các bài toán này trong các kỳ thi THPT Quốc Gia qua nhiều năm, nhằm giúp các em tiếp cận và nắm vững kiến thức Những bài toán này không chỉ giúp các em củng cố kiến thức mà còn tạo điều kiện cho các em có cái nhìn tổng quát hơn về toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
V… v“y tổi  chồn • t i: GiĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m sŁ giĂ trà tuyằt Łi.
Mặc dù thời gian cạn hơn, nhưng các nhà nghiên cứu vẫn nỗ lực phát triển những phương pháp chữa trị mới và mang tính chất tiên tiến Chúng tôi rất mong nhận được sự ủng hộ từ các bạn trong việc góp phần cải thiện chất lượng tài liệu này để nó hoàn thiện hơn.
Tổi xin chƠn th nh cĂm ỡn.
T¡c gi£ s¡ng ki‚n
Hồ v tản: Nguy„n Th nh Ti‚n àa ch¿: Trữớng THPT Yản L⁄c 2, Yản L⁄c, Vắnh Phúc.
SŁ iằn tho⁄i: 0985.11.22.66 Email: tiennt.thpt@gmail.com.
Ng y sĂng ki‚n ữổc Ăp dửng lƒn ƒu ho°c Ăp dửng thò
7 Mổ tÊ bÊn chĐt cıa sĂng ki‚n: - V• nºi dung cıa sĂng ki‚n:
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật và phương pháp chung để giải quyết vấn đề là rất quan trọng, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ảnh hưởng của các yếu tố tác động lẫn nhau Giáo viên cần thiết kế bài học sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương tác với nội dung bài học trong điều kiện thực tế, có hiệu quả, có kiến thức và phương pháp tiên tiến, đồng thời có trải nghiệm thực tế phong phú Do đó, việc trang bị và phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên.
SĂng ki‚n tr…nh b y cĂc d⁄ng toĂn giĂ trà lợn nhĐt v giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m sŁ download by : skknchat@gmail.com
Hai giải pháp hiệu quả trong các kỳ thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các kỳ thi của Sở Giáo dục và Đào tạo cũng như của các trường học liên quan đến phương pháp giải của các dạng bài toán hình học Sau mỗi dạng toán, cần có bài tập cho học sinh thực hành để củng cố kiến thức.
V• khÊ nông Ăp dửng cıa sĂng ki‚n: D nh cho hồc sinh cõ lỹc hồc tł trung b…nh khĂ trð lản. download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.3
GIÁ TRÀ LẻN NH‡T, GIÁ TRÀ NHÄ NH‡T HÀM
SÈ CHÙA D‡U GIÁ TRÀ TUY›T ĐÈI
Cho h m sŁ y = jf (x)j T…m giĂ trà nhọ nhĐt, giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ trản
: max jf (x)j = max fjMj; jmjg
B D„NG TOÁN VÀ BÀI TŠP
{ D„NG 1 GTLN-GTNN thọa món điãu kiằn cử thº
| V‰ dử 1 Cõ bao nhiảu giĂ trà cıa tham sŁ m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 4 + 4x 3 mj trản o⁄n [ 4; 2] b‹ng 2020?
Khi â f 0 (x) = 0 , x = 0 2= ( 4; 2) x = 3 2 ( 4; 2): download by : skknchat@gmail.com
N‚u m( m 27) 0 , 27 m 0, th… max y = max fj m 27 ; j m jg
Theo yảu cƒu cıa b i toĂn ta cõ " m = 2020 , " m = 2020: (lo⁄i)
Theo yảu cƒu cıa b i toĂn, ta cõ jmj = 2020 , " m = 2020 (thọa mÂn):
Theo yảu cƒu cıa b i toĂn, ta cõ jm + 27j = 2020 , " m + 27 = 2020 m = 1993 (lo⁄i) m + 27 = 2020 , " m = 2047: (thọa mÂn) V“y cõ hai giĂ trà m thọa mÂn yảu cƒu • b i.
Cho hàm số f(x) = x^3 - 3x Tìm S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = jf(sin x + 1) + m bằng 4 Tính tổng các phần tử của S.
$ Líi gi£i °t t = sin x + 1 ) t 2 [0; 2] Khi â, ta câ
3t + m : y = jf (sin x + 1) + mj = jf (t) + mj = t 3
X†t h m sŁ g (t) = t 3 3t + m h m sŁ liản tửc trản [0; 2] v cõ g 0 (t) = 3t 2 3. g 0 (t) = 0 , 3t 2 3 = 0 ,
N‚u (m 2) (m + 2) 0 , m 2 [ 2; 2] Tł gi£ thi‚t, ta câ
4 j j j j download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.5
[0;2] j j V“y S 2 f 2; 2g Suy ra, tŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng 2+2=0.
| V‰ dử 3 Gồi S l t“p hổp cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ x 2 mx + 2m y = x 2 trản o⁄n [ 1; 1] b‹ng 3 T‰nh tŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa S
1) 0 , 1 m 0 th… max y = max fj m 1 ; j m = max m + 1; m
Cõ hai khÊ nông l " m + 1 = 3 , " m = 2 , khổng thọa mÂn i•u kiằn.
Theo yảu cƒu b i toĂn, ta cõ m + 1 = 3 , m = 2 (thọa mÂn)
Theo yảu cƒu b i toĂn ta cõ m = 3 , m = 3 (thọa mÂn)
V“y t“p cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn l S = f 3; 2g.
Suy ra tŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa t“p S l 3+2= 1.
| V‰ dử 4 Cho h m sŁ y = jx 3 x 2 x + mj, vợi m 2 Z Cõ tĐt cÊ bao nhiảu sŁ nguyản m ” min y < 3?
$ Líi gi£i download by : skknchat@gmail.com
1, th… min y = 0 < 3 Trữớng hổp n y cõ +15) 0, 15 [1;3]
Theo yảu cƒu b i toĂn ta cõ m 1 < 3 , m < 4, k‚t hổp i•u kiằn ta ữổc 1 < m < 4
Trữớng hổp n y cõ 2 sŁ nguyản m thọa mÂn.
Theo yảu cƒu b i toĂn ta cõ m 15 < 3 , m > 18, k‚t hổp i•u kiằn ta ữổc
18 < m < 15 Trữớng hổp n y cõ 2 sŁ nguyản m thọa mÂn.
V“y cõ tĐt cÊ 17 + 2 + 2 = 21 sŁ nguyản m thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn.
BÀI 1 Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = jx^4 + 2x^2 + mj trên đoạn [1; 2] Để thực hiện điều này, cần tổng hợp các phần tử của S và xác định tổng tất cả các phần tử trong S.
N‚u ( 1 m)(8 m) 0 , 1 m 8 th… min jf(x) = 0, khổng thọa mÂn i•u
Khi õ, theo • ta cõ m 1 = 2 , m = 3 (thọa mÂn)
Khi õ, theo • ta cõ m 8 = 2 , m = 10 (thọa mÂn)
V“y t“p cĂc giĂ trà thọa mÂn l S = f 3; 10g Suy ra tŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa S l
Chồn Ăp Ăn B download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.7
BÀI 2 Gồi S l t“p hổp cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ x 2 mx + 3m y = + x + 3 trản o⁄n [ 2; 2] b‹ng 5 Gồi T l tŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa S.
(lo⁄i) m + 4 = 5 m = 1 theo yảu cƒu • b i ta cõ m = 5 , m = 5: (lo⁄i).
Theo yảu cƒu • b i ta cõ m + 4 = 5 , m = 1 (thọa mÂn)
Theo yảu cƒu • b i ta cõ m = 5 , m = 5 (thọa mÂn)
V“y t“p hổp cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn l S = f 5; 1g.
Do õ, tŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa t“p S l T = 5+1= 4.
BÀI 3 Cho S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của 4 + 2x^2 + mx + 1 trên đoạn [0; 2] bằng 6 Tính tổng tất cả các phần tử của hàm số f(x) = j của S.
Ta câ f(0) = jmj + 1; f(1) = jm + 1j + 1; f(2) = jm 8j + 1 ) 2 max f(x) = jm 8j + 1:
V“y tŒng c¡c gi¡ trà cıa m b‹ng 7.
BÀI 4 Gồi S l t“p hổp tĐt cÊ cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m ” h m sŁ y = jx 2 3x + 2 + mj
[ 2;2] thọa mÂn min y = 5 TŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa S b‹ng download by : skknchat@gmail.com
N‚u 12 < m < 1 th… min y = 0 (khổng thọa mÂn).
V“y tŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng 47
BÀI 5 Cõ tĐt cÊ bao nhiảu sŁ thỹc m ” h m sŁ y = j3x 4 4x 3 12x 2 + mj cõ giĂ trà nhọ nhĐt trản o⁄n [ 3; 2] b‹ng 10.
N‚u (243 + m )( 32 + m ) min y = min f(x) = 0, khổng thọa mÂn.
0 suy ra [ 3;2] [ 3;2] j j Yảu cƒu b i toĂn min y = 10 suy ra i•u kiằn cƒn l (243 + m)( 32 + m) > 0.
V“y cõ 2 giĂ trà cıa tham sŁ m thọa mÂn yảu cƒu.
BÀI 6 Cho h m sŁ f(x) = x 2 Gồi S l t“p hổp tĐt cÊ cĂc giĂ trà cıa tham
[ 1;1] sŁ m ” max f(x) 5 TŒng tĐt cÊ cĂc phƒn tò cıa S l
3 download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.9
Suy ra [ 1;1] j j j j 3 fj j j jg max f(x) = max m ; m + 1 ; m + 1
Suy ra tŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng:
{ D„NG 2 Tỡm điãu kiằn cừa tham số
T…m tham sŁ ” min jf(x)j max jf(x)j k, ( k).
| V‰ dử 1 Cho h m sŁ y = x 3 3x + m Gồi S l t“p hổp tĐt cÊ cĂc giĂ trà cıa tham sŁ thỹc m min y + max y j = 6 SŁ phƒn tò cıa S l sao cho [0;2] j j [0;2] j
Do â [0;2] j j [0;2] j j , " m + 2 = 6 , min y + max y = 6 0 + 2 m = 6 m = 4 (khổng thọa mÂn).
Do â min y + max y = 6 , m 2 + m + 2 = 6 , m = 3 (thọa mÂn).
Do õ min y + max y = 6 , 2 m + 2 m = 6 , m = 3 (thọa mÂn).
V“y cõ 2 sŁ nguyản thọa mÂn.
Chồn Ăp Ăn D download by : skknchat@gmail.com
| V‰ dử 2 Cho h m sŁ f(x) = x 4 2x 2 + m (m l hổp tĐt cÊ cĂc giĂ trà nguyản cıa m thuºc o⁄n [ minf (x) TŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng
Ta câ: f 0 (x) = 4x 3 4x; f 0 (x) = 0 , 4x 3 4x = 0 , f(1) = m 1; f(2) = m + 8; f(0) = m. max f (x) = m + 8; min f (x) = m 1: tham sŁ thỹc) Gồi S l t“p 20;
, 8 < m < 1 th… max j f (x) = max fj m+8 ; m 1 jg > 0;
Khi õ, khổng thọa mÂn i•u kiằn max f (x) < 3 min f (x)
Do õ: 2 k‚t hổp vợi m [ 20; 20], ta cõ m 20; ;20 m >
TŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63.
T‰nh tŒng c¡c gi¡ trà cıa tham sŁ x 1 m ” max f (x) min f (x) = 2.
H m sŁ y = f(x) = 2x + m xĂc ành v liản tửc trản o⁄n [2; 3]. x 1
Vợi m = 2, h m sŁ trð th nh y= 2 ) max f (x) = min f (x) = 2 (khổng thọa).
Vợi m = 2, ta cõ y 0 2 m Khi õ h m sŁ luổn ỗng bi‚n ho°c nghàch bi‚n trản
(x 1) 2 6 download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.11 o⁄n [2; 3].
Suy ra 2 max f (x) = f(3); min f (x) = f(2): max f (x) = f(2); min f (x) = f(3)
Theo gi£ thi‚t max f (x) min f (x) = 2
V“y tŒng cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m thọa mÂnyảu cƒu b i toĂn l 4.
BÀI 1 Cho h m sŁ f(x) = x 4 2x 2 + m, (m l tham sŁ thỹc) Gồi S l t“p hổp cĂc giĂ
2 [ [1;2] j j [1;2] j j 10 SŁ phƒn tò cıa S l trà nguyản m 10; 10] sao cho max f (x) + min f (x)
X†t h m sŁ f(x) = x 4 2x 2 + m, h m sŁ liản tửc trản o⁄n [1;2].
Ta cõ: f 0 (x) = 4x 3 4x > 0; 8x 2 (1; 2) ) h m sŁ f(x) ỗng bi‚n trản o⁄n [1; 2], do õ ta câ max f (x) = m + 8; min f (x) = m 1.
Suy ra trữớng hổp n y cõ 9 sŁ nguyản.
TH2: m + 80 ) 10 m 8 th… max jf (x) = m + 1; min f (x) = m 8.
17 ) m 2 f 10; 9g Suy ra trữớng hổp n y cõ 2 giĂ trà nguyản.2
Do m l sŁ nguyản nản max f(x) j
Suy ra khổng tỗn t⁄i m thọa mÂn.
2 x 2 + m vợi m l tham sŁ Bi‚t max f(x) j
( ) = [1;2] j j = q v S l t“p hổp tĐt cÊ cĂc giĂ trà nguyản m 2 [ 10; 10] sao cho bº min f(x)
[1;2] ba sŁ p, q, 19 l º d i ba c⁄nh cıa mºt tam giĂc SŁ phƒn tò cıa t“p S b‹ng download by : skknchat@gmail.com
X†t h m sŁ f(x) = x 4 2x 2 + m, h m sŁ liản tửc trản o⁄n [1; 2] Ta cõ f 0 (x) = 4x 3 4x > 0; 8x 2 (1; 2); suy ra h m sŁ f(x) ỗng bi‚n trản o⁄n [1; 2] Do õ max f(x) = m + 8; min f(x) = m 1: Suy ra q < p < 19; m
Tł õ suy ra yảu cƒu b i toĂn , p q >
Trữớng hổp n y cõ 4 sŁ nguyản.
Suy ra trữớng hổp n y khổng tỗn t⁄i m 2 [ 10; 10] thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn.
TH3 8 < m < 1 th… q = 0 Suy ra khổng thọa yảu cƒu b i toĂn.
BÀI 3 Cho h m sŁ f(x) = x 3 x 2 + x m 2 vợi m l tham sŁ Gồi S l t“p hổp tĐt
= 16 TŒng cĂc phƒn tò cıa S l c£ c¡c gi¡ trà cıa m sao cho max f(x) + min f(x)
TH1 (m + 2)(m 19) 0 , 2 m 19 Khi â suy ra min f(x) = 0 max f(x) = m + 2; khi 17 m 19
(khổng thọa mÂn) min f(x) +max f(x) = m+2 + m 19 = 2m 17 2
33 download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.13
BÀI[ 4 Cho h m sŁ y = jx 4 2x 3 + x 2 + mj TŒng t§t c£ c¡c gi¡ trà cıa tham sŁ m ” min y + max y = 20 l
< m < 0 th… [ 1;2] [ 1;2] fj j j mjg f g min y = 0, max y = max m + 4 ; = max m+4; m
Suy ra min y + max y < 4 < 0 + 20 = 20 khổng thọa mÂn.
V“y tŒng c¡c gi¡ trà cıa m b‹ng 4.
BÀI 5 Cho h m sŁ f(x) = 2x m vợi m l tham sŁ Gồi S l t“p hổp tĐt cÊ cĂc giĂ
[0;2] j j j j x + 2 trà cıa m sao cho max f(x) + 2 min f(x) 4 Họi trong o⁄n [ 30; 30], t“p S cõ bao nhiảu sŁ nguyản?
2 4 [0;2] j j [0;2] j j 4 ho°c max f(x) = m Theo gi£ thi‚t ta ph£i câ
4 download by : skknchat@gmail.com
TH2.X†t 4 < m < 0 H m sŁ f(x) ỗng bi‚n, hỡn nœa f(0) m
X†t m < 4 H m sŁ f(x) nghàch bi‚n, hìn nœa f(0) = > 0, f(2) 4 m > 0 nản 2
X†t m > 4 H m sŁ f(x) ỗng bi‚n, hỡn nœa f(0) = 2 < f(2) 4 m < 0 nản
[[6; +1) Suy ra trong o⁄n [ 30; 30], t“p S cõ 53 sŁ nguyản.
{ D„NG 3 Bài toán max đ¤t min
T…m tham sŁ ” GTLN cıa h m sŁ y = jf(x) + g(m)j trản o⁄n [a; b] ⁄t giĂ trà nhọ nh§t.
Bữợc 2: Gồi M l giĂ trà lợn nhĐt cıa y = jf(x) + g(m)j th…
2 D§u b‹ng x£y ra , j + g(m)j = j + g(m)j. download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.15 p dửng bĐt flng thức j + g(m)j + jg(m)j j + g(m)g(m)j = j j
| V‰ dử 1 Bi‚t r‹ng giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 2 + 2x + m 4j trản o⁄n
[ 2; 1] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt, giĂ trà cıa tham sŁ m b‹ng
Suy ra max y = max m 5 ; m 1 jm 5j + jm 1j j5 m + m 1j fj j 2 = 2.
| V‰ dử 2 T…m m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = p 2x x 2 3m + 4 ⁄t
1 2 download by : skknchat@gmail.com
BÀI 1 ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 3 3x + 2m 1j trản o⁄n [0; 2] l nhọ nhĐt.
Gi¡ trà cıa m thuºc kho£ng
(1) = m f m nản ta cõmax y = max 2m 3 ; 2m+1 jg
” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ f(x) = jx 3 12x + m + 1j trản o⁄n [1; 3] ⁄t giĂ
BÀI 2 23 7 23 7 trà nhọ nhĐt, giĂ trà cıa m b‹ng
Gồi M l giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ f(x) trản [1; 3].
Ta câ f(1) = jm 10j; f(2) = jm j 15j; f(3) = jm 8j
) 2M jm 8j + jm 15j = jm 8j + j15 mj jm 8 + 15 mj 7
{ D„NG 4 Bài toán min đ¤t min
X†t cĂc trữớng hổp Ë N‚u M m 0 th… min jf (x)j = 0.
[a;b] download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.17 Ë N‚u
| V‰ dử 1 Cõ bao nhiảu giĂ trà nguyản cıa tham sŁ m ” giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m sŁ y = jx 3 mx 2 9x + 9mj trản o⁄n [ 2; 2] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt.
$ Líi gi£i °t f (x) = x 3 mx 2 9x + 9m. min f (x) j 0 D§u " = " x£y ra
Do õ, i•u kiằn cƒn v ı ” f (x) = 0 cõ nghiằm x 2 [ 2; 2] l m 2 [ 2; 2]. V… m 2 Z ) m 2 f 2; 1; 0; 1; 2g.
V“y cõ 5 giĂ trà nguyản cıa tham sŁ m thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn.
| V‰ dử 2 Cõ bao nhiảu giĂ trà nguyản tham sŁ m ” giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m y = f (x) = j x 4 + 8x 2 + mj trản o⁄n [ 1; 3] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt.
Ta câ min f (x) = min g (t) = min m 9 ; m + 16
9 0, suy ra min = 0 , = 9. min f (x) = m min f (x) m
16 0, suy ra min ) ( min f (x) = m min[ f x = 0 m =
Khi â min f (x) = 0, suy ra min min f (x) = 0.
V… m 2 Z, nản cõ 26 sŁ nguyản m thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn. Chồn Ăp Ăn D download by : skknchat@gmail.com
B IT PV NDệNG-V NDệNGCAOTRONGC C THI
BÀI 1 (KSCL l¦n 1,THPT Tr¦n Hưng Фo, Nam Đành, 2020-2021) Cho h m sŁ f(x) = x 4
2x 2 + m (m l tham sŁ thỹc) Gồi S l t“p hổp cĂc giĂ trà cıa m sao cho max jf(x)j+
[0;2] min jf(x)j = 7 TŒng cĂc phƒn tò cıa S l
Ta cõ bÊng bi‚n thiản cıa f(x) > x 0 1 2 f 0 (x) 0 + m m + 8 f(x) m 1
Ta câ max f(x) + min f(x) = 7 (m 1) + (m + 8) = 7 m = 0 (lo⁄i).
Ta câ max f(x) + min f(x) = 7 (m 1) (m + 8) = 7 m = 7 (lo⁄i).
V“y tŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng 7.
BÀI 2 (Thi thỷ L2, Chuyờn ĐÔi hồc Vinh, Nghằ An).6
Gồi M, m lƒn lữổt l giĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m sŁ Â cho trản o⁄n [0; 2].
Cõ bao nhiảu sŁ nguyản a thuºc o⁄n [ 3; 3] sao cho M 2m?
V“y cõ 5 sŁ nguyản a thọa mÂn.
Chồn Ăp Ăn A download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.19
BÀI 3 (Đã thi thỷ tốt nghiằp 2020 Sð GD&ĐT Kiờn Giang).
Cho hàm số f(x) = jx³ + 3x² + m² + m₁, trong đó m là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [0; 3] đạt giá trị nhỏ nhất Tổng các phần tử của S là.
) M 2: flng thức xÊy ra khi v ch¿ khi m 2 + m + 5 = m 2 m 1 , 2m 2 2m 6 = 0:
V“y M ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt b‹ng 2 khi m l nghiằm cıa phữỡng tr…nh 2m 2 2m 6 = 0. Gồi m 1 ; m 2 l nghiằm cıa phữỡng tr…nh 2m 2 2m 6 = 0 th… m 1 + m 2 = 1.
BÀI 4 Gồi S l t“p tĐt cÊ cĂc giĂ trà nguyản cıa tham sŁ m sao cho giĂ trà lợn nhĐt cıa
4 2 h m sŁ y 1 4 19 2 trản o⁄n [0; 2] khổng vữổt quĂ 20 TŒng cĂc x x + 30x + m 20
A 210 B 195 C 105 D 300. phƒn tò cıa S b‹ng bao nhiảu?
0 m 14 (do max a ; b jg = ja + bj + ja bj ) fj j j 2
Do õ, tŒng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng 105.
BÀI 5 (Đã KSCL Chuyên Hưng Yên L2, 2019 - 2020) đề cập đến việc tham gia thực hiện khảo sát giá trị lợn nhật và giá trị nhọ nhật của các hộ tham gia Tài liệu này cung cấp thông tin về giá trị trung bình của các tham số khảo sát, đặc biệt là giá trị trung bình của tham số M trong diện tích 2m.
Líi gi£i. x 4 + ax + a X†t h m sŁ f(x) = trản [1; 2]. x + 1 Trản [1; 2], ta cõ f 0 (x) 3x 4 + 4x 3
Ta luổn cõ M > m do h m sŁ ¢ cho l m n‚u khổng th… h h‹ng.
X†t cĂc trữớng hổp sau Ơy
TH 1 a + 2 > a + 3 Khi õ, yảu cƒu b i toĂn tữỡng ữỡng vợi
TH 2 a + 2 Khi õ, yảu cƒu b i toĂn tữỡng ữỡng vợi
:Tł k‚t quÊ thu ữổc tł trữớng hổp 1 v 2, k‚t hổp vợi a l sŁ nguyản, ta xĂc ành ữổc
14 giĂ trà cıa a thoÊ mÂn yảu cƒu b i toĂn l a 2 f 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4g:
BÀI 6 (THPT Đởi CĐn - Vĩnh Phỳc - lƯn 1 - Năm 2019) Cho h m sŁ y = jx 2 + 2x + a 4j T…m a ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ trản o⁄n [ 2; 1] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt.
X†t h m sŁ g(x) = x 2 + 2x + a x = 1 , download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.21
Ta l⁄i cõ g( 2) = a 4, g( 1) = a 5 v g(1) = a 1 nản giĂ trà lợn nhĐt v nhọ nhĐt cıa g(x) l a 1 v a 5. maxfja 1j; ja 5jg.
Tł õ suy ra giĂ trà lợn nhĐt cıa y = jg(x)j l
Gồi M l giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ Â cho, ta cõ
” giĂ trà cıa M nhọ nhĐt th… M = 2. j 0 , a = 3.
BÀI 7 (Chuyờn Lờ Hỗng Phong, Nam Đành, 2019, lƯn 1) Cõ bao nhiảu sŁ nguyản m 2 [ 5;5] ” min j x
X†t f(x) = x 3 3x 2 + m trản [1; 3] "x = 2 [1; 3] Ta cõ bÊng bi‚n thiản
V“y cõ 4 giĂ trà m thọa mÂn • b i.
BÀI 8 (Đã thi thỷ THPT quốc gia, TrƯn Phỳ, Lõm Đỗng 2018) Gồi S l t“p hổp tĐt
3x + mj cÊ cĂc giĂ trà cıa tham sŁ thỹc m sao cho giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 3 trản o⁄n [0; 2] b‹ng 3 SŁ phƒn tò cıa S l
, x 0 1 2 f 0 (x) 0 + m m + 2 f(x) m 2 download by : skknchat@gmail.com
BÀI 9 (TT, THPT Nguyạn Khuyán - TP.HCM,2019) Gồi S l t“p hổp giĂ trà thỹc
3x + mj trản o⁄n [0; 2] cıa tham sŁ m sao cho giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 3 b‹ng 3 SŁ phƒn tò cıa S l
V“y cõ 2 giĂ trà m thọa mÂn yảu cƒu cıa •.
Bài 10 (Thi thỷ Lần 1, Thanh Chương 3 Nghệ An, 2018) đề cập đến việc xác định giá trị tối ưu của hàm số y = jx² + 2x + m với miền xác định [2; 1] Mục tiêu là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này trong khoảng đã cho.
GiĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ Â cho l maxfjm 4j; jm
Ta thĐy m 5 < m 4 < m 1 nản jm 4j < maxfjm 1j; jm 5jg Do õ maxfjm
4j; jm 1j; jm 5jg = maxfjm 1j; jm 5jg. °t A = m 1 = (m 3) + 2 v m = m 5 = (m 3) 2. m 3 > 0 ) maxfjAj; jBjg jAj > 2. m 3 < 0 ) maxfjAj; jBjgjBj > 2. m 3 = 0 ) maxfjAj; jBjg = jAj = jBj = 2
V“y ” giĂ trà giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt th… m = 3. Chồn Ăp Ăn D download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.23
BÀI 11 (Thi thỷ kờnh giỏo dửc Quốc Gia - VTV7) GiĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt cıaAh 1. sin 2 x
B 3 C 0 D 4. m sŁ y = 2 sin x 2 lƒn lữổt l a; b th… giĂ trà a + b l
X†t h m sŁ y = t 2t 2; 8t 2 [ y 0 = 2t 2 ) y 0 = 0 , t = 1 1 ỗ thà h m sŁ f(t) v jf(t)j nhữ h…nh 2 1 O 2 x bản. t2[ 1;1] j j a + b = 3 2 1 O 1 2
BÀI 12 (Thi thỷ TN lƯn 1, năm hồc 2019 - 2020, THPT Đ°ng Thỳc Hựa, Nghằ An).
Gồi S l t“p hổp tĐt cÊ cĂc giĂ trà nguyản cıa tham sŁ m sao cho giĂ trà lợn nhĐt cıa h m
1 3 sŁ y = 3 x 9x + m + 10 trản o⁄n [0; 3] khổng vữổt quĂ 12 TŒng giĂ trà cĂc phƒn tò cıa t“p hổp S b‹ng bao nhiảu?
Khi â [0;3] [0;3] fj j j [0;3] jg , ( j m 8j 12 , 4 2. max y = max m + 10 ; m 8 12 jm + 10j 12 m
V“y tŒng cĂc giĂ trà nguyản cıa m l 4 3 2 1+0+1+2= 7.
BÀI 13 (GHK2, THPT Yờn Đành 2 - Thanh Húa, 2019) T…m m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ f(x) = jx 2 + 2x + m 4j trản o⁄n [ 2; 1] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt.
Tł bÊng bi‚n thiản ta luổn cõ: m 5 < m 4 < m 1. j j jg
M°t kh¡c f ( ) = j ( )j, suy ra: [ 2;1] [ 2;1] fj m 5 m x g x max f(x) = max ; 1
5j j 3 th… [ 2;1] j download by : skknchat@gmail.com
Tł v suy ra giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ f(x) = jx 2 + 2x + m 4j trản o⁄n [ 2; 1] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt b‹ng 2 khi m = 3.
BÀI 14 (Thi thỷ, Chuyờn Chu Văn An LÔng Sơn, 2018) Gồi S l t“p hổp cĂc giĂ trà
2x + mj trản o⁄n [ tham sŁ thỹc m sao cho giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 2 1; 2] b‹ng 5 T‰nh tŒng b…nh phữỡng cĂc phƒn tò cıa S.
Câ g( 1) = 3+m; g(1) = m 1; g(2) = m Suy ra min g(x) = m 1 v max g(x) = m+3.
Suy ra [ 1;2] 2 fj j j jg [ 1;2] [ 1;2] max y m 1 ; m + 3
K‚t hổp i•u kiằn, ta ữổc m = 2. j j , " m j j j j , 1, khi â [ 1;2] 4:
V“y S = f 4; 2g v tŒng b…nh phữỡng cĂc phƒn tò cıa S b‹ng ( 4) 2 + 2 2 = 20.
BÀI 15 (GHK1, THPT Hỗng Quang, HÊi Dương, 2020 - 2021) Gồi S l t“p hổp tĐt
3x + mj trản cÊ cĂc giĂ trà cıa tham sŁ m sao cho giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 3 o⁄n [0; 2] b‹ng 5 SŁ phƒn tò cıa S l
Lới giÊi 3x + mj trản o⁄n D = [0; 2] Vợi x = 0, f(0) = jmj v °t y = f(x) = jx 3 x = 2 th… f(2) = jm + 2j.
V… x lim g(x) = xlim x 3 1 x 2 + x 3 = 1 nản g(x) ⁄t cỹc ⁄i t⁄i x = 1 v cỹc
(1) 0, khi â min f(x) = f(1) v m 2 Suy ra max = max f(0); f(2)
(1) 0 ) 2 Khi â D f g j j V… m + 2 > m > m 2 nản vợi maxfjmj; jm + 2j; jm 2jg = 5, i•u n y tữỡng ÷ìng " m +
2 = 5 , " m = 3: m 2 = 5 m = 3 download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.25
V“y cõ hai giĂ trà cıa m l m = 3 v m = 3 thọa yảu cƒu b i toĂn.
BÀI 16 (GHK1 L2, THPT Đởi CƯn, Vĩnh Phỳc, 2019) ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = jx 3 3x + 2m 1j trản o⁄n [0; 2] l nhọ nhĐt th… giĂ trà cıa m thuºc
2m 3 °t M = [0;2] fj j j 2m 3jg Ta câ max y Khi â M = max 2m + 1 ; ( M j2m + 1j
BÀI 17 (Thi thỷ, Sð GD và ĐT - Hà Tĩnh, 2020) Cõ bao nhiảu giĂ trà nguyản cıa tham sŁ m thọa mÂn jx 3 3x 2 + mj 4 vợi mồi x 2 [1; 3]
Khi â ta câ max x 3 3x 2 + m = jm + m 4j + jm (m
Theo gi£ thi‚t ta câ jm 2j + 2 4 , jm 2j 2 , 0 m 4.
Do m nguyản nản cõ tĐt cÊ 5 giĂ trà thọa mÂn b i toĂn.
Chồn Ăp Ăn D download by : skknchat@gmail.com
BÀI 18 (Thi thû L2, Sð B-c Giang, 2018) Cho h m sŁ f(x) = jx 4 4x 3 + 4x 2 + aj.
Gồi M v m lƒn lữổt l giĂ trà lợn nhĐt v giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m sŁ Â cho trản [0; 2].
Cõ bao nhiảu sŁ nguyản a 2
Trản o⁄n [0; 2] ta x†t cĂc trữớng hổp
N‚u th… m = fmin = 0, suy ra 0 M 2m = 0 ) fmax = M = 0 (vổ a < 0 lþ).
N‚u a > 0 th… M = fmax = a + 1 v m = fmin = a, khi â ta câ
N‚u a + 1 < 0 , a < 1 th… M = fmax = jaj v fmin = ja + 1j, khi â ta câ
Tł (1), (2) v k‚t hổp giÊ thi‚t, suy ra a 2 [ 4; 2] [ [1; 4].
V“y a cõ 7 giĂ trà nguyản thọa mÂn.
BÀI 19 (Đã kKSCL K12, THPT Sào Nam, QuÊng Nam, lƯn 3 năm hồc 2017 - 2018) T… m giĂ trà thỹc cıa tham sŁ m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = j4x 2 + 2x + mj trản o⁄n [ 1;
2x+ 1 m 4 + m download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.27
Tł bÊng bi‚n thiản ta cõ [ 1;1] j j 4
V“y giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = 4x + 2x + m trản o⁄n [ 1; 1] ⁄t giĂ trà nhọ nhĐt l 25 khi m = 23
BÀI 20 (Thi thû, Krong Bông - Đ-k L-k, 2020).
M, m lƒn lữổt l giĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt cıa h m sŁ Â cho trản o⁄n [1; 2]: Cõ bao nhiảu giĂ trà nguyản cıa a ” M 2m.
X†t h m sŁ y = f(x) + ax + a trản o⁄n [1; 2]: x + 1 3x 4 + 4x 3 y 0 = f 0 (x) > 0; 8x 2 [1; 2], suy ra h m sŁ y = f(x) ỗng bi‚n trản [1; 2] Khi
So vợi i•u kiằn (1), ta ữổc 9 m 3, v 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4g.
M 2m , 2 2 3 6 3a + 6 0 , 6 18 download by : skknchat@gmail.com
So vợi i•u kiằn (2), ta ữổc
V“y sŁ giĂ trà nguyản cıa a thọa b i toĂn l: 2 14.
BÀI 21 (Đã Thi thỷ, Sð GD-ĐT QuÊng Bỡnh 2018) Cõ bao nhiảu giĂ trà cıa m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ y = j x 4 + 8x 2 + mj trản o⁄n [ 1; 3] b‹ng 2018?
Khi â ta câ y f t m max y = max f(t) = max fj m + 16 ; 9 m jg
V“y, cõ hai giĂ trà cıa m thọa mÂn • b i l m = 2009 v m = 2002.
BÀI 22 (Đã thi thỷ lƯn 1, Ninh Bỡnh-2021) Cho h m sŁ f (x) = x 2 2x 1 Cõ bao
2f (x) + mj nhiảu giĂ trà nguyản cıa tham sŁ m ” giĂ trà lợn nhĐt cıa h m sŁ g (x) = jf 2 (x) trản o⁄n [ 1; 3] b‹ng 8.
X†t h m sŁ f (x), ta cõ bÊng bi‚n thiản x 2 1 1 2 3
2 °t u = f (f (x)), tł bÊng bi‚n thiản ta thĐy u 2 [ 2; 7].
Ta câ g ( 2) = jm 1j v g (7) = jm + 8j Do â
1 j j jg max g (u) = max m ; m + 8 download by : skknchat@gmail.com
GI TRÀ L˛N NH T, GI TRÀ NH˜ NH T H M S¨ CHÙA D U GI TRÀ TUY T ¨I.29
Trữớng hổp 1. max g (u) = m 1 Khi â, ta câ
Trữớng hổp 2 max g (u) = jm + 8j Suy ra
V“y cõ hai giĂ trà nguyản cıa m thọa mÂn yảu cƒu b i toĂn.
Chồn Ăp Ăn D download by : skknchat@gmail.com