III. Tích phân mờ trong ra quyết định đa tiêu chuẩn 1. Ra quyết định đa tiêu chuẩn
3. Khảo sát các toán tử kết hợp phổ biến
3.1 Các yêu cầu trên các toán tử kết hợp
Ta nghĩ rằng nó có lợi để nhấn mạnh là tính chất đáng xem xét nhất mà thực tế yêu cầu x y> ⇔ H (u x1( )1 ,...,u xn( )n ) > H (u y1( )1 ,...,u yn( )n ), trong đó x, y là các vector của X, các thành phần của nó lần lượt là x yi, i. Các tính chất khác đơn thuần chỉ là hệ quả của tiên đề cơ bản này. Ở đây là sức mạnh của khuôn mẫu lý thuyết thỏa dụng. Ta đưa ra danh sách các thăm dò sau.
(1) Các tính chất toán học sơ cấp. Các thứ sau đây là các quy tắc chung:
• Nếu 0 và 1 là các giá trị cực trị, thì H (0,...,0) =0, H (1,...,1)=1.
• Một quy tắc mạnh là tính lũy đẳng (I):
H (a,...,a) = ∀a a.
• Tính liên tục
• Tính đơn điệu (M) (thường không giảm) đối với mỗi đối số.
• Tính giao hoán (hoặc tính chất trung lập) (N) có thể cần đến nếu tiêu chuẩn là khác nhau. Tuy nhiên, điều này là tự nhiên trong thủ tục biểu quyết hơn trong ra quyết định đa mục tiêu.
Chú ý rằng tính đơn điệu và tính lũy đẳng đơn giản để H nằm giữa min và max: như vậy, các t-norm và các t-conorm bị loại trừ. Tính kết hợp có thể cần đến, nhưng điều này mâu thuẫn với tính lũy đẳng: Các toán tử kết hợp và lũy đẳng tốt nhất là các trung vị (xem ở dưới).
(2) Các tính chất toán học phức tạp hơn. Một vài thứ thuộc về chúng thông thường được yêu cầu trong các bài toán đo lường và định giá.
• Tính phân tích được (D):
H ( )n (a a a1, ,k k+1,...,an) = H ( )n (a,..., ,a ak+1,...,an),
trong đó a= H ( )k (a1,...,ak) đối với tất cả (a1,...,an). Chỉ số trên (n) cho biết số các đối số của H .
• Tính chất liên kết theo thứ tự (OL): Tính chất này được những người khác Fodor đưa ra là
H (n+1)( H (n)(a(1),...,a( )n ), H (n)(a(2),...,a(n+1)),…, H (n)(a(n+1),...,a(2 )n ))
= H (n)( H (n+1)(a(1),...,a(n+1)), H (n+1)(a(2),...,a(n+2)),…, H (n+1)(a( )n ,...,a(2 )n ))
• Tính chất nối kết theo thứ tự với phép hoán vị (OLP): Tính chất này Grabisch đưa ra là H (n+1)( H (n)(a(1),...,a( )n ), H (n)(a(2),...,a(n+1)),…, H (n)(a(n+1),...,a(2 )n σ))
= H (n)( H (n+1)(a(1),...,a(n+1)σ), H (n+1)(a(2),...,a(n+2)σ ),…, H (n+1)(a( )n ,...,a(2 )n σ )), σ
∀ ∈G.
+ σ
a(1),...,a(n 1) là một chú thích có nghĩa aσ(1),...,aσ +(n 1), ví dụ một phép hoán vị σ của các chỉ số. G biểu thị tập tất cả phép hoán vị trên một tập đã cho. Nhận xét rằng OLP hàm ý chỉ OL.
• Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau (SPL):
H (ra1+t,...,ran + =t) r H (a1,...,an)+ ∀ > ∀ ∈t r o t, ¡ .
Tính chất này cho thấy thay đổi thang tỷ lệ không thay đổi kết quả. Nó là yếu tố cần thiết trong lý thuyết thỏa dụng vì ui được định nghĩa theo một phép biến đổi tuyến tính dương.
• Hệ số ổn định theo phép biến đổi tuyến tính với đơn vị giống nhau, comonotonic zeroes (SPLUC):
H (raσ(1)+tσ(1),...,raσ( )n +tσ( )n ) =rH (aσ(1),...,aσ( )n ) (+T tσ(1),...,tσ( )n )
1 ... n, , 1 ... n ,
a a r o t t σ
∀ ≤ ≤ ∀ > ∀ ≤ ≤ ∈ ∀ ∈¡ G Nhân xét rằng SPLUC hàm ý chỉ SPL.
(3) Khả năng biểu diễn các trọng số quan trọng trên các tiêu chuẩn nếu điều này là cần thiết.
(4) Khả năng biểu diễn hành vi của người ra quyết định. Đương nhiên đây là điều đã đề cập đến, nhưng một cách cụ thể hơn, ở đây ta nói về khuynh hướng của ra quyết định, ví dụ nếu anh là định hướng hội hoặc tuyển. Thực tế, hai người ra quyết định với các hàm lợi ích đơn chiều giống nhau ui, các trọng số như nhau trên các tiêu chuẩn, có thể vẫn có các cách xử lý khác nhau. Ta có thể đưa ra ví dụ hai cách xử lý đặc trưng: tolerant và intolerant. Những người ra quyết định tolerant có thể thừa nhận rằng chỉ một vài tiêu chuẩn (ít nhất một) là được đáp ứng (điều này tương đương tính chất tuyển, ví dụ cực trị của nó là max). Theo cách khác, người ra quyết định intolerant yêu cầu tất cả tiêu chuẩn cũng phải được thỏa mãn (tính chất hội, ví dụ cực trị của nó là min).
(5) Khả năng biểu diễn một hiệu ứng bù, hoặc một sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Sự bù tồn tại nếu một điểm xấu trên một tiêu chuẩn có thể được bù bởi một điểm tốt trên các tiêu chuẩn khác. Khả năng tương tác khác giữa các tiêu chuẩn là dư thừa (hai tiêu chuẩn là dư thừa nếu chúng biểu diễn tương đối giống nhau)và trợ giúp hoặc củng cố (hai tiêu chuẩn không quá quan trọng khi mà chúng tách rời nhau và trở lên rất quan trọng khi chúng kết hợp với nhau)
(6) Khả năng diễn giải một ngữ nghĩa dễ dàng.
3.2 Các toán tử kết hợp phổ biến
Lúc này ta trình bày các giải pháp thông thường cho bài toán kết hợp.
Các toán tử lấy trung bình: Chúng được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 9. Một toán tử lấy trung bình hoặc toán tử trung bình M: 0,1[ ]n →[ ]0,1 là một
toán tử thỏa mãn tính lũy đẳng, tính giao hoán, và tính không giảm tại mỗi vị trí.
Giả sử nhận xét rằng các tính chất này hàm ý là các toán tử trung bình nằm giữa min và max. Một vài tác giả yêu cầu cả tính liên tục, và thực tế là min và max bị loại trừ ra khỏi họ.
Các ví dụ thông thường của các toán tử trung bình là trung bình cộng 1n∑in=1ai, trung
bình nhân 1 1/
n n
i= ai
∏ , trung bình điều hòa
1
1 n1 1
i i
n a
−
=
∑ , và họ Dyckhoff-Pedrycz
(1n ni 1ai )1/
α α
∑= . Một họ quan trọng của các toán tử trung bình mà bao gồm tất cả các ví dụ ở trên, được thiết lập phù hợp với tựa các trung bình cộng:
( 1 ) 1 ( )
1
,..., 1 n
f n i
i
M a a f f a
n
−
=
= ∑ ,
trong đó f là hàm đơn điệu ngặt liên tục bất kỳ. Họ này được Kolmogoroff mô tả, như là lớp của tất cả các toán tử trung bình liên tục phân tích được.
Các trung vị: Chúng là các trường hợp riêng của các toán tử trung bình, định nghĩa như sau.
Định nghĩa 10. Xét một dãy của một số lẻ thuộc tập số thực trong đoạn [ ]0,1 , ,...,a1 a2q−1. Khi đó, trung vị của dãy được định nghĩa theo cách
( 1,..., 2q 1) ( )q
med a a − @a , như trước, trong đó a(1) ≤ ≤... a(2q−1).
Tức là, số trung bình là giá trị giữa của một dãy sắp thứ tự. Các trung vị là các toán tử trung bình kết hợp đáng xem xét nhất. Dubois và Prade chứng minh rằng một toán tử trung bình kết hợp M a( 1,...,an) tất yếu rút ra dạng med(∧in=1ai,∨ni=1ai,α), trong đó x M= ( )0,1 . Do tính kết hợp và tính lũy đẳng là các tính chất có phần đối lập.
Phép toán đối xứng: Chúng được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 11. S: 0,1[ ]n →[ ]0,1 coi là một tổng đối xứng nếu và chỉ nếu S là liên tục, không giảm đối với mỗi đối số, giao hoán, thỏa mãn S( )0,0 =0, 1,1S( ) =1 và là tự đối ngẫu,…
( 1,..., n) 1 (1 1,...,1 n)
S a a = −S −a −a .
Họ này của các toán tử được Siilvert đưa ra, và chúng không là các toán tử trung bình theo nghĩa tổng quát. Phép toán đối xứng có tính chất mà một nghịch đảo của thang tỷ lệ không tác động tới sự định giá.
Các toán tử bù: Zimmermann và Zysno, trong một nghiên cứu sử dụng thí nghiệm trên sự ước lượng các kiểu xếp cạnh nhau, đã cho thấy thực tế rằng thủ tục kết hợp có tính người là bù (và do vậy, các t-norm, bao gồm cả min không phù hợp). Ngoài ra, chúng cho thấy trung bình cộng dẫn đến một ước lượng chệch, bởi vì toán tử này không tính vào sự tương tác giữa các tiêu chuẩn. Bởi vậy, Zimmermann và Zysno đã đưa ra cái gọi là γ - các toán tử là bù được định nghĩa theo cách
H ( )
1 1
1 1
,..., n n j n j
j j
a a a a
γ γ
−
=
=
=
∏ ⊕
trong đó ⊕ biểu thị tổng xác suất, định nghĩa theo cách ⊕nj=1aj @1−∏nj=1(1−aj) . Đại khái, toán tử này là một sự tổ hợp của một t-norm với một t-conorm, cho một tỷ lệ γ λ ∈, [ ]0,1 .
Ở đây tồn tại nhiều định nghĩa khác nhau của các toán tử bù, phần lớn dựa trên một hỗn hợp các t-norm và các t-conorm, như ví dụ một người khác Hayashi đưa ra, cái này là sự tổ hợp tuyến tính của một t-norm T và t-conorm đối ngẫu của nó S:
H (a a1, 2) =m a a( 1, 2) (⋅S a a1. 2)+ −(1 m a a( 1, 2) )⋅T a a( 1, 2 ),
trong đó m a a( 1, 2) là một loại toán trung bình định nghĩa theo cách
( 1, 2) 1 ( 1 2) 1 ( 1 3) 2
m a a = −p p −p a − p −p a ,
1, ,2 3
p p p là các tham số trong [0,1] thỏa mãn
1 2 3, 0 1 2 3 1
p ≤p ∧p ≤ − +p p +p ≤
Nhiều ví dụ khác có thể thấy ở. Nếu các toán tử bù bị yêu cầu bằng trực giác, chúng bị chậm do một định nghĩa không được dự tính trước, không dựa trên hệ tiên đề của các tính chất. Ta không biết chính xác các tính chất của chúng (trừ sự bù), cũng như trạng thái của chúng trong tập các toán tử; cụ thể, chúng không là các t-norm, các t-conorm, mà cũng không là các toán tử trung bình, mà cũng không là phép toán đối xứng,…
Các toán tử trọng số, OWA: Hầu hết các ứng dụng trong quyết định đa tiêu chuẩn yêu cầu các trọng số quan trọng trên các tiêu chuẩn, theo đó, hàm ý một mở rộng của các toán tử không trọng số thông thường mà có thể được thực hiện theo một vài cách thức phần nào không bị bó buộc (mũ hóa,…). Các toán tử cực đại và cực tiểu được mở rộng bởi Dubois và Prade, theo một cách mà phù hợp với lý thuyết khả năng.
( ) ( )
1,..., 1 1
max ,..., 1
n
n
w w n i i i
w a a w a
=
= ∧ − ∨ ,
( ) [ ]
1,..., 1 1
max ,...,
n
n
w w n i i i
w a a w a
= ∨= ∧
trong đó các trọng số được bình thường hóa để ∨ni=1wi =1. Họ tựa các trung bình cộng có thể được tổng quát hóa dễ dàng không bỏ qua các tính chất của nó (trừ tính giao hoán):
( ) ( )
1
1
,..., 1
1
,...,
n
f n
w w n i i
i
M a a f− w f a
=
= ∑ , trong đó các trọng số được bình thường hóa để ∑ni=1wi =1.
Một lớp đáng quan tâm của các toán tử trọng số là các toán tử (OWA) trung bình trọng số theo thứ tự được Yager đưa ra. Chúng được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 12. Cho w1,...,wn là một tập các trọng số mà ∑ni=1w1 =1. Toán tử OWA trên
[ ]0,1 n được định nghĩa theo cách
( )
1,..., 1 ( )
1
,...,
n
n
w w n i i
i
OWA a a w a
=
=∑ .
Điều này đơn giản là một tổng trọng số với các đối số sắp thứ tự. Như nó được thực hiện với trung bình cộng, ta có thể khái quát hóa định nghĩa: các toán tử tựa OWA được định nghĩa theo cách
( ) ( )
1
1
,..., 1 ( )
1
,...,
n
f n
w w n i i
i
OWA a a f− w f a
=
= ∑ ,
trong đó f là hàm đơn điệu. Các toán tử OWA gồm cả min và max (đơn giản lấy
[ 1,..., n] [10...0]
w@w w = đối với max và [0...01] đối với min). Lợi ích chính của chúng xuất phát từ thực tế là chúng có thể biểu diễn các phép lượng hóa không rõ ràng, như ví dụ: “ít nhất một vài tiêu chuẩn phải được thỏa mãn”, điều này có thể được mô hình bằng w=[000.80.20]
khi n = 5. Gần đây, những người khác Foder mô tả các toán tử OWA theo hai cách khác nhau.
Chúng biểu diễn như sau.
Định lý 1. Lớp các toán tử OWA tương đương các toán tử mà thỏa mãn tính chất trung lập, tính đơn điệu, tính lũy đẳng, tính ổn định và liên kết theo thứ tự đối với phép biến đổi tuyến tính dương giống nhau.
Định lý 2. Lớp các toán tử OWA tương đương các toán tử mà thỏa mãn tính chất trung lập, tính đơn điệu, tính lũy đẳng và tính ổn định đối với phép biến đổi tuyến tính dương, đơn vị giống nhau, các số không độc lập (independent zeroes) và các giá trị theo thứ tự (ví dụ SPLUC vớiσ =( ) duy nhất ).
4. Tích phân mờ như một công cụ kết hợp mới
Có thể thấy rằng các giải pháp hiện tại để kết hợp các tiêu chuẩn gặp nhiều trở ngại. Tóm tắt, chúng có thể dễ dàng giải thích được trên một quan điểm về ngữ nghĩa, như tổng (trọng số), min và max (trọng số), OWA, và trong trường hợp này chúng quá giới hạn, quá cụ thể, hoặc chúng bao trùm một phạm vi rộng hơn nhưng ta không thể giải thích chúng (tựa trung bình cộng, các toán tử bù, …), ví dụ, mối liên hệ các tham số của các toán tử với kiểu hành vi (the kind of behaviour). Thứ hai là không ai có vẻ có khả năng trong việc trình bày vài cách dễ hiểu một sự tương tác giữa các tiêu chuẩn.
Để khắc phục những điểm yếu này, ta đưa ra giá trị của các tích phân mờ. Toàn bộ mục này được dành hết cho sự chứng minh là đúng của một đề xuất như vậy, theo các quan điểm khác nhau: các tính chất của các tích phân mờ tuân theo sự kết hợp, sự mô tả, các quan hệ với các toán tử kết hợp hiện tại, và các toán tử tương đương, theo một hướng mà sẽ được định nghĩa dưới đây.
Một cách cụ thể, ta cho H =Fµ, trong đó
• F là tích phân mờ bất kỳ, hoặc tựa Sugeno, Choquet hoặc tích phân t-conorm mờ.
• µ là độ đo mờ bất kỳ, định nghĩa trên tập các tiêu chuẩn X ={X1,...,Xn} .
Độ đo mờ đại diện cho các trọng số trên các tiêu chuẩn, hoặc trên các tiêu chuẩn riêng lẻ (theo nghĩa µ( { }Xi )), hoặc trên nhóm các tiêu chuẩn bất kỳ (ví dụ µ( {X X X1, 2, 4} )): đây là
điểm then chốt về các tích phân mờ, mà có thể chúng biểu diễn tương tác giữa các tiêu chuẩn.
Điểm này sẽ được nói đến trong phần cuối của mục này.