III. Tích phân mờ trong ra quyết định đa tiêu chuẩn 1. Ra quyết định đa tiêu chuẩn
3. Khảo sát các toán tử kết hợp phổ biến
4.3 Thiết lập các quan hệ giữa các tích phân mờ và các liên kết khác .1 Thiết lập các quan hệ với các toán tử trung bình và các trung vị
4.3.3 Thiết lập các quan hệ với các toán tử trọng số
Lúc này, ta chuyển tới các toán tử trọng số. Nó có thể được biểu diễn để một lớp có phạm vi rộng của tựa trung bình cộng trọng số là các tích phân mờ.
Định lý 11. Ta hãy xét một tựa trung bình cộng trọng số 1,..., n f
w w
M trên [ ]0,1n, với f bị ràng buộc tới lớp các hàm tăng dần hoàn toàn dương. Khi đó 1,..., n
f
w w
M ≡ Fµ, với µ là cộng tính, định nghĩa theo sự phân loại của nó µ( ) { }xi =wi, và F = ∆ +( ),$ , với ∆ có f là tiền đề.
Do vậy, một lớp có phạm vi rộng của các toán tử trung bình và kiểu trọng số (weighted version) của chúng là các tích phân mờ thực tế với độ đo cộng tính (điều này cho thấy các tích phân mờ còn là một lớp lớn hơn nhiều). Cho ví dụ, tất cả các toán tử trung bình của họ Dyckhoff-Pedrycz với α >0 là các tích phân mờ ( f x( ) =xα). Nhưng quan sát thấy trung bình nhân ( f x( ) = 1 lnn x) , trung bình điều hòa ( f x( ) = 1x) không là các tích phân mờ.
Một kết quả gần đây nhất liên quan tới mối liên lạc giữa các toán tử OWA và tích phân Choquet. Những người khác Fodor đã cho thấy rằng tất cả OWA là các tích phân Choquet.
Định lý 12. Với mọi tập các trọng số w1,...,wn mà ∑in=1wi =1, ta có OWAw1,...,wn ≡Cµ, với µ định nghĩa theo cách
( ) 1
0
,
i n j j
A w A
µ − −
=
=∑ ∀ mà A i= . Một kết quả tổng quát hơn xem định lý 14.
Diễn tả quan hệ tương hỗ, ta có các kết quả sau đây, bằng một ứng dụng trực tiếp của các định lý 3 và 12.
Định lý 13. Bất kỳ tích phân Choquet giao hoán Cµ là một toán tử OWA, các trọng số của nó là wi =µ(An i− +1)−µ(An i− ), i=2,...,n, và w1 = −1 ∑ni=2wi. Ai là tập con bất kỳ của X với
Ai =i.
Kết quả như nhau đúng với toán tử tựa OWA: Chúng là các trường hợp riêng của các tích phân t-conorm mờ với F = ∆ +( ),$ ,cho f là tiền đề của ∆, mỗi khi f là dương và tăng dần ngặt.
4.4 Các lớp tương đương của các tích phân mờ
Khi ai đó phải đối mặt với việc lựa chọn một toán tử kết hợp trong bài toán ra quyết định, một câu hỏi cơ bản đưa ra: cái nào là các toán tử mà dẫn tới quyết định như nhau, ví dụ cho các khả năng thay thế như nhau?
Vấn đề này được đưa ra đầu tiên bởi tác giả trong, và sau đó nghiên cứu kỹ lưỡng hơn. Do vấn đề này là một trong những vấn đề quan trọng trong ra quyết định, ta trình bày ở đây các kết quả chính.
Đầu tiên, ta định nghĩa hai quan hệ tương đương giữa các toán tử, để tìm ra giải pháp cho bài toán.
Định nghĩa 13. Hai toán tử H1và H2 từ [ ]0,1n tới [ ]0,1 là tương đương mạnh nếu và chỉ nếu
H1 ( )x > H1 ( )x' ⇔ H2( )x > H2( )x' .
Chú ý. H1 : H2: Nó là dễ dàng để kiểm chứng rằng : thực sự là một quan hệ tương đương, tức là phản xạ, đối xứng, và bắc cầu.
Định nghĩa 14. Hai toán tử H1 và H2 từ [ ]0,1 n tới [ ]0,1 là tương đương yếu nếu và chỉ nếu
H1 ( )x > H1 ( )x' ⇒ H2( )x ≥ H2( )x' .
Chú ý. H1 ≈H2: Quan hệ này là phản xạ, đối xứng, nhưng không bắc cầu.
Tương đương mạnh sẽ đảm bảo rằng các toán tử trong lớp tương đương giống nhau sẽ mang lại các quyết định chính xác như nhau, ví dụ các khả năng thay thế như nhau và tập như nhau các khả năng thay thế không theo quy tắc gì (không thể quyết định được), trong khi quan hệ yếu sẽ chỉ đảm bảo là các quyết định không mâu thuẫn sẽ được thực hiện, ví dụ, đó là không (x x, ') cho cái mà H1 quyết định x x> ' và H2 nghịch đảo. Nhưng một vài khả năng thay thế có thể bị bỏ quên không được phân loại bởi một vài toán tử và tính chất được xếp loại bởi các tính chất khác trong cùng lớp tương đương (yếu) giống nhau. Nó là một vấn đề của ứng dụng liên quan mà có thể quyết định kiểu của quan hệ tương đương phải được dùng.
Một vài kết quả chung được cho thấy, để tìm các lớp tương đương, hoặc theo chiều mạnh hoặc theo chiều yếu. Về bản chất:
• Liên quan đến tương đương mạnh, ta có thể tạo ra tất cả các toán tử tương đương của một H đã cho bằng cách đơn giản lấy uoH, trong đó u là một song ánh tăng dần từ [0,1] đến [0,1]. Tính chất cơ bản của hai toán tử tương đương là để chúng có các mặt không phân biệt như nhau. Các mặt không phân biệt hoặc các mặt mức đơn giản là các hình ảnh nghịch đảo của một toán tử, ví dụ, tập tất cả H −1( )z @{a∈[ ]0,1n H ( )a =z} . Ngoài ra, nếu H là đơn điệu, thì điều kiện của đẳng thức giữa các mặt không phân biệt là cần và đủ.
• Liên quan đến tương đương yếu, H1 và H2 là tương đương yếu nếu và chỉ nếu ở đây tồn tại một phép ánh xạ đa giá trị không giảm riêng biệt u: 0,1[ ] → P [ ]0,1 như là H2( )x ∈u
(H1 ( )x ), ∀ ∈x [ ]0,1 trong đó “không giảm” có nghĩa
[ ] ( ) ( )
1, 2 0,1 , 1 2 1 1 , 2 2 , 1 2
y y y y z u y z u y z z
∀ ∈ > ⇒ ∀ ∈ ∀ ∈ ≥ . Hai toán tử tương đương yếu có các mặt không phân biệt là các phân hoạch dưới của mỗi cái khác, ví dụ, ∀ ∈y1 [ ]0,1 ,∃ ⊂A [ ]0,1 có H
( ) 2
1
1− y1 =Uy A∈ H 2−1( )y2 và tương tự với tất cả y2 trong đoạn [0,1]. Điều kiện này là cần và đủ nếu các toán tử là đơn điệu.
Các kết quả này đã được ứng dụng cho các tích phân mờ. Những điều sau đây đã cho thấy.
Định lý 14. Xét một độ đo mờ đã cho µ. Lớp tương đương (theo chiều ngặt) Co µ của tích
phân Choquet theo µ được định nghĩa như sau o µ ={H H
C ( 1 ) ( )
1
,..., n n i i
i
a a u k aσ σ
=
= ∑ cho thấy:
• u: Song ánh tăng dần ngặt bất kỳ định nghĩa trên [0,1],
• ∑in=1kiσ = ∀ ∈1, σ G,
• σ : Phép hoán vị như là aσ(1) ≤ ≤... aσ( )n ,
• kiσ =µ(Aσ( )i ) (−µ Aσ( 1)i+ )
Nhận xét rằng việc cho u x( ) =x ta tính ra biểu thức chung của tất cả các toán tử là các tích phân mờ. Điều này gần như cho thấy tất cả các toán tử OWA là các tích phân Choquet, mà
i i
kσ =w (xem định nghĩa OWA), và tương đương Cµ được định nghĩa theo như
( ) 1
n i n A i
A w
µ =∑= − + (xem thêm định lý 12).
Liên quan đến tích phân Sugeno, ta có kết quả tương tự với tương đương mạnh. Cuối cùng, ta chuyển tới các tích phân t-conorm mờ, và cho các kết quả với tương đương yếu, điều mà đáng quan tâm hơn.
Định lý 15. Cho ∆ là một t-conorm. Lúc này, ∆ là tương đương yếu để tích phân t- conorm mờ hữu hạn Fµ, với F = ∆ ⊥( , ) các tiền đề của nó lần lượt là h, g, và goµ là một độ đo mờ cộng tính. Hơn nữa, nếu ∆ là ngặt thì tương đương là mạnh.
Điều này cho thấy toàn bộ lớp các t-conorm được bao gồm trong lớp tương đương của các tích phân mờ. Trong định lý, chú ý rằng ⊥-độ đo phân tích được của kiểu NSA bất kỳ với
( ) { }xi
µ =g−1( )1n sẽ được thực hiện.
Tương tự nhưng kết quả yếu hơn đúng với các t-norm. Ta cần định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 15. Xét một t-conorm lũy linh ∆. Biểu thị T∆, t-norm đối ngẫu-∆ của ∆, được định nghĩa bởi quan hệ:
aT∆ b@1−∆(1−∆a) (∆ −1 ∆b) với giả sai phân −∆ định nghĩa theo như (11).
Khi đó, những điều sau đây đúng.
Định lý 16. Cho ∆ là một t-conorm lũy linh, và T∆ t-norm đối ngẫu-∆ của nó. Khi đó, T∆
là tương đương yếu tới tích phân t-conorm mờ hữu hạn Fµ, với F =(∆ ⊥, ), và goµ một độ đo mờ cộng tính, phân phối của nó goµ ( ) { }x =1 , 1,..., ,n i= n ⊥ là
t-conorm lũy linh bất kỳ với tiền đề g.
Khi trước, nhận xét rằng mọi ⊥-độ đo phân tích được của kiểu NSA mà µ( ) { }x =g−1( )1n sẽ thực thi. Hai định lý này tổng quát hóa thực tế là tổng bị chặn và tích bị chặn
( )
: 0 1
a b@ ∨ + −a b là tương đương yếu đối với tích phân Choquet.
4.5 Tính chất cộng tính của các độ đo mờ và sự độc lập ưu tiên
Lúc này, ta chuyển tới bài toán khó về việc làm thế nào biểu diễn sự phụ thuộc hoặc sự độc lập của các tiêu chuẩn bằng một độ đo mờ. Từ khi bắt đầu ứng dụng các độ đo mờ và các tích phân mờ cho các bài toán ước lượng đa tiêu chuẩn, ta cảm thấy rằng tính không cộng tính của các độ đo mờ có thể làm mô hình phụ thuộc giữa các tiêu chuẩn, nhưng cho đến gần đây, điểm này không được nghiên cứu tỉ mỉ theo một cách khắt khe, vì không ai định nghĩa được chính xác cái mà ứng dụng các độ đo mờ và các tích phân mờ cho các bài toán ước lượng đa tiêu chuẩn có mục đích gì do “phụ thuộc”.
Lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tính đưa ra đầy đủ khuôn mẫu có tính lý thuyết để giải quyết bài toán này : Ta định nghĩa trong mục 2.3 khái niệm của sự độc lập ưu tiên giữa các tiêu chuẩn. Gần đây, Murofushi và Sugeno đã chứng minh một kết quả cơ sở nhờ vào sự độc lập ưu tiên và tính cộng tính của độ đo mờ.
Định lý 17. Cho X =X1× ×... Xn là không gian các hệ quả, với n số thuộc tính, và ta giới hạn tập các hàm lợi ích tới tích phân Choquet, ví dụ, u x( 1,...,xn) =Cµ (x1,...,xn). Nếu ít nhất có ba thuộc tính cần thiết, thì các mệnh đề sau đây tương đương:
(i) Các thuộc tính là độc lập ưu tiên lẫn nhau.
(ii) µ là cộng tính.
Xi được coi là một thuộc tính cần thiết nếu ở đây tồn tại x yi, i∈Xi và xic ∈Xic mà
(x xi, ic) (> y xi, ic). Rõ ràng, điều này cho thấy các thuộc tính là phụ thuộc trong một vài ngữ cảnh khi độ đo không cộng tính thêm, nhưng ta vẫn thấy phương thức chính xác của việc phụ thuộc vào tính không cộng tính và sự phụ thuộc. Tất nhiên, một vài kiến thức thuộc về trực giác đã tồn tại về quan điểm này, như ta sẽ cho biết ở dưới, cùng với một ví dụ minh họa. Các cơ sở lập luận phổ biến sau đây được thừa nhận rộng rãi.
• Một độ đo mà cộng tính dưới đối với hai tiêu chuẩn i và j biểu diễn một sự phụ thuộc yếu giữa các tiêu chuẩn này, theo nghĩa mà i và j là không cần thiết (dư thừa). Tức là, sự thỏa mãn một tiêu chuẩn phần nào đó kế thừa sự thỏa mãn các tiêu chuẩn khác. Bởi vậy, trọng số quan trọng gắn kèm { }i j, là thấp hơn tổng các trọng số riêng lẻ.
• Một độ đo mà là siêu cộng tính đối với hai tiêu chuẩn i và j biểu diễn một phụ thuộc mạnh giữa chúng, theo nghĩa mà các tiêu chuẩn i và j hỗ trợ mỗi tiêu chuẩn khác. Tức là, nếu sự thỏa mãn các tiêu chuẩn i và j độc lập nhau là không ảnh hưởng nhiều (không quan trọng lắm), sự thỏa mãn đồng thời các tiêu chuẩn này được xem là ảnh hưởng lớn (rất quan trọng).
Bởi vậy, trọng số quan trọng kèm theo { }i j, lớn hơn tổng các trọng số riêng lẻ.
Nhận xét rằng, một độ đo mờ có thể là siêu cộng tính đối với một vài tập con các tiêu chuẩn và siêu cộng tính đối với tập khác. Ở đây là lũy thừa có ý nghĩa của các độ đo mờ: các độ đo mờ phân tích được (ví dụ, độ đo khả năng, các độ đo-λ Sugeno) không có khả năng này vì chúng là cộng tính dưới hoặc siêu cộng tính trên toàn bộ tập các tiêu chuẩn.
Do đã nói ở trên, điều này đơn thuần chỉ là một cách hiểu thuộc về trực giác, và nhiều thao tác được thực hiện để hình thức hóa và đưa ra các kết quả này theo một khuôn mẫu nghiêm ngặt. Minh họa các độ đo siêu cộng tính và cộng tính dưới, ta đưa ra ví dụ sau đây của định giá đa tiêu chuẩn:
IV. Ứng dụng tích phân mờ trong đánh giá học sinh trường Trung học