(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN kỹ NĂNG sử DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, đồ THỊ để GIẢI một số bài TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ lớn NHẤT của hàm số CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối

PHẦN MỞ ĐẦU

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình hướng dẫn học sinh về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều em gặp khó khăn, đặc biệt là với các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối và tham số Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên và đồ thị để giải quyết các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối.”

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các phương pháp sử dụng bảng biến thiên và đồ thị hàm số là cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số, đặc biệt khi hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối và tham số Việc áp dụng những kỹ thuật này giúp xác định các điểm cực trị một cách hiệu quả.

Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên và đồ thị là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Việc hiểu rõ cách xây dựng và phân tích bảng biến thiên giúp xác định các điểm cực trị của hàm số, từ đó tìm ra giá trị tối ưu Đồ thị của hàm số cũng cung cấp cái nhìn trực quan về sự biến đổi của hàm, hỗ trợ trong việc nhận diện các điểm cần thiết để giải bài toán hiệu quả.

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Học sinh và giáo viên gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Một trong những thách thức lớn nhất là hiểu rõ cách thức hoạt động của dấu giá trị tuyệt đối và cách nó ảnh hưởng đến các giá trị của hàm số Tuy nhiên, việc nắm vững kiến thức này cũng mang lại thuận lợi, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề Giáo viên có thể sử dụng các phương pháp giảng dạy đa dạng để hỗ trợ học sinh, từ đó tạo ra môi trường học tập tích cực và hiệu quả Việc kết hợp lý thuyết và thực hành sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi làm bài tập liên quan đến chủ đề này.

Đề xuất một hệ thống bài tập luyện tập nhằm phát triển kỹ năng sử dụng bảng biến thiên và đồ thị để giải quyết các bài toán về giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Hệ thống này sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích và tìm kiếm cực trị của hàm số, từ đó nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.

Thiết kế các trò chơi giáo dục tích hợp bài tập về giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số giúp học sinh tăng cường sự chủ động và hứng thú trong việc học Những hoạt động này không chỉ làm cho việc học trở nên thú vị hơn mà còn khuyến khích sự tham gia tích cực của học sinh trong quá trình tiếp thu kiến thức.

- Tìm hiểu và áp dụng một số phương pháp dạy học, phương pháp đánh giá bám sát chương trình phổ thông mới.

ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối là rất quan trọng trong việc dạy học Phương pháp dạy học theo phát triển năng lực giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm này, đồng thời nâng cao khả năng giải quyết vấn đề Việc tích hợp các nguồn tài liệu phong phú sẽ hỗ trợ giáo viên trong việc xây dựng bài giảng hiệu quả và thu hút sự chú ý của học sinh.

- Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

- Giảng dạy tại các lớp 12 trường THPT Thanh Chương 3 Phối hợp với giáo viên môn Toán trường THPT trong huyện Thanh Chương để dạy thử nghiệm tại các lớp 12.

ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Tiếp cận bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng bảng biến thiên và đồ thị là một phương pháp hiệu quả Việc phân tích bảng biến thiên giúp xác định các khoảng tăng giảm của hàm, từ đó dễ dàng tìm ra các cực trị Đồ thị của hàm số cũng cung cấp cái nhìn trực quan về hành vi của hàm, hỗ trợ trong việc xác định các giá trị tối ưu Kết hợp hai phương pháp này sẽ mang lại kết quả chính xác và nhanh chóng trong việc giải quyết bài toán.

Thiết kế một số hoạt động luyện tập nhằm gia tăng sự chủ động và hứng thú học tập của học sinh.

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

CƠ SỞ KHOA HỌC

Kỹ năng giải toán được định nghĩa là khả năng áp dụng tri thức khoa học vào thực tiễn, bao gồm việc sử dụng các khái niệm, định lý, thuật giải và phương pháp để giải quyết các nhiệm vụ trong toán học Theo Từ điển Từ và Ngữ Việt Nam của GS Nguyễn Lân, kỹ năng không chỉ đơn thuần là kiến thức mà còn là khả năng vận dụng hiệu quả những kiến thức đó trong các tình huống cụ thể.

Để phát triển kỹ năng, học sinh cần có kiến thức để hiểu mục đích của hành động và các điều kiện cần thiết để đạt được kết quả Họ phải thực hiện hành động theo yêu cầu, đạt được kết quả phù hợp với mục tiêu đề ra và có khả năng hành động hiệu quả trong các tình huống khác nhau Kỹ năng có thể được hình thành thông qua việc bắt chước và rèn luyện liên tục.

Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT là rất quan trọng, vì nó không chỉ giúp phát triển năng lực tư duy và lập luận mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề Học sinh cũng sẽ cải thiện năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán, đồng thời tăng cường khả năng giao tiếp toán học Những kỹ năng này là thành tố thiết yếu cấu thành nên năng lực toàn diện của người học.

- Quy trình hình thành kỹ năng: quy trình hình thành kỹ năng giải toán nói chung, kỹ năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau:

Bước 1: Hướng dẫn HS giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho HS những điểm cần thiết

Học sinh cần tự rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bài toán có chủ định từ giáo viên, người sẽ phân tích và khắc phục những khó khăn, thiếu sót của học sinh Tiếp theo, học sinh nên nâng cao kỹ năng giải toán ở mức độ phức tạp và tổng hợp hơn.

Để rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên và đồ thị trong việc giải các bài toán về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối, cần xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó Học sinh nên được hướng dẫn tìm kiếm lời giải cho các bài toán tổng quát dựa vào bảng biến thiên và đồ thị Việc sử dụng hệ thống bài tập tự luyện, có thể theo mẫu hoặc không theo mẫu, sẽ giúp củng cố và phát triển kỹ năng đã học.

Bài toán về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số ngày càng phổ biến trong các đề thi minh họa và đề thi thử THPT quốc gia, với các mức độ đánh giá năng lực toán học từ nhận biết đến vận dụng cao Đặc biệt, những bài toán liên quan đến GTLN và GTNN của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.

Ví dụ 1: [Câu 36– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2018]

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x  | 3   3 x m | trên đoạn       0;2 bằng 3 Số phần tử của S là

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |2 + 4 - 2x| trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất Đây là một bài toán liên quan đến việc tối ưu hóa hàm số trong một khoảng nhất định.

Ví dụ 3: [Câu 48– Trung tâm luyện thi Thanh Tường (Nghệ An) lần 1 năm

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f x ( ) | 2 4  x x   2 mx |, m là tham số Giá trị nhỏ nhất của M bằng

Ví dụ 4: [Câu 42– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 1]

Tập hợp S chứa các giá trị của tham số thực m, trong đó giá trị lớn nhất của hàm số y = |3 - 3x + m| trên đoạn [0; 2] bằng 16 Tổng tất cả các phần tử trong S sẽ được xác định.

Ví dụ 5: [Câu 48– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 2]

  với m là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho

      Số phần tử của S là

Các câu hỏi về bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đã gây khó khăn cho giáo viên và học sinh Mặc dù đã có nhiều sáng kiến kinh nghiệm, như của thầy Trần Đình Hiền, tập trung vào việc phát triển năng lực toán học qua các lập luận và chứng minh công thức, nhưng việc ghi nhớ và áp dụng các công thức này vẫn là thách thức cho học sinh Nhóm tác giả trong đề tài này cũng nghiên cứu về GTLN và GTNN nhưng chọn phương pháp tiếp cận khác, sử dụng bảng biến thiên và đồ thị để giúp học sinh có cái nhìn trực quan và dễ thực hiện hơn trong việc giải quyết bài toán.

KHẢO SÁT, PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG

Nhóm tác giả thực hiện khảo sát tại các lớp 12A1,12A2, 12A3, 12B, 12D1 ở trường THPT Thanh Chương 3

Hình thức khảo sát: Học sinh làm bài trắc nghiệm trên https://quizizz.com/ kết hợp với quan sát của giáo viên

Link đề kiểm tra: https://quizizz.com/admin/quiz/61a096b5ba7f67001d9e0f46 Link rút gọn: https://bitly.com.vn/if5gxa Đề khảo sát như sau:

Câu 1 Giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2   2 x 2 trên đoạn     1;2    là

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được max ( )   1;2  f x

Câu 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2   2 x 2 trên đoạn     1;2    là

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được min ( )   1;2  f x

Câu 3 Giá trị lớn nhất của hàm số 2

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được max ( )   2;3  f x

Câu 4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được min ( )   2;3  f x

Câu 5 Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được min ( ) 2; 1 f x

Câu 6 Có bao nhiêu giá trị của tham số a để GTLN của hàm số

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được max ( )   1;2  f x

  theo a Câu 7 Có bao nhiêu giá trị của tham số a để GTNN của hàm số

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được min ( )   1;2  f x

  theo a Câu 8 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn GTLN của hàm số f x ( )  x 3    3 x 1 a trên đoạn     1;1    không vượt quá 5 Số phần tử của tập

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được max ( )   1;1  f x

  theo a Câu 9 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn GTNN của hàm số f x ( )  x 3    3 x 1 a trên đoạn     1;1    không vượt quá 3 Số phần tử của tập

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được min ( )   1;1  f x

  theo a Câu 10 Cho hàm số f x ( )  x 3    3 x 1 a Tìm a sao cho GTLN của hàm số trên đoạn     1;1    đạt giá trị nhỏ nhất

Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được GTNN của max ( )   1;1  f x

Một số hình ảnh khi khảo sát tại các lớp Ảnh khảo sát tại lớp 12A3 Bảng kết quả khảo sát tại lớp 12A1

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng đề tài a Kết quả khảo sát

Sau khi khảo sát ở các lớp nói trên, nhóm tác giả thu được kết quả như sau:

Thứ tự Lớp Số học sinh Điểm trung bình

5 12D1 41 4.5 b Phân tích, đánh giá thực trạng

Trường THPT Thanh Chương 3 nằm trong khu vực rộng lớn với 9 xã thuộc cụm Cát Ngạn, nhiều xã còn gặp khó khăn về kinh tế và giao thông Việc học tập của học sinh chưa được chú trọng từ bậc Tiểu học đến Trung học cơ sở, dẫn đến kiến thức môn Toán chủ yếu ở mức trung bình và khá Đặc biệt, trong bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, khảo sát cho thấy học sinh thiếu tự tin và nhiều em không giải quyết được các bài toán cơ bản Quan sát trong quá trình làm bài khảo sát cho thấy chỉ khoảng 30% học sinh hứng thú với các câu hỏi từ 5 đến 7, và chỉ có khoảng 10% thực sự hứng thú với các câu hỏi 8, 9, 10.

GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Qua khảo sát với học sinh và giáo viên Toán lớp 12, chúng tôi nhận thấy rằng khó khăn lớn nhất mà học sinh gặp phải khi giải các bài toán chứa tham số là việc phân chia các trường hợp Để khắc phục vấn đề này, chúng tôi đề xuất sử dụng bảng biến thiên và đồ thị như công cụ hỗ trợ trong quá trình giải quyết các bài toán.

3.1 Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y  | ( ) | f x trên đoạn      ,    Bài toán tổng quát số 1: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên      ,    Nêu quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  | ( ) | f x trên đoạn      ,    Các bước thực hiện:

Bước 2: Giải phương trình f x '( ) 0  trên đoạn      ,   

Tìm các điểm x x 1 , , , 2 x n trên đoạn      ,    , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định Bước 3: Vẽ bảng biến thiên hàm số y f x  ( ) trên đoạn      ,   

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, vẽ bảng biến thiên hàm số y  f x ( ) trên đoạn      ,   

Vẽ thêm đường thẳng y  0   Ox Coi bảng biến thiên của f x   như là đồ thị hàm số

Để thu nhỏ đồ thị hàm số y = f(x), ta giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành y = 0 Đồng thời, phần đồ thị phía dưới trục hoành sẽ được đối xứng qua trục y = 0 Kết quả là ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x).

Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận max | ( ) |    ;  f x

Sau đây là một số bài tập ví dụ:

Bài tập 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2   3 x 1 trên đoạn

Bảng biến thiên f x   trên đoạn       0;3 :

Bảng biến thiên của f x   trên đoạn       0;3 :

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x       0;2    5 4 ; Min f x       0;2    0

Bài tập 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x  | 3  6 x 2   9 x 1 | trên đoạn       0, 4

Bảng biến thiên của f x   trên đoạn       0;4 :

Bảng biến thiên của f x   trên đoạn       0;4

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x       0;4    3 ; Min f x       0;4    0

Bài tập 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 x 2 y  x   trên đoạn

Tập xác định D      2 Dễ thấy     2    4; 3    Đặt    

Bảng biến thiên của hàm số f x   trên đoạn      4; 3   :

Bảng biến thiên của hàm số f x   trên đoạn      4; 3   :

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x      4; 3       7 ; Min f x      4; 3       9 2 Bài tập 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 3 6 sin 2 y  x  x  Hướng dẫn giải:

Ta có sin 3 x  6sin x   2 3sin x  4 sin 3 x  6sin x    2 4 sin 3 x  6sin x  2 Đặt t  sin x     1 t 1  , f t     4 t 3   9 t 2

Bảng biến thiên của f t   trên đoạn     1;1   :

Bảng biến thiên của hàm f t   trên đoạn     1;1    :

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f t     1;1        2 3 3 ; Min f t     1;1       0

Bài tập 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x x   2 2 x

Bảng biến thiên của f x   trên đoạn       0;2 :

Bảng biến thiên của f x   trên đoạn       0;2 :

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x       0;2    4 ; Min f x       0;2    0 3.2 Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn

Bài toán tổng quát số 2: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên đoạn      ;    Giả sử max      ;    f x    M ,min      ;    f x    m Tìm max      ;    f x   và min      ;    f x  

Ta xét các trường hợp sau:

Có hai khả năng trong trường hợp này:

Dựa vào bảng biến thiên ở cả hai hình vẽ, ta có kết quả sau:

Vì f x   là hàm liên tục trên đoạn      ;    và M m  0 nên phương trình f x    0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn      ;   

Cũng có hai khả năng xảy ra trong trường hợp này:

(Chú thích: hai hình vẽ này minh họa chiều biến thiên của hàm số f x ( ) nhằm giúp học sinh phát hiện ra min ( ) 0    ;  f x

   , giáo viên và học sinh có thể lấy ví dụ cụ thể hơn để có một bảng biến thiên chính xác)

Dựa vào bảng biến thiên ở cả hai hình vẽ, ta có kết quả sau:

Bài toán tổng quát số 3 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |f(x) + a|, trong đó hàm số f(x) được xác định và liên tục trên đoạn [α, β] Nhiệm vụ này cần được thực hiện theo tham số a trong khoảng đã cho.

Bước 2: Tìm các điểm x x 1 , , 2 trên đoạn      ,   , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Tính giá trị f ( ), ( ), ( ), ( ),  f  f x f x 1 2 hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f x  ( ) trên đoạn      ,   

      Từ đó tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    theo tham số a Cụ thể:

Giả sử M  max      ;    f x  , m  min      ;    f x   Hiển nhiên ta có M  m

Vận dụng bài toán tổng quát số 2, ta có kết quả sau:

Học sinh có thể giải quyết nhiều bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng kết quả từ hai trường hợp đã học Trong quá trình này, việc so sánh hai giá trị M a  và m a  là rất quan trọng Để có cái nhìn rõ ràng hơn, học sinh nên vẽ đồ thị của hai hàm số y M a   và y m a   trên cùng một hệ trục tọa độ Để tìm hoành độ điểm A, học sinh chỉ cần giải phương trình tương ứng.

Dựa vào đồ thị và kết quả ở hai trường hợp nêu trên, học sinh có thể đưa ra được kết quả sau đây:

Kết quả trên có thể minh họa bằng đồ thị như sau:

 Học sinh thường nhầm lẫn khi tìm min ( ) a    ;  f x

Khi phác họa đồ thị để xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN), các đường nét đứt nên được gạch đi hoặc vẽ dưới dạng nét đứt để tránh nhầm lẫn.

 Khi minh họa kết quả

Sử dụng đồ thị giúp học sinh dễ dàng xác định giá trị của tham số a trong các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Học sinh cần giải thích lý do tại sao hai đường thẳng y = am + b và y = aM + b lại song song với nhau, cũng như với y = -am - b và y = -aM - b Việc hiểu rõ điều này rất quan trọng để tăng tốc độ giải quyết các bài toán, đặc biệt khi M và m có giá trị lớn Học sinh chỉ cần phác họa để hình dung kết quả một cách trực quan.

Học sinh có thể dễ dàng vẽ đồ thị mà không cần phải vẽ hệ trục tọa độ, từ đó tăng tốc độ xử lý các bài toán mà vẫn đảm bảo kết quả không thay đổi.

Kỹ thuật này sẽ được áp dụng hầu hết ở các bài toán sau đây

3.2.1 Tìm tham số a để GTLN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    bằng

Bài toán 2.1: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên đoạn      ;    Tìm tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    bằng K

Bước 2: Tìm các điểm x x 1 , , 2 trên đoạn      ,   , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Tính giá trị f ( ), ( ), ( ), ( ),  f  f x f x 1 2 hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f x  ( ) trên đoạn      ,   

Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y M a   và y m a   lên cùng một hệ trục tọa độ Vẽ đường thẳng y K  từ đó tìm ra tham số a

Từ hình vẽ, học sinh có thể nhận thấy ngay:

K  M m  thì sẽ có hai giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu của bài toán

K  M m  thì có duy nhất một giá trị

K  M m  thì không có giá trị a thỏa mãn yêu cầu

Bằng cách thay thế hàm số f(x) bằng các loại hàm số như bậc hai, bậc ba, phân thức hữu tỷ bậc 1, hàm số lượng giác, hàm số vô tỷ, hàm số mũ, và hàm số logarit, giáo viên và học sinh có thể sáng tạo ra nhiều bài toán tương tự Các bài toán này có thể được biến tấu thông qua các câu hỏi khác nhau như: “Có bao nhiêu giá trị của tham số a …”, “Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a…”, “Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn [-10;10]…”, và “Tổng của các giá trị tham số a …”.

Sau đây là một số bài tập vận dụng:

Bài 1 Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2    4 x 3 a trên đoạn       1;4 bằng

Phác họa đồ thị hàm số y   3 a y ,    1 a :

Tọa độ điểm A a :          3 a 1 a 1 A   1;2 Vẽ đường thẳng y  5

Dựa vào đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2    4 x 3 a trên đoạn       1;4 bằng 5 khi 1 5 4

Bài 2 Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y x  | 3  3 x 2   9 x a |trên đoạn     2;4    bằng

Phác họa đồ thị hàm số y   5 a y ,    27 a : Để vẽ đường thẳng y  8 thì học sinh cần tìm được tọa độ điểm A

Từ phương trình   a 27      a 5 a 11 A  11;16  Vẽ thêm đường thẳng y  8

Dựa vào đồ thị, ta thấy không có giá trị nào của tham số a thỏa mãn yêu cầu của đề ra

Bài 3 Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số

4 4 2 y  x  x  a trên đoạn     2;3    bằng 30 Tính tổng các giá trị của tập hợp S Hướng dẫn giải: Đặt f x ( )   x 4 4 x 2 ( ) 4 3 8 ( ) 0 0 2;3

Phác họa đồ thị hàm số y   a 45 , y   a 5 :

Dựa vào hình vẽ ta có, giá trị lớn nhất của hàm số y  x 4  4 x 2  a trên đoạn     2;3    bằng 30 khi      a    a  45 30 5 30        a a     25 15     S  25; 15 

Tổng các phần tử của tập hợp S : 25 15     40

Bài 4 Cho hàm số f x     x 2 2 x Có bao nhiêu giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số f  1 sin  x   a bằng 5

Hướng dẫn giải: Đặt u   1 sin x     u     0;2 f u ( )   u 2 2 u  f u  ( ) 2  u  2 ( ) 0 f u        u 1 0;2    

Phác họa đồ thị hai hàm số y  a y ,   a 1 :

Dựa vào hình vẽ, giáo viên và học sinh có thể thấy ngay có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài 5 Tìm các giá trị của tham số a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Phác họa đồ thị hai hàm số 4 , 1

Yêu cầu của bài toán

3.2.2 Tìm tham số a để GTNN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    bằng k Bài toán 2.2: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên đoạn      ;    Tìm tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    bằng k

Bước 2: Tìm các điểm x x 1 , , 2 trên đoạn      ,    , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Tính giá trị f ( ), ( ), ( ), ( ),  f  f x f x 1 2 hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số

Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y M a   và y m a   lên cùng một hệ trục tọa độ Vẽ đường thẳng y k  từ đó tìm ra tham số a

 Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán tổng quát số 2 Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Bài 1 Cho hàm số 1 4 2 2 y  4 x  x  a Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để GTNN của hàm số trên đoạn     1;3    bằng 5

Phác họa đồ thị hai hàm số 9 , 4 y   4 a y    a :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 4 2 2 y  4 x  x  a trên đoạn     1;3    bằng 5

Bài 2 Cho hàm số 1 3 2 2 3 y  3 x  x   x a Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn     3;4    bằng 0 Số phần tử của tập S là

Phác họa đồ thị hai hàm số 4 , 36 y   3 a y    a :

Dựa vào hình vẽ, yêu cầu của bài toán 4 36  1;0;1; ;35;36 

Vậy tập hợp S có 38 phần tử

Bài 3 Có bao nhiêu giá trị của tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phác họa đồ thị hai hàm số 3 , 3 y   4 a y    a và đường thẳng y  3:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy ngay có hai giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu đề ra

 Hai giá trị của tham số a chính là hoành độ của hai giao điểm của đường thẳng

3 y  và phần đồ thị màu xanh

3.2.3 Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    không vượt quá số K

Bài toán yêu cầu xác định tham số a để giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = |f(x) + a| trên đoạn [α, β] không vượt quá số K Để giải quyết vấn đề này, cần thực hiện các bước phân tích hàm số f(x) và xác định các giá trị của a sao cho điều kiện GTLN, GTNN được thoả mãn trong khoảng đã cho.

Bước 2: Tìm các điểm x x 1 , , 2 trên đoạn      ,    , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Tính giá trị f ( ), ( ), ( ), ( ),  f  f x f x 1 2 hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f x  ( ) trên đoạn      ,   

Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y M a   và y m a   lên cùng một hệ trục tọa độ Xác định

      Vẽ đường thẳng y K  từ đó tìm ra tham số a

 Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán tổng quát số 3 Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Bài 1 Cho hàm số y  x 3   3 x a Tìm các giá trị của tham số a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn       0;2 không vượt quá 3

Từ phương trình: a        2 a 2 a 0 A (0;2) Vẽ thêm đường thẳng y  3

Trên hình vẽ, đường thẳng y  3 cắt hai nhánh đồ thị màu đỏ tại hai điểm Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:

      ứng với phần đồ thị ở hai nhánh màu đỏ nằm phía dưới đường thẳng y  3 bao gồm cả hai giao điểm tại a   1

Bài 2 Cho hàm số y  x 4  8 x 2  a Tìm các giá trị của tham số a thỏa mãn giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn       1;3 không vượt quá 15

Phác họa đồ thị hai hàm số y   a 9 , y   a 16 :

Xác định tọa độ điểm : 16 9 7 7 25 ;

Trên hình vẽ, đường thẳng y  15 cắt hai nhánh đồ thị màu đỏ tại hai điểm Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:

Bài 3 Cho hàm số y  x 2   4 x a Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn     1;3    không vượt quá 5 Số phần tử của tập hợp S là:

Phác họa đồ thị hai hàm số y   a 5 , y   a 4 và đường thẳng y  5 :

Trên hình vẽ, đường thẳng y  5 cắt hai nhánh đồ thị màu xanh tại hai điểm Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:

    ứng với ba nhánh màu xanh nằm phía dưới đường thẳng y  5 bao gồm cả hai giao điểm tại a   10 và a  9

Bài 4 Cho hàm số y  2 x 3  3 x 2  a Tìm tất cả các giá trị của a để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn     1;3    không vượt quá 3?

Phác họa đồ thị hai hàm số y   a 27 , y   a 5 và đường thẳng y  3:

Trên hình vẽ, đường thẳng y  3 cắt hai nhánh đồ thị màu xanh tại hai điểm Hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của các phương trình:

3.2.4 Tìm tham số a để GTLN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    đạt GTNN

Bài toán: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên đoạn      ;    Tìm tham số a để GTLN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    đạt giá trị nhỏ nhất

Bước 2: Tìm các điểm x x 1 , , 2 trên đoạn      ,   , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Tính giá trị f ( ), ( ), ( ), ( ),  f  f x f x 1 2 hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y f x  ( ) trên đoạn      ,   

Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y M a   và y m a   lên cùng một hệ trục tọa độ Xác định max ( )    ;  f x a

   Xác định tọa độ điểm A mà tại đó max ( )    ;  f x a

   đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó tìm ra tham số a

 Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán tổng quát số 2 Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Bài 1 Cho hàm số y  x 3  2 x 2   x a Tìm tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn     1;2    đạt giá trị nhỏ nhất

Phác họa đồ thị hai hàm số y   a 2 , y   a 4 :

Dựa vào hình vẽ, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn     1;2    đạt giá trị nhỏ nhất khi a  1

Bài toán này đặt ra thách thức cho học sinh vì nó yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cùng lúc Quá trình lập luận để xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) cũng không đơn giản Tuy nhiên, việc phác họa đồ thị sẽ giúp học sinh dễ dàng nhận diện giá trị max của hàm số f(x) trong khoảng [α, β].

Học sinh cũng dễ dàng nhận ra được điểm A trên hình vẽ là điểm thấp nhất trên hai nhánh màu đỏ tương ứng với max ( )    ;  f x a

Bài 2 Tìm các giá trị của tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số

4 3 y  x  x   x a trên đoạn     3;2    đạt giá trị nhỏ nhất?

Phác họa đồ thị hai hàm số 8 , 8 :

Dựa vào hình vẽ, giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 1 3 2

  đạt giá trị nhỏ nhất khi a  0

Bài 3 Cho hàm số f x    2 x 3  3 x 2  1 Tìm các giá trị thực của tham số a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  f  2cos x   1  a đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải: Đặt u  2 cos x      1 1 u 3

Phác họa đồ thị hai hàm số y   a 28 , y   a 4 :

Kết luận: Có duy nhất một giá trị a   12 thỏa mãn yêu cầu của đề ra

  với a là tham số thực Hỏi giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn     1;1    có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Phác họa đồ thị hai hàm số y      a 1 a 1 , y      a 2 a 2 :

A a          a a A           Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn     1;1    có giá trị nhỏ nhất là 1

Bài 5 Cho hàm số y  2 x x   2    x  1 3   x a với a là tham số thực Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xét hàm số f t ( )    t 2 t 3 trên đoạn       0;2 ( ) 2 1, ( ) 0 1 0;2 f t    t f t        t 2    

Phác họa đồ thị hai hàm số 1 , 13 y a   y a   4 :

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đạt giá trị nhỏ nhất khi 17 a  8

3.2.5 Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    thỏa mãn điều kiện P nào đó

Bài toán 2.3: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên đoạn      ;    Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y  | ( ) f x  a | trên đoạn      ;    thỏa mãn điều kiện

Bước 2: Tìm các điểm x x 1 , , 2 trên đoạn      ,    , tại đó f x '( ) bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Tính giá trị f ( ), ( ), ( ), ( ),  f  f x f x 1 2 hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số

Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y M a   và y m a   lên cùng một hệ trục tọa độ Xác định

      theo a Xác định tọa độ điểm A , xét các trường hợp tương ứng, từ đó tìm ra tham số a

 Ở bước 5, học sinh làm tương tự như hướng dẫn vẽ phác họa ở bài toán tổng quát số 3 Sau đây là một số ví dụ minh họa:

Bài 1 Cho hàm số y  x 4  2 x 3   x 2 a với a là tham số thực Tìm các giá trị của a thỏa mãn

Khi đó y  f x ( )  a Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y   a 4 , y  a :

Từ hình vẽ, học sinh sẽ phát hiện được là cần phải xét 4 trường hợp:

       min     1;2    y  max     1;2    y              5 a 4   a 5 2 a 9 a 9 2 thỏa mãn a  4 TH2: 4 a 2 max ( )  1;2  f x a a , min ( )  1;2  f x a 0

              thỏa mãn a  0 Vậy có hai giá trị a thỏa mãn đề ra:

MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

4.1 Thi đua giải toán trắc nghiệm trực tuyến trên Quizizz.com

- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán liên quan GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Tăng sự chủ động và hứng thú học tập cho học sinh

- Giáo viên biên soạn đề luyện tập và đăng lên trang Quizziz.com

- Học sinh tham gia giải bài tập trên các thiết bị có kết nối Internet như máy tính, điện thoại,

- Sau khi kết thúc, giáo viên và học sinh cùng nhìn lại xem những câu hỏi nào sai nhiều nhất, rút ra kinh nghiệm

- Khen thưởng cho học sinh đạt thành tích cao, nhắc nhở các bạn chưa làm tốt

Link bài tập: https://quizizz.com/admin/quiz/61ad900ddcff3d001e9ddebc Link rút gọn của link trên: https://bitly.com.vn/24h5kg Ưu điểm của hoạt động này:

- Hoạt động này khá dễ tổ chức thực hiện Học sinh là F0, F1 ở nhà cũng có thể thi đua cùng với cả lớp

Quizziz tạo ra sự hứng thú cho học sinh nhờ vào tính năng xếp hạng điểm theo thời gian thực Học sinh nào trả lời đúng và nhanh hơn sẽ nhận được điểm cao hơn, với thứ hạng được cập nhật liên tục dựa trên điểm số và điểm thưởng Điều này tạo nên không khí thi đua sôi nổi trong lớp học.

Quizizz cung cấp cho giáo viên báo cáo chi tiết, bao gồm thông tin về lựa chọn đáp án của từng học sinh, tỷ lệ trả lời đúng của cá nhân và toàn lớp, cũng như tỷ lệ đúng, sai cho mỗi câu hỏi Điều này giúp giáo viên đánh giá cả quá trình luyện tập và kết quả học tập của học sinh một cách hiệu quả.

4.2 Sáng tạo bài toán mới

- Học sinh tự sáng tạo nên các bài toán tương tự hoặc kết hợp với các kiến thức ở các bài học khác để tạo nên bài toán mới

- Phát huy tính sáng tạo và kỹ năng làm việc theo nhóm cho học sinh

- Tăng cường sự chủ động và hứng thú học tập cho học sinh

Giáo viên đã chia lớp thành 4 nhóm: 1, 2, 3, và 4 Mỗi nhóm có nhiệm vụ tự biên soạn 10 câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến 5 bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Các nhóm sẽ trao đổi đề bài và thực hiện theo phân công Bài làm của từng nhóm sẽ được chấm điểm bởi nhóm đã ra đề Giáo viên sẽ theo dõi tiến trình và đưa ra nhận xét sau khi các nhóm hoàn thành nhiệm vụ.

4.3 Thử thách với bài toán mới

Mục tiêu: Học sinh phát hiện được vấn đề mới và giải quyết vấn đề dựa trên các tri thức đã biết

Giáo viên giới thiệu các bài toán mới để học sinh thực hành giải quyết và rút ra nhận xét Ví dụ, ba bài toán sau đây sẽ giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy và khả năng giải quyết vấn đề.

Bài tập 1 Cho hàm số 2

  với a là tham số Tìm các giá trị của tham số a sao cho GTLN cùa hàm số trên đoạn       0;3 không vượt quá 5

 Ở bài tập này, học sinh sẽ phải vẽ hai đồ thị , 6

Hai đồ thị có hệ số góc khác nhau, dẫn đến các nhánh của chúng không song song như trong các bài tập trước Do đó, học sinh cần vẽ đồ thị chính xác trên mặt phẳng tọa độ thay vì sử dụng đồ thị phác họa để xác định đúng các đặc điểm của đồ thị.

    theo tham số a Cụ thể:

    trên hình vẽ như sau:

Bài tập 2 [Câu 48– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 2]

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho

      Số phần tử của S là

 Ở bài tập này, học sinh sẽ phải vẽ hai đồ thị , 1

Hai đồ thị có hệ số góc khác nhau, dẫn đến các nhánh của chúng không song song như trong các bài tập trước Do đó, học sinh cần vẽ đồ thị chính xác trên mặt phẳng tọa độ thay vì sử dụng đồ thị phác họa.

Bài tập 3 Cho hàm số y  x 2  ax b  với a b , là các tham số Tính giá trị của biểu thức T   2 a b khi GTLN của hàm số trên đoạn       0;2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán này có độ khó cao do chứa hai tham số và yêu cầu tính toán cả giá trị lớn nhất (GTLN) lẫn giá trị nhỏ nhất (GTNN) Học sinh cần sử dụng đồ thị để rút ra kết luận rằng GTLN của hàm số trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi y(0) = y(2) = y(0) + 2.

4.4 Ứng dụng phần mềm Geogrebra để vẽ đồ thị

Hoạt động này giúp học sinh làm quen với việc sử dụng máy tính và điện thoại để hỗ trợ học Toán Thông qua các hoạt động như tìm kiếm, soạn thảo và trình chiếu, học sinh sẽ nâng cao năng lực số của mình.

- Tìm kiếm và cài đặt được phần mềm Geogrebra 5 trên máy tính, điện thoại

- Vẽ được đồ thị của một hàm số trên toàn bộ trục số

- Vẽ được đồ thị của một hàm số trên một đoạn

- Vẽ được đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Sử dụng được thanh trượt, vẽ được đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và có chứa tham số

- Biết cách lưu file hình vẽ dưới dạng hình ảnh và sử dụng được hình ảnh đó trong file trình chiếu và file word

- Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm kiếm trên Google phần mềm Geogrebra 5 và cài đặt

- Giáo viên hướng dẫn học sinh một số chức năng cơ bản như khung nhập lệnh, các nút tùy chỉnh hiện thị và một số câu lệnh cơ bản:

+ Lệnh vẽ đồ thị f x ( ) : Chỉ cần nhập f x ( ) vào khung nhập lệnh, chú ý x 2  x ^ 2 + Lệnh vẽ đồ thị f x ( ) trên đoạn       a b ; : Nhập f x a ( ),   x b

+ Lệnh vẽ đồ thị hàm số y f x  ( ) : Nhập abs f x   ( )

+ Tạo thanh trượt: sử dụng nút

+ Vẽ đồ thị hàm số chứa tham số f x a ( , ) : Nhập f x a ( , )

Bằng cách bấm chuột vào thanh trượt và di chuyển, bạn có thể thay đổi tham số và thấy đồ thị hàm số thay đổi theo Ngoài ra, bạn cũng có thể nhấp chuột phải vào thanh trượt và chọn tùy chọn "Hiệu ứng" để tham số tự động thay đổi.

Để lưu file, bạn vào menu File và chọn Save Để lưu hình ảnh, hãy vào File và chọn Xuất bản… hoặc sử dụng công cụ Snipping Tools để cắt phần đồ thị và lưu lại dưới dạng file ảnh.

Giáo viên hướng dẫn học sinh soạn thảo văn bản và tạo file trình chiếu, yêu cầu các em gõ lời giải và kèm theo hình vẽ cho một số bài toán sáng tạo mà các em đã nghĩ ra.

+ Thực hành trình chiếu và thuyết trình trước lớp về bài toán được giao

Các bài tập dưới đây được nhóm tác giả sáng tác nhằm cung cấp cho học sinh những bài tập mới để tự luyện tập Những bài tập này giúp học sinh tránh việc sử dụng ứng dụng Qanda để quét và tìm kiếm câu trả lời.

Câu 1: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max ( ) 5  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 2: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho min ( ) 5   1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 3: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho max ( ) 6  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 4: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số thực a sao cho min ( ) 3  1;2  f x

Câu 5: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho

      Tổng các phần tử của S là

Câu 6: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho

      Tổng các phần tử của S là

Câu 7: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max ( ) 3  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 8: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max ( ) 2  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 9: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho min ( ) 2  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 10: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho max ( ) 10  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 11: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số thực a sao cho min ( ) 3   1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 12: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho

      Tổng các phần tử của S là

Câu 13: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho

      Số phần tử của S là

Câu 14: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho max ( ) 1  1;2  f x

   Số phần tử của S là

Câu 15: Cho hàm số f x x( )  4 4x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho

      Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max ( ) 10  4;0  f x

   Số phần tử của S là

Câu 17: Cho hàm số ( ) 2 3 x 1 f x  x a với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho min ( ) 1  4;0  f x

   Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max ( )  4;0  f x

  đạt giá trị nhỏ nhất Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho max ( ) 5  4;0  f x

   Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho min ( ) 5   4;0  f x

   Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho

      Số phần tử của S là

Câu 22: Cho hàm số ( ) 2 3 x 1 f x  x a với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a    10;10  sao cho 2min ( ) max ( )  4;0  f x  4;0  f x

     Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a    10;10  sao cho 2min ( ) max ( ) 3  4;0  f x  4;0  f x

Số phần tử của S là

Câu 24: Cho hàm số ( ) 2 3 x 1 f x  x a với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a    10;10  sao cho 2 min ( )     4;0    f x 2 max ( )     4;0    f x 2

Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số sao cho max ( )  4;0  f x

  đạt giá trị nhỏ nhất Số phần tử của S là

Câu 26: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max (2 sin f x  1)  25 Số phần tử của S là

Câu 27: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho min (2 sin f x  1)  5

Câu 28: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực a sao cho max (2 sin f x  1)  15

 Số phần tử của S là

Câu 29: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số thực a sao cho max (2 cos f x  1)  22

 Số phần tử của S là

Câu 30: Cho hàm số f x( ) 2 x 3 3x a 2  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số thực a sao cho min (2 cos f x  1)  5

 Số phần tử của S là

 với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số thực a sao cho max ( ) 5   0;1 f x

     Số phần tử của S là

  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số thực a sao cho min ( ) 5   0;1 f x

     Số phần tử của S là

  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a sao cho

      Tổng các phần tử của

  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a    10;10  sao cho max ( ) 2min ( ) 5   0;1 f x   0;1 f x

      Số phần tử của S là

  với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a    10;10  sao cho max ( ) 3min ( )   0;1 f x   0;1 f x

     Số phần tử của S là

Xét hàm số f(x) với đồ thị đã cho, ta có hàm g(x) = f(x + 1 - x) + a, trong đó a là tham số thực Tập hợp S chứa các giá trị của a sao cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g(x) trong khoảng [0; 1] là 2022.

      Tổng các phần tử của S là

Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ Xét hàm số

       với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho min ( )  g x  2022 Tổng các phần tử của S là

Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ Xét hàm số

( ) 2sin g x  f x  a với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a sao cho max ( ) 2022 0;2 g x

   Số các phần tử của S là

Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ

Xét hàm số g x ( )  f x  3  3 x 2  2   a với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a sao cho max ( ) min ( ) 2022  1;3  g x  1;3  g x

      Tổng các phần tử của

4022 D 2 Câu 40: Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ

Xét hàm số g x ( )  f  log 2 x   2  a với a là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a sao cho max ( ) 2022   1;8 g x

     Tổng các phần tử của S là

THỰC NGHIỆM

Nhóm tác giả đã tiến hành thử nghiệm trên ba lớp học: 12A1, 12A3 và 12B Sau khi hoàn tất thử nghiệm, các lớp sẽ tham gia vào quá trình kiểm tra đánh giá Cụ thể, các lớp sẽ thực hiện hai bài kiểm tra đánh giá, bao gồm một bài kiểm tra khảo sát trên nền tảng Quizizz và một bài kiểm tra trên trang Shub.com.vn.

Quá trình đánh giá và kết quả học tập thông qua Quizizz giúp giáo viên có cái nhìn tổng quan về tinh thần làm việc của học sinh Bằng cách kết hợp giữa việc quan sát thái độ học tập và kết quả cuối cùng, giáo viên có thể đưa ra những đánh giá chính xác và khách quan nhất về năng lực của học sinh.

- Đánh giá kết quả sau thực nghiệm với bài kiểm tra trên Shub.com.vn

Với bài test khảo sát trên Quizizz, kết quả trước và sau thực nghiệm như sau:

Thứ tự Lớp Số học sinh Điểm khảo sát trước thực nghiệm Điểm kiểm tra lại sau thực nghiệm

Với bài kiểm tra trên shub.com.vn, kết quả thu được như sau:

Thứ tự Lớp Số học sinh Điểm kiểm tra trên Shub

Kết quả khảo sát sau thực nghiệm cho thấy chỉ số điểm trung bình của các lớp đã tăng lên rõ rệt, cho thấy học sinh tự tin hơn khi giải quyết các bài toán trong đề kiểm tra Các bài tập liên quan trở nên nhẹ nhàng và thú vị hơn đối với học sinh, chứng minh hiệu quả của đề tài và hoàn thành mục tiêu nghiên cứu ban đầu.

NHỮNG KẾT LUẬN

Trong đề tài này, chúng tôi đã giải quyết 5 bài toán thường gặp về giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo và trao đổi với đồng nghiệp, nhóm tác giả đã xây dựng các bước giải quyết vấn đề GTLN, GTNN bằng bảng biến thiên và đồ thị Đề tài hệ thống hóa các bài tập từ dễ đến khó, đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán và tăng cường sự chủ động, hợp tác của học sinh Nghiên cứu này không chỉ giúp chúng tôi học hỏi kiến thức mới mà còn tăng cường sự tự tin và góc nhìn tổng quát trong việc giảng dạy Học sinh đã có sự thay đổi rõ rệt, không còn e sợ các bài toán liên quan, và kết quả thử nghiệm ở một số lớp cho thấy sự cải thiện so với trước khi áp dụng Đề tài có thể được sử dụng như tài liệu tham khảo cho học sinh bậc THPT.

KIẾN NGHỊ

Kiến nghị với ban chuyên môn trường THPT Thanh Chương 3 cho phép vận dụng đề tài vào giảng dạy thử nghiệm ở một số lớp còn lại

Chúng tôi kiến nghị Sở Giáo dục và Đào tạo tiếp tục công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải, nhằm nâng cao chất lượng tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong tỉnh Nhóm tác giả đánh giá cao và đã học hỏi được nhiều điều bổ ích từ các sáng kiến được đăng tải trên website của Sở.